Анна Малкова
Геометрическая прогрессия - это последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен произведению предыдущего члена и некоторого фиксированного числа q:
Фиксированное число q называется знаменателем геометрической прогрессии.
Формула n-го члена геометрической прогрессии:
Формула суммы первых членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:
Квадрат каждого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению соседних:
1. На поверхности озера растут водоросли. За сутки каждая водоросль делится пополам, и вместо одной водоросли появляются две. Ещё через сутки каждая из получившихся водорослей делится пополам и так далее. Через 30 суток озеро полностью покрылось водорослями. Через какое время озеро было заполнено наполовину?
Ответ парадоксальный: через 29 суток.
Эту задачу лучше всего решать «с конца». Вот перед вами заполненное водорослями озеро. Что было сутки назад? Очевидно, водорослей было в два раза меньше, то есть озеро было покрыто ими наполовину.
Каждый день водорослей в озере становилось в два раза больше, то есть их число увеличивалось в геометрической прогрессии .
2. ЕГЭ) Бизнесмен Бубликов получил в 2000 году прибыль в размере 5000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 300% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Бубликов за 2003 год?
Невелика была прибыль Бубликова в 2000 году. Зато каждый год прибыль увеличивалась на 300%, то есть в 4 раза по сравнению с предыдущим годом. Геометрическая прогрессия! Ищем ее четвертый член:
3. (Задача ЕГЭ) Компания «Альфа» начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2001 году, имея капитал в размере 3000 долларов. Каждый год, начиная с 2002 года, она получала прибыль, которая составляла 100% от капитала предыдущего года. А компания «Бета» начала инвестировать средства в другую отрасль в 2003 году, имея капитал в размере 6000 долларов, и, начиная с 2004 года, ежегодно получала прибыль, составляющую 200% от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2006 года, если прибыль из оборота не изымалась?
Определим основные понятия задачи.
Капитал компании – совокупность всех средств, имеющихся у компании.
Прибыль – разница между доходом и расходом (затратами).
Если в 2002 году прибыль компании «Альфа» составляет 100% от капитала прошлого года, значит, за год капитал компании «Альфа» удвоился. Аналогично, капитал компании «Альфа» удваивается в 2003, 2004, 2005 и 2006 годах, то есть в 2006 году он составил тысяч долларов.
Капитал компании «Бета» ежегодно увеличивается в 3 раза. В 2006 году он увеличился в раз по сравнению с 2003 годом и составил долларов.
Это на 66 тысяч долларов больше, чем капитал компании «Альфа».
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
Геометрическая прогрессия, знаменатель которой |q| <1, называется бесконечно убывающей.
Пример бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Чему же равна ее сумма?
Нарисуем прямоугольник с площадью 1. Добавим к нему участки с площадью
К чему стремится площадь полученной фигуры при бесконечном увеличении n, то есть при добавлении все более мелких участков? Очевидно, к двум.
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии – число, которое находится по формуле:
Есть такой математический анекдот, и теперь вы его поймете.
Бесконечное число математиков заходит в бар. Первый говорит: «Мне кружку пива!» Второй: «Мне полкружки пива!» Третий: «Мне четверть кружки пива!» Четвертый: «Мне кружки пива!» Бармен: «Погодите-ка… Знаю я ваши фокусы - вам две кружки пива на всех!»
Задачи ЕГЭ для самостоятельного решения
1. Бизнесмен Коровин получил в 2000 году прибыль в размере 1 400 000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 20% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей составила прибыль Коровина за 2004 год?
2. Компания «Альфа» начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2001 году, имея капитал в размере 4000 долларов. Каждый год, начиная с 2002 года, она получала прибыль, которая составляла 100% от капитала предыдущего года. А компания «Бета» начала инвестировать средства в другую отрасль в 2004 году, имея капитал в размере 4500 долларов, и, начиная с 2005 года, ежегодно получала прибыль, составляющую 200% от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2007 года, если прибыль из оборота не изымалась?
- Ответ: 2 903 040
- Ответ: 134500
ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ VI
§ l48. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии
До сих пор, говоря о суммах, мы всегда предполагали, что число слагаемых в этих суммах конечно (например, 2, 15, 1000 и т. д.). Но при решении некоторых задач (особенно высшей математики) приходится сталкиваться и с суммами бесконечного числа слагаемых
S = a 1 + a 2 + ... + a n + ... . (1)
Что же представляют из себя такие суммы? По определению суммой бесконечного числа слагаемых a 1 , a 2 , ..., a n , ... называется предел суммы S n первых п чисел, когда п -> ∞ :
S = S n = (a 1 + a 2 + ... + a n ). (2)
Предел (2), конечно, может существовать, а может и не существовать. Соответственно этому говорят, что сумма (1) существует или не существует.
Как же выяснить, существует ли сумма (1) в каждом конкретном случае? Общее решение этого вопроса выходит далеко за пределы нашей программы. Однако существует один важный частный случай, который нам предстоит сейчас рассмотреть. Речь будет идти о суммировании членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Пусть a 1 , a 1 q , a 1 q 2 , ...- бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Это означает, что | q |< 1. Сумма первых п членов этой прогрессии равна
Из основных теорем о пределах переменных величин (см. § 136) получаем:
Но 1 = 1, a q n = 0. Поэтому
Итак, сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна первому члену этой прогрести, деленному на единицу минус знаменатель этой прогрессии.
1) Сумма геометрической прогрессии 1, 1 / 3 , 1 / 9 , 1 / 27 , ... равна
а сумма геометрической прогрессии 12; -6; 3; - 3 / 2 , ... равна
2) Простую периодическую дробь 0,454545 ... обратить в обыкновенную.
Для решения этой задачи представим данную дробь в виде бесконечной суммы:
Правая часть этого равенства представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, первый член которой равен 45 / 100 , а знаменатель 1 / 100 . Поэтому
Описанным способом может быть получено и общее правило обращения простых периодических дробей в обыкновенные (см. гл. II, § 38):
Для обращения простой периодической дроби в обыкновенную нужно поступить следующим образом: в числителе поставить период десятичной дроби, а в знаменателе - число, состоящее из девяток, взятых столько раз, сколько знаков в периоде десятичной дроби.
3) Смешанную периодическую дробь 0,58333 .... обратить в обыкновенную.
Представим данную дробь в виде бесконечной суммы:
В правой части этого равенства все слагаемые, начиная с 3 / 1000 , образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, первый член которой равен 3 / 1000 , а знаменатель 1 / 10 . Поэтому
Описанным способом может быть получено и общее правило обращения смешанных периодических дробей в обыкновенные (см. гл. II, § 38). Мы сознательно не приводим его здесь. Запоминать это громоздкое правило нет необходимости. Гораздо полезнее знать, что любую смешанную периодическую дробь можно представить в виде суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии и некоторого числа. А формулу
для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии нужно, конечно, помнить.
В качестве упражнения предлагаем вам, помимо приведенных ниже задач № 995-1000, еще раз обратиться к задаче № 301 § 38 .
Упражнения
995. Что называется суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии?
996. Найти суммы бесконечно убывающих геометрических прогрессий:
997. При каких значениях х прогрессия
является бесконечно убывающей? Найти сумму такой прогрессии.
998. В равносторонний треугольник со стороной а вписан посредством соединения середин его сторон новый треугольник; в этот треугольник тем же способом вписан новый треугольник и так далее до бесконечности.
а) сумму периметров всех этих треугольников;
б) сумму их площадей.
999. В квадрат со стороной а вписан путем соединения середин его сторон новый квадрат; в этот квадрат таким же образом вписан квадрат и так далее до бесконечности. Найти сумму периметров всех этих квадратов и сумму их площадей.
1000. Составить бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, такую, чтобы сумма ее равнялась 25 / 4 , а сумма квадратов ее членов равнялась 625 / 24 .
Геометрическая прогрессия - это числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый следующий член равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же не равное нулю число.
Геометрическая прогрессия обозначается b1,b2,b3, …, bn, … .
Отношение любого члена геометрической погрешности к её предыдущему члену равно одному и тому же числу, то есть b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = … = bn/b(n-1) = b(n+1)/bn = … . Это следует непосредственно из определения арифметической прогрессии. Это число называют знаменателем геометрической прогрессии. Обычно знаменатель геометрической прогрессии обозначают буквой q.
Монотонная и постоянная последовательность
Одним из способов задания геометрической прогрессии является задание её первого члена b1 и знаменателя геометрической погрешности q. Например, b1=4, q=-2. Эти два условия задают геометрическую прогрессию 4, -8, 16, -32, … .
Если q>0 (q не равно 1), то прогрессия является монотонной последовательностью. Например, последовательность, 2, 4,8,16,32, … является монотонно возрастающей последовательностью (b1=2, q=2).
Если в геометрической погрешности знаменатель q=1, то все члены геометрической прогрессии будут равны между собой. В таких случаях говорят, что прогрессия является постоянной последовательностью.
Формула n-ого члена геометрической прогрессии
Для того, чтобы числовая последовательность (bn) являлась геометрической прогрессией необходимо, чтобы каждый её член, начиная со второго, являлся средним геометрическим соседних членов. То есть необходимо выполнение следующего уравнения
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2),для любого n>0, где n принадлежит множеству натуральных чисел N.
Формула n-ого члена геометрической прогрессии имеет вид:
bn=b1*q^(n-1),
где n принадлежит множеству натуральных чисел N.
Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии
Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии имеет вид:
Sn = (bn*q - b1)/(q-1), где q не равно 1.
Рассмотрим простой пример:
В геометрической прогрессии b1=6, q=3, n=8 найти Sn.
Для нахождения S8 воспользуемся формулой суммы n первых членов геометрической прогрессии.
S8= (6*(3^8 -1))/(3-1) = 19 680.
Урок по теме “Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия”
Цель урока: ознакомление учащихся с новым видом последовательности – бесконечно убывающей геометрической прогрессией.
Задачи:
формулирование начального представления о пределе числовой последовательности; знакомство с ещё одним способом обращения бесконечных периодических дробей в обыкновенные с помощью формулы суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии;
развитие интеллектуальных качеств личности школьников такие, как логическое мышление, способность к оценочным действиям, обобщению;
воспитание активности, взаимопомощи, коллективизма, интереса к предмету.
Оборудование: компьютерный класс, проектор, экран.
Тип урока: урок – усвоение новой темы.
Ход урока
I . Орг. момент. Сообщение темы и цели урока.
II . Актуализация знаний учащихся. 1. Проверка домашнего задания.
1) Проверка основных формул, связанных с арифметической и геометрической прогрессиями. Два ученика готовят записи формул у доски.
2) Остальные учащиеся выполняют математический диктант по теме «Формулы суммы».
Задания:
№1. Найдите сумму первых пяти членов арифметической прогрессии, если её первый член равен 6 (1-й вариант), -20 (2-й вариант), а пятый член -6 (1-й вариант), 20 (2-й вариант).
№2. Найдите сумму первых пяти членов арифметической прогрессии, если её первый член равен -20(1-й вариант), 6 (2-й вариант), а разность равна 10(1-й вариант), -3(2-й вариант).
№3. Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, если её первый член равен 1(1-й вариант), -1 (2-й вариант), а знаменатель равен -2(1-й вариант), 2(2-й вариант).
По окончании диктанта, выборочно, у двоих учеников работы проверяются на оценку, остальные выполняют самопроверку по готовым решениям, записанным на отворотах доски.
Решения:
Задания
1. Арифметическая прогрессия задана формулой a n = 7 – 4 n . Найдите a 10 . (-33)
2. В арифметической прогрессии a 3 = 7 и a 5 = 1 . Найдите a 4 . (4)
3. В арифметической прогрессии a 3 = 7 и a 5 = 1 . Найдите a 17 . (-35)
4. В арифметической прогрессии a 3 = 7 и a 5 = 1 . Найдите S 17 . (-187)
5. Для геометрической прогрессии 
найдите пятый член. 
6. Для геометрической прогрессии найдите n
-й член. 
7. В геометрической прогрессии b 3 = 8 и b 5 = 2 . Найдите b 4 . (4)
8. В геометрической прогрессии b
3
= 8
и b
5
= 2
. Найдите b
1
и
q
. 
9. В геометрической прогрессии b 3 = 8 и b 5 = 2 . Найдите S 5 . (62)
III . Изучение новой темы (демонстрация презентации).
Рассмотрим квадрат со стороной, равной 1. Нарисуем ещё один квадрат, сторона которого равна половине первого квадрата, затем ещё один, сторона которого – половина второго, потом следующий и т.д. Каждый раз сторона нового квадрата равна половине предыдущего.
В результате, мы получили последовательность сторон квадратов 
образующих геометрическую прогрессию со знаменателем .
И, что очень важно, чем больше мы будем строить таких квадратов, тем меньше будет сторона квадрата. Например ,
Т.е. с возрастанием номера n члены прогрессии приближаются к нулю.
С помощью этого рисунка можно рассмотреть и ещё одну последовательность.
Например, последовательность площадей квадратов:
. И, опять, если n
неограниченно возрастает, то площадь, как угодно близко приближается к нулю.
Рассмотрим ещё один пример. Равносторонний треугольник со стороной равной 1см. Построим следующий треугольник с вершинами в серединах сторон 1-го треугольника, по теореме о средней линии треугольника – сторона 2-го равна половине стороны первого, сторона 3-го – половине стороны 2-го и т.д. Опять получаем последовательность длин сторон треугольников.
при 
.
Если рассмотреть геометрическую прогрессию с отрицательным знаменателем.
То, опять, с возрастанием номера n члены прогрессии приближаются к нулю.
Обратим внимание на знаменатели этих последовательностей. Везде знаменатели были меньше 1 по модулю.
Можно сделать вывод: геометрическая прогрессия будет бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше 1.
Фронтальная работа.
Определение:
Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше единицы. 
.
С помощью определения можно решить вопрос о том, является ли геометрическая прогрессия бесконечно убывающей или нет.
Задача
Является ли последовательность бесконечно убывающей геометрической прогрессией, если она заданна формулой:
; 
.
Решение:
. Найдем q
.
; 
; 
; 
.
данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей.
б) данная последовательность не является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.
Рассмотрим квадрат со стороной, равной 1. Разделим его пополам, одну из половинок ещё пополам и т.д. площади всех полученных прямоугольников при этом образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию: 
Сумма площадей всех полученных таким образом прямоугольников будет равна площади 1-го квадрата и равна 1. 
Но в левой части этого равенства – сумма бесконечного числа слагаемых.
Рассмотрим сумму n первых слагаемых.
По формуле суммы n первых членов геометрической прогрессии, она равна 
.
Если n неограниченно возрастает, то
или 
. Поэтому 
, т.е. 
.
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии есть предел последовательности S 1 , S 2 , S 3 , …, S n , … .
Например, для прогрессии 
,
Так как 
Сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии
можно находить по формуле 
.
III . Осмысление и закрепление (выполнение заданий).
Задача №2. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом 3,вторым 0,3.
Решение:
Задача №3. учебник , стр. 160, №433(1)
Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
Решение:
Задача №4. Записать бесконечную периодическую десятичную дробь 0,(5) в виде обыкновенной дроби.
1-й способ. Пусть х=0,(5)= 0,555… / 10 2-й способ. 0,(5)=0,555…=
Задача №5. учебник , стр. 162, №445(3) (самостоятельное решение)
Записать бесконечную периодическую десятичную дробь 0,(12) в виде обыкновенной дроби.
Ответ: 0,(12)= 4/33.
IV . Подведение итогов.
С какой последовательностью сегодня познакомились?
Дайте определение бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Как доказать, что геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей?
Назовите формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
V . Домашнее задание.
Например , последовательность \(3\); \(6\); \(12\); \(24\); \(48\)… является геометрической прогрессией, потому что каждый следующий элемент отличается от предыдущего в два раза (иначе говоря, может быть получен из предыдущего умножением его на два):
Как и любую последовательность, геометрическую прогрессию обозначают маленькой латинской буквой. Числа, образующие прогрессию, называют ее членами (или элементами). Их обозначают той же буквой, что и геометрическую прогрессию, но с числовым индексом, равным номеру элемента по порядку.
Например , геометрическая прогрессия \(b_n = \{3; 6; 12; 24; 48…\}\) состоит из элементов \(b_1=3\); \(b_2=6\); \(b_3=12\) и так далее. Иными словами:
Если вы поняли вышеизложенную информацию, то уже сможете решить большинство задач на эту тему.
Пример (ОГЭ):
Решение:
Ответ : \(-686\).
Пример (ОГЭ):
Даны первые три члена прогрессии \(324\); \(-108\); \(36\)…. Найдите \(b_5\).
Решение:
|
|
Чтобы продолжить последовательность, нам нужно знать знаменатель. Найдем его из двух соседних элементов: на что нужно умножить \(324\), чтоб получилось \(-108\)? |
|
\(324·q=-108\) |
Отсюда без проблем вычисляем знаменатель. |
|
\(q=-\) \(\frac{108}{324}\)
\(=-\) \(\frac{1}{3}\)
|
Теперь мы легко находим нужный нам элемент. |
|
|
Готов ответ. |
Ответ : \(4\).
Пример: Прогрессия задана условием \(b_n=0,8·5^n\). Какое из чисел является членом этой прогрессии:
а) \(-5\) б) \(100\) в) \(25\) г) \(0,8\) ?
Решение:
Из формулировки задания очевидно, что одно из этих чисел точно есть в нашей прогрессии. Поэтому мы можем просто вычислять ее члены по очереди, пока не найдем нужное нам значение. Так как у нас прогрессия задана формулой , то вычисляем значения элементов, подставляя разные \(n\):
\(n=1\); \(b_1=0,8·5^1=0,8·5=4\) – такого числа в списке нет. Продолжаем.
\(n=2\); \(b_2=0,8·5^2=0,8·25=20\) – и этого тоже нет.
\(n=3\); \(b_3=0,8·5^3=0,8·125=100\) – а вот и наш чемпион!
Ответ: \(100\).
Пример (ОГЭ): Даны несколько идущих последовательно друг за другом членов геометрической прогрессии …\(8\); \(x\); \(50\); \(-125\)…. Найдите значение элемента, обозначенного буквой \(x\).
Решение:
Ответ: \(-20\).
Пример (ОГЭ): Прогрессия задана условиями \(b_1=7\), \(b_{n+1}=2b_n\). Найдите сумму первых \(4\) членов этой прогрессии.
Решение:
Ответ: \(105\).
Пример (ОГЭ): Известно, что в геометрической прогрессии \(b_6=-11\), \(b_9=704\). Найдите знаменатель \(q\).
Решение:
|
|
Из схемы слева видно, что чтобы «попасть» из \(b_6\) в \(b_9\) – мы делаем три «шага», то есть три раза умножаем \(b_6\) на знаменатель прогрессии. Иными словами \(b_9=b_6·q·q·q=b_6·q^3\). |
|
\(b_9=b_6·q^3\) |
Подставим известные нам значения. |
|
\(704=(-11)·q^3\) |
«Перевернем» уравнение и разделим его на \((-11)\). |
|
\(q^3=\) \(\frac{704}{-11}\) \(\:\:\: ⇔ \:\:\: \)\(q^3=-\) \(64\) |
Какое число в кубе даст \(-64\)? |
|
Ответ найден. Его можно проверить, восстановив цепочку чисел от \(-11\) до \(704\). |
|
|
|
Все сошлось - ответ верен. |
Ответ: \(-4\).
Важнейшие формулы
Как видите, большинство задач на геометрическую прогрессию можно решать чистой логикой, просто понимая суть (это вообще характерно для математики). Но иногда знание некоторых формул и закономерностей ускоряет и существенно облегчает решение. Мы изучим две такие формулы.
Формула \(n\)-го члена: \(b_n=b_1·q^{n-1}\), где \(b_1\) – первый член прогрессии; \(n\) – номер искомого элемента; \(q\) – знаменатель прогрессии; \(b_n\) – член прогрессии с номером \(n\).
С помощью этой формулы можно, например, решить задачу из самого первого примера буквально в одно действие.
Пример (ОГЭ):
Геометрическая прогрессия задана условиями \(b_1=-2\); \(q=7\). Найдите \(b_4\).
Решение:
Ответ: \(-686\).
Этот пример был простым, поэтому формула нам облегчила вычисления не слишком сильно. Давайте разберем задачку чуть посложнее.
Пример:
Геометрическая прогрессия задана условиями \(b_1=20480\); \(q=\frac{1}{2}\). Найдите \(b_{12}\).
Решение:
Ответ: \(10\).
Конечно, возводить \(\frac{1}{2}\) в \(11\)-ую степень не слишком радостно, но всё же проще чем \(11\) раз делить \(20480\) на два.
Сумма \(n\) первых членов: \(S_n=\)\(\frac{b_1·(q^n-1)}{q-1}\) , где \(b_1\) – первый член прогрессии; \(n\) – количество суммируемых элементов; \(q\) – знаменатель прогрессии; \(S_n\) – сумма \(n\) первых членов прогрессии.
Пример (ОГЭ):
Дана геометрическая прогрессия \(b_n\), знаменатель которой равен \(5\), а первый член \(b_1=\frac{2}{5}\). Найдите сумму первых шести членов этой прогрессии.
Решение:
Ответ: \(1562,4\).
И вновь мы могли решить задачу «в лоб» – найти по очереди все шесть элементов, а затем сложить результаты. Однако количество вычислений, а значит и шанс случайной ошибки, резко возросли бы.
Для геометрической прогрессии есть еще несколько формул, которые мы не стали рассматривать тут из-за их низкой практической пользы. Вы можете найти эти формулы .
Возрастающие и убывающие геометрические прогрессии
У рассмотренной в самом начале статьи прогрессии \(b_n = \{3; 6; 12; 24; 48…\}\) знаменатель \(q\) больше единицы и поэтому каждый следующий член больше предыдущего. Такие прогрессии называются возрастающими .
Если же \(q\) меньше единицы, но при этом положителен (то есть, лежит в пределах от нуля до единицы), то каждый следующий элемент будет меньше чем предыдущий. Например, в прогрессии \(4\); \(2\); \(1\); \(0,5\); \(0,25\)… знаменатель \(q\) равен \(\frac{1}{2}\).
Эти прогрессии называются убывающими . Обратите внимание, что ни один из элементов такой прогрессии не будет отрицателен, они просто становятся всё меньше и меньше с каждым шагом. То есть, мы будем постепенно приближаться к нулю, но никогда его не достигнем и за него не перейдем. Математики в таких случаях говорят «стремиться к нулю».
Отметим, что при отрицательном знаменателе элементы геометрической прогрессии будут обязательно менять знак. Например , у прогрессии \(5\); \(-15\); \(45\); \(-135\); \(675\)… знаменатель \(q\) равен \(-3\), и из-за этого знаки элементов «мигают».