Mga pangunahing katangian ng mga degree

"Mga katangian ng mga degree" ay isang medyo sikat na query sa mga search engine, na nagpapakita ng malaking interes sa mga katangian ng degree. Nakolekta namin para sa iyo ang lahat ng katangian ng isang degree (mga katangian ng isang degree na may natural na exponent, mga katangian ng isang degree na may rational exponent, mga katangian ng isang degree na may integer exponent) sa isang lugar. Maaari kang mag-download ng maikling bersyon ng cheat sheet "Mga katangian ng mga degree" sa .pdf na format upang, kung kinakailangan, madali mong maalala ang mga ito o maging pamilyar sa kanila katangian ng mga degree direkta sa site. Sa mga detalye katangian ng mga kapangyarihan na may mga halimbawa tinalakay sa ibaba.

I-download ang cheat sheet na "Properties of degrees" (format.pdf)

Mga katangian ng mga degree (maikli)

a 0=1 kung a≠0

a 1=a

(−a)n=isang, Kung n- kahit

(−a)n=−isang, Kung n- kakaiba

(a⋅b)n=isang⋅bn

(ab)n=anbn

a−n=1isang

(ab)−n=(ba)n

isang⋅am=isang+m

anam=isang−m

(isang)m=isang⋅m

Mga katangian ng mga kapangyarihan (may mga halimbawa)

1st degree na ari-arian Anumang numero maliban sa zero hanggang sa zero na kapangyarihan ay katumbas ng isa. a 0=1 kung a≠0 Halimbawa: 1120=1, (−4)0=1, (0,15)0=1

2nd degree na ari-arian Ang anumang numero sa unang kapangyarihan ay katumbas ng numero mismo. a 1=a Halimbawa: 231=23, (−9,3)1=−9,3

3rd degree na ari-arian Ang anumang numero sa pantay na kapangyarihan ay positibo. isang=isang, Kung n- kahit na (mahati sa 2) integer (− a)n=isang, Kung n- kahit na (mahati sa 2) integer Halimbawa: 24=16, (−3)2=32=9, (−1)10=110=1

4th degree na ari-arian Ang anumang numero sa isang kakaibang kapangyarihan ay nagpapanatili ng tanda nito. isang=isang, Kung n- kakaiba (hindi mahahati ng 2) integer (− a)n=−isang, Kung n- kakaiba (hindi mahahati ng 2) integer Halimbawa: 53=125, (−3)3=33=27, (−1)11=−111=−1

5th degree na ari-arian Produkto ng mga numerong nakataas oh sa isang kapangyarihan, ay maaaring katawanin bilang produkto ng mga numerong nakataas s V ito degree (at vice versa). ( a⋅b)n=isang⋅bn, kung saan a, b, n Halimbawa: (2,1⋅0,3)4,5=2,14,5⋅0,34,5

6th degree na ari-arian Ang quotient (dibisyon) ng mga numero na itinaas oh sa isang kapangyarihan, ay maaaring katawanin bilang ang kusyente ng mga numerong itinaas s V ito degree (at vice versa). ( ab)n=anbn, kung saan a, b, n- anumang wastong (hindi kinakailangang integer) na mga numero Halimbawa: (1,75)0,1=(1,7)0,150,1

7th degree na ari-arian Ang anumang numero sa isang negatibong kapangyarihan ay katumbas ng katumbas nitong numero sa kapangyarihang iyon. (Ang reciprocal ay ang numero kung saan dapat i-multiply ang ibinigay na numero upang makakuha ng isa.) a−n=1isang, kung saan a At n- anumang wastong (hindi kinakailangang integer) na mga numero Halimbawa: 7−2=172=149

8th degree na ari-arian Anumang fraction sa isang negatibong kapangyarihan ay katumbas ng reciprocal fraction sa kapangyarihan na iyon. ( ab)−n=(ba)n, kung saan a, b, n- anumang wastong (hindi kinakailangang integer) na mga numero Halimbawa: (23)−2=(32)2, (14)−3=(41)3=43=64

9th degree na ari-arian Kapag nagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong base, ang mga exponent ay idinagdag, ngunit ang base ay nananatiling pareho. isang⋅am=isang+m, kung saan a, n, m- anumang wastong (hindi kinakailangang integer) na mga numero Halimbawa: 23⋅25=23+5=28, tandaan na ang property na ito ng degree ay pinapanatili para sa mga negatibong halaga ng mga degree 3−2⋅36=3−2+6=34, 47⋅4−3=47+( −3)= 47−3=44

10th degree na ari-arian Kapag naghahati ng mga kapangyarihan na may parehong base, ang mga exponent ay ibinabawas, ngunit ang base ay nananatiling pareho. anam=isang−m, kung saan a, n, m- anumang wastong (hindi kinakailangang integer) na mga numero Halimbawa:(1,4)2(1,4)3=1.42+3=1.45, tandaan kung paano nalalapat ang power property na ito sa mga negatibong kapangyarihan3−236=3−2−6=3−8, 474− 3=47−(−3 )=47+3=410

11th degree na ari-arian Kapag nagtataas ng isang kapangyarihan sa isang kapangyarihan, ang mga kapangyarihan ay pinarami. ( isang)m=isang⋅m Halimbawa: (23)2=23⋅2=26=64

Talaan ng mga kapangyarihan hanggang 10

Ilang mga tao ang namamahala upang matandaan ang buong talahanayan ng mga degree, at sino ang nangangailangan nito kapag ito ay napakadaling mahanap? Kasama sa aming talahanayan ng kapangyarihan ang parehong mga sikat na talahanayan ng mga parisukat at cube (mula 1 hanggang 10), pati na rin ang mga talahanayan ng iba pang mga kapangyarihan na hindi gaanong karaniwan. Ang mga haligi ng talahanayan ng mga kapangyarihan ay nagpapahiwatig ng mga base ng antas (ang bilang na kailangang itaas sa isang kapangyarihan), ang mga hilera ay nagpapahiwatig ng mga exponent (ang kapangyarihan kung saan ang numero ay kailangang itaas), at sa intersection ng ninanais na hanay at ang nais na hanay ay ang resulta ng pagtaas ng nais na numero sa isang ibinigay na kapangyarihan. Mayroong ilang mga uri ng mga problema na maaaring malutas gamit ang mga talahanayan ng kuryente. Ang agarang gawain ay ang pagkalkula n ika kapangyarihan ng isang numero. Ang kabaligtaran na problema, na maaari ding lutasin gamit ang isang talahanayan ng mga kapangyarihan, ay maaaring ganito ang tunog: “sa anong kapangyarihan dapat itaas ang bilang? a para makuha ang numero b ?" o "Anong numero sa kapangyarihan n nagbibigay ng numero b ?".

Talaan ng mga kapangyarihan hanggang 10

	1 n	2 n	3 n	4 n	5 n	6 n	7 n	8 n	9 n	10 n

Paano gamitin ang talahanayan ng degree

Tingnan natin ang ilang halimbawa ng paggamit ng power table.

Halimbawa 1. Anong numero ang nagreresulta mula sa pagtaas ng numero 6 sa ika-8 na kapangyarihan? Sa talahanayan ng mga degree, hinahanap namin ang hanay 6 n, dahil ayon sa mga kondisyon ng problema ang numero 6 ay itinaas sa isang kapangyarihan. Pagkatapos sa talahanayan ng mga kapangyarihan ay hinahanap namin ang linya 8, dahil ang ibinigay na numero ay dapat na itaas sa kapangyarihan ng 8. Sa intersection ay tinitingnan namin ang sagot: 1679616.

Halimbawa 2. Sa anong kapangyarihan dapat itaas ang numero 9 upang makakuha ng 729? Sa talahanayan ng mga degree, hinahanap namin ang hanay 9 n at ibinaba natin ito sa numerong 729 (ang ikatlong linya ng ating talahanayan ng mga digri). Ang numero ng linya ay ang kinakailangang antas, iyon ay, ang sagot: 3.

Halimbawa 3. Anong numero ang dapat itaas sa kapangyarihan ng 7 upang makakuha ng 2187? Sa talahanayan ng mga degree, hinahanap namin ang linya 7, pagkatapos ay ilipat ito sa kanan hanggang sa numero 2187. Mula sa nahanap na numero umakyat kami at nalaman na ang heading ng column na ito ay 3 n, na nangangahulugang ang sagot ay: 3.

Halimbawa 4. Sa anong kapangyarihan dapat itaas ang numero 2 upang makakuha ng 63? Sa talahanayan ng mga degree, makikita natin ang column 2 n at binabaan namin ito hanggang sa magkita kami ng 63... Ngunit hindi ito mangyayari. Hindi natin makikita ang numerong 63 sa column na ito o sa anumang iba pang column ng table of powers, na nangangahulugang walang integer mula 1 hanggang 10 ang nagbibigay ng numerong 63 kapag itinaas sa isang integer na kapangyarihan mula 1 hanggang 10. Kaya, walang sagot .

Kung kailangan mong itaas ang isang partikular na numero sa isang kapangyarihan, maaari mong gamitin ang . Ngayon ay titingnan natin nang mas malapitan katangian ng mga degree.

Mga numero ng exponential magbukas ng magagandang posibilidad, pinapayagan tayo nitong baguhin ang multiplikasyon sa karagdagan, at ang pagdaragdag ay mas madali kaysa sa pagpaparami.

Halimbawa, kailangan nating i-multiply ang 16 sa 64. Ang produkto ng pagpaparami ng dalawang numerong ito ay 1024. Ngunit ang 16 ay 4x4, at ang 64 ay 4x4x4. Ibig sabihin, 16 by 64 = 4x4x4x4x4, na katumbas din ng 1024.

Ang numerong 16 ay maaari ding irepresenta bilang 2x2x2x2, at 64 bilang 2x2x2x2x2x2, at kung mag-multiply tayo, muli tayong makakakuha ng 1024.

Ngayon gamitin natin ang panuntunan. 16=4 2, o 2 4, 64=4 3, o 2 6, sa parehong oras 1024=6 4 =4 5, o 2 10.

Samakatuwid, ang aming problema ay maaaring isulat sa iba't ibang paraan: 4 2 x4 3 =4 5 o 2 4 x2 6 =2 10, at sa bawat oras na makakakuha tayo ng 1024.

Maaari naming malutas ang isang bilang ng mga katulad na halimbawa at makita na ang pagpaparami ng mga numero na may kapangyarihan ay nababawasan sa pagdaragdag ng mga exponent, o exponential, siyempre, sa kondisyon na ang mga batayan ng mga salik ay pantay.

Kaya, nang hindi nagsasagawa ng multiplikasyon, masasabi natin kaagad na 2 4 x2 2 x2 14 = 2 20.

Totoo rin ang panuntunang ito kapag hinahati ang mga numero sa mga kapangyarihan, ngunit sa kasong ito ang exponent ng divisor ay ibabawas mula sa exponent ng dibidendo. Kaya, 2 5:2 3 =2 2, na sa ordinaryong mga numero ay katumbas ng 32:8 = 4, iyon ay, 2 2. Ibuod natin:

a m x a n =a m+n, a m: a n =a m-n, kung saan ang m at n ay mga integer.

Sa unang tingin ay maaaring ito ay pagpaparami at paghahati ng mga numero na may kapangyarihan hindi masyadong maginhawa, dahil kailangan mo munang kumatawan sa numero sa exponential form. Hindi mahirap na katawanin ang mga numero 8 at 16, iyon ay, 2 3 at 2 4, sa form na ito, ngunit paano ito gagawin sa mga numero 7 at 17? O kung ano ang gagawin sa mga kaso kung saan ang isang numero ay maaaring katawanin sa exponential form, ngunit ang mga base para sa exponential expression ng mga numero ay ibang-iba. Halimbawa, ang 8x9 ay 2 3 x 3 2, kung saan hindi natin masusuma ang mga exponent. Ni 2 5 o 3 5 ang sagot, ni ang sagot ay nasa pagitan ng dalawang numerong ito.

Kung gayon, ito ba ay nagkakahalaga ng pag-abala sa pamamaraang ito? Talagang sulit. Nagbibigay ito ng napakalaking benepisyo, lalo na para sa kumplikado at nakakaubos ng oras na mga kalkulasyon.

Pagdaragdag at pagbabawas ng mga kapangyarihan

Ito ay malinaw na ang mga numero na may kapangyarihan ay maaaring idagdag tulad ng iba pang mga dami , sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga ito nang sunud-sunod sa kanilang mga palatandaan.

Kaya, ang kabuuan ng a 3 at b 2 ay isang 3 + b 2.
Ang kabuuan ng isang 3 - b n at h 5 -d 4 ay isang 3 - b n + h 5 - d 4.

Odds pantay na kapangyarihan ng magkatulad na mga variable maaaring idagdag o ibawas.

Kaya, ang kabuuan ng 2a 2 at 3a 2 ay katumbas ng 5a 2.

Halata rin na kung kukuha ka ng dalawang parisukat a, o tatlong parisukat a, o limang parisukat a.

Ngunit degree iba't ibang variable At iba't ibang grado magkaparehong mga variable, ay dapat na binubuo sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga ito kasama ng kanilang mga palatandaan.

Kaya, ang kabuuan ng isang 2 at isang 3 ay ang kabuuan ng isang 2 + a 3.

Malinaw na ang parisukat ng a, at ang kubo ng a, ay hindi katumbas ng dalawang beses na parisukat ng a, ngunit dalawang beses ang kubo ng a.

Ang kabuuan ng a 3 b n at 3a 5 b 6 ay isang 3 b n + 3a 5 b 6.

Pagbabawas Ang mga kapangyarihan ay isinasagawa sa parehong paraan tulad ng karagdagan, maliban na ang mga palatandaan ng mga subtrahends ay dapat baguhin nang naaayon.

O kaya:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 — 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Pagpaparami ng kapangyarihan

Ang mga numerong may kapangyarihan ay maaaring i-multiply, tulad ng iba pang mga dami, sa pamamagitan ng pagsulat ng mga ito nang sunud-sunod, mayroon man o walang multiplication sign sa pagitan ng mga ito.

Kaya, ang resulta ng pagpaparami ng a 3 sa b 2 ay isang 3 b 2 o aaabb.

O kaya:
x -3 ⋅ a m = isang m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Ang resulta sa huling halimbawa ay maaaring i-order sa pamamagitan ng pagdaragdag ng magkaparehong mga variable.
Ang ekspresyon ay kukuha ng anyo: a 5 b 5 y 3.

Sa pamamagitan ng paghahambing ng ilang mga numero (mga variable) na may mga kapangyarihan, makikita natin na kung alinman sa dalawa sa mga ito ay pinarami, ang resulta ay isang numero (variable) na may kapangyarihan na katumbas ng halaga antas ng mga termino.

Kaya, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Narito ang 5 ay ang kapangyarihan ng resulta ng pagpaparami, na katumbas ng 2 + 3, ang kabuuan ng mga kapangyarihan ng mga termino.

Kaya, a n .a m = a m+n .

Para sa isang n , ang a ay kinuha bilang isang kadahilanan nang kasing dami ng kapangyarihan ng n;

At ang isang m ay kinukuha bilang isang kadahilanan nang kasing dami ng antas ng m ay katumbas ng;

kaya lang, Ang mga kapangyarihan na may parehong mga base ay maaaring paramihin sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga exponents ng mga kapangyarihan.

Kaya, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . At x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

O kaya:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Multiply (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Sagot: x 4 - y 4.
Multiply (x 3 + x – 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Ang panuntunang ito ay totoo rin para sa mga numero na ang mga exponent ay negatibo.

1. Kaya, a -2 .a -3 = a -5 . Ito ay maaaring isulat bilang (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Kung ang a + b ay pinarami ng a - b, ang resulta ay isang 2 - b 2: ibig sabihin

Ang resulta ng pagpaparami ng kabuuan o pagkakaiba ng dalawang numero ay katumbas ng kabuuan o pagkakaiba ng kanilang mga parisukat.

Kung ang kabuuan at pagkakaiba ng dalawang numero ay nakataas sa parisukat, ang resulta ay magiging katumbas ng kabuuan o pagkakaiba ng mga numerong ito sa pang-apat degrees.

Kaya, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

Dibisyon ng mga degree

Ang mga numerong may kapangyarihan ay maaaring hatiin tulad ng ibang mga numero, sa pamamagitan ng pagbabawas mula sa dibidendo, o sa pamamagitan ng paglalagay sa kanila sa fraction form.

Kaya, ang isang 3 b 2 na hinati sa b 2 ay katumbas ng isang 3.

Ang pagsulat ng 5 na hinati ng 3 ay parang $\frac $. Ngunit ito ay katumbas ng isang 2 . Sa isang serye ng mga numero
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
anumang numero ay maaaring hatiin ng isa pa, at ang exponent ay magiging katumbas ng pagkakaiba mga tagapagpahiwatig ng mahahati na mga numero.

Kapag hinahati ang mga degree na may parehong base, ang kanilang mga exponent ay ibinabawas..

Kaya, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. Ibig sabihin, $\frac = y$.

At a n+1:a = a n+1-1 = a n . Ibig sabihin, $\frac = a^n$.

O kaya:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3

Totoo rin ang panuntunan para sa mga numerong may negatibo mga halaga ng degree.
Ang resulta ng paghahati ng isang -5 sa isang -3 ay isang -2.
Gayundin, $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 o $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

Ito ay kinakailangan upang makabisado ang multiplikasyon at paghahati ng mga kapangyarihan nang napakahusay, dahil ang mga naturang operasyon ay napakalawak na ginagamit sa algebra.

Mga halimbawa ng paglutas ng mga halimbawa na may mga fraction na naglalaman ng mga numerong may kapangyarihan

1. Bawasan ang mga exponents ng $\frac $ Sagot: $\frac $.

2. Bawasan ang mga exponent ng $\frac$. Sagot: $\frac$ o 2x.

3. Bawasan ang mga exponent na a 2 /a 3 at a -3 /a -4 at dalhin sa isang common denominator.
a 2 .a -4 ay a -2 ang unang numerator.
a 3 .a -3 ay isang 0 = 1, ang pangalawang numerator.
a 3 .a -4 ay a -1 , ang karaniwang numerator.
Pagkatapos ng pagpapasimple: a -2 /a -1 at 1/a -1 .

4. Bawasan ang mga exponents 2a 4 /5a 3 at 2 /a 4 at dalhin sa isang common denominator.
Sagot: 2a 3 /5a 7 at 5a 5 /5a 7 o 2a 3 /5a 2 at 5/5a 2.

5. I-multiply ang (a 3 + b)/b 4 sa (a - b)/3.

6. I-multiply ang (a 5 + 1)/x 2 sa (b 2 - 1)/(x + a).

7. I-multiply ang b 4 /a -2 sa h -3 /x at a n /y -3 .

8. Hatiin ang isang 4 /y 3 sa isang 3 /y 2 . Sagot: a/y.

Mga katangian ng degree

Ipinapaalala namin sa iyo na sa araling ito ay mauunawaan natin katangian ng mga degree na may mga natural na tagapagpahiwatig at zero. Ang mga kapangyarihan na may mga rational exponents at ang kanilang mga ari-arian ay tatalakayin sa mga aralin para sa ika-8 baitang.

Ang kapangyarihan na may natural na exponent ay may ilang mahahalagang katangian na nagbibigay-daan sa amin na pasimplehin ang mga kalkulasyon sa mga halimbawang may kapangyarihan.

Ari-arian Blg. 1
Produkto ng mga kapangyarihan

Kapag nagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong mga base, ang base ay nananatiling hindi nagbabago, at ang mga exponent ng mga kapangyarihan ay idinagdag.

a m · a n = a m + n, kung saan ang “a” ay anumang numero, at “m”, “n” ay anumang natural na mga numero.

Ang pag-aari na ito ng mga kapangyarihan ay nalalapat din sa produkto ng tatlo o higit pang mga kapangyarihan.

• Pasimplehin ang expression.
  b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• Ipakita ito bilang isang degree.
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• Ipakita ito bilang isang degree.
  (0.8) 3 · (0.8) 12 = (0.8) 3 + 12 = (0.8) 15

Pakitandaan na sa tinukoy na pag-aari ay pinag-uusapan lamang namin ang tungkol sa pagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong mga base. Hindi ito naaangkop sa kanilang karagdagan.

Hindi mo maaaring palitan ang kabuuan (3 3 + 3 2) ng 3 5. Ito ay maliwanag kung
kalkulahin ang (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36, at 3 5 = 243

Ari-arian Blg. 2
Mga bahagyang degree

Kapag naghahati ng mga kapangyarihan na may parehong mga base, ang base ay nananatiling hindi nagbabago, at ang exponent ng divisor ay ibabawas mula sa exponent ng dibidendo.

• Isulat ang quotient bilang isang kapangyarihan
  (2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
• Kalkulahin.

11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44
Halimbawa. Lutasin ang equation. Ginagamit namin ang ari-arian ng quotient powers.
3 8: t = 3 4

Sagot: t = 3 4 = 81

Gamit ang mga katangian No. 1 at No. 2, madali mong gawing simple ang mga expression at magsagawa ng mga kalkulasyon.

Halimbawa. Pasimplehin ang expression.
4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5

Halimbawa. Hanapin ang halaga ng isang expression gamit ang mga katangian ng mga exponent.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Pakitandaan na sa Property 2 ay pinag-uusapan lang namin ang paghahati ng mga kapangyarihan na may parehong mga base.

Hindi mo maaaring palitan ang pagkakaiba (4 3 −4 2) ng 4 1. Maiintindihan ito kung kalkulahin mo ang (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48, at 4 1 = 4

Ari-arian Blg. 3
Pagtaas ng antas sa isang kapangyarihan

Kapag nagtataas ng isang antas sa isang kapangyarihan, ang base ng antas ay nananatiling hindi nagbabago, at ang mga exponent ay pinarami.

(a n) m = a n · m, kung saan ang “a” ay anumang numero, at “m”, “n” ay anumang natural na mga numero.

Ipinapaalala namin sa iyo na ang isang quotient ay maaaring katawanin bilang isang fraction. Samakatuwid, tatalakayin natin ang paksa ng pagtataas ng isang fraction sa isang kapangyarihan nang mas detalyado sa susunod na pahina.

Paano paramihin ang kapangyarihan

Paano magparami ng kapangyarihan? Aling mga kapangyarihan ang maaaring paramihin at alin ang hindi? Paano i-multiply ang isang numero sa isang kapangyarihan?

Sa algebra, makakahanap ka ng produkto ng mga kapangyarihan sa dalawang kaso:

1) kung ang mga degree ay may parehong mga base;

2) kung ang mga degree ay may parehong mga tagapagpahiwatig.

Kapag nagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong mga base, ang base ay dapat iwanang pareho, at ang mga exponent ay dapat idagdag:

Kapag nagpaparami ng mga degree na may parehong mga tagapagpahiwatig, ang pangkalahatang tagapagpahiwatig ay maaaring alisin sa mga bracket:

Tingnan natin kung paano i-multiply ang mga kapangyarihan gamit ang mga partikular na halimbawa.

Ang yunit ay hindi nakasulat sa exponent, ngunit kapag nagpaparami ng mga kapangyarihan, isinasaalang-alang nila:

Kapag nagpaparami, maaaring mayroong anumang bilang ng mga kapangyarihan. Dapat tandaan na hindi mo kailangang isulat ang multiplication sign bago ang titik:

Sa mga expression, ginagawa muna ang exponentiation.

Kung kailangan mong i-multiply ang isang numero sa pamamagitan ng isang kapangyarihan, dapat mo munang isagawa ang exponentiation, at pagkatapos lamang ang multiplikasyon:

Pagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong mga base

Ang video tutorial na ito ay available sa pamamagitan ng subscription

Mayroon ka nang subscription? Pumasok

Sa araling ito ay pag-aaralan natin ang multiplikasyon ng mga kapangyarihan na may katulad na mga base. Una, alalahanin natin ang kahulugan ng degree at bumalangkas ng teorama sa bisa ng pagkakapantay-pantay . Pagkatapos ay magbibigay kami ng mga halimbawa ng aplikasyon nito sa mga tiyak na numero at patunayan ito. Ilalapat din natin ang teorama upang malutas ang iba't ibang mga problema.

Paksa: Kapangyarihang may natural na exponent at mga katangian nito

Aralin: Pagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong mga base (pormula)

1. Mga pangunahing kahulugan

Mga pangunahing kahulugan:

n- exponent,

— n ika kapangyarihan ng isang numero.

2. Pahayag ng Theorem 1

Teorama 1. Para sa anumang numero A at anumang natural n At k ang pagkakapantay-pantay ay totoo:

Sa madaling salita: kung A- kahit anong numero; n At k natural na mga numero, pagkatapos ay:

Kaya ang panuntunan 1:

3. Mga gawaing nagpapaliwanag

Konklusyon: kinumpirma ng mga espesyal na kaso ang kawastuhan ng Theorem No. 1. Patunayan natin ito sa pangkalahatang kaso, iyon ay, para sa alinman A at anumang natural n At k.

4. Katibayan ng Theorem 1

Binigyan ng numero A- anumang; numero n At k – natural. Patunayan:

Ang patunay ay batay sa kahulugan ng degree.

5. Paglutas ng mga halimbawa gamit ang Theorem 1

Halimbawa 1: Isipin ito bilang isang degree.

Upang malutas ang mga sumusunod na halimbawa, gagamitin namin ang Theorem 1.

at)

6. Paglalahat ng Theorem 1

Isang generalization na ginamit dito:

7. Paglutas ng mga halimbawa gamit ang generalization ng Theorem 1

8. Paglutas ng iba't ibang problema gamit ang Theorem 1

Halimbawa 2: Kalkulahin (maaari mong gamitin ang talahanayan ng mga pangunahing kapangyarihan).

A) (ayon sa talahanayan)

b)

Halimbawa 3: Isulat ito bilang isang kapangyarihan na may base 2.

A)

Halimbawa 4: Tukuyin ang tanda ng numero:

, A - negatibo, dahil ang exponent sa -13 ay kakaiba.

Halimbawa 5: Palitan ang (·) ng kapangyarihan ng isang numero na may base r:

Mayroon kami, iyon ay.

9. Pagbubuod

1. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. at iba pa. Algebra 7. Ika-6 na edisyon. M.: Enlightenment. 2010

1. Katulong sa paaralan (Pinagmulan).

1. Ipakita bilang isang kapangyarihan:

a B C D E)

3. Sumulat bilang isang kapangyarihan na may base 2:

4. Tukuyin ang tanda ng numero:

A)

5. Palitan ang (·) ng kapangyarihan ng isang numero na may base r:

a) r 4 · (·) = r 15; b) (·) · r 5 = r 6

Multiplikasyon at paghahati ng mga kapangyarihan na may parehong exponents

Sa araling ito, pag-aaralan natin ang multiplication of powers na may pantay na exponent. Una, alalahanin natin ang mga pangunahing kahulugan at teorema tungkol sa pagpaparami at paghahati ng mga kapangyarihan na may parehong mga batayan at pagtataas ng mga kapangyarihan sa mga kapangyarihan. Pagkatapos ay bumalangkas at nagpapatunay kami ng mga theorems sa multiplikasyon at paghahati ng mga kapangyarihan na may parehong mga exponent. At pagkatapos ay sa kanilang tulong malulutas namin ang isang bilang ng mga karaniwang problema.

Paalala ng mga pangunahing kahulugan at teorema

Dito a- ang batayan ng antas,

— n ika kapangyarihan ng isang numero.

Teorama 1. Para sa anumang numero A at anumang natural n At k ang pagkakapantay-pantay ay totoo:

Kapag nagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong mga base, ang mga exponent ay idinagdag, ang base ay nananatiling hindi nagbabago.

Teorama 2. Para sa anumang numero A at anumang natural n At k, ganyan n > k ang pagkakapantay-pantay ay totoo:

Kapag hinahati ang mga degree na may parehong mga base, ang mga exponent ay ibinabawas, ngunit ang base ay nananatiling hindi nagbabago.

Teorama 3. Para sa anumang numero A at anumang natural n At k ang pagkakapantay-pantay ay totoo:

Ang lahat ng mga theorems na nakalista ay tungkol sa mga kapangyarihan na may pareho mga dahilan, sa araling ito ay titingnan natin ang mga degree na may parehong mga tagapagpahiwatig.

Mga halimbawa para sa pagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong mga exponent

Isaalang-alang ang mga sumusunod na halimbawa:

Isulat natin ang mga expression para sa pagtukoy ng antas.

Konklusyon: Mula sa mga halimbawa ay makikita na , ngunit kailangan pa rin itong patunayan. Bumuo tayo ng teorama at patunayan ito sa pangkalahatang kaso, iyon ay, para sa alinman A At b at anumang natural n.

Pagbubuo at patunay ng Theorem 4

Para sa anumang mga numero A At b at anumang natural n ang pagkakapantay-pantay ay totoo:

Patunay Teorama 4 .

Sa pamamagitan ng kahulugan ng degree:

Kaya napatunayan na natin .

Upang i-multiply ang mga kapangyarihan na may parehong mga exponent, sapat na upang i-multiply ang mga base at iwanan ang exponent na hindi nagbabago.

Pagbubuo at patunay ng Theorem 5

Bumuo tayo ng isang teorama para sa paghahati ng mga kapangyarihan na may parehong mga exponent.

Para sa anumang numero A At b() at anumang natural n ang pagkakapantay-pantay ay totoo:

Patunay Teorama 5 .

Isulat natin ang kahulugan ng degree:

Pahayag ng theorems sa mga salita

So, napatunayan na natin yan.

Upang hatiin ang mga kapangyarihan na may parehong mga exponent sa bawat isa, sapat na upang hatiin ang isang base sa isa pa, at iwanan ang exponent na hindi nagbabago.

Paglutas ng mga karaniwang problema gamit ang Theorem 4

Halimbawa 1: Ipakita bilang isang produkto ng mga kapangyarihan.

Upang malutas ang mga sumusunod na halimbawa, gagamitin namin ang Theorem 4.

Upang malutas ang sumusunod na halimbawa, alalahanin ang mga formula:

Paglalahat ng Teorama 4

Paglalahat ng Teorama 4:

Paglutas ng mga Halimbawa Gamit ang Generalized Theorem 4

Ang patuloy na paglutas ng mga karaniwang problema

Halimbawa 2: Isulat ito bilang kapangyarihan ng produkto.

Halimbawa 3: Isulat ito bilang isang kapangyarihan na may exponent 2.

Mga halimbawa ng pagkalkula

Halimbawa 4: Kalkulahin sa pinakanakapangangatwiran na paraan.

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7. M.: VENTANA-GRAF

3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. at iba pa Algebra 7.M.: Enlightenment. 2006

2. Katulong sa paaralan (Pinagmulan).

1. Ipakita bilang isang produkto ng mga kapangyarihan:

A); b); V); G);

2. Sumulat bilang kapangyarihan ng produkto:

3. Sumulat bilang isang kapangyarihan na may exponent 2:

4. Kalkulahin sa pinakanakapangangatwiran na paraan.

Aralin sa matematika sa paksang "Pagpaparami at paghahati ng mga kapangyarihan"

Mga Seksyon: Mathematics

Layunin ng pedagogical:

matututo ang mag-aaral makilala sa pagitan ng mga katangian ng multiplikasyon at paghahati ng mga kapangyarihan na may mga natural na exponent; ilapat ang mga katangiang ito sa kaso ng parehong mga base;

magkakaroon ng pagkakataon ang mag-aaral magagawang magsagawa ng mga pagbabagong-anyo ng mga degree na may iba't ibang mga batayan at magagawang magsagawa ng mga pagbabago sa pinagsamang mga gawain.

Mga gawain:

ayusin ang gawain ng mga mag-aaral sa pamamagitan ng pag-uulit ng naunang pinag-aralan na materyal;

tiyakin ang antas ng pagpaparami sa pamamagitan ng pagsasagawa ng iba't ibang uri ng pagsasanay;

ayusin ang isang tseke sa self-assessment ng mga mag-aaral sa pamamagitan ng pagsubok.

Mga yunit ng aktibidad ng pagtuturo: pagpapasiya ng antas na may natural na tagapagpahiwatig; mga bahagi ng degree; kahulugan ng pribado; kumbinasyonal na batas ng pagpaparami.

I. Pag-aayos ng isang pagpapakita ng kahusayan ng mga mag-aaral sa umiiral na kaalaman. (hakbang 1)

a) Pag-update ng kaalaman:

2) Bumuo ng isang kahulugan ng degree na may natural na exponent.

a n =a a a a … a (n beses)

b k =b b b b a… b (k beses) Pangatwiranan ang sagot.

II. Organisasyon ng self-assessment ng antas ng kasanayan ng mag-aaral sa kasalukuyang karanasan. (hakbang 2)

Self-test: (indibidwal na gawain sa dalawang bersyon.)

A1) Ipakita ang produkto 7 7 7 7 x x x bilang kapangyarihan:

A2) Kinakatawan ang kapangyarihan (-3) 3 x 2 bilang isang produkto

A3) Kalkulahin: -2 3 2 + 4 5 3

Pinipili ko ang bilang ng mga gawain sa pagsusulit alinsunod sa paghahanda ng antas ng klase.

Ibinibigay ko sa iyo ang susi sa pagsubok para sa pagsubok sa sarili. Pamantayan: pumasa - walang pumasa.

III. Pang-edukasyon at praktikal na gawain (hakbang 3) + hakbang 4. (ang mga mag-aaral mismo ang bubuo ng mga katangian)

kalkulahin: 2 2 2 3 = ? 3 3 3 2 3 =?

Pasimplehin: a 2 a 20 = ? b 30 b 10 b 15 = ?

Habang nilulutas ang mga problema 1) at 2), ang mga mag-aaral ay nagmumungkahi ng isang solusyon, at ako, bilang isang guro, ay inaayos ang klase upang makahanap ng isang paraan upang pasimplehin ang mga kapangyarihan kapag nagpaparami sa parehong mga base.

Guro: makabuo ng isang paraan upang gawing simple ang mga kapangyarihan kapag nagpaparami sa parehong mga base.

May lalabas na entry sa cluster:

Nabuo ang paksa ng aralin. Pagpaparami ng kapangyarihan.

Guro: bumuo ng isang panuntunan para sa paghahati ng mga kapangyarihan na may parehong mga batayan.

Pangangatwiran: anong aksyon ang ginagamit upang suriin ang paghahati? a 5: a 3 = ? na a 2 a 3 = a 5

Bumalik ako sa diagram - isang kumpol at idinagdag sa entry - .. kapag hinahati, binabawasan at idinagdag namin ang paksa ng aralin. ...at paghahati ng mga digri.

IV. Pakikipag-usap sa mga mag-aaral ng mga limitasyon ng kaalaman (bilang minimum at bilang maximum).

Guro: ang pinakamababang gawain para sa aralin ngayon ay matutunang ilapat ang mga katangian ng pagpaparami at paghahati ng mga kapangyarihan na may parehong mga batayan, at ang pinakamataas na gawain ay ang paglapat ng multiplikasyon at paghahati nang magkasama.

Nagsusulat kami sa pisara : a m a n = a m+n ; a m: a n = a m-n

V. Organisasyon ng pag-aaral ng bagong materyal. (hakbang 5)

a) Ayon sa aklat-aralin: Blg. 403 (a, c, e) mga gawain na may iba't ibang salita

Hindi. 404 (a, d, f) independiyenteng trabaho, pagkatapos ay nag-aayos ako ng mutual check, ibigay ang mga susi.

b) Para sa anong halaga ng m wasto ang pagkakapantay-pantay? a 16 a m = a 32; x h x 14 = x 28; x 8 (*) = x 14

Takdang-Aralin: makabuo ng mga katulad na halimbawa para sa paghahati.

c) Blg. 417 (a), Blg. 418 (a) Mga bitag para sa mga mag-aaral: x 3 x n = x 3n; 3 4 3 2 = 9 6 ; a 16: a 8 = a 2.

VI. Pagbubuod ng natutunan, pagsasagawa ng diagnostic work (na naghihikayat sa mga mag-aaral, at hindi sa guro, na pag-aralan ang paksang ito) (hakbang 6)

Diagnostic na gawain.

Pagsusulit(ilagay ang mga susi sa likod ng kuwarta).

Mga opsyon sa gawain: kumakatawan sa quotient x 15 bilang isang kapangyarihan: x 3; kinakatawan bilang kapangyarihan ang produkto (-4) 2 (-4) 5 (-4) 7 ; para sa aling m ang pagkakapantay-pantay a 16 a m = a 32 wasto? hanapin ang halaga ng expression na h 0: h 2 sa h = 0.2; kalkulahin ang halaga ng expression (5 2 5 0): 5 2 .

Buod ng aralin. Pagninilay. Hinahati ko ang klase sa dalawang grupo.

Maghanap ng mga argumento sa pangkat I: pabor sa pag-alam sa mga katangian ng antas, at pangkat II - mga argumento na magsasabi na magagawa mo nang walang mga katangian. Nakikinig kami sa lahat ng mga sagot at gumawa ng mga konklusyon. Sa kasunod na mga aralin, maaari kang mag-alok ng istatistikal na data at tawagan ang rubric na "Hindi ito paniwalaan!"

Ang karaniwang tao ay kumakain ng 32 10 2 kg ng mga pipino sa panahon ng kanilang buhay.

Ang wasp ay may kakayahang gumawa ng walang tigil na paglipad ng 3.2 10 2 km.

Kapag nabibitak ang salamin, kumakalat ang bitak sa bilis na humigit-kumulang 5 10 3 km/h.

Ang isang palaka ay kumakain ng higit sa 3 tonelada ng lamok sa kanyang buhay. Gamit ang degree, isulat sa kg.

Ang pinakamarami ay itinuturing na isda sa karagatan - ang buwan (Mola mola), na naglalagay ng hanggang 300,000,000 itlog na may diameter na humigit-kumulang 1.3 mm sa isang pangingitlog. Isulat ang numerong ito gamit ang power.

VII. Takdang aralin.

Makasaysayang sanggunian. Anong mga numero ang tinatawag na mga numero ng Fermat.

P.19. 403, No. 408, No. 417

Mga Ginamit na Aklat:

Textbook "Algebra-7", mga may-akda Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk et al.

Didactic na materyal para sa ika-7 baitang, L.V. Kuznetsova, L.I. Zvavich, S.B. Suvorov.

Encyclopedia ng matematika.

Magazine na "Quant".

Mga katangian ng degree, formulations, proofs, halimbawa.

Matapos matukoy ang kapangyarihan ng isang numero, makatuwirang pag-usapan mga katangian ng degree. Sa artikulong ito ibibigay namin ang mga pangunahing katangian ng kapangyarihan ng isang numero, habang hinahawakan ang lahat ng posibleng exponent. Dito ay magbibigay kami ng mga patunay ng lahat ng mga katangian ng mga degree, at ipapakita din kung paano ginagamit ang mga katangiang ito kapag nilulutas ang mga halimbawa.

Pag-navigate sa pahina.

Mga katangian ng mga degree na may mga natural na exponent

Sa pamamagitan ng kahulugan ng isang kapangyarihan na may natural na exponent, ang kapangyarihan a n ay produkto ng n mga kadahilanan, na ang bawat isa ay katumbas ng a. Batay sa kahulugan na ito, at gamit din mga katangian ng pagpaparami ng mga tunay na numero, maaari nating makuha at bigyang katwiran ang mga sumusunod mga katangian ng degree na may natural na exponent:

ang pangunahing katangian ng antas a m ·a n =a m+n, ang paglalahat nito a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k;

ari-arian ng quotient powers na may magkaparehong base a m:a n =a m−n ;

ari-arian ng antas ng isang produkto (a·b) n =a n ·b n , extension nito (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n ;

ari-arian ng quotient sa natural na antas (a:b) n =a n:b n ;

pagtataas ng antas sa isang kapangyarihan (a m) n =a m·n, ang paglalahat nito (((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 ·n 2 ·…·n k;

paghahambing ng degree na may zero:

• kung a>0, pagkatapos ay a n>0 para sa anumang natural na numero n;
• kung a=0, pagkatapos ay a n =0;
• kung isang 2·m >0 , kung isang 2·m−1 n ;
• kung ang m at n ay mga natural na bilang na m>n, kung gayon para sa 0m n, at para sa a>0 ang hindi pagkakapantay-pantay a m >a n ay totoo.

Tandaan natin kaagad na ang lahat ng nakasulat na pagkakapantay-pantay ay magkapareho napapailalim sa mga tinukoy na kundisyon, ang kanilang kanan at kaliwang bahagi ay maaaring palitan. Halimbawa, ang pangunahing katangian ng fraction a m ·a n =a m+n na may nagpapasimple ng mga ekspresyon kadalasang ginagamit sa anyong a m+n =a m ·a n .

Ngayon tingnan natin ang bawat isa sa kanila nang detalyado.

Magsimula tayo sa pag-aari ng produkto ng dalawang kapangyarihan na may parehong mga base, na tinatawag na ang pangunahing pag-aari ng degree: para sa anumang tunay na bilang a at anumang natural na bilang na m at n, ang pagkakapantay-pantay na a m ·a n =a m+n ay totoo.

Patunayan natin ang pangunahing pag-aari ng degree. Sa pamamagitan ng kahulugan ng isang kapangyarihan na may natural na exponent, ang produkto ng mga kapangyarihan na may magkaparehong base ng anyo na a m ·a n ay maaaring isulat bilang produkto . Dahil sa mga katangian ng multiplikasyon, ang resultang expression ay maaaring isulat bilang , at ang produktong ito ay isang kapangyarihan ng numerong a na may natural na exponent na m+n, iyon ay, isang m+n. Kinukumpleto nito ang patunay.

Magbigay tayo ng isang halimbawa na nagpapatunay sa pangunahing pag-aari ng degree. Kunin natin ang mga degree na may parehong mga base 2 at natural na kapangyarihan 2 at 3, gamit ang pangunahing katangian ng mga degree maaari nating isulat ang pagkakapantay-pantay 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5. Suriin natin ang bisa nito sa pamamagitan ng pagkalkula ng mga halaga ng mga expression 2 2 · 2 3 at 2 5 . Sa pagsasagawa ng exponentiation, mayroon tayong 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 at 2 5 =2 2 2 2 2 = 32 , dahil nakakakuha tayo ng pantay na halaga, pagkatapos ay ang pagkakapantay-pantay 2 2 ·2 3 =2 5 ay tama, at kinukumpirma nito ang pangunahing katangian ng degree.

Ang pangunahing katangian ng isang degree, batay sa mga katangian ng multiplikasyon, ay maaaring gawing pangkalahatan sa produkto ng tatlo o higit pang mga kapangyarihan na may parehong mga base at natural na exponent. Kaya para sa anumang bilang k ng mga natural na numero n 1 , n 2 , …, n k ang pagkakapantay-pantay a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k ay totoo.

Halimbawa, (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

Maaari tayong magpatuloy sa susunod na pag-aari ng mga kapangyarihan na may natural na exponent - ari-arian ng quotient powers na may parehong mga base: para sa anumang di-zero real number a at arbitrary na natural na mga numerong m at n na nagbibigay-kasiyahan sa kundisyon m>n, ang pagkakapantay-pantay a m:a n =a m−n ay totoo.

Bago ipakita ang patunay ng ari-arian na ito, talakayin natin ang kahulugan ng mga karagdagang kondisyon sa pagbabalangkas. Ang kundisyon a≠0 ay kinakailangan upang maiwasan ang paghahati sa zero, dahil 0 n =0, at nang makilala natin ang paghahati, sumang-ayon tayo na hindi natin mahahati sa zero. Ang kundisyon m>n ay ipinakilala upang hindi tayo lumampas sa mga natural na exponent. Sa katunayan, para sa m>n ang exponent a m−n ay isang natural na numero, kung hindi, ito ay magiging zero (na mangyayari para sa m−n) o isang negatibong numero (na nangyayari para sa m m−n ·a n =a (m−n) +n =a m Mula sa resultang pagkakapantay-pantay a m−n ·a n =a m at mula sa koneksyon sa pagitan ng multiplikasyon at paghahati ay sumusunod na ang isang m−n ay isang quotient ng mga kapangyarihan a m at a n ang parehong mga batayan.

Magbigay tayo ng halimbawa. Kumuha tayo ng dalawang degree na may parehong mga base π at natural exponents 5 at 2, ang pagkakapantay-pantay π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 ay tumutugma sa itinuturing na pag-aari ng degree.

Ngayon isaalang-alang natin ari-arian ng kapangyarihan ng produkto: ang natural na kapangyarihan n ng produkto ng alinmang dalawang tunay na numero a at b ay katumbas ng produkto ng mga kapangyarihan a n at b n , ibig sabihin, (a·b) n =a n ·b n .

Sa katunayan, ayon sa kahulugan ng isang degree na may natural na exponent na mayroon tayo . Batay sa mga katangian ng pagpaparami, ang huling produkto ay maaaring muling isulat bilang , na katumbas ng a n · b n .

Narito ang isang halimbawa: .

Ang pag-aari na ito ay umaabot sa kapangyarihan ng produkto ng tatlo o higit pang mga kadahilanan. Ibig sabihin, ang pag-aari ng natural na degree n ng isang produkto ng k factor ay isinusulat bilang (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n .

Para sa kalinawan, ipapakita namin ang property na ito na may isang halimbawa. Para sa produkto ng tatlong mga kadahilanan sa kapangyarihan ng 7 mayroon kami.

Ang sumusunod na ari-arian ay ari-arian ng isang quotient sa uri: ang quotient ng mga tunay na numero a at b, b≠0 sa natural na kapangyarihan n ay katumbas ng quotient ng mga kapangyarihan a n at b n, ibig sabihin, (a:b) n =a n:b n.

Ang patunay ay maaaring isagawa gamit ang dating ari-arian. Kaya (a:b) n ·b n =((a:b)·b) n =a n , at mula sa pagkakapantay-pantay (a:b) n ·b n =a n sumusunod na ang (a:b) n ay ang quotient ng dibisyon a n sa bn.

Isulat natin ang property na ito gamit ang mga partikular na numero bilang halimbawa: .

Ngayon ipahayag natin ito ari-arian ng pagtataas ng kapangyarihan sa isang kapangyarihan: para sa anumang tunay na bilang a at anumang natural na mga numerong m at n, ang kapangyarihan ng a m sa kapangyarihan ng n ay katumbas ng kapangyarihan ng numerong a na may exponent m·n, iyon ay, (a m) n =a m·n.

Halimbawa, (5 2) 3 =5 2·3 =5 6.

Ang patunay ng power-to-degree na ari-arian ay ang sumusunod na chain of equalities: .

Ang pag-aari na isinasaalang-alang ay maaaring i-extend sa degree sa degree sa degree, atbp. Halimbawa, para sa anumang natural na numerong p, q, r at s, ang pagkakapantay-pantay . Para sa higit na kalinawan, magbigay tayo ng isang halimbawa na may mga tiyak na numero: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10.

Ito ay nananatiling upang tumira sa mga katangian ng paghahambing ng mga degree sa isang natural na exponent.

Magsimula tayo sa pamamagitan ng pagpapatunay ng katangian ng paghahambing ng zero at kapangyarihan sa isang natural na exponent.

Una, patunayan natin na ang a n >0 para sa alinmang a>0.

Ang produkto ng dalawang positibong numero ay isang positibong numero, tulad ng sumusunod mula sa kahulugan ng multiplikasyon. Ang katotohanang ito at ang mga katangian ng pagpaparami ay nagmumungkahi na ang resulta ng pagpaparami ng anumang bilang ng mga positibong numero ay magiging isang positibong numero. At ang kapangyarihan ng isang numero a na may natural na exponent n, sa pamamagitan ng kahulugan, ay ang produkto ng n mga kadahilanan, na ang bawat isa ay katumbas ng a. Ang mga argumentong ito ay nagpapahintulot sa amin na sabihin na para sa anumang positibong base a, ang degree a n ay isang positibong numero. Dahil sa napatunayang ari-arian 3 5 >0, (0.00201) 2 >0 at .

Halatang halata na para sa anumang natural na bilang n na may a=0 ang antas ng a n ay zero. Sa katunayan, 0 n =0·0·…·0=0 . Halimbawa, 0 3 =0 at 0 762 =0.

Lumipat tayo sa mga negatibong base ng degree.

Magsimula tayo sa kaso kapag ang exponent ay isang even na numero, sabihin natin ito bilang 2·m, kung saan ang m ay isang natural na numero. Pagkatapos . Ayon sa panuntunan para sa pagpaparami ng mga negatibong numero, ang bawat isa sa mga produkto ng anyong a·a ay katumbas ng produkto ng mga ganap na halaga ng mga numerong a at a, na nangangahulugan na ito ay isang positibong numero. Samakatuwid, ang produkto ay magiging positibo din at digri a 2·m. Magbigay tayo ng mga halimbawa: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 at .

Sa wakas, kapag ang base a ay isang negatibong numero at ang exponent ay isang kakaibang numero 2 m−1, kung gayon . Ang lahat ng mga produkto a·a ay mga positibong numero, ang produkto ng mga positibong numerong ito ay positibo rin, at ang pagpaparami nito sa natitirang negatibong numero ay nagreresulta sa isang negatibong numero. Dahil sa katangiang ito (−5) 3 17 n n ay produkto ng kaliwa at kanang bahagi ng n tunay na hindi pagkakapantay-pantay a mga katangian ng hindi pagkakapantay-pantay, ang isang napatunayang hindi pagkakapantay-pantay ng anyo a n n ay totoo rin. Halimbawa, dahil sa ari-arian na ito, ang mga hindi pagkakapantay-pantay 3 7 7 at .

Ito ay nananatiling patunayan ang huli sa mga nakalistang katangian ng mga kapangyarihan na may mga natural na exponent. Buuin natin ito. Sa dalawang kapangyarihan na may natural na exponent at magkaparehong positibong base na mas mababa sa isa, ang isa na ang exponent ay mas maliit ay mas malaki; at ng dalawang kapangyarihan na may natural na exponent at magkaparehong base na mas malaki kaysa sa isa, ang isa na ang exponent ay mas malaki ay mas malaki. Magpatuloy tayo sa patunay ng ari-arian na ito.

Patunayan natin na para sa m>n at 0m n . Upang gawin ito, isulat namin ang pagkakaiba a m − a n at ihambing ito sa zero. Ang naitala na pagkakaiba, pagkatapos kunin ang isang n mula sa mga bracket, ay magkakaroon ng anyong a n ·(a m−n−1) . Ang resultang produkto ay negatibo bilang produkto ng isang positibong numero a n at isang negatibong numero a m−n −1 (a n ay positibo bilang natural na kapangyarihan ng isang positibong numero, at ang pagkakaiba ng a m−n −1 ay negatibo, dahil m−n >0 dahil sa paunang kundisyon m>n, kung saan sumusunod na kapag ang 0m−n ay mas mababa sa pagkakaisa). Samakatuwid, a m −a n m n , na siyang kailangang patunayan. Bilang halimbawa, ibinibigay namin ang tamang hindi pagkakapantay-pantay.

Ito ay nananatiling patunayan ang ikalawang bahagi ng ari-arian. Patunayan natin na para sa m>n at a>1 a m >a n ay totoo. Ang pagkakaiba ng a m −a n pagkatapos kunin ang isang n mula sa mga bracket ay nasa anyong a n ·(a m−n −1) . Ang produktong ito ay positibo, dahil para sa a>1 ang degree a n ay isang positibong numero, at ang pagkakaiba ng a m−n −1 ay isang positibong numero, dahil m−n>0 dahil sa paunang kondisyon, at para sa a>1 ang degree ang isang m−n ay mas malaki kaysa sa isa . Dahil dito, ang a m −a n >0 at a m >a n , na siyang kailangang patunayan. Ang ari-arian na ito ay inilalarawan ng hindi pagkakapantay-pantay 3 7 >3 2.

Mga katangian ng mga kapangyarihan na may mga integer exponents

Dahil ang mga positibong integer ay natural na mga numero, kung gayon ang lahat ng mga katangian ng mga kapangyarihan na may positibong integer na mga exponents ay eksaktong tumutugma sa mga katangian ng mga kapangyarihan na may mga natural na exponent na nakalista at napatunayan sa nakaraang talata.

Tinukoy namin ang isang degree na may integer na negatibong exponent, pati na rin isang degree na may zero exponent, sa paraang ang lahat ng katangian ng mga degree na may natural na exponent, na ipinahayag ng mga pagkakapantay-pantay, ay nanatiling wasto. Samakatuwid, ang lahat ng mga pag-aari na ito ay may bisa para sa parehong mga zero exponents at negatibong exponents, habang, siyempre, ang mga base ng mga kapangyarihan ay naiiba mula sa zero.

Kaya, para sa anumang tunay at di-zero na mga numero a at b, pati na rin ang anumang integer na m at n, ang mga sumusunod ay totoo: mga katangian ng mga kapangyarihan na may mga integer exponent:

• a m ·a n =a m+n ;
• a m:a n =a m−n ;
• (a·b) n =a n ·b n ;
• (a:b) n =a n:b n ;
• (a m) n =a m·n ;
• kung ang n ay isang positibong integer, ang a at b ay mga positibong numero, at a n n at a −n >b −n ;
• kung ang m at n ay mga integer, at m>n, kung gayon para sa 0m n, at para sa a>1 ang hindi pagkakapantay-pantay ng a m >a n ay hawak.

Kapag a=0, ang powers a m at a n ay may katuturan lamang kapag pareho ang m at n ay positive integers, iyon ay, natural na mga numero. Kaya, ang mga katangian na isinulat lamang ay may bisa din para sa mga kaso kapag ang a=0 at ang mga numerong m at n ay mga positibong integer.

Ang pagpapatunay sa bawat isa sa mga pag-aari na ito ay hindi mahirap gawin ito, sapat na gamitin ang mga kahulugan ng mga degree na may natural at integer exponents, pati na rin ang mga katangian ng mga operasyon na may totoong mga numero. Bilang halimbawa, patunayan natin na ang power-to-power na ari-arian ay may hawak para sa parehong mga positibong integer at hindi positibong integer. Upang gawin ito, kailangan mong ipakita na kung ang p ay zero o isang natural na numero at q ay zero o isang natural na numero, kung gayon ang mga pagkakapantay-pantay (a p) q =a p·q, (a −p) q =a (−p) ·q, (a p ) −q =a p·(−q) at (a −p) −q =a (−p)·(−q) . Gawin natin.

Para sa positibong p at q, ang pagkakapantay-pantay (a p) q =a p·q ay napatunayan sa nakaraang talata. Kung p=0, kung gayon mayroon tayong (a 0) q =1 q =1 at isang 0·q =a 0 =1, kung saan (a 0) q =a 0·q. Katulad nito, kung q=0, kung gayon (a p) 0 =1 at isang p·0 =a 0 =1, kung saan (a p) 0 =a p·0. Kung parehong p=0 at q=0, kung gayon (a 0) 0 =1 0 =1 at a 0·0 =a 0 =1, kung saan (a 0) 0 =a 0·0.

Ngayon patunayan natin na (a −p) q =a (−p)·q . Sa pamamagitan ng kahulugan ng isang kapangyarihan na may negatibong integer exponent, kung gayon . Sa pamamagitan ng pag-aari ng mga quotient sa mga kapangyarihan na mayroon tayo . Dahil 1 p =1·1·…·1=1 at , pagkatapos . Ang huling expression, ayon sa kahulugan, ay isang kapangyarihan ng anyong a −(p·q), na, dahil sa mga tuntunin ng multiplikasyon, ay maaaring isulat bilang isang (−p)·q.

Ganun din .

AT .

Gamit ang parehong prinsipyo, maaari mong patunayan ang lahat ng iba pang mga katangian ng isang degree na may isang integer exponent, na nakasulat sa anyo ng mga pagkakapantay-pantay.

Sa penultimate ng mga naitala na katangian, nararapat na pag-isipan ang patunay ng hindi pagkakapantay-pantay a −n >b −n, na wasto para sa anumang negatibong integer −n at anumang positibong a at b kung saan ang kundisyon a ay natutugunan . Isulat natin at baguhin ang pagkakaiba sa pagitan ng kaliwa at kanang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay na ito: . Dahil sa pamamagitan ng kondisyon a n n , samakatuwid, b n −a n >0 . Ang produktong a n · b n ay positibo rin bilang produkto ng mga positibong numero a n at b n . Kung gayon ang resultang fraction ay positibo bilang quotient ng mga positibong numero b n −a n at a n ·b n . Samakatuwid, kung saan a −n >b −n , na kung saan ay kung ano ang kailangan upang patunayan.

Ang huling pag-aari ng mga kapangyarihan na may mga integer na exponents ay pinatutunayan sa parehong paraan tulad ng isang katulad na pag-aari ng mga kapangyarihan na may mga natural na exponents.

Mga katangian ng mga kapangyarihan na may mga rational exponents

Tinukoy namin ang isang degree na may fractional exponent sa pamamagitan ng pagpapalawak ng mga katangian ng isang degree na may integer exponent dito. Sa madaling salita, ang mga kapangyarihan na may mga fractional exponents ay may parehong mga katangian tulad ng mga kapangyarihan na may mga integer exponents. Namely:

1. ari-arian ng produkto ng mga kapangyarihan na may parehong mga base para sa a>0, at kung at, pagkatapos ay para sa a≥0;
2. ari-arian ng quotient powers na may parehong mga base para sa a>0 ;
3. ari-arian ng isang produkto sa isang fractional power para sa a>0 at b>0, at kung at, pagkatapos ay para sa a≥0 at (o) b≥0;
4. ari-arian ng isang quotient sa isang fractional na kapangyarihan para sa a>0 at b>0, at kung , pagkatapos ay para sa a≥0 at b>0;
5. ari-arian ng antas sa antas para sa a>0, at kung at, pagkatapos ay para sa a≥0;
6. ari-arian ng paghahambing ng mga kapangyarihan sa pantay na rational exponents: para sa anumang positibong numero a at b, a 0 ang hindi pagkakapantay-pantay a p p ay totoo, at para sa p p >b p ;
7. ang pag-aari ng paghahambing ng mga kapangyarihan sa mga rational exponents at pantay na base: para sa mga rational na numero p at q, p>q para sa 0p q, at para sa a>0 – hindi pagkakapantay-pantay a p >a q.

Ang patunay ng mga katangian ng mga kapangyarihan na may mga fractional exponent ay batay sa kahulugan ng isang kapangyarihan na may isang fractional exponent, sa mga katangian ng arithmetic root ng nth degree at sa mga katangian ng isang kapangyarihan na may isang integer exponent. Magbigay tayo ng ebidensya.

Sa pamamagitan ng kahulugan ng isang kapangyarihan na may fractional exponent at , pagkatapos . Ang mga katangian ng arithmetic root ay nagpapahintulot sa amin na isulat ang mga sumusunod na pagkakapantay-pantay. Dagdag pa, gamit ang property ng isang degree na may integer exponent, nakukuha namin ang , kung saan, sa pamamagitan ng kahulugan ng degree na may fractional exponent, mayroon kaming , at ang tagapagpahiwatig ng antas na nakuha ay maaaring mabago tulad ng sumusunod: . Kinukumpleto nito ang patunay.

Ang pangalawang pag-aari ng mga kapangyarihan na may mga fractional exponents ay napatunayan sa isang ganap na katulad na paraan:


Ang natitirang pagkakapantay-pantay ay napatunayan gamit ang mga katulad na prinsipyo:


Lumipat tayo sa pagpapatunay sa susunod na pag-aari. Patunayan natin na para sa anumang positibong a at b, a 0 ang hindi pagkakapantay-pantay a p p ay totoo, at para sa p p >b p . Isulat natin ang rational number p bilang m/n, kung saan ang m ay isang integer at n ay isang natural na numero. Ang mga kondisyon p 0 sa kasong ito ay magiging katumbas ng mga kondisyon m 0, ayon sa pagkakabanggit. Para sa m>0 at am m . Mula sa hindi pagkakapantay-pantay na ito, sa pamamagitan ng pag-aari ng mga ugat, mayroon tayo, at dahil ang a at b ay mga positibong numero, kung gayon, batay sa kahulugan ng isang degree na may fractional exponent, ang resultang hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring isulat muli bilang, iyon ay, a p p .

Katulad nito, para sa m m >b m , kung saan, iyon ay, a p >b p .

Ito ay nananatiling patunayan ang huli sa mga nakalistang katangian. Patunayan natin na para sa mga rational na numero p at q, p>q para sa 0p q, at para sa a>0 – ang hindi pagkakapantay-pantay a p >a q. Maaari nating palaging bawasan ang mga rational na numerong p at q sa isang karaniwang denominator, kahit na makakuha tayo ng mga ordinaryong fraction at , kung saan ang m 1 at m 2 ay mga integer, at ang n ay isang natural na numero. Sa kasong ito, ang kundisyon p>q ay tumutugma sa kundisyon m 1 >m 2, na sumusunod sa panuntunan para sa paghahambing ng mga ordinaryong fraction na may parehong denominator. Pagkatapos, sa pamamagitan ng pag-aari ng paghahambing ng mga degree na may parehong mga base at natural na exponents, para sa 0m 1 m 2, at para sa a>1, ang hindi pagkakapantay-pantay a m 1 >a m 2. Ang mga hindi pagkakapantay-pantay na ito sa mga katangian ng mga ugat ay maaaring muling isulat nang naaayon bilang At . At ang kahulugan ng isang degree na may rational exponent ay nagpapahintulot sa amin na lumipat sa hindi pagkakapantay-pantay at, nang naaayon. Mula dito iginuhit natin ang pangwakas na konklusyon: para sa p>q at 0p q , at para sa a>0 – ang hindi pagkakapantay-pantay a p >a q .

Mga katangian ng mga kapangyarihan na may mga hindi makatwirang exponent

Mula sa paraan ng pagtukoy ng isang degree na may hindi makatwirang exponent, maaari nating tapusin na mayroon itong lahat ng katangian ng mga degree na may mga rational exponent. Kaya para sa anumang a>0, b>0 at hindi makatwiran na mga numero p at q ang mga sumusunod ay totoo mga katangian ng mga kapangyarihan na may mga hindi makatwirang exponent:

1. a p ·a q =a p+q ;
2. a p:a q =a p−q ;
3. (a·b) p =a p ·b p ;
4. (a:b) p =a p:b p ;
5. (a p) q =a p·q ;
6. para sa anumang positibong numero a at b, a 0 ang hindi pagkakapantay-pantay a p p ay totoo, at para sa p p >b p ;
7. para sa mga hindi makatwirang numero p at q, p>q para sa 0p q, at para sa a>0 – ang hindi pagkakapantay-pantay a p >a q.

Mula dito maaari nating tapusin na ang mga kapangyarihan na may anumang tunay na exponents p at q para sa a>0 ay may parehong mga katangian.

• Algebra - ika-10 baitang. Trigonometric equation Aralin at presentasyon sa paksa: "Paglutas ng pinakasimpleng trigonometriko equation" Karagdagang materyales Minamahal na mga gumagamit, huwag kalimutang iwanan ang iyong mga komento, pagsusuri, mungkahi! Lahat ng materyales […]
• Binuksan ang isang kumpetisyon para sa posisyon na "SELLER - CONSULTANT": Mga Responsibilidad: pagbebenta ng mga mobile phone at accessories para sa mga mobile na komunikasyon, serbisyo sa customer para sa Beeline, Tele2, MTS subscriber, koneksyon ng mga plano at serbisyo ng taripa ng Beeline at Tele2, pagkonsulta sa MTS [… ]
• Parallelepiped formula Ang parallelepiped ay isang polyhedron na may 6 na mukha, bawat isa ay parallelogram. Ang cuboid ay isang parallelepiped na bawat mukha ay isang parihaba. Ang anumang parallelepiped ay nailalarawan sa pamamagitan ng 3 [...]
• Magpatibay ng batas sa Family Estates Magpatibay ng pederal na batas sa libreng alokasyon sa bawat mamamayan ng Russian Federation o isang pamilya ng mga mamamayan ng isang kapirasong lupa para sa pagpapaunlad ng Family Estate dito sa mga sumusunod na kondisyon: 1. Ang plot ay inilaan para sa […]
• Society for the Protection of Consumer Rights Astana Upang makatanggap ng pin code para ma-access ang dokumentong ito sa aming website, magpadala ng SMS message na may text zan sa numerong Mga Subscriber ng mga operator ng GSM (Activ, Kcell, Beeline, NEO, Tele2) sa pamamagitan ng pagpapadala ng SMS sa numero, […]
• INSPECTION OF GOSTEKHNADZOR OF THE BRYANSK REGION Resibo para sa pagbabayad ng tungkulin ng estado (I-download-12.2 kb) Mga aplikasyon para sa pagpaparehistro para sa mga indibidwal (I-download-12 kb) Mga aplikasyon para sa pagpaparehistro para sa mga legal na entity (I-download-11.4 kb) 1. Kapag nagrerehistro ng bagong sasakyan : 1.aplikasyon 2.pasaporte […]
• PAGBAYBAY NG N AT NN SA IBA'T IBANG BAHAGI NG PANANALITA S.G ZELINSKAYA DIDACTIC MATERIAL Theoretical exercise 1. Kailan isinusulat ang nn sa mga adjectives? 2. Pangalanan ang mga pagbubukod sa mga tuntuning ito. 3. Paano makilala ang isang verbal adjective na may suffix -n- mula sa isang participle na may [...]
• Pivoev V.M. Pilosopiya at pamamaraan ng agham: isang aklat-aralin para sa mga master at nagtapos na mga mag-aaral Petrozavodsk: PetrSU Publishing House, 2013. - 320 pp. ISBN 978-5-821-1647-0 PDF 3 mb Ang aklat-aralin ay inilaan para sa mga senior na mag-aaral, masters at graduate na mga mag-aaral ng panlipunan at […]

Matapos matukoy ang kapangyarihan ng isang numero, makatuwirang pag-usapan mga katangian ng degree. Sa artikulong ito ibibigay namin ang mga pangunahing katangian ng kapangyarihan ng isang numero, habang hinahawakan ang lahat ng posibleng exponent. Dito ay magbibigay kami ng mga patunay ng lahat ng mga katangian ng mga degree, at ipapakita din kung paano ginagamit ang mga katangiang ito kapag nilulutas ang mga halimbawa.

Pag-navigate sa pahina.

Mga katangian ng mga degree na may mga natural na exponent

Sa pamamagitan ng kahulugan ng isang kapangyarihan na may natural na exponent, ang kapangyarihan a n ay ang produkto ng n mga kadahilanan, na ang bawat isa ay katumbas ng a. Batay sa kahulugan na ito, at gamit din mga katangian ng pagpaparami ng mga tunay na numero, maaari nating makuha at bigyang katwiran ang mga sumusunod mga katangian ng degree na may natural na exponent:

1. ang pangunahing katangian ng antas a m ·a n =a m+n, ang paglalahat nito;
2. ari-arian ng quotient powers na may magkaparehong base a m:a n =a m−n ;
3. product power property (a·b) n =a n ·b n , extension nito;
4. ari-arian ng quotient sa natural na antas (a:b) n =a n:b n ;
5. pagtataas ng antas sa isang kapangyarihan (a m) n =a m·n, ang paglalahat nito (((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 ·n 2 ·…·n k;
6. paghahambing ng degree na may zero:
   • kung a>0, pagkatapos ay a n>0 para sa anumang natural na numero n;
   • kung a=0, pagkatapos ay a n =0;
   • kung ang<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 kung a<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
7. kung ang a at b ay mga positibong numero at a
8. kung ang m at n ay mga natural na numero tulad ng m>n , pagkatapos ay sa 0 0 totoo ang hindi pagkakapantay-pantay a m >a n.

Tandaan natin kaagad na ang lahat ng nakasulat na pagkakapantay-pantay ay magkapareho napapailalim sa tinukoy na mga kundisyon, ang kanilang kanan at kaliwang bahagi ay maaaring palitan. Halimbawa, ang pangunahing katangian ng fraction a m ·a n =a m+n na may nagpapasimple ng mga ekspresyon kadalasang ginagamit sa anyong a m+n =a m ·a n .

Ngayon tingnan natin ang bawat isa sa kanila nang detalyado.

Magsimula tayo sa pag-aari ng produkto ng dalawang kapangyarihan na may parehong mga base, na tinatawag na ang pangunahing pag-aari ng degree: para sa anumang tunay na bilang a at anumang natural na mga numerong m at n, ang pagkakapantay-pantay na a m ·a n =a m+n ay totoo.

Patunayan natin ang pangunahing pag-aari ng degree. Sa pamamagitan ng kahulugan ng isang kapangyarihan na may natural na exponent, ang produkto ng mga kapangyarihan na may parehong mga base ng anyong a m ·a n ay maaaring isulat bilang isang produkto. Dahil sa mga katangian ng multiplikasyon, ang resultang expression ay maaaring isulat bilang , at ang produktong ito ay isang kapangyarihan ng numerong a na may natural na exponent na m+n, iyon ay, isang m+n. Kinukumpleto nito ang patunay.

Magbigay tayo ng isang halimbawa na nagpapatunay sa pangunahing pag-aari ng degree. Kunin natin ang mga degree na may parehong mga base 2 at natural na kapangyarihan 2 at 3, gamit ang pangunahing katangian ng mga degree maaari nating isulat ang pagkakapantay-pantay 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5. Suriin natin ang bisa nito sa pamamagitan ng pagkalkula ng mga halaga ng mga expression 2 2 · 2 3 at 2 5 . Isinasagawa ang exponentiation, mayroon kami 2 2 ·2 3 =(2·2)·(2·2·2)=4·8=32 at 2 5 =2·2·2·2·2=32, dahil ang mga katumbas na halaga ay nakuha, kung gayon ang pagkakapantay-pantay 2 2 ·2 3 =2 5 ay tama, at kinukumpirma nito ang pangunahing katangian ng antas.

Ang pangunahing katangian ng isang degree, batay sa mga katangian ng multiplikasyon, ay maaaring gawing pangkalahatan sa produkto ng tatlo o higit pang mga kapangyarihan na may parehong mga base at natural na exponent. Kaya para sa anumang bilang k ng mga natural na numero n 1, n 2, …, n k ang pagkakapantay-pantay ay totoo a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.

Halimbawa, (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

Maaari tayong magpatuloy sa susunod na pag-aari ng mga kapangyarihan na may natural na exponent - ari-arian ng quotient powers na may parehong mga base: para sa anumang di-zero real number a at arbitrary na natural na mga numerong m at n na nagbibigay-kasiyahan sa kundisyon m>n, ang pagkakapantay-pantay a m:a n =a m−n ay totoo.

Bago ipakita ang patunay ng ari-arian na ito, talakayin natin ang kahulugan ng mga karagdagang kondisyon sa pagbabalangkas. Ang kundisyong a≠0 ay kinakailangan upang maiwasan ang paghahati sa zero, dahil 0 n =0, at nang makilala natin ang paghahati, sumang-ayon tayo na hindi natin mahahati sa zero. Ang kundisyon m>n ay ipinakilala upang hindi tayo lumampas sa mga natural na exponent. Sa katunayan, para sa m>n ang exponent a m−n ay isang natural na numero, kung hindi, ito ay magiging zero (na mangyayari para sa m−n ) o isang negatibong numero (na mangyayari para sa m

Patunay. Ang pangunahing katangian ng isang fraction ay nagpapahintulot sa amin na isulat ang pagkakapantay-pantay a m−n ·a n =a (m−n)+n =a m. Mula sa nagresultang pagkakapantay-pantay a m−n ·a n =a m at sumusunod na ang isang m−n ay isang quotient ng mga kapangyarihan a m at a n . Pinatutunayan nito ang pag-aari ng quotient powers na may magkaparehong base.

Magbigay tayo ng halimbawa. Kumuha tayo ng dalawang degree na may parehong mga base π at natural exponents 5 at 2, ang pagkakapantay-pantay π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 ay tumutugma sa itinuturing na pag-aari ng degree.

Ngayon isaalang-alang natin ari-arian ng kapangyarihan ng produkto: ang natural na kapangyarihan n ng produkto ng alinmang dalawang tunay na numero a at b ay katumbas ng produkto ng mga kapangyarihan a n at b n , ibig sabihin, (a·b) n =a n ·b n .

Sa katunayan, ayon sa kahulugan ng isang degree na may natural na exponent na mayroon tayo . Batay sa mga katangian ng pagpaparami, ang huling produkto ay maaaring muling isulat bilang , na katumbas ng a n · b n .

Narito ang isang halimbawa: .

Ang pag-aari na ito ay umaabot sa kapangyarihan ng produkto ng tatlo o higit pang mga kadahilanan. Iyon ay, ang pag-aari ng natural na antas n ng produkto ng k mga kadahilanan ay nakasulat bilang (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n.

Para sa kalinawan, ipapakita namin ang property na ito na may isang halimbawa. Para sa produkto ng tatlong mga kadahilanan sa kapangyarihan ng 7 mayroon kami.

Ang sumusunod na ari-arian ay ari-arian ng isang quotient sa uri: ang quotient ng mga tunay na numero a at b, b≠0 sa natural na kapangyarihan n ay katumbas ng quotient ng mga kapangyarihan a n at b n, ibig sabihin, (a:b) n =a n:b n.

Ang patunay ay maaaring isagawa gamit ang dating ari-arian. Kaya (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, at mula sa pagkakapantay-pantay (a:b) n ·b n =a n sumusunod na ang (a:b) n ay ang quotient ng a n na hinati ng b n .

Isulat natin ang property na ito gamit ang mga partikular na numero bilang halimbawa: .

Ngayon ipahayag natin ito ari-arian ng pagtataas ng kapangyarihan sa isang kapangyarihan: para sa anumang tunay na bilang a at anumang natural na mga numerong m at n, ang kapangyarihan ng a m sa kapangyarihan ng n ay katumbas ng kapangyarihan ng numerong a na may exponent m·n, iyon ay, (a m) n =a m·n.

Halimbawa, (5 2) 3 =5 2·3 =5 6.

Ang patunay ng power-to-degree na ari-arian ay ang sumusunod na chain of equalities: .

Ang pag-aari na isinasaalang-alang ay maaaring i-extend sa degree sa degree sa degree, atbp. Halimbawa, para sa anumang natural na numerong p, q, r at s, ang pagkakapantay-pantay . Para sa higit na kalinawan, narito ang isang halimbawa na may mga partikular na numero: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

Ito ay nananatiling upang tumira sa mga katangian ng paghahambing ng mga degree sa isang natural na exponent.

Magsimula tayo sa pamamagitan ng pagpapatunay ng katangian ng paghahambing ng zero at kapangyarihan sa isang natural na exponent.

Una, patunayan natin na ang a n >0 para sa alinmang a>0.

Ang produkto ng dalawang positibong numero ay isang positibong numero, tulad ng sumusunod mula sa kahulugan ng multiplikasyon. Ang katotohanang ito at ang mga katangian ng pagpaparami ay nagmumungkahi na ang resulta ng pagpaparami ng anumang bilang ng mga positibong numero ay magiging isang positibong numero. At ang kapangyarihan ng isang numero a na may natural na exponent n, sa pamamagitan ng kahulugan, ay ang produkto ng n mga kadahilanan, na ang bawat isa ay katumbas ng a. Ang mga argumentong ito ay nagpapahintulot sa amin na igiit na para sa anumang positibong base a, ang degree a n ay isang positibong numero. Dahil sa napatunayang ari-arian 3 5 >0, (0.00201) 2 >0 at .

Halatang halata na para sa anumang natural na bilang n na may a=0 ang antas ng a n ay zero. Sa katunayan, 0 n =0·0·…·0=0 . Halimbawa, 0 3 =0 at 0 762 =0.

Lumipat tayo sa mga negatibong base ng degree.

Magsimula tayo sa kaso kapag ang exponent ay isang even na numero, sabihin natin ito bilang 2·m, kung saan ang m ay isang natural na numero. Pagkatapos . Para sa bawat isa sa mga produkto ng anyong a·a ay katumbas ng produkto ng moduli ng mga numerong a at a, na nangangahulugang ito ay isang positibong numero. Samakatuwid, ang produkto ay magiging positibo din at digri a 2·m. Magbigay tayo ng mga halimbawa: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 at .

Sa wakas, kapag ang base a ay isang negatibong numero at ang exponent ay isang kakaibang numero 2 m−1, kung gayon . Ang lahat ng mga produkto a·a ay mga positibong numero, ang produkto ng mga positibong numerong ito ay positibo rin, at ang pagpaparami nito sa natitirang negatibong numero ay nagreresulta sa isang negatibong numero. Dahil sa property na ito (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

Lumipat tayo sa pag-aari ng paghahambing ng mga kapangyarihan na may parehong natural na exponents, na may sumusunod na pormulasyon: ng dalawang kapangyarihan na may parehong natural na exponents, n ay mas mababa kaysa sa isa na ang base ay mas maliit, at mas malaki ang isa na ang base ay mas malaki. . Patunayan natin.

Hindi pagkakapantay-pantay a n katangian ng hindi pagkakapantay-pantay totoo rin ang isang napatunayang hindi pagkakapantay-pantay ng anyo a n (2.2) 7 at .

Ito ay nananatiling patunayan ang huli sa mga nakalistang katangian ng mga kapangyarihan na may mga natural na exponent. Buuin natin ito. Sa dalawang kapangyarihan na may natural na exponent at magkaparehong positibong base na mas mababa sa isa, ang isa na ang exponent ay mas maliit ay mas malaki; at ng dalawang kapangyarihan na may natural na exponent at magkaparehong base na mas malaki kaysa sa isa, ang isa na ang exponent ay mas malaki ay mas malaki. Magpatuloy tayo sa patunay ng ari-arian na ito.

Patunayan natin iyon para sa m>n at 0 0 dahil sa paunang kondisyon m>n, na nangangahulugang nasa 0

Ito ay nananatiling patunayan ang ikalawang bahagi ng ari-arian. Patunayan natin na para sa m>n at a>1 a m >a n ay totoo. Ang pagkakaiba ng a m −a n pagkatapos kunin ang isang n mula sa mga bracket ay nasa anyong a n ·(a m−n −1) . Ang produktong ito ay positibo, dahil para sa a>1 ang degree a n ay isang positibong numero, at ang pagkakaiba ng a m−n −1 ay isang positibong numero, dahil m−n>0 dahil sa paunang kondisyon, at para sa a>1 ang degree ang isang m−n ay mas malaki kaysa sa isa . Dahil dito, ang a m −a n >0 at a m >a n , na siyang kailangang patunayan. Ang ari-arian na ito ay inilalarawan ng hindi pagkakapantay-pantay 3 7 >3 2.

Mga katangian ng mga kapangyarihan na may mga integer exponents

Dahil ang mga positibong integer ay natural na mga numero, kung gayon ang lahat ng mga katangian ng mga kapangyarihan na may positibong integer na mga exponents ay eksaktong tumutugma sa mga katangian ng mga kapangyarihan na may mga natural na exponent na nakalista at napatunayan sa nakaraang talata.

Tinukoy namin ang isang degree na may integer na negatibong exponent, pati na rin isang degree na may zero exponent, sa paraang ang lahat ng katangian ng mga degree na may natural na exponent, na ipinahayag ng mga pagkakapantay-pantay, ay nanatiling wasto. Samakatuwid, ang lahat ng mga pag-aari na ito ay may bisa para sa parehong mga zero exponents at negatibong exponents, habang, siyempre, ang mga base ng mga kapangyarihan ay naiiba mula sa zero.

Kaya, para sa anumang tunay at di-zero na mga numero a at b, pati na rin ang anumang integer na m at n, ang mga sumusunod ay totoo: mga katangian ng mga kapangyarihan na may mga integer exponent:

1. a m ·a n =a m+n ;
2. a m:a n =a m−n ;
3. (a·b) n =a n ·b n ;
4. (a:b) n =a n:b n ;
5. (a m) n =a m·n ;
6. kung ang n ay isang positibong integer, ang a at b ay mga positibong numero, at a b−n ;
7. kung ang m at n ay mga integer, at m>n , pagkatapos ay sa 0 1 ang hindi pagkakapantay-pantay a m >a n hawak.

Kapag a=0, ang powers a m at a n ay may katuturan lamang kapag pareho ang m at n ay positive integers, iyon ay, natural na mga numero. Kaya, ang mga katangian na isinulat lamang ay may bisa din para sa mga kaso kapag ang a=0 at ang mga numerong m at n ay mga positibong integer.

Ang pagpapatunay sa bawat isa sa mga pag-aari na ito ay hindi mahirap gawin ito, sapat na gamitin ang mga kahulugan ng mga degree na may natural at integer exponents, pati na rin ang mga katangian ng mga operasyon na may totoong mga numero. Bilang halimbawa, patunayan natin na ang power-to-power na ari-arian ay may hawak para sa parehong mga positibong integer at hindi positibong integer. Upang gawin ito, kailangan mong ipakita na kung ang p ay zero o isang natural na numero at q ay zero o isang natural na numero, kung gayon ang mga pagkakapantay-pantay (a p) q =a p·q, (a −p) q =a (−p) ·q, (a p ) −q =a p·(−q) at (a −p) −q =a (−p)·(−q). Gawin natin.

Para sa positibong p at q, ang pagkakapantay-pantay (a p) q =a p·q ay napatunayan sa nakaraang talata. Kung p=0, kung gayon mayroon tayong (a 0) q =1 q =1 at isang 0·q =a 0 =1, kung saan (a 0) q =a 0·q. Katulad nito, kung q=0, kung gayon (a p) 0 =1 at isang p·0 =a 0 =1, kung saan (a p) 0 =a p·0. Kung parehong p=0 at q=0, kung gayon (a 0) 0 =1 0 =1 at a 0·0 =a 0 =1, kung saan (a 0) 0 =a 0·0.

Ngayon patunayan natin na (a −p) q =a (−p)·q . Sa pamamagitan ng kahulugan ng isang kapangyarihan na may negatibong integer exponent, kung gayon . Sa pamamagitan ng pag-aari ng mga quotient sa mga kapangyarihan na mayroon tayo . Dahil 1 p =1·1·…·1=1 at , pagkatapos . Ang huling expression, ayon sa kahulugan, ay isang kapangyarihan ng anyong a −(p·q), na, dahil sa mga tuntunin ng multiplikasyon, ay maaaring isulat bilang isang (−p)·q.

Ganun din .

AT .

Gamit ang parehong prinsipyo, maaari mong patunayan ang lahat ng iba pang mga katangian ng isang degree na may isang integer exponent, na nakasulat sa anyo ng mga pagkakapantay-pantay.

Sa penultimate ng mga naitala na katangian, nararapat na pag-isipan ang patunay ng hindi pagkakapantay-pantay a −n >b −n, na wasto para sa anumang negatibong integer −n at anumang positibong a at b kung saan ang kundisyon a ay natutugunan . Dahil sa pamamagitan ng kondisyon a 0 . Ang produktong a n · b n ay positibo rin bilang produkto ng mga positibong numero a n at b n . Kung gayon ang resultang fraction ay positibo bilang quotient ng mga positibong numero b n −a n at a n ·b n . Samakatuwid, kung saan a −n >b −n , na kung saan ay kung ano ang kailangan upang patunayan.

Ang huling pag-aari ng mga kapangyarihan na may mga integer na exponents ay pinatutunayan sa parehong paraan tulad ng isang katulad na pag-aari ng mga kapangyarihan na may mga natural na exponents.

Mga katangian ng mga kapangyarihan na may mga rational exponents

Tinukoy namin ang isang degree na may fractional exponent sa pamamagitan ng pagpapalawak ng mga katangian ng isang degree na may integer exponent dito. Sa madaling salita, ang mga kapangyarihan na may mga fractional exponents ay may parehong mga katangian tulad ng mga kapangyarihan na may mga integer exponents. Namely:

Ang patunay ng mga katangian ng mga degree na may mga fractional exponent ay batay sa kahulugan ng isang degree na may isang fractional exponent, at sa mga katangian ng isang degree na may isang integer exponent. Magbigay tayo ng ebidensya.

Sa pamamagitan ng kahulugan ng isang kapangyarihan na may fractional exponent at , pagkatapos . Ang mga katangian ng arithmetic root ay nagpapahintulot sa amin na isulat ang mga sumusunod na pagkakapantay-pantay. Dagdag pa, gamit ang property ng isang degree na may integer exponent, nakukuha namin ang , kung saan, sa pamamagitan ng kahulugan ng degree na may fractional exponent, mayroon kaming , at ang tagapagpahiwatig ng antas na nakuha ay maaaring mabago tulad ng sumusunod: . Kinukumpleto nito ang patunay.

Ang pangalawang pag-aari ng mga kapangyarihan na may mga fractional exponents ay napatunayan sa isang ganap na katulad na paraan:

Ang natitirang pagkakapantay-pantay ay napatunayan gamit ang mga katulad na prinsipyo:

Lumipat tayo sa pagpapatunay sa susunod na pag-aari. Patunayan natin na para sa anumang positibong a at b, a b p . Isulat natin ang rational number p bilang m/n, kung saan ang m ay isang integer at n ay isang natural na numero. Kondisyon p<0 и p>0 sa kasong ito ang mga kondisyon m<0 и m>0 nang naaayon. Para sa m>0 at a

Katulad nito, para sa m<0 имеем a m >b m , mula sa kung saan, iyon ay, at a p >b p .

Ito ay nananatiling patunayan ang huli sa mga nakalistang katangian. Patunayan natin na para sa mga rational na numerong p at q, p>q sa 0 0 – hindi pagkakapantay-pantay a p >a q . Maaari nating palaging bawasan ang mga rational na numerong p at q sa isang karaniwang denominator, kahit na makakuha tayo ng mga ordinaryong fraction at , kung saan ang m 1 at m 2 ay mga integer, at ang n ay isang natural na numero. Sa kasong ito, ang kundisyon p>q ay tumutugma sa kundisyon m 1 >m 2, na sumusunod mula sa. Pagkatapos, sa pamamagitan ng pag-aari ng paghahambing ng mga kapangyarihan na may parehong mga base at natural na exponents sa 0 1 – hindi pagkakapantay-pantay a m 1 >a m 2 . Ang mga hindi pagkakapantay-pantay na ito sa mga katangian ng mga ugat ay maaaring muling isulat nang naaayon bilang At . At ang kahulugan ng isang degree na may rational exponent ay nagpapahintulot sa amin na lumipat sa hindi pagkakapantay-pantay at, nang naaayon. Mula dito iginuhit namin ang pangwakas na konklusyon: para sa p>q at 0 0 – hindi pagkakapantay-pantay a p >a q .

Mga katangian ng mga kapangyarihan na may mga hindi makatwirang exponent

Mula sa paraan ng pagtukoy ng isang degree na may hindi makatwirang exponent, maaari nating tapusin na mayroon itong lahat ng katangian ng mga degree na may mga rational exponent. Kaya para sa anumang a>0, b>0 at hindi makatwiran na mga numero p at q ang mga sumusunod ay totoo mga katangian ng mga kapangyarihan na may mga hindi makatwirang exponent:

1. a p ·a q =a p+q ;
2. a p:a q =a p−q ;
3. (a·b) p =a p ·b p ;
4. (a:b) p =a p:b p ;
5. (a p) q =a p·q ;
6. para sa anumang positibong numero a at b, a 0 ang hindi pagkakapantay-pantay a p b p ;
7. para sa mga hindi makatwirang numero p at q, p>q sa 0 0 – hindi pagkakapantay-pantay a p >a q .

Mula dito maaari nating tapusin na ang mga kapangyarihan na may anumang tunay na exponents p at q para sa a>0 ay may parehong mga katangian.

Bibliograpiya.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Teksbuk sa matematika para sa ika-5 baitang. institusyong pang-edukasyon.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: aklat-aralin para sa ika-7 baitang. institusyong pang-edukasyon.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: aklat-aralin para sa ika-8 baitang. institusyong pang-edukasyon.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: aklat-aralin para sa ika-9 na baitang. institusyong pang-edukasyon.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. at iba pa Algebra at ang simula ng pagsusuri: Textbook para sa mga baitang 10 - 11 ng pangkalahatang mga institusyon ng edukasyon.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Mathematics (isang manwal para sa mga pumapasok sa mga teknikal na paaralan).

Mga expression, conversion ng expression

Mga ekspresyon ng kapangyarihan (mga ekspresyong may kapangyarihan) at ang kanilang pagbabago

Sa artikulong ito ay pag-uusapan natin ang tungkol sa pag-convert ng mga expression na may mga kapangyarihan. Una, tututuon tayo sa mga pagbabagong ginagawa gamit ang anumang uri ng mga expression, kabilang ang mga power expression, gaya ng pagbubukas ng mga panaklong at pagdadala ng mga katulad na termino. At pagkatapos ay susuriin natin ang mga pagbabagong likas na partikular sa mga expression na may mga degree: nagtatrabaho sa base at exponent, gamit ang mga katangian ng mga degree, atbp.

Pag-navigate sa pahina.

Ano ang mga pagpapahayag ng kapangyarihan?

Ang terminong "mga expression ng kapangyarihan" ay halos hindi lumilitaw sa mga aklat-aralin sa matematika ng paaralan, ngunit ito ay madalas na lumilitaw sa mga koleksyon ng mga problema, lalo na ang mga inilaan para sa paghahanda para sa Pinag-isang Estado na Pagsusulit at ang Pinag-isang Estado na Pagsusulit, halimbawa. Matapos suriin ang mga gawain kung saan kinakailangan na magsagawa ng anumang mga aksyon na may mga pagpapahayag ng kapangyarihan, nagiging malinaw na ang mga pagpapahayag ng kapangyarihan ay nauunawaan bilang mga ekspresyong naglalaman ng mga kapangyarihan sa kanilang mga entry. Samakatuwid, maaari mong tanggapin ang sumusunod na kahulugan para sa iyong sarili:

Kahulugan.

Mga pagpapahayag ng kapangyarihan ay mga expression na naglalaman ng mga degree.

Pagbigyan natin mga halimbawa ng pagpapahayag ng kapangyarihan. Bukod dito, ipapakita namin ang mga ito ayon sa kung paano nangyayari ang pagbuo ng mga pananaw mula sa isang antas na may natural na exponent hanggang sa isang degree na may totoong exponent.

Gaya ng nalalaman, ang una ay nakikilala ang kapangyarihan ng isang numero na may natural na exponent sa yugtong ito, ang unang pinakasimpleng pagpapahayag ng kapangyarihan ng uri 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0.1) 4, 3 a 2 ay lilitaw −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 atbp.

Maya-maya, pinag-aralan ang kapangyarihan ng isang numero na may integer exponent, na humahantong sa paglitaw ng mga power expression na may negatibong integer na kapangyarihan, tulad ng sumusunod: 3 −2, , a −2 +2 b −3 +c 2 .

Sa mataas na paaralan ay bumalik sila sa degree. Mayroong isang degree na may rational exponent ay ipinakilala, na nangangailangan ng hitsura ng kaukulang mga expression ng kapangyarihan: , , at iba pa. Panghuli, ang mga degree na may mga hindi makatwirang exponent at mga expression na naglalaman ng mga ito ay isinasaalang-alang: , .

Ang usapin ay hindi limitado sa mga nakalistang power expression: lalo pang pumapasok ang variable sa exponent, at, halimbawa, ang mga sumusunod na expression ay lumabas: 2 x 2 +1 o . At pagkatapos na makilala ang , ang mga expression na may mga kapangyarihan at logarithms ay nagsisimulang lumitaw, halimbawa, x 2·lgx −5·x lgx.

Kaya, tinalakay natin ang tanong kung ano ang kinakatawan ng mga power expression. Sa susunod ay matututo tayong baguhin ang mga ito.

Mga pangunahing uri ng pagbabago ng mga pagpapahayag ng kapangyarihan

Gamit ang mga power expression, maaari mong gawin ang alinman sa mga pangunahing pagbabago sa pagkakakilanlan ng mga expression. Halimbawa, maaari mong buksan ang mga panaklong, palitan ang mga numerical na expression ng kanilang mga halaga, magdagdag ng mga katulad na termino, atbp. Naturally, sa kasong ito, kinakailangan na sundin ang tinatanggap na pamamaraan para sa pagsasagawa ng mga aksyon. Magbigay tayo ng mga halimbawa.

Halimbawa.

Kalkulahin ang halaga ng power expression 2 3 ·(4 2 −12) .

Solusyon.

Ayon sa pagkakasunud-sunod ng pagpapatupad ng mga aksyon, gawin muna ang mga aksyon sa mga bracket. Doon, una, pinapalitan namin ang kapangyarihan 4 2 sa halaga nito 16 (kung kinakailangan, tingnan), at pangalawa, kinakalkula namin ang pagkakaiba 16−12=4. Meron kami 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

Sa resultang expression, pinapalitan namin ang power 2 3 ng value nito na 8, pagkatapos ay kalkulahin namin ang produkto 8·4=32. Ito ang nais na halaga.

Kaya, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

Sagot:

2 3 ·(4 2 −12)=32.

Halimbawa.

Pasimplehin ang mga expression na may kapangyarihan 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Solusyon.

Malinaw, ang expression na ito ay naglalaman ng magkatulad na mga termino 3·a 4 ·b −7 at 2·a 4 ·b −7 , at maaari nating ipakita ang mga ito: .

Sagot:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Halimbawa.

Ipahayag ang isang pagpapahayag na may mga kapangyarihan bilang isang produkto.

Solusyon.

Maaari mong makayanan ang gawain sa pamamagitan ng pagkatawan ng numero 9 bilang isang kapangyarihan ng 3 2 at pagkatapos ay gamitin ang formula para sa pinaikling multiplikasyon - pagkakaiba ng mga parisukat:

Sagot:

Mayroon ding ilang magkakaparehong pagbabagong likas na partikular sa mga pagpapahayag ng kapangyarihan. Susuriin pa natin ang mga ito.

Paggawa gamit ang base at exponent

May mga degree na ang base at/o exponent ay hindi lamang mga numero o variable, ngunit ilang expression. Bilang halimbawa, binibigyan namin ang mga entry (2+0.3·7) 5−3.7 at (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .

Kapag nagtatrabaho sa gayong mga expression, maaari mong palitan ang parehong expression sa base ng degree at ang expression sa exponent na may magkaparehong expression sa ODZ ng mga variable nito. Sa madaling salita, ayon sa mga alituntuning kilala sa amin, maaari naming hiwalay na ibahin ang anyo ng base ng degree at hiwalay na exponent. Malinaw na bilang isang resulta ng pagbabagong ito, ang isang expression ay makukuha na kapareho ng orihinal.

Ang ganitong mga pagbabago ay nagpapahintulot sa amin na pasimplehin ang mga expression na may mga kapangyarihan o makamit ang iba pang mga layunin na kailangan namin. Halimbawa, sa power expression na binanggit sa itaas (2+0.3 7) 5−3.7, maaari kang magsagawa ng mga operasyon gamit ang mga numero sa base at exponent, na magbibigay-daan sa iyong lumipat sa power 4.1 1.3. At pagkatapos buksan ang mga bracket at dalhin ang mga katulad na termino sa base ng degree (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1), nakakakuha tayo ng power expression ng isang mas simpleng anyo a 2·(x+ 1) .

Paggamit ng Degree Properties

Ang isa sa mga pangunahing tool para sa pagbabago ng mga expression na may kapangyarihan ay ang mga pagkakapantay-pantay na sumasalamin sa . Alalahanin natin ang mga pangunahing. Para sa anumang positibong numero a at b at arbitrary real na numero r at s, ang mga sumusunod na katangian ng mga kapangyarihan ay totoo:

• a r ·a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a·b) r =a r ·b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a r·s .

Tandaan na para sa natural, integer, at positibong exponent, maaaring hindi masyadong mahigpit ang mga paghihigpit sa mga numerong a at b. Halimbawa, para sa mga natural na bilang na m at n ang pagkakapantay-pantay a m ·a n =a m+n ay totoo hindi lamang para sa positibong a, kundi pati na rin para sa negatibong a, at para sa a=0.

Sa paaralan, ang pangunahing pokus kapag binabago ang mga expression ng kapangyarihan ay ang kakayahang pumili ng naaangkop na pag-aari at ilapat ito nang tama. Sa kasong ito, ang mga base ng mga degree ay karaniwang positibo, na nagpapahintulot sa mga katangian ng mga degree na magamit nang walang mga paghihigpit. Ang parehong naaangkop sa pagbabagong-anyo ng mga expression na naglalaman ng mga variable sa mga base ng mga kapangyarihan - ang saklaw ng mga pinahihintulutang halaga ng mga variable ay kadalasang tulad na ang mga base ay kumukuha lamang ng mga positibong halaga dito, na nagbibigay-daan sa iyo upang malayang gamitin ang mga katangian ng mga kapangyarihan. . Sa pangkalahatan, kailangan mong patuloy na tanungin ang iyong sarili kung posible na gumamit ng anumang pag-aari ng mga degree sa kasong ito, dahil ang hindi tumpak na paggamit ng mga pag-aari ay maaaring humantong sa isang pagpapaliit ng halaga ng edukasyon at iba pang mga problema. Ang mga puntong ito ay tinalakay nang detalyado at may mga halimbawa sa artikulong pagbabago ng mga ekspresyon gamit ang mga katangian ng mga kapangyarihan. Dito ay lilimitahan natin ang ating sarili sa pagsasaalang-alang ng ilang simpleng halimbawa.

Halimbawa.

Ipahayag ang expression na a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 bilang isang kapangyarihan na may base a.

Solusyon.

Una, binabago natin ang pangalawang kadahilanan (a 2) −3 gamit ang pag-aari ng pagtaas ng kapangyarihan sa isang kapangyarihan: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. Ang orihinal na expression ng kapangyarihan ay kukuha ng anyong 2.5 ·a −6:a −5.5. Malinaw, nananatili itong gamitin ang mga katangian ng pagpaparami at paghahati ng mga kapangyarihan na may parehong base, mayroon tayo
a 2.5 ·a −6:a −5.5 =
a 2.5−6:a −5.5 =a −3.5:a −5.5 =
a −3.5−(−5.5) =a 2 .

Sagot:

a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 =a 2.

Ang mga katangian ng mga kapangyarihan kapag nagpapalit ng mga expression ng kapangyarihan ay ginagamit mula kaliwa pakanan at mula kanan pakaliwa.

Halimbawa.

Hanapin ang halaga ng pagpapahayag ng kapangyarihan.

Solusyon.

Ang pagkakapantay-pantay (a·b) r =a r ·b r, inilapat mula kanan pakaliwa, ay nagbibigay-daan sa amin na lumipat mula sa orihinal na expression patungo sa isang produkto ng anyo at higit pa. At kapag nagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong mga base, ang mga exponent ay nagdaragdag: .

Posibleng baguhin ang orihinal na expression sa ibang paraan:

Sagot:

.

Halimbawa.

Dahil sa power expression a 1.5 −a 0.5 −6, magpakilala ng bagong variable t=a 0.5.

Solusyon.

Ang degree a 1.5 ay maaaring katawanin bilang isang 0.5 3 at pagkatapos, batay sa pag-aari ng degree sa degree (a r) s =a r s, inilapat mula kanan pakaliwa, ibahin ito sa anyo (a 0.5) 3. kaya, a 1.5 −a 0.5 −6=(a 0.5) 3 −a 0.5 −6. Ngayon ay madali nang magpakilala ng bagong variable t=a 0.5, nakukuha natin ang t 3 −t−6.

Sagot:

t 3 −t−6 .

Pag-convert ng mga fraction na naglalaman ng mga kapangyarihan

Ang mga power expression ay maaaring maglaman o kumatawan ng mga fraction na may kapangyarihan. Ang alinman sa mga pangunahing pagbabago ng mga fraction na likas sa mga fraction ng anumang uri ay ganap na naaangkop sa mga naturang fraction. Iyon ay, ang mga fraction na naglalaman ng mga kapangyarihan ay maaaring bawasan, bawasan sa isang bagong denominator, gumana nang hiwalay sa kanilang numerator at hiwalay sa denominator, atbp. Upang ilarawan ang mga salitang ito, isaalang-alang ang mga solusyon sa ilang halimbawa.

Halimbawa.

Pasimplehin ang pagpapahayag ng kapangyarihan .

Solusyon.

Ang power expression na ito ay isang fraction. Gawin natin ang numerator at denominator nito. Sa numerator bubuksan namin ang mga bracket at pasimplehin ang expression na nakuha pagkatapos nito, gamit ang mga katangian ng mga kapangyarihan, at sa denominator ay magpapakita kami ng mga katulad na termino:

At baguhin din natin ang sign ng denominator sa pamamagitan ng paglalagay ng minus sa harap ng fraction: .

Sagot:

.

Ang pagbabawas ng mga fraction na naglalaman ng mga kapangyarihan sa isang bagong denominator ay isinasagawa katulad ng pagbabawas ng mga rational fraction sa isang bagong denominator. Sa kasong ito, ang isang karagdagang kadahilanan ay matatagpuan din at ang numerator at denominator ng fraction ay pinarami nito. Kapag ginagawa ang pagkilos na ito, ito ay nagkakahalaga ng pag-alala na ang pagbawas sa isang bagong denominator ay maaaring humantong sa isang pagpapaliit ng VA. Upang maiwasang mangyari ito, kinakailangan na ang karagdagang kadahilanan ay hindi pumunta sa zero para sa anumang mga halaga ng mga variable mula sa mga variable ng ODZ para sa orihinal na expression.

Halimbawa.

Bawasan ang mga fraction sa isang bagong denominator: a) sa denominator a, b) sa denominator.

Solusyon.

a) Sa kasong ito, medyo madaling malaman kung aling karagdagang multiplier ang tumutulong upang makamit ang ninanais na resulta. Ito ay isang multiplier ng isang 0.3, dahil ang isang 0.7 ·a 0.3 =a 0.7+0.3 =a. Tandaan na sa hanay ng mga pinahihintulutang halaga ng variable a (ito ang hanay ng lahat ng positibong tunay na numero), ang kapangyarihan ng isang 0.3 ay hindi naglalaho, samakatuwid, may karapatan tayong i-multiply ang numerator at denominator ng isang naibigay na fraction sa pamamagitan ng karagdagang salik na ito:

b) Kung susuriing mabuti ang denominator, makikita mo iyon

at ang pagpaparami ng expression na ito sa ay magbibigay ng kabuuan ng mga cube at , iyon ay, . At ito ang bagong denominator kung saan kailangan nating bawasan ang orihinal na fraction.

Ito ay kung paano kami nakakita ng karagdagang kadahilanan. Sa hanay ng mga pinahihintulutang halaga ng mga variable na x at y, ang expression ay hindi nawawala, samakatuwid, maaari nating i-multiply ang numerator at denominator ng fraction sa pamamagitan nito:

Sagot:

A) , b) .

Wala ring bago sa pagbabawas ng mga fraction na naglalaman ng mga kapangyarihan: ang numerator at denominator ay kinakatawan bilang isang bilang ng mga kadahilanan, at ang parehong mga kadahilanan ng numerator at denominator ay nababawasan.

Halimbawa.

Bawasan ang fraction: a) , b).

Solusyon.

a) Una, ang numerator at denominator ay maaaring bawasan ng mga numerong 30 at 45, na katumbas ng 15. Malinaw ding posible na magsagawa ng pagbawas ng x 0.5 +1 at ng . Narito ang mayroon tayo:

b) Sa kasong ito, ang magkaparehong salik sa numerator at denominator ay hindi agad makikita. Upang makuha ang mga ito, kailangan mong magsagawa ng mga paunang pagbabago. Sa kasong ito, binubuo sila sa pag-factor ng denominator gamit ang formula ng pagkakaiba ng mga parisukat:

Sagot:

A)

b) .

Ang pag-convert ng mga fraction sa isang bagong denominator at pagbabawas ng mga fraction ay pangunahing ginagamit upang gawin ang mga bagay na may mga fraction. Ang mga aksyon ay isinasagawa ayon sa mga kilalang tuntunin. Kapag nagdadagdag (nagbabawas) ng mga fraction, ang mga ito ay binabawasan sa isang karaniwang denominator, pagkatapos ay ang mga numerator ay idinagdag (binawas), ngunit ang denominator ay nananatiling pareho. Ang resulta ay isang fraction na ang numerator ay produkto ng mga numerator, at ang denominator ay produkto ng mga denominador. Ang paghahati sa isang fraction ay multiplikasyon sa kabaligtaran nito.

Halimbawa.

Sundin ang mga hakbang .

Solusyon.

Una, ibawas natin ang mga fraction sa panaklong. Upang gawin ito, dinadala namin ang mga ito sa isang karaniwang denominator, na , pagkatapos nito ibawas namin ang mga numerator:

Ngayon kami ay nagpaparami ng mga fraction:

Malinaw, ito ay posible na bawasan sa pamamagitan ng isang kapangyarihan ng x 1/2, pagkatapos nito ay mayroon na tayo .

Maaari mo ring gawing simple ang power expression sa denominator sa pamamagitan ng paggamit ng difference ng squares formula: .

Sagot:

Halimbawa.

Pasimplehin ang Power Expression .

Solusyon.

Malinaw, ang fraction na ito ay maaaring bawasan ng (x 2.7 +1) 2, ito ay nagbibigay ng fraction . Malinaw na may ibang kailangang gawin sa mga kapangyarihan ng X. Para magawa ito, binabago namin ang resultang fraction sa isang produkto. Nagbibigay ito sa amin ng pagkakataong samantalahin ang pag-aari ng paghahati ng mga kapangyarihan na may parehong mga batayan: . At sa dulo ng proseso ay lumipat tayo mula sa huling produkto patungo sa fraction.

Sagot:

.

At idagdag din natin na posible, at sa maraming pagkakataon ay kanais-nais, na ilipat ang mga kadahilanan na may negatibong exponent mula sa numerator patungo sa denominator o mula sa denominator patungo sa numerator, na binabago ang tanda ng exponent. Ang ganitong mga pagbabago ay kadalasang nagpapasimple ng mga karagdagang aksyon. Halimbawa, ang isang power expression ay maaaring palitan ng .

Pag-convert ng mga expression na may mga ugat at kapangyarihan

Kadalasan, sa mga expression kung saan kinakailangan ang ilang pagbabago, ang mga ugat na may fractional exponents ay naroroon din kasama ng mga kapangyarihan. Upang mabago ang gayong ekspresyon sa nais na anyo, sa karamihan ng mga kaso ito ay sapat na upang pumunta lamang sa mga ugat o lamang sa mga kapangyarihan. Ngunit dahil ito ay mas maginhawa upang gumana sa mga kapangyarihan, sila ay karaniwang lumipat mula sa mga ugat patungo sa mga kapangyarihan. Gayunpaman, ipinapayong magsagawa ng gayong paglipat kapag ang ODZ ng mga variable para sa orihinal na expression ay nagpapahintulot sa iyo na palitan ang mga ugat ng mga kapangyarihan nang hindi kinakailangang sumangguni sa module o hatiin ang ODZ sa ilang mga pagitan (tinalakay namin ito nang detalyado sa ang paglipat ng artikulo mula sa mga ugat patungo sa mga kapangyarihan at pabalik Pagkatapos makilala ang antas na may makatwirang exponent ay ipinakilala ang isang degree na may hindi makatwiran na exponent, na nagpapahintulot sa amin na pag-usapan ang isang degree na may arbitrary na tunay na exponent Sa yugtong ito, nagsisimula itong maging nag-aral sa paaralan. exponential function, na analytically na ibinigay ng isang kapangyarihan, ang base nito ay isang numero, at ang exponent ay isang variable. Kaya tayo ay nahaharap sa mga expression ng kapangyarihan na naglalaman ng mga numero sa base ng kapangyarihan, at sa exponent - mga expression na may mga variable, at natural na ang pangangailangan ay lumitaw upang maisagawa ang mga pagbabagong-anyo ng naturang mga expression.

Dapat sabihin na ang pagbabagong-anyo ng mga expression ng ipinahiwatig na uri ay karaniwang kailangang isagawa kapag nagresolba mga exponential equation At exponential inequalities, at ang mga conversion na ito ay medyo simple. Sa napakaraming kaso, ang mga ito ay nakabatay sa mga katangian ng antas at nilalayon, sa karamihan, sa pagpapakilala ng bagong variable sa hinaharap. Ang equation ay magpapahintulot sa amin na ipakita ang mga ito 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Una, ang mga kapangyarihan, sa mga exponent kung saan ay ang kabuuan ng isang tiyak na variable (o expression na may mga variable) at isang numero, ay pinapalitan ng mga produkto. Nalalapat ito sa una at huling termino ng expression sa kaliwang bahagi:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Susunod, ang magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay ay nahahati sa expression na 7 2 x, na sa ODZ ng variable na x para sa orihinal na equation ay tumatagal lamang ng mga positibong halaga (ito ay isang karaniwang pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng ganitong uri, hindi kami pinag-uusapan ito ngayon, kaya tumuon sa mga kasunod na pagbabago ng mga expression na may mga kapangyarihan ):

Ngayon ay maaari nating kanselahin ang mga fraction na may mga kapangyarihan, na nagbibigay .

Sa wakas, ang ratio ng mga kapangyarihan na may parehong exponents ay pinalitan ng mga kapangyarihan ng mga relasyon, na nagreresulta sa equation , na katumbas . Ang mga pagbabagong ginawa ay nagpapahintulot sa amin na magpakilala ng isang bagong variable, na binabawasan ang solusyon ng orihinal na exponential equation sa solusyon ng isang quadratic equation

I. V. Boykov, L. D. Romanova Koleksyon ng mga gawain para sa paghahanda para sa Pinag-isang Pagsusulit ng Estado. Bahagi 1. Penza 2003.