Pe această lecție Se consideră conceptul de fracție algebrică. Oamenii întâlnesc fracții în cel mai simplu situatii de viata: când este necesar să împărțiți un obiect în mai multe părți, de exemplu, să tăiați o prăjitură în mod egal între zece persoane. Evident, toată lumea primește o bucată din tort. În acest caz, ne confruntăm cu conceptul de fracție numerică, dar este posibilă o situație când un obiect este împărțit într-un număr necunoscut de părți, de exemplu, de x. În acest caz, apare conceptul de expresie fracțională. Te-ai familiarizat deja cu expresii întregi (care nu conțin împărțirea în expresii cu variabile) și proprietățile lor în clasa a VII-a. În continuare ne vom uita la conceptul de fracție rațională, precum și la valorile acceptabile ale variabilelor.
Subiect:Fracții algebrice. Operații aritmetice pe fracții algebrice
Lecţie:Noțiuni de bază
1. Definiție și exemple de fracții algebrice
Expresiile raționale sunt împărțite în expresii întregi și fracționale.
Definiție. Fracția rațională este o expresie fracțională de forma , unde sunt polinoame. - numărătorul numitor.
Exemple expresii raționale:
- expresii fracționale; - expresii întregi. În prima expresie, de exemplu, numărătorul este , iar numitorul este .
Sens fracție algebrică, ca oricine expresie algebrica, depinde de valoarea numerică a variabilelor care sunt incluse în acesta. În special, în primul exemplu valoarea fracției depinde de valorile variabilelor și, iar în al doilea exemplu numai de valoarea variabilei.
2. Calcularea valorii unei fracții algebrice și a două probleme de bază cu fracții
Să luăm în considerare prima sarcină tipică: calcularea valorii fracție rațională pentru diferite valori ale variabilelor incluse în acesta.
Exemplul 1. Calculați valoarea fracției pentru a) , b) , c)
Soluţie. Să substituim valorile variabilelor în fracția indicată: a), b) , c) - nu există (deoarece nu puteți împărți la zero).
Răspuns: 3; 1; nu exista.
După cum vedem, sunt două sarcini tipice pentru orice fracție: 1) calcularea fracției, 2) constatarea valori valide și invalide variabile de litere.
Definiție. Valori variabile valide- valorile variabilelor la care expresia are sens. Se numește setul tuturor valorilor posibile ale variabilelor ODZ sau domeniu.
3. Valori acceptabile (ADV) și inacceptabile ale variabilelor în fracții cu o variabilă
Valoarea variabilelor literale poate fi invalidă dacă numitorul fracției la aceste valori egal cu zero. În toate celelalte cazuri, valorile variabilelor sunt valabile, deoarece fracția poate fi calculată.
Exemplul 2. Stabiliți la ce valori ale variabilei fracția nu are sens.
Soluţie. Pentru ca această expresie să aibă sens, este necesar și suficient ca numitorul fracției să nu fie egal cu zero. Astfel, numai acele valori ale variabilei vor fi invalide pentru care numitorul este egal cu zero. Numitorul fracției este , deci rezolvăm ecuația liniară:
Prin urmare, având în vedere valoarea variabilei, fracția nu are sens.
Din soluția exemplului, urmează regula pentru găsirea valorilor nevalide ale variabilelor - numitorul fracției este egal cu zero și se găsesc rădăcinile ecuației corespunzătoare.
Să ne uităm la câteva exemple similare.
Exemplul 3. Stabiliți la ce valori ale variabilei fracția nu are sens.
Soluţie. .
Exemplul 4. Stabiliți la ce valori ale variabilei fracția nu are sens.
Soluţie..
Există și alte formulări ale acestei probleme - găsiți domeniu sau intervalul valorilor de expresie acceptabile (APV). Aceasta înseamnă găsirea tuturor valorilor variabilelor valide. În exemplul nostru, toate acestea sunt valori, cu excepția . Este convenabil să descrieți domeniul de definiție pe o axă numerică.
Pentru a face acest lucru, vom tăia un punct pe el, așa cum este indicat în figură:
Prin urmare, domeniul definirii fracțiilor vor fi toate numerele cu excepția 3.
Exemplul 5. Stabiliți la ce valori ale variabilei fracția nu are sens.
Soluţie..
Să descriem soluția rezultată pe axa numerică:
4. Reprezentarea grafică a zonei acceptabile (AP) și a valorilor inacceptabile ale variabilelor în fracții
Exemplul 6. Stabiliți la ce valori ale variabilelor fracția nu are sens.
Rezolvare.. Am obţinut egalitatea a două variabile, vom da exemple numerice: sau, etc.
Să descriem această soluție pe un grafic în sistemul de coordonate carteziene:
Orez. 3. Graficul funcției.
Coordonatele oricărui punct situat pe acest grafic nu sunt incluse în intervalul de valori acceptabile ale fracțiunilor.
5. Caz de tip „diviziune la zero”.
În exemplele discutate, am întâlnit o situație în care a avut loc împărțirea la zero. Acum luați în considerare cazul în care apare o situație mai interesantă cu diviziunea de tip.
Exemplul 7. Stabiliți la ce valori ale variabilelor fracția nu are sens.
Soluţie..
Se pare că fracția nu are sens la . Dar s-ar putea argumenta că acesta nu este cazul deoarece: 
.
Se poate părea că dacă expresia finală este egală cu 8 la , atunci poate fi calculată și cea inițială și, prin urmare, are sens la . Cu toate acestea, dacă o înlocuim în expresia originală, obținem - nu are sens.
Pentru a înțelege acest exemplu mai detaliat, să rezolvăm următoarea problemă: la ce valori fracția indicată este egală cu zero?
(o fracție este zero când numărătorul ei este zero) 
. Dar este necesar să se rezolve ecuația inițială cu o fracție și nu are sens pentru , deoarece la această valoare a variabilei numitorul este zero. Mijloace, ecuația dată are o singură rădăcină.
6. Regula pentru găsirea ODZ
Astfel, putem formula o regulă exactă pentru găsirea intervalului de valori admisibile ale unei fracții: pentru a găsi ODZfractii este necesar și suficient să echivalăm numitorul său cu zero și să găsim rădăcinile ecuației rezultate.
Am luat în considerare două sarcini principale: calcularea valorii unei fracții la valori specificate variabile şi găsirea intervalului de valori acceptabile ale unei fracții.
Să luăm acum în considerare câteva probleme care pot apărea atunci când lucrăm cu fracții.
7. Diverse sarcini și concluzii
Exemplul 8. Demonstrați că pentru orice valoare a variabilei fracția .
Dovada. Numătorul este un număr pozitiv. . Ca urmare, atât numărătorul, cât și numitorul sunt numere pozitive, prin urmare fracția este un număr pozitiv.
Dovedit.
Exemplul 9. Se știe că , găsiți .
Soluţie. Să împărțim fracția termen cu termen. Avem dreptul de a reduce cu, ținând cont de faptul că aceasta este o valoare variabilă invalidă pentru o anumită fracție.
În această lecție am acoperit concepte de bază legate de fracții. În următoarea lecție ne vom uita proprietatea principală a fracției.
Bibliografie
1. Bashmakov M.I Algebră clasa a VIII-a. - M.: Educație, 2004.
2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. Algebra 8. - Ed. - M.: Educație, 2010.
3. Nikolsky S. M., Potapov M. A., Reshetnikov N. N., Shevkin A. V. Algebra clasa a VIII-a. Manual pentru instituțiile de învățământ general. - M.: Educație, 2006.
1. Festivalul ideilor pedagogice.
2. Scoala veche.
3. Portalul de internet lib2.podelise. ru.
Teme pentru acasă
1. Nr. 4, 7, 9, 12, 13, 14. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. Algebra 8. - Ed. - M.: Educație, 2010.
2. Notați o fracție rațională al cărei domeniu de definiție este: a) mulțimea, b) mulțimea, c) întreaga dreaptă numerică.
3. Demonstrați că pentru toți valori acceptabile variabilă valoarea fracției este nenegativă.
4. Găsiți domeniul de expresie. Instrucțiuni: luați în considerare separat două cazuri: când numitorul fracției inferioare este zero și când numitorul fracției inițiale este zero.
Sectiunea de matematica. Prin linie.
Cifre și calcule
Expresii și transformări
Fracția algebrică.
Fracții reducătoare.
Operații cu fracții algebrice.
| Program | ^ Numărul de ore | Control semne | |
| U-1. Lecție combinată „Concepte de bază” | 1 | Sarcini pentru calcul mental. Exercitiul 1 „Expresii numerice” |
|
| U-2. Lecție-prelecție „Proprietatea principală a unei fracții algebrice. Fracțiuni reducătoare” | 1 | Material demonstrativ „Proprietatea principală a fracțiilor algebrice” |
|
| U-3. Lecția – consolidarea a ceea ce s-a învățat | 1 | Numărarea verbală „Proprietatea principală a unei fracții. Fracțiuni reducătoare" | Sarcini pentru calcul mental. Exercițiul 2 „Reducerea fracțiilor algebrice” |
| U-4. Lecția combinată „Adunarea și scăderea fracțiilor cu numitori similari” | 1 | |
|
| U-5. Lecție - soluție sarcini | 1 | CD Matematică 5-11 Exerciții „Numere raționale”. |
|
| U-6. Lecția combinată „Adunarea și scăderea fracțiilor cu numitori diferiti " | 1 | Material demonstrativ „Adunarea și scăderea fracțiilor algebrice” |
|
| U-7. Lecție - rezolvarea problemelor | 1 | Numărarea verbală | Sarcini pentru calcul mental. Exercițiul 3 „Adunarea și scăderea fracțiilor algebrice” |
| U-8. Lecția - independentă Loc de munca | 1 | Munca independentă 1.2 „Adunarea și scăderea fracțiilor algebrice” | |
| U-9. Lecție - rezolvarea problemelor | 1 | ||
| U-10. Lecție-test | 1 | Test №1 | |
| U-11. Lecție combinată „Înmulțirea și împărțirea fracțiilor algebrice. Ridicarea fracțiilor algebrice la puteri” | 1 | ||
| U-12. Lecție - rezolvarea problemelor | 2 | Munca independentă 1.3 „Înmulțirea și împărțirea fracțiilor” | |
| U-13. Lecția combinată „Transformarea expresiilor raționale” | 1 | Numărarea verbală | Sarcini pentru calcul mental. Exercițiul 4 „Înmulțirea și împărțirea fracțiilor algebrice” |
| U-14. Lecție - rezolvarea problemelor | 1 | ||
| U-15. Lecție - muncă independentă | 1 | Munca independentă 1.4 „Transformarea expresiilor raționale” | |
| U-16. Lecție de atelier „Primele idei despre rezolvarea ecuațiilor raționale” | 1 | CD Matematică 5-11 Laborator virtual „Graficul unei funcții”. |
|
| U-17. Lecție - rezolvarea problemelor | 1 | Testul 1 „Fracțiuni algebrice” | |
| U-18. Lecție - test. | 1 | Testul nr. 2 |
Să fie capabil să reducă fracțiile algebrice.
Să fie capabil să efectueze operații de bază cu fracții algebrice.
Să fie capabil să efectueze exerciții combinate pe acțiuni cu fracții algebrice.
Subiectul 2. Funcția pătratică. Funcţie . (18 ore)
Funcția
Conținut minim obligatoriu domeniul educațional matematică
Program. Monitorizarea implementării acestuia
| Program | Număr pe ora | Control semne | Program de calculator lecţie |
| U-1. Lecția combinată „Funcția , proprietățile sale și graficul" | 1 | |
|
| | 1 | Numărarea verbală | Sarcini pentru calcul mental. Exercițiul 5 „Funcția” Material demonstrativ „Parabola. Aplicații în știință și tehnologie” |
| U-3. Lecție de rezolvare a problemelor | 1 | Munca independentă 2.1 "Funcţie y = kx 2
» | |
| U-4. Lecție-prelecție „Funcția și graficul acesteia” | 1 | Material demonstrativ „Funcția, proprietățile sale și graficul” |
|
| ^ U-5. Lecție de rezolvare a problemelor | 3 | Numărarea verbală Munca independentă 2.2 "Funcţie" | Sarcini pentru calcul mental. Exercițiul 6" Proporționalitate inversă» |
| U-6,7. Lecții-ateliere „Cum să grafici o funcție » | 2 | Munca practica | |
| U-8,9. Lecții-ateliere „Cum să grafici o funcție , dacă graficul funcției este cunoscut » | 2 | CD „Matematică clasele 5-11”. Laboratorul virtual „Grafe de funcții” |
|
| ^ U-10. Lecție-test | 1 | Testul nr. 3 | |
| U-11 Lecții-atelier „Cum se trasează graficul unei funcții , dacă graficul funcției este cunoscut » | 1 | CD „Matematică clasele 5-11”. Laboratorul virtual „Grafe de funcții” |
|
| U-12 Lecție atelier„Cum să grafici o funcție , dacă graficul funcției este cunoscut » | 1 | Munca independentă 2.3 „Grafice de funcții” | CD „Matematică clasele 5-11”. Laboratorul virtual „Grafe de funcții” |
| U-13. Lecția combinată „Funcția , proprietățile sale și graficul" | 1 | Material demonstrativ „Proprietățile unei funcții pătratice” |
|
| U-14. Lecția - consolidarea a ceea ce s-a învățat.. | 1 | Numărarea verbală | Sarcini pentru calcul mental. Exercițiul 7 „Funcția cadranică” |
| U-15. Lecție de rezolvare a problemelor | 1 | Numărarea verbală Munca independentă 2.4 „Proprietățile și graficul unei funcții pătratice” | Sarcini pentru calcul mental. Exercițiul 8 „Proprietățile unei funcții pătratice” |
| U-16. Test de lecție | 1 | Testul 2 „Funcția cadranică” | |
| ^ U-17. Lecție atelier" Soluție grafică ecuații pătratice" | 1 | Material demonstrativ „Rezolvarea grafică a ecuațiilor pătratice” |
|
| U-18. Lecție-test | 1 | Testul nr. 4 |
Cerințe pentru pregătirea matematică
Nivelul de pregătire obligatorie a elevului
Nivelul posibil de pregătire a elevului
Subiectul 3 Funcția . Proprietăți rădăcină pătrată(ora 11)
Sectiunea de matematica. Prin linie
Cifre și calcule
Expresii și transformări
Funcții
Rădăcina pătrată a unui număr. Rădăcina pătrată aritmetică.
Conceptul de număr irațional. Iraționalitatea numerelor.
Numere reale.
Proprietăţi rădăcini pătrateși aplicațiile lor în calcul.
Funcția.
Program. Monitorizarea implementării acestuia
| Program | Număr de ore | Control semne | Suport computer pentru lecție |
| ^ U-1. Lecție-prelecție „Conceptul rădăcinii pătrate a unui număr nenegativ” | 1 | Material demonstrativ „Conceptul de rădăcină pătrată” |
|
| U-2. Lecție - rezolvarea problemelor | 1 | Munca independentă 3.1 "Rădăcina pătrată aritmetică" | |
| U-3. Lecția combinată „Funcția , proprietățile sale și graficul" | 1 | Material demonstrativ „Funcția, proprietățile sale și graficul” |
|
| ^ U-4. Lecție - rezolvarea problemelor | 1 | Numărarea verbală | Sarcini pentru calcul mental. Exercițiul 9 „Rădăcina pătrată aritmetică” |
| ^ U-5. Lecția combinată „Proprietățile rădăcinilor pătrate” | 1 | Material demonstrativ „Aplicarea proprietăților rădăcinii pătrate aritmetice” |
|
| ^ Lecția U-6 - rezolvarea problemelor | 1 | Numărarea verbală Munca independentă 3.2 „Proprietățile rădăcinii pătrate aritmetice” | Sarcini pentru calcul mental. Exercițiul 10 „Rădăcina pătrată a unui produs și a unei fracții” |
| ^ U-7.8. Ateliere „Transformarea expresiilor care conțin operația de extragere a rădăcinii pătrate.” | 2 | Munca practica | |
| ^ U-9. Lecție - rezolvarea problemelor | 1 | Numărarea verbală Munca independentă 3.3 „Aplicarea proprietăților rădăcinii pătrate aritmetice” | Sarcini pentru calcul mental. Exercițiul 11 „Rădăcina pătrată a unui grad” |
| U-10. Lecție - rezolvarea problemelor | 1 | Testul 3 "Rădăcini pătrate" | |
| U-11. Lecție - test. | 1 | Testul nr. 5 |
^ Cerințe pentru pregătirea matematică
Nivelul de pregătire obligatorie a elevului
Găsiți semnificațiile rădăcinilor în cazuri simple.
Cunoaşterea definiţiei şi proprietăţilor unei funcţii , să poată construi un program.
Să fie capabil să utilizeze proprietățile rădăcinilor pătrate aritmetice pentru a calcula valori și transformări simple ale expresiilor numerice care conțin rădăcini pătrate.
Nivelul posibil de pregătire a elevului
Cunoașterea conceptului de rădăcină pătrată aritmetică.
Să fie capabil să aplice proprietăţile rădăcinilor pătrate aritmetice la transformarea expresiilor.
Să fie capabil să folosească proprietăţile unei funcţii atunci când rezolvă probleme practice.
Să înțeleagă numerele iraționale și reale.
^ Subiectul 4 Ecuații cuadratice (21 de ore)
Sectiunea de matematica. Prin linie
Ecuaţii şi inegalităţi
Conținut minim obligatoriu al domeniului educațional matematică
Ecuație pătratică: formulă pentru rădăcinile unei ecuații pătratice.
Rezolvarea ecuaţiilor raţionale.
Rezolvarea de probleme de cuvinte folosind ecuaţii raţionale pătratice şi fracţionale.
Program. Monitorizarea implementării acestuia
| Program | Număr de ore | Control semne | Program de calculator lecţie |
| ^ U-1. Lecție-studiu de material nou „Concepte de bază”. | 1 | Material demonstrativ „Ecuații cadrate” |
|
| U-2. Lecția – consolidarea a ceea ce s-a învățat. | 1 | Numărarea verbală | Sarcini pentru calcul mental. Exercițiul 12 „Ecuația cadranică și rădăcinile sale” |
| U-3. Lecția combinată „Formulele rădăcinilor ecuațiilor pătratice”. | 1 | Munca independentă 4.1 „Ecuația cadranică și rădăcinile sale” | |
| U-4.5. Lecții de rezolvare a problemelor | 2 | Numărarea verbală | Sarcini pentru calcul mental. Exercițiul 11 „Rezolvarea ecuațiilor pătratice” |
| U-6. Lecție - muncă independentă | 1 | Munca independentă 4.2 „Rezolvarea ecuațiilor pătratice folosind o formulă” | |
| U-7. Lecția combinată „Ecuații raționale” | 1 | Munca practica | |
| U-8,9. Lecții de rezolvare a problemelor | 2 | Munca independentă 4.3 „Ecuații raționale” | |
| U-10,11. Workshop-uri „Ecuațiile raționale ca modele matematice ale situațiilor reale.” | 2 | ||
| U-12. Lecție de rezolvare a problemelor | 1 | ||
| U-13. Lecție - muncă independentă | 1 | Munca independentă 4.4 „Rezolvarea problemelor folosind ecuații cuadratice” | |
| U-14. Lecția combinată „O altă formulă pentru rădăcinile unei ecuații pătratice”. | 1 | ||
| U-15. Lecție - rezolvarea problemelor | 1 | ||
| U-16. Lecție combinată „Teorema lui Viete”. | 1 | Material demonstrativ „Teorema lui Vieta” |
|
| U-17. Lecție - rezolvarea problemelor | 1 | Numărarea verbală | Sarcini pentru calcul mental. Exercițiul 14 „Teorema lui Viete” |
| U-18. Lecția combinată „Ir. ecuații raționale» | 1 | ||
| U-19. Lecție - rezolvarea problemelor | 1 | ||
| U-20. Lecție de rezolvare a problemelor | 1 | Testul 4 „Ecuații quadratice” | CD Matematică 5-11. Laborator virtual „Grafice de ecuații și inegalități” |
| U-21. Lecție - test. | 1 | Testul nr. 6 |
^ Cerințe pentru pregătirea matematică
Nivelul de pregătire obligatorie a elevului
Să poată decide ecuații pătratice, simplu rațional și ecuații iraționale.
Să fie capabil să rezolve probleme simple Probleme de cuvinte folosind ecuații.
Nivelul posibil de pregătire a elevului
Înțelegeți că ecuațiile sunt aparate matematice rezolvarea diverselor probleme din matematică, domenii conexe de cunoaștere, practică.
Să fie capabil să rezolve ecuații pătratice, ecuații raționale și iraționale care pot fi reduse la ecuații pătratice.
Să fie capabil să folosească ecuații pătratice și ecuații raționale pentru a rezolva probleme.
| № p/p | Elemente de conținut | A fi capabil să decide sarcini problematice si situatii | S-9 |
|
| 26 | Putere cu exponent întreg negativ | Exponent natural, exponent negativ, înmulțire, împărțire și exponențiere | Avea o idee despre o putere cu un exponent natural, o putere cu un exponent negativ, înmulțirea, împărțirea și exponentiarea unui număr A fi capabil să: – simplificarea expresiilor folosind definiția unui grad cu exponent negativ și proprietățile unui grad; – compune un text în stil științific | S-10 |
| 29 | Testul nr. 2 „Transformarea expresiilor raționale” | A fi capabil să alege în mod independent o modalitate rațională de transformare a expresiilor raționale, demonstrează identități, rezolvă ecuații raționale eliberându-le de numitori, compunând model matematic situație reală | K.R. nr. 2 |
 |
|
 |  |
 |  |
 |  |
 |  |
Întrebări pentru testare
Precizați proprietatea principală a fracției.
Formula
Un algoritm pentru găsirea unui factor suplimentar pentru o fracție algebrică.
Reguli pentru adunarea și scăderea fracțiilor algebrice cu numitori similari.
Algoritm pentru găsirea numitorului comun al mai multor fracții
Regula pentru adunarea (scăderea) fracțiilor algebrice cu numitori diferiți.
Regula pentru înmulțirea fracțiilor algebrice
Regula pentru împărțirea fracțiilor algebrice.
Regula pentru ridicarea unei fracții algebrice la o putere.
Subiect:
Lecţie: Conversia expresiilor raționale
1. Exprimarea rațională și metodele de simplificare a acesteia
Să ne amintim mai întâi definiția unei expresii raționale.
Definiție. Exprimarea rațională - expresie algebrica, care nu conține rădăcini și include doar operațiile de adunare, scădere, înmulțire și împărțire (ridicare la o putere).
Prin conceptul de „transformarea unei expresii raționale” înțelegem, în primul rând, simplificarea acesteia. Și aceasta se realizează în ordinea acțiunilor cunoscute de noi: mai întâi acțiunile dintre paranteze, apoi produs al numerelor(exponentiație), împărțirea numerelor și apoi operații de adunare/scădere.
2. Simplificarea expresiilor raționale cu sumă/diferență de fracții
Scopul principal al lecției de astăzi va fi de a câștiga experiență în rezolvarea unor probleme mai complexe de simplificare a expresiilor raționale.
Exemplul 1.
Soluţie. La început poate părea că aceste fracții pot fi reduse, deoarece expresiile din numărătorii fracțiilor sunt foarte asemănătoare cu formulele pentru pătratele perfecte ale numitorilor corespunzători. ÎN în acest caz, Este important să nu vă grăbiți, ci să verificați separat dacă este așa.
Să verificăm numărătorul primei fracții: . Acum al doilea numărător: .
După cum puteți vedea, așteptările noastre nu au fost îndeplinite, iar expresiile din numărători nu sunt pătrate perfecte, deoarece nu au dublarea produsului. Astfel de expresii, dacă vă amintiți cursul de clasa a VII-a, se numesc pătrate incomplete. Ar trebui să fii foarte atent în astfel de cazuri, deoarece confundarea formulei pentru un pătrat complet cu un pătrat incomplet este foarte greseala comuna, iar astfel de exemple testează atenția elevului.
Deoarece reducerea este imposibilă, vom efectua adăugarea fracțiilor. Numitorii nu au factori comuni, așa că sunt pur și simplu înmulțiți pentru a obține cel mai mic numitor comun, iar factorul suplimentar pentru fiecare fracție este numitorul celeilalte fracții.
Bineînțeles, puteți deschide apoi parantezele și apoi aduceți termeni similari, totuși, în acest caz vă puteți descurca cu mai puțin efort și puteți observa la numărător că primul termen este formula pentru suma cuburilor, iar al doilea este diferenta de cuburi. Pentru comoditate, amintiți-vă aceste formule în vedere generala:
În cazul nostru, expresiile din numărător sunt restrânse după cum urmează:
, a doua expresie este similară. Avem:
Răspuns..
Exemplul 2. Simplificați expresia rațională 
.
Soluţie. Acest exemplu este similar cu cel precedent, dar aici este imediat clar că numărătorii fracțiilor conțin pătrate parțiale, deci reducerea cu stadiul inițial solutiile sunt imposibile. În mod similar cu exemplul anterior, adunăm fracțiile:
Aici, în mod similar cu metoda indicată mai sus, am observat și am restrâns expresiile folosind formulele pentru suma și diferența de cuburi.
Răspuns..
Exemplul 3. Simplificați o expresie rațională.
Soluţie. Puteți observa că numitorul celei de-a doua fracții este factorizat folosind formula sumei cuburilor. După cum știm deja, factorizarea numitorilor este utilă pentru a găsi în continuare cel mai mic numitor comun al fracțiilor.
Să indicăm cel mai mic numitor comun al fracțiilor, acesta este egal cu: https://pandia.ru/text/80/351/images/image016_27.gif" alt="http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront. net/content/konspekt_image/ 23332/d6838ff258e40dc138ebee9552f3b9fb.png" width="624" height="70">.!}
Răspuns.
3. Simplificarea expresiilor raționale cu fracții complexe „cu mai multe etaje”.
Să luăm în considerare un exemplu mai complex cu fracții „cu mai multe etaje”.
Exemplul 4. Dovediți identitatea https://pandia.ru/text/80/351/images/image019_25.gif" alt="http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/23335/25bd4e84df065d130e03bf9d130e03bf89d." width="402" height="55">. Доказано при всех допустимых значениях переменной.!}
Dovedit.
În lecția următoare vom arunca o privire mai atentă la mai multe exemple complexe pentru a transforma expresii raţionale.
Subiect: Fracții algebrice. Operații aritmetice pe fracții algebrice
Lecţie: Conversia expresiilor raționale mai complexe
1. Un exemplu de demonstrare a identității folosind transformări ale expresiilor raționale
În această lecție ne vom uita la transformarea expresiilor raționale mai complexe. Primul exemplu va fi dedicat dovedirii identității.
Exemplul 1
Demonstrați identitatea: .
Dovada:
În primul rând, la transformarea expresiilor raționale, este necesar să se determine ordinea acțiunilor. Să vă reamintim că mai întâi se efectuează operațiile din paranteze, apoi înmulțirea și împărțirea, iar apoi adunarea și scăderea. Prin urmare, în acest exemplu, ordinea acțiunilor va fi următoarea: mai întâi executăm acțiunea în primele paranteze, apoi în a doua paranteză, apoi împărțim rezultatele obținute, iar apoi adăugăm o fracție la expresia rezultată. Ca rezultat al acestor acțiuni, precum și al simplificării, ar trebui să se obțină expresia.
În această lecție vom continua să luăm în considerare cele mai simple operații cu fracții algebrice - adunarea și scăderea acestora. Astăzi ne vom concentra asupra unor exemple în care cea mai importantă parte a soluției va fi factorizarea numitorului în toate modurile pe care le cunoaștem: cu factorul comun, metoda grupării, izolarea pătratului perfect, folosind formule de înmulțire abreviate. În timpul lecției ne vom uita la câteva probleme de fracțiuni destul de complexe.
Subiect:Fracții algebrice. Operații aritmetice pe fracții algebrice
Lecţie:Probleme care implică adunarea și scăderea fracțiilor
În timpul lecției vom lua în considerare și generaliza toate cazurile de adunare și scădere a fracțiilor: cu același și cu numitori diferiți. În general, vom rezolva probleme de forma:
Am văzut mai devreme că la adunarea sau scăderea fracțiilor algebrice, una dintre cele mai importante operații este factorizarea numitorilor. O procedură similară se efectuează și în cazul fracțiilor obișnuite. Să ne amintim încă o dată cum să lucrăm cu fracții obișnuite.
Exemplul 1. Calculati.
Soluţie. Să folosim, ca mai înainte, teorema de bază a aritmeticii în care poate fi descompus orice număr factori primi: 
.
Să determinăm cel mai mic multiplu comun al numitorilor: - acesta va fi numitorul comun al fracțiilor și, pe baza acestuia, vom determina factori suplimentari pentru fiecare dintre fracții: pentru prima fracție 
, pentru a doua fracție 
, pentru a treia fracție.
Răspuns..
În exemplul de mai sus, am folosit teorema fundamentală a aritmeticii pentru a factoriza numerele. În plus, atunci când polinoamele acționează ca numitori, ele vor trebui factorizate folosind următoarele metode cunoscute de noi: scoaterea unui factor comun, metoda grupării, izolarea unui pătrat complet, folosind formule de înmulțire abreviate.
Exemplul 2. Adunați și scădeți fracții .
Soluţie. Numitorii tuturor celor trei fracții sunt expresii complexe care trebuie factorizate, apoi găsiți cel mai mic numitor comun pentru ele și indicați factori suplimentari pentru fiecare dintre fracții. Să facem toți acești pași separat și apoi să înlocuim rezultatele în expresia originală.
La primul numitor scoatem factorul comun: - dupa scoaterea factorului comun, se poate observa ca expresia dintre paranteze este pliata dupa formula patratului sumei.
La al doilea numitor scoatem factorul comun: - dupa scoatem factorul comun aplicam formula pentru diferenta de patrate.
La al treilea numitor scoatem factorul comun: .
După factorizarea celui de-al treilea numitor, puteți vedea că în al doilea numitor puteți izola un factor pentru mai mult căutare convenabilă cel mai mic numitor comun al fracțiilor, vom face acest lucru plasând minusul dintre paranteze, în a doua paranteză am schimbat termenii cu o formă mai convenabilă de notație.
Să definim cel mai mic numitor comun al fracțiilor ca o expresie care este împărțită la toți numitorii în același timp, aceasta va fi egală cu: .
Să indicăm factori suplimentari: pentru prima fracție 
, pentru a doua fracție 
- nu luăm în calcul minusul la numitor, deoarece îl vom scrie pentru întreaga fracție, pentru a treia fracție 
.
Acum să facem acțiuni cu fracții, fără a uita să schimbăm semnul înainte de a doua fracție:
Pe ultima etapă soluții, am adus termeni similari și i-am scris în ordinea descrescătoare a puterilor variabilei.
Răspuns..
Folosind exemplul de mai sus, am demonstrat încă o dată, ca și în lecțiile anterioare, algoritmul de adunare/scădere a fracțiilor, care este următorul: factorizați numitorii fracțiilor, găsiți cel mai mic numitor comun, factorii suplimentari, efectuați procedura de adunare/scădere. și, dacă este posibil, simplificați exprimarea și faceți o reducere. Vom continua să folosim acest algoritm în viitor. Să ne uităm acum la exemple mai simple.
Exemplul 3. Scăderea fracțiilor 
.
Soluţie.În acest exemplu, este important să vedem oportunitatea de a reduce prima fracție înainte de a o aduce la un numitor comun cu a doua fracție. Pentru a face acest lucru, factorizăm numărătorul și numitorul primei fracții.
Numerator: - în primul pas am extins o parte a expresiei conform formulei diferenței de pătrate, iar în a doua etapă am scos factorul comun.
Numitor: - la prima etapă am extins o parte a expresiei după formula pătratului diferenței, iar în a doua etapă am scos factorul comun. Înlocuiți numărătorul și numitorul rezultat în expresia originală și reduceți prima fracție cu un factor comun:
Răspuns:.
Exemplul 4. Efectuați acțiuni 
.
Soluţie.În acest exemplu, ca și în cel precedent, este important să observați și să implementați reducerea fracției înainte de a efectua acțiunile. Să factorizăm numărătorul și numitorul.