\[{\Large{\text{Цилиндр}}}\]
Рассмотрим окружность \(C\)
с центром \(O\)
радиуса \(R\)
на плоскости \(\alpha\)
. Через каждую точку окружности \(C\)
проведем прямую перпендикулярно плоскости \(\alpha\)
. Поверхность, образованная этими прямыми, называется цилиндрической поверхностью
.
Сами прямые называются образующими
данной поверхности.
Проведем теперь через некоторую точку некоторой образующей плоскость \(\beta\parallel \alpha\)
. Множество точек, по которым образующие пересекут плоскость \(\beta\)
, образует окружность \(C"\)
, равную окружности \(C\)
.
Часть пространства, ограниченная двумя кругами \(K\)
и \(K"\)
с границами \(C\)
и \(C"\)
соответственно, а также частью цилиндрической поверхности, заключенной между плоскостями \(\alpha\)
и \(\beta\)
, называется цилиндром
.
Круги \(K\) и \(K"\) называются основаниями цилиндра; отрезки образующих, заключенных между плоскостями, – образующими цилиндра; часть цилиндрической поверхности, образованная ими, - боковой поверхностью цилиндра. Отрезок, соединяющий центры оснований цилиндра равен образующей цилиндра и равен высоте цилиндра (\(l=h\) ).
Теорема
Площадь боковой поверхности цилиндра равна \
где \(R\) – радиус основания цилиндра, \(h\) – высота (образующая).
Теорема
Площадь полной поверхности цилиндра равна сумме площади боковой поверхности и площадей обоих оснований \
Теорема
Объем цилиндра вычисляется по формуле \
\[{\Large{\text{Конус}}}\]
Рассмотрим плоскость \(\alpha\) и на ней окружность \(C\) с центром \(O\) и радиусом \(R\) . Через точку \(O\) проведем прямую, перпендикулярную плоскости \(\alpha\) . Отметим на этой прямой некоторую точку \(P\) . Поверхность, образованная всеми прямыми, проходящими через точку \(P\) и каждую точку окружности \(C\) , называется конической поверхностью , а эти прямые – образующими конической поверхности. Часть пространства, ограниченная кругом с границей \(C\) и отрезками образующих, заключенными между точкой \(P\) и точкой на окружности, называется конусом . Отрезки \(PA\) , где \(A\in \text{окр. } C\) , называются образующими конуса ; точка \(P\) – вершина конуса; круг с границей \(C\) – основание конуса; отрезок \(PO\) – высота конуса.
Замечание
Заметим, что у конуса высота и образующая не равны друг другу, как было в случае с цилиндром.
Теорема
Площадь боковой поверхности конуса равна \
где \(R\) – радиус основания конуса, \(l\) – образующая.
Теорема
Площадь полной поверхности конуса равна сумме площади боковой поверхности и площадей основания \
Теорема
Объем конуса вычисляется по формуле \
Замечание
Заметим, что цилиндр в каком-то смысле является призмой, только в основании находится не многоугольник (как у призмы), а круг.
Формула объема цилиндра такая же, как и формула объема призмы: произведение площади основания на высоту.
Аналогично конус в каком-то смысле является пирамидой. Поэтому формула объема конуса такая же, как и у пирамиды: треть площади основания на высоту.
\[{\Large{\text{Сфера и шар}}}\]
Рассмотрим множество точек пространства, равноудаленных от некоторой точки \(O\)
на расстояние \(R\)
. Это множество называется сферой
с центром в точке \(O\)
радиуса \(R\)
.
Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр называется диаметром сферы.
Сфера вместе со своей внутренностью называется шаром .
Теорема
Площадь сферы вычисляется по формуле \
Теорема
Объем шара вычисляется по формуле \
Определение
Шаровой сегмент – это часть шара, отсекаемая от него некоторой плоскостью.
Пусть плоскость пересекла шар по кругу \(K\)
с центром в точке \(Q\)
. Соединим точки \(O\)
(центр шара) и \(Q\)
и продлим этот отрезок до пересечения со сферой – получим радиус \(OP\)
. Тогда отрезок \(QP\)
называется высотой сегмента.
Теорема
Пусть \(R\) – радиус шара, \(h\) – высота сегмента, то объем шарового сегмента равен \
Определение
Шаровой слой – это часть шара, заключенная между двумя параллельными плоскостями, пересекающими этот шар. Круги, по которым плоскости пересекают шар, называются основаниями шарового слоя, отрезок, соединяющий центры оснований – высотой шарового слоя.
Две оставшиеся части шара являются в этом случае шаровыми сегментами.
Объем шарового слоя равен разности объема шара и объемов шаровых сегментов с высотами \(AP\) и \(BT\) .
Сфера, вписанная в конус Сфера называется вписанной в конус, если она касается его основания и боковой поверхности (касается каждой образующей). При этом конус называется описанным около сферы. В любой конус (прямой, круговой) можно вписать сферу. Ее центр находится на высоте конуса, а радиус равен радиусу окружности, вписанной в треугольник, являющийся осевым сечением конуса. Напомним, что радиус r окружности, вписанный в треугольник, находится по формуле r S p , где S – площадь, p – полупериметр треугольника.
Упражнение 3 Радиус основания конуса равен 1. Образующая наклонена к плоскости основания под углом 45о. Найдите радиус вписанной сферы. Решение. Высота SH конуса 2 равна 1. Образующая. 1 Полупериметр p равен 2. По формуле r = S/p, имеем 2 1. 2 1. r 1 1 2 r Ответ:
Упражнение 4 Высота конуса равна 8, образующая 10. Найдите радиус вписанной сферы. Решение. Радиус основания конуса равен 6. Площадь треугольника SFG равна 48, полупериметр 16. По формуле r = S/p имеем r = 3. Ответ: r = 3.
Сфера, описанная около конуса Сфера называется описанной около конуса, если вершина и окружность основания конуса лежат на сфере. При этом конус называется вписанным в сферу. Около любого конуса (прямого, кругового) можно описать сферу. Ее центр находится на высоте конуса, а радиус равен радиусу окружности, описанной около треугольника, являющимся осевым сечением конуса. Напомним, что радиус R окружности, описанной около треугольника, abc находится по формуле S 4 , где S – площадь, a, b, c – стороны треугольника. R
Упражнение 1 Около конуса, радиус основания которого равен 1, а образующая равна 2, описана сфера. Найдите ее радиус. Решение. Треугольник SAB равносторонний со стороной 2. Высота SH равна Площадь S равна По формуле R = abc/4S 3. получаем 3. R 2 3 3 .
Упражнение 2 Около конуса, радиус основания которого равен 4, описана сфера радиуса 5. Найдите высоту h конуса. Решение. Имеем, OB = 5, HB = 4. Следовательно, OH = 3. Учитывая, что SO = OB = 5, получаем h = 8. Ответ: h = 8.
Многогранники, вписанные в сферу Теорема. Около призмы можно описать сферу тогда и только тогда, когда около основания этой призмы можно описать окружность. Ее центром будет серединой отрезка, соединяющего центры окружностей, описанных около оснований призмы. Радиус сферы R вычисляется по формуле точка O, являющаяся где h – высота призмы, r – радиус окружности, описанной около основания призмы. R r 2 , 2 h 2
Упражнение 1 Найдите радиус сферы, описанной около единичного куба. Ответ: R 3 2 .
Упражнение 2 Найдите ребро куба, вписанного в единичную сферу. Ответ: a 2 3 3 .
Рассмотрим некоторые соотношения, которые полезны при решении задач на шар, вписанный в конус.
В любой конус можно вписать шар. Вписанный в конус шар (или сфера, вписанная в конус) касается основания конуса в его центре, а боковой поверхности — по окружности. Центр шара (сферы) лежит на оси конуса.
При решении задач на шар, вписанный в конус, удобнее всего рассмотреть сечение комбинации тел плоскостью, проходящей через ось конуса и центр шара.
Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник, боковые стороны которого — образующие конуса, а основание — диаметр конуса. Вписанный в этот треугольник круг — большой круг шара (то есть круг, радиус которого равен радиусу шара).
Для данного рисунка образующие SA=SB=l, высота конуса SO=H, радиус вписанного шара OO1=O1F=R. Так как центр вписанного круга — точка пересечения биссектрис треугольника, то ∠OBO1=∠FBO1, OB=r — радиус конуса.
Рассмотрим прямоугольный треугольник SOB. По свойству биссектрисы треугольника:
По теореме Пифагора
Рассмотрим прямоугольный треугольник OO1B.