Proprietățile de bază ale gradelor

„Proprietățile diplomelor” este o interogare destul de populară în motoarele de căutare, care arată un mare interes pentru proprietățile gradului. Am colectat pentru dvs. toate proprietățile unui grad (proprietățile unui grad cu exponent natural, proprietățile unui grad cu un exponent rațional, proprietățile unui grad cu exponent întreg) într-un singur loc. Puteți descărca o versiune scurtă a fișei de cheat „Proprietățile diplomelor”în format .pdf, astfel încât, dacă este necesar, să le puteți aminti cu ușurință sau să vă familiarizați cu ele proprietăți ale gradelor direct pe site. Mai multe detalii proprietățile puterilor cu exemple discutat mai jos.

Descărcați fisa de cheat „Proprietățile grade” (format.pdf)

Proprietățile grade (pe scurt)

o 0=1 dacă o≠0

o 1=o

(−o)n=un, Dacă n- chiar

(−o)n=−un, Dacă n- ciudat

(o⋅b)n=un⋅bn

(ab)n=anbn

o−n=1un

(ab)−n=(ba)n

un⋅a.m=un+m

anam=un−m

(un)m=un⋅m

Proprietățile puterilor (cu exemple)

Proprietate de gradul I Orice număr altul decât zero la puterea zero este egal cu unu. o 0=1 dacă o≠0 De exemplu: 1120=1, (−4)0=1, (0,15)0=1

Proprietate de gradul II Orice număr la prima putere este egal cu numărul însuși. o 1=o De exemplu: 231=23, (−9,3)1=−9,3

proprietate de gradul 3 Orice număr la o putere pară este pozitiv. un=un, Dacă n- număr întreg par (divizibil cu 2) (− o)n=un, Dacă n- număr întreg par (divizibil cu 2). De exemplu: 24=16, (−3)2=32=9, (−1)10=110=1

proprietate de gradul 4 Orice număr la o putere impară își păstrează semnul. un=un, Dacă n- număr întreg impar (nu este divizibil cu 2) (− o)n=−un, Dacă n- număr întreg impar (nu este divizibil cu 2). De exemplu: 53=125, (−3)3=33=27, (−1)11=−111=−1

proprietate de gradul 5 Produsul numerelor crescute Oh la o putere, poate fi reprezentat ca produsul numerelor crescute s V acest grad (și invers). ( o⋅b)n=un⋅bn, în timp ce o, b, n De exemplu: (2,1⋅0,3)4,5=2,14,5⋅0,34,5

proprietate de gradul 6 Coeficientul (diviziunea) numerelor crescute Oh la o putere, poate fi reprezentat ca coeficientul numerelor crescute s V acest grad (și invers). ( ab)n=anbn, în timp ce o, b, n- orice numere valide (nu neapărat întregi). De exemplu: (1,75)0,1=(1,7)0,150,1

proprietate de gradul 7 Orice număr la o putere negativă este egal cu numărul său reciproc cu acea putere. (Reciproca este numărul cu care numărul dat trebuie înmulțit pentru a obține unul.) o−n=1un, în timp ce oŞi n- orice numere valide (nu neapărat întregi). De exemplu: 7−2=172=149

proprietate de gradul 8 Orice fracție a unei puteri negative este egală cu fracția reciprocă a acelei puteri. ( ab)−n=(ba)n, în timp ce o, b, n- orice numere valide (nu neapărat întregi). De exemplu: (23)−2=(32)2, (14)−3=(41)3=43=64

proprietate de gradul 9 La înmulțirea puterilor cu aceeași bază, se adaugă exponenții, dar baza rămâne aceeași. un⋅a.m=un+m, în timp ce o, n, m- orice numere valide (nu neapărat întregi). De exemplu: 23⋅25=23+5=28, rețineți că această proprietate a gradului se păstrează pentru valorile negative ale gradelor 3−2⋅36=3−2+6=34, 47⋅4−3=47+( −3)= 47−3=44

proprietate de gradul 10 La împărțirea puterilor cu aceeași bază, exponenții sunt scăzuți, dar baza rămâne aceeași. anam=un−m, în timp ce o, n, m- orice numere valide (nu neapărat întregi). De exemplu:(1,4)2(1,4)3=1,42+3=1,45, observați cum această proprietate a puterii se aplică puterilor negative3−236=3−2−6=3−8, 474− 3=47−(−3 )=47+3=410

proprietate de gradul 11 Când ridicați o putere la o putere, puterile sunt înmulțite. ( un)m=un⋅m De exemplu: (23)2=23⋅2=26=64

Tabelul puterilor până la 10

Puțini oameni reușesc să-și amintească întregul tabel de grade și cine are nevoie de el când este atât de ușor de găsit? Masa noastră de putere include atât tabele populare de pătrate și cuburi (de la 1 la 10), cât și tabele de alte puteri care sunt mai puțin comune. Coloanele tabelului puterilor indică bazele gradului (numărul care trebuie ridicat la o putere), rândurile indică exponenții (puterea la care trebuie ridicat numărul), iar la intersecția dintre coloana dorită și rândul dorit este rezultatul ridicării numărului dorit la o putere dată. Există mai multe tipuri de probleme care pot fi rezolvate folosind tabele de putere. Sarcina imediată este de a calcula n puterea a unui număr. Problema inversă, care poate fi rezolvată și cu ajutorul unui tabel de puteri, poate suna astfel: „la ce putere trebuie ridicat numărul? o pentru a obține numărul b ?" sau "Ce număr la putere n dă un număr b ?".

Tabelul puterilor până la 10

	1 n	2 n	3 n	4 n	5 n	6 n	7 n	8 n	9 n	10 n

Cum se utilizează tabelul de grade

Să ne uităm la câteva exemple de utilizare a mesei de putere.

Exemplul 1. Ce număr rezultă din ridicarea numărului 6 la puterea a 8-a?În tabelul de grade căutăm coloana 6 n, deoarece în funcție de condițiile problemei numărul 6 este ridicat la o putere. Apoi în tabelul puterilor căutăm linia 8, deoarece numărul dat trebuie ridicat la puterea lui 8. La intersecție ne uităm la răspunsul: 1679616.

Exemplul 2. La ce putere trebuie ridicat numărul 9 pentru a obține 729?În tabelul de grade căutăm coloana 9 nși o coborâm la numărul 729 (a treia linie a tabelului nostru de grade). Numărul liniei este gradul necesar, adică răspunsul: 3.

Exemplul 3. Ce număr trebuie ridicat la puterea lui 7 pentru a obține 2187?În tabelul de grade căutăm linia 7, apoi trecem de-a lungul ei la dreapta până la numărul 2187. Din numărul găsit urcăm și aflăm că antetul acestei coloane este 3 n, ceea ce înseamnă că răspunsul este: 3.

Exemplul 4. La ce putere trebuie să ridici 2 pentru a obține 63?În tabelul de grade găsim coloana 2 nși o coborâm până ne întâlnim cu 63... Dar asta nu se va întâmpla. Nu vom vedea niciodată numărul 63 în această coloană sau în orice altă coloană a tabelului puterilor, ceea ce înseamnă că niciun număr întreg de la 1 la 10 nu dă numărul 63 atunci când este ridicat la o putere întreagă de la 1 la 10. Astfel, nu există raspuns .

Dacă trebuie să ridicați un anumit număr la o putere, puteți utiliza . Acum vom arunca o privire mai atentă la proprietăți ale gradelor.

Numerele exponenţiale deschid posibilități mari, ne permit să transformăm înmulțirea în adunare, iar adunarea este mult mai ușoară decât înmulțirea.

De exemplu, trebuie să înmulțim 16 cu 64. Produsul înmulțirii acestor două numere este 1024. Dar 16 este 4x4, iar 64 este 4x4x4. Adică, 16 cu 64 = 4x4x4x4x4, care este, de asemenea, egal cu 1024.

Numărul 16 poate fi reprezentat și ca 2x2x2x2, iar 64 ca 2x2x2x2x2x2, iar dacă înmulțim, obținem din nou 1024.

Acum să folosim regula. 16=4 2 sau 2 4, 64=4 3 sau 2 6, în același timp 1024=6 4 =4 5 sau 2 10.

Prin urmare, problema noastră poate fi scrisă diferit: 4 2 x4 3 =4 5 sau 2 4 x2 6 =2 10 și de fiecare dată obținem 1024.

Putem rezolva o serie de exemple similare și putem vedea că înmulțirea numerelor cu puteri se reduce la adăugând exponenți, sau exponențial, desigur, cu condiția ca bazele factorilor să fie egale.

Astfel, fără a efectua înmulțirea, putem spune imediat că 2 4 x2 2 x2 14 = 2 20.

Această regulă este valabilă și la împărțirea numerelor cu puteri, dar în acest caz din exponentul dividendului se scade exponentul divizorului. Astfel, 2 5:2 3 =2 2, care în numere obișnuite este egal cu 32:8 = 4, adică 2 2. Să rezumăm:

a m x a n =a m+n, a m: a n =a m-n, unde m și n sunt numere întregi.

La prima vedere poate părea că așa este înmulțirea și împărțirea numerelor cu puteri nu foarte convenabil, deoarece mai întâi trebuie să reprezentați numărul în formă exponențială. Nu este dificil să reprezinte numerele 8 și 16, adică 2 3 și 2 4, în această formă, dar cum să faci asta cu numerele 7 și 17? Sau ce să faci în cazurile în care un număr poate fi reprezentat în formă exponențială, dar bazele pentru expresiile exponențiale ale numerelor sunt foarte diferite. De exemplu, 8x9 este 2 3 x 3 2, caz în care nu putem să însumăm exponenții. Nici 2 5 nici 3 5 nu sunt răspunsul și nici răspunsul nu se află în intervalul dintre aceste două numere.

Atunci merită să te deranjezi cu această metodă? Cu siguranță merită. Oferă beneficii enorme, în special pentru calcule complexe și consumatoare de timp.

Adunarea și scăderea puterilor

Este evident că numerele cu puteri pot fi adăugate ca și alte cantități , prin adăugarea lor una după alta cu semnele lor.

Deci, suma a 3 și b 2 este a 3 + b 2.
Suma a 3 - b n și h 5 - d 4 este a 3 - b n + h 5 - d 4.

Cote puteri egale ale variabilelor identice poate fi adunat sau scazut.

Deci, suma lui 2a 2 și 3a 2 este egală cu 5a 2.

De asemenea, este evident că dacă luați două pătrate a, sau trei pătrate a sau cinci pătrate a.

Dar grade variabile variateŞi diverse grade variabile identice, trebuie compuse prin adăugarea lor cu semnele lor.

Deci, suma a 2 și a 3 este suma a 2 + a 3.

Este evident că pătratul lui a și cubul lui a nu este egal cu dublul pătratului lui a, ci cu dublul cubului lui a.

Suma a 3 b n și 3a 5 b 6 este a 3 b n + 3a 5 b 6.

Scădere puterile se desfășoară în același mod ca și adunarea, cu excepția faptului că semnele subtraendelor trebuie schimbate în consecință.

Sau:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 — 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Înmulțirea puterilor

Numerele cu puteri pot fi înmulțite, ca și alte mărimi, scriindu-le una după alta, cu sau fără semn de înmulțire între ele.

Astfel, rezultatul înmulțirii a 3 cu b 2 este a 3 b 2 sau aaabb.

Sau:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Rezultatul din ultimul exemplu poate fi ordonat prin adăugarea de variabile identice.
Expresia va lua forma: a 5 b 5 y 3.

Comparând mai multe numere (variabile) cu puteri, putem vedea că dacă oricare două dintre ele sunt înmulțite, atunci rezultatul este un număr (variabilă) cu o putere egală cu cantitate grade de termeni.

Deci, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Aici 5 este puterea rezultatului înmulțirii, care este egală cu 2 + 3, suma puterilor termenilor.

Deci, a n .a m = a m+n .

Pentru a n, a este luat ca factor de atâtea ori cât puterea lui n;

Și un m este luat ca factor de câte ori este egal cu gradul m;

De aceea, puterile cu aceleași baze pot fi înmulțite prin adăugarea exponenților puterilor.

Deci, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Și x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Sau:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Înmulțiți (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Răspuns: x 4 - y 4.
Înmulțiți (x 3 + x – 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Această regulă este valabilă și pentru numerele ai căror exponenți sunt negativ.

1. Deci, a -2 .a -3 = a -5 . Aceasta poate fi scrisă ca (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Dacă a + b sunt înmulțiți cu a - b, rezultatul va fi a 2 - b 2: adică

Rezultatul înmulțirii sumei sau diferenței a două numere este egal cu suma sau diferența pătratelor lor.

Dacă înmulțiți suma și diferența a două numere ridicate la pătrat, rezultatul va fi egal cu suma sau diferența acestor numere în patrulea grade.

Deci, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

Împărțirea gradelor

Numerele cu puteri pot fi împărțite ca și alte numere, prin scăderea din dividend sau prin plasarea lor sub formă de fracție.

Astfel, a 3 b 2 împărțit la b 2 este egal cu a 3.

Scrierea unui 5 împărțit la 3 arată ca $\frac $. Dar acesta este egal cu un 2. Într-o serie de numere
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
orice număr poate fi împărțit la altul, iar exponentul va fi egal cu diferenţă indicatori ai numerelor divizibile.

La împărțirea gradelor cu aceeași bază, exponenții acestora sunt scăzuți..

Deci, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. Adică $\frac = y$.

Și a n+1:a = a n+1-1 = a n . Adică $\frac = a^n$.

Sau:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3

Regula este valabilă și pentru numerele cu negativ valori ale gradelor.
Rezultatul împărțirii a -5 la a -3 este a -2.
De asemenea, $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 sau $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

Este necesar să stăpânești foarte bine înmulțirea și împărțirea puterilor, deoarece astfel de operații sunt foarte utilizate în algebră.

Exemple de rezolvare a exemplelor cu fracții care conțin numere cu puteri

1. Scădeți exponenții cu $\frac $ Răspuns: $\frac $.

2. Scădeți exponenții cu $\frac$. Răspuns: $\frac$ sau 2x.

3. Reduceți exponenții a 2 /a 3 și a -3 /a -4 și aduceți la un numitor comun.
a 2 .a -4 este a -2 primul numărător.
a 3 .a -3 este a 0 = 1, al doilea numărător.
a 3 .a -4 este a -1 , numărătorul comun.
După simplificare: a -2 /a -1 și 1/a -1 .

4. Reduceți exponenții 2a 4 /5a 3 și 2 /a 4 și aduceți la un numitor comun.
Răspuns: 2a 3 /5a 7 și 5a 5 /5a 7 sau 2a 3 /5a 2 și 5/5a 2.

5. Înmulțiți (a 3 + b)/b 4 cu (a - b)/3.

6. Înmulțiți (a 5 + 1)/x 2 cu (b 2 - 1)/(x + a).

7. Înmulțiți b 4 /a -2 cu h -3 /x și a n /y -3 .

8. Împărțiți un 4 /y 3 la un 3 /y 2 . Raspuns: a/a.

Proprietăți ale gradului

Vă reamintim că în această lecție vom înțelege proprietăți ale gradelor cu indicatori naturali și zero. Puterile cu exponenți raționali și proprietățile lor vor fi discutate în lecțiile pentru clasa a VIII-a.

O putere cu exponent natural are câteva proprietăți importante care ne permit să simplificăm calculele în exemple cu puteri.

Proprietatea nr. 1
Produsul puterilor

La înmulțirea puterilor cu aceleași baze, baza rămâne neschimbată și se adaugă exponenții puterilor.

a m · a n = a m + n, unde „a” este orice număr și „m”, „n” sunt orice numere naturale.

Această proprietate a puterilor se aplică și produsului a trei sau mai multe puteri.

• Simplificați expresia.
  b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• Prezintă-l ca o diplomă.
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• Prezintă-l ca o diplomă.
  (0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Vă rugăm să rețineți că în proprietatea specificată vorbeam doar despre înmulțirea puterilor cu aceleași baze. Nu se aplică la adăugarea lor.

Nu puteți înlocui suma (3 3 + 3 2) cu 3 5. Acest lucru este de înțeles dacă
calculați (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 și 3 5 = 243

Proprietatea nr. 2
Grade parțiale

La împărțirea puterilor cu aceeași bază, baza rămâne neschimbată, iar exponentul divizorului este scăzut din exponentul dividendului.

• Scrieți coeficientul ca putere
  (2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
• Calcula.

11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44
Exemplu. Rezolvați ecuația. Folosim proprietatea puterilor coeficiente.
3 8: t = 3 4

Răspuns: t = 3 4 = 81

Folosind proprietățile nr. 1 și nr. 2, puteți simplifica cu ușurință expresiile și efectuați calcule.

Exemplu. Simplificați expresia.
4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5

Exemplu. Găsiți valoarea unei expresii folosind proprietățile exponenților.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Vă rugăm să rețineți că în Proprietatea 2 vorbeam doar despre împărțirea puterilor cu aceleași baze.

Nu puteți înlocui diferența (4 3 −4 2) cu 4 1. Acest lucru este de înțeles dacă calculezi (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 și 4 1 = 4

Proprietatea nr. 3
Ridicarea unui grad la putere

La ridicarea unui grad la o putere, baza gradului rămâne neschimbată, iar exponenții sunt înmulțiți.

(a n) m = a n · m, unde „a” este orice număr și „m”, „n” sunt orice numere naturale.

Vă reamintim că un coeficient poate fi reprezentat ca o fracție. Prin urmare, ne vom opri asupra subiectului ridicării unei fracții la o putere mai detaliat pe pagina următoare.

Cum să înmulți puterile

Cum să înmulțim puterile? Ce puteri pot fi multiplicate și care nu? Cum se înmulțește un număr cu o putere?

În algebră, puteți găsi un produs al puterilor în două cazuri:

1) dacă gradele au aceleași baze;

2) dacă gradele au aceiași indicatori.

La înmulțirea puterilor cu aceleași baze, baza trebuie lăsată aceeași, iar exponenții trebuie adăugați:

Când înmulțiți grade cu aceiași indicatori, indicatorul general poate fi scos din paranteze:

Să ne uităm la cum să înmulțim puteri folosind exemple specifice.

Unitatea nu este scrisă în exponent, dar la înmulțirea puterilor, acestea iau în considerare:

La înmulțire, poate exista orice număr de puteri. Trebuie reținut că nu trebuie să scrieți semnul de înmulțire înaintea literei:

În expresii, exponențiarea se face mai întâi.

Dacă trebuie să înmulțiți un număr cu o putere, trebuie mai întâi să efectuați exponențiarea și numai apoi înmulțirea:

Înmulțirea puterilor cu aceleași baze

Acest tutorial video este disponibil prin abonament

Aveți deja un abonament? Log in

În această lecție vom studia înmulțirea puterilor cu baze similare. Mai întâi, să ne amintim definiția gradului și să formulăm o teoremă asupra validității egalității . Apoi vom da exemple de aplicare a acestuia pe anumite numere și vom dovedi. De asemenea, vom aplica teorema pentru a rezolva diverse probleme.

Subiect: Puterea cu exponent natural și proprietățile sale

Lecția: Înmulțirea puterilor cu aceleași baze (formulă)

1. Definiții de bază

Definitii de baza:

n- exponent,

— n puterea a unui număr.

2. Enunțul teoremei 1

Teorema 1. Pentru orice număr Oși orice natural nŞi k egalitatea este adevarata:

Cu alte cuvinte: dacă O– orice număr; nŞi k numere naturale, atunci:

De aici regula 1:

3. Sarcini explicative

Concluzie: cazuri speciale au confirmat corectitudinea teoremei nr. 1. Să o demonstrăm în cazul general, adică pentru orice Oși orice natural nŞi k.

4. Demonstrarea teoremei 1

Dat un număr O– oricare; numere nŞi k – natural. Dovedi:

Dovada se bazează pe definiția gradului.

5. Rezolvarea exemplelor folosind teorema 1

Exemplul 1: Gândește-te la asta ca la o diplomă.

Pentru a rezolva următoarele exemple, vom folosi teorema 1.

şi)

6. Generalizarea teoremei 1

O generalizare folosită aici:

7. Rezolvarea exemplelor folosind o generalizare a teoremei 1

8. Rezolvarea diverselor probleme folosind teorema 1

Exemplul 2: Calculați (puteți folosi tabelul puterilor de bază).

O) (conform tabelului)

b)

Exemplul 3: Scrie-o ca o putere cu baza 2.

O)

Exemplul 4: Determinați semnul numărului:

, A - negativ, deoarece exponentul la -13 este impar.

Exemplul 5:Înlocuiți (·) cu o putere a unui număr cu o bază r:

Avem, adică.

9. Rezumând

1. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovici E.A. şi altele Algebra 7. ediţia a VI-a. M.: Iluminismul. 2010

1. Asistent școlar (Sursa).

1. Prezentă ca putere:

a) b) c) d) e)

3. Scrie ca putere cu baza 2:

4. Determinați semnul numărului:

O)

5. Înlocuiți (·) cu o putere a unui număr cu o bază r:

a) r 4 · (·) = r 15; b) (·) · r 5 = r 6

Înmulțirea și împărțirea puterilor cu aceiași exponenți

În această lecție vom studia înmulțirea puterilor cu exponenți egali. Mai întâi, să ne amintim definițiile și teoremele de bază despre înmulțirea și împărțirea puterilor cu aceleași baze și ridicarea puterilor la puteri. Apoi formulăm și demonstrăm teoreme privind înmulțirea și împărțirea puterilor cu aceiași exponenți. Și apoi, cu ajutorul lor, vom rezolva o serie de probleme tipice.

Reamintire a definițiilor și teoremelor de bază

Aici o- baza diplomei,

— n puterea a unui număr.

Teorema 1. Pentru orice număr Oși orice natural nŞi k egalitatea este adevarata:

La înmulțirea puterilor cu aceleași baze, se adaugă exponenții, baza rămâne neschimbată.

Teorema 2. Pentru orice număr Oși orice natural nŞi k, astfel încât n > k egalitatea este adevarata:

La împărțirea gradelor cu aceleași baze, exponenții sunt scăzuți, dar baza rămâne neschimbată.

Teorema 3. Pentru orice număr Oși orice natural nŞi k egalitatea este adevarata:

Toate teoremele enumerate erau despre puteri cu aceeași motive, în această lecție ne vom uita la grade cu același indicatori.

Exemple de înmulțire a puterilor cu aceiași exponenți

Luați în considerare următoarele exemple:

Să notăm expresiile pentru determinarea gradului.

Concluzie: Din exemple se poate observa că , dar acest lucru trebuie încă dovedit. Să formulăm teorema și să o demonstrăm în cazul general, adică pentru oricare OŞi bși orice natural n.

Formularea și demonstrarea teoremei 4

Pentru orice numere OŞi bși orice natural n egalitatea este adevarata:

Dovada Teorema 4 .

Prin definiția gradului:

Deci am dovedit asta .

Pentru a multiplica puteri cu aceiași exponenți, este suficient să înmulțiți bazele și să lăsați exponentul neschimbat.

Formularea și demonstrarea teoremei 5

Să formulăm o teoremă pentru împărțirea puterilor cu aceiași exponenți.

Pentru orice număr OŞi b() și orice natural n egalitatea este adevarata:

Dovada Teorema 5 .

Să notăm definiția gradului:

Enunțarea teoremelor în cuvinte

Deci, noi am dovedit că.

Pentru a împărți puteri cu aceiași exponenți una în alta, este suficient să împărțiți o bază la alta și să lăsați exponentul neschimbat.

Rezolvarea problemelor tipice folosind teorema 4

Exemplul 1: Prezent ca un produs al puterilor.

Pentru a rezolva următoarele exemple, vom folosi teorema 4.

Pentru a rezolva următorul exemplu, amintiți-vă formulele:

Generalizarea teoremei 4

Generalizarea teoremei 4:

Rezolvarea exemplelor folosind teorema generalizată 4

Continuarea rezolvării problemelor tipice

Exemplul 2: Scrie-l ca o putere a produsului.

Exemplul 3: Scrieți-o ca putere cu exponentul 2.

Exemple de calcul

Exemplul 4: Calculați în cel mai rațional mod.

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7. M.: VENTANA-GRAF

3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. şi alţii Algebra 7.M.: Iluminismul. 2006

2. Asistent școlar (Sursa).

1. Prezentă ca produs al puterilor:

A) ; b) ; V) ; G) ;

2. Scrieți ca putere a produsului:

3. Scrieți ca putere cu exponentul 2:

4. Calculați în cel mai rațional mod.

Lecție de matematică pe tema „Înmulțirea și împărțirea puterilor”

Secțiuni: Matematică

Scopul pedagogic:

elevul va învăța distinge între proprietățile înmulțirii și împărțirii puterilor cu exponenți naturali; aplica aceste proprietati in cazul acelorasi baze;

studentul va avea ocazia să poată efectua transformări de grade cu baze diferite și să poată efectua transformări în sarcini combinate.

Sarcini:

să organizeze munca elevilor prin repetarea materialului studiat anterior;

asigura nivelul de reproducere prin efectuarea diferitelor tipuri de exercitii;

organizați o verificare a autoevaluării elevilor prin testare.

Unități de activitate de predare: determinarea gradului cu un indicator natural; componente ale gradului; definiția privat; legea combinațională a înmulțirii.

I. Organizarea unei demonstrații a stăpânirii de către elevi a cunoștințelor existente. (pasul 1)

a) Actualizarea cunoștințelor:

2) Formulați o definiție a gradului cu un exponent natural.

a n =a a a a … a (de n ori)

b k =b b b b a… b (de k ori) Justificați răspunsul.

II. Organizarea autoevaluării gradului de competență al studentului în experiența curentă. (pasul 2)

Autotest: (lucrare individuală în două versiuni.)

A1) Prezentați produsul 7 7 7 7 x x x ca putere:

A2) Reprezentați puterea (-3) 3 x 2 ca produs

A3) Calculați: -2 3 2 + 4 5 3

Selectez numărul de sarcini din test în conformitate cu pregătirea nivelului clasei.

Vă dau cheia testului pentru autotest. Criterii: trece - nu trece.

III. Sarcină educațională și practică (pasul 3) + pasul 4. (elevii înșiși vor formula proprietățile)

calculați: 2 2 2 3 = ? 3 3 3 2 3 =?

Simplificați: a 2 a 20 = ? b 30 b 10 b 15 = ?

În timpul rezolvării problemelor 1) și 2), elevii propun o soluție, iar eu, ca profesor, organizez clasa pentru a găsi o modalitate de a simplifica puterile la înmulțirea cu aceleași baze.

Profesor: găsiți o modalitate de a simplifica puterile atunci când înmulțiți cu aceleași baze.

Pe cluster apare o intrare:

Tema lecției este formulată. Înmulțirea puterilor.

Profesor: veniți cu o regulă pentru împărțirea puterilor cu aceleași baze.

Raționament: ce acțiune este folosită pentru a verifica împărțirea? a 5: a 3 = ? că a 2 a 3 = a 5

Revin la diagramă - un grup și adaug la intrare - .. la împărțire, scădem și adăugăm subiectul lecției. ...și împărțirea gradelor.

IV. Comunicarea elevilor a limitelor cunoștințelor (ca minim și maxim).

Profesor: sarcina minimă pentru lecția de astăzi este să înveți să aplici proprietățile înmulțirii și împărțirii puterilor cu aceleași baze, iar sarcina maximă este să aplici înmulțirea și împărțirea împreună.

Scriem pe tablă : a m a n = a m+n ; a m: a n = a m-n

V. Organizarea studierii materialelor noi. (pasul 5)

a) Conform manualului: Nr. 403 (a, c, e) sarcini cu diferite formulări

Nr. 404 (a, d, f) muncă independentă, apoi organizez o verificare reciprocă, dau cheile.

b) Pentru ce valoare a lui m este valabilă egalitatea? a 16 a m = a 32; x h x 14 = x 28; x 8 (*) = x 14

Sarcina: veniți cu exemple similare pentru împărțire.

c) nr. 417 (a), nr. 418 (a) Capcane pentru elevi: x 3 x n = x 3n; 3 4 3 2 = 9 6 ; a 16: a 8 = a 2.

VI. Rezumarea a ceea ce s-a învățat, efectuarea lucrărilor de diagnosticare (care încurajează elevii, și nu profesorul, să studieze acest subiect) (pasul 6)

Munca de diagnosticare.

Test(asezati cheile pe dosul aluatului).

Opțiuni de activitate: reprezentați coeficientul x 15 ca putere: x 3; reprezintă ca putere produsul (-4) 2 (-4) 5 (-4) 7 ; pentru care m este valabilă egalitatea a 16 a m = a 32? aflați valoarea expresiei h 0: h 2 la h = 0,2; se calculează valoarea expresiei (5 2 5 0) : 5 2 .

Rezumatul lecției. Reflecţie.Împărțim clasa în două grupe.

Găsiți argumente în grupa I: în favoarea cunoașterii proprietăților gradului, iar grupa II - argumente care vor spune că vă puteți descurca fără proprietăți. Ascultăm toate răspunsurile și tragem concluzii. În lecțiile ulterioare, puteți oferi date statistice și puteți apela rubrica „Este dincolo de credință!”

O persoană obișnuită mănâncă 32 10 2 kg de castraveți în timpul vieții.

Viespa este capabilă să efectueze un zbor non-stop de 3,2 10 2 km.

Când sticla crapă, fisura se propagă cu o viteză de aproximativ 5 10 3 km/h.

O broasca mananca mai mult de 3 tone de tantari in viata ei. Folosind gradul, scrieți în kg.

Cel mai prolific este considerat a fi peștele oceanic - luna (Mola mola), care depune până la 300.000.000 de ouă cu un diametru de aproximativ 1,3 mm într-o singură depunere. Scrie acest număr folosind o putere.

VII. Teme pentru acasă.

Informații istorice. Ce numere se numesc numere Fermat.

P.19. Nr. 403, Nr. 408, Nr. 417

Literatura folosita:

Manual „Algebra-7”, autori Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk și colab.

Material didactic pentru clasa a VII-a, L.V. Kuznetsova, L.I. Zvavici, S.B. Suvorov.

Enciclopedia de matematică.

Revista „Kvant”.

Proprietăți ale gradelor, formulări, dovezi, exemple.

După ce puterea unui număr a fost determinată, este logic să vorbim despre proprietăți de grad. În acest articol vom oferi proprietățile de bază ale puterii unui număr, atingând toți exponenții posibili. Aici vom oferi dovezi ale tuturor proprietăților gradelor și, de asemenea, vom arăta cum sunt utilizate aceste proprietăți la rezolvarea exemplelor.

Navigare în pagină.

Proprietăți ale gradelor cu exponenți naturali

Prin definiția unei puteri cu exponent natural, puterea a n este produsul a n factori, fiecare dintre care este egal cu a. Pe baza acestei definiții și, de asemenea, folosind proprietățile înmulțirii numerelor reale, putem obține și justifica următoarele proprietăți de grad cu exponent natural:

proprietatea principală a gradului a m ·a n =a m+n, generalizarea lui a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k;

proprietatea puterilor câte cu baze identice a m:a n =a m−n ;

proprietatea gradului unui produs (a·b) n =a n ·b n , extensia lui (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n ;

proprietatea coeficientului la gradul natural (a:b) n =a n:b n ;

ridicarea unui grad la o putere (a m) n =a m·n, generalizarea lui (((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 ·n 2 ·…·n k;

compararea gradului cu zero:

• dacă a>0, atunci a n>0 pentru orice număr natural n;
• dacă a=0, atunci a n =0;
• dacă a 2·m >0 , dacă a 2·m−1 n ;
• dacă m și n sunt numere naturale astfel încât m>n, atunci pentru 0m n, iar pentru a>0 inegalitatea a m >a n este adevărată.

Să observăm imediat că toate egalitățile scrise sunt identicîn condițiile specificate, atât părțile din dreapta cât și cele din stânga pot fi schimbate. De exemplu, proprietatea principală a fracției a m ·a n =a m+n cu simplificarea expresiilor folosit adesea sub forma a m+n =a m ·a n .

Acum să ne uităm la fiecare dintre ele în detaliu.

Să începem cu proprietatea produsului a două puteri cu aceleași baze, care se numește principala proprietate a gradului: pentru orice număr real a și orice număr natural m și n, egalitatea a m ·a n =a m+n este adevărată.

Să demonstrăm principala proprietate a gradului. Prin definiția unei puteri cu exponent natural, produsul puterilor cu baze identice de forma a m ·a n poate fi scris ca produs . Datorită proprietăților înmulțirii, expresia rezultată poate fi scrisă ca , iar acest produs este o putere a numărului a cu exponent natural m+n, adică un m+n. Aceasta completează dovada.

Să dăm un exemplu care confirmă proprietatea principală a gradului. Să luăm grade cu aceleași baze 2 și puteri naturale 2 și 3, folosind proprietatea de bază a gradelor putem scrie egalitatea 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5. Să-i verificăm validitatea calculând valorile expresiilor 2 2 · 2 3 și 2 5 . Efectuând exponențierea, avem 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 și 2 5 =2 2 2 2 2 = 32 , deoarece obținem valori egale, atunci egalitatea 2 2 ·2 3 =2 5 este corect și confirmă proprietatea principală a gradului.

Proprietatea de bază a unui grad, bazată pe proprietățile înmulțirii, poate fi generalizată la produsul a trei sau mai multe puteri cu aceleași baze și exponenți naturali. Deci pentru orice număr k de numere naturale n 1 , n 2 , …, n k egalitatea a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k este adevărată.

De exemplu, (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

Putem trece la următoarea proprietate a puterilor cu un exponent natural – proprietatea puterilor coeficiente cu aceleasi baze: pentru orice număr real diferit de zero a și numere naturale arbitrare m și n care îndeplinesc condiția m>n, egalitatea a m:a n =a m−n este adevărată.

Înainte de a prezenta dovada acestei proprietăți, să discutăm semnificația condițiilor suplimentare din formulare. Condiția a≠0 este necesară pentru a evita împărțirea la zero, deoarece 0 n =0, iar când ne-am familiarizat cu împărțirea, am convenit că nu putem împărți la zero. Se introduce condiția m>n astfel încât să nu depășim exponenții naturali. Într-adevăr, pentru m>n exponentul a m−n este un număr natural, altfel va fi fie zero (ceea ce se întâmplă pentru m−n) fie un număr negativ (ceea ce se întâmplă pentru m m−n ·a n =a (m−n) +n =a m. Din egalitatea rezultată a m−n ·a n =a m și din legătura dintre înmulțire și împărțire rezultă că un m−n este un coeficient de puteri a m și a n aceleasi baze.

Să dăm un exemplu. Să luăm două grade cu aceleași baze π și exponenți naturali 5 și 2, egalitatea π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 corespunde proprietății considerate a gradului.

Acum să luăm în considerare proprietatea puterii produsului: puterea naturală n a produsului a oricăror două numere reale a și b este egală cu produsul puterilor a n și b n , adică (a·b) n =a n ·b n .

Într-adevăr, prin definiția unui grad cu exponent natural avem . Pe baza proprietăților înmulțirii, ultimul produs poate fi rescris ca , care este egal cu a n · b n .

Iată un exemplu: .

Această proprietate se extinde la puterea produsului a trei sau mai mulți factori. Adică, proprietatea gradului natural n a unui produs de k factori se scrie ca (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n .

Pentru claritate, vom arăta această proprietate cu un exemplu. Pentru produsul a trei factori la puterea lui 7 avem .

Următoarea proprietate este proprietatea unui coeficient in natura: câtul numerelor reale a și b, b≠0 la puterea naturală n este egal cu câtul puterilor a n și b n, adică (a:b) n =a n:b n.

Dovada poate fi efectuată folosind proprietatea anterioară. Deci (a:b) n ·b n =((a:b)·b) n =a n , iar din egalitatea (a:b) n ·b n =a n rezultă că (a:b) n este câtul dintre diviziune a n pe bn.

Să scriem această proprietate folosind numere specifice ca exemplu: .

Acum, hai să-i spunem proprietatea de a ridica o putere la o putere: pentru orice număr real a și orice numere naturale m și n, puterea lui a m la puterea lui n este egală cu puterea numărului a cu exponent m·n, adică (a m) n =a m·n.

De exemplu, (5 2) 3 =5 2·3 =5 6.

Dovada proprietății putere-la-grad este următorul lanț de egalități: .

Proprietatea considerată poate fi extinsă grad în grad, etc. De exemplu, pentru orice numere naturale p, q, r și s, egalitatea . Pentru o mai mare claritate, să dăm un exemplu cu numere specifice: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10.

Rămâne să ne oprim asupra proprietăților de a compara grade cu un exponent natural.

Să începem prin a demonstra proprietatea de a compara zero și putere cu un exponent natural.

Mai întâi, să demonstrăm că a n >0 pentru orice a>0.

Produsul a două numere pozitive este un număr pozitiv, după cum reiese din definiția înmulțirii. Acest fapt și proprietățile înmulțirii sugerează că rezultatul înmulțirii oricărui număr de numere pozitive va fi, de asemenea, un număr pozitiv. Iar puterea unui număr a cu exponent natural n, prin definiție, este produsul a n factori, fiecare dintre care este egal cu a. Aceste argumente ne permit să afirmăm că pentru orice bază pozitivă a, gradul a n este un număr pozitiv. Datorită proprietății dovedite 3 5 >0, (0,00201) 2 >0 și .

Este destul de evident că pentru orice număr natural n cu a=0 gradul lui n este zero. Într-adevăr, 0 n =0·0·…·0=0 . De exemplu, 0 3 =0 și 0 762 =0.

Să trecem la bazele negative ale gradului.

Să începem cu cazul în care exponentul este un număr par, să-l notăm ca 2·m, unde m este un număr natural. Apoi . Conform regulii de înmulțire a numerelor negative, fiecare dintre produsele formei a·a este egal cu produsul valorilor absolute ale numerelor a și a, ceea ce înseamnă că este un număr pozitiv. Prin urmare, produsul va fi, de asemenea, pozitiv și gradul a 2·m. Să dăm exemple: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 și .

În cele din urmă, când baza a este un număr negativ și exponentul este un număr impar 2 m−1, atunci . Toate produsele a·a sunt numere pozitive, produsul acestor numere pozitive este de asemenea pozitiv, iar înmulțirea lui cu numărul negativ rămas a are ca rezultat un număr negativ. Datorită acestei proprietăți (−5) 3 17 n n este produsul dintre laturile stângă și dreaptă ale n inegalități adevărate a proprietățile inegalităților, este adevărată și o inegalitate demonstrabilă de forma a n n. De exemplu, datorită acestei proprietăți, inegalitățile 3 7 7 și .

Rămâne de demonstrat ultima dintre proprietățile enumerate ale puterilor cu exponenți naturali. Să o formulăm. Dintre două puteri cu exponenți naturali și baze pozitive identice mai mici decât una, cea al cărei exponent este mai mic este mai mare; iar a două puteri cu exponenți naturali și baze identice mai mari decât una, cea al cărei exponent este mai mare este mai mare. Să trecem la dovedirea acestei proprietăți.

Să demonstrăm că pentru m>n și 0m n . Pentru a face acest lucru, notăm diferența a m − a n și o comparăm cu zero. Diferența înregistrată, după scoaterea a n din paranteze, va lua forma a n ·(a m−n−1) . Produsul rezultat este negativ ca produsul dintre un număr pozitiv a n și un număr negativ a m−n −1 (a n este pozitiv ca putere naturală a unui număr pozitiv, iar diferența a m−n −1 este negativă, deoarece m−n >0 datorita conditiei initiale m>n, de unde rezulta ca atunci cand 0m−n este mai mic decat unitatea). Prin urmare, a m −a n m n , care este ceea ce trebuia demonstrat. Ca exemplu, dăm inegalitatea corectă.

Rămâne de dovedit a doua parte a proprietății. Să demonstrăm că pentru m>n și a>1 a m >a n este adevărat. Diferența a m −a n după scoaterea a n din paranteze ia forma a n ·(a m−n −1) . Acest produs este pozitiv, deoarece pentru a>1 gradul a n este un număr pozitiv, iar diferența a m−n −1 este un număr pozitiv, deoarece m−n>0 datorită condiției inițiale, iar pentru a>1 gradul un m−n este mai mare decât unu. În consecință, a m −a n >0 și a m >a n , care este ceea ce trebuia demonstrat. Această proprietate este ilustrată de inegalitatea 3 7 >3 2.

Proprietățile puterilor cu exponenți întregi

Deoarece numerele întregi pozitive sunt numere naturale, atunci toate proprietățile puterilor cu exponenți întregi pozitivi coincid exact cu proprietățile puterilor cu exponenți naturali enumerate și dovedite în paragraful anterior.

Am definit un grad cu un exponent întreg negativ, precum și un grad cu un exponent zero, în așa fel încât toate proprietățile gradelor cu exponenți naturali, exprimate prin egalități, să rămână valabile. Prin urmare, toate aceste proprietăți sunt valabile atât pentru exponenții zero, cât și pentru exponenții negativi, în timp ce, desigur, bazele puterilor sunt diferite de zero.

Deci, pentru orice numere reale și non-nule a și b, precum și pentru orice numere întregi m și n, următoarele sunt adevărate: proprietățile puterilor cu exponenți întregi:

• a m ·a n =a m+n ;
• a m:a n =a m−n ;
• (a·b) n =a n ·b n ;
• (a:b) n =a n:b n ;
• (a m) n =a m·n ;
• dacă n este un număr întreg pozitiv, a și b sunt numere pozitive și a n n și a −n >b −n ;
• dacă m și n sunt numere întregi și m>n, atunci pentru 0m n, iar pentru a>1 inegalitatea a m >a n este valabilă.

Când a=0, puterile a m și a n au sens numai atunci când ambele m și n sunt numere întregi pozitive, adică numere naturale. Astfel, proprietățile tocmai scrise sunt valabile și pentru cazurile în care a=0 și numerele m și n sunt numere întregi pozitive.

Demonstrarea fiecăreia dintre aceste proprietăți nu este dificil de a face acest lucru, este suficient să folosiți definițiile de grade cu exponenți naturali și întregi, precum și proprietățile operațiilor cu numere reale. Ca exemplu, să demonstrăm că puterea de a puterea proprietății este valabilă atât pentru numerele întregi pozitive, cât și pentru numerele întregi nepozitive. Pentru a face acest lucru, trebuie să arătați că, dacă p este zero sau un număr natural și q este zero sau un număr natural, atunci egalitățile (a p) q =a p·q, (a -p) q =a (−p) ·q, (a p ) −q =a p·(−q) și (a −p) −q =a (−p)·(−q) . Să facem asta.

Pentru p și q pozitive, egalitatea (a p) q =a p·q a fost dovedită în paragraful anterior. Dacă p=0, atunci avem (a 0) q =1 q =1 și a 0·q =a 0 =1, de unde (a 0) q =a 0·q. În mod similar, dacă q=0, atunci (a p) 0 =1 și a p·0 =a 0 =1, de unde (a p) 0 =a p·0. Dacă ambele p=0 și q=0, atunci (a 0) 0 =1 0 =1 și a 0·0 =a 0 =1, de unde (a 0) 0 =a 0·0.

Acum demonstrăm că (a −p) q =a (−p)·q . Prin definiția unei puteri cu un exponent întreg negativ, atunci . Prin proprietatea coeficientilor la puteri pe care le avem . Deoarece 1 p =1·1·…·1=1 și , atunci . Ultima expresie, prin definiție, este o putere de forma a −(p·q), care, datorită regulilor de înmulțire, poate fi scrisă ca a (−p)·q.

De asemenea .

ŞI .

Folosind același principiu, puteți demonstra toate celelalte proprietăți ale unui grad cu un exponent întreg, scris sub formă de egalități.

În penultima dintre proprietățile înregistrate, merită să ne oprim asupra dovezii inegalității a -n >b -n, care este valabilă pentru orice număr întreg negativ -n și orice a și b pozitiv pentru care condiția a este îndeplinită. . Să notăm și să transformăm diferența dintre părțile din stânga și din dreapta acestei inegalități: . Deoarece prin condiția a n n , prin urmare, b n −a n >0 . Produsul a n · b n este de asemenea pozitiv ca produsul numerelor pozitive a n și b n . Atunci fracția rezultată este pozitivă ca câtul numerelor pozitive b n −a n și a n ·b n . Prin urmare, de unde a −n >b −n , care este ceea ce trebuia demonstrat.

Ultima proprietate a puterilor cu exponenți întregi este demonstrată în același mod ca o proprietate similară a puterilor cu exponenți naturali.

Proprietățile puterilor cu exponenți raționali

Am definit un grad cu un exponent fracționar extinzându-i proprietățile unui grad cu un exponent întreg. Cu alte cuvinte, puterile cu exponenți fracționari au aceleași proprietăți ca și puterile cu exponenți întregi. Anume:

1. proprietatea produsului de puteri cu aceleaşi baze pentru a>0 și dacă și, atunci pentru a≥0;
2. proprietatea puterilor coeficiente cu aceleasi baze pentru a>0;
3. proprietatea unui produs la o putere fracționată pentru a>0 și b>0 și dacă și, atunci pentru a≥0 și (sau) b≥0;
4. proprietatea unui coeficient la o putere fracționară pentru a>0 și b>0 și dacă , atunci pentru a≥0 și b>0;
5. proprietate de la grad la grad pentru a>0 și dacă și, atunci pentru a≥0;
6. proprietatea de a compara puteri cu exponenți raționali egali: pentru orice numere pozitive a și b, a 0 inegalitatea a p p este adevărată, iar pentru p p >b p ;
7. proprietatea de a compara puteri cu exponenți raționali și baze egale: pentru numerele raționale p și q, p>q pentru 0p q, iar pentru a>0 – inegalitatea a p >a q.

Demonstrarea proprietăților puterilor cu exponenți fracționari se bazează pe definirea unei puteri cu exponent fracționar, pe proprietățile rădăcinii aritmetice de gradul al n-lea și pe proprietățile unei puteri cu exponent întreg. Să oferim dovezi.

Prin definiția unei puteri cu un exponent fracționar și , atunci . Proprietățile rădăcinii aritmetice ne permit să scriem următoarele egalități. În plus, folosind proprietatea unui grad cu exponent întreg, obținem , din care, prin definiția unui grad cu exponent fracționar, avem , iar indicatorul gradului obţinut poate fi transformat astfel: . Aceasta completează dovada.

A doua proprietate a puterilor cu exponenți fracționari este demonstrată într-un mod absolut similar:


Egalitățile rămase sunt dovedite folosind principii similare:


Să trecem la demonstrarea următoarei proprietăți. Să demonstrăm că pentru orice a și b pozitiv, a 0 inegalitatea a p p este adevărată, iar pentru p p >b p . Să scriem numărul rațional p ca m/n, unde m este un număr întreg și n este un număr natural. Condițiile p 0 în acest caz vor fi echivalente cu condițiile m 0, respectiv. Pentru m>0 și am m . Din această inegalitate, prin proprietatea rădăcinilor, avem, și întrucât a și b sunt numere pozitive, atunci, pe baza definiției unui grad cu exponent fracționar, inegalitatea rezultată poate fi rescrisă ca, adică a p p .

În mod similar, pentru m m >b m , de unde, adică a p >b p .

Rămâne de demonstrat ultima dintre proprietățile enumerate. Să demonstrăm că pentru numerele raționale p și q, p>q pentru 0p q, iar pentru a>0 – inegalitatea a p >a q. Putem reduce întotdeauna numerele raționale p și q la un numitor comun, chiar dacă obținem fracții obișnuite și , unde m 1 și m 2 sunt numere întregi, iar n este un număr natural. În acest caz, condiția p>q va corespunde condiției m 1 >m 2, care rezultă din regula de comparare a fracțiilor ordinare cu aceiași numitori. Apoi, prin proprietatea de a compara grade cu aceleași baze și exponenți naturali, pentru 0m 1 m 2, iar pentru a>1, inegalitatea a m 1 >a m 2. Aceste inegalități în proprietățile rădăcinilor pot fi rescrise în consecință ca Şi . Iar definirea unui grad cu exponent rațional ne permite să trecem la inegalități și, în consecință. De aici tragem concluzia finală: pentru p>q și 0p q , iar pentru a>0 – inegalitatea a p >a q .

Proprietățile puterilor cu exponenți iraționali

Din modul în care este definit un grad cu exponent irațional, putem concluziona că are toate proprietățile gradelor cu exponent rațional. Deci pentru orice a>0, b>0 și numere iraționale p și q următoarele sunt adevărate proprietățile puterilor cu exponenți iraționali:

1. a p ·a q =a p+q ;
2. a p:a q =a p−q ;
3. (a·b) p =a p ·b p ;
4. (a:b) p =a p:b p ;
5. (a p) q =a p·q ;
6. pentru orice numere pozitive a și b, a 0 inegalitatea a p p este adevărată, iar pentru p p >b p ;
7. pentru numerele iraționale p și q, p>q pentru 0p q, iar pentru a>0 – inegalitatea a p >a q.

Din aceasta putem concluziona că puterile cu orice exponenți reali p și q pentru a>0 au aceleași proprietăți.

• Algebră - clasa a X-a. Ecuații trigonometrice Lecție și prezentare pe tema: „Rezolvarea celor mai simple ecuații trigonometrice” Materiale suplimentare Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, recenziile, sugestiile voastre! Toate materialele […]
• A fost deschis un concurs pentru postul „VÂNZĂTOR - CONSULTANT”: Responsabilități: vânzarea de telefoane mobile și accesorii pentru comunicații mobile, service clienți pentru abonații Beeline, Tele2, MTS, conectarea planurilor și serviciilor tarifare Beeline și Tele2, consultanță MTS [… ]
• Formula paralelipiped Un paralelipiped este un poliedru cu 6 fețe, fiecare dintre ele fiind un paralelogram. Un cuboid este un paralelipiped a cărui față este un dreptunghi. Orice paralelipiped este caracterizat de 3 […]
• Adoptarea unei legi privind moșiile familiale. Adoptarea unei legi federale privind alocarea gratuită a unui teren către fiecare cetățean al Federației Ruse sau familie de cetățeni dornic pentru dezvoltarea unei proprietăți familiale pe aceasta, în următoarele condiții: 1. Terenul este alocate pentru […]
• Societatea pentru Protecția Drepturilor Consumatorului Astana Pentru a primi un cod PIN pentru a accesa acest document pe site-ul nostru, trimiteți un mesaj SMS cu textul zan la numărul Abonaților operatorilor GSM (Activ, Kcell, Beeline, NEO, Tele2) prin trimiterea unui SMS la numărul, […]
• INSPECȚIA GOSTEKHNADZOR AL REGIUNII BRYANSK Chitanță pentru plata taxei de stat (Descărcare-12,2 kb) Cereri de înregistrare pentru persoane fizice (Descărcare-12 kb) Cereri de înregistrare pentru persoane juridice (Descărcare-11,4 kb) 1. La înmatricularea unei mașini noi: 1.cerere 2.pașaport […]
• ORTOGRAFIA N ȘI NN ÎN DIFERITE PĂRȚI DE DISCURS S.G.ZELINSKAYA MATERIAL DIDACTIC Exercițiu teoretic 1. Când se scrie nn în adjective? 2. Numiți excepțiile de la aceste reguli. 3. Cum să distingem un adjectiv verbal cu sufixul -n- de un participiu cu […]
• Pivoev V.M. Filosofia și metodologia științei: un manual pentru masteranzi și absolvenți Petrozavodsk: Editura PetrSU, 2013. - 320 p. ISBN 978-5-821-1647-0 PDF 3 mb Manualul este destinat studenților seniori, masteranzilor și absolvenților de social și […]

După ce puterea unui număr a fost determinată, este logic să vorbim despre proprietăți de grad. În acest articol vom oferi proprietățile de bază ale puterii unui număr, atingând toți exponenții posibili. Aici vom oferi dovezi ale tuturor proprietăților gradelor și, de asemenea, vom arăta cum sunt utilizate aceste proprietăți la rezolvarea exemplelor.

Navigare în pagină.

Proprietăți ale gradelor cu exponenți naturali

Prin definiția unei puteri cu exponent natural, puterea a n este produsul a n factori, fiecare dintre care este egal cu a. Pe baza acestei definiții și, de asemenea, folosind proprietățile înmulțirii numerelor reale, putem obține și justifica următoarele proprietăți de grad cu exponent natural:

1. proprietatea principală a gradului a m ·a n =a m+n, generalizarea acestuia;
2. proprietatea puterilor câte cu baze identice a m:a n =a m−n ;
3. proprietatea puterii produsului (a·b) n =a n ·b n , extensia sa;
4. proprietatea coeficientului la gradul natural (a:b) n =a n:b n ;
5. ridicarea unui grad la o putere (a m) n =a m·n, generalizarea lui (((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 ·n 2 ·…·n k;
6. compararea gradului cu zero:
   • dacă a>0, atunci a n>0 pentru orice număr natural n;
   • dacă a=0, atunci a n =0;
   • dacă a<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 dacă a<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
7. dacă a și b sunt numere pozitive și a
8. dacă m și n sunt numere naturale astfel încât m>n , atunci la 0 0 inegalitatea a m >a n este adevărată.

Să observăm imediat că toate egalitățile scrise sunt identicîn condițiile specificate, atât părțile din dreapta cât și cele din stânga pot fi schimbate. De exemplu, proprietatea principală a fracției a m ·a n =a m+n cu simplificarea expresiilor folosit adesea sub forma a m+n =a m ·a n .

Acum să ne uităm la fiecare dintre ele în detaliu.

Să începem cu proprietatea produsului a două puteri cu aceleași baze, care se numește principala proprietate a gradului: pentru orice număr real a și orice număr natural m și n, egalitatea a m ·a n =a m+n este adevărată.

Să demonstrăm principala proprietate a gradului. Prin definiția unei puteri cu exponent natural, produsul puterilor cu aceleași baze de forma a m ·a n poate fi scris ca produs. Datorită proprietăților înmulțirii, expresia rezultată poate fi scrisă ca , iar acest produs este o putere a numărului a cu exponent natural m+n, adică un m+n. Aceasta completează dovada.

Să dăm un exemplu care confirmă proprietatea principală a gradului. Să luăm grade cu aceleași baze 2 și puteri naturale 2 și 3, folosind proprietatea de bază a gradelor putem scrie egalitatea 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5. Să-i verificăm validitatea calculând valorile expresiilor 2 2 · 2 3 și 2 5 . Efectuând exponentiație, avem 2 2 ·2 3 =(2·2)·(2·2·2)=4·8=32și 2 5 =2·2·2·2·2=32, deoarece se obțin valori egale, atunci egalitatea 2 2 ·2 3 =2 5 este corectă și confirmă proprietatea principală a gradului.

Proprietatea de bază a unui grad, bazată pe proprietățile înmulțirii, poate fi generalizată la produsul a trei sau mai multe puteri cu aceleași baze și exponenți naturali. Deci pentru orice număr k de numere naturale n 1, n 2, …, n k egalitatea este adevărată a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.

De exemplu, (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

Putem trece la următoarea proprietate a puterilor cu un exponent natural – proprietatea puterilor coeficiente cu aceleasi baze: pentru orice număr real diferit de zero a și numere naturale arbitrare m și n care îndeplinesc condiția m>n, egalitatea a m:a n =a m−n este adevărată.

Înainte de a prezenta dovada acestei proprietăți, să discutăm semnificația condițiilor suplimentare din formulare. Condiția a≠0 este necesară pentru a evita împărțirea la zero, deoarece 0 n =0, iar când ne-am familiarizat cu împărțirea, am convenit că nu putem împărți la zero. Se introduce condiția m>n astfel încât să nu depășim exponenții naturali. Într-adevăr, pentru m>n exponentul a m−n este un număr natural, altfel va fi fie zero (ceea ce se întâmplă pentru m−n ) fie un număr negativ (ceea ce se întâmplă pentru m

Dovada. Proprietatea principală a unei fracții ne permite să scriem egalitatea a m−n ·a n =a (m−n)+n =a m. Din egalitatea rezultată a m−n ·a n =a m și rezultă că a m−n este un coeficient al puterilor a m și a n . Aceasta dovedește proprietatea puterilor coeficiente cu baze identice.

Să dăm un exemplu. Să luăm două grade cu aceleași baze π și exponenți naturali 5 și 2, egalitatea π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 corespunde proprietății considerate a gradului.

Acum să luăm în considerare proprietatea puterii produsului: puterea naturală n a produsului a oricăror două numere reale a și b este egală cu produsul puterilor a n și b n , adică (a·b) n =a n ·b n .

Într-adevăr, prin definiția unui grad cu exponent natural avem . Pe baza proprietăților înmulțirii, ultimul produs poate fi rescris ca , care este egal cu a n · b n .

Iată un exemplu: .

Această proprietate se extinde la puterea produsului a trei sau mai mulți factori. Adică, proprietatea gradului natural n a produsului k factori se scrie ca (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n.

Pentru claritate, vom arăta această proprietate cu un exemplu. Pentru produsul a trei factori la puterea lui 7 avem .

Următoarea proprietate este proprietatea unui coeficient in natura: câtul numerelor reale a și b, b≠0 la puterea naturală n este egal cu câtul puterilor a n și b n, adică (a:b) n =a n:b n.

Dovada poate fi efectuată folosind proprietatea anterioară. Aşa (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, iar din egalitatea (a:b) n ·b n =a n rezultă că (a:b) n este câtul a n împărțit la b n .

Să scriem această proprietate folosind numere specifice ca exemplu: .

Acum, hai să-i spunem proprietatea de a ridica o putere la o putere: pentru orice număr real a și orice numere naturale m și n, puterea lui a m la puterea lui n este egală cu puterea numărului a cu exponent m·n, adică (a m) n =a m·n.

De exemplu, (5 2) 3 =5 2·3 =5 6.

Dovada proprietății putere-la-grad este următorul lanț de egalități: .

Proprietatea luată în considerare poate fi extinsă grad în grad, etc. De exemplu, pentru orice numere naturale p, q, r și s, egalitatea . Pentru o mai mare claritate, iată un exemplu cu numere specifice: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

Rămâne să ne oprim asupra proprietăților de a compara grade cu un exponent natural.

Să începem prin a demonstra proprietatea de a compara zero și putere cu un exponent natural.

Mai întâi, să demonstrăm că a n >0 pentru orice a>0.

Produsul a două numere pozitive este un număr pozitiv, după cum reiese din definiția înmulțirii. Acest fapt și proprietățile înmulțirii sugerează că rezultatul înmulțirii oricărui număr de numere pozitive va fi, de asemenea, un număr pozitiv. Iar puterea unui număr a cu exponent natural n, prin definiție, este produsul a n factori, fiecare dintre care este egal cu a. Aceste argumente ne permit să afirmăm că pentru orice bază pozitivă a, gradul a n este un număr pozitiv. Datorită proprietății dovedite 3 5 >0, (0,00201) 2 >0 și .

Este destul de evident că pentru orice număr natural n cu a=0 gradul lui n este zero. Într-adevăr, 0 n =0·0·…·0=0 . De exemplu, 0 3 =0 și 0 762 =0.

Să trecem la bazele negative ale gradului.

Să începem cu cazul în care exponentul este un număr par, să-l notăm ca 2·m, unde m este un număr natural. Apoi . Pentru fiecare dintre produsele de forma a·a este egal cu produsul modulelor numerelor a și a, ceea ce înseamnă că este un număr pozitiv. Prin urmare, produsul va fi, de asemenea, pozitiv și gradul a 2·m. Să dăm exemple: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 și .

În cele din urmă, când baza a este un număr negativ și exponentul este un număr impar 2 m−1, atunci . Toate produsele a·a sunt numere pozitive, produsul acestor numere pozitive este de asemenea pozitiv, iar înmulțirea lui cu numărul negativ rămas a are ca rezultat un număr negativ. Datorită acestei proprietăți (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

Să trecem la proprietatea de a compara puteri cu aceiași exponenți naturali, care are următoarea formulare: a două puteri cu aceiași exponenți naturali, n este mai mic decât cea a cărei bază este mai mică și mai mare este cea a cărei bază este mai mare. . Să demonstrăm.

Inegalitatea a n proprietățile inegalităților o inegalitate demonstrabilă de forma a n este de asemenea adevărată (2.2) 7 și .

Rămâne de demonstrat ultima dintre proprietățile enumerate ale puterilor cu exponenți naturali. Să o formulăm. Dintre două puteri cu exponenți naturali și baze pozitive identice mai mici decât una, cea al cărei exponent este mai mic este mai mare; iar a două puteri cu exponenți naturali și baze identice mai mari decât una, cea al cărei exponent este mai mare este mai mare. Să trecem la dovedirea acestei proprietăți.

Să demonstrăm că pentru m>n și 0 0 datorită condiției inițiale m>n, ceea ce înseamnă că la 0

Rămâne de dovedit a doua parte a proprietății. Să demonstrăm că pentru m>n și a>1 a m >a n este adevărat. Diferența a m −a n după scoaterea a n din paranteze ia forma a n ·(a m−n −1) . Acest produs este pozitiv, deoarece pentru a>1 gradul a n este un număr pozitiv, iar diferența a m−n −1 este un număr pozitiv, deoarece m−n>0 datorită condiției inițiale, iar pentru a>1 gradul un m−n este mai mare decât unu. În consecință, a m −a n >0 și a m >a n , care este ceea ce trebuia demonstrat. Această proprietate este ilustrată de inegalitatea 3 7 >3 2.

Proprietățile puterilor cu exponenți întregi

Deoarece numerele întregi pozitive sunt numere naturale, atunci toate proprietățile puterilor cu exponenți întregi pozitivi coincid exact cu proprietățile puterilor cu exponenți naturali enumerate și dovedite în paragraful anterior.

Am definit un grad cu un exponent întreg negativ, precum și un grad cu un exponent zero, în așa fel încât toate proprietățile gradelor cu exponenți naturali, exprimate prin egalități, să rămână valabile. Prin urmare, toate aceste proprietăți sunt valabile atât pentru exponenții zero, cât și pentru exponenții negativi, în timp ce, desigur, bazele puterilor sunt diferite de zero.

Deci, pentru orice numere reale și non-nule a și b, precum și pentru orice numere întregi m și n, următoarele sunt adevărate: proprietățile puterilor cu exponenți întregi:

1. a m ·a n =a m+n ;
2. a m:a n =a m−n ;
3. (a·b) n =a n ·b n ;
4. (a:b) n =a n:b n ;
5. (a m) n =a m·n ;
6. dacă n este un număr întreg pozitiv, a și b sunt numere pozitive și a b−n ;
7. dacă m și n sunt numere întregi și m>n , atunci la 0 1 inegalitatea a m >a n este valabilă.

Când a=0, puterile a m și a n au sens numai atunci când ambele m și n sunt numere întregi pozitive, adică numere naturale. Astfel, proprietățile tocmai notate sunt valabile și pentru cazurile în care a=0 și numerele m și n sunt numere întregi pozitive.

Demonstrarea fiecăreia dintre aceste proprietăți nu este dificil de a face acest lucru, este suficient să folosiți definițiile de grade cu exponenți naturali și întregi, precum și proprietățile operațiilor cu numere reale. Ca exemplu, să demonstrăm că puterea de a puterea proprietății este valabilă atât pentru numerele întregi pozitive, cât și pentru numerele întregi nepozitive. Pentru a face acest lucru, trebuie să arătați că, dacă p este zero sau un număr natural și q este zero sau un număr natural, atunci egalitățile (a p) q =a p·q, (a -p) q =a (−p) ·q, (a p ) −q =a p·(−q) și (a −p) −q =a (−p)·(−q). Să facem asta.

Pentru p și q pozitive, egalitatea (a p) q =a p·q a fost dovedită în paragraful anterior. Dacă p=0, atunci avem (a 0) q =1 q =1 și a 0·q =a 0 =1, de unde (a 0) q =a 0·q. În mod similar, dacă q=0, atunci (a p) 0 =1 și a p·0 =a 0 =1, de unde (a p) 0 =a p·0. Dacă ambele p=0 și q=0, atunci (a 0) 0 =1 0 =1 și a 0·0 =a 0 =1, de unde (a 0) 0 =a 0·0.

Acum demonstrăm că (a −p) q =a (−p)·q . Prin definiția unei puteri cu un exponent întreg negativ, atunci . Prin proprietatea coeficientilor la puteri pe care le avem . Deoarece 1 p =1·1·…·1=1 și , atunci . Ultima expresie, prin definiție, este o putere de forma a −(p·q), care, datorită regulilor de înmulțire, poate fi scrisă ca a (−p)·q.

De asemenea .

ŞI .

Folosind același principiu, puteți demonstra toate celelalte proprietăți ale unui grad cu un exponent întreg, scris sub formă de egalități.

În penultima dintre proprietățile înregistrate, merită să ne oprim asupra dovezii inegalității a -n >b -n, care este valabilă pentru orice număr întreg negativ -n și orice a și b pozitiv pentru care condiția a este îndeplinită. . Deoarece prin condiția a 0 . Produsul a n · b n este de asemenea pozitiv ca produsul numerelor pozitive a n și b n . Atunci fracția rezultată este pozitivă ca câtul numerelor pozitive b n −a n și a n ·b n . Prin urmare, de unde a −n >b −n , care este ceea ce trebuia demonstrat.

Ultima proprietate a puterilor cu exponenți întregi este demonstrată în același mod ca o proprietate similară a puterilor cu exponenți naturali.

Proprietățile puterilor cu exponenți raționali

Am definit un grad cu un exponent fracționar extinzându-i proprietățile unui grad cu un exponent întreg. Cu alte cuvinte, puterile cu exponenți fracționari au aceleași proprietăți ca și puterile cu exponenți întregi. Anume:

Dovada proprietăților gradelor cu exponenți fracționari se bazează pe definirea unui grad cu exponent fracționar și pe proprietățile unui grad cu exponent întreg. Să oferim dovezi.

Prin definiția unei puteri cu un exponent fracționar și , atunci . Proprietățile rădăcinii aritmetice ne permit să scriem următoarele egalități. În plus, folosind proprietatea unui grad cu exponent întreg, obținem , din care, prin definiția unui grad cu exponent fracționar, avem , iar indicatorul gradului obţinut poate fi transformat astfel: . Aceasta completează dovada.

A doua proprietate a puterilor cu exponenți fracționari este demonstrată într-un mod absolut similar:

Egalitățile rămase sunt dovedite folosind principii similare:

Să trecem la demonstrarea următoarei proprietăți. Să demonstrăm că pentru orice a și b pozitiv, a b p . Să scriem numărul rațional p ca m/n, unde m este un număr întreg și n este un număr natural. Condiții p<0 и p>0 în acest caz condiţiile m<0 и m>0 în consecință. Pentru m>0 și a

În mod similar, pentru m<0 имеем a m >b m , de unde, adică, și a p >b p .

Rămâne de demonstrat ultima dintre proprietățile enumerate. Să demonstrăm că pentru numerele raționale p și q, p>q la 0 0 – inegalitatea a p >a q . Putem reduce întotdeauna numerele raționale p și q la un numitor comun, chiar dacă obținem fracții obișnuite și , unde m 1 și m 2 sunt numere întregi, iar n este un număr natural. În acest caz, condiţia p>q va corespunde condiţiei m 1 >m 2, care rezultă din. Apoi, prin proprietatea de a compara puteri cu aceleași baze și exponenți naturali la 0 1 – inegalitatea a m 1 >a m 2 . Aceste inegalități în proprietățile rădăcinilor pot fi rescrise în consecință ca Şi . Iar definirea unui grad cu exponent rațional ne permite să trecem la inegalități și, în consecință. De aici tragem concluzia finală: pentru p>q și 0 0 – inegalitatea a p >a q .

Proprietățile puterilor cu exponenți iraționali

Din modul în care este definit un grad cu exponent irațional, putem concluziona că are toate proprietățile gradelor cu exponent rațional. Deci pentru orice a>0, b>0 și numere iraționale p și q următoarele sunt adevărate proprietățile puterilor cu exponenți iraționali:

1. a p ·a q =a p+q ;
2. a p:a q =a p−q ;
3. (a·b) p =a p ·b p ;
4. (a:b) p =a p:b p ;
5. (a p) q =a p·q ;
6. pentru orice numere pozitive a și b, a 0 inegalitatea a p b p ;
7. pentru numerele iraționale p și q, p>q la 0 0 – inegalitatea a p >a q .

Din aceasta putem concluziona că puterile cu orice exponenți reali p și q pentru a>0 au aceleași proprietăți.

Referințe.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Manual de matematică pentru clasa a V-a. institutii de invatamant.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebră: manual pentru clasa a VII-a. institutii de invatamant.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebră: manual pentru clasa a VIII-a. institutii de invatamant.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebră: manual pentru clasa a IX-a. institutii de invatamant.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. şi altele Algebra şi începuturile analizei: Manual pentru clasele 10 - 11 ale instituţiilor de învăţământ general.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematică (un manual pentru cei care intră în școlile tehnice).

Expresii, conversie de expresii

Expresii de putere (expresii cu puteri) și transformarea lor

În acest articol vom vorbi despre conversia expresiilor cu puteri. În primul rând, ne vom concentra asupra transformărilor care sunt efectuate cu expresii de orice fel, inclusiv expresii de putere, cum ar fi deschiderea parantezelor și aducerea de termeni similari. Și apoi vom analiza transformările inerente în mod specific expresiilor cu grade: lucrul cu baza și exponentul, utilizarea proprietăților gradelor etc.

Navigare în pagină.

Ce sunt expresiile puterii?

Termenul „expresii de putere” practic nu apare în manualele școlare de matematică, dar apare destul de des în colecții de probleme, în special în cele destinate pregătirii pentru Examenul Unificat de Stat și Examenul Unificat de Stat, de exemplu. După analizarea sarcinilor în care este necesară efectuarea oricăror acțiuni cu expresii de putere, devine clar că expresiile de putere sunt înțelese ca expresii care conțin puteri în intrările lor. Prin urmare, puteți accepta următoarea definiție pentru dvs.:

Definiţie.

Expresii de putere sunt expresii care conțin grade.

Să dăm exemple de expresii de putere. Mai mult, le vom prezenta în funcție de modul în care are loc dezvoltarea vederilor de la un grad cu exponent natural la un grad cu un exponent real.

După cum se știe, mai întâi se familiarizează cu puterea unui număr cu exponent natural în această etapă, primele expresii de putere cele mai simple de tip 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0.1); 4, 3 a 2 apar −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 etc.

Puțin mai târziu, se studiază puterea unui număr cu exponent întreg, ceea ce duce la apariția expresiilor de putere cu puteri întregi negative, precum următoarele: 3 −2, , a −2 +2 b −3 +c 2 .

În liceu se întorc la grade. Acolo se introduce un grad cu exponent rațional, care presupune apariția expresiilor de putere corespunzătoare: , , etc. În sfârșit, se consideră grade cu exponenți iraționali și expresii care îi conțin: , .

Problema nu se limitează la expresiile de putere enumerate: mai departe variabila pătrunde în exponent și, de exemplu, apar următoarele expresii: 2 x 2 +1 sau . Și după ce ne-am familiarizat cu , încep să apară expresii cu puteri și logaritmi, de exemplu, x 2·lgx −5·x lgx.

Deci, ne-am ocupat de întrebarea ce reprezintă expresiile puterii. În continuare vom învăța să-i convertim.

Tipuri de bază de transformări ale expresiilor puterii

Cu expresii de putere, puteți efectua oricare dintre transformările de bază de identitate ale expresiilor. De exemplu, puteți deschide paranteze, puteți înlocui expresiile numerice cu valorile lor, puteți adăuga termeni similari etc. Desigur, în acest caz, este necesar să urmați procedura acceptată pentru efectuarea acțiunilor. Să dăm exemple.

Exemplu.

Calculați valoarea expresiei puterii 2 3 ·(4 2 −12) .

Soluţie.

În conformitate cu ordinea de execuție a acțiunilor, mai întâi efectuați acțiunile dintre paranteze. Acolo, în primul rând, înlocuim puterea 4 2 cu valoarea sa 16 (vezi dacă este necesar), iar în al doilea rând, calculăm diferența 16−12=4. Avem 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

În expresia rezultată, înlocuim puterea 2 3 cu valoarea ei 8, după care calculăm produsul 8·4=32. Aceasta este valoarea dorită.

Aşa, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

Răspuns:

2 3 ·(4 2 −12)=32.

Exemplu.

Simplificați expresiile cu puteri 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Soluţie.

Evident, această expresie conține termeni similari 3·a 4 ·b −7 și 2·a 4 ·b −7 , și îi putem prezenta: .

Răspuns:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Exemplu.

Exprimați o expresie cu puteri ca produs.

Soluţie.

Puteți face față sarcinii reprezentând numărul 9 ca o putere a lui 3 2 și apoi folosind formula de înmulțire abreviată - diferența de pătrate:

Răspuns:

Există, de asemenea, o serie de transformări identice inerente în mod specific expresiilor de putere. Le vom analiza mai departe.

Lucrul cu baza și exponent

Există puteri a căror bază și/sau exponent nu sunt doar numere sau variabile, ci unele expresii. Ca exemplu, dăm intrările (2+0.3·7) 5−3.7 și (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .

Când lucrați cu astfel de expresii, puteți înlocui atât expresia din baza gradului, cât și expresia din exponent cu o expresie identică egală în ODZ a variabilelor sale. Cu alte cuvinte, după regulile cunoscute de noi, putem transforma separat baza gradului și separat exponentul. Este clar că în urma acestei transformări se va obține o expresie care este identic egală cu cea inițială.

Astfel de transformări ne permit să simplificăm expresiile cu puteri sau să atingem alte scopuri de care avem nevoie. De exemplu, în expresia de putere menționată mai sus (2+0.3 7) 5−3.7, puteți efectua operații cu numerele din bază și exponent, ceea ce vă va permite să treceți la puterea 4.1 1.3. Și după ce deschidem parantezele și aducem termeni similari la baza gradului (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) obținem o expresie a puterii de o formă mai simplă a 2·(x+1). ) .

Utilizarea proprietăților gradului

Unul dintre instrumentele principale pentru transformarea expresiilor cu puteri sunt egalitățile care reflectă . Să le amintim pe cele principale. Pentru orice numere pozitive a și b și numere reale arbitrare r și s, următoarele proprietăți ale puterilor sunt adevărate:

• a r ·a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a·b) r =a r ·b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a r·s .

Rețineți că pentru exponenții naturali, întregi și pozitivi, restricțiile asupra numerelor a și b pot să nu fie atât de stricte. De exemplu, pentru numerele naturale m și n egalitatea a m ·a n =a m+n este adevărată nu numai pentru a pozitiv, ci și pentru negativ a și pentru a=0.

La școală, atunci când transformăm expresiile puterii, accentul principal este pe capacitatea de a alege proprietatea potrivită și de a o aplica corect. În acest caz, bazele gradelor sunt de obicei pozitive, ceea ce permite ca proprietățile gradelor să fie utilizate fără restricții. Același lucru este valabil și pentru transformarea expresiilor care conțin variabile în bazele puterilor - intervalul de valori admisibile ale variabilelor este de obicei astfel încât bazele să ia numai valori pozitive pe el, ceea ce vă permite să utilizați liber proprietățile puterilor . În general, trebuie să vă întrebați în mod constant dacă este posibil să utilizați vreo proprietate de grade în acest caz, deoarece utilizarea incorectă a proprietăților poate duce la o îngustare a valorii educaționale și la alte probleme. Aceste puncte sunt discutate în detaliu și cu exemple în articolul transformarea expresiilor folosind proprietățile puterilor. Aici ne vom limita la a lua în considerare câteva exemple simple.

Exemplu.

Exprimați expresia a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 ca o putere cu baza a.

Soluţie.

Mai întâi, transformăm cel de-al doilea factor (a 2) −3 folosind proprietatea de a ridica o putere la o putere: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. Expresia originală a puterii va lua forma a 2,5 ·a −6:a −5,5. Evident, rămâne să folosim proprietățile înmulțirii și împărțirii puterilor cu aceeași bază, avem
a 2,5 ·a −6:a −5,5 =
a 2,5−6:a −5,5 =a −3,5:a −5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .

Răspuns:

a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 =a 2.

Proprietățile puterilor la transformarea expresiilor de putere sunt folosite atât de la stânga la dreapta, cât și de la dreapta la stânga.

Exemplu.

Găsiți valoarea expresiei puterii.

Soluţie.

Egalitatea (a·b) r =a r ·b r, aplicată de la dreapta la stânga, ne permite să trecem de la expresia originală la un produs al formei și mai departe. Și atunci când înmulțim puteri cu aceleași baze, exponenții se adună: .

A fost posibil să se transforme expresia originală într-un alt mod:

Răspuns:

.

Exemplu.

Având în vedere expresia puterii a 1,5 −a 0,5 −6, introduceți o nouă variabilă t=a 0,5.

Soluţie.

Puterea a 1,5 poate fi reprezentată ca 0,5·3 și apoi, pe baza proprietății unui grad la puterea (a r) s =a r·s, aplicată de la dreapta la stânga, se transformă în forma (a 0,5) 3 . Astfel, a 1,5 −a 0,5 −6=(a 0,5) 3 −a 0,5 −6. Acum este ușor să introduceți o nouă variabilă t=a 0,5, obținem t 3 −t−6.

Răspuns:

t 3 −t−6 .

Conversia fracțiilor care conțin puteri

Expresiile puterii pot conține sau reprezenta fracții cu puteri. Oricare dintre transformările de bază ale fracțiilor care sunt inerente fracțiilor de orice fel sunt pe deplin aplicabile acestor fracții. Adică, fracțiile care conțin puteri pot fi reduse, reduse la un nou numitor, lucrate separat cu numărătorul lor și separat cu numitorul etc. Pentru a ilustra aceste cuvinte, luați în considerare soluții pentru mai multe exemple.

Exemplu.

Simplificați exprimarea puterii .

Soluţie.

Această expresie a puterii este o fracție. Să lucrăm cu numărătorul și numitorul. La numărător deschidem parantezele și simplificăm expresia rezultată folosind proprietățile puterilor, iar la numitor prezentăm termeni similari:

Și să schimbăm și semnul numitorului punând un minus în fața fracției: .

Răspuns:

.

Reducerea fracțiilor care conțin puteri la un nou numitor se realizează în mod similar cu reducerea fracțiilor raționale la un nou numitor. În acest caz, se găsește și un factor suplimentar și se înmulțesc numărătorul și numitorul fracției cu acesta. Când efectuați această acțiune, merită să ne amintim că reducerea la un nou numitor poate duce la o îngustare a VA. Pentru a preveni acest lucru, este necesar ca factorul suplimentar să nu ajungă la zero pentru nicio valoare a variabilelor din variabilele ODZ pentru expresia originală.

Exemplu.

Reduceți fracțiile la un nou numitor: a) la numitorul a, b) la numitor.

Soluţie.

a) În acest caz, este destul de ușor să ne dăm seama care multiplicator suplimentar ajută la obținerea rezultatului dorit. Acesta este un multiplicator de 0,3, deoarece a 0,7 ·a 0,3 =a 0,7+0,3 =a. Rețineți că în intervalul de valori permise ale variabilei a (aceasta este mulțimea tuturor numerelor reale pozitive), puterea lui 0,3 nu dispare, prin urmare, avem dreptul de a înmulți numărătorul și numitorul unui anumit număr. fracție de acest factor suplimentar:

b) Aruncând o privire mai atentă la numitor, puteți găsi că

iar înmulțirea acestei expresii cu va da suma cuburilor și , adică . Și acesta este noul numitor la care trebuie să reducem fracția inițială.

Așa am găsit un factor suplimentar. În intervalul de valori admisibile ale variabilelor x și y, expresia nu dispare, prin urmare, putem înmulți numărătorul și numitorul fracției cu aceasta:

Răspuns:

O) , b) .

De asemenea, nu este nimic nou în reducerea fracțiilor care conțin puteri: numărătorul și numitorul sunt reprezentați ca un număr de factori, iar aceiași factori ai numărătorului și numitorului sunt reduse.

Exemplu.

Reduceți fracția: a) , b).

Soluţie.

a) În primul rând, numărătorul și numitorul pot fi reduse cu numerele 30 și 45, care este egal cu 15. De asemenea, este evident posibil să se efectueze o reducere cu x 0,5 +1 și cu . Iată ce avem:

b) În acest caz, factori identici la numărător și numitor nu sunt imediat vizibili. Pentru a le obține, va trebui să efectuați transformări preliminare. În acest caz, ele constau în factorizarea numitorului folosind formula diferenței de pătrate:

Răspuns:

O)

b) .

Conversia fracțiilor la un nou numitor și reducerea fracțiilor sunt folosite în principal pentru a face lucruri cu fracții. Acțiunile sunt efectuate conform regulilor cunoscute. La adunarea (scăderea) fracțiilor, acestea se reduc la un numitor comun, după care se adună (se scad) numărătorii, dar numitorul rămâne același. Rezultatul este o fracție al cărei numărător este produsul numărătorilor, iar numitorul este produsul numitorilor. Împărțirea cu o fracție este înmulțirea cu inversul acesteia.

Exemplu.

Urmați pașii .

Soluţie.

În primul rând, scădem fracțiile din paranteze. Pentru a face acest lucru, îi aducem la un numitor comun, care este , după care scădem numărătorii:

Acum înmulțim fracțiile:

Evident, se poate reduce cu o putere de x 1/2, după care avem .

De asemenea, puteți simplifica expresia puterii în numitor folosind formula diferenței de pătrate: .

Răspuns:

Exemplu.

Simplificați expresia puterii .

Soluţie.

Evident, această fracție poate fi redusă cu (x 2,7 +1) 2, aceasta dă fracția . Este clar că trebuie făcut altceva cu puterile lui X. Pentru a face acest lucru, transformăm fracția rezultată într-un produs. Acest lucru ne oferă posibilitatea de a profita de proprietatea de a împărți puterile cu aceleași baze: . Și la sfârșitul procesului trecem de la ultimul produs la fracțiune.

Răspuns:

.

Și să mai adăugăm că este posibil, și în multe cazuri de dorit, să se transfere factori cu exponenți negativi de la numărător la numitor sau de la numitor la numărător, schimbând semnul exponentului. Astfel de transformări simplifică adesea acțiunile ulterioare. De exemplu, o expresie de putere poate fi înlocuită cu .

Conversia expresiilor cu rădăcini și puteri

Adesea, în expresiile în care sunt necesare unele transformări, rădăcinile cu exponenți fracționari sunt prezente și ele alături de puteri. Pentru a transforma o astfel de expresie în forma dorită, în cele mai multe cazuri este suficient să mergem doar la rădăcini sau doar la puteri. Dar, din moment ce este mai convenabil să lucrezi cu puteri, de obicei se mută de la rădăcini la puteri. Cu toate acestea, este recomandabil să efectuați o astfel de tranziție atunci când ODZ de variabile pentru expresia originală vă permite să înlocuiți rădăcinile cu puteri fără a fi nevoie să vă referiți la modul sau să împărțiți ODZ-ul în mai multe intervale (am discutat acest lucru în detaliu în trecerea articolului de la rădăcini la puteri și înapoi După ce ne-am familiarizat cu gradul cu exponent rațional se introduce un grad cu un exponent irațional, ceea ce ne permite să vorbim despre un grad cu un exponent real arbitrar În această etapă, începe să fie a studiat la scoala. functie exponentiala, care este dată analitic de o putere, a cărei bază este un număr, iar exponentul este o variabilă. Așadar, ne confruntăm cu expresii de putere care conțin numere în baza puterii, iar în exponent - expresii cu variabile și, firește, apare nevoia de a efectua transformări ale unor astfel de expresii.

Trebuie spus că transformarea expresiilor de tipul indicat trebuie de obicei efectuată la rezolvare ecuații exponențialeŞi inegalități exponențiale, iar aceste conversii sunt destul de simple. În majoritatea covârșitoare a cazurilor, acestea se bazează pe proprietățile gradului și vizează, în cea mai mare parte, introducerea unei noi variabile în viitor. Ecuația ne va permite să le demonstrăm 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

În primul rând, puterile, în exponenții cărora este suma unei anumite variabile (sau expresii cu variabile) și a unui număr, sunt înlocuite cu produse. Acest lucru se aplică primului și ultimului termeni ai expresiei din partea stângă:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

În continuare, ambele părți ale egalității sunt împărțite la expresia 7 2 x, care ia doar valori pozitive pe ODZ ale variabilei x pentru ecuația originală (aceasta este o tehnică standard pentru rezolvarea ecuațiilor de acest tip, nu suntem vorbind despre asta acum, așa că concentrează-te pe transformările ulterioare ale expresiilor cu puteri ):

Acum putem anula fracții cu puteri, ceea ce dă .

În cele din urmă, raportul puterilor cu aceiași exponenți este înlocuit cu puteri de relații, rezultând ecuația , care este echivalent . Transformările efectuate ne permit să introducem o nouă variabilă, care reduce soluția ecuației exponențiale inițiale la soluția unei ecuații pătratice

I. V. Boykov, L. D. Romanova Culegere de sarcini pentru pregătirea pentru examenul de stat unificat. Partea 1. Penza 2003.