I. Рациональные уравнения.
1) Линейные уравнения.
2) Системы линейных уравнений.
3) Квадратные уравнения и уравнения, сводящиеся к ним.
4) Возвратные уравнения.
5) Формула Виета для многочленов высших степеней.
6) Системы уравнений второй степени.
7) Метод введения новых неизвестных при решении уравнений и систем уравнений.
8) Однородные уравнения.
9) Решение симметрических систем уравнений.
10) Уравнения и системы уравнений с параметрами.
11) Графический метод решения систем нелинейных уравнений.
12) Уравнения, содержащие знак модуля.
13) Основные методы решения рациональных уравнений
II. Рациональные неравенства.
1) Свойства равносильных неравенств.
2) Алгебраические неравенства.
3) Метод интервалов.
4) Дробно-рациональные неравенства.
5) Неравенства, содержащие неизвестное под знаком абсолютной величины.
6) Неравенства с параметрами.
7) Системы рациональных неравенств.
8) Графическое решение неравенств.
III. Проверочный тест.
Рациональные уравнения
Функция вида
P(x) = a 0 x n + a 1 x n – 1 + a 2 x n – 2 + … + a n – 1 x + a n ,
где n - натуральное, a 0 , a 1 ,…, a n - некоторые действительные числа, называется целой рациональной функцией.
Уравнение вида P(x) = 0, где P(x) - целая рациональная функция, называется целым рациональным уравнением.
Уравнение вида
P 1 (x) / Q 1 (x) + P 2 (x) / Q 2 (x) + … + P m (x) / Q m (x) = 0,
где P 1 (x), P 2 (x), … ,P m (x), Q 1 (x), Q 2 (x), …, Q m (x) - целые рациональные функции, называется рациональным уравнением.
Решение рационального уравнения P (x) / Q (x) = 0, где P (x) и Q (x) - многочлены (Q (x) ¹ 0), сводится к решению уравнения P (x) = 0 и проверке того, что корни удовлетворяют условию Q (x) ¹ 0.
Линейные уравнения.
Уравнения вида ax+b=0, где a и b - некоторые постоянные, называется линейным уравнением.
Если a¹0, то линейное уравнение имеет единственный корень:x = -b /a.
Если a=0; b¹0, то линейное уравнение решений не имеет.
Если a=0; b=0, то, переписав исходное уравнение в виде ax = -b, легко видеть, что любое x является решением линейного уравнения.
Уравнение прямой имеет вид: y = ax + b.
Если прямая проходит через точку с координатами X 0 и Y 0 , то эти координаты удовлетворяют уравнению прямой, т. е. Y 0 = aX 0 + b.
Пример 1.1 . Решить уравнение
2x – 3 + 4(x – 1) = 5.
Решение. Последовательно раскроем скобки, приведём подобные члены и найдём x: 2x – 3 + 4x – 4 = 5, 2x + 4x = 5 + 4 + 3,
Пример 1.2. Решить уравнение
2x – 3 + 2(x – 1) = 4(x – 1) – 7.
Решение. 2x + 2x – 4x = 3 +2 – 4 – 7, 0x = – 6.
Пример 1.3 . Решить уравнение.
2x + 3 – 6(x – 1) = 4(x – 1) + 5.
Решение. 2x – 6x + 3 + 6 = 4 – 4x + 5,
– 4x + 9 = 9 – 4x,
4x + 4x = 9 – 9,
Ответ: Любое число.
Системы линейных уравнений.
Уравнение вида
a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n = b,
где a 1 , b 1 , … ,a n , b -некоторые постоянные, называется линейным уравнением с n неизвестными x 1 , x 2 , …, x n .
Система уравнений называется линейной, если все уравнения, входящие в систему, являются линейными. Если система из n неизвестных, то возможны следующие три случая:
1) система не имеет решений;
2) система имеет ровно одно решение;
3) система имеет бесконечно много решений.
Пример 2.4. решить систему уравнений
2x + 3y = 8,Решение. Решить систему линейных уравнений можно способом подстановки, который состоит в том, что какого-либо уравнения системы выражают одно неизвестное через другие неизвестные, а затем подставляют значение этого неизвестного в остальные уравнения.
Из первого уравнения выражаем:x= (8 – 3y) / 2. Подставляем это выражение во второе уравнение и получаем систему уравнений
Решение. Система не имеет решений, так как два уравнения системы не могут удовлетворяться одновременно (из первого уравнения x + y = 3, а из второго x + y = 3,5).
Ответ: Решений нет.
Пример 2.6. решить систему уравнений
Решение. Система имеет бесконечно много решений, так как второе уравнение получается из первого путём умножения на 2 (т.е. фактически есть всего одно уравнение с двумя неизвестными).
Ответ: Бесконечно много решений.
Пример 2.7. решить систему уравнений
x + y – z = 2,2x – y + 4z = 1,
– x + 6y + z = 5.
Решение. При решении систем линейных уравнений удобно пользоваться методом Гаусса, который состоит в преобразовании системы к треугольному виду.
Умножаем первое уравнение системы на – 2 и, складывая полученный результат со вторым уравнением, получаем – 3y + 6z = – 3. Это уравнение можно переписать в виде y – 2z = 1. Складывая первое уравнение с третьим, получаем 7y = 7, или y = 1.
Таким образом, система приобрела треугольный вид
x + y – z = 2,
Подставляя y = 1 во второе уравнение, находим z = 0. Подставляя y =1 и z = 0 в первое уравнение, находим x = 1.
Ответ: (1; 1; 0).
Пример 2.8. при каких значениях параметра a система уравнений
2x + ay = a + 2,(a + 1)x + 2ay = 2a + 4
имеет бесконечно много решений?
Решение. Из первого уравнения выражаем x:
x = – (a / 2)y + a / 2 +1.
Подставляя это выражение во второе уравнение, получаем
(a + 1)(– (a / 2)y + a / 2 +1) + 2ay = 2a + 4.
(a + 1)(a + 2 – ay) + 4ay = 4a + 8,
4ay – a(a + 1)y = 4(a + 2) – (a + 1)(a + 2),
ya(4 – a – 1) = (a + 2)(4 – a – 1),
ya(3 – a) = (a + 2)(3 – a).
Анализируя последнее уравнение, отметим, что при a = 3 оно имеет вид 0y = 0, т.е. оно удовлетворяется при любых значениях y.
Квадратные уравнения и уравнения, сводящиеся к ним.
Уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где a, b и c - некоторые числа (a¹0);
x - переменная, называется квадратным уравнением.
Формула решения квадратного уравнения.
Сначала разделим обе части уравнения ax 2 + bx + c = 0 на a - от этого его корни не изменятся. Для решения получившегося уравнения
x 2 + (b / a)x + (c / a) = 0
выделим в левой части полный квадрат
x 2 + (b / a) + (c / a) = (x 2 + 2(b / 2a)x + (b / 2a) 2) – (b / 2a) 2 + (c / a) =
= (x + (b / 2a)) 2 – (b 2) / (4a 2) + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 – ((b 2 – 4ac) / (4a 2)).
Для краткости обозначим выражение (b 2 – 4ac) через D. Тогда полученное тождество примет вид
Возможны три случая:
1) если число D положительно (D > 0), то в этом случае можно извлечь из D квадратный корень и записать D в виде D = (ÖD) 2 . Тогда
D / (4a 2) = (ÖD) 2 / (2a) 2 = (ÖD / 2a) 2 , потому тождество принимает вид
x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 – (ÖD / 2a) 2 .
По формуле разности квадратов выводим отсюда:
x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a) – (ÖD / 2a))(x + (b / 2a) + (ÖD / 2a)) =
= (x – ((-b + ÖD) / 2a)) (x – ((– b – ÖD) / 2a)).
Теорема : Если выполняется тождество
ax 2 + bx + c = a(x – x 1)(x – x 2),
то квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 при X 1 ¹ X 2 имеет два корня X 1 и X 2 , а при X 1 = X 2 - лишь один корень X 1 .
В силу этой теоремы из, выведенного выше, тождества следует, что уравнение
x 2 + (b / a)x + (c / a) = 0,
а тем самым и уравнение ax 2 + bx + c = 0, имеет два корня:
X 1 =(-b + Ö D) / 2a; X 2 = (-b - Ö D) / 2a.
Таким образом x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x – x1)(x – x2).
Обычно эти корни записывают одной формулой:
где b 2 – 4ac = D.
2) если число D равно нулю (D = 0), то тождество
x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 – (D / (4a 2))
принимает вид x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 .
Отсюда следует, что при D = 0 уравнение ax 2 + bx + c = 0 имеет один корень кратности 2: X 1 = – b / 2a
3) Если число D отрицательно (D < 0), то – D > 0, и потому выражение
x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 – (D / (4a 2))
является суммой двух слагаемых, одно из которых неотрицательно, а другое положительно. Такая сумма не может равняться нулю, поэтому уравнение
x 2 + (b / a)x + (c / a) = 0
не имеет действительных корней. Не имеет их и уравнение ax 2 + bx + c = 0.
Таким образом, для решения квадратного уравнения следует вычислить дискриминант
D = b 2 – 4ac.
Если D = 0, то квадратное уравнение имеет единственное решение:
Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два корня:
X 1 =(-b + ÖD) / (2a); X 2 = (-b - ÖD) / (2a).
Если D < 0, то квадратное уравнение не имеет корней.
Если один из коэффициентов b или c равен нулю, то квадратное уравнение можно решать, не вычисляя дискриминанта:
1) b = 0; c ¹ 0; c / a <0; X1,2 = ±Ö(-c / a)
2) b ¹ 0; c = 0; X1 = 0, X2= -b / a.
Корни квадратного уравнения общего вида ax 2 + bx + c = 0 находятся по формуле
Конспект урока по математике
на тему:
« Рациональные уравнения с двумя переменными.
Основные понятия ».
Подготовила:
Учитель математики
МБОУ СОШ №2
Борщова Е. С.
Павловский Посад
Тип урока : изучение нового материала.
Тема урока : рациональные уравнения с двумя переменными. Основные понятия.
Цели :
ввести основные понятия и термины темы;
развивать математическую речь и мышление учащихся.
Оборудование: доска для записей, проектор, экран, презентация.
Организационный момент. (2 – 3 мин.)
(1 слайд)
Здравствуйте, ребята, присаживайтесь! Сегодня мы с вами рассмотрим новую, достаточно интересную тему, которая станет залогом к успешному усвоению будущего материала. Открываем рабочие тетради, записываем число, сегодня 16 октября, классная работа и тему урока: «Рациональные уравнения с двумя переменными. Основные понятия». (учитель тоже самое записывает на доске)
II . Актуализация знаний. (5 мин.)
(2 слайд)
Для того, чтобы начать изучение новой темы нам необходимо вспомнить некоторый материал, который вы уже знаете. Итак, вспомним элементарные функции и их графики:
1. График линейной функции
2. Парабола. График квадратичной функции
, (а ≠ 0)
Рассмотрим канонический случай:
3. Кубическая парабола
Кубическая парабола задается функцией
4. График гиперболы
Опять же вспоминаем тривиальную гиперболу
Очень хорошо!
III . Изучение нового материала (сопровождается презентацией). (35 мин.)
(3 слайд)
На предыдущих уроках вы выучили определение рационального уравнения с одной переменной, и сейчас мы говорим, что оно очень схоже с определением рационального уравнения с двумя переменными:
Его записывать не нужно, оно есть в ваших учебниках, еще раз прочитаете его дома и выучите!
А в тетради запишите примеры:
Далее можно сказать, что рациональное уравнение вида h(x; y) = g(x; y) всегда можно преобразовать к виду p(x; y) = 0, где p(x; y) = 0 – рациональное выражение. Для этого нужно переписать выражение так: h (x ; y ) - g (x ; y ) = 0, т. е. p (x ; y ) = 0. последние два равенства запишите себе в тетради!
(4 слайд)
Следующее определение внимательно слушаем и запоминаем, записывать его не нужно!
А в тетради запишите только примеры:
(5 слайд)
Решим такое уравнение (учащиеся записывают решение в тетради, учитель комментирует каждый шаг решения, параллельно отвечая на вопросы детей):
(6 слайд)
Следующее определение, это определение равносильности двух уравнение, его вы тоже уже знаете из предыдущих параграфов, поэтому просто смотрим и слушаем:
Теперь давайте вспомним, какие вы знаете равносильные преобразования:
Перенос членов уравнения из одной части в другую с противоположными знаками (примеры на доске, их можете не записывать, кто хочет – запишите);
Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и тоже число отличное от нуля или (еще мы знаем) на выражение, всюду отличное от нуля (обратите на это внимание!); (примеры кому нужно запишите).
А какие вы знаете неравносильные преобразования?
1) освобождение от знаменателей, содержащих переменные;
2) возведение обеих частей уравнения в квадрат.
Прекрасно!
(7 слайд)
Следующее понятие, которое мы сегодня рассмотрим, записываем – формула расстояния между двумя точками.
Пишите:
(учащиеся обе теоремы записывают себе в тетради)
Этот рисунок перерисовываем в тетради, подписываем оси координат, центр окружности, отмечаем радиус.
Есть ли у вас какие-то вопросы? (если вопросов нет, продолжаем работу)
(8 слайд)
Рассмотрим примеры, записывайте:
(рис. к П1) 
(рис. к П2)
Дети постепенно, исходя их выше записанной теоремы, отвечая на вопросы учителя, самостоятельно решают, записывают решение в тетради, рисунки перерисовывают.
Молодцы! А сейчас, перерисуйте себе такую таблицу, она станет хорошим помощником в дальнейшем при решении задач.
(9 слайд)
Учащиеся аккуратно, каждый в своих тетрадях рисует данную таблицу и заносит в нее данные.
V. Домашнее задание (2 – 3 мин.).
(10 слайд)
До конца урока осталось 2 минуты, открываем дневники, записываем домашнее задание:
1) Глава 2, §5;
2) стр. 71 вопросы для самопроверки;
3) № 5.1; № 5.3 (а, б); № 5.7.
Самоанализ.
Начало урока было достаточно доброжелательным, искренним, открытым и организованным. Класс к уроку был подготовлен. Дети в течение всего урока показывали хорошую работоспособность.
Мною сразу были озвучены цели урока. Цели, предложенные детям на урок, соответствовали программным требованиям, содержанию материала.
В начале урока, в качестве активизации познавательной деятельности, детям было предложено вспомнить некоторый материал по ранее изученному материалу, с чем они справились без каких-либо особых затруднений.
Содержание урока соответствовало требованиям образовательного стандарта.
Структура урока предложена выше. На мой взгляд, целям и типу урока она соответствует. Этапы урока были логически связаны, плавно переходили один в другой. На каждом из этапов подводились итоги. Время распределялось на отдельные этапы по-разному в зависимости от того, какой из них являлся основным. На мой взгляд, оно было распределено рационально. Начало и конец урока были организованными. Темп ведения урока был оптимальным.
После первого этапа актуализации знаний шел основной этап урока – объяснение нового материала. Этот этап был главным, поэтому основное время было уделено именно ему.
Изложение нового материала было логичным, грамотным, на высоком теоретическом и одновременно доступном для детей уровне. Главные мысли по теме всегда мной выделялись и записывались учащимися в рабочие тетради.
Изучение нового материала было проведено в форме небольшой лекции с выполнением элементарных практических заданий, для наиболее быстрого и правильного усвоения материала.
Мною была выполнена презентация в программе PowerPoint. Презентация имела в основном вспомогательную функцию.
С целью контроля усвоения знаний на протяжении всего урока учащиеся решали задачи, по результатам чего я могла судить о степени усвоения теоретического материала каждым из детей. После проведения контроля знаний учителем была проведена коррекционная работа. Те вопросы, которые вызвали у учащихся наибольшее затруднение, были рассмотрены еще раз.
После этого был подведен итог урока и ученикам предложено домашнее задание. Домашнее задание было закрепляющего, развивающего характера. На мой взгляд, оно было посильно для всех детей.
Содержание урока было оптимальным, методы обучения – устный, наглядный и практический. Форма работы – беседа. Я использовала приемы активизации познавательной деятельности – это постановка проблемных вопросов, обобщение по планам обобщенного характера.
Учащиеся на уроке были активными. Они показали умение продуктивно работать, делать выводы по увиденному, умение анализировать и обобщать свои знания. Также дети показали наличие навыков самоконтроля, но лишь единицы были неусидчивы, и им уделялось наибольшее внимание с моей стороны.
Класс к уроку был подготовлен.
Я считаю, что цели поставленные в начале урока достигнуты.
Рассмотрим уравнение с двумя переменными
Пара значений переменных, обращающая уравнение с двумя переменными в верное равенство, называется решением уравнения. Если дано уравнение с двумя переменными х и у, то принято в записи его решения на первое место ставить значение переменной на второе - значение у.
Так, пары являются решениями уравнения то же время пара (1; 5) решением уравнения не является.
Это уравнение имеет и другие решения. Для их отыскания удобно выразить одну переменную через другую, например х через у у получив уравнение . Выбрав произвольное значение у, вычислим соответствующее значение х. Например, если то значит, пара (31; 7) является решением уравнения; если то значит, пара (4; -2) также является решением заданного уравнения и т. д.
Уравнения с двумя переменными называются равносильными, если они имеют одни и те же решения.
Для уравнений с двумя переменными справедливы теоремы 5.1 и 5.2 (см. п. 135) о равносильных преобразованиях уравнения.
Линейное уравнение – уравнение вида a x = b , где x — переменная, a и b некоторые числа, причем a ≠ 0 .
Примеры:
- 3 x = 2
- 2 7 x = − 5
Линейными уравнениями называют не только уравнения вида a x = b , но и любые уравнения, которые при помощи преобразований и упрощений сводятся к этому виду.
Как же решать уравнения, которые приведены к виду a x = b ? Достаточно поделить левую и правую часть уравнения на величину a . В результате получим ответ: x = b a .
Как распознать, является ли произвольное уравнение линейным или нет? Надо обратить внимание на переменную, которая присутствует в нем. Если старшая степень, в которой стоит переменная, равна единице, то такое уравнение линейное.
Для того, чтобы решить линейное уравнение , необходимо раскрыть скобки (если они есть), перенести «иксы» в левую часть, числа – в правую, привести подобные слагаемые. Получится уравнение вида a x = b . Решение данного уравнения: x = b a .
Примеры:
- 2 x + 1 = 2 (x − 3) + 8
Это линейное уравнение, так как переменная стоит в первое степени.
Попробуем преобразовать его к виду a x = b:
Для начала раскроем скобки:
2 x + 1 = 4 x − 6 + 8
В левую часть переносятся все слагаемые с x , в правую – числа:
2 x − 4 x = 2 − 1
Теперь поделим левую и правую часть на число (-2) :
− 2 x − 2 = 1 − 2 = − 1 2 = − 0,5
Ответ: x = − 0,5
- x 2 − 1 = 0
Это уравнение не является линейным, так как старшая степень, в которой стоит переменная x равна двум.
- x (x + 3) − 8 = x − 1
Это уравнение выглядит линейным на первый взгляд, но после раскрытия скобок старшая степень становится равна двум:
x 2 + 3 x − 8 = x − 1
Это уравнение не является линейным.
Особые случаи (в 4 задании ОГЭ они не встречались, но знать их полезно)
Примеры:
- 2 x − 4 = 2 (x − 2)
2 x − 4 = 2 x − 4
2 x − 2 x = − 4 + 4
И как же здесь искать x , если его нет? После выполнения преобразований мы получили верное равенство (тождество), которое не зависит от значения переменной x . Какое бы значение x мы ни подставляли бы в исходное уравнение, в результате всегда получается верное равенство (тождество). Значит x может быть любым числом.
Ответ: x ∈ (− ∞ ; + ∞)
- 2 x − 4 = 2 (x − 8)
Это линейное уравнение. Раскроем скобки, перенесем иксы влево, числа вправо:
2 x − 4 = 2 x − 16
2 x − 2 x = − 16 + 4
В результате преобразований x сократился, но в итоге получилось неверное равенство, так как. Какое бы значение x мы ни подставляли бы в исходное уравнение, в результате всегда будет неверное равенство. А это означает, что нет таких значений x , при которых равенство становилось бы верным.
Наименьший общий знаменатель используется для упрощения данного уравнения. Этот метод применяется в том случае, когда вы не можете записать данное уравнение с одним рациональным выражением на каждой стороне уравнения (и воспользоваться методом умножения крест-накрест). Этот метод используется, когда вам дано рациональное уравнение с 3 или более дробями (в случае двух дробей лучше применить умножение крест-накрест).
Найдите наименьший общий знаменатель дробей (или наименьшее общее кратное). НОЗ – это наименьшее число, которое делится нацело на каждый знаменатель.
- Иногда НОЗ – очевидное число. Например, если дано уравнение: х/3 + 1/2 = (3x +1)/6, то очевидно, что наименьшим общим кратным для чисел 3, 2 и 6 будет 6.
- Если НОЗ не очевиден, выпишите кратные самого большого знаменателя и найдите среди них такой, который будет кратным и для других знаменателей. Зачастую НОЗ можно найти, просто перемножив два знаменателя. Например, если дано уравнение x/8 + 2/6 = (x - 3)/9, то НОЗ = 8*9 = 72.
- Если один или несколько знаменателей содержат переменную, то процесс несколько усложняется (но не становится невозможным). В этом случае НОЗ представляет собой выражение (содержащее переменную), которое делится на каждый знаменатель. Например, в уравнении 5/(х-1) = 1/х + 2/(3x) НОЗ = 3x(х-1), потому что это выражение делится на каждый знаменатель: 3x(х-1)/(х-1) = 3x; 3x(х-1)/3х = (х-1); 3x(х-1)/х = 3(х-1).
Умножьте и числитель, и знаменатель каждой дроби на число, равное результату деления НОЗ на соответствующий знаменатель каждой дроби. Так как вы умножаете и числитель, и знаменатель на одно и тоже число, то фактически вы умножаете дробь на 1 (например, 2/2 = 1 или 3/3 = 1).
- Таким образом, в нашем примере умножьте х/3 на 2/2, чтобы получить 2x/6, и 1/2 умножьте на 3/3, чтобы получить 3/6 (дробь 3x +1/6 умножать не надо, так как ее знаменатель равен 6).
- Действуйте аналогично в случае, когда переменная находится в знаменателе. В нашем втором примере НОЗ = 3x(x-1), поэтому 5/(x-1) умножьте на (3x)/(3x) и получите 5(3x)/(3x)(x-1); 1/x умножьте на 3(x-1)/3(x-1) и получите 3(x-1)/3x(x-1); 2/(3x) умножьте на (x-1)/(x-1) и получите 2(x-1)/3x(x-1).
Найдите х. Теперь, когда вы привели дроби к общему знаменателю, вы можете избавиться от знаменателя. Для этого умножьте каждую сторону уравнения на общий знаменатель. Затем решите полученное уравнение, то есть найдите «х». Для этого обособьте переменную на одной из сторон уравнения.
- В нашем примере: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. Вы можете сложить 2 дроби с одинаковым знаменателем, поэтому запишите уравнение как: (2x+3)/6=(3x+1)/6. Умножьте обе части уравнения на 6 и избавьтесь от знаменателей: 2x+3 = 3x +1. Решите и получите х = 2.
- В нашем втором примере (с переменной в знаменателе) уравнение имеет вид (после приведения к общему знаменателю): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x-1) + 2(x-1)/3x(x-1). Умножив обе стороны уравнения на НОЗ, вы избавитесь от знаменателя и получите: 5(3x) = 3(х-1) + 2(х-1), или 15x = 3x - 3 + 2x -2, или 15х = х - 5. Решите и получите: х = -5/14.