Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Руководители:

• Могутова Татьяна Михайловна
• Дерюшкина Оксана Валерьевна

Девиз проекта:

“Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду.
а если хотите научиться решать задачи, то решайте их”.
Д. Пойя.

Выбор темы проекта не случаен. Способы нахождения площади многоугольника нарисованного на “клеточках” очень интересная тема.

Мы знаем разные способы выполнения таких заданий: способ сложения, способ вычитания и др.

Нас очень заинтересовала эта тема, мы изучили много литературы и к нашей огромной радости нашли еще один способ, способ не известный по школьной программе, но способ замечательный! Вычисление площади, используя формулу, выведенную австрийским ученым – математиком Георгом Пиком.

Мы решили изучить формулу Пика, при помощи которой выполнять задания на нахождении площади очень легко!

Цель исследования

1. Изучение формулы Пика.

2. Расширение знаний о многообразии задач на клетчатой бумаге, о приёмах и методах решения этих задач.

Задачи:

1. Отобрать материал для исследования, выбрать главную, интересную, понятную информацию

2. Проанализировать и систематизировать полученную информацию

3. Создать электронную презентацию работы для представления собранного материала одноклассникам

4. Сделать выводы по результатам работы.

5. Подобрать наиболее интересные, наглядные примеры.

Методы исследования:

1. Моделирование

2. Построение

3. Анализ и классификация информации

4. Сравнение, обобщение

5. Изучение литературных и Интернет-ресурсов

Георг Пик – австрийский ученый – математик. Пик поступил в университет в Вене в 1875 году. Свою первую работу опубликовал в возрасте 17 лет. Круг его математических интересов был чрезвычайно широк. 67 его работ посвящены многим разделам математики, таким как: линейная алгебра, интегральное исчисление, геометрия, функциональный анализ, теория потенциала.

Широко известная Теорема появилась в сборнике работ Пика в 1899 году.

Теорема привлекла довольно большое внимание и начала вызывать восхищение своей простотой и элегантностью.

Формула Пика, формула вычисления площади многоугольника, изображенного на бумаге в клетку, полезна при решении заданий ЕГЭ и ОГЭ. Именно, поэтому, она нас очень заинтересовала.

Формула Пика - классический результат комбинаторной геометрии и геометрии чисел.

По теореме Пика площадь многоугольника равна:

Г: 2 + В – 1

Г – число узлов решетки на границе многоугольника

В – число узлов решетки внутри многоугольника.

Первым делом мы поставили задачу: изучить, что такое узлы решетки и как правильно вычислять их количество. Оказалось, это очень просто. Приведем несколько примеров.

Пусть дан произвольный треугольник. Узлы на границе изображены оранжевым цветом, узлы внутри изображены синим цветом. Найти узлы и подсчитать их количество очень легко.

В данном случае Г= 15, В = 35

Пример №2 Узлов на границе 18, т.е. Г = 18, узлов внутри 20, В = 20.

И еще один пример. Дан произвольный многоугольник. Считаем узлы на границе. Их 14. Узлом внутри многоугольника 43. Г = 14, В = 43.

С первой задачей мы справились!

Второй этап нашей работы: вычисление площадей многоугольников.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример №1.

Г = 14, В = 43, S = + 43 – 1 = 49

Пример №2.

Г = 11, В = 5, S = + 5 – 1 = 9,5

Пример №3.

Г = 15, В = 22, S = + 22 – 1 = 28,5

Пример №4.

Г = 8, В = 16, S = + 16 – 1 = 19

Пример №5

Г = 10, В = 30, S = + 30 – 1 = 34

На рассмотрение пяти примеров мы затратили всего 1-2 минуты. Вычислять площадь по формуле Пика не только быстро, но и очень легко!

Но перед нами встал очень серьезный вопрос:

Можно ли доверять теореме Пика?

Получаются ли одинаковые результаты при вычислении площадей разными способами?

Найдем площади многоугольников по формуле Пика и обычным способом, применяя формулы геометрии и способы достроения или разбиения на части. Вот какие результаты мы получили:

Пример №1.

Вычислим площадь многоугольника по формуле Пика:

Подсчитаем количество узлов на границе и внутри. Г = 3, В = 6.

Вычислим площадь: S = 6 + - 1 = 6,5

Достроим многоугольник до прямоугольника. Площадь прямоугольника равна: 3 * 5 = 15, S? = = 3, S? = = 3 , S = = 2,5

S = 15-3-3-2,5 = 6,5

Результат одинаковый.

Пример №2.

Г = 4, В = 9, S = 9 + - 1 = 10

Достроим до прямоугольника.

Площадь прямоугольника равна: 5 * 4 = 20, S 1 = 2 * 1 = 2, S 2 = = 3,

S = = 2 , S = = 1,5, S = = 2,5

Площадь прямоугольника равна

S = 20 – 2 – 3 – 2 – 1,5 – 2,5 = 10

Мы снова получили одинаковые результаты.

Рассмотрим еще один пример.

Пример №3

Вычислим площадь по формуле Пика.

Г = 5, В = 6, S = 6 + - 1 = 7,5

Вычислим площадь, используя способ достроения.

Площадь прямоугольника равна 5·4 = 20

S 1 = 2 * 1 = 2, S 2 = = 1, S 3 = 2 * 1 = 2, S 4 = = 1, S 5 = = 1, S 6 = = 2,5

S = 20 – 2 -1– 2 – 1 – 1 – 2,5 – 3 = 7,5

Результат одинаковый.

В презентации мы рассмотрели три примера, но на самом деле мы рассмотрели очень много самых разных примеров. Результат всегда был один и тот же: Вычисление площади по формуле Пика и другими способами дает одинаковый результат.

Вывод: формуле Пика можно доверять! Она дает точный результат.

Мы довольны!

И еще один вопрос встал перед нами: какой способ вычисления наиболее рациональный, наиболее удобный для использования?

Чтобы ответить на этот вопрос, достаточно использовать всю предыдущую работу. Но рассмотрим еще три примера, которые окончательно позволят получить ответ на наш вопрос.

Пример №2

Пример №3

При помощи формулы Пика легко вычислить площадь многоугольника даже самой причудливой формы. Рассмотрим пример:

Вывод однозначный: наиболее рациональный способ вычисления площади многоугольника, изображенного на бумаге в клетку: формула Пика!

Предлагаем каждому из вас вычислить площадь многоугольника, используя формулу Пика:

Вычислите количество узлов на границе. Они изображены желтым цветом.

Вычислите количество узлов внутри, красный цвет.

Подставьте в формулу, назовите результат. Вы за одну минуту вычислили площадь.

Итак, формула Пика имеет ряд преимуществ перед другими способами вычисления площадей многоугольников на клетчатой бумаге:

Для вычисления площади многоугольника, нужно знать всего одну формулу:

S = Г:2 + В - 1.

Формула Пика очень проста для запоминания.

Формула Пика очень удобна и проста в применении.

Многоугольник, площадь которого необходимо вычислить, может быть любой, даже самой причудливой формы.

Применяя формулу Пика легко выполнять задание ЕГЭ и ОГЭ.

Приведем несколько примеров вычисления площади из вариантов ЕГЭ – 2015.

Мы решили научить пользоваться формулой Пика учащихся 9 – 11 классов нашей школы. Провели фестиваль “Формула Пика”.

Все учащиеся с большим интересом познакомились с презентацией, научились пользоваться формулой Пика.

За 30 минут практической работы учащиеся выполнили большое количество заданий. Каждый учащийся получил памятку “Формула Пика”.

Мы помогли им в подготовке к ЕГЭ и ОГЭ!

Спустя месяц работы, мы провели опрос учащихся 9–11 классом.

Задали следующие вопросы:

Вопрос №1:

Формула Пика – это рациональный способ вычисления площади многоугольника?

“Да” - 100% учащихся.

Вопрос №2:

Вы пользуетесь формулой Пика?

“Да” – 100% учащихся

Наша работа не прошла даром! Мы довольны!

Презентацию нашего проекта мы разместили в сети Интернет. Много просмотров и скачиваний нашей работы.

Мы оформили альбом “Формула Пика”. Им постоянно, особенно первое время, пользовались учащиеся нашей школы.

Результаты работы над проектом:

В процессе работы над проектом изучили справочную, научно-популярную литературу по теме исследования.

• Изучили теорему Пика, научились находить площади фигур, изображенных на бумаге в клетку просто и рационально.
• Расширили свои знания о решении задач на клетчатой бумаге, определили для себя классификацию исследуемых задач, убедились в их многообразии.
• Провели для учащихся 9–11 фестиваль “Формула Пика”, научили их находить площадь, использую эту формулу. Подобрали много интересных примеров.
• Создали электронную презентацию в помощь своим ровесникам.
• Оформили альбом “Формула Пика”, который постоянно используют учащиеся школы.

Предлагает вам выполнить два задания, чтобы вы убедились в рациональности нашей работы.

Спасибо за внимания!

В Викисловаре есть статья «пика» Пика В военном деле: Пика холодное колющее оружие, разновидность длинного копья. Пикинёры вид пехоты в европейских армиях XVI начала XVIII веков. Пикельхельм (п … Википедия

Теорема Пика (комбинаторная геометрия) - В=7, Г=8, В + Г/2 − 1= 10 Теорема Пика классический результат комбинаторной геометрии и геометрии чисел. Площадь многоугольника с целочисле … Википедия

Треугольник - У этого термина существуют и другие значения, см. Треугольник (значения). Треугольник (в евклидовом пространстве) это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три не лежащие на одной прямой точки. Три точки,… … Википедия

Трапеция - У этого термина существуют и другие значения, см. Трапеция (значения). Трапеция (от др. греч. τραπέζιον «столик»; … Википедия

Четырёхугольник - ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКИ ┌─────────────┼────────────┐ невыпуклый выпуклый самопересекающийся … Википедия

Двуугольник - Правильный двуугольник на поверхности сферы Двуугольник в геометрии это … Википедия

Пятиугольник - Правильный пятиугольник (пентагон) Пятиугольник многоугольник с пятью углами. Также пятиугольником называют всякий предмет такой формы. Сумма внут … Википедия

Шестиугольник - Правильный шестиугольник Шестиугольник многоугольник с шестью углами. Также шестиугольником называют всякий предмет такой формы. Сумма внутренних углов выпуклого шестиугольника р … Википедия

Додекагон - Правильный додекагон Додекагон (греч … Википедия

Прямоугольник - Прямоугольник параллелограмм, у которого все углы прямые (равны 90 градусам). Примечание. В евклидовой геометрии для того, чтобы четырёхугольник был прямоугольником, достаточно, чтобы хотя бы три его угла были прямые. Четвёртый угол (в силу … Википедия

Книги

• Математический клуб «Кенгуру». Выпуск № 8. Математика на клетчатой бумаге , . Выпуск посвящен различным задачам и играм, связанным с листом клетчатой бумаги. В частности, в нем подробно рассматривается вычисление площади многоугольника, вершины которого расположены в…

1

Гибадуллина Г.И. (Нурлат, МАОУ СОШ №1)

1. Бунимович Е.А., Дорофеев Г.В., Суворова С.Б. и др. Математика. Арифметика. Геометрия. 5 класс: учебн. для общеобразоват. организаций с прил. на электрон. носителе -3–е изд. – М.: Просвещение, 2014. – 223, с. : ил. – (Сферы).

2. Бунимович Е.А., Кузнецова Л.В., Минаева С.С. и др. Математика. Арифметика. Геометрия. 6 класс: учебн. для общеобразоват. организаций. 5-е изд. – М.: Просвещение, 2016. – 240 с.: ил. – (Сферы).

3. Васильев Н.Б. Вокруг формулы Пика // Квант. – 1974. – №2. – С. 39–43.

4. Рассолов В.В. Задачи по планиметрии. 5–е изд., испр. и доп. – М.: 2006. – 640 с.

5. Ященко И.В. ОГЭ. Математика: типовые экзаменационные варианты: О-39 36 вариантов – М.: Изд-во «Национальное образование», 2017. – 240 с. – (ОГЭ. ФИПИ – школе).

6. Решу ОГЭ: математика. Обучающая система Дмитрия Гущина. ОГЭ-2017: задания, ответы, решения [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://oge.sdamgia.ru/test?id=6846966 (дата обращения 02.04.2017).

Я ученик 6 класса. Изучать геометрию начал ещё с прошлого года, ведь занимаюсь я в школе по учебнику «Математика. Арифметика. Геометрия» под редакцией Е.А. Бунимович, Л.В. Кузнецова, С.С. Минаева и другие.

Наибольшее мое внимание привлекли темы «Площади фигур», « Составление формул». Я заметил, что площади одних и тех же фигур можно находить различными способами. В быту мы часто сталкиваемся с задачами нахождения площади. Например, найти площадь пола, который придется покрасить. Любопытно ведь, чтобы купить необходимое количество обоев для ремонта, нужно знать размеры комнаты, т.е. площадь стен. Вычисление площади квадрата, прямоугольника и прямоугольного треугольника не вызывало у меня затруднений.

Заинтересовавшись этой темой, я начал искать дополнительный материал в Интернете. В результате поисков я натолкнулся на формулу Пика- это формула для вычисления площади многоугольника, нарисованного на клетчатой бумаге. Вычисление площади по этой формуле мне показалось доступным любому ученику. Именно поэтому я решил провести исследовательскую работу.

Актуальность темы . Данная тема является дополнением и углублением изучения курса геометрии.

Изучение данной темы поможет лучше подготовиться к олимпиадам и экзаменам.

Цель работы:

1. Ознакомиться с формулой Пика.

2. Овладеть приемами решений геометрических задач с использованием формулы Пика.

3. Систематизировать и обобщить теоретический и практический материалы.

Задачи исследования:

1. Проверить эффективность и целесообразность применения формулы при решении задач.

2. Научиться применять формулу Пика в задачах разной сложности.

3. Сравнить задачи, решенные с помощью формулы Пика и традиционным способом.

Основная часть

Историческая справка

Георг Александр Пик - австрийский математик , родился 10 августа года. Он был одарённым ребёнком, его обучал отец, возглавлявший частный институт. В 16 лет Георг закончил школу и поступил в Венский университет. В 20 лет получил право преподавать физику и математику. Всемирную известность ему принесла формула для определения площади решетки полигонов. Свою формулу он опубликовал в статье в 1899 году. Она стала популярной, когда польский ученый Хьюго Штейнгауз включил ее в 1969 году в издание математических снимков.

Георг Пик получил образование в Венском университете и защитил кандидатскую в 1880 году. После получения докторской степени он был назначен помощником Эрнеста Маха в Шерльско- Фердинандском университете в Праге. Там же он стал преподавателем. Он оставался в Праге до своей отставки в 1927 году, а затем вернулся в Вену.

Пик возглавлял комитет в немецком университете Праги, который назначил Эйнштейна профессором кафедры математической физики в 1911 году.

Он был избран членом Чешской академии наук и искусств, но был исключен после захвата нацистами Праги.

Когда нацисты вошли в Австрию 12 марта 1938 года, он вернулся Прагу. В марте 1939 года нацисты вторглись в Чехословакию. 13 июля 1942 года Пик был депортирован в созданный нацистами в северной Чехии лагерь Терезиенштадт, где умер две недели спустя в возрасте 82 лет.

Исследование и доказательство

Свою исследовательскую работу я начал с выяснения вопроса: площади каких фигур я смогу найти? Составить формулу для вычисления площади различных треугольников и четырехугольников я мог. А как же быть с пяти-, шести-, и вообще с многоугольниками?

В ходе исследования на различных сайтах я увидел решения задач на вычисление площади пяти-, шести-, и других многоугольников. Формула, позволяющая решать данные задачи, называлась формулой Пика. Она выглядит так: S=B+Г/2-1, где В - количество узлов, лежащих внутри многоугольника, Г - количество узлов, лежащих на границе многоугольника. Особенность данной формулы состоит в том, что её можно применять только для многоугольников, нарисованных на клетчатой бумаге.

Любой такой многоугольник легко разбить на треугольники с вершинами в узлах решётки, не содержащие узлов ни внутри, ни на сторонах. Можно показать, что площади всех этих треугольников одинаковы и равны ½, а следовательно, площадь многоугольника равна половине их числа Т.

Чтобы найти это число, обозначим через n число сторон многоугольника, через В - число узлов внутри него, через Г - число узлов на сторонах, включая вершины. Общая сумма углов всех треугольников равна 180°. Т.

Теперь найдем сумму другим способом.

Сумма углов с вершиной в любом внутреннем узле составляет 2.180°, т.е. общая сумма углов равна 360°. В; общая сумма углов при узлах на сторонах, но не в вершинах равна (Г - n)180°, а сумма углов при вершинах многоугольника будет равна (Г - 2)180°. Таким образом, Т=2.180°. В+(Г-n)180°+(n-2)180°. Выполнив раскрытие скобок и разделив на 360°, получаем формулу для площади S многоугольника, известную как формула Пика.

Практическая часть

Эту формулу решил проверить на заданиях из сборника ОГЭ-2017. Взял задачи на вычисление площади треугольника, четырехугольника и пятиугольника. Решил сравнить ответы, решая двумя способами: 1) дополнил фигуры до прямоугольника и из площади полученного прямоугольника вычел площадь прямоугольных треугольников; 2) применил формулу Пика.

S = 18-1,5-4,5 = 12 и S = 7+12/2-1= 12.

S = 24-9-3 = 12 и S = 7+12/2-1 = 12.

S = 77-7,5-12-4,5-4 =49 и S = 43+14/2-1 = 49.

Сравнив полученное, делаю вывод, что обе формулы дают один и тот же ответ. Найти площадь фигуры по формуле Пика, оказалось быстрее и легче, ведь вычислений было меньше. Легкость решения и экономия времени на вычислениях мне пригодятся в будущем при сдаче ОГЭ.

Это подтолкнуло меня на проверку возможности применения формулы Пика на более сложных фигурах.

S = 0 + 4/2 -1 = 1

S = 5+11/2-1 = 9,5

S = 4+16/2-1 = 1

Заключение

Формула Пика проста в понимании и удобна в применении. Во-первых, достаточно уметь считать, делить на 2, складывать и вычитать. Во-вторых, можно найти площадь и сложной фигуры, не затратив много времени. В-третьих, эта формула работает для любого многоугольника.

Недостаток в том, что Формула Пика применима только для фигур, которые нарисованы на клетчатой бумаге и вершины лежат на узлах клеток.

Я уверен, что при сдаче выпускных экзаменов, задачи на вычисление площади фигур не будут вызывать затруднения. Ведь я уже знаком с формулой Пика.

Библиографическая ссылка

Габбазов Н.Н. ФОРМУЛА ПИКА // Старт в науке. – 2017. – № 6-1. – С. 130-132;
URL: http://science-start.ru/ru/article/view?id=908 (дата обращения: 05.03.2020).

Вычисление площади фигуры.

Метод Пика

Работа обучающейся 5Б класса МБОУ СОШ №23 г. Иркутска

Балсуковой Александры

Руководитель: Ходырева Т.Г.

2014г.

Вычисление площади фигуры. Метод Пика

Объект исследования : задачи на клетчатой бумаге

Предмет исследования : задач на вычисление площади многоугольника на клетчатой бумаге, методы и приёмы их решения.

Методы исследования : сравнение, обобщение, аналогии, изучение литературы и Интернет-ресурсов, анализ информации.

Цель исследования:

выбрать главную, интересную, понятную информацию

Проанализировать и систематизировать полученную информацию

Найти различные методы и приёмы решения задач на клетчатой бумаге

проверить формулы вычисления площадей геометрических фигур с помощью формулы Пика

Создать электронную презентацию работы для представления собранного материала

Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать.

(Г. Галилей)

Актуальность темы

Увлечение математикой часто начинается с размышления над какой-то задачей. Так при изучении темы «Площади многоугольников» встает вопрос есть ли задачи, отличные от задач рассмотренных в учебнике. К таким задачам можно отнести задачи на клетчатой бумаге. В чём заключается особенность таких задач, существуют ли специальные методы и приёмы решения задач на клетчатой бумаге. На уроке математики учитель познакомила нас с интересным методом вычисления многоугольников. Я приступила к изучению литературы, Интернет-ресурсов по данной теме. Казалось бы, что увлекательного можно найти на клетчатой плоскости, то есть, на бесконечном листке бумаги, расчерченном на одинаковые квадратики. Оказывается, задачи, связанные с бумагой в клеточку, достаточно разнообразны. Я научилась вычислять площади многоугольников, нарисованных на клетчатом листке. Для многих задач на бумаге в клетку нет общего правила решения, конкретных способов и приёмов. Вот это их свойство обуславливает их ценность для развития не конкретного учебного умения или навыка, а вообще умения думать, размышлять, анализировать, искать аналогии, то есть, эти задачи развивают мыслительные навыки в самом широком их понимании.

И еще я узнала, что такие задачи рассматриваются в контрольно – измерительных материалах ГИА и ЕГЭ. Поэтому, считаю изучение этого материала полезным для применения его не только в дальнейшем учебном процессе, но и для решения нестандартных олимпиадных задач.

2.Понятие площади

Площадь - численная характеристика двумерной геометрической фигуры, показывающая размер этой фигуры. Исторически вычисление площади называлось . Фигура, имеющая площадь, называется квадрируемой .

Площадь плоской фигуры с точки зрения геометрии

1. Площадь -мера плоской фигуры по отношению к стандартной фигуре, являющейся квадратом со стороной, равной единице длины.

2. Площадь - численная характеристика, приписываемая плоским фигурам определенного класса (например, многоугольникам). Площадь квадрата со стороной, равной единице длины, принимаемая равной единице площади

3. Площадь - положительная величина, численное значение которой обладает следующими свойствами:

 Равные фигуры имеют равные площади;

 Если фигура разбивается на части, являющиеся простыми фигурами (т.е. те, которые можно разбить на конечное число плоских треугольников), то площадь этой фигуры равна сумме площадей ее частей;

 Площадь квадрата со стороной, равной единице измерения, равна единице.

Таким образом, можно сделать вывод, что площадь не является конкретной величиной, а только дает некоторую условную характеристику какой-либо плоской фигуры. Чтобы найти площадь произвольной фигуры, то необходимо определить, сколько квадратов со стороной, равной единице длины, она в себя вмещает. Например, возьмем прямоугольник, в котором квадратный сантиметр укладывается ровно 6 раз. Это означает, что площадь прямоугольника равняется 6 см 2 .

Выбор площади квадрата со стороной, равной единице измерения, в качестве минимальной единицы измерения всех площадей не случаен. Это результат договоренности между людьми, возникший в ходе «естественного» многовекового отбора. Кроме того, были и другие предложения о единице измерения. Так, например, за такую единицу предлагалось взять площадь равностороннего треугольника (т.е. любую плоскую фигуру можно было представить в виде «суммы» некоего числа равносторонних треугольников), что привело бы к изменению численного представления площадей.

Таким образом, формулы для вычисления площадей появились в математике и осознались человеком не сразу-это многих ученых, проживающих в разные эпохи и разных странах. (Ошибочные формулы не находили место в науке и уходили в небытие). Истинные же формулы дополнялись, исправлялись и обосновывались на протяжений тысячелетий, пока не дошли до нас в их современном обличии.

Само же измерение площади состоит в сравнении площади данной фигуры с площадью фигуры, принятой за единицу измерения. В результате сравнения получается некоторое число- численное значение площади данной фигуры. Это число показывает, во сколько раз площадь данной фигуры больше (или меньше) площади фигуры, принятой за единицу измерения площади.

Таким образом, можно сделать вывод, что площадь-это искусственная величина, исторически введенная человеком для измерения некоторого свойства плоской фигуры. Необходимость ввода такой величины обуславливалась возрастающими потребностями в знании того, насколько большая та или иная территория, сколько надо зерна, чтобы засеять поле или вычислить площадь поверхности пола для украшения орнаментной плитки.

Формула Пика

Чтобы оценить площадь многоугольника на клетчатой бумаге, достаточно подсчитать, сколько клеток покрывает этот многоугольник (площадь клетки мы принимаем за единицу). Точнее, если S – площадь многоугольника, В - число клеток, которые целиком лежат внутри многоугольника, и Г - число клеток, которые имеют с внутренностью. Будем рассматривать только такие многоугольники, все вершины которых лежат в узлах клетчатой бумаги – в таких, где пересекаются линии сетки многоугольника хоть одну общую точку.

Площадь любого треугольника, нарисованного на клетчатой бумаге, легко посчитать, представив её как сумму или разность площадей прямоугольных треугольников и прямоугольников, стороны которых идут по линиям сетки, проходящим через вершины нарисованного треугольника.

Для вычисления площади такого многоугольника можно воспользоваться следующей теоремой:

Теорема . Пусть - число целочисленных точек внутри многоугольника, - количество целочисленных точек на его границе, - его площадь. Тогда справедлива формула Пика :

Пример. Для многоугольника на рисунке L = 7 (красные точки), 9 (зеленые точки), поэтому S = 7+ 9/2 -1 = 10,5 квадратных единиц.

Теорема Пика - классический результат и .

Площадь треугольника с вершинами в узлах и не содержащего узлов ни внутри, ни на сторонах (кроме вершин), равна 1/2. Этот факт.

3. История

Формула Пика была открыта австрийским математиком Георгом Александром (1859-1942) в г.. В 16 лет Георг закончил школу и поступил в . В 20 лет получил право преподавать физику и математику. В 1884 году Пик уехал в к . Там он познакомился с другим учеником Клейна, . Позже, в 1885 году, он вернулся в , где и прошла оставшаяся часть его научной карьеры.

Георг Пик дружил с Эйнштейном. Пик и Эйнштейн не только имели общие научные интересы, но и страстно увлекались музыкой. Пик, игравший в квартете, который состоял из университетских профессоров, ввёл Эйнштейна в научное и музыкальное общества Праги.

Круг математических интересов Пика был чрезвычайно широк. В частности, им более 50 научных работ. Широкую известность получила открытая им в 1899 году теорема Пика для расчёта площади многоугольника. В Германии эта теорема включена в школьные учебники.

4.Приложения формулы Пика

Формула Пика используется не только для вычисления площадей многоугольников, но и для решения многих задач олимпиадного уровня.

Некоторые примеры использования формулы Пика при решении задач:

1) Шахматный король обошел доску 8 × 8 клеток, побывав на каж-

дом поле ровно один раз и последним ходом вернувшись на исходное

поле. Ломаная, соединяющая последовательно центры полей, которые

проходил король, не имеет самопересечений. Какую площадь может

ограничивать эта ломаная? (Сторона клетки равна 1.)

Из формулы Пика сразу следует, что площадь, ограниченная ло-

маной, равна 64/2 − 1 = 31; здесь узлами решетки служат центры 64

полей и, по условию, все они лежат на границе многоугольника. Таким

образом, хотя таких «траекторий» короля достаточно много, но все они

ограничивают многоугольники равных площадей.

Задачи из контрольно – измерительных материалов ГИА и ЕГЭ

Задание B3

Найдите площади фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

4.Заключение

В процессе исследования я изучила справочную, научно-популярную литературу. Узнала, что задача на нахождение площади многоугольника с вершинами в узлах сетки с подвигла австрийского математика Пика в 1899 году доказать замечательную формулу Пика.

В результате моей работы я расширила свои знания о решении задач на клетчатой бумаге, определили для себя классификацию исследуемых задач, убедились в их многообразии.

Я научилась вычислять площади многоугольников, нарисованных на клетчатом листке Рассмотренные задания имеют различный уровень трудности – от простых до олимпиадных. Каждый может найти среди них задачи посильного уровня сложности, отталкиваясь от которых, можно будет переходить к решению более трудных.

Я пришла к выводу, что тема, которая меня заинтересовала, достаточно многогранна, задачи на клетчатой бумаге многообразны, методы и приёмы их решения также разнообразны. Поэтому наша я решила продолжить работу в этом направлении.

5. Используемая литература:

1.В а с и л ь е в Н. Б. Вокруг формулы Пика // Квант. - 1974. - № 12

2.К о к с е П р а с о л о в В. В. Задачи по планиметрии. - М.: МЦНМО, 2006.т е р Г. С.М. Введение в геометрию. - М.: Наука, 1966

3.Рослова Л.О., Шарыгин И.Ф. Измерения. – М.:Изд. «Открытый мир», 2005.

Интернет – ресурсы :

:

Отзыв на работу

«Вычисление площадей плоских фигур. Метод Пика»

Рассмотрение данной темы позволит повысить познавательную активность обучающегося, который впоследствии на уроках геометрии начнет видеть гармонию чертежа и перестанет воспринимать геометрию (да и математику в целом) как скучную науку.

Отзыв составила учитель математики

Ходырева Татьяна Георгиевна

Многоугольник без самопересечений называется решётчатым, если все его вершины находятся в точках с целочисленными координатами (в декартовой системе координат).

Теорема Пика

Формула

Пусть дан некоторый решётчатый многоугольник, с ненулевой площадью.

Обозначим его площадь через ; количество точек с целочисленными координатами, лежащих строго внутри многоугольника — через ; количество точек с целочисленными координатами, лежащих на сторонах многоугольника — через .

Тогда справедливо соотношение, называемое формулой Пика :

В частности, если известны значения I и B для некоторого многоугольника, то его площадь можно посчитать за , даже не зная координат его вершин.

Это соотношение открыл и доказал австрийский математик Георг Александр Пик (Georg Alexander Pick) в 1899 г.

Доказательство

Доказательство производится в несколько этапов: от самых простых фигур до произвольных многоугольников:

Обобщение на высшие размерности

К сожалению, эта столь простая и красивая формула Пика плохо обобщается на высшие размерности.

Наглядно показал это Рив (Reeve), предложив в 1957 г. рассмотреть тетраэдр (называемый теперь тетраэдром Рива ) со следующими вершинами:

где — любое натуральное число. Тогда этот тетраэдр при любых не содержит внутри ни одной точки с целочисленными координатами, а на его границе — лежат только четыре точки , , , и никакие другие. Таким образом, объём и площадь поверхности этого тетраэдра могут быть разными, в то время как число точек внутри и на границе — неизменны; следовательно, формула Пика не допускает обобщений даже на трёхмерный случай.

Тем не менее, некоторое подобное обобщение на пространства большей размерности всё же имеется, — это многочлены Эрхарта (Ehrhart Polynomial), но они весьма сложны, и зависят не только от числа точек внутри и на границе фигуры.