Аналогия между механическими и электромагнитными колебаниями
Колеба́ния - повторяющийся в той или иной степени во времени процесс изменения состояний системы около точки равновесия.
Колебания почти всегда связаны с попеременным превращением энергии одной формы проявления в другую форму.
Классификация
по физической природе
:
-Механические (звук,вибрация)
-Электромагнитные (свет,радиоволны,тепловые)
Характеристики:
- Амплитуда - максимальное отклонение колеблющейся величины от некоторого усреднённого её значения для системы, А (м)
- Период - промежуток времени, через который повторяются какие-либо показатели состояния системы (система совершает одно полное колебание), T (сек)
- Частота - число колебаний в единицу времени, v (Гц, сек −1) .
Период колебаний T и частота v - обратные величины;
T=1/v и v=1/TВ круговых или циклических процессах вместо характеристики «частота» используется понятие круговая (циклическая) частота W (рад/сек, Гц, сек −1) , показывающая число колебаний за 2П единиц времени:
w = 2П/T = 2ПVЭлектромагнитные колебания в контуре имеют сходство со свободными механическими колебаниями (с колебаниями тела,закрепленного на пружине).
Сходство относится к процессам периодического изменения различных величин.
-Характер изменения величин объясняется,имеющейся аналогией в условиях,при которых порождаются механические и электромагнитные колебания.
-Возвращение к положению равновесия тела на пружине вызывается силой упругости,пропорциональной смещению тела от положения равновесия.
Коэффициент пропорциональности -это жесткость пружины k .
Разрядка конденсатора(появление тока) обусловлена напряжением u
между пластинами конденсатора,которое пропорционально заряду q
.
Коэффициент пропорциональности - 1/С,обратный емкости (так как u = 1/C*q
)
Подобно тому как вследствие инертности тело лишь постепенно увеличивает скорость под действием силы и эта скорость после прекращения действия силы не становится сразу равной нулю,электрический ток в катушке за счет явления самоиндукции увеличивается под действием напряжения постепенно и не исчезает сразу,когда это напряжение становится равным нулю.Индуктивность контура L играет ту же роль,что и масса тела m в механике.Соответственно кинетической энергии тела mv(x)^2/2 отвечает энергия магнитного поля тока Li^2/2.
Зарядке конденсатора от батареи соответствует сообщение телу,прикрепленному к пружине,потенциальной энергии при смещении тела (например рукой)на расстоянии Xm от положения равновесия (рис.75,а). Сравнивая это выражение с энергией конденсатора,замечаем,что жесткость К пружины играет при механическом колебательном процессе такую же роль,как величина 1/C,обратная емкости при электромагнитных колебаниях,а начальная координата Xm соответствует заряду Qm.
Возникновение в электрической цепи тока i за счет разности потенциалов соответствует появлению в механической колебательной системе скорости Vx под действием силы упругости пружины (рис.75,б)
Моменту,когда конденсатор разрядится,а сила тока достигнет максимума,соответствует прохождение тела через положение равновесия с максимальной скоростью (рис.75,в)
Далее конденсатор начнет перезаряжаться,а тело -смещаться влево от положения равновесия (рис.75,г). По прошествии половины периода Т конденсатор полностью перезарядится и сила тока станет равной нулю.Этому состоянию соответствует отклонение тела в крайнее левое положение,когда его скорость равна нулю(рис.75,д).
Цель:
- Демонстрация нового метода решения задач
- Развитие абстрактного мышления, умения анализировать сравнивать, обобщать
- Воспитание чувства товарищества, взаимопомощи, толерантности.
Темы “ Электромагнитные колебания” и “Колебательный контур” – психологически трудные темы. Явления, происходящие в колебательном контуре, не могут быть описаны при помощи человеческих органов чувств. Возможна только визуализация при помощи осциллографа, но и этом случае мы получим графическую зависимость и не можем непосредственно наблюдать за процессом. Поэтому они остаются интуитивно и эмпирически неясны.
Прямая аналогия между механическими и электромагнитными колебаниями помогает упростить понимание процессов и провести анализ изменения параметров электрических цепей. Кроме того упростить решение задач со сложными механическими колебательными системами в вязких средах. При рассмотрении данной темы ещё раз подчеркивается общность, простота и немногочисленность законов, необходимых для описания физических явлений.
Данная тема дается после изучения следующих тем:
- Механические колебания.
- Колебательный контур.
- Переменный ток.
Необходимый набор знаний и умений:
- Определения: координата, скорость, ускорение, масса, жесткость, вязкость, сила, заряд, сила тока, скорость изменения силы тока со временем (применение этой величины), электрическая емкость, индуктивность, напряжение, сопротивление, ЭДС, гармонические колебания, свободные, вынужденные и затухающие колебания, статическое смещение, резонанс, период, частота.
- Уравнения, описывающие гармонические колебания (с использованием производных), энергетические состояния колебательной системы.
- Законы: Ньютона, Гука, Ома (для цепей переменного тока).
- Умение решать задачи на определение параметров колебательной системы (математический и пружинный маятник, колебательный контур), её энергетических состояний, на определение эквивалентного сопротивления, емкости, равнодействующей силы, параметров переменного тока.
Предварительно в качестве домашнего задания учащимся предлагаются задачи, решение которых значительно упрощается при использовании нового метода и задачи приводящие к аналогии. Задание может быть групповым. Одна группа учащихся выполняет механическую часть работы, другая часть, связанную с электрическими колебаниями.
Домашнее задание.
1а . Груз массой m, прикрепленный к пружине жесткостью k, отвели от положения равновесия и отпустили. Определите максимальное смещение от положения равновесия, если максимальная скорость груза v max
1б . В колебательном контуре, состоящем из конденсатора емкостью С и катушки индуктивности L, максимальное значение силы тока I max . Определите максимальное значение заряда конденсатора.
2а . На пружине жесткостью k подвешен груз массой m. Пружина выводится из состояния равновесия смещением груза от положения равновесия на А. Определите максимальное x max и минимальное x min смещение груза от точки, в которой находился нижний конец нерастянутой пружины и v max максимальную скорость груза.
2б . Колебательный контур состоит из источника тока с ЭДС равной Е, конденсатора емкостью С и катушки, индуктивности L и ключа. До замыкания ключа конденсатор имел заряд q. Определите максимальный q max и q min минимальный заряд конденсатора и максимальный ток в контуре I max.
При работе на уроках и дома используется оценочный лист
Вид деятельности |
Самооценка |
Взаимооценка |
Физический диктант | ||
Сравнительная таблица | ||
Решение задач | ||
Домашняя работа | ||
Решение задач | ||
Подготовка к зачету |
Ход урока №1.
Аналогия между механическими и электрическими колебаниями
Введение в тему
1. Актуализация ранее полученных знаний.
Физический диктант с взаимопроверкой.
Текст диктанта
2. Проверка (работа в диадах, или самооценка)
3. Анализ определений, формул, законов. Поиск аналогичных величин.
Явная аналогия прослеживается между такими величинами как скорость и сила тока. . Далее прослеживаем аналогию между зарядом и координатой, ускорением и скоростью изменения силы тока с течением времени. Сила и ЭДС характеризуют внешнее воздействие на систему. По второму закону Ньютона F=ma, по закону Фарадея Е=-L. Следовательно, делаем вывод, что масса и индуктивность аналогичные величины. Необходимо обратить внимание на то, что эти величины сходны и по своему физическому смыслу. Т.е. данную аналогию можно получить и в обратном порядке, что подтверждает её глубокий физический смысл и правильность наших выводов. Далее сравниваем закон Гука F = -kx и определение емкости конденсатора U=. Получаем аналогию между жесткостью (величиной характеризующей упругие свойства тела) и величиной обратной емкости конденсатора (в результате можно говорить о том, что емкость конденсатора характеризует упругие свойства контура). В результате на основе формул потенциальной и кинетической энергии пружинного маятника, и , получаем формулы и . Так как это электрическая и магнитная энергия колебательного контура, то данный вывод подтверждает правильность полученной аналогии. На основании проведенного анализа составляем таблицу.
Пружинный маятник |
Колебательный контур |
4. Демонстрация решения задач № 1а и № 1б на доске. Подтверждение аналогии.
1а. Груз массой m, прикрепленный к пружине жесткостью k, отвели от положения равновесия и отпустили. Определите максимальное смещение от положения равновесия, если максимальная скорость груза v max |
1б. В колебательном контуре, состоящем из конденсатора емкостью С и катушки индуктивности L, максимальное значение силы тока I max . Определите максимальное значение заряда конденсатора. |
||
по закону сохранения энергии cследовательно Проверка размерности: |
по закону сохранения энергии Следовательно Проверка размерности: Ответ: |
||
Во время выполнения решения задач на доске, учащиеся разделяются на две группы: “Механики” и “Электрики” и при помощи таблицы составляют текст аналогичный тексту задач 1а и 1б . В итоге замечаем, что текст и решение задач подтверждают сделанные нами выводы.
5. Одновременное выполнение на доске решения задач № 2а и по аналогии № 2б . При решении задачи 2б дома должны были возникнуть трудности, так как аналогичные задачи не решались на уроках и процесс, описанный в условии неясен. Решение задачи 2а проблем возникнуть не должно. Параллельное решение задач на доске при активной помощи класса должно привести к выводу о существовании нового метода решения задач через аналогии между электрическими и механическими колебаниями.
Решение: Определим статическое смещение груза. Так как груз находится в состоянии покоя Следовательно Как видно из рисунка, x max =x ст +А=(mg/k)+A, x min =x ст -A=(mg/k)-A. Определим максимальную скорость груза. Смещение от положения равновесия незначительно, следовательно колебания можно считать гармоническими. Примем, что в момент начала отсчета смещение было максимально, тогда x=Acos t. Для пружинного маятника =. =x"=Asin t,при sin t=1 = max . |
>> Аналогия между механическими и электромагнитными колебаниями
§ 29 АНАЛОГИЯ МЕЖДУ МЕХАНИЧЕСКИМИ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМИ КОЛЕБАНИЯМИ
Электромагнитные колебания в контуре имеют сходство со свободными механическими колебаниями, например с колебаниями тела, закрепленного на пружине (пружинный маятник). Сходство относится не к природе самих величин, которые периодически изменяются, а к процессам периодического изменения различных величин.
При механических колебаниях периодически изменяются координата тела х и проекция его скорости x , а при электромагнитных колебаниях изменяются заряд q конденсатора и сила тока i в цепи. Одинаковый характер изменения величин (механических и электрических) объясняется тем, что имеется аналогия в условиях, при которых возникают механические и электромагнитные колебания .
Возвращение к положению равновесия тела на пружине вызывается силой упругости F x упр, пропорциональной смещению тела от положения равновесия. Коэффициентом пропорциональности является жесткость пружины k.
Разрядка конденсатора (появление тока) обусловлена напряжением и между пластинами конденсатора, которое про порционально заряду q. Коэффициентом пропорциональности является величина , обратная емкости, так как u = q.
Подобно тому как, вследствие инертности, тело лишь постепенно увеличивает скорость под действием сильт и эта скорость после прекращения действия силы не становится сразу равной нулю, электрический ток в катушке за счет явления самоиндукции увеличивается под действием напряжения постепенно и не исчезает сразу, когда это напряжение становится равным нулю. Индуктивность контура L выполняет ту же роль, что и масса тела т при механических колебаниях. Соответственно кинетическая энергия тела аналогична энергии магнитного поля тока
Зарядка конденсатора от батареи аналогична сообщению телу, прикрепленному к пружине, потенциальной энергии при смещении тела на расстояние x m от положения равновесия (рис. 4.5, а). Сравнивая это выражение c энергией конденсатора замечаем, что жесткость k пружины выполняет при механических колебаниях такую же роль, как величина , обратная емкости, при электромагнитных колебаниях. При этом начальная координата х m соответствует заряду q m .
Возникновение в электрической цепи тока i соответствует появлению в механической колебательной системе скорости тела x под действием силы упругости пружины (рис. 4.5, б).
Момент времени, когда конденсатор разрядится, а сила тока достигнет максимума, аналогичен тому моменту времени, когда тело будет проходить с максимальной скоростью (рис. 4.5, в) положение равновесия.
Далее конденсатор в ходе электромагнитных колебаний начнет перезаряжаться, а тело в ходе механических колебаний - смещаться влево от положения равновесия (рис. 4.5, г). По прошествии половины периода Т конденсатор полностью перезарядится и сила тока станет равной нулю.
При механических колебаниях этому соответствует отклонение тела в крайнее левое положение, когда его скорость равна нулю (рис. 4.5, д).
Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные урокиЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ. СВОБОДНЫЕ И ВЫНУЖДЕННЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ В КОЛЕБАТЕЛЬНОМ КОНТУРЕ.
- Электромагнитные колебания - взаимосвязанные колебания электрического и магнитного полей.
Электромагнитные колебания появляются в различных электрических цепях. При этом колеблются величина заряда, напряжение, сила тока, напряженность электрического поля, индукция магнитного поля и другие электродинамические величины.
Свободные электромагнитные колебания возникают в электромагнитной системе после выведения ее из состояния равновесия, например, сообщением конденсатору заряда или изменением тока в участке цепи.
Это затухающие колебания , так как сообщенная системе энергия расходуется на нагревание и другие процессы.
Вынужденные электромагнитные колебания - незатухающие колебания в цепи, вызванные внешней периодически изменяющейся синусоидальной ЭДС.
Электромагнитные колебания описываются теми же законами, что и механические, хотя физическая природа этих колебаний совершенно различна.
Электрические колебания - частный случай электромагнитных, когда рассматривают колебания только электрических величин. В этом случае говорят о переменных токе, напряжении, мощности и т.д.
- КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ КОНТУР
Колебательный контур - электрическая цепь, состоящая из последовательно соединенных конденсатора емкостью C, катушки индуктивностью L и резистора сопротивлением R. Идеальный контур – если сопротивлением можно пренебречь, то есть, только конденсатор С и идеальная катушка L.
Состояние устойчивого равновесия колебательного контура характеризуется минимальной энергией электрического поля (конденсатор не заряжен) и магнитного поля (ток через катушку отсутствует).
- ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ КОЛЕБАНИЙ
Аналогия механических и электромагнитных колебаний
Характеристики: | Механические колебания | Электромагнитные колебания |
Величины, выражающие свойства самой системы (параметры системы): | m- масса (кг) k- жесткость пружины (Н/м) | L- индуктивность (Гн) 1/C- величина, обратная емкости (1/Ф) |
Величины, характеризующие состояние системы: | Кинетическая энергия (Дж) Потенциальная энергия (Дж) х - смещение (м) | Электрическая энергия(Дж ) Магнитная энергия (Дж) q - заряд конденсатора (Кл) |
Величины, выражающие изменение состояния системы: | v = x"(t) скорость-быстрота смещения (м/с) | i = q"(t) сила тока – быстрота изменения заряда (А) |
Другие характеристики: T=1/ν T=2π/ω ω=2πν | T- период колебаний время одного полного колебания(с) |
|
ν- частота-число колебаний за единицу времени (Гц) |
||
ω - циклическая частота число колебаний за 2π секунд(Гц) |
||
φ=ωt – фаза колебаний- показывает, какую часть от амплитудного значения принимает в данный момент колеблющаяся величина, т.е. фаза определяет состояние колеблющейся системы в любой момент времени t. |
где q" - вторая производная заряда по времени.
Величина является циклической частотой. Такими же уравнениями описываются колебания тока, напряжения и других электрических и магнитных величин.
Одним из решений уравнения (1) является гармоническая функция
Это интегральное уравнение гармонических колебаний.
Период колебаний в контуре (формула Томсона):
Величина φ = ώt + φ 0 , стоящая под знаком синуса или косинуса, является фазой колебания.
Ток в цепи равен производной заряда по времени, его можно выразить
Напряжение на пластинах конденсатора изменяется по закону:
Где I max =ωq мак – амплитуда силы тока (А),
U max =q max /C - амплитуда напряжения (В)
Задание: для каждого состояния колебательного контура записать значения заряда на конденсаторе, тока в катушке, напряженности электрического поля, индукции магнитного поля, электрической и магнитной энергии.
§ 29. Аналогия между механическими и электромагнитными колебаниями
Электромагнитные колебания в контуре имеют сходство со свободными механическими колебаниями, например с колебаниями тела, закрепленного на пружине (пружинный маятник). Сходство относится не к природе самих величин, которые периодически изменяются, а к процессам периодического изменения различных величин.
При механических колебаниях периодически изменяются координата тела х и проекция его скорости v x , а при электромагнитных колебаниях изменяются заряд q конденсатора и сила тока i в цепи. Одинаковый характер изменения величин (механических и электрических) объясняется тем, что имеется аналогия в условиях, при которых возникают механические и электромагнитные колебания.
Возвращение к положению равновесия тела на пружине вызывается силой упругости F x упр, пропорциональной смещению тела от положения равновесия. Коэффициентом пропорциональности является жесткость пружины k .
Разрядка конденсатора (появление тока) обусловлена напряжением и между пластинами конденсатора, которое пропорционально заряду q . Коэффициентом пропорциональности является величина обратная емкости, так как
Подобно тому как, вследствие инертности, тело лишь постепенно увеличивает скорость под действием силы и эта скорость после прекращения действия силы не становится сразу равной нулю, электрический ток в катушке за счет явления самоиндукции увеличивается под действием напряжения постепенно и не исчезает сразу, когда это напряжение становится равным нулю. Индуктивность контура L выполняет ту же роль, что и масса тела m при механических колебаниях. Соответственно кинетическая энергия тела аналогична энергии магнитного поля тока
Зарядка конденсатора от батареи аналогична сообщению телу, прикрепленному к пружине, потенциальной энергии при смещении тела на расстояние х m от положения равновесия (рис. 4.5, а). Сравнивая это выражение с энергией конденсатора замечаем, что жесткость k пружины выполняет при механических колебаниях такую же роль, как величина обратная емкости, при электромагнитных колебаниях. При этом начальная координата х m соответствует заряду q m .
Возникновение в электрической цепи тока i соответствует появлению в механической колебательной системе скорости тела v х под действием силы упругости пружины (рис. 4.5, б).
Момент времени, когда конденсатор разрядится, а сила тока достигнет максимума, аналогичен тому моменту времени, когда тело будет проходить с максимальной скоростью (рис. 4.5, в) положение равновесия.
Далее конденсатор в ходе электромагнитных колебаний начнет перезаряжаться, а тело в ходе механических колебаний - смещаться влево от положения равновесия (рис. 4.5, г). По прошествии половины периода Т конденсатор полностью перезарядится и сила тока станет равной нулю.
При механических колебаниях этому соответствует отклонение тела в крайнее левое положение, когда его скорость равна нулю (рис. 4.5, д). Соответствие между механическими и электрическими величинами при колебательных процессах можно свести в таблицу.
Электромагнитные и механические колебания имеют разную природу, но описываются одинаковыми уравнениями.
Вопросы к параграфу
1. В чем проявляется аналогия между электромагнитными колебаниями в контуре и колебаниями пружинного маятника?
2. За счет какого явления электрический ток в колебательном контуре не исчезает сразу, когда напряжение на конденсаторе становится равным нулю?