Матричный анализ учебного плана. Матричные методы стратегического анализа. Классификация и внедрение Матричный анализ

Второй подход к анализу сетей Петри основан на матричном представлении сетей Петри. Альтернативным по отношению к определению сети Петри в виде (Р, Т, I, О) является определение двух матриц D - и D + , представляющих входную и выходную функции. Каждая матрица имеет m строк (по одной на переход) и n столбцов (по одному на позицию). Определим D - = #(p i , I(t j)), a D + = #(p i , O(t j)). D - определяет входы в переходы, D + - выходы.

Матричная форма определения сети Петри (Р, Т, D - , D +) эквивалентна стандартной форме, используемой нами, но позволяет дать определения в терминах векторов и матриц. Пусть e[j] - m-вектор, содержащий нули везде, за исключением j-й компоненты, равной единице. Переход t j представляется m-вектором-строкой е[j].

Теперь переход t j в маркировке µ разрешен, если µ > e[j] D - , а результат запуска перехода t j в маркировке µ, записывается как:

δ(t j) = µ - e[j] D - + e[j] D + = µ + e[j] D

где D = D + - D - - составная матрица изменений.

Тогда для последовательности запуска переходов σ = t j 1 , t j 2 , … , t jk имеем:

δ(σ) = µ + e D + e D + … + e D =

= µ + (e + e + … + e)D = µ + f(σ) D

Вектор f(σ) = e + e + ... + e называется вектором запусков последовательности σ = t j 1 , t j 2 , … , t jk , f(σ) j p - это число запусков перехода t p в последовательности t j 1 , t j 2 , … , t jk . Вектор запусков f(σ), следовательно, является вектором с неотрицательными целыми компонентами. (Вектор f(σ) - это отображение Париха последовательности σ = t j 1 , t j 2 , … , t jk).

Для того чтобы показать полезность такого матричного подхода к сетям Петри, рассмотрим, например, задачу сохранения: является ли данная маркированная сеть Петри сохраняющей? Для того чтобы показать сохранение, необходимо найти (ненулевой) вектор взвешивания, для которого взвешенная сумма по всем достижимым маркировкам постоянна.

Пусть w = (w 1 ,w 2 , … , w n) - вектор-столбец. Тогда, если µ - начальная маркировка, а µ" - произвольная достижимая маркировка, т.е. µ" принадлежит R(C,µ), необходимо, чтобы µ w = µ" w. Теперь, поскольку µ" достижима, существует последовательность запусков переходов σ = t j 1 , t j 2 , … , t jk , которая переводит сеть из µ в µ". Поэтому

µ" = µ + f(σ) D

Следовательно,

µ w = µ" w = (µ + f(σ) D) w = µ w + f(σ) D w, поэтому f(σ) D w = 0.

Поскольку это должно быть верно для всех f(σ) , имеем D w = 0.

Таким образом, сеть Петри является сохраняющей тогда и только тогда, когда существует такой положительный вектор w, что D w = 0.

Это обеспечивает простой алгоритм проверки сохранения, а также позволяет получать вектор взвешивания w.

Развитая матричная теория сетей Петри является инструментом для решения проблемы достижимости. Предположим, что маркировка µ" достижима из маркировки µ. Тогда существует последовательность (возможно, пустая) запусков переходов σ, которая приводит из µ к µ". Это означает, что f(σ) является неотрицательным целым решением следующего матричного уравнения для х:

µ" = µ + x D

Следовательно, если µ" достижима из µ, тогда данное уравнение имеет решение в неотрицательных целых; если данное уравнение не имеет решения, тогда µ" недостижима из µ.

Рассмотрим, например, маркированную сеть Петри, изображенную на рис.1:

Рис. 1. Сеть Петри, иллюстрирующая метод анализа, основанный на матричных уравнениях

Матрицы D - и D + имеют вид:

t 1 t 2 t 3 t 1 t 2 t 3

p 1 1 0 0 p 1 1 0 0

D - = p 2 1 0 0 D + = p 2 0 2 0

p 3 1 0 1 p 3 0 1 0

p 4 0 1 0 p 4 0 0 1

а матрица D:

В начальной маркировке µ = (1, 0, 1, 0) переход t 3 разрешен и приводит к маркировке µ" = (1, 0, 0,1).

µ" = µ + e D = (1, 0, 1, 0) + (0, 0, 1) D =

= (1, 0, 1, 0) + (0, 0, -1, 1) = (1, 0, 0, 1).

Последовательность σ = t 3 , t 2 , t 3 , t 2 , t 1 представляется вектором запусков f(σ) = (1, 2, 2) и получает маркировку µ":

µ" = (1, 0, 1, 0) + (1, 2, 2) D = (1, 0, 1, 0) + (0, 3, -1, 0) = (1, 3, 0, 0)

Для определения того, является ли маркировка (1, 8, 0, 1) достижимой из маркировки (1,0, 1, 0), имеем уравнение:

(1, 8, 0, 1) = (1, 0, 1,0)+ x D

которое имеет решение х = (0, 4, 5). Это соответствует последовательности σ = t 3 , t 2 , t 3 , t 2 , t 3 , t 2 , t 3 , t 2 , t 3

(1, 7,0, 1)=(1, 0, 1, 0) + x D

не имеет решения.

Матричный подход к анализу сетей Петри очень перспективен, но имеет и некоторые трудности. Заметим прежде всего, что матрица D сама по себе не полностью отражает структуру сети Петри. Переходы, имеющие как входы, так и выходы из одной позиции (петли), представляются соответствующими элементами матриц D + и D - , но затем взаимно уничтожаются в матрице D = D + - D - . Это отражено в предыдущем примере позицией p 4 , и переходом t 3 .

Другая проблема - это отсутствие информации о последовательности в векторе запуска. Рассмотрим сеть Петри на рис. 2. Предположим, мы хотим определить, является ли маркировка (0, 0, 0, 0, 1) достижимой из (1, 0, 0, 0, 0). Тогда имеем уравнение

(1, 0, 0, 0, 0)=(0, 0, 0, 0, 1) + x D

Рис. 2. Другая сеть Петри, служащая для иллюстрации матричного анализа

Это уравнение не имеет однозначного решения, но сводится к множеству решений {a\f(o) = (1, х 2 , х 6 - 1, 2х 6 , х е - 1, х 6)}. Оно определяет взаимосвязь между запусками переходов. Если положим х 6 = 1 и х 2 = 1, то /(о) = (1, 1, 0, 2, 0, 1), но этому вектору запуска соответствуют как последовательность 44444. так и п0- следовательность 44444- Следовательно, хотя и известно число запусков переходов, порядок их запуска неизвестен.

Еще одна трудность заключается в том, что решение уравнения является необходимым для достижимости, но недостаточным. Рассмотрим простую сеть Петри, приведенную на рис. 3. Если мы хотим определить, является ли (0, 0, 0, 1) достижимым из (1, 0, 0, 0), необходимо решить уравнение

Рис. 3. Сеть Петри, показывающая, что решение матричного уравнения- необходимое, но недостаточное условие для решения задачи достижимости

Это уравнение имеет решение /(а) = (1, 1), соответствующее двум последовательностям: tit 2 и / 3 / t . Но ни одна из этих двух последовательностей переходов невозможна, поскольку в (1,0, 0, 0) ни t it ни 4 не разрешены. Таким образом, решения уравнения недостаточно для доказательства достижимости.

Контрольные вопросы и задания

1. Постройте граф сети Петри для следующей сети Петри:

P={p 1 ,p 2 ,p 3 ,p 4 }, T={t 1 ,t 2 ,t 3 ,t 4 ,t 5 },

I(t 1)={}, O(t 1)={p 1 },

I(t 2)={p 1 }, O(t 2)={p 2 },

I(t 3)={p 2 ,p 2 ,p 4 }, O(t 3)={p 1 ,p 3 },

I(t 4)={}, O(t 4)={p 3 },

I(t 5)={p 3 }, O(t 5)={p 4 ,p 4 }.

2. Постройте граф сети Петри для следующей сети Петри:

P={p 1 ,p 2 ,p 3 ,p 4 }, T={t 1 ,t 2 ,t 3 ,t 4 },

I(t 1)={}, O(t 1)={p 1 ,p 1 ,p 1 ,p 1 ,p 2 },

I(t 2)={p 2 }, O(t 2)={ p 1 ,p 1 p 1 ,p 1 ,p 1 ,p 1 ,p 3 },

I(t 3)={p 1 ,p 1 ,p 1 ,p 1 ,p 1 ,p 1 }, O(t 3)={ p 2 ,p 2 p 2 ,p 2 p 4 ,p 4 },

I(t 4)={ p 2 ,p 3 p 4 ,p 4 }, O(t 4)={p 3 }.

3. Для сети Петри из упр.1 для маркировки m=(5,4,0,0) указать разрешенные переходы.

4. Для сети Петри из упр.2 для маркировки m=(7,12,2,1) указать разрешенные переходы.

5. Покажите, что ÈR(C,m)=N n , где mÎN n .

6. Докажите, что если m‘Î R(C,m), то R(C,m‘)Í R(C,m).

7. Докажите, что m‘Î R(C,m) тогда и только тогда, когда R(C,m‘)Í R(C,m).

8. Постройте множество достижимости для сети Петри из упр.1.

9. Постройте множество достижимости для сети Петри из упр.2.

10. Сети Петри со своими фишками и правилами запусков во многом напоминают игры, имеющие игровое поле: шашки, нарды, ним, го и др. Можно придумать игру для одного - четырех человек, состоящую из игрового поля (в качестве поля используется сеть Петри) и набора фишек. Фишки распределены по позициям сети Петри, и игроки по очереди выбирают разрешенные переходы и запускают их. Определите правила игры, предусматривающие следующее:

a Как определено начальное расположение фишек? (Например, каждый игрок начинает игру, имея одну фишку в домике или каждый игрок получает n фишек на всем поле по желанию и т.д.).

b Какова цель игры? (Захватить фишки своего противника; получить наибольшее количество фишек; как можно скорее избавиться от своих фишек и т.д.).

c Не нужно ли раскрасить фишки для разных игроков? (В соответствии с этим определите правила запуска переходов).

d Не стоит ли присвоить очки различным переходам? (Тогда очки игрока определяются суммой переходов, запущенных им).

На основе этого опишите игру, приведите пример игры.

11. Разработайте программу, которая реализует игру из упр.10, где в качестве вашего противника выступает компьютер для заданной сети Петри.

12. Постройте систему моделирования для выполнения сети Петри. Запуск разрешенных переходов задается пользователем системы моделирования.

13.Мудрецы сидят за большим круглым столом, на котором много блюд китайской кухни. Между соседями лежит одна палочка для еды. Однако для приема китайской пищи необходимы две палочки, следовательно, каждый мудрец должен взять палочки справа и слева. Проблема заключается в том, что если все мудрецы возьмут палочки слева и затем будут ждать, когда освободятся палочки с правой стороны, то они будут ждать вечно и умрут от голода (состояние тупика). Необходимо построить такую сеть Петри, которая задает стратегию проведения обеда и не имеет тупиков.

14.Построить сеть Петри, представляющую конечный автомат, вычисляющий дополнение до двух двоичного числа.

15.Построить сеть Петри, представляющую конечный автомат для определения четности входного двоичного числа.

16.Построить сеть Петри, представляющую конечный автомат, который определяет триггер со счетным входом.

17.Построить сеть Петри, представляющую конечный автомат, который определяет триггер с раздельными входами.

18.Разработать алгоритм моделирования блок-схем сетью Петри.

19.PERT-диаграмма является графическим представлением взаимосвязей между различными этапами, составляющими проект. Проект представляет собой совокупность большого числа работ, при этом работы должны завершиться прежде, чем начнут выполняться другие. Кроме того, на выполнение каждой работы требуется определенное количество времени. Работы графически представляются вершинами, а дуги используются для отображения причинно-следственных связей между ними. PETR - диаграмма есть направленный граф со взвешенными дугами. Задача состоит в том, чтобы определить минимальное время выполнения проекта. Разработать алгоритм моделирования PERT-диаграмм с помощью сетей Петри.

20.Разработайте модель, основанную на сетях Петри, для моделирования химических реакций.

21.Рассмотрите построение не дерева, а графа достижимости. Если вершина x порождает последующую вершину z с m[z]=m[y] для некоторой неграничной вершины y, вводится помеченная соответствующим образом дуга от x к y. Опишите алгоритм построения графа достижимости.

22.Покажите, что алгоритм построения графа достижимости сходится, и исследуйте его свойства, сравнивая его с алгоритмом построения дерева достижимости.

23.Дерево достижимости нельзя использовать для решения проблемы достижимости, т.к. теряется информация в связи с введением понятия символа w. Он вводится, когда приходим к маркировке m‘ и на пути от корня к m‘ имеется такая маркировка m, что m‘>m. В этом случае можно получить все маркировки вида m+n(m‘-m). Исследуйте возможность использования выражения a+bn i вместо w, для того чтобы представить значения компонент. Если вы сможете определить дерево достижимости, в котором все векторы маркировок представляются выражениями, тогда решение задачи достижимости определяется просто решением системы уравнений.

24.Обобщите определение сохранения, разрешая отрицательные веса.Что можно было бы считать разумной интерпретацией отрицательного веса? Является ли разрешимой задача определения сохранения сети Петри, если разрешены отрицательные веса?

25.Разработайте с помощью матричного подхода к анализу алгоритм определения ограниченности сети Петри.

26.Разработайте алгоритм решения задачи равенства двух сетей Петри. Сеть Петри C 1 =(P 1 ,T 1 ,I 1 ,O 1) с маркировкой m 1 равна сети Петри C 2 =(P 2 ,T 2 ,I 2 ,O 2) с маркировкой m 2 , если R(C 1 ,m 1)= R(C 2 ,m 2).

27.Разработайте алгоритм решения задачи подмножества двух сетей Петри. Сеть Петри C 1 =(P 2 ,T 2 ,I 2 ,O 2) с маркировкой m 2 есть подмножество сети Петри C 1 =(P 1 ,T 1 ,I 1 ,O 1) с маркировкой m 1 , если R(C 1 ,m 1)Í R(C 2 ,m 2).

28.Разработайте алгоритм решения задачи достижимости. В сети Петри C=(P,T,I,O) с маркировкой m маркировка m‘ достижима из m, если m‘ÎR(C,m).

29.Разработайте алгоритм задачи достижимости подмаркировки. Для подмножества P’ Í P и маркировки m‘ существует ли m‘’ÎR(C,m), такая, что m‘’(p i)=m‘(p i) для всех p i ÎP’?.

30.Разработайте алгоритм задачи достижимости нуля. Выполняется ли m‘ÎR(C,m), где m‘(p i)=0 для всех p i ÎP?

31.Разработайте алгоритм задачи достижимости нуля в одной позиции. Для данной позиции p i ÎP существует ли m‘ÎR(C,m) с m‘(p i)=0?

32.Разработайте алгоритм решения задачи активности сети Петри. Активны ли все переходы t j ÎT?

33.Разработайте алгоритм решения задачи активности одного перехода. Активен ли данный переход t j ÎT?

34.Сеть Петри называется обратимой, если для каждого перехода t j ÎT найдется переход t k ÎT, такой, что

#(p i ,I(t j))=#(p i ,O(t k)), #(p i ,O(t j))=#(p i ,I(t k)),

т.е. для каждого перехода существует другой переход с обратными входами и выходами. Разработайте алгоритм решения задачи достижимости для обратимых сетей Петри.

35. Разработайте алгоритм решения задачи равенства для обратимых сетей Петри.

36.Задача о курильщиках. Каждый из трех курильщиков непрерывно изготавливает сигарету и курит ее. Чтобы сделать сигарету, необходимы табак, бумага и спички. Один из курильщиков всегда имеет бумагу, другой - спички, третий - табак. Агент обладает бесконечными запасами бумаги, спичек и табака. Агент кладет две составные части на стол. Курильщик, имеющий третий недостающий ингредиент, может сделать и закурить сигарету, сигнализируя об этом агенту. Тогда агент помещает другие два из трех ингредиентов, и цикл повторяется. Предложите активную сеть Петри, которая моделирует задачу о курильщиках.

37. Автоматная сеть Петри - это сеть Петри, в которой каждый переход может иметь точно один выход и один вход,т.е. для всех t j ÎT ½I(t j)½=1 и ½O(t j)½=1. Разработайте алгоритм построения конечного автомата, который эквивалентен заданной автоматной сети Петри.

38. Маркированный граф есть сеть Петри, в которой каждая позиция является входом для точно одного перехода и выходом точно одного перехода,т.е. для каждого перехода p i ÎP ½I(p i)½=1 и ½O(p i)½=1. Разработайте алгоритм решения задачи достижимости для маркированных графов.

39.Рассмотрите класс сетей Петри, которые являются и маркированными графами, и автоматными сетями Петри.

40.Постройте сеть Петри, моделирующую системы, описанные в приложении 8. Опишите события, происходящие в системе, и условия, которые описывают систему. Постройте дерево достижимости построенной сети Петри. Опишите состояния, в которых может находиться система.

УДК 681.51.011

МАТРИЧНЫЙ АНАЛИЗ В СИСТЕМЕ УПРАВЛЕНИЯ ПРЕДПРИЯТИЕМ

ООО «Самара - АвиаГаз»

Самарский государственный аэрокосмический университет

В работе анализируются различные способы применения матриц в управлении предприятием. Отношение (связь) между элементами двух и более множеств может быть представлена в матричной форме. Композиция отношений позволяет упростить анализ связей между элементами множеств. Приведен пример использования матриц приоритетов в системе управления предприятием.

Матрицы, как инструмент анализа, уже давно применяются в системе управления предприятия. Достаточно назвать такие инструменты качества как матричные диаграммы, матрицы приоритетов, матричный анализ в Развертывании Функции Качества .

1. Применение матриц в управлении обусловлено тем, что практически любое предприятие характеризуется большим набором объектов (различное оборудование, подразделения, поставщики, потребители), и связи между ними трудно описать зависимостями типа у = f (х) . Реальные связи многомерны и неявны. Матрицы же позволяют в достаточно наглядной форме идентифицировать такие связи и проводить их анализ. В задаче формирования производственной структуры предприятия может быть использована матрица взаимосвязей групп деталей В = ], где ^ - численность об-

щего оборудования, применяемого при обработке 1 - ой и ] - ой деталей, в маркетинговых исследованиях используется матрица технического уровня и = \и^], где

и у - технический уровень 1 - ого предприятия на ] - ом рынке и матрица цен .

С позиций математики задание матрицы может интерпретироваться как задание отношения (связи) между объектами двух множеств. Элемент матрицы в этом случае может означать как связь объектов (типа «да» или «нет»), так и силу связи, выраженную числом. В случае трех и более множеств можно строить многомерные отношения и, соответственно, многомерные матрицы. Однако при таком подходе теряется наглядность и простота интерпретации. Сложность анализа многомерных отноше-

ний можно преодолеть с помощью композиции отношений .

2. Допустим, что предприятие имеет поставщиков Пь П2,...П5, которые поставляют материалы (детали, узлы, комплектующие) Мі, М2, М3. Из этих материалов предприятие изготавливает изделия Иь И2,...И, для заказчиков (потребителей) Зі, З2,...З5. Для указанных множеств можно составить матрицы связей. Пусть, например, установлены связи между поставщиками и материалами, которые они поставляют (таблица 1), изделиями и необходимыми материалами (таблица 2), заказчиками и изделиями (таблица 3). Знаком « х » обозначена связь объектов двух множеств.

Таблица 1. Матрица связей между поставщиками

и поставляемыми материалами (П М)

ПМ Пі П2 Пз П4 П5

Таблица 2. Матрица связей между изделиями и материалами (ИМ)

ИМ Мі М2 Мз

Таблица 3. Матрица связей между заказчиками и изделиями (ЗИ)

ЗИ Иі И2 Из Из

Используя композицию отношений, заданных матрицами ПМ, ИМ и ЗИ, нетрудно составить матрицу отношения ПЗ. Матрица ПЗ (таблица 4) показывает связи, устанавливаемые предприятием, между поставщиками П и заказчиками З^ Так, например, взаимодействие заказчика З3 с предприятием происходит по изделию И3, для которого необходимы материалы М! и М3, поставляемые Пь П3 и П5.

Таблица 4. Матрица связей между поставщика-

Подробное расписывание технологических процессов (продуктовых линий) с помощью матриц связей упрощает определение добавленной ценности для заказчика, прибыли предприятия и его потерь.

3. Построение системы менеджмента качества предприятия связано с выделением сети процессов. Распределение процессов по подразделениям предприятия, выполнение требований стандарта, например, ИСО 9001 -2000 может проводиться с помощью матриц. Допустим, выделены процессы: заключение контрактов, управление документацией СМК, внутренний аудит, закупки, изготовление, мониторинг удовлетворенности потребителя, а предприятие имеет подразделения: отдел маркетинга, отдел закупок, отдел главного конструктора, отдел главного технолога, производство, отдел гарантийного сопровождения. По результатам обсуждения с представителями подразделений можно составить матрицу ПП (таблица 5). С другой стороны, выделенные процессы должны покрывать требования стандарта, например, ИСО 9001-2000. Связь процессов с ИСО 9001-2000 приводит к матрице ТП (таблица 6).

Используя композицию отношений, получим матрицу ИСО (таблица 7).

ми и заказчиками (ПЗ)

ПЗ Зі 32 Зз 34 35

Таблица 5. Матрица связей процессов и подразделений (ПП)

Матрица ПП Отдел марке- тинга Отдел закупок Отдел главного конструктора Отдел главно -го технолога Произ- водство Отдел гар ан-тийного сопровождения

Заключение контрактов X X

Внутренний аудит X

Закупки X

Изготовление X

Таблица 6. Связь процессов с ИСО 9001-2000

Матрица ТП Системы менедж- мента качества Ответствен- ность руководства Менедж- мент ресурсов Процессы жизненного цикла продукции Измерение, анализ и улучшение

Заключение контрактов X

Управление документацией СМК X X

Внутренний аудит X X

Закупки X

Изготовление X X X

Мониторинг удовлетворенности потребителя X

Матрица ИСО отдел мар ке-тинга отдел закупок отдел гл. конструктора отдел гл. технолога Произ- водство отдел гарантийного сопровождения

Системы менеждмента качества X X

Ответственность ру ководства X X X

М енеджмент р есур сов X

Процессы жизненного цикла пр одукции X X X

Измерение, анализ и улучшение X X

Очевидно, что при таком распределении требований ИСО можно ожидать несоответствия по разделу 5 «Ответственность руководства», так как политика в области качества относится к компетенции высшего ру ководства.

4. Разворачивание каждого элемента матрицы связи, например, «Ответственность руководства - отдел маркетинга» может быть с помощью матрицы приоритетов, лежащей в основе метода анализа иерархий . Требования стандартов ИСО серии 9000-2000 устанавливают область и глубину нормативно - технической документации, необходимой для функционирования СМК предприятия. Одним из обязательных доку -ментов СМК предприятия является политика и цели в области качества. Цели предприятия формулируются в различных областях: финансы, рынок, конкуренция

(бенчмаркинг), удовлетворенность Потребителя, улучшение показателей продукции и процессов. Цели всей организации должны быть спроецированы (развернуты, разложены) на её подразделения, для того, чтобы персонал осознавал свою причастность и ответственность за достижение той или иной цели всей организации.

Планирование, выбор целей, оптимизация поведения в конкурентной среде всегда на определенном этапе требуют принятия решения. Практически очевидным стал тот факт, что социальные процессы, в частности, процессы управления плохо формализуются в рамках классической ма-

тематики. Достаточно эффективным в этом случае может оказаться метод анализа ие-р ар хий.

В основе метода анализа иерархий лежит так называемая матрица приоритетов. Допустим, что поставлена задача сравнения факторов, влияющих на выбранный объект. Как правило, количество влияющих факторов достаточно велико, точные зависимости неизвестны, математическую формализацию задачи выполнить практически невозможно. Эксперт также испытывает трудности при оценке влияния факторов на объект. Удивительно, но задача решается легче, если проводить попарное сравнение влияния факторов на объект. (Суть в том, что трудно ответить на вопрос, сколько весит А, гораздо проще решить, что тяжелее: А или В)

Для аналитического планирования развития предприятия необходимо описать начальное состояние (положение «как есть»), целевое состояние (цели) и средства, позволяющие связать эти состояния. Ниже приведен пример применения метода анализа иерархий, в качестве объекта выбрана цель из политики по качеству «Устойчивый рост прибыли предприятия» и выделены некоторые факторы, влияющие на цель (таблица 8).

Специалистами - экспертами предприятия были составлены матрицы приоритетов по выбранным критериям (пример приведен в таблице 9).

Менеджмент Материально - техническое снабжение

Планиров ание, закупки,

Инвестиции, отношения с поставщиками,

Р еклама, входной контроль,

Отпу скные це ны, контр оль р есур сов.

Маркетинговая стратегия. Персонал и Разработки

Производ ство квалификация,

Соблюдение сроков, подготов ка пер сонал а,

Технология, мотивация персонала,

Качество, тв ор ческий поте нц иал,

Организация производства, контроль затрат. планир ование новых р азр аботок

Т аблица 9. Пример матрицы «Производство»

Производство Соблюдение сроков поставки пр одукции Т ехнология Качество Организация производства Контр оль затрат

Соблюдение сроков поставки пр одукции 1 5 1 3 3

Т ехнология 1/5 1 3 1 3

Качество 1 1/3 1 3 1

Организация производства 1/3 1 1/3 1 1

Контроль затрат 1/3 1/3 1 1 1

Шкала отношений и заполнение таблиц 1 - равнозначность факторов, 3 - доминирование одного фактора над другим фактором,

5 - сильное доминирование одного фактора над другим фактором, 2,4 - возможные промежуточные значения.

Математическая обработка матриц состояла в нахождении вектора приоритетов, как собственного вектора, соответствующего максимальному собственному числу. В качестве примера ниже приведены результаты обработки оценок эксперта N (таблица 10). В столбцах указаны компоненты вектора приоритетов по различным факторам, например, по критерию «Менеджмент»

приоритет отдан инвестициям.

На рис. 1. приведены результаты вычислений приоритетов экспертов по указанным выше критериям. Достижение цели связывается с инвестициями, качеством,

планированием новых разработок и контролем ресурсов.

Таблица 10. Результаты обработки оценок эксперта N

Цель - Устойчивый рост прибыли предприятия

Менед- жмент Произ- водство Мат - тех снабжение Персонал и разработки

0,1084 0,3268 0,3072 0,1625

0,4198 0,1280 0,2059 0,0773

0,1084 0,2829 0,1552 0,1007

0,2356 0,1002 0,3316 0,2080

0,1279 0,1621 0,4516

Менеджмент

Производство

S & I ^ TO о i_ CO

Персонал и Разработки

Рис. 1. Результаты вычислений приоритетов экспертов

Знание распределения приоритетов по выбранным критериям позволяет высшему менеджменту предприятия проводить обоснованную политику для достижения поставленной цели.

Список литературы

1. Глудкин О.П., Горбунов НМ., Гуров А.И., Зорин Ю.В. Всеобщее Управление Качеством. - М.: Радио и связь, 1999.

2. Кузин Б., Юрьев В., Шахдинаров Г. Методы и модели управления фирмой. -СПб: Питер, 2001.

3. Фор Р., Кофман А., Дени-Папен М. Современная математика. - М.: Мир, 1966.

4. Саати Т. Принятие решений. Метод анализа иерархий. / пер. с англ. - М.: Радио и связь, 1993.

MATRIX ANALYSIS IN ENTERPRISE EXECUTIVE SYSTEM

\cSamara - Aviagas»

Samara State Aerospace University

In work various ways of matrixes application in business operation are analyzed. The relation (connection) between elements of two and more sets can be submitted in the matrix form. The composition of relations allows to simplify the analysis of connections between elements of sets. The example of use of priorities matrixes in a control system of the enterprise is resulted.

Курс лекций по дисциплине

«Матричный анализ»

для студентов II курса

математического факультета специальности

«Экономическая кибернетика»

(лектор Дмитрук Мария Александровна)

Глава 3. Функции от матриц.

1. Определение функции.

Df. Пусть – функция скалярного аргумента. Требуется определить, что понимать под f(A), т.е. нужно распространить функцию f(x) на матричное значение аргумента.

Решение этой задачи известно, когда f(x) – многочлен: , тогда .

Определение f(A) в общем случае.

Пусть m(x) – минимальный многочлен А и он имеет такое каноническое разложение , , – собственные значения А. Пусть многочлены g(x) и h(x) принимают одинаковые значения.

Пусть g(A)=h(A) (1), тогда многочлен d(x)=g(x)-h(x) – аннулирующий многочлен для А, так как d(A)=0, следовательно, d(x) делится на линейный многочлен, т.е. d(x)=m(x)*q(x) (2).

Тогда , т.е. (3), , , .

Условимся m чисел для f(x) таких называть значениями функции f(x) на спектре матрицы А, а множество этих значений будем обозначать .

Если множество f(Sp A) определено для f(x), то функция определена на спектре матрицы А.

Из (3) следует, что многочлены h(x) и g(x) имеют одинаковые значения на спектре матрицы А.

Наши рассуждения обратимы, т.е. из (3) Þ (3) Þ (1). Таким образом, если задана матрица А, то значение многочлена f(x) вполне определяется значениями этого многочлена на спектре матрицы А, т.е. все многочлены g i (x), принимающие одинаковые значения на спектре матрицы имеют одинаковые матричные значения g i (A). Потребуем, чтобы определение значения f(A) в общем случае подчинялось такому же принципу.

Значения функции f(x) на спектре матрицы А должны полносильно определить f(A), т.е. функции, имеющие одни и те же значения на спектре должны иметь одно и то же матричное значение f(A). Очевидно, что для определения f(A) в общем случае, достаточно найти многочлен g(x), который бы принимал те же значения на спектре А, что и функция f(A)=g(A).

Df. Если f(x) определена на спектре матрицы А, то f(A)=g(A), где g(A) – многочлен, принимающий на спектре те же значения, что и f(A),

Df. Значением функции от матрицы А назовем значение многочлена от этой матрицы при .

Среди многочленов из С[x], принимающих одинаковые значения на спектре матрицы А, что и f(x), степени не выше (m-1), принимающий одинаковые значения на спектре А, что и f(x) – это остаток от деления любого многочлена g(x), имеющего те же значения на спектре матрицы А, что и f(x), на минимальный многочлен m(x)=g(x)=m(x)*g(x)+r(x).

Этот многочлен r(x) называют интерполяционным многочленом Лагранжа-Сильвестра для функции f(x) на спектре матрицы А.

Замечание. Если минимальный многочлен m(x) матрицы А не имеет кратных корней, т.е. , то значение функции на спектре .

Найти r(x) для произвольной f(x), если матрица

. Построим f(H 1). Найдем минимальный многочлен H 1 – последний инвариантный множитель :

, d n-1 =x 2 ; d n-1 =1;

m x =f n (x)=d n (x)/d n-1 (x)=x n Þ 0 – n –кратный корень m(x), т.е. n-кратные собственные значения H 1 .

R(0)=f(0), r’(0)=f’(0),…,r (n-1) (0)=f (n-1) (0) Þ .

Тройка является решением игры <=>, когда является решением игры, где а – любое вещественное число, к>0 ГЛАВА 2. Игры с нулевой суммой в чистых стратегиях 2.1 Вычисление оптимальных стратегий на примере решения задач Используя теорему о минимаксе, можно утверждать, что каждая антагонистическая игра имеет оптимальные стратегии. Теорема: пусть А – матричная игра и строки данной...

Картину, не соответствующие ей, являются кандидатами на исключение из сферы деятельности корпорации. 5. Разработка корпоративной стратегии Предшествующий анализ подготовил почву для разработки стратегических шагов по улучшению деятельности диверсифицированной компании. Основное заключение о том, что делать, зависит от выводов, касающихся всего набора видов деятельности в хозяйственном...

метод научного исследования свойств объектов на основе использования правил теории матриц, по которым определяется значение элементов модели, отображающих взаимосвязи экономических объектов. Используется в тех случаях, когда главным объектом исследования являются балансовые соотношения затрат и результатов производственно-хозяйственной деятельности и нормативы затрат и выпусков.

- pseudobridge, matrix bridge - “псевдомост”, .Aнафазный мост, образующийся в результате слипания хромосомного матрикса расходящихся к противоположным полюсам хромосом...
Молекулярная биология и генетика. Толковый словарь
- англ. matrix analysis; нем. Matrixanalyse. В социологии - метод исследования свойств соц. объектов на основе использования правил теории матриц...
Энциклопедия социологии
- в полиграфии - пресс для тиснения стереотипных матриц или неме-таллич. стереотипов, как правило, гидравлический...
Большой энциклопедический политехнический словарь
- Устройство, применяемое для прессования картонных или винипластовых матриц, а также пластмассовых стереотипов...
Краткий толковый словарь по полиграфии
- См.: точечно-матричное печатающее устройство...
Словарь бизнес терминов
- метод научного исследования свойств объектов на основе использования правил теории матриц, по которым определяется значение элементов модели, отображающих взаимосвязи экономических объектов...
Большой экономический словарь
- в экономике, метод научного исследования свойств объектов на основе использования правил теории матриц, по которым определяется значение элементов модели, отображающих взаимосвязи экономических объектов...
Большая Советская энциклопедия
- метод исследования взаимосвязей между экономическими объектами с помощью их матричного моделирования...
Большой энциклопедический словарь
- ...
Орфографический словарь русского языка
- МА́ТРИ-А, -ы, ж. ...
Толковый словарь Ожегова
- МА́ТРИЧНЫЙ, матричная, матричное. прил. к матрица. Матричный картон...
Толковый словарь Ушакова
- ма́тричный I прил. соотн. с сущ. матрица I, связанный с ним II прил. 1. соотн. с сущ. матрица II, связанный с ним 2. Обеспечивающий печать с помощью матрицы. III прил. соотн...
Толковый словарь Ефремовой
- м"...
Русский орфографический словарь
- ...
Формы слова
- прил., кол-во синонимов: 1 матрично-векторный...
Словарь синонимов
- прил., кол-во синонимов: 1 четырех...
Словарь синонимов

"АНАЛИЗ, МАТРИЧНЫЙ" в книгах

Т.Н.Панченко. Стросон и Витгенштейн. Анализ как выявление формальной структуры неформального языка и анализ как терапия

Из книги Философские идеи Людвига Витгенштейна автора Грязнов Александр Феодосиевич

Т.Н.Панченко. Стросон и Витгенштейн. Анализ как выявление формальной структуры неформального языка и анализ как терапия *** Людвиг Витгенштейн и Питер Стросон некоторым образом определяют границы философии анализа, ее начало и конец. Один из них принадлежит к

§ 34. Принципиальное развитие феноменологического метода. Трансцендентальный анализ как анализ эйдетический

Из книги Картезианские размышления автора Гуссерль Эдмунд

§ 34. Принципиальное развитие феноменологического метода. Трансцендентальный анализ как анализ эйдетический В учении о Я, как полюсе своих актов и субстрате хабитуальностей, мы уже затронули, и притом в важном пункте, проблематику феноменологического генезиса и, таким

2.6. Биосинтез белка и нуклеиновых кислот. Матричный характер реакций биосинтеза. Генетическая информация в клетке. Гены, генетический код и его свойства

Из книги Биология [Полный справочник для подготовки к ЕГЭ] автора Лернер Георгий Исаакович

2.6. Биосинтез белка и нуклеиновых кислот. Матричный характер реакций биосинтеза. Генетическая информация в клетке. Гены, генетический код и его свойства Термины и понятия, проверяемые в экзаменационной работе: антикодон, биосинтез, ген, генетическая информация,

Матричный анализ

Из книги Большая Советская Энциклопедия (МА) автора БСЭ

2.4. АНАЛИЗ ТРЕБОВАНИЙ К СИСТЕМЕ (СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ) И ФОРМУЛИРОВКА ЦЕЛЕЙ

Из книги Технологии программирования автора Камаев В А

2.4. АНАЛИЗ ТРЕБОВАНИЙ К СИСТЕМЕ (СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ) И ФОРМУЛИРОВКА ЦЕЛЕЙ Задача оптимизации разработки программ состоит в достижении целей при минимально возможной затрате ресурсов.Системный анализ в отличие от предварительного системного исследования - это

Матричный замер

Из книги Цифровая фотография от А до Я автора Газаров Артур Юрьевич

Матричный замер Матричный замер (Matrix metering, Pattern Evaluative, E) также называют мультизонным, многозональным, многосегментным, оценочным. В автоматическом режиме камера устанавливает стандартный матричный экспозамер, используемый чаще других. Это самый интеллектуальный замер,

Вопрос 47. Анализ дела доверителя. Фактическая и правовая основа. Анализ доказательств.

Из книги Экзамен на адвоката автора

Вопрос 47. Анализ дела доверителя. Фактическая и правовая основа. Анализ доказательств. Честное, разумное и добросовестное оказание юридической помощи в любой форме, будь то консультирование, составление различных документов, представление интересов или защита в рамках

9. Наука на службе токсикологии. Спектральный анализ. Кристаллы и точки плавления. Структурный анализ рентгеном. Хроматография

Из книги Сто лет криминалистики автора Торвальд Юрген

9. Наука на службе токсикологии. Спектральный анализ. Кристаллы и точки плавления. Структурный анализ рентгеном. Хроматография Тем временем события, происшедшие на процессе против Буханана, стали известны во всем мире. При всем неуважении к американской науке тех лет эти

12.9. Матричный метод разработки решений

Из книги Системное решение проблем автора Лапыгин Юрий Николаевич

12.9. Матричный метод разработки решений Принятие решения на основе матричного метода сводится к осуществлению выбора с учетом интересов всех заинтересованных сторон. Схематично процесс решений при этом выглядит так, как это показано на рис. 12.7. Как мы видим, существует

4. Исследование и анализ рынка (анализ бизнес-среды организации)

Из книги Бизнес-планирование: конспект лекций автора Бекетова Ольга

4. Исследование и анализ рынка (анализ бизнес-среды организации) Исследование и анализ рынка сбыта – один из важнейших этапов подготовки бизнес-планов, который должен дать ответы на вопросы о том, кто, почему и в каких количествах покупает или будет покупать продукцию

5.1. Анализ внешней и внутренней среды организации, SWOT-анализ

автора Лапыгин Юрий Николаевич

5.1. Анализ внешней и внутренней среды организации, SWOT-анализ Внешняя среда и адаптация системыОрганизации, как и любые системы, изолированы от внешней среды и в то же время связаны с внешней средой таким образом, что из внешней среды они получают необходимые им ресурсы и

8.11. Матричный метод РУР

Из книги Управленческие решения автора Лапыгин Юрий Николаевич

8.11. Матричный метод РУР Принятие решения на основе матричного метода сводится к осуществлению выбора с учетом интересов всех заинтересованных сторон. Схематично процесс РУР при этом выглядит так, как это показано на рис. 8.13. Рис. 8.13. Модель РУР матричным методомНа

4. Анализ сильных и слабых сторон проекта, его перспектив и угроз (SWOT-анализ)

автора Филоненко Игорь

4. Анализ сильных и слабых сторон проекта, его перспектив и угроз (SWOT-анализ) При оценке целесообразности запуска нового проекта играет роль совокупность факторов, причем не всегда финансовый результат имеет первостепенное значение. Например, для выставочной компании

5. Политический, экономический, социальный и технологический анализ (PEST-анализ)

Из книги Выставочный менеджмент: стратегии управления и маркетинговые коммуникации автора Филоненко Игорь

5. Политический, экономический, социальный и технологический анализ (PEST-анализ) Чтобы убедиться, что из процесса планирования не выпали политические, социальные, экономические или технологические факторы, необходимо подвергнуть выставочный проект последнему испытанию,

11.3. Матричный метод разработки стратегий

Из книги Стратегический менеджмент: учебное пособие автора Лапыгин Юрий Николаевич

11.3. Матричный метод разработки стратегий Разработка видения организацииРазличные состояния внешней и внутренней среды организаций объясняют разнообразие самих организаций и их фактическое состояние.Многофакторность параметров, определяющих положение каждой

Курс лекций по дисциплине

«Матричный анализ»

для студентов II курса

математического факультета специальности

«Экономическая кибернетика»

(лектор Дмитрук Мария Александровна)

Глава 3. Функции от матриц.

Определение функции.

Df. Пусть функция скалярного аргумента. Требуется определить, что понимать под f(A), т.е. нужно распространить функцию f(x) на матричное значение аргумента.

Решение этой задачи известно, когда f(x) многочлен: , тогда.

Определение f(A) в общем случае.

Пусть m(x) минимальный многочлен А и он имеет такое каноническое разложение, собственные значения А. Пусть многочлены g(x) и h(x) принимают одинаковые значения.

Пусть g(A)=h(A) (1), тогда многочлен d(x)=g(x)-h(x) аннулирующий многочлен для А, так как d(A)=0, следовательно, d(x) делится на линейный многочлен, т.е. d(x)=m(x)*q(x) (2).

Тогда, т.е. (3), .

Если множество f(Sp A) определено для f(x), то функция определена на спектре матрицы А.

Из (3) следует, что многочлены h(x) и g(x) имеют одинаковые значения на спектре матрицы А.

Наши рассуждения обратимы, т.е. из (3) (3) (1). Таким образом, если задана матрица А, то значение многочлена f(x) вполне определяется значениями этого многочлена на спектре матрицы А, т.е. все многочлены gi(x), принимающие одинаковые значения на спектре матрицы имеют одинаковые матричные значения gi(A). Потребуем, чтобы определение значения f(A) в общем случае подчинялось такому же принципу.

Df. Если f(x) определена на спектре матрицы А, то f(A)=g(A), где g(A) многочлен, принимающий на спектре те же значения, что и f(A),

Df. Значением функции от матрицы А назовем значение многочлена от этой матрицы при.

Среди многочленов из С[x], принимающих одинаковые значения на спектре матрицы А, что и f(x), степени не выше (m-1), принимающий одинаковые значения на спектре А, что и f(x) это остаток от деления любого многочлена g(x), имеющего те же значения на спектре матрицы А, что и f(x), на минимальный многочлен m(x)=g(x)=m(x)*g(x)+r(x).

Замечание. Если минимальный многочлен m(x) матрицы А не имеет кратных корней, т.е. , то значение функции на спектре.

Пример:

Найти r(x) для произвольной f(x), если матрица

. Построим f(H 1 ). Найдем минимальный многочлен H 1 последний инвариантный множитель :

, d n-1 =x 2 ; d n-1 =1;

m x =f n (x)=d n (x)/d n-1 (x)=x n 0 n кратный корень m(x), т.е. n-кратные собственные значения H 1 .

, r(0)=f(0), r (0)=f (0),…,r (n-1) (0)=f (n-1) (0) .

Свойства функций от матриц.

Свойство № 1. Если матрица имеет собственные значения (среди них могут быть и кратные), а, то собственными значениями матрицы f(A) являются собственные значения многочлена f(x): .

Доказательство:

Пусть характеристический многочлен матрицы А имеет вид:

Посчитаем. Перейдем от равенства к определителям:

Сделаем замену в равенстве:

Равенство (*) справедливо для любого множества f(x), поэтому заменим многочлен f(x) на, получим:

Слева мы получили характеристический многочлен для матрицы f(A), разложенный справа на линейные множители, откуда следует, что собственные значения матрицы f(A).

ЧТД.

Свойство № 2. Пусть матрица и собственные значения матрицы А, f(x) произвольная функция, определенная на спектре матрицы А, тогда собственные значения матрицы f(A) равны.

Доказательство:

Т.к. функция f(x) определена на спектре матрицы А, то существует интерполяционный многочлен матрицы r(x) такой, что, а тогда f(A)=r(A), а у матрицы r(A) собственными значениями по свойству № 1 будут которым соответственно равны.

ЧТД.

Свойство № 3. Если А и В подобные матрицы, т.е. , и f(x) произвольная функция, определенная на спектре матрицы А, тогда

Доказательство:

Т.к. А и В подобны, то их характеристические многочлены одинаковы одинаковы и их собственные значения, поэтому значение f(x) на спектре матрицы А совпадает со значение функции f(x) на спектре матрицы В, при чем существует интерполяционный многочлен r(x) такой, что f(A)=r(A), .

ЧТД.

Свойство № 4. Если А блочно-диагональная матрица, то

Следствие: Если, то, где f(x) функция, определенная на спектре матрицы А.

Интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра.

Случай № 1.

Пусть дана. Рассмотрим первый случай: характеристический многочлен имеет ровно n корней, среди которых нет кратных, т.е. все собственные значения матрицы А различны, т.е. , Sp A простой. В этом случае построим базисные многочлены lk(x):

Пусть f(x) функция, определенная на спектре матрицы А и значениями этой функции на спектре будут. Надо построить.

Построим:

Обратим внимание, что.

Пример: Построить интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра для матрицы .

Построим базисные многочлены:

Тогда для функции f(x), определенной на спектре матрицы А, мы получим:

Возьмем , тогда интерполяционный многочлен

Случай № 2.

Характеристический многочлен матрицы А имеет кратные корни, но минимальный многочлен этой матрицы является делителем характеристического многочлена и имеет только простые корни, т.е. . В этом случае интерполяционный многочлен строится так же как и в предыдущем случае.

Случай № 3.

Рассмотрим общий случай. Пусть минимальный многочлен имеет вид:

где m1+m2+…+ms=m, deg r(x)

Составим дробно-рациональную функцию:

и разложим ее на простейшие дроби.

Обозначим: . Умножим (*) на и получим

где некоторая функция, не обращающаяся в бесконечность при.

Если в (**) положить, получим:

Для того, чтобы найти ak3 надо (**) продифференцировать дважды и т.д. Таким образом, коэффициент aki определяется однозначно.

После нахождения всех коэффициентов вернемся к (*), умножим на m(x) и получим интерполяционный многочлен r(x), т.е.

Пример: Найти f(A), если , где t некоторый параметр,

Проверим, определена ли функция на спектре матрицы А

Умножим (*) на (х-3)

при х=3

Умножим (*) на (х-5)

Таким образом, - интерполяционный многочлен.

Пример 2.

Если , то доказать, что

Найдем минимальный многочлен матрицы А:

- характеристический многочлен.

d 2 (x)=1, тогда минимальный многочлен

Рассмотрим f(x)=sin x на спектре матрицы:

функция является определенной на спектре.

Умножим (*) на

Умножим (*) на :

Вычислим, взяв производную (**):

. Полагая ,

, т.е. .

Итак, ,

Пример 3.

Пусть f(x) определена на спектре матрицы, минимальный многочлен которой имеет вид . Найти интерполяционный многочлен r(x) для функции f(x).

Решение: По условию f(x) определена на спектре матрицы А f(1), f (1), f(2), f (2), f (2) определены.

Используем метод неопределенных коэффициентов:

Если f(x)=ln x

f(1)=0 f (1)=1

f(2)=ln 2 f (2)=0.5 f (2)=-0.25

4. Простые матрицы.

Пусть матрица, так как С алгебраически замкнутое поле, то ха