Derivata unei funcții este unul dintre subiectele dificile în programa școlară. Nu fiecare absolvent va răspunde la întrebarea ce este un derivat.
Acest articol explică într-un mod simplu și clar ce este un derivat și de ce este necesar.. Nu ne vom strădui acum pentru rigoare matematică în prezentare. Cel mai important lucru este să înțelegeți sensul.
Să ne amintim definiția:
Derivata este rata de schimbare a unei functii.
Figura prezintă grafice a trei funcții. Care crezi că crește mai repede?
Răspunsul este evident - al treilea. Are cea mai mare rată de schimbare, adică cea mai mare derivată.
Iată un alt exemplu.
Kostya, Grisha și Matvey au primit locuri de muncă în același timp. Să vedem cum s-au schimbat veniturile lor în cursul anului:
Graficul arată totul deodată, nu-i așa? Venitul lui Kostya s-a dublat în șase luni. Și venitul lui Grisha a crescut, dar doar puțin. Și venitul lui Matvey a scăzut la zero. Condițiile de pornire sunt aceleași, dar rata de schimbare a funcției, adică derivat, - diferit. În ceea ce privește Matvey, derivatul său de venit este în general negativ.
Intuitiv, estimăm cu ușurință rata de schimbare a unei funcții. Dar cum facem asta?
Ceea ce ne uităm cu adevărat este cât de abrupt urcă (sau jos) graficul unei funcții. Cu alte cuvinte, cât de repede se schimbă y pe măsură ce x se schimbă? Evident, aceeași funcție poate avea în puncte diferite sens diferit derivat - adică se poate schimba mai repede sau mai lent.
Derivata unei functii se noteaza .
Vă vom arăta cum să-l găsiți folosind un grafic.
A fost desenat un grafic al unei anumite funcții. Să luăm un punct cu o abscisă pe el. Să desenăm o tangentă la graficul funcției în acest punct. Vrem să estimăm cât de abrupt crește graficul funcției. O valoare convenabilă pentru aceasta este tangenta unghiului tangentei.
Derivata unei functii intr-un punct este egala cu tangentei unghiului tangentei desenat la graficul functiei in acest punct.
Vă rugăm să rețineți că ca unghi de înclinare al tangentei luăm unghiul dintre tangentă și direcția pozitivă a axei.
Uneori, elevii întreabă ce este o tangentă la graficul unei funcții. Aceasta este o linie dreaptă care are un singur punct comun cu graficul din această secțiune și așa cum se arată în figura noastră. Arată ca o tangentă la un cerc.
Să-l găsim. Ne amintim că tangentei unui unghi ascuțit în triunghi dreptunghic egal cu raportul dintre latura opusă și latura adiacentă. Din triunghi:
Am găsit derivata folosind un grafic fără să știm măcar formula funcției. Astfel de probleme se găsesc adesea în examenul de stat unificat la matematică sub numărul.
Există o altă relație importantă. Amintiți-vă că linia dreaptă este dată de ecuație
Mărimea din această ecuație se numește panta unei drepte. Este egală cu tangenta unghiului de înclinare a dreptei la axă.
.
Înțelegem asta
Să ne amintim această formulă. Ea exprimă sens geometric derivat.
Derivata unei functii intr-un punct este egala cu panta tangentei trasate la graficul functiei in acel punct.
Cu alte cuvinte, derivata este egală cu tangentei unghiului tangentei.
Am spus deja că aceeași funcție poate avea derivate diferite în puncte diferite. Să vedem cum este legată derivata de comportamentul funcției.
Să desenăm un grafic al unei funcții. Lăsați această funcție să crească în unele zone și să scadă în altele și în ritmuri diferite. Și lasă această funcție să aibă puncte maxime și minime.
La un moment dat funcția crește. O tangentă la graficul desenat într-un punct formează un unghi ascuțit cu direcția pozitivă a axei. Aceasta înseamnă că derivata din punct este pozitivă.
În momentul în care funcția noastră scade. Tangenta în acest punct formează un unghi obtuz cu direcția pozitivă a axei. Deoarece tangentei unui unghi obtuz este negativă, derivata din punct este negativă.
Iată ce se întâmplă:
Dacă o funcție este în creștere, derivata ei este pozitivă.
Dacă scade, derivata sa este negativă.
Ce se va întâmpla la punctele maxime și minime? Vedem ca in punctele (punctul maxim) si (punctul minim) tangenta este orizontala. Prin urmare, tangenta unghiului tangentei în aceste puncte egal cu zero, iar derivata este, de asemenea, zero.
Punct - punct maxim. În acest moment, creșterea funcției este înlocuită cu o scădere. În consecință, semnul derivatei se schimbă în punctul de la „plus” la „minus”.
În punctul - punctul minim - derivata este, de asemenea, zero, dar semnul său se schimbă de la „minus” la „plus”.
Concluzie: folosind derivata, putem afla tot ce ne intereseaza despre comportamentul unei functii.
Dacă derivata este pozitivă, atunci funcția crește.
Dacă derivata este negativă, atunci funcția este descrescătoare.
În punctul maxim, derivata este zero și își schimbă semnul din „plus” în „minus”.
La punctul minim, derivata este, de asemenea, zero și își schimbă semnul din „minus” în „plus”.
Să scriem aceste concluzii sub forma unui tabel:
| crește | punct maxim | scade | punct minim | crește | |
| + | 0 | - | 0 | + |
Să facem două mici precizări. Veți avea nevoie de unul dintre ele când rezolvați Probleme la examenul de stat unificat. Un altul - în primul an, cu un studiu mai serios al funcțiilor și derivatelor.
Este posibil ca derivata unei funcții la un moment dat să fie egală cu zero, dar funcția nu are nici un maxim, nici un minim în acest punct. Acesta este așa-numitul :
Într-un punct, tangenta la grafic este orizontală, iar derivata este zero. Cu toate acestea, înainte de punct funcția a crescut - și după punct continuă să crească. Semnul derivatului nu se schimbă - rămâne pozitiv așa cum a fost.
De asemenea, se întâmplă ca în punctul de maxim sau minim derivata să nu existe. Pe grafic, aceasta corespunde unei ruperi ascuțite, când este imposibil să desenați o tangentă într-un punct dat.
Cum să găsiți derivata dacă funcția este dată nu de un grafic, ci de o formulă? În acest caz se aplică
Problema B9 oferă un grafic al unei funcții sau derivate din care trebuie să determinați una dintre următoarele mărimi:
- Valoarea derivatei la un punct x 0,
- Puncte maxime sau minime (puncte extreme),
- Intervale de funcții crescătoare și descrescătoare (intervale de monotonitate).
Funcțiile și derivatele prezentate în această problemă sunt întotdeauna continue, făcând soluția mult mai ușoară. În ciuda faptului că sarcina aparține secțiunii analiză matematică, este destul de în competențele chiar și ale celor mai slabi studenți, deoarece nu sunt necesare cunoștințe teoretice profunde aici.
Pentru a găsi valoarea derivatei, punctelor extreme și intervalelor de monotonitate, există algoritmi simpli și universali - toți vor fi discutați mai jos.
Citiți cu atenție condițiile problemei B9 pentru a evita greșeli stupide: uneori dați peste texte destul de lungi, dar sunt puține condiții importante care afectează cursul soluției.
Calculul valorii derivate. Metoda în două puncte
Dacă problemei i se dă un grafic al unei funcții f(x), tangentă la acest grafic la un punct x 0 și este necesar să se găsească valoarea derivatei în acest punct, se aplică următorul algoritm:
- Găsiți două puncte „adecvate” pe graficul tangentei: coordonatele lor trebuie să fie întregi. Să notăm aceste puncte ca A (x 1 ; y 1) și B (x 2 ; y 2). Notați corect coordonatele - asta este punct cheie soluții, iar orice greșeală aici are ca rezultat un răspuns incorect.
- Cunoscând coordonatele, este ușor de calculat incrementul argumentului Δx = x 2 − x 1 și incrementul funcției Δy = y 2 − y 1 .
- În final, găsim valoarea derivatei D = Δy/Δx. Cu alte cuvinte, trebuie să împărțiți incrementul funcției cu incrementul argumentului - și acesta va fi răspunsul.
Să remarcăm încă o dată: punctele A și B trebuie căutate exact pe tangentă, și nu pe graficul funcției f(x), așa cum se întâmplă adesea. Linia tangentă va conține în mod necesar cel puțin două astfel de puncte - altfel problema nu va fi formulată corect.
Luați în considerare punctele A (−3; 2) și B (−1; 6) și găsiți incrementele:
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.
Să aflăm valoarea derivatei: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.
Sarcină. Figura prezintă un grafic al funcției y = f(x) și o tangentă la aceasta în punctul cu abscisa x 0. Aflați valoarea derivatei funcției f(x) în punctul x 0 .
Luați în considerare punctele A (0; 3) și B (3; 0), găsiți incrementele:
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.
Acum găsim valoarea derivatei: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.
Sarcină. Figura prezintă un grafic al funcției y = f(x) și o tangentă la aceasta în punctul cu abscisa x 0. Aflați valoarea derivatei funcției f(x) în punctul x 0 .
Luați în considerare punctele A (0; 2) și B (5; 2) și găsiți incrementele:
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.
Rămâne de găsit valoarea derivatei: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.
Din ultimul exemplu, putem formula o regulă: dacă tangenta este paralelă cu axa OX, derivata funcției în punctul de tangență este zero. În acest caz, nici măcar nu trebuie să numărați nimic - doar uitați-vă la grafic.
Calculul punctelor maxime și minime
Uneori, în loc de graficul unei funcții, problema B9 oferă un grafic al derivatei și necesită găsirea punctului maxim sau minim al funcției. În această situație, metoda în două puncte este inutilă, dar există un alt algoritm și mai simplu. Mai întâi, să definim terminologia:
- Punctul x 0 se numește punctul maxim al funcției f(x) dacă în vreo vecinătate a acestui punct este valabilă următoarea inegalitate: f(x 0) ≥ f(x).
- Punctul x 0 se numește punctul minim al funcției f(x) dacă într-o vecinătate a acestui punct este valabilă următoarea inegalitate: f(x 0) ≤ f(x).
Pentru a găsi punctele maxime și minime din graficul derivat, trebuie doar să urmați acești pași:
- Redesenați graficul derivat, eliminând toate informațiile inutile. După cum arată practica, datele inutile doar interferează cu decizia. Prin urmare, marchem zerourile derivatei pe axa de coordonate - și asta este tot.
- Aflați semnele derivatei pe intervalele dintre zerouri. Dacă pentru un anumit punct x 0 se știe că f'(x 0) ≠ 0, atunci sunt posibile doar două opțiuni: f'(x 0) ≥ 0 sau f'(x 0) ≤ 0. Semnul derivatei este ușor de determinat din desenul original: dacă graficul derivat se află deasupra axei OX, atunci f'(x) ≥ 0. Și invers, dacă graficul derivat se află sub axa OX, atunci f'(x) ≤ 0.
- Verificăm din nou zerourile și semnele derivatei. Acolo unde semnul se schimbă de la minus la plus este punctul minim. În schimb, dacă semnul derivatei se schimbă de la plus la minus, acesta este punctul maxim. Numărarea se face întotdeauna de la stânga la dreapta.
Această schemă funcționează numai pentru funcții continue - nu există altele în problema B9.
Sarcină. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x) definită pe intervalul [−5; 5]. Aflați punctul minim al funcției f(x) pe acest segment.
Să scăpăm de informațiile inutile și să lăsăm doar granițele [−5; 5] și zerourile derivatei x = −3 și x = 2,5. De asemenea, notăm semnele:
Evident, în punctul x = −3 semnul derivatei se schimbă din minus în plus. Acesta este punctul minim.
Sarcină. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x) definită pe intervalul [−3; 7]. Aflați punctul maxim al funcției f(x) pe acest segment.
Să redesenăm graficul, lăsând doar limitele [−3; 7] și zerourile derivatei x = −1,7 și x = 5. Să notăm semnele derivatei pe graficul rezultat. Avem:
Evident, în punctul x = 5 semnul derivatei se schimbă de la plus la minus - acesta este punctul maxim.
Sarcină. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x), definită pe intervalul [−6; 4]. Aflați numărul de puncte maxime ale funcției f(x) aparținând segmentului [−4; 3].
Din condițiile problemei rezultă că este suficient să se considere doar partea din grafic limitată de segmentul [−4; 3]. Prin urmare, construim un nou grafic pe care marchem doar limitele [−4; 3] și zerourile derivatei din interiorul acesteia. Și anume, punctele x = −3,5 și x = 2. Se obține:
Pe acest grafic există un singur punct maxim x = 2. În acest punct semnul derivatei se schimbă de la plus la minus.
O mică notă despre punctele cu coordonate care nu sunt întregi. De exemplu, în ultima problemă a fost considerat punctul x = −3,5, dar cu același succes putem lua x = −3,4. Dacă problema este compilată corect, astfel de modificări nu ar trebui să afecteze răspunsul, deoarece punctele „fără un loc fix de reședință” nu participă direct la rezolvarea problemei. Desigur, acest truc nu va funcționa cu puncte întregi.
Găsirea intervalelor de funcții crescătoare și descrescătoare
Într-o astfel de problemă, precum punctele maxime și minime, se propune utilizarea graficului derivat pentru a găsi zone în care funcția în sine crește sau scade. Mai întâi, să definim ce sunt creșterea și descreșterea:
- Se spune că o funcție f(x) este în creștere pe un segment dacă pentru oricare două puncte x 1 și x 2 din acest segment este adevărată următoarea afirmație: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . Cu alte cuvinte, cu cât valoarea argumentului este mai mare, cu atât valoarea funcției este mai mare.
- O funcție f(x) se numește descrescătoare pe un segment dacă pentru oricare două puncte x 1 și x 2 din acest segment este adevărată următoarea afirmație: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Aceste. O valoare mai mare a argumentului corespunde unei valori mai mici a funcției.
Să formulăm conditii suficiente ascendent si descendent:
- Pentru ca o funcție continuă f(x) să crească pe segment, este suficient ca derivata ei în interiorul segmentului să fie pozitivă, i.e. f’(x) ≥ 0.
- Pentru ca o funcție continuă f(x) să scadă pe segment, este suficient ca derivata ei în interiorul segmentului să fie negativă, i.e. f’(x) ≤ 0.
Să acceptăm aceste afirmații fără dovezi. Astfel, obținem o schemă pentru găsirea intervalelor de creștere și descreștere, care este în multe privințe similară cu algoritmul de calcul al punctelor extreme:
- Eliminați toate informațiile inutile. În graficul original al derivatei, ne interesează în primul rând zerourile funcției, așa că le vom lăsa doar pe acestea.
- Marcați semnele derivatei la intervalele dintre zerouri. Unde f’(x) ≥ 0, funcția crește, iar unde f’(x) ≤ 0, ea scade. Dacă problema stabilește restricții asupra variabilei x, le marchem suplimentar pe un nou grafic.
- Acum că știm comportamentul funcției și constrângerile, rămâne de calculat cantitatea necesară în problemă.
Sarcină. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x) definită pe intervalul [−3; 7,5]. Aflați intervalele de scădere ale funcției f(x). În răspunsul dvs., indicați suma numerelor întregi incluse în aceste intervale.
Ca de obicei, să redesenăm graficul și să marchem limitele [−3; 7.5], precum și zerourile derivatei x = −1.5 și x = 5.3. Apoi notăm semnele derivatei. Avem:
Deoarece derivata este negativă pe intervalul (− 1,5), acesta este intervalul funcției descrescătoare. Rămâne să însumăm toate numerele întregi care se află în acest interval:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.
Sarcină. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x), definită pe intervalul [−10; 4]. Aflați intervalele de creștere ale funcției f(x). În răspunsul dvs., indicați lungimea celui mai mare dintre ele.
Să scăpăm de informațiile inutile. Să lăsăm doar limitele [−10; 4] și zerourile derivatei, dintre care au fost patru de data aceasta: x = −8, x = −6, x = −3 și x = 2. Să marchem semnele derivatei și să obținem următoarea imagine:
Suntem interesați de intervalele funcției crescătoare, i.e. astfel încât f’(x) ≥ 0. Există două astfel de intervale pe grafic: (−8; −6) și (−3; 2). Să le calculăm lungimile:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.
Deoarece trebuie să găsim lungimea celui mai mare dintre intervale, notăm valoarea l 2 = 5 ca răspuns.
Serghei Nikiforov
Dacă derivata unei funcții este de semn constant pe un interval, iar funcția în sine este continuă pe granițele sale, atunci punctele de limită sunt adăugate atât la intervale crescătoare, cât și la intervale descrescătoare, ceea ce corespunde pe deplin definiției funcțiilor crescătoare și descrescătoare.
Farit Yamaev 26.10.2016 18:50
Buna ziua. Cum (pe ce bază) putem spune că în punctul în care derivata este egală cu zero, funcția crește. Dați motive. Altfel, e doar capriciu al cuiva. După ce teoremă? Și, de asemenea, dovada. Multumesc.
Help Desk
Valoarea derivatei într-un punct nu este direct legată de creșterea funcției pe interval. Luați în considerare, de exemplu, funcțiile - toate cresc pe interval
Vladlen Pisarev 02.11.2016 22:21
Dacă o funcție crește pe intervalul (a;b) și este definită și continuă în punctele a și b, atunci este în creștere pe intervalul . Aceste. punctul x=2 este inclus în acest interval.
Deși, de regulă, creșterea și scăderea sunt considerate nu pe un segment, ci pe un interval.
Dar în punctul x=2 însuși, funcția are un minim local. Și cum să explicăm copiilor că atunci când caută puncte de creștere (scădere), nu numărăm punctele de extremum local, ci intrăm în intervale de creștere (scădere).
Avand in vedere ca primul parte a examenului de stat unificat Pentru " grupa mijlocie grădiniţă„, atunci poate că astfel de nuanțe sunt prea multe.
Separat, multe mulțumiri întregului personal pentru „Rezolvarea examenului de stat unificat” - un ghid excelent.
Serghei Nikiforov
O explicație simplă poate fi obținută dacă pornim de la definirea unei funcții crescătoare/descrescătoare. Permiteți-mi să vă reamintesc că sună așa: o funcție se numește crescător/descrescător pe un interval dacă mai mult argument unei funcții îi corespunde o valoare mai mare/mai mică a funcției. Această definiție nu folosește în niciun fel conceptul de derivată, așa că nu pot apărea întrebări despre punctele în care derivata dispare.
Irina Ismakova 20.11.2017 11:46
Bună ziua. Aici, în comentarii, văd convingeri că trebuie incluse granițele. Să zicem că sunt de acord cu asta. Dar vă rugăm să priviți soluția dvs. la problema 7089. Acolo, atunci când specificați intervale crescătoare, limitele nu sunt incluse. Și asta afectează răspunsul. Aceste. soluțiile la sarcinile 6429 și 7089 se contrazic. Vă rugăm să clarificați această situație.
Alexandru Ivanov
Sarcinile 6429 și 7089 au întrebări complet diferite.
Unul este despre intervale crescătoare, iar celălalt este despre intervale cu derivată pozitivă.
Nu există nicio contradicție.
Extremele sunt incluse în intervalele de creștere și scădere, dar punctele în care derivata este egală cu zero nu sunt incluse în intervalele în care derivata este pozitivă.
A Z 28.01.2019 19:09
Colegii, există un concept de creștere la un moment dat
(vezi Fichtenholtz de exemplu)
iar înțelegerea dvs. a creșterii la x=2 este contrară definiției clasice.
Creșterea și scăderea este un proces și aș dori să ader la acest principiu.
În orice interval care conține punctul x=2, funcția nu crește. Prin urmare includerea punct dat x=2 este un proces special.
De obicei, pentru a evita confuzia, includerea capetelor de intervale este discutată separat.
Alexandru Ivanov
Se spune că o funcție y=f(x) crește într-un anumit interval dacă o valoare mai mare a argumentului din acest interval îi corespunde unei valori mai mari a funcției.
În punctul x = 2 funcția este diferențiabilă, iar pe intervalul (2; 6) derivata este pozitivă, ceea ce înseamnă că pe interval valorile sale sunt strict pozitive, ceea ce înseamnă că funcția din această secțiune crește doar, deci valoarea funcției de la capătul din stânga x = −3 este mai mică decât valoarea sa de la capătul din dreapta x = −2.
Răspuns: φ 2 (−3) φ 2 (−2)
2) Folosind graficul antiderivatei Φ 2 (x ) (în cazul nostru acesta este un grafic albastru), determinați care dintre cele 2 valori ale funcției este mai mare φ 2 (−1) sau φ 2 (4)?
Din graficul antiderivatei este clar că punctul x = −1 este în regiunea crescătoare, prin urmare valoarea derivatei corespunzătoare este pozitivă. Punct x = 4 este în regiunea descrescătoare și valoarea derivatei corespunzătoare este negativă. Deoarece valoarea pozitivă este mai mare decât cea negativă, concluzionăm că valoarea funcției necunoscute, care este tocmai derivata, la punctul 4 este mai mică decât la punctul −1.
Răspuns: φ 2 (−1) > φ 2 (4)
Există multe întrebări similare care pot fi puse despre un grafic lipsă, ceea ce duce la o mare varietate de probleme cu răspuns scurt construite conform aceleiași scheme. Încercați să rezolvați unele dintre ele.
Probleme de determinare a caracteristicilor derivatei din graficul unei funcții.
Figura 1.
Figura 2.
Problema 1
y = f (x ), definită pe intervalul (−10,5;19). Determinați numărul de puncte întregi la care derivata funcției este pozitivă.
Derivata unei funcții este pozitivă în acele zone în care funcția crește. Figura arată că acestea sunt intervalele (−10,5;−7,6), (−1;8,2) și (15,7;19). Să enumerăm toate punctele din aceste intervale: „−10”,”−9”, „−8”,”0”, „1”,”2”, „3”,”4”, „5”,” 6”, „7”, „8”, „16”, „17”, „18”. Sunt 15 puncte în total.
Răspuns: 15
Note.
1. Când în probleme despre grafice de funcții cer să numească „puncte”, de regulă, ele înseamnă doar valorile argumentului x
, care sunt abscisele punctelor corespunzătoare situate pe grafic. Ordonatele acestor puncte sunt valorile funcției, sunt dependente și pot fi calculate cu ușurință dacă este necesar.
2. La enumerarea punctelor, nu am ținut cont de marginile intervalelor, deoarece funcția în aceste puncte nu crește sau descrește, ci „se desfășoară”. Derivata în astfel de puncte nu este nici pozitivă, nici negativă, este egală cu zero, motiv pentru care se numesc puncte staționare. În plus, aici nu luăm în considerare limitele domeniului de definiție, deoarece condiția spune că acesta este un interval.
Problema 2
Figura 1 prezintă graficul funcției y = f (x ), definită pe intervalul (−10,5;19). Determinați numărul de puncte întregi la care derivata funcției f" (x ) este negativă.
Derivata unei funcții este negativă în acele zone în care funcția scade. Figura arată că acestea sunt intervalele (−7,6;−1) și (8,2;15,7). Puncte întregi în interiorul acestor intervale: "−7","−6", "−5","−4", "−3","−2", "9","10", "11","12 ", "13", "14", "15". Sunt 13 puncte în total.
Răspuns: 13
Vedeți notele la problema anterioară.
Pentru a rezolva următoarele probleme, trebuie să vă amintiți încă o definiție.
Punctele maxime și minime ale unei funcții sunt unite printr-un nume comun - puncte extremum .
În aceste puncte, derivata funcției este fie zero, fie nu există ( condiție necesară pentru extremum).
Totuși, o condiție necesară este un semn, dar nu o garanție, a existenței unui extremum al unei funcții. O condiție suficientă pentru un extremum este schimbarea semnului derivatei: dacă derivata într-un punct își schimbă semnul din „+” în „−”, atunci acesta este punctul maxim al funcției; dacă derivata într-un punct își schimbă semnul din „−” în „+”, atunci acesta este punctul minim al funcției; dacă într-un punct derivata unei funcții este egală cu zero sau nu există, dar semnul derivatei nu se schimbă în sens opus la trecerea prin acest punct, atunci punctul indicat nu este un punct extremum al funcției. Acesta poate fi un punct de inflexiune, un punct de întrerupere sau un punct de întrerupere în graficul unei funcții.
Problema 3
Figura 1 prezintă graficul funcției y = f (x ), definită pe intervalul (−10,5;19). Aflați numărul de puncte în care tangenta la graficul funcției este paralelă cu dreapta y = 6 sau coincide cu acesta.
Amintiți-vă că ecuația unei drepte are forma y = kx + b , Unde k- coeficientul de inclinare al acestei drepte fata de axa Bou. În cazul nostru k= 0, adică Drept y = 6 nu înclinat, dar paralel cu axa Bou. Aceasta înseamnă că tangentele necesare trebuie să fie și paralele cu axa Bouși trebuie să aibă și un coeficient de pantă de 0. Tangentele au această proprietate la punctele extreme ale funcțiilor. Prin urmare, pentru a răspunde la întrebare, trebuie doar să numărați toate punctele extreme din grafic. Sunt 4 dintre ele - două puncte maxime și două puncte minime.
Răspuns: 4
Problema 4
Funcții y = f (x ), definită pe intervalul (−11;23). Aflați suma punctelor extreme ale funcției de pe segment.
Pe segmentul indicat vedem 2 puncte extreme. Maximul funcției este atins la punct x
1 = 4, minim la punct x
2 = 8.
x
1 + x
2 = 4 + 8 = 12.
Răspuns: 12
Problema 5
Figura 1 prezintă graficul funcției y = f (x ), definită pe intervalul (−10,5;19). Aflați numărul de puncte la care derivata funcției f" (x ) este egal cu 0.
Derivata funcției este egală cu zero la punctele extreme, dintre care sunt 4 vizibile pe grafic:
2 puncte maxim și 2 puncte minim.
Răspuns: 4
Probleme de determinare a caracteristicilor unei funcții din graficul derivatei sale.
Figura 1.
Figura 2.
Problema 6
Figura 2 prezintă graficul f" (x ) - derivată a funcției f (x ), definită pe intervalul (−11;23). În ce punct al intervalului [−6;2] se află funcția f (x ) ia cea mai mare valoare.
Pe segmentul indicat, derivata nu a fost pozitivă nicăieri, prin urmare funcția nu a crescut. A scăzut sau a trecut prin puncte staționare. Astfel, funcția a atins cea mai mare valoare pe marginea din stânga a segmentului: x = −6.
Răspuns: −6
Comentariu: Graficul derivatei arată că pe segmentul [−6;2] este egal cu zero de trei ori: în puncte x = −6, x = −2, x = 2. Dar la punct x = −2 nu și-a schimbat semnul, ceea ce înseamnă că nu poate exista un extremum al funcției în acest moment. Cel mai probabil a existat un punct de inflexiune în graficul funcției originale.
Problema 7
Figura 2 prezintă graficul f" (x ) - derivată a funcției f (x ), definită pe intervalul (−11;23). În ce punct al segmentului funcția capătă cea mai mică valoare?
Pe segment, derivata este strict pozitivă, prin urmare funcția a crescut doar în acest segment. Astfel, funcția a atins cea mai mică valoare pe limita stângă a segmentului: x = 3.
Răspuns: 3
Problema 8
Figura 2 prezintă graficul f" (x ) - derivată a funcției f (x ), definită pe intervalul (−11;23). Aflați numărul maxim de puncte ale funcției f (x ) aparținând intervalului [−5;10].
În funcție de condiția extremum necesară, maximul funcției Pot fiîn punctele în care derivata sa este zero. Pe un anumit segment, acestea sunt punctele: x = −2, x = 2, x = 6, x = 10. Dar conform condiţiei suficiente, el cu siguranta va numai în acelea dintre ele în care semnul derivatei se schimbă de la „+” la „−”. Pe graficul derivat îl vedem pe cel al punctelor enumerate, doar punctul x = 6.
Răspuns: 1
Problema 9
Figura 2 prezintă graficul f" (x ) - derivată a funcției f (x ), definită pe intervalul (−11;23). Aflați numărul de puncte extreme ale funcției f (x ) aparţinând segmentului .
Extremele unei funcții pot fi în acele puncte în care derivata ei este egală cu 0. Pe un segment dat al graficului derivatei vedem 5 astfel de puncte: x = 2, x = 6, x = 10, x = 14, x = 18. Dar la punct x = 14 derivata nu și-a schimbat semnul, prin urmare ar trebui exclusă din considerare. Aceasta lasă 4 puncte.
Răspuns: 4
Problema 10
Figura 1 prezintă graficul f" (x ) - derivată a funcției f (x ), definită pe intervalul (−10,5;19). Aflați intervalele funcției crescătoare f (x ). În răspunsul dvs., indicați lungimea celui mai mare dintre ele.
Intervalele funcției crescătoare coincid cu intervalele de pozitivitate ale derivatei. Pe grafic vedem trei dintre ele - (−9;−7), (4;12), (18;19). Cel mai lung este al doilea. Lungimea sa l = 12 − 4 = 8.
Răspuns: 8
Problema 11
Figura 2 prezintă graficul f" (x ) - derivată a funcției f (x ), definită pe intervalul (−11;23). Aflați numărul de puncte în care tangenta la graficul funcției f (x ) paralel cu dreapta y = −2x − 11 sau coincide cu acesta.
Coeficientul unghiular (cunoscut și ca tangenta unghiului de înclinare) al unei drepte date este k = −2. Suntem interesați de tangente paralele sau coincidente, adică. drepte cu aceeași pantă. Pe baza semnificației geometrice a derivatei - coeficientul unghiular al tangentei în punctul în cauză de pe graficul funcției, recalculăm punctele la care derivata este egală cu −2. În figura 2 există 9 astfel de puncte. Este convenabil să le numărați la intersecțiile graficului și a liniei de coordonate care trece prin valoarea -2 pe axă. Oi.
Răspuns: 9
După cum puteți vedea, folosind același grafic puteți adresa o mare varietate de întrebări despre comportamentul funcției și derivata ei. De asemenea, aceeași întrebare poate fi aplicată graficelor cu diferite funcții. Aveți grijă când rezolvați această problemă la examen și vi se va părea foarte ușor. Alte tipuri de probleme din această sarcină - cu privire la semnificația geometrică a antiderivatei - vor fi luate în considerare într-o altă secțiune.