O linie dreaptă în spațiu poate fi întotdeauna definită ca linia de intersecție a două plane neparalele. Dacă ecuația unui plan este ecuația celui de-al doilea plan, atunci ecuația dreptei este dată ca
Aici 
necoliniare 
. Aceste ecuații se numesc ecuații generale drept în spațiu.
Ecuații canonice ale dreptei
Orice vector diferit de zero situat pe o linie dată sau paralel cu ea se numește vector de direcție al acestei linii.
Daca se stie punctul 
linie dreaptă și vectorul său de direcție 
, atunci ecuațiile canonice ale dreptei au forma:
.
(9)
Ecuații parametrice ale unei linii
Să fie date ecuațiile canonice ale dreptei
.
De aici, obținem ecuațiile parametrice ale dreptei:
(10)
Aceste ecuații sunt utile pentru găsirea punctului de intersecție a unei drepte și a unui plan.
Ecuația unei drepte care trece prin două puncte 
Şi 
are forma:
.
Unghiul dintre liniile drepte
Unghiul dintre liniile drepte
Şi 
egal cu unghiul dintre vectorii lor de direcție. Prin urmare, poate fi calculat folosind formula (4):
Condiții pentru linii paralele:
.
Condiția ca avioanele să fie perpendiculare:
Distanța unui punct față de o dreaptă
P 
să zicem că punctul este dat 
și drept
.
Din ecuațiile canonice ale dreptei cunoaștem punctul 
, aparținând unei linii și vectorul de direcție al acesteia 
. Apoi distanța punctului 
dintr-o linie dreaptă este egală cu înălțimea unui paralelogram construit pe vectori 
Şi 
. Prin urmare,
.
Condiție pentru intersecția liniilor
Două linii neparalele
,
se intersectează dacă și numai dacă
.
Poziția relativă a unei drepte și a unui plan.
Să fie dată linia dreaptă 
si avionul. Colţ 
între ele pot fi găsite folosind formula
.
Problema 73. Scrieți ecuațiile canonice ale dreptei
(11)
Soluţie. Pentru a scrie ecuațiile canonice ale dreptei (9), este necesar să se cunoască orice punct aparținând dreptei și vectorul de direcție al dreptei.
Să găsim vectorul 
, paralel cu această linie. Deoarece trebuie să fie perpendicular pe vectorii normali ai acestor plane, i.e.
,
, Asta
.
Din ecuațiile generale ale dreptei avem că 
,
. Apoi
.
De la punctul 
orice punct de pe o linie, atunci coordonatele acestuia trebuie să satisfacă ecuațiile dreptei și una dintre ele poate fi specificată, de exemplu, 
, găsim celelalte două coordonate din sistemul (11):
De aici, 
.
Astfel, ecuațiile canonice ale dreptei dorite au forma:
sau 
.
Problema 74.
Şi 
.
Soluţie. Din ecuații canonice prima linie cunoaste coordonatele punctului 
aparținând dreptei și coordonatele vectorului de direcție 
. Din ecuațiile canonice ale celei de-a doua drepte se cunosc și coordonatele punctului 
și coordonatele vectorului de direcție 
.
Distanța dintre liniile paralele este egală cu distanța punctului 
din a doua linie dreaptă. Această distanță este calculată prin formula
.
Să găsim coordonatele vectorului 
.
Să calculăm produsul vectorial 
:
.
Problema 75. Găsiți un punct 
punct simetric 
relativ drept
.
Soluţie. Să notăm ecuația unui plan perpendicular pe o dreaptă dată și care trece printr-un punct 
. Ca vectorul său normal 
puteți lua vectorul de direcție al unei linii drepte. Apoi 
. Prin urmare,
Să găsim un punct 
punctul de intersecție al acestei drepte și planul P. Pentru a face acest lucru, scriem ecuațiile parametrice ale dreptei folosind ecuațiile (10), obținem
Prin urmare, 
.
Lasă 
punct simetric la punct 
raportat la această linie. Apoi punct 
punct de mijloc 
. Pentru a afla coordonatele unui punct 
Folosim formulele pentru coordonatele punctului de mijloc al segmentului:
,
,
.
Aşa, 
.
Problema 76. Scrieți ecuația unui plan care trece printr-o dreaptă 
Şi
a) printr-un punct 
;
b) perpendicular pe plan.
Soluţie. Să-l notăm ecuații generale această linie. Pentru a face acest lucru, luați în considerare două egalități:
Aceasta înseamnă că planul dorit aparține unui pachet de planuri cu generatoare și ecuația sa poate fi scrisă sub forma (8):
a) Să găsim 
Şi 
din condiţia ca planul să treacă prin punct 
, prin urmare, coordonatele sale trebuie să satisfacă ecuația planului. Să înlocuim coordonatele punctului 
în ecuația unui grup de avioane:
Valoare găsită 
Să o substituim în ecuația (12). obținem ecuația planului dorit:
b) Să găsim 
Şi 
din condiţia ca planul dorit să fie perpendicular pe plan. Vectorul normal al unui plan dat 
, vector normal al planului dorit (vezi ecuația unui grup de plane (12).
Doi vectori sunt perpendiculari dacă și numai dacă sunt produs punctual este egal cu zero. Prin urmare,
Să înlocuim valoarea găsită 
în ecuația unui mănunchi de plane (12). Obținem ecuația planului dorit:
Probleme de rezolvat independent
Problema 77. Reduceți ecuația dreptelor la forma canonică:
1)
2)
Problema 78. Scrieți ecuațiile parametrice ale dreptei 
, Dacă:
1)
,
;
2)
,
.
Problema 79. Scrieți ecuația planului care trece prin punctul 
perpendicular pe o linie dreaptă 
Problema 80. Scrieți ecuațiile unei drepte care trece printr-un punct 
perpendicular pe plan.
Problema 81. Aflați unghiul dintre drepte:
1)
Şi 
;
2)
Şi 
Problema 82. Demonstrați paralelismul dreptelor:
Şi 
.
Problema 83. Demonstrați perpendicularitatea dreptelor:
Şi 
Problema 84. Calculați distanța unui punct 
din linie dreaptă:
1)
;
2)
.
Problema 85. Calculați distanța dintre drepte paralele:
Şi 
.
Problema 86. În ecuațiile dreptei 
defini parametrul 
astfel încât această dreaptă să se intersecteze cu dreapta și să găsească punctul de intersecție a acestora.
Problema 87. Arată că este drept 
paralel cu planul 
, și linia dreaptă 
se află în acest plan.
Problema 88. Găsiți un punct 
punct simetric 
raportat la avion 
, Dacă:
1)
,
;
2)
,
;.
Problema 89. Scrieți ecuația unei perpendiculare căzute dintr-un punct 
direct 
.
Problema 90. Găsiți un punct 
punct simetric 
relativ drept 
.
Oh-oh-oh-oh-oh... ei bine, e greu, de parcă și-ar fi citit o propoziție =) Cu toate acestea, relaxarea va ajuta mai târziu, mai ales că astăzi mi-am cumpărat accesoriile potrivite. Prin urmare, să trecem la prima secțiune, sper că până la sfârșitul articolului voi menține o stare de spirit veselă.
Poziția relativă a două linii drepteAcesta este cazul când publicul cântă în cor. Două linii drepte pot:
1) potrivire;
2) fi paralel: ;
3) sau se intersectează într-un singur punct: .
Ajutor pentru manechini : vă rog să vă amintiți semn matematic intersecții, va apărea foarte des. Notația înseamnă că linia se intersectează cu linia în punctul .
Cum se determină poziția relativă a două linii?Să începem cu primul caz:
Două linii coincid dacă și numai dacă coeficienții lor corespunzători sunt proporționali, adică există un număr „lambda” astfel încât egalitățile să fie valabile
Să luăm în considerare liniile drepte și să creăm trei ecuații din coeficienții corespunzători: . Din fiecare ecuație rezultă că, prin urmare, aceste drepte coincid.
Într-adevăr, dacă toți coeficienții ecuației 
înmulțiți cu –1 (schimbați semnele) și toți coeficienții ecuației 
tăiat cu 2, obțineți aceeași ecuație: .
Al doilea caz, când liniile sunt paralele:
Două drepte sunt paralele dacă și numai dacă coeficienții lor ai variabilelor sunt proporționali: 
, Dar .
Ca exemplu, luați în considerare două linii drepte. Verificăm proporționalitatea coeficienților corespunzători pentru variabilele: 
Cu toate acestea, este destul de evident că.
Și al treilea caz, când liniile se intersectează:
Două drepte se intersectează dacă și numai dacă coeficienții lor pentru variabile NU sunt proporționali, adică NU există o astfel de valoare „lambda” pe care egalitățile să o dețină. 
Deci, pentru linii drepte vom crea un sistem: 
Din prima ecuație rezultă că , iar din a doua ecuație: , ceea ce înseamnă că sistemul este inconsecvent (nu există soluții). Astfel, coeficienții variabilelor nu sunt proporționali.
Concluzie: liniile se intersectează
În problemele practice, puteți utiliza schema de soluții tocmai discutată. Apropo, amintește foarte mult de algoritmul de verificare a coliniarității vectorilor, despre care am discutat în lecția Conceptul de (non)dependență liniară a vectorilor. Baza vectorilor. Dar există un ambalaj mai civilizat:
Exemplul 1
Aflați poziția relativă a liniilor: 
Soluția se bazează pe studiul vectorilor de direcție ai liniilor drepte:
a) Din ecuații găsim vectorii de direcție ai dreptelor: 
.
, ceea ce înseamnă că vectorii nu sunt coliniari și liniile se intersectează.
Pentru orice eventualitate, voi pune o piatră cu indicatoare la răscruce:
Restul sar peste piatra si urmeaza mai departe, direct catre Kashchei Nemuritorul =)
b) Aflați vectorii de direcție ai dreptelor: 
Liniile au același vector de direcție, ceea ce înseamnă că sunt fie paralele, fie coincidente. Nu este nevoie să numărăm determinantul aici.
Este evident că coeficienții necunoscutelor sunt proporționale, iar .
Să aflăm dacă egalitatea este adevărată: 
Astfel,
c) Aflați vectorii de direcție ai dreptelor: 
Să calculăm determinantul format din coordonatele acestor vectori: 
, prin urmare, vectorii de direcție sunt coliniari. Liniile sunt fie paralele, fie coincidente.
Coeficientul de proporționalitate „lambda” este ușor de văzut direct din raportul vectorilor de direcție coliniară. Cu toate acestea, poate fi găsit și prin coeficienții ecuațiilor înșiși: 
.
Acum să aflăm dacă egalitatea este adevărată. Ambii termeni liberi sunt zero, deci:
Valoarea rezultată satisface această ecuație (orice număr o satisface în general).
Astfel, liniile coincid.
Raspuns:
Foarte curand vei invata (sau chiar ai invatat deja) sa rezolvi problema discutata verbal la propriu in cateva secunde. În acest sens, nu văd niciun rost în a oferi ceva pentru o soluție independentă, este mai bine să puneți o altă cărămidă importantă în fundația geometrică:
Cum se construiește o linie paralelă cu una dată?Pentru ignorarea acestui lucru cea mai simplă sarcină Privighetoarea Tâlharul pedepsește aspru.
Exemplul 2
Linia dreaptă este dată de ecuație. Scrieți o ecuație pentru o dreaptă paralelă care trece prin punct.
Soluție: Să notăm linia necunoscută cu litera . Ce spune starea despre ea? Linia dreaptă trece prin punct. Și dacă liniile sunt paralele, atunci este evident că vectorul de direcție al dreptei „tse” este potrivit și pentru construirea dreptei „de”.
Scoatem vectorul direcție din ecuație:
Raspuns:
Exemplul de geometrie pare simplu: 
Testarea analitică constă din următorii pași:
1) Verificăm ca liniile să aibă același vector de direcție (dacă ecuația dreptei nu este simplificată corespunzător, atunci vectorii vor fi coliniari).
2) Verificați dacă punctul satisface ecuația rezultată.
În cele mai multe cazuri, testarea analitică poate fi efectuată cu ușurință pe cale orală. Priviți cele două ecuații și mulți dintre voi veți determina rapid paralelismul liniilor fără nici un desen.
Exemplele de soluții independente de astăzi vor fi creative. Pentru că tot va trebui să concurezi cu Baba Yaga, iar ea, știi, este o iubitoare de tot felul de ghicitori.
Exemplul 3
Scrieți o ecuație pentru o dreaptă care trece printr-un punct paralel cu dreapta dacă
Există o modalitate rațională și nu atât de rațională de a o rezolva. Cea mai scurtă cale este la sfârșitul lecției.
Am lucrat puțin cu linii paralele și vom reveni la ele mai târziu. Cazul liniilor coincidente este de puțin interes, așa că să luăm în considerare o problemă care vă este familiară programa școlară:
Cum se află punctul de intersecție a două drepte?Dacă drept 
se intersectează în punctul , atunci coordonatele sale sunt o soluție a sistemului de ecuații liniare 
Cum să găsiți punctul de intersecție al liniilor? Rezolvați sistemul.
Poftim sens geometric sisteme de doi ecuații liniare cu două necunoscute - acestea sunt două linii care se intersectează (cel mai adesea) pe un plan.
Exemplul 4
Aflați punctul de intersecție al dreptelor
Soluție: Există două moduri de rezolvare - grafică și analitică.
Metoda grafică este să trageți pur și simplu liniile date și să aflați punctul de intersecție direct din desen: 
Iată punctul nostru de vedere: . Pentru a verifica, ar trebui să înlocuiți coordonatele sale în fiecare ecuație a dreptei; acestea ar trebui să se potrivească atât acolo, cât și acolo. Cu alte cuvinte, coordonatele unui punct sunt o soluție a sistemului. În esență, ne-am uitat la o modalitate grafică de a rezolva un sistem de ecuații liniare cu două ecuații, două necunoscute.
Metoda grafică nu este, desigur, rea, dar există dezavantaje vizibile. Nu, ideea nu este că elevii de clasa a șaptea decid astfel, ideea este că va dura timp pentru a crea un desen corect și EXACT. În plus, unele linii drepte nu sunt atât de ușor de construit, iar punctul de intersecție în sine poate fi situat undeva în al treizecilea regat, în afara foii caietului.
Prin urmare, este mai oportun să căutați punctul de intersecție metoda analitica. Să rezolvăm sistemul: 
Pentru rezolvarea sistemului s-a folosit metoda adunării termen cu termen a ecuațiilor. Pentru a dezvolta abilități relevante, vizitați lecția Cum se rezolvă un sistem de ecuații?
Raspuns:
Verificarea este banală - coordonatele punctului de intersecție trebuie să satisfacă fiecare ecuație a sistemului.
Exemplul 5
Aflați punctul de intersecție al dreptelor dacă acestea se intersectează.
Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Este convenabil să împărțiți sarcina în mai multe etape. Analiza stării sugerează că este necesar:
1) Scrieți ecuația dreptei.
2) Scrieți ecuația dreptei.
3) Aflați poziția relativă a liniilor.
4) Dacă liniile se intersectează, atunci găsiți punctul de intersecție.
Dezvoltarea unui algoritm de acțiune este tipică pentru multe probleme geometrice și mă voi concentra în mod repetat asupra acestui lucru.
Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției:
Nici măcar o pereche de pantofi nu a fost uzată înainte de a ajunge la a doua secțiune a lecției:
Linii perpendiculare. Distanța de la un punct la o dreaptă.Unghiul dintre liniile drepte
Să începem cu o sarcină tipică și foarte importantă. În prima parte, am învățat cum să construim o linie dreaptă paralelă cu aceasta, iar acum coliba pe pulpele de pui se va întoarce la 90 de grade:
Cum se construiește o linie perpendiculară pe una dată?Exemplul 6
Linia dreaptă este dată de ecuație. Scrieți o ecuație perpendiculară pe dreapta care trece prin punctul.
Rezolvare: Prin conditie se stie ca . Ar fi bine să găsim vectorul de direcție al liniei. Deoarece liniile sunt perpendiculare, trucul este simplu:
Din ecuație „eliminăm” vectorul normal: , care va fi vectorul de direcție al dreptei.
Să compunem ecuația unei drepte folosind un punct și un vector de direcție:
Raspuns: 
Să extindem schița geometrică:
Hmmm... Cer portocaliu, mare portocaliu, cămilă portocalie.
Verificarea analitică a soluției:
1) Scoatem vectorii de direcție din ecuații 
iar folosind produsul scalar al vectorilor ajungem la concluzia că dreptele sunt într-adevăr perpendiculare: .
Apropo, puteți folosi vectori normali, este și mai ușor.
2) Verificați dacă punctul satisface ecuația rezultată 
.
Testul, din nou, este ușor de efectuat pe cale orală.
Exemplul 7
Aflați punctul de intersecție al dreptelor perpendiculare dacă ecuația este cunoscută 
și punct.
Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Problema are mai multe acțiuni, deci este convenabil să se formuleze punct cu punct soluția.
Călătoria noastră interesantă continuă:
Distanța de la punct la linieAvem o fâșie dreaptă de râu în fața noastră și sarcina noastră este să ajungem la ea pe calea cea mai scurtă. Nu există obstacole, iar traseul cel mai optim va fi deplasarea perpendiculară. Adică, distanța de la un punct la o dreaptă este lungimea segmentului perpendicular.
Distanța în geometrie este în mod tradițional notată cu litera greacă „rho”, de exemplu: – distanța de la punctul „em” la linia dreaptă „de”.
Distanța de la punct la linie 
exprimat prin formula 
Exemplul 8
Aflați distanța de la un punct la o linie 
Soluție: tot ce trebuie să faceți este să înlocuiți cu atenție numerele în formulă și să efectuați calculele:
Raspuns: 
Să facem desenul: 
Distanța găsită de la punct la linie este exact lungimea segmentului roșu. Dacă întocmești un desen pe hârtie în carouri pe o scară de 1 unitate. = 1 cm (2 celule), apoi distanța poate fi măsurată cu o riglă obișnuită.
Să luăm în considerare o altă sarcină bazată pe același desen:
Sarcina este de a găsi coordonatele unui punct care este simetric față de punctul relativ la dreapta 
. Vă sugerez să efectuați singur pașii, dar voi schița un algoritm de soluție cu rezultate intermediare:
1) Găsiți o dreaptă care este perpendiculară pe dreapta.
2) Aflați punctul de intersecție al dreptelor: 
.
Ambele acțiuni sunt discutate în detaliu în această lecție.
3) Punctul este punctul de mijloc al segmentului. Cunoaștem coordonatele mijlocului și unuia dintre capete. Folosind formulele pentru coordonatele punctului de mijloc al segmentului, găsim .
Ar fi bine sa verificati ca distanta sa fie si de 2,2 unitati.
Aici pot apărea dificultăți în calcule, dar un microcalculator este de mare ajutor în turn, permițându-vă să numărați fracții comune. Te-am sfătuit de multe ori și te voi recomanda din nou.
Cum se află distanța dintre două linii paralele?Exemplul 9
Aflați distanța dintre două drepte paralele
Acesta este un alt exemplu pentru a vă decide singur. Vă dau un mic indiciu: există nenumărate moduri de a rezolva acest lucru. Debriefing la sfârșitul lecției, dar este mai bine să încerci să ghicești singur, cred că ingeniozitatea ta a fost bine dezvoltată.
Unghiul dintre două linii drepteFiecare colț este un gheț: 
În geometrie, unghiul dintre două linii drepte este considerat unghiul MAI MIC, din care rezultă automat că nu poate fi obtuz. În figură, unghiul indicat de arcul roșu nu este considerat unghiul dintre liniile care se intersectează. Și vecinul său „verde” sau orientat opus colțul „zmeură”.
Dacă liniile sunt perpendiculare, atunci oricare dintre cele 4 unghiuri poate fi luat ca unghi între ele.
Cum diferă unghiurile? Orientare. În primul rând, direcția în care unghiul este „defilat” este esențial importantă. În al doilea rând, un unghi orientat negativ este scris cu semnul minus, de exemplu dacă .
De ce ți-am spus asta? Se pare că ne putem descurca cu conceptul obișnuit de unghi. Cert este că formulele prin care vom găsi unghiuri pot duce cu ușurință la un rezultat negativ, iar acest lucru nu ar trebui să vă ia prin surprindere. Un unghi cu semnul minus nu este mai rău și are o semnificație geometrică foarte specifică. Pe desenul pentru unghi negativ Asigurați-vă că indicați orientarea acestuia cu o săgeată (în sensul acelor de ceasornic).
Cum să găsiți unghiul dintre două linii drepte?
Există două formule de lucru:
Exemplul 10
Găsiți unghiul dintre linii
Soluția și metoda unu Luați în considerare două drepte date de ecuațiile din:
vedere generală Dacă liniile nu sunt perpendiculare, atunci orientat 
Unghiul dintre ele poate fi calculat folosind formula:
Să acordăm o atenție deosebită numitorului - acesta este exact produsul scalar al vectorilor de direcție ai liniilor:
Dacă , atunci numitorul formulei devine zero, iar vectorii vor fi ortogonali, iar liniile vor fi perpendiculare. De aceea s-a făcut o rezervă cu privire la neperpendicularitatea dreptelor în formulare.
Pe baza celor de mai sus, este convenabil să formalizați soluția în doi pași:
1) Să calculăm produsul scalar al vectorilor de direcție ai dreptelor:
, ceea ce înseamnă că liniile nu sunt perpendiculare.
2) Găsiți unghiul dintre liniile drepte folosind formula: Prin utilizarea functie inversa 
Raspuns: 
Este ușor să găsești colțul în sine. În acest caz, folosim ciudățenia arctangentei (vezi Grafice și proprietăți ale funcțiilor elementare):
În răspuns indicăm valoarea exactă, precum și o valoare aproximativă (de preferință atât în grade, cât și în radiani), calculată cu ajutorul unui calculator. 
Ei bine, minus, minus, nu e mare lucru. Iată o ilustrație geometrică:
Nu este surprinzător că unghiul s-a dovedit a avea o orientare negativă, deoarece în enunțul problemei primul număr este o linie dreaptă și „deșurubarea” unghiului a început tocmai cu ea. 
Dacă doriți cu adevărat să obțineți un unghi pozitiv, trebuie să schimbați liniile, adică să luați coeficienții din a doua ecuație 
.
, și luați coeficienții din prima ecuație. Pe scurt, trebuie să începeți cu un direct
În iulie 2020, NASA lansează o expediție pe Marte. Nava spațială va livra pe Marte un suport electronic cu numele tuturor participanților la expediție înregistrați.
Dacă această postare ți-a rezolvat problema sau pur și simplu ți-a plăcut, distribuie linkul către ea prietenilor tăi de pe rețelele sociale.
Cel mai simplu mod de a conecta MathJax este în Blogger sau WordPress: în panoul de control al site-ului, adăugați un widget conceput pentru a insera cod JavaScript terță parte, copiați prima sau a doua versiune a codului de descărcare prezentat mai sus în el și plasați widgetul mai aproape la începutul șablonului (apropo, acest lucru nu este deloc necesar, deoarece scriptul MathJax este încărcat asincron). Asta e tot. Acum aflați sintaxa de marcare a MathML, LaTeX și ASCIIMathML și sunteți gata să încorporați formule matematice către paginile web ale site-ului dvs.
Un alt Revelion... vreme geroasă și fulgi de zăpadă pe geamul ferestrei... Toate acestea m-au determinat să scriu din nou despre... fractali și despre ce știe Wolfram Alpha despre asta. Există un articol interesant pe acest subiect, care conține exemple de structuri fractale bidimensionale. Aici ne vom uita la mai multe exemple complexe fractali tridimensionali.
Un fractal poate fi reprezentat vizual (descris) ca o figură geometrică sau un corp (însemnând că ambele sunt o mulțime, în în acest caz,, un set de puncte), ale căror detalii au aceeași formă ca și figura originală în sine. Adică, aceasta este o structură auto-similară, examinând detaliile căreia atunci când este mărită, vom vedea aceeași formă ca și fără mărire. Întrucât în cazul obișnuit figură geometrică(nu un fractal), atunci când măriți, vom vedea detalii care au o formă mai simplă decât figura originală în sine. De exemplu, la o mărire suficient de mare, o parte a unei elipse arată ca un segment de linie dreaptă. Acest lucru nu se întâmplă cu fractalii: cu orice creștere a acestora, vom vedea din nou aceeași formă complexă, care se va repeta iar și iar cu fiecare creștere.
Benoit Mandelbrot, fondatorul științei fractalilor, a scris în articolul său Fractals and Art in the Name of Science: „Fractalii sunt forme geometrice, care în în egală măsură complex în detaliile lor, precum și în lor forma generala. Adică, dacă o parte a unui fractal este mărită la dimensiunea întregului, va apărea ca întreg, fie exact, fie poate cu o ușoară deformare.”