На области определения степенной функции y = x p
имеют место следующие формулы:
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Свойства степенных функций и их графики
Степенная функция с показателем равным нулю, p = 0
Если показатель степенной функции y = x p
равен нулю, p = 0
,
то степенная функция определена для всех x ≠ 0
и является постоянной, равной единице:
y = x p = x 0 = 1, x ≠ 0
.
Степенная функция с натуральным нечетным показателем, p = n = 1, 3, 5, ...
Рассмотрим степенную функцию y = x p = x n с натуральным нечетным показателем степени n = 1, 3, 5, ... . Такой показатель также можно записать в виде: n = 2k + 1 , где k = 0, 1, 2, 3, ... - целое не отрицательное. Ниже представлены свойства и графики таких функций.
График степенной функции y = x n с натуральным нечетным показателем при различных значениях показателя степени n = 1, 3, 5, ... .
Область определения:
-∞ < x < ∞
Множество значений:
-∞ < y < ∞
Четность:
нечетная, y(-x) = - y(x)
Монотонность:
монотонно возрастает
Экстремумы:
нет
Выпуклость:
при -∞ < x < 0
выпукла вверх
при 0 < x < ∞
выпукла вниз
Точки перегибов:
x = 0, y = 0
x = 0, y = 0
Пределы:
;
Частные значения:
при x = -1,
y(-1) =
(-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
при x = 0, y(0) = 0 n = 0
при x = 1, y(1) = 1 n = 1
Обратная функция:
при n = 1
,
функция является обратной к самой себе: x = y
при n ≠ 1
,
обратной функцией является корень степени n
:
Степенная функция с натуральным четным показателем, p = n = 2, 4, 6, ...
Рассмотрим степенную функцию y = x p = x n с натуральным четным показателем степени n = 2, 4, 6, ... . Такой показатель также можно записать в виде: n = 2k , где k = 1, 2, 3, ... - натуральное. Свойства и графики таких функций даны ниже.
График степенной функции y = x n с натуральным четным показателем при различных значениях показателя степени n = 2, 4, 6, ... .
Область определения:
-∞ < x < ∞
Множество значений:
0 ≤ y < ∞
Четность:
четная, y(-x) = y(x)
Монотонность:
при x ≤ 0
монотонно убывает
при x ≥ 0
монотонно возрастает
Экстремумы:
минимум, x = 0, y = 0
Выпуклость:
выпукла вниз
Точки перегибов:
нет
Точки пересечения с осями координат:
x = 0, y = 0
Пределы:
;
Частные значения:
при x = -1
,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1
при x = 0, y(0) = 0 n = 0
при x = 1, y(1) = 1 n = 1
Обратная функция:
при n = 2
,
квадратный корень:
при n ≠ 2
,
корень степени n
:
Степенная функция с целым отрицательным показателем, p = n = -1, -2, -3, ...
Рассмотрим степенную функцию y = x p = x n
с целым отрицательным показателем степени n = -1, -2, -3, ...
.
Если положить n = -k
,
где k = 1, 2, 3, ...
- натуральное, то ее можно представить в виде:
График степенной функции y = x n с целым отрицательным показателем при различных значениях показателя степени n = -1, -2, -3, ... .
Нечетный показатель, n = -1, -3, -5, ...
Ниже представлены свойства функции y = x n с нечетным отрицательным показателем n = -1, -3, -5, ... .
Область определения:
x ≠ 0
Множество значений:
y ≠ 0
Четность:
нечетная, y(-x) = - y(x)
Монотонность:
монотонно убывает
Экстремумы:
нет
Выпуклость:
при x < 0
:
выпукла вверх
при x > 0
:
выпукла вниз
Точки перегибов:
нет
Точки пересечения с осями координат:
нет
Знак:
при x < 0, y < 0
при x > 0, y > 0
Пределы:
; ; ;
Частные значения:
при x = 1, y(1) = 1 n = 1
Обратная функция:
при n = -1
,
при n < -2
,
Четный показатель, n = -2, -4, -6, ...
Ниже представлены свойства функции y = x n с четным отрицательным показателем n = -2, -4, -6, ... .
Область определения:
x ≠ 0
Множество значений:
y > 0
Четность:
четная, y(-x) = y(x)
Монотонность:
при x < 0
:
монотонно возрастает
при x > 0
:
монотонно убывает
Экстремумы:
нет
Выпуклость:
выпукла вниз
Точки перегибов:
нет
Точки пересечения с осями координат:
нет
Знак:
y > 0
Пределы:
; ; ;
Частные значения:
при x = 1, y(1) = 1 n = 1
Обратная функция:
при n = -2
,
при n < -2
,
Степенная функция с рациональным (дробным) показателем
Рассмотрим степенную функцию y = x p с рациональным (дробным) показателем степени , где n - целое, m > 1 - натуральное. Причем, n, m не имеют общих делителей.
Знаменатель дробного показателя - нечетный
Пусть знаменатель дробного показателя степени нечетный: m = 3, 5, 7, ... . В этом случае, степенная функция x p определена как для положительных, так и для отрицательных значений аргумента x . Рассмотрим свойства таких степенных функций, когда показатель p находится в определенных пределах.
Показатель p отрицательный, p < 0
Пусть рациональный показатель степени (с нечетным знаменателем m = 3, 5, 7, ... ) меньше нуля: .
Графики степенных функций с рациональным отрицательным показателем при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.
Нечетный числитель, n = -1, -3, -5, ...
Приводим свойства степенной функции y = x p с рациональным отрицательным показателем , где n = -1, -3, -5, ... - нечетное отрицательное целое, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.
Область определения:
x ≠ 0
Множество значений:
y ≠ 0
Четность:
нечетная, y(-x) = - y(x)
Монотонность:
монотонно убывает
Экстремумы:
нет
Выпуклость:
при x < 0
:
выпукла вверх
при x > 0
:
выпукла вниз
Точки перегибов:
нет
Точки пересечения с осями координат:
нет
Знак:
при x < 0, y < 0
при x > 0, y > 0
Пределы:
; ; ;
Частные значения:
при x = -1, y(-1) = (-1) n = -1
при x = 1, y(1) = 1 n = 1
Обратная функция:
Четный числитель, n = -2, -4, -6, ...
Свойства степенной функции y = x p с рациональным отрицательным показателем , где n = -2, -4, -6, ... - четное отрицательное целое, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.
Область определения:
x ≠ 0
Множество значений:
y > 0
Четность:
четная, y(-x) = y(x)
Монотонность:
при x < 0
:
монотонно возрастает
при x > 0
:
монотонно убывает
Экстремумы:
нет
Выпуклость:
выпукла вниз
Точки перегибов:
нет
Точки пересечения с осями координат:
нет
Знак:
y > 0
Пределы:
; ; ;
Частные значения:
при x = -1, y(-1) = (-1) n = 1
при x = 1, y(1) = 1 n = 1
Обратная функция:
Показатель p положительный, меньше единицы, 0 < p < 1
График степенной функции с рациональным показателем (0 < p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.
Нечетный числитель, n = 1, 3, 5, ...
< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.
Область определения:
-∞ < x < +∞
Множество значений:
-∞ < y < +∞
Четность:
нечетная, y(-x) = - y(x)
Монотонность:
монотонно возрастает
Экстремумы:
нет
Выпуклость:
при x < 0
:
выпукла вниз
при x > 0
:
выпукла вверх
Точки перегибов:
x = 0, y = 0
Точки пересечения с осями координат:
x = 0, y = 0
Знак:
при x < 0, y < 0
при x > 0, y > 0
Пределы:
;
Частные значения:
при x = -1, y(-1) = -1
при x = 0, y(0) = 0
при x = 1, y(1) = 1
Обратная функция:
Четный числитель, n = 2, 4, 6, ...
Представлены свойства степенной функции y = x p с рациональным показателем , находящимся в пределах 0 < p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.
Область определения:
-∞ < x < +∞
Множество значений:
0 ≤ y < +∞
Четность:
четная, y(-x) = y(x)
Монотонность:
при x < 0
:
монотонно убывает
при x > 0
:
монотонно возрастает
Экстремумы:
минимум при x = 0, y = 0
Выпуклость:
выпукла вверх при x ≠ 0
Точки перегибов:
нет
Точки пересечения с осями координат:
x = 0, y = 0
Знак:
при x ≠ 0, y > 0
Пределы:
;
Частные значения:
при x = -1, y(-1) = 1
при x = 0, y(0) = 0
при x = 1, y(1) = 1
Обратная функция:
Показатель p больше единицы, p > 1
График степенной функции с рациональным показателем (p > 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.
Нечетный числитель, n = 5, 7, 9, ...
Свойства степенной функции y = x p с рациональным показателем, большим единицы: . Где n = 5, 7, 9, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.
Область определения:
-∞ < x < ∞
Множество значений:
-∞ < y < ∞
Четность:
нечетная, y(-x) = - y(x)
Монотонность:
монотонно возрастает
Экстремумы:
нет
Выпуклость:
при -∞ < x < 0
выпукла вверх
при 0 < x < ∞
выпукла вниз
Точки перегибов:
x = 0, y = 0
Точки пересечения с осями координат:
x = 0, y = 0
Пределы:
;
Частные значения:
при x = -1, y(-1) = -1
при x = 0, y(0) = 0
при x = 1, y(1) = 1
Обратная функция:
Четный числитель, n = 4, 6, 8, ...
Свойства степенной функции y = x p с рациональным показателем, большим единицы: . Где n = 4, 6, 8, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.
Область определения:
-∞ < x < ∞
Множество значений:
0 ≤ y < ∞
Четность:
четная, y(-x) = y(x)
Монотонность:
при x < 0
монотонно убывает
при x > 0
монотонно возрастает
Экстремумы:
минимум при x = 0, y = 0
Выпуклость:
выпукла вниз
Точки перегибов:
нет
Точки пересечения с осями координат:
x = 0, y = 0
Пределы:
;
Частные значения:
при x = -1, y(-1) = 1
при x = 0, y(0) = 0
при x = 1, y(1) = 1
Обратная функция:
Знаменатель дробного показателя - четный
Пусть знаменатель дробного показателя степени четный: m = 2, 4, 6, ... . В этом случае, степенная функция x p не определена для отрицательных значений аргумента. Ее свойства совпадают со свойствами степенной функции с иррациональным показателем (см. следующий раздел).
Степенная функция с иррациональным показателем
Рассмотрим степенную функцию y = x p с иррациональным показателем степени p . Свойства таких функций отличаются от рассмотренных выше тем, что они не определены для отрицательных значений аргумента x . Для положительных значений аргумента, свойства зависят только от величины показателя степени p и не зависят от того, является ли p целым, рациональным или иррациональным.
y = x p при различных значениях показателя p .
Степенная функция с отрицательным показателем p < 0
Область определения:
x > 0
Множество значений:
y > 0
Монотонность:
монотонно убывает
Выпуклость:
выпукла вниз
Точки перегибов:
нет
Точки пересечения с осями координат:
нет
Пределы:
;
Частное значение:
При x = 1, y(1) = 1 p = 1
Степенная функция с положительным показателем p > 0
Показатель меньше единицы 0 < p < 1
Область определения:
x ≥ 0
Множество значений:
y ≥ 0
Монотонность:
монотонно возрастает
Выпуклость:
выпукла вверх
Точки перегибов:
нет
Точки пересечения с осями координат:
x = 0, y = 0
Пределы:
Частные значения:
При x = 0, y(0) = 0 p = 0
.
При x = 1, y(1) = 1 p = 1
Показатель больше единицы p > 1
Область определения:
x ≥ 0
Множество значений:
y ≥ 0
Монотонность:
монотонно возрастает
Выпуклость:
выпукла вниз
Точки перегибов:
нет
Точки пересечения с осями координат:
x = 0, y = 0
Пределы:
Частные значения:
При x = 0, y(0) = 0 p = 0
.
При x = 1, y(1) = 1 p = 1
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Вы знакомы с функциями y=x, y=x 2 , y=x 3 , y=1/x и т. д. Все эти функции являются частными случаями степенной функции, т. е. функцииy=x p , где p - заданное действительное число. Свойства и график степенной функции существенно зависит от свойств степени с действительным показателем, и в частности от того, при каких значенияхx иp имеет смысл степеньx p . Перейдем к подобному рассмотрению различных случаев в зависимости от показателя степениp.
Показатель p=2n -четное натуральное число.
В этом случае степенная функция y=x 2n , гдеn - натуральное число, обладает следующими
свойствами:
область определения - все действительные числа, т. е. множество R;
множество значений - неотрицательные числа, т. е. y больше или равно 0;
функция y=x 2n четная, так какx 2n =(-x) 2n
функция является убывающей на промежутке x<0 и возрастающей на промежутке x>0.
График функции y=x 2n имеет такой же вид, как например график функцииy=x 4 .
2. Показатель p=2n-1 - нечетное натуральное число В этом случае степенная функцияy=x 2n-1 , где натуральное число, обладает следующими свойствами:
область определения - множество R;
множество значений - множество R;
функция y=x 2n-1 нечетная, так как (-x) 2n-1 =x 2n-1 ;
функция является возрастающей на всей действительной оси.
График функции y=x2n-1 имеет такой же вид, как, например, график функцииy=x3 .
3.Показатель p=-2n , гдеn - натуральное число.
В этом случае степенная функция y=x -2n =1/x 2n обладает следующими свойствами:
множество значений - положительные числа y>0;
функция y=1/x 2n четная, так как1/(-x) 2n =1/x 2n ;
функция является возрастающей на промежутке x<0 и убывающей на промежутке x>0.
График функции y=1/x 2n имеет такой же вид, как, например, график функции y=1/x 2 .
4.Показатель p=-(2n-1) , гдеn - натуральное число. В этом случае степенная функцияy=x -(2n-1) обладает следующими свойствами:
область определения - множество R, кроме x=0;
множество значений - множество R, кроме y=0;
функция y=x -(2n-1) нечетная, так как (-x) -(2n-1) =-x -(2n-1) ;
функция является убывающей на промежутках x<0 иx>0 .
График функции y=x -(2n-1) имеет такой же вид, как, например, график функцииy=1/x 3 .
Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики.
Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики. Обра́тные тригонометри́ческие фу́нкции (круговые функции , аркфункции ) - математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям.
Функция arcsin
График функции .
Арксинусом числа m называется такое значение угла x , для которого
Функция непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция является строго возрастающей.
[Править]Свойства функции arcsin
[Править]Получение функции arcsin
Дана функция На всей своей области определения она является кусочно-монотонной , и, значит, обратное соответствие функцией не является. Поэтому мы рассмотрим отрезок, на котором она строго возрастает и принимает все значения области значений - . Так как для функции на интервале каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции, то на этом отрезке существует обратная функция график которой симметричен графику функции на отрезке относительно прямой
Функция у = х2n ,где n принадлежит множеству целых положительных чисел. Степенная функция такого вида имеет чётный положительный показатель степени а=2n. Так как всегда х2n=(-х)2n, то графики всех таких функций симметричны относительно оси ординат. Все функции вида у = х2n, n принадлежит множеству целых положительных чисел имеют следующие одинаковые свойства: Х=R Х? =(-?;?) У=}