Artık yerçekimi alanı denklemlerinin türetilmesine geçebiliriz. Bu denklemler en az etki ilkesinden elde edilir; burada sırasıyla yerçekimi alanı ve madde için eylemler 2). Yerçekimi alanı artık değişime tabidir, yani değerler
Değişimi hesaplayalım. Sahibiz:
Burada (86.4)'e göre yerine koyarsak,
Hesaplama için, niceliklerin bir tensör oluşturmamasına rağmen, bunların değişimlerinin bir tensör oluşturduğunu not ediyoruz. Aslında, paralel transfer sırasında (bkz. (85.5)) bir vektörde, ona sonsuz derecede yakın olan belirli bir P noktasından P'ye bir değişiklik vardır. Bu nedenle, sırasıyla iki paralel transfer altında elde edilen iki vektör arasında (değişmemiş ve değişken) bir fark vardır. T) P noktasından aynı P noktasına. Aynı noktadaki iki vektör arasındaki fark bir vektördür ve dolayısıyla bir tensördür.
Yerel jeodezik koordinat sistemini kullanalım. O zaman bu noktada her şey yolunda. (92.7) ifadesini kullanarak (ilk türevlerinin artık sıfıra eşit olduğunu hatırlayarak):
Bir vektör olduğundan, ortaya çıkan ilişkiyi keyfi bir koordinat sisteminde şu şekilde yazabiliriz:
((86,9) ile değiştirilerek ve kullanılarak). Bu nedenle (95.1)'de sağdaki ikinci integral şuna eşittir:
ve Gauss teoremi ile tüm hacmi kaplayan bir hiperyüzey üzerindeki integrale dönüştürülebilir.
İntegrasyon sınırlarında alan değişimi sıfır olduğundan bu terim ortadan kalkar. Yani varyasyon
İfadeden başlarsak
alanın eylemi için, doğrulaması kolay olduğu gibi, şunu elde ederiz:
Bunu (95.2) ile karşılaştırdığımızda aşağıdaki ilişkiyi buluruz:
Maddenin hareketindeki değişiklikler için (94.5)'e göre yazabiliriz.
maddenin enerji-moment tensörü nerede (elektromanyetik alan dahil). Yerçekimi etkileşimi yalnızca yeterince büyük kütleye sahip cisimler için rol oynar (yerçekimi sabitinin küçük olması nedeniyle). Bu nedenle yerçekimi alanını incelerken genellikle makroskobik cisimlerle uğraşmak zorundayız. Buna göre bunun için genellikle (94.9) ifadesini yazmamız gerekir.
Böylece, en az eylem ilkesinden şunu buluyoruz:
keyfilik nedeniyle nerede
veya karışık bileşenlerde
Bunlar yerçekimi alanının aranan denklemleridir - genel görelilik teorisinin temel denklemleri. Bunlara Einstein'ın denklemleri denir.
(95.6)'yı i ve k endeksleriyle basitleştirirsek şunu buluruz:
Bu nedenle alan denklemleri şu şekilde de yazılabilir:
Einstein'ın denklemleri doğrusal değildir. Bu nedenle süperpozisyon ilkesi çekim alanları için geçerli değildir. Bu prensip yalnızca Einstein'ın denklemlerinin doğrusallaştırılmasına izin veren zayıf alanlar için yaklaşık olarak geçerlidir (bunlar özellikle klasik Newton sınırındaki yerçekimi alanlarını içerir, bkz. § 99).
Boş uzayda yerçekimi alanının denklemleri denklemlere indirgenir
Bunun boş uzay-zamanın düz olduğu anlamına gelmediğini hatırlayalım; bu daha güçlü koşulların gerçekleşmesini gerektirir.
Enerji-momentum tensörü elektromanyetik alan(bkz. (33.2)) özelliğine sahiptir. (95.7)'nin ışığında, herhangi bir kütlesi olmayan yalnızca bir elektromanyetik alanın varlığında uzay-zamanın skaler eğriliğinin sıfır olduğu sonucu çıkar.
Bildiğimiz gibi enerji-momentum tensörünün farkı sıfırdır:
Bu nedenle denklemin (95.6) sol tarafının diverjansının da sıfıra eşit olması gerekir. Bu aslında özdeşlik nedeniyle doğrudur (92.10).
Dolayısıyla denklemler (95.10) esas olarak alan denklemlerinin (95.6) içinde yer almaktadır. Öte yandan, enerjinin ve momentumun korunumu yasalarını ifade eden denklemler (95.10), bu enerjinin hareket denklemlerini içerir. fiziksel sistem, söz konusu enerji-momentum tensörünün ait olduğu (yani, malzeme parçacıklarının hareket denklemleri veya Maxwell denklemlerinin ikinci çifti).
Dolayısıyla yerçekimi alanının denklemleri, bu alanı oluşturan maddenin kendisine ait denklemleri de içerir. Bu nedenle çekim alanı oluşturan maddenin dağılımı ve hareketi keyfi olarak belirlenemez. Tam tersine, bu maddenin yarattığı alanla eş zamanlı olarak (alan denklemlerinin verilen başlangıç koşullarında çözülmesiyle) belirlenmeleri gerekir.
Bu durum ile elektromanyetik alan örneğinde yaşadıklarımız arasındaki temel farklılığa dikkat çekelim. Bu alanın denklemleri (Maxwell denklemleri) yalnızca toplam yükün korunumu denklemini (süreklilik denklemi) içerir, ancak yüklerin hareket denklemlerini içermez. Bu nedenle, toplam yük sabit olduğu sürece yüklerin dağılımı ve hareketi keyfi bir şekilde belirlenebilir. Yüklerin bu dağılımı belirlenerek, oluşturdukları elektromanyetik alan Maxwell denklemleri kullanılarak belirlenir.
Ancak şunu açıklığa kavuşturmak gerekir ki tam çözünürlüklü Yerçekimi alanı durumunda maddenin dağılımı ve hareketi için, Einstein'ın denklemlerine (elbette içermiyorlar) maddenin durum denklemini, yani basınç ve yoğunluğu bağlayan denklemi eklemek gerekir. Bu denklemin alan denklemleriyle birlikte belirtilmesi gerekir.
Dört koordinat keyfi dönüşüme tabi tutulabilir. Bu dönüşüm sayesinde tensörün on bileşeninden dördü isteğe bağlı olarak seçilebilmektedir. Bu nedenle, niceliklerden yalnızca altısı bağımsız bilinmeyen fonksiyonlardır.Ayrıca, 4-hızlı madde enerji-momentum tensörünün dört bileşeni birbiriyle ilişkiyle ilişkilidir, dolayısıyla bunlardan yalnızca üçü bağımsızdır. Böylece, beklendiği gibi, on bilinmeyen miktar için on alan denklemimiz (95.5) var: altısı bileşenlerden, üçü maddenin bileşenlerinden ve yoğunluğundan (veya basıncından). Boşluktaki bir yer çekimi alanı için yalnızca altı bilinmeyen miktar (bileşen) kalır ve bağımsız alan denklemlerinin sayısı buna göre azalır: on denklem dört özdeşlikle ilişkilidir (92.10).
Einstein'ın denklemlerinin yapısının bazı özelliklerine dikkat çekelim. Onlar bir sistem diferansiyel denklemler ikinci dereceden kısmi türevler. Ancak denklemler 10 bileşenin tamamının ikinci zaman türevlerini içermemektedir. Aslında, (92.1)'den zamana göre ikinci türevlerin yalnızca eğrilik tensörünün bileşenlerinde yer aldığı açıktır, burada bir terim biçiminde girerler ('ye göre farklılaşmayı belirtiriz); metrik tensörün bileşenlerinin ikinci türevleri tamamen yoktur. Bu nedenle, eğrilik tensörünün basitleştirilmesiyle elde edilen tensörün ve onunla birlikte denklemlerin (95.5) yalnızca altı uzaysal bileşenin zamana göre ikinci türevlerini içerdiği açıktır.
Bu türevlerin sadece (95.6) denklemlerinde, yani denklemlerde göründüğünü görmek kolaydır.
(95,11)
Denklemler ve yani denklemler
zamana göre sadece birinci dereceden türevler içerir. Bu, değerlerin daraltılmasıyla oluşturulduğunda formun bileşenlerinin gerçekten kaybolduğunun kontrol edilmesiyle doğrulanabilir. Bunu kimlikten (92.10) formda yazarak görmek daha da kolaydır.
Bu eşitliğin sağ tarafında yer alan zamana göre en yüksek türevler ikinci türevlerdir (miktarların kendisinde görünür). (95.13) bir özdeşlik olduğundan, sol tarafının ikinci dereceden daha yüksek olmayan zaman türevleri içermesi gerekir. Ama bir fark var. zamanla zaten açıkça ortaya çıkıyor; bu nedenle ifadelerin kendisi zamana göre birinci dereceden daha yüksek olmayan türevler içerebilir.
Ayrıca denklemlerin (95.12) sol tarafları da birinci türevleri içermez (yalnızca türevleri içerir). Aslında, bu türevler yalnızca içerir ve bu miktarlar da yalnızca formun eğrilik tensörünün bileşenlerine dahil edilir, zaten bildiğimiz gibi, denklemlerin (95.12) sol tarafları eşitlendiğinde dışarıda kalırlar. oluşturulan.
Einstein'ın denklemlerini belirli başlangıç (zaman) koşulları altında çözmekle ilgileniyorsanız, o zaman başlangıç uzaysal dağılımlarına keyfi olarak kaç niceliğin verilebileceği sorusu ortaya çıkar.
İkinci dereceden denklemlerin başlangıç koşulları, hem türevlenebilir büyüklüklerin hem de bunların birinci türevlerinin zamana göre başlangıç dağılımlarını içermelidir. Ancak, o zamandan beri bu durumda Denklemler yalnızca altının ikinci türevlerini içeriyorsa, bu durumda bunların tümü başlangıç koşullarında keyfi olarak belirtilemez. Böylece, fonksiyonların başlangıç değerlerini (maddenin hızı ve yoğunluğu ile birlikte) ayarlayabilirsiniz ve ardından izin verilen başlangıç değerleri 4 denklemden (95.12) belirlenecektir; denklemlerde (95.11) başlangıç değerleri hala keyfi kalacaktır
LJ'imin ilk gönderisinde formüllerle ilgili her türlü saçmalığı ve diğer saçmalıkları yayınlayacağıma söz verdim. Saçmalık açısından, planın% 100 tamamlandığını düşünüyorum, ancak şimdi planın ikinci kısmına başlıyorum (yerçekimi dalgası dedektörleri konusuna zaten başladım) - formüllerle saçmalık yayınlayacağım böylece ev hanımları ve hatta JETF bile tükürecek.
Benden Einstein'ın denklemleriyle ilgili bir şeyi açıklamamın istendiğini hatırlıyorum. Özellikle ne ve nerede. Yorumlar kapsamında elbette bunu asgari düzeyde açıkladım, ancak bunun gerçek bir netlik getirmesi pek olası değil. Bu nedenle bu konuyla ilgili daha detaylı bir mesaj yazmaya karar verdim. Tensörler hakkında biraz yazacağım ki bundan sonra ne hakkında konuşacağım netleşsin.
Ama önce bazı anlaşmalar. Gönderim Einstein'ın toplama kuralını kullanıyor (bu, tekrarlanan endeksler üzerinden toplamadır) - Şimdi açıklayacağım, sonra kendi kendine ima edilecektir.
O halde bir rekor olsun
Einstein'ın kuralına göre, uzayın boyutu bilindiğinde (ya da bilinmediğinde, toplamanın hangi elemente yapıldığının açıkça belirtilmesi gerekir), toplam işareti atlanır ve tekrarlanan indeksler üzerinden toplama ima edilir (indeks) " Ben"e A ve B. Ve bu şekilde yazılmıştır
Bu nedenle, bundan sonra tekrar eden indekslerin bulunduğu her yerde, toplama ima edilecektir (ve sadece tek değil, belki de çift).
İki koordinat sistemimiz olsun
Derece 2'nin kontravaryant tensörü
onlar. eski koordinatlar yenilerinden farklılaştırılıyor. Bu, tekrarlanan endeksler üzerinden toplama anlamına gelir.
Derece 2'nin kovaryant tensörü Koordinatları kurallara göre dönüştürürken dönüştürülen bir niceliktir
Tensörlerin belirli türleri, iyi bilinen vektörler (1. derece tensör) ve skalerlerdir (0. derece tensör).
Eylemsiz bir referans çerçevesinde Kartezyen koordinat sisteminde bilindiği gibi aralık ds olarak tanımlandı
Ataletsiz FR'de bir aralığın karesi - formun ikinci dereceden bir formu
burada yine tekrarlanan endekslerin toplamı.
(bu, belirli örnekler kullanılarak kontrol edilebilir - örneğin ISO'yu döndürmeye dönüştürmeyi deneyin).
Açıkça, Ne
a) boyuta göre, koordinat diferansiyellerinin çarpımının önünde duran miktarın bir skaler olduğu ortaya çıkar.
b) Koordinat diferansiyelleri yeniden düzenlenebilir; bu, g'nin değerinin indekslerin sırasına bağlı olmadığı anlamına gelir.
Böylece peki- simetrik 4-tensör. Buna metrik tensör denir.
Ana değerler kümesine (1, -1, -1, -1) denir imza matrisler (bazen basitçe yazılır (+,-,-,-)). Bu durumda determinant negatiftir. Bu yine açıktır.
Eylemsiz olmayan referans çerçeveleri hakkında söylenen her şey, genel olarak fizikten ayrı olarak keyfi bir eğrisel koordinat sistemine %100 aktarılabilir.
Maalesef pek fazla yazamıyorum eğrilik tensörü
Riklmçünkü bunun için tam bir inceleme yazmanız gerekiyor - nasıl türetildiği, nereden geldiği vb. Christoffel'in sembolleri hakkında yazmam gerekecek, çok uzun. İlgilenen olursa başka zaman belki.Tensör Ricci eğrilik tensörünün evrişimi ile elde edilir
simetriktir.
Sanırım herkes Hamilton'un en az eylem ilkesini biliyor. Bu durumda şu şekilde yazılır
burada lambda, Lagrange fonksiyonunun "yoğunluğu" olarak düşünülebilir. Bundan sonra enerji-momentum tensörünü elde ederiz.
Burada - enerji-momentum tensörü.
Einstein'ın denklemleri en az etki ilkesinden elde edilir. Yukarıda söylediğim her şeyi biliyorsanız, sonuca varmak o kadar da zor değil. Ama doğal olarak bu durumda yazmayacağım. Einstein'ın denklemleri şu şekildedir:
Bu denklemler doğrusal değildir ve sonuç olarak süperpozisyon ilkesi bunların çözümleri için geçerli değildir.
Newton yasasının Einstein denklemlerinden türetilmesi. Göreli olmayan duruma geçerken, tüm hızların küçük olmasını ve bunun sonucunda yerçekimi alanının küçük olmasını gerektirmek gerekir. O zaman tüm tensörlerin yalnızca sıfır bileşeni kalacak
Bu durumda Einstein'ın denklemleri şunu verir:
(burada m, daha sonraki sunumun aksine birim hacim başına kütle, yani yoğunluktur)
Bu, bir parçacığın alan potansiyelinin elde edildiği yer çekimi potansiyeli için iyi bilinen Poisson denklemidir. M ve buna göre bu alanda başka bir parçacığa etki eden kuvvet M ifadeler elde edilebilir
Bu Newton'un ünlü yerçekimi kanunudur.
Yerçekimi dalgaları. Hakkında zayıf yerçekimi dalgaları, yalnızca interferometreler kullanılarak tespit edilebilen. Sanırım herkes zayıf pertürbasyonları aramak için istenen fonksiyonun sabit bir parça ve pertürbasyon şeklinde temsil edilmesi gerektiğini biliyor. Bu durumda eğrilik tensörü, Galilean metriğinin ve tensörün perturbe edilmemiş bir tensörü olarak temsil edilebilir. H metriğin zayıf bir bozulmasını açıklayan
Belirli ek koşullar altında Ricci tensörü şu şekli alır:
(Her ihtimale karşı, D'Alembert operatörünün ne olduğunu açıkladım, ancak bunun herkes tarafından iyi bilindiğini düşünüyorum).
Hepsini biraz karıştırarak elde edebilirsiniz
Her zamanki dalga denklemi. Bu, yerçekimi dalgalarının ışık hızında hareket ettiği anlamına gelir.
Bu masalın sonu. Bunun daha sonra yorumlarda verdiğim daha ayrıntılı bir cevap olduğunu düşünüyorum, ancak daha net hale geldiğinden emin değilim. Ama umut etmek isterim. Tekrar yayında görüşürüz beyler!
Artık yerçekimi alanı denklemlerinin türetilmesine geçebiliriz. Bu denklemler en az etki ilkesinden elde edilir; burada sırasıyla yerçekimi alanı ve madde için eylemler 2). Yerçekimi alanı artık değişime tabidir, yani değerler
Değişimi hesaplayalım. Sahibiz:
Burada (86.4)'e göre yerine koyarsak,
Hesaplama için, niceliklerin bir tensör oluşturmamasına rağmen, bunların değişimlerinin bir tensör oluşturduğunu not ediyoruz. Aslında, paralel transfer sırasında (bkz. (85.5)) bir vektörde, ona sonsuz derecede yakın olan belirli bir P noktasından P'ye bir değişiklik vardır. Bu nedenle, sırasıyla iki paralel transfer altında elde edilen iki vektör arasında (değişmemiş ve değişken) bir fark vardır. T) P noktasından aynı P noktasına. Aynı noktadaki iki vektör arasındaki fark bir vektördür ve dolayısıyla bir tensördür.
Yerel jeodezik koordinat sistemini kullanalım. O zaman bu noktada her şey yolunda. (92.7) ifadesini kullanarak (ilk türevlerinin artık sıfıra eşit olduğunu hatırlayarak):
Bir vektör olduğundan, ortaya çıkan ilişkiyi keyfi bir koordinat sisteminde şu şekilde yazabiliriz:
((86,9) ile değiştirilerek ve kullanılarak). Bu nedenle (95.1)'de sağdaki ikinci integral şuna eşittir:
ve Gauss teoremi ile tüm hacmi kaplayan bir hiperyüzey üzerindeki integrale dönüştürülebilir.
İntegrasyon sınırlarında alan değişimi sıfır olduğundan bu terim ortadan kalkar. Yani varyasyon
İfadeden başlarsak
alanın eylemi için, doğrulaması kolay olduğu gibi, şunu elde ederiz:
Bunu (95.2) ile karşılaştırdığımızda aşağıdaki ilişkiyi buluruz:
Maddenin hareketindeki değişiklikler için (94.5)'e göre yazabiliriz.
maddenin enerji-moment tensörü nerede (elektromanyetik alan dahil). Yerçekimi etkileşimi yalnızca yeterince büyük kütleye sahip cisimler için rol oynar (yerçekimi sabitinin küçük olması nedeniyle). Bu nedenle yerçekimi alanını incelerken genellikle makroskobik cisimlerle uğraşmak zorundayız. Buna göre bunun için genellikle (94.9) ifadesini yazmamız gerekir.
Böylece, en az eylem ilkesinden şunu buluyoruz:
keyfilik nedeniyle nerede
veya karışık bileşenlerde
Bunlar yerçekimi alanının aranan denklemleridir - genel görelilik teorisinin temel denklemleri. Bunlara Einstein'ın denklemleri denir.
(95.6)'yı i ve k endeksleriyle basitleştirirsek şunu buluruz:
Bu nedenle alan denklemleri şu şekilde de yazılabilir:
Einstein'ın denklemleri doğrusal değildir. Bu nedenle süperpozisyon ilkesi çekim alanları için geçerli değildir. Bu prensip yalnızca Einstein'ın denklemlerinin doğrusallaştırılmasına izin veren zayıf alanlar için yaklaşık olarak geçerlidir (bunlar özellikle klasik Newton sınırındaki yerçekimi alanlarını içerir, bkz. § 99).
Boş uzayda yerçekimi alanının denklemleri denklemlere indirgenir
Bunun boş uzay-zamanın düz olduğu anlamına gelmediğini hatırlayalım; bu daha güçlü koşulların gerçekleşmesini gerektirir.
Elektromanyetik alanın enerji-momentum tensörü şu özelliğe sahiptir (bkz. (33.2)). (95.7)'nin ışığında, herhangi bir kütlesi olmayan yalnızca bir elektromanyetik alanın varlığında uzay-zamanın skaler eğriliğinin sıfır olduğu sonucu çıkar.
Bildiğimiz gibi enerji-momentum tensörünün farkı sıfırdır:
Bu nedenle denklemin (95.6) sol tarafının diverjansının da sıfıra eşit olması gerekir. Bu aslında özdeşlik nedeniyle doğrudur (92.10).
Dolayısıyla denklemler (95.10) esas olarak alan denklemlerinin (95.6) içinde yer almaktadır. Öte yandan, enerji ve momentumun korunumu yasalarını ifade eden denklemler (95.10), söz konusu enerji-moment tensörünün ait olduğu fiziksel sistemin hareket denklemlerini (yani, maddi parçacıkların hareket denklemlerini veya Maxwell denklemlerinin ikinci çifti).
Dolayısıyla yerçekimi alanının denklemleri, bu alanı oluşturan maddenin kendisine ait denklemleri de içerir. Bu nedenle çekim alanı oluşturan maddenin dağılımı ve hareketi keyfi olarak belirlenemez. Tam tersine, bu maddenin yarattığı alanla eş zamanlı olarak (alan denklemlerinin verilen başlangıç koşullarında çözülmesiyle) belirlenmeleri gerekir.
Bu durum ile elektromanyetik alan örneğinde yaşadıklarımız arasındaki temel farklılığa dikkat çekelim. Bu alanın denklemleri (Maxwell denklemleri) yalnızca toplam yükün korunumu denklemini (süreklilik denklemi) içerir, ancak yüklerin hareket denklemlerini içermez. Bu nedenle, toplam yük sabit olduğu sürece yüklerin dağılımı ve hareketi keyfi bir şekilde belirlenebilir. Yüklerin bu dağılımı belirlenerek, oluşturdukları elektromanyetik alan Maxwell denklemleri kullanılarak belirlenir.
Bununla birlikte, yerçekimi alanı durumunda maddenin dağılımını ve hareketini tam olarak belirlemek için, Einstein'ın denklemlerine (tabii ki içermiyorlar) durum denklemini eklemek gerektiği açıklığa kavuşturulmalıdır. madde, yani basınç ve yoğunluğu birbirine bağlayan denklem. Bu denklemin alan denklemleriyle birlikte belirtilmesi gerekir.
Dört koordinat keyfi dönüşüme tabi tutulabilir. Bu dönüşüm sayesinde tensörün on bileşeninden dördü isteğe bağlı olarak seçilebilmektedir. Bu nedenle, niceliklerden yalnızca altısı bağımsız bilinmeyen fonksiyonlardır.Ayrıca, 4-hızlı madde enerji-momentum tensörünün dört bileşeni birbiriyle ilişkiyle ilişkilidir, dolayısıyla bunlardan yalnızca üçü bağımsızdır. Böylece, beklendiği gibi, on bilinmeyen miktar için on alan denklemimiz (95.5) var: altısı bileşenlerden, üçü maddenin bileşenlerinden ve yoğunluğundan (veya basıncından). Boşluktaki bir yer çekimi alanı için yalnızca altı bilinmeyen miktar (bileşen) kalır ve bağımsız alan denklemlerinin sayısı buna göre azalır: on denklem dört özdeşlikle ilişkilidir (92.10).
Einstein'ın denklemlerinin yapısının bazı özelliklerine dikkat çekelim. İkinci dereceden kısmi diferansiyel denklem sistemini temsil ederler. Ancak denklemler 10 bileşenin tamamının ikinci zaman türevlerini içermemektedir. Aslında, (92.1)'den zamana göre ikinci türevlerin yalnızca eğrilik tensörünün bileşenlerinde yer aldığı açıktır, burada bir terim biçiminde girerler ('ye göre farklılaşmayı belirtiriz); metrik tensörün bileşenlerinin ikinci türevleri tamamen yoktur. Bu nedenle, eğrilik tensörünün basitleştirilmesiyle elde edilen tensörün ve onunla birlikte denklemlerin (95.5) yalnızca altı uzaysal bileşenin zamana göre ikinci türevlerini içerdiği açıktır.
Bu türevlerin sadece (95.6) denklemlerinde, yani denklemlerde göründüğünü görmek kolaydır.
(95,11)
Denklemler ve yani denklemler
zamana göre sadece birinci dereceden türevler içerir. Bu, değerlerin daraltılmasıyla oluşturulduğunda formun bileşenlerinin gerçekten kaybolduğunun kontrol edilmesiyle doğrulanabilir. Bunu kimlikten (92.10) formda yazarak görmek daha da kolaydır.
Bu eşitliğin sağ tarafında yer alan zamana göre en yüksek türevler ikinci türevlerdir (miktarların kendisinde görünür). (95.13) bir özdeşlik olduğundan, sol tarafının ikinci dereceden daha yüksek olmayan zaman türevleri içermesi gerekir. Ama bir fark var. zamanla zaten açıkça ortaya çıkıyor; bu nedenle ifadelerin kendisi zamana göre birinci dereceden daha yüksek olmayan türevler içerebilir.
Ayrıca denklemlerin (95.12) sol tarafları da birinci türevleri içermez (yalnızca türevleri içerir). Aslında, bu türevler yalnızca içerir ve bu miktarlar da yalnızca formun eğrilik tensörünün bileşenlerine dahil edilir, zaten bildiğimiz gibi, denklemlerin (95.12) sol tarafları eşitlendiğinde dışarıda kalırlar. oluşturulan.
Einstein'ın denklemlerini belirli başlangıç (zaman) koşulları altında çözmekle ilgileniyorsanız, o zaman başlangıç uzaysal dağılımlarına keyfi olarak kaç niceliğin verilebileceği sorusu ortaya çıkar.
İkinci dereceden denklemlerin başlangıç koşulları, hem türevlenebilir büyüklüklerin hem de bunların birinci türevlerinin zamana göre başlangıç dağılımlarını içermelidir. Ancak bu durumda denklemler yalnızca altının ikinci türevlerini içerdiğinden, bunların tümü başlangıç koşullarında keyfi olarak belirlenemez. Böylece, fonksiyonların başlangıç değerlerini (maddenin hızı ve yoğunluğu ile birlikte) ayarlayabilirsiniz ve ardından izin verilen başlangıç değerleri 4 denklemden (95.12) belirlenecektir; denklemlerde (95.11) başlangıç değerleri hala keyfi kalacaktır
TANIM
Einstein'ın denklemi Görelilik mekaniğinin aynı ünlü formülü, hareketsiz bir cismin kütlesi ile toplam enerjisi arasında bir bağlantı kurar:
İşte vücudun toplam enerjisi (sözde dinlenme enerjisi), boşluktaki ışıktır ve yaklaşık olarak m/s'ye eşittir.
Einstein'ın denklemi
Einstein'ın formülü kütle ve enerjinin birbirine eşdeğer olduğunu belirtir. Bu, herhangi bir cismin kütlesiyle orantılı dinlenme enerjisine sahip olduğu anlamına gelir. Bir zamanlar doğa bu bedeni bir araya getirmek için enerji harcadı. temel parçacıklar madde ve dinlenme enerjisi bu işin bir ölçüsü olarak hizmet eder.
Aslında bir cismin iç enerjisi değiştiğinde, kütlesi de enerjideki değişimle orantılı olarak değişir:
Örneğin bir cisim ısıtıldığında iç enerjisi artar ve kütlesi artar. Doğru, bu değişiklikler o kadar küçük ki Gündelik Yaşam biz onları fark etmiyoruz: 1 kg su ısıtıldığında 4,7 10 -12 kg daha ağırlaşacaktır.
Ayrıca kütle enerjiye dönüştürülebilir ve bunun tersi de geçerlidir. Kütlenin enerjiye dönüşümü şu şekilde gerçekleşir: Nükleer reaksiyon: Reaksiyon sonucu oluşan çekirdek ve parçacıkların kütlesi, çarpışan çekirdek ve parçacıkların kütlesinden daha azdır ve ortaya çıkan kütle kusuru enerjiye dönüşür. Fotonun doğumu sırasında ise birçok foton (enerji), tamamen maddesel ve durgun bir kütleye sahip olan bir elektrona dönüşür.
Hareket eden bir cisim için Einstein'ın denklemi
Hareket eden bir cisim için Einstein'ın denklemleri şöyle görünür:
Bu formülde v, vücudun hareket etme hızıdır.
Son formülden birkaç önemli sonuç çıkarılabilir:
1) Her cismin sıfırdan büyük belirli bir enerjisi vardır. Bu yüzden title="QuickLaTeX.com tarafından oluşturulmuştur" height="34" width="102" style="vertical-align: -11px;"> !}, bu v anlamına gelir
2) Bazı parçacıkların (örneğin fotonların) kütlesi yoktur ancak enerjileri vardır. Son formülü yerine koyarken, tek bir "ama" olmasa bile gerçekliğe karşılık gelmeyen bir şey elde ederiz: bu parçacıklar ışık c = 3 10 8 m/s hızında hareket eder. Bu durumda Einstein'ın formülünün paydası sıfıra düşer: kütlesiz parçacıkların enerjisini hesaplamak için uygun değildir.
Einstein'ın formülü, maddenin muazzam bir enerji kaynağı içerdiğini ve dolayısıyla nükleer enerjinin gelişmesinde paha biçilemez bir rol oynadığını ve ayrıca askeri sanayi atom bombası.
Problem çözme örnekleri
ÖRNEK 1
| Egzersiz yapmak | -meson'un durgun kütlesi kg'dır ve 0,8 s hızla hareket eder. Nedir? |
| Çözüm | -meson'un hızını SI birimlerinde bulalım: Mezonun geri kalan enerjisini Einstein'ın formülünü kullanarak hesaplayalım: Mezonun toplam enerjisi: -Mezonun toplam enerjisi dinlenme enerjisi ve kinetik enerjiden oluşur. Bu nedenle kinetik enerji: |
| Cevap | J |
Bunu her yerde gördünüz: kıyafetlerde, çantalarda, arabalarda, dövmeli insanlarda, internette, TV reklamlarında. Belki bir ders kitabında bile olabilir. Stephen Hawking kitabında sadece buna, tek şeye yer verdi ve bir pop şarkıcısı da albümüne bu formülle isim verdi. Acaba aynı zamanda formülün anlamını da biliyor muydu? Genel olarak bu bizim işimiz olmasa da ve daha sonra konuşacağımız şey bu değil.
Anlayacağınız üzere aşağıda Einstein'ın en destansı ve ünlü formülünden bahsedeceğiz:
Bu muhtemelen en popüler olanıdır fiziksel formül. Peki anlamı nedir? Zaten biliyorum? Harika! Daha sonra, çeşitli sorunların çözümünde gerçekten yararlı olabilecek, daha az bilinen, ancak daha az yararlı olmayan diğer formülleri tanımanızı öneririz.
Ve Einstein'ın formülünün anlamını ders kitaplarını karıştırmadan hızlı bir şekilde öğrenmek isteyenler için yazımıza hoş geldiniz!
Einstein'ın formülü en ünlü formüldür
İlginçtir ki Einstein başarılı bir öğrenci değildi ve hatta yeterlilik sertifikasını alırken bile sorunlar yaşadı. Görelilik teorisini nasıl ortaya çıkardığı sorulduğunda fizikçi şu cevabı verdi: "Normal bir yetişkin uzay ve zaman problemini hiç düşünmez. Ona göre bu problemi çocuklukta zaten düşünmüştür. Ben Entelektüel olarak o kadar yavaş gelişti ki uzay ve "Yetişkin olduğumda düşüncelerim zamanımı işgal etti. Doğal olarak normal eğilimleri olan bir çocuğa göre problemin derinliklerine inebildim."
1905 yılı mucizeler yılı olarak adlandırılıyor, çünkü bilimsel devrimin temelleri o zaman atılmıştı.
Einstein'ın formülünde ne var?
Formüle dönelim. Sadece üç harfi var: e , M Ve C . Keşke hayatta her şey bu kadar basit olsaydı!
Her altıncı sınıf öğrencisi şunu zaten biliyor:
- M- bu kütle. Newton mekaniğinde - skaler ve toplamsal bir fiziksel miktar, bir cismin eylemsizliğinin bir ölçüsü.
- İle Einstein'ın formülünde ışık hızı. Dünyadaki mümkün olan maksimum hız, temel bir fiziksel sabit olarak kabul edilir. Işığın hızı saniyede 300.000 (yaklaşık) kilometredir.
- e – enerji. Maddenin etkileşimi ve hareketinin temel ölçüsü. Bu formül kinetik veya potansiyel enerji. Burada e - Vücudun dinlenme enerjisi.
Newton'un görelilik mekaniği teorisinde şunu anlamak önemlidir: özel durum. Bir vücut yakın bir hızla hareket ettiğinde İle , kütle değişir. Formülde M dinlenme kütlesini ifade eder.
Dolayısıyla formül bu üç miktarı birbirine bağlar ve aynı zamanda kütle ve enerjinin denkliği yasası veya ilkesi olarak da adlandırılır.
Kütle, bir cismin enerji içeriğinin bir ölçüsüdür.
Einstein'ın formülünün anlamı: Enerji ve kütle arasındaki bağlantı
Nasıl çalışır? Örneğin: Bir kurbağa güneşin tadını çıkarıyor, bikinili kızlar voleybol oynuyor, her yerde güzellik var. Bütün bunlar neden oluyor? Her şeyden önce Güneşimizin içinde meydana gelen termonükleer füzyon nedeniyle.
Orada hidrojen atomları birleşerek helyumu oluşturur. Aynı reaksiyonlar veya daha ağır elementlerle reaksiyonlar diğer yıldızlarda da meydana gelir, ancak özü aynı kalır. Reaksiyon sonucunda bize ışık, ısı şeklinde uçan enerji açığa çıkar. morötesi radyasyon ve kozmik ışınlar.
Bu enerji nereden geliyor? Gerçek şu ki, reaksiyona giren iki hidrojen atomunun kütlesi, ortaya çıkan helyum atomunun kütlesinden daha fazladır. Bu kütle farkı enerjiye dönüşüyor!
Bu arada! Okuyucularımız için şimdi %10 indirim var.
Başka bir örnek, bir nükleer reaktörün çalışma mekanizmasıdır.
Güneş'teki termonükleer füzyon kontrol edilemez. İnsanlar Dünya'da bu tür sentezlerde zaten ustalaştılar ve hidrojen bombası. Eğer reaksiyonu yavaşlatabilir ve kontrollü nükleer füzyon gerçekleştirebilirsek, neredeyse tükenmez bir enerji kaynağına sahip oluruz.
Madde ve enerji hakkında
Böylece formülün anlamını öğrendik ve kütle ile enerjinin denkliği ilkesinden bahsettik.
Kütle enerjiye dönüştürülebilir ve enerji bir miktar kütleye karşılık gelir.
Aynı zamanda madde ve enerji kavramlarını karıştırmamak ve bunların farklı şeyler olduğunu anlamak önemlidir.
Doğanın temel kanunu enerjinin korunumu kanunudur. Enerjinin hiçbir yerden gelmediğini ve hiçbir yere gitmediğini, Evrendeki miktarının sabit olduğunu, yalnızca biçiminin değiştiğini söylüyor. Kütlenin korunumu yasası, enerjinin korunumu yasasının özel bir durumudur.
Enerji nedir ve madde nedir? Olaya bir de bu taraftan bakalım: Bir parçacık ışık hızına yakın bir hızla hareket ettiğinde radyasyon yani enerji olarak kabul edilir. Durgun veya yavaş hızla hareket eden parçacık madde olarak tanımlanır.
şu anda Büyük patlama madde yoktu, yalnızca enerji vardı. Sonra Evren soğudu ve enerjinin bir kısmı maddeye geçti.
Maddede ne kadar enerji bulunur? Bir cismin kütlesini bildiğimizde, bu cismin enerjisinin ne olduğunu Einstein'ın formülüne göre hesaplayabiliriz. Işığın hızının kendisi oldukça büyük bir miktardır ve karesi daha da fazladır. Bu, çok küçük bir madde parçasının çok büyük enerji içerdiği anlamına gelir. Nükleer enerji bunun kanıtıdır.
Bir nükleer yakıt peletinin (nükleer santrallerde zenginleştirilmiş uranyum kullanılır) ağırlığı 4,5 gramdır. Ama 400 kilo kömürün yakılmasıyla elde edilen enerjiye eşdeğer enerji sağlıyor. Verimlilik iyi, değil mi?
Yani fiziğin en ünlü formülü, maddenin enerjiye dönüştürülebileceğini ve bunun tersinin de mümkün olduğunu söylüyor. Enerji hiçbir yerde kaybolmaz, yalnızca biçim değiştirir.
Einstein'ın formülünün türetilmesini vermeyeceğiz - orada bizi çok daha karmaşık formüller bekliyor ve bunlar acemi bilim adamlarını bilime olan ilgiden caydırabilir. Öğrenci hizmetlerimiz çalışmalarınızla ilgili sorunların çözümünde yardım sağlamaya hazırdır. Uzmanlarımızın yardımıyla enerji ve güçten tasarruf edin!