Dar la acel moment l-am formulat într-o formă „simplificată”, convenabilă și suficientă pentru a lucra cu fracții obișnuite. În acest articol, ne vom uita la proprietatea de bază a fracțiilor așa cum se aplică fracțiilor algebrice (adică fracțiilor al căror numărător și numitor sunt polinoame; în unele manuale de algebră, astfel de fracții sunt numite fracții raționale mai degrabă decât algebrice). Mai întâi să formulăm proprietatea principală a unei fracții algebrice, îl vom justifica, iar după aceea vom enumera principalele domenii de aplicare a acestuia.
Navigare în pagină.
Formulare și justificare
Pentru început, să ne amintim cum a fost formulată proprietatea de bază a unei fracții pentru fracțiile obișnuite: dacă atât numărătorul cât și numitorul fracție comunăînmulțiți sau împărțiți cu un număr natural, valoarea fracției nu se va schimba. Această afirmație corespunde egalităților și (care sunt valabile și cu părți rearanjate sub forma și ), unde a, b și m sunt unele.
De fapt, nu este nevoie să vorbim despre împărțirea numărătorului și numitorului la un număr - acest caz este acoperit de o egalitate a formei . De exemplu, egalitatea poate fi justificată prin divizare folosind egalitatea ca 
, dar poate fi justificată și pe bază de egalitate ca 
. Prin urmare, în continuare vom asocia proprietatea principală a unei fracții cu egalitatea (și) și nu ne vom opri asupra egalității (și).
Acum vom arăta că proprietatea principală a unei fracții se aplică și fracțiilor al căror numărător și numitor sunt . Pentru a face acest lucru, demonstrăm că egalitatea scrisă este adevărată nu numai pentru numerele naturale, ci și pentru oricare numere reale. Cu alte cuvinte, vom demonstra că egalitatea este adevărată pentru orice numere reale a, b și m, iar b și m sunt diferite de zero (altfel vom întâlni împărțirea la zero).
Fie fracția a/b o reprezentare a numărului z, adică . Să demonstrăm că fracției îi corespunde și numărului z, adică demonstrăm că . Aceasta va dovedi egalitatea.
Este demn de remarcat faptul că, dacă o fracție algebrică are coeficienți fracționari, atunci înmulțirea numărătorului și numitorului ei cu un anumit număr ne permite să trecem la coeficienți întregi și, prin urmare, să îi simplificăm forma. De exemplu, 
. Iar regulile pentru schimbarea semnelor membrilor unei fracții algebrice se bazează pe înmulțirea numărătorului și numitorului cu minus unu.
A doua cea mai importantă aplicație a proprietății de bază a fracțiilor este reducerea fracțiilor algebrice. În cazul general, reducerea se efectuează în două etape: mai întâi, numărătorul și numitorul sunt factorizați, ceea ce face posibilă găsirea unui factor comun m, iar apoi, pe bază de egalitate, se face o tranziție la o fracție. de forma a/b fără acest factor comun. De exemplu, o fracție algebrică după factorizarea numărătorului și numitorului ia forma www.site, inclusiv materialele interne și designul extern, nu poate fi reprodusă sub nicio formă sau utilizată fără permisiunea prealabilă scrisă a deținătorului drepturilor de autor.
Această lecție acoperă conceptul de fracție algebrică. Oamenii întâlnesc fracții în cel mai simplu situatii de viata: când este necesar să împărțiți un obiect în mai multe părți, de exemplu, să tăiați o prăjitură în mod egal între zece persoane. Evident, toată lumea primește o bucată din tort. În acest caz, ne confruntăm cu conceptul de fracție numerică, dar este posibilă o situație când un obiect este împărțit într-un număr necunoscut de părți, de exemplu, de x. În acest caz, apare conceptul de expresie fracțională. Te-ai familiarizat deja cu expresii întregi (care nu conțin împărțirea în expresii cu variabile) și proprietățile lor în clasa a VII-a. În continuare, ne vom uita la conceptul de fracție rațională, precum și la valorile acceptabile ale variabilelor.
Expresiile raționale sunt împărțite în expresii întregi și fracționale.
Definiție.Fracția rațională este o expresie fracțională de forma , unde sunt polinoame. - numărătorul numitor.
Exempleexpresii raționale:
- expresii fracționale; - expresii întregi. În prima expresie, de exemplu, numărătorul este , iar numitorul este .
Sens fracție algebrică ca oricine expresie algebrica, depinde de valoarea numerică a variabilelor care sunt incluse în acesta. În special, în primul exemplu valoarea fracției depinde de valorile variabilelor și, iar în al doilea exemplu numai de valoarea variabilei.
Să luăm în considerare prima sarcină tipică: calcularea valorii fracție rațională pentru diferite valori ale variabilelor incluse în acesta.
Exemplul 1. Calculați valoarea fracției pentru a), b) , c)
Soluţie. Să substituim valorile variabilelor în fracția indicată: a), b) , c) - nu există (deoarece nu puteți împărți la zero).
Răspuns: a) 3; b) 1; c) nu există.
După cum vedem, sunt două sarcini tipice pentru orice fracție: 1) calcularea fracției, 2) constatarea valori valide și invalide variabile de litere.
Definiție.Valori variabile valide- valorile variabilelor la care expresia are sens. Se numește setul tuturor valorilor posibile ale variabilelor ODZ sau domeniu.
Valoarea variabilelor literale poate fi invalidă dacă numitorul fracției la aceste valori egal cu zero. În toate celelalte cazuri, valorile variabilelor sunt valide, deoarece fracția poate fi calculată.
Exemplul 2.
Soluţie. Pentru ca această expresie să aibă sens, este necesar și suficient ca numitorul fracției să nu fie egal cu zero. Astfel, numai acele valori ale variabilei vor fi invalide pentru care numitorul este egal cu zero. Numitorul fracției este , deci rezolvăm ecuația liniară:
Prin urmare, având în vedere valoarea variabilei, fracția nu are sens.
Răspuns: -5.
Din soluția exemplului, urmează regula pentru găsirea valorilor nevalide ale variabilelor - numitorul fracției este egal cu zero și se găsesc rădăcinile ecuației corespunzătoare.
Să ne uităm la câteva exemple similare.
Exemplul 3. Stabiliți la ce valori ale variabilei fracția nu are sens .
Soluţie..
Răspuns..
Exemplul 4. Stabiliți la ce valori ale variabilei fracția nu are sens.
Soluţie..
Există și alte formulări ale acestei probleme - găsiți domeniu sau intervalul valorilor de expresie acceptabile (APV). Aceasta înseamnă găsirea tuturor valorilor valide ale variabilelor. În exemplul nostru, toate acestea sunt valori, cu excepția . Este convenabil să descrieți domeniul de definiție pe o axă numerică.
Pentru a face acest lucru, vom tăia un punct pe el, așa cum este indicat în figură:
Orez. 1
Prin urmare, domeniul definirii fracțiilor vor fi toate numerele cu excepția 3.
Răspuns..
Exemplul 5. Stabiliți la ce valori ale variabilei fracția nu are sens.
Soluţie..
Să descriem soluția rezultată pe axa numerică:
Orez. 2
Răspuns..
Exemplul 6.
Soluţie.. Am obținut egalitatea a două variabile, vom da exemple numerice: sau, etc.
Să descriem această soluție pe un grafic în sistemul de coordonate carteziene:
Orez. 3. Graficul unei funcții
Coordonatele oricărui punct situat pe acest grafic nu sunt incluse în intervalul de valori acceptabile ale fracțiunilor.
Răspuns..
În exemplele discutate, am întâlnit o situație în care a avut loc împărțirea la zero. Acum luați în considerare cazul în care apare o situație mai interesantă cu diviziunea de tip.
Exemplul 7. Stabiliți la ce valori ale variabilelor fracția nu are sens.
Soluţie..
Se pare că fracția nu are sens la . Dar s-ar putea argumenta că acesta nu este cazul deoarece: 
.
Se poate părea că dacă expresia finală este egală cu 8 la , atunci poate fi calculată și cea inițială și, prin urmare, are sens la . Cu toate acestea, dacă o înlocuim în expresia originală, obținem - nu are sens.
Răspuns..
Pentru a înțelege acest exemplu mai detaliat, să rezolvăm următoarea problemă: la ce valori fracția indicată este egală cu zero?
Când un student se mută în liceu, matematica este împărțită în 2 materii: algebră și geometrie. Sunt tot mai multe concepte, sarcinile sunt din ce în ce mai dificile. Unii oameni au dificultăți în înțelegerea fracțiilor. Am ratat prima lecție pe acest subiect și voila. fractii? O întrebare care îmi va chinui toată viața de școală.
Conceptul de fracție algebrică
Să începem cu o definiție. Sub fracție algebrică se referă la expresiile P/Q, unde P este numărătorul și Q este numitorul. Un număr poate fi ascuns sub intrarea literei, expresie numerică, expresie numerică-litera.
Înainte să te întrebi cum să te decizi fracții algebrice, mai întâi trebuie să înțelegeți că o astfel de expresie face parte din întreg.
De regulă, un număr întreg este 1. Numărul din numitor arată în câte părți este împărțită unitatea. Numărătorul este necesar pentru a afla câte elemente sunt luate. Bara de fracțiuni corespunde semnului diviziunii. Este permisă scrierea unei expresii fracționale ca operație matematică „Diviziune”. În acest caz, numărătorul este dividendul, numitorul este divizorul.
Regula de bază a fracțiilor comune
Când trec elevii Acest subiect la școală, li se oferă exemple pentru a le consolida. Pentru a le rezolva corect și a găsi diferite căi de ieșire din situații complexe, trebuie să aplicați proprietatea de bază a fracțiilor.
Se întâmplă astfel: dacă înmulțiți atât numărătorul, cât și numitorul cu același număr sau expresie (alta decât zero), valoarea fracției comune nu se modifică. Un caz special al acestei reguli este împărțirea ambelor părți ale unei expresii cu același număr sau polinom. Astfel de transformări se numesc egalități identice.
Mai jos vom analiza cum să rezolvăm adunarea și scăderea fracțiilor algebrice, înmulțirea, împărțirea și reducerea fracțiilor.
Operatii matematice cu fractii
Să ne uităm la cum să rezolvăm, principala proprietate a unei fracții algebrice și cum să o aplicăm în practică. Dacă trebuie să înmulțiți două fracții, să le adunați, să le împărțiți una cu alta sau să scădeți, trebuie să respectați întotdeauna regulile.
Astfel, pentru operația de adunare și scădere trebuie găsit un factor suplimentar pentru a aduce expresiile la un numitor comun. Dacă fracțiile sunt date inițial cu aceleași expresiiÎ, atunci trebuie să omiteți acest element. Odată găsit numitorul comun, cum rezolvi fracțiile algebrice? Trebuie să adăugați sau să scădeți numărători. Dar! Trebuie reținut că, dacă există un semn „-” în fața fracției, toate semnele din numărător sunt inversate. Uneori nu ar trebui să efectuați substituții sau operații matematice. Este suficient să schimbi semnul în fața fracției.
Conceptul este adesea folosit ca fracții reducătoare. Aceasta înseamnă următoarele: dacă numărătorul și numitorul sunt împărțite la o expresie diferită de una (aceeași pentru ambele părți), atunci se obține o nouă fracție. Dividendele și divizorul sunt mai mici decât înainte, dar datorită regulii de bază a fracțiilor rămân egale cu exemplul original.
Scopul acestei operații este obținerea unei noi expresii ireductibile. Puteți rezolva această problemă reducând numărătorul și numitorul cu cel mai mare factor comun. Algoritmul de operare constă din două puncte:
- Aflarea mcd pentru ambele părți ale fracției.
- Împărțirea numărătorului și numitorului la expresia găsită și obținerea unei fracții ireductibile egale cu cea anterioară.
Mai jos este un tabel care arată formulele. Pentru comoditate, îl puteți imprima și îl puteți purta cu dvs. într-un caiet. Cu toate acestea, pentru ca în viitor, la rezolvarea unui test sau examen, să nu existe dificultăți în problema modului de rezolvare a fracțiilor algebrice, aceste formule trebuie învățate pe de rost.
Câteva exemple cu soluții
Din punct de vedere teoretic, se ia în considerare problema cum se rezolvă fracțiile algebrice. Exemplele date în articol vă vor ajuta să înțelegeți mai bine materialul.
1. Convertiți fracțiile și aduceți-le la un numitor comun.
2. Convertiți fracțiile și aduceți-le la un numitor comun.
După ce a studiat partea teoretică şi a luat în considerare probleme practice nu ar trebui să mai existe.
În § 42 s-a spus că dacă împărțirea polinoamelor nu poate fi realizată complet, atunci câtul se scrie sub forma unei expresii fracționale în care dividendul este numărătorul și divizorul este numitorul.
Exemple de expresii fracționale:
Numătorul și numitorul unei expresii fracționale pot fi ele însele expresii fracționale, de exemplu:
Dintre expresiile algebrice fracționale, cel mai adesea trebuie să aveți de-a face cu acelea în care numărătorul și numitorul sunt polinoame (în special, monomii). Fiecare astfel de expresie se numește fracție algebrică.
Definiție. Expresie algebrica, care este o fracție al cărei numărător și numitor sunt polinoame, se numește fracție algebrică.
Ca și în aritmetică, numărătorul și numitorul unei fracții algebrice se numesc termenii fracției.
În viitor, după ce am studiat operațiile pe fracții algebrice, vom putea transforma orice expresie fracțională într-o fracție algebrică folosind transformări identice.
Exemple de fracții algebrice:
Rețineți că întreaga expresie, adică un polinom, poate fi scrisă ca fracție, este suficient să scrieți această expresie la numărător și 1 la numitor;
2. Valori acceptabile ale literelor.
Literele incluse numai în numărător pot lua orice valoare (cu excepția cazului în care sunt introduse restricții suplimentare de condiția problemei).
Pentru literele incluse în numitor, sunt valabile doar acele valori care nu transformă numitorul la zero. Prin urmare, în cele ce urmează vom presupune întotdeauna că numitorul unei fracții algebrice nu este egal cu zero.