Основные понятия
В рамках вопроса измерения углов, в данном разделе рассмотрим несколько понятий, относящихся к начальным геометрическим сведениям:
- угол;
- развёрнутый и неразвёрнутый угол;
- градус, минута и секунда;
- градусная мера угла;
- прямой, острый и тупой углы.
Углом называют такую геометрическую фигуру, которая представляет собой точку (вершину) и исходящие из неё два луча (стороны). Угол называют развёрнутым, если оба луча лежат на одной прямой.
Благодаря градусной мере угла можно произвести измерение углов. Измерение углов проводится аналогично измерению отрезков. Так же, как и при измерении отрезков, при измерении углов используется специальная единица измерения. Чаще всего это градус.
Определение 1
Градус - это единица измерения. В геометрии он представляет собой угол, с которым сравнивают другие углы. Градус равен $\frac{1}{180}$ от развёрнутого угла.
Теперь можно дать определение градусной мере угла.
Определение 2
Градусная мера угла - это такое положительное число, которое обозначает, сколько раз градус помещается в данном угле.
Для измерения углов используют транспортир.
Пример записи градусной меры: $\angle ABC = 150^{\circ}$. На рисунке эта запись означает следующее:
В устной форме говорят так: "Угол АВС равен 150 градусам".
Некоторые части градуса имеют свои специальные названия. Минутой называют $\frac{1}{60}$ часть градуса, для обозначения используется знак $"$. Секундой называют $\frac{1}{60}$ часть минуты, для обозначения используют $""$. Пример записи угла в 75 градусов, 45 минут и 28 секунд: $75^{\circ}45"28""$.
Равными называют те углы, у которых градусные меры равны. Соответственно, углы можно сравнивать, говоря, что один угол меньше другого или один угол больше другого.
Выше было дано определение развернутому углу. Владея понятием градусной меры, мы можем описать разницу между развернутым и неразвернутым углом. Развернутый угол всегда равен $180^{\circ}$. Неразвернутый угол - это любой угол меньше $180^{\circ}$.
Различают прямой, острый и тупой углы. Прямой угол равен $90^{\circ}$, острый - меньше $90^{\circ}$, тупой - больше $90^{\circ}$ и меньше $180^{\circ}$.
Рисунок 4. Прямой, острый и тупой углы. Автор24 - интернет-биржа студенческих работ
В повседневной жизни есть примеры необходимости и важности умения измерять углы и понимать градусную меру. Измерение углов необходимо в различных исследованиях, в том числе в астрономии при определении положения небесных тел.
Для практики, попробуйте начертить хотя бы три неразвёрнутых угла и один развёрнутый разными способами, измерьте с помощью транспортира углы и запишите эти результаты. Можно задать случайные числа и попрактиковаться в точности черчения углов с помощью транспортира, деления их с помощью биссектрисы (биссектриса - это луч, исходящий из вершины данного угла и делящий угол пополам).
Примеры задач
Пример 1
Задача . Есть рисунок:
Лучи $DE$ и $DF$ - биссектрисы соответствующих углов $ADB$ и $BDC$. Требуется найти угол $ADC$, если $\angle EDF = 75^{\circ}$.
Решение . Так как угол $EDF$ содержит по половинке от каждого угла $ADB$ и $BDC$, то можем сделать вывод, что $EDF$ - это ровно половина самого угла $ADC$. Получаем простые вычисления: $\angle ADC=75\cdot 2=150^{\circ}$.
Ответ : $150^{\circ}$.
Приведём ещё один интересный пример.
Пример 2
Задача . Дан рисунок.
Угол $ABC$ прямой. Углы $ABE$, $EBD$ и $DBC$ равны. Требуется найти угол, образованный биссектрисами $ABE$ и $DBC$.
Решение . Так как $ABC$ - прямой угол, то, значит, он равен $90^{\circ}$. Угол $\angle EBD=90/3=30^{\circ}$. Так как углы $ABE$, $EBD$ и $DBC$ равны, то любой из них будет равен $30^{\circ}$. Биссектриса любого из этих углов поделит любой из этих углов на два угла, равных $15^{\circ}$. Так как две половины углов $ABE$ и $DBC$ принадлежат искомому углу, то мы можем утверждать, что искомый угол равен $30+15+15=60^{\circ}$.
Ответ . $60^{\circ}$
В данной статье мы раскрыли полностью вопрос о градусной мере угла и как измерять углы.
Лекция: Величина угла, градусная мера угла, соответствие между величиной угла и длиной дуги окружности
Мерой угла называют величину, на которую отклоняется некоторый луч относительно первоначального положения.
Мера угла может измеряться двумя величинами: градусами и радианами, отсюда и название единиц – градусная и радианная мера угла.
Градусная мера угла
Градусная мера дает возможность оценить, какое количество градусов, минут или секунд помещается в тот или иной угол.
Расчет углов в градусах производится с точки зрения того, что полный поворот луча – это 360°. Половина поворота 180° - развернутый угол, четверть – 90° - прямой угол и т.д.
Радианная мера угла
А теперь давайте же разберемся, что такое радианная мера угла. Как известно из физики, существуют дополнительные единицы. Например, для измерения температуры основной единицей являются Кельвины, а дополнительной градусы Цельсия. Для измерения длины мы используем метры, а англичане используют футы. Данный список можно продолжать и далее. Смысл в том, чтобы Вы поняли, что, кроме градусной меры измерения угла, существует радианная мера, которая так же имеет право на существование.
Для определения радианной меры угла используют окружность. Считается, что радианная мера – это длина дуги окружности, описанная центральным углом.
Напомним, что центральный угол – это угол, вершина которого находится в центре окружности, а лучи опираются на некоторую дугу.
Итак, угол в 1 рад имеет градусную меру в 57,3°. Радианная мера угла описывается либо натуральными числами, или же с использованием числа π ≈ 3,14.
Для геометрии удобнее использовать градусную меру угла, однако для тригонометрии используют радианную меру.
Градусная мера угла – это положительное число, показывающее сколько раз градус и его части укладываются в угле.
У слова «угол» есть разные толкования. В геометрии углом называют часть плоскости, ограниченную двумя лучами, которые выходят из одной точки, так называемой вершины. Когда рассматриваются прямые, острые и развёрнутые углы, имеются ввиду именно геометрические углы.
Как и любые геометрические фигуры, углы можно сравнивать. В области геометрии описать, что один угол большего или меньшего размера по сравнению с другим, сегодня несложно.
За единицу измерения углов взят градус – 1/180 часть развернутого угла.
У каждого угла есть градусная мера, больше нуля. Развёрнутый угол соответствует 180 градусам. Градусная мера угла ровна сумме всех градусных мер углов, на которые можно разбить исходный угол лучами.
От любого луча к заданной плоскости можно отложить угол с градусной мерой не более 180 градусов. Мера плоского угла, являющаяся частью полуплоскости – это градусная мера угла, имеющая аналогичные стороны. Меру плоскости угла, в составе которого находится полуплоскость, обозначают числом 360 – ?, где? является градусной мерой дополнительного плоского угла.
Прямой угол всегда равен 90 градусам, тупой – менее 180 градусам, но более 90, острый – не превышает 90 градусов.
Кроме градусной меры угла существует радианная. В планиметрии длину дуги окружности обозначают как L, радиус – r, а соответствующему центральному углу досталось обозначение – ?.. Соотношение этих параметров выглядит так: ? = L/r.
Как найти градусную меру угла?
Для многих в школе геометрия - это настоящее испытание. Одной из базовых геометрических фигур является угол. Под этим понятием подразумевают два луча, которые берут начало в одной точке. Для измерения значения (величины) угла используют градусы или радианы. Как найти градусную меру угла, вы узнаете из нашей статьи.
Виды углов
Допустим, у нас есть угол. Если мы его разложим в прямую, тогда его величина будет равняться 180 градусам. Такой угол называют развернутым, а одним градусом считают 1/180 его часть.
Кроме развернутого угла различают еще острые (меньше 90 градусов), тупые (больше 90 градусов) и прямые (равные 90 градусам) углы. Эти термины используют для характеристики величины градусной меры угла.
Измерение угла
Величину угла измеряют с помощью транспортира. Это специальный прибор, на котором полукруг уже разбит на 180 частей. Приложите транспортир к углу так, чтобы одна из сторон угла совпадала с нижней частью транспортира. Второй луч должен пересекать дугу транспортира. Если этого не происходит, уберите транспортир и с помощью линейки удлините луч. Если угол «открывается» вправо от вершины, считывают его значение по верхней шкале, если влево - по нижней.
В системе СИ принято измерять величину угла в радианах, а не в градусах. В развернутом угле помещается всего 3,14 радиана, поэтому эта величина неудобна и на практике почти не применяется. Именно поэтому необходимо знать, как перевести радианы в градусы. Для этого существует формула:
- Градусы = радианы/π х 180
Например, величина угла равняется 1,6 радиана. Переводим в градусы: 1,6/3,14 * 180 = 92
Свойства углов
Теперь вы знаете, как измерять и пересчитывать градусные меры углов. Но для решения задач необходимо еще знать свойства углов. На сегодняшний день сформулированы следующие аксиомы:
- Любой угол можно выразить в градусной мере, большей нуля. Величина развернутого угла - 360.
- Если угол состоит из нескольких углов, то его градусная мера равняется сумме всех углов.
- В заданную полуплоскость от любого луча можно построить угол заданной величины, меньший 180 градусов, причем только один.
- Величины равных углов одинаковы.
- Чтобы сложить два угла, надо сложить их величины.
Понимание этих правил и умение измерять углы - ключ к успешному изучению геометрии.