KökN-inci derece ve temel özellikleri
Derece gerçek Numara A doğal göstergeli P bir iş var P her biri eşit olan faktörler A:
a1 = a; a2 = a · a; A N =
Örneğin,
25 = 2 2 2 2 2 = 32,
5 kere
(-3)4 = (-3)(-3)(-3)(-3) = 81.
4 kere
Gerçek Numara A isminde derecenin temeli, ve n doğal sayısı üs.
Doğal üslü kuvvetlerin temel özellikleri doğrudan tanımdan çıkar: herhangi bir pozitif sayının kuvveti P e N pozitif; Çift üslü negatif bir sayının kuvveti pozitif, tek üslü ise negatiftir.
Örneğin,
(-5)4 = (-5) (-5) (-5) (-5) = 625; (-5)3 = (-5)-(-5)-(-5) = -125.
Dereceli eylemler aşağıdaki gibi gerçekleştirilir: tüzük
1. Aynı tabanlarla kuvvetleri çarpmak için üsleri toplayıp tabanı aynı bırakmak yeterlidir, yani
Örneğin, p5∙p3 = p5+3 =p8
2. Üsleri aynı tabanlarla bölmek için bölenin üssünü bölen indeksinden çıkarıp tabanı aynı bırakmak yeterlidir, yani
https://pandia.ru/text/78/410/images/image003_63.gif" genişlik = "95" yükseklik = "44 src = ">
2. Bir dereceyi bir kuvvete yükseltmek için tabanı aynı bırakarak üsleri çarpmak yeterlidir;
(ap)M = saat.Örneğin (23)2 = 26.
4. Bir çarpımı bir kuvvete yükseltmek için her faktörü bu kuvvete yükseltmek ve sonuçları çarpmak yeterlidir, yani
(A B)P= ap∙BP.
Örneğin, (2у3)2= 4y6.
5. Bir kesri bir kuvvete yükseltmek için pay ve paydayı ayrı ayrı bu kuvvete yükseltmek ve ilk sonucu ikinciye bölmek yeterlidir, yani
https://pandia.ru/text/78/410/images/image005_37.gif" genişlik = "87" yükseklik = "53 src = ">
Bu formülleri bazen sağdan sola doğru okumanın yararlı olabileceğini unutmayın. Bu durumda kural haline gelirler. Örneğin 4. durumda, apvp= (av)p aşağıdaki kuralı elde ederiz: ile Üsleri aynı üslerle çarpmak için üssü aynı bırakarak tabanları çarpmak yeterlidir.
Bu kuralın kullanılması, örneğin aşağıdaki çarpımın hesaplanmasında etkilidir.
(https://pandia.ru/text/78/410/images/image006_27.gif" width="25" height="23">+1)5=(( -1)( +1))5=( = 1.
Şimdi kökün tanımını verelim.
Kök n'inci derece gerçek bir sayıdan A gerçek sayı denir X, n'inci kuvveti şuna eşit olan A.
Açıkçası, doğal üslü kuvvetlerin temel özelliklerine uygun olarak, herhangi bir pozitif sayıdan, çift bir kuvvetin kökünün iki zıt değeri vardır, örneğin, 4 ve -4 sayıları 16'nın karekökleridir, çünkü ( -4)2 = 42 = 16 ve (-3)4 = 34 = 81 olduğundan 3 ve -3 sayıları 81'in dördüncü kökleridir.
Ayrıca negatif bir sayının çift kökü yoktur çünkü herhangi bir reel sayının çift kuvveti negatif değildir. Tek köke gelince, herhangi bir gerçek sayı için o sayının yalnızca bir tek kökü vardır. Örneğin, 33 = 27 olduğundan 3, 27'nin üçüncü köküdür ve (-2)5 = 32 olduğundan -2, -32'nin beşinci köküdür.
Pozitif bir sayının çift dereceli iki kökünün varlığı nedeniyle, kökün bu belirsizliğini ortadan kaldırmak için aritmetik kök kavramını tanıtıyoruz.
Negatif olmayan değer n'inci kök Negatif olmayan bir sayının kuvvetlerine denir aritmetik kök.
Örneğin, https://pandia.ru/text/78/410/images/image008_21.gif" width = "13" height = "16 src = "> 0.
İrrasyonel denklemleri çözerken köklerinin daima aritmetik olarak dikkate alındığı unutulmamalıdır.
N'inci kökün ana özelliğine dikkat edelim.
Kökün göstergeleri ve köklü ifadenin derecesi aynı doğal sayıyla çarpılır veya bölünürse kökün değeri değişmez;
Örnek 7. Ortak bir paydaya indirgeyin ve
Bu makaledeki materyal, irrasyonel ifadelerin konu dönüşümünün bir parçası olarak değerlendirilmelidir. Burada, köklerin özelliklerine dayalı dönüşümler gerçekleştirirken ortaya çıkan tüm incelikleri ve nüansları (bunlardan çok sayıda var) analiz etmek için örnekler kullanacağız.
Sayfada gezinme.
Köklerin özelliklerini hatırlayalım
İfadelerin dönüşümü ile köklerin özelliklerini kullanarak ilgileneceğimiz için ana olanları hatırlamanın, hatta daha iyisi bunları bir kağıda yazıp önünüze koymanın zararı olmaz.
Öncelikle karekökler ve aşağıdaki özellikleri incelenir (a, b, a 1, a 2, ..., a k - gerçek sayılar):
Daha sonra kök fikri genişletilir, n'inci dereceden bir kökün tanımı yapılır ve aşağıdaki özellikler dikkate alınır (a, b, a 1, a 2, ..., a k gerçek sayılardır, m, n, n 1, n 2, ... , n k - doğal sayılar):
Radikal işaretler altındaki sayılarla ifadeleri dönüştürme
Her zamanki gibi önce sayısal ifadelerle çalışmayı öğreniyorlar ve ancak bundan sonra değişkenli ifadelere geçiyorlar. Biz de aynısını yapacağız ve önce dönüşümle ilgileneceğiz irrasyonel ifadeler, yalnızca köklerin işaretleri altında içeren sayısal ifadeler ve sonraki paragrafta değişkenleri kök işaretleri altında tanıtacağız.
Bu, ifadeleri dönüştürmek için nasıl kullanılabilir? Çok basit: Örneğin, irrasyonel bir ifadeyi bir ifadeyle değiştirebiliriz veya bunun tersini de yapabiliriz. Yani, dönüştürülen ifade, köklerin listelenen özelliklerinden herhangi birinin sol (sağ) kısmındaki ifadeyle görünüş olarak eşleşen bir ifade içeriyorsa, bu durumda sağ (sol) kısımda karşılık gelen ifadeyle değiştirilebilir. Bu, köklerin özelliklerini kullanarak ifadelerin dönüştürülmesidir.
Birkaç örnek daha verelim.
İfadeyi basitleştirelim 
. 3, 5 ve 7 sayıları pozitif olduğundan köklerin özelliklerini güvenle uygulayabiliriz. Burada farklı şekillerde hareket edebilirsiniz. Örneğin, bir özelliği temel alan bir kök şu şekilde temsil edilebilir ve k=3 - as olan bir özelliği kullanan bir kök, bu yaklaşımla çözüm şöyle görünecektir: 
İle değiştirerek ve ardından ile değiştirerek farklı bir şekilde yapılabilir; bu durumda çözüm şöyle görünecektir: 
Başka çözümler de mümkündür, örneğin:
Başka bir örneğin çözümüne bakalım. İfadeyi dönüştürelim. Köklerin özellikleri listesine baktığımızda, örneği çözmek için ihtiyacımız olan özellikleri seçiyoruz; bunlardan ikisinin burada yararlı olduğu ve herhangi bir a için geçerli olduğu açıktır. Sahibiz: 
Alternatif olarak, ilk önce radikal ifadeler kullanılarak dönüştürülebilir. 
ve sonra köklerin özelliklerini uygulayın
Bu noktaya kadar yalnızca karekök içeren ifadeleri dönüştürdük. Farklı göstergelere sahip köklerle çalışmanın zamanı geldi.
Örnek.
İrrasyonel ifadeyi dönüştürün 
.
Çözüm.
Mülke göre 
Belirli bir çarpımın ilk çarpanı −2 sayısıyla değiştirilebilir: 
Devam etmek. Özellik nedeniyle, ikinci faktör şu şekilde temsil edilebilir ve 81'i üçün dört katıyla değiştirmek zarar vermez, çünkü geri kalan faktörlerde 3 sayısı kök işaretleri altında görünür: 
Bir kesirin kökünün, daha da dönüştürülebilecek bir kök oranıyla değiştirilmesi tavsiye edilir: 
. Sahibiz
İkili işlemler yapıldıktan sonra ortaya çıkan ifade formunu alacaktır ve geriye kalan tek şey köklerin çarpımını dönüştürmektir.
Köklerin ürünlerini dönüştürmek için genellikle tek bir göstergeye indirgenirler, bunun için tüm köklerin göstergelerinin alınması tavsiye edilir. Bizim durumumuzda LCM(12, 6, 12) = 12 ve diğer iki kökün zaten böyle bir göstergesi olduğundan yalnızca kökün bu göstergeye indirgenmesi gerekecek. Sağdan sola uygulanan eşitlik bu görevin üstesinden gelmemizi sağlar. Bu yüzden . Bu sonucu dikkate alarak, 
Artık köklerin çarpımı, ürünün kökü ile değiştirilebilir ve kalan, zaten açık olan dönüşümleri gerçekleştirebilir: 
Çözümün kısa bir versiyonunu yazalım: 
Cevap:
.
Köklerin özelliklerini uygulayabilmek için köklerin işaretleri altındaki sayılara (a≥0 vb.) getirilen kısıtlamaların dikkate alınması gerektiğini ayrıca vurguluyoruz. Bunları göz ardı etmek yanlış sonuçlara neden olabilir. Örneğin, özelliğin negatif olmayan a için geçerli olduğunu biliyoruz. Buna dayanarak, örneğin 8'in pozitif bir sayı olması nedeniyle kolaylıkla hareket edebiliriz. Ancak örneğin negatif bir sayının anlamlı bir kökünü alırsak ve yukarıda belirtilen özelliğe dayanarak onu yerine koyarsak, o zaman aslında -2'yi 2 ile değiştiririz. Gerçekten, ah. Yani negatif a için eşitlik yanlış olabilir, tıpkı köklerin diğer özelliklerinin kendileri için belirlenen koşullar dikkate alınmadan yanlış olabileceği gibi.
Ancak bir önceki paragrafta söylenenler, köklerin işareti altında negatif sayı bulunan ifadelerin köklerin özellikleri kullanılarak dönüştürülemeyeceği anlamına kesinlikle gelmez. Sadece sayılarla işlem yapma kurallarını uygulayarak veya eşitliğe karşılık gelen negatif bir sayının tek kökü tanımını kullanarak "hazırlanmaları" gerekir; burada -a negatif bir sayıdır (a pozitiftir). Örneğin, −2 ve −3 negatif sayılar olduğundan hemen değiştirilemez, ancak kökten hareket etmemize ve ardından bir çarpımın kök özelliğini daha fazla uygulamamıza olanak tanır: 
. Ve önceki örneklerden birinde onsekizinci kuvvetin kökünden köküne bu şekilde değil böyle geçmek gerekiyordu 
.
Dolayısıyla, köklerin özelliklerini kullanarak ifadeleri dönüştürmek için şunlara ihtiyacınız vardır:
- listeden uygun özelliği seçin,
- kök altındaki sayıların seçilen özelliğe ilişkin koşulları karşıladığından emin olun (aksi takdirde ön dönüşümler yapmanız gerekir),
- ve amaçlanan dönüşümü gerçekleştirin.
Radikal işaretler altındaki değişkenleri içeren ifadeleri dönüştürme
Kök işareti altında yalnızca sayılar değil değişkenler de bulunan irrasyonel ifadelerin dönüştürülmesi için bu makalenin ilk paragrafında sıralanan köklerin özelliklerinin dikkatli bir şekilde uygulanması gerekir. Bunun nedeni çoğunlukla formüllerde yer alan sayıların karşılaması gereken koşullardır. Örneğin, formüle dayalı olarak, belirtilen formül a≥0 ve b için belirtildiğinden, ifade yalnızca x≥0 ve x+1≥0 koşullarını karşılayan x değerleri için bir ifadeyle değiştirilebilir. ≥0.
Bu koşulları göz ardı etmenin tehlikeleri nelerdir? Bu sorunun cevabı aşağıdaki örnekte açıkça görülmektedir. Diyelim ki x=−2 noktasındaki bir ifadenin değerini hesaplamamız gerekiyor. Eğer x değişkeni yerine hemen −2 sayısını koyarsak ihtiyacımız olan değeri elde ederiz. 
. Şimdi, bazı hususlara dayanarak verilen ifadeyi forma dönüştürdüğümüzü ve ancak bundan sonra değeri hesaplamaya karar verdiğimizi hayal edelim. X yerine −2 sayısını koyarsak ve ifadeye ulaşırız 
ki bu hiç mantıklı değil.
İfadeden ifadeye geçerken x değişkeninin izin verilen değer aralığına (APV) ne olacağını görelim. ODZ'den bahsetmemiz tesadüf değildi, çünkü bu, yapılan dönüşümlerin kabul edilebilirliğini izlemek için ciddi bir araçtır ve bir ifadeyi dönüştürdükten sonra ODZ'de yapılacak bir değişiklik, en azından tehlike işaretlerine yol açmalıdır. Bu ifadeler için ODZ'yi bulmak zor değildir. ODZ ifadesi x·(x+1)≥0 eşitsizliğinden belirlendiği için çözümü (−∞, −1]∪∪∪) sayısal kümesini verir.