Ceea ce se numește baza piramidei. Formule și proprietăți ale unei piramide patruunghiulare obișnuite. Piramida trunchiată. Patru parametri liniari de bază

Acest tutorial video va ajuta utilizatorii să-și facă o idee despre tema piramidei. Piramida corectă. În această lecție ne vom familiariza cu conceptul de piramidă și îi vom da o definiție. Să luăm în considerare ce este o piramidă obișnuită și ce proprietăți are. Apoi demonstrăm teorema despre suprafața laterală a unei piramide regulate.

În această lecție ne vom familiariza cu conceptul de piramidă și îi vom da o definiție.

Luați în considerare un poligon A 1 A 2...A n, care se află în planul α și punctul P, care nu se află în planul α (Fig. 1). Să conectăm punctele P cu vârfuri A 1, A 2, A 3, … A n. Primim n triunghiuri: A 1 A 2 R, A 2 A 3 Rși așa mai departe.

Definiţie. Poliedru RA 1 A 2 ...A n, alcătuită din n-pătrat A 1 A 2...A nŞi n triunghiuri RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 este numit n-piramida cărbunelui. Orez. 1.

Orez. 1

Luați în considerare o piramidă patruunghiulară PABCD(Fig. 2).

R- vârful piramidei.

ABCD- baza piramidei.

RA- coasta laterala.

AB- coasta de baza.

Din punct de vedere R să scăpăm perpendiculara RN la planul de bază ABCD. Perpendiculara desenată este înălțimea piramidei.

Orez. 2

Suprafata intreaga Piramida constă dintr-o suprafață laterală, adică aria tuturor fețelor laterale și aria bazei:

S plin = S lateral + S principal

O piramidă se numește corectă dacă:

• baza sa este un poligon regulat;
• segmentul care leagă vârful piramidei de centrul bazei este înălțimea acesteia.

Explicație folosind exemplul unei piramide patruunghiulare obișnuite

Luați în considerare o piramidă patruunghiulară obișnuită PABCD(Fig. 3).

R- vârful piramidei. Baza piramidei ABCD- un patrulater regulat, adică un pătrat. Punct DESPRE, punctul de intersecție al diagonalelor, este centrul pătratului. Mijloace, RO este înălțimea piramidei.

Orez. 3

Explicaţie: în corect nÎntr-un triunghi, centrul cercului înscris și centrul cercului circumscris coincid. Acest centru se numește centrul poligonului. Uneori se spune că vârful este proiectat în centru.

Se numește înălțimea feței laterale a unei piramide regulate trasă din vârful acesteia apotema si este desemnat h a.

1. toate marginile laterale ale unei piramide regulate sunt egale;

2. feţele laterale sunt egale triunghiuri isoscele.

Vom da o dovadă a acestor proprietăți folosind exemplul unei piramide patruunghiulare obișnuite.

Dat: PABCD- piramida patruunghiulara regulata,

ABCD- pătrat,

RO- inaltimea piramidei.

Dovedi:

1. RA = PB = RS = PD

2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP Vezi Fig. 4.

Orez. 4

Dovada.

RO- inaltimea piramidei. Adică drept RO perpendicular pe plan ABC, și deci direct SA, VO, SOŞi DO culcat în ea. Deci triunghiuri ROA, ROV, ROS, ROD- dreptunghiular.

Luați în considerare un pătrat ABCD. Din proprietățile unui pătrat rezultă că AO = VO = CO = DO.

Apoi triunghiurile dreptunghiulare ROA, ROV, ROS, ROD picior RO- general si picioare SA, VO, SOŞi DO sunt egale, ceea ce înseamnă că aceste triunghiuri sunt egale pe două laturi. Din egalitatea triunghiurilor rezultă egalitatea segmentelor, RA = PB = RS = PD. Punctul 1 a fost dovedit.

Segmente ABŞi Soare sunt egale pentru că sunt laturile aceluiași pătrat, RA = PB = RS. Deci triunghiuri AVRŞi VSR - isoscel și egal pe trei laturi.

Într-un mod similar găsim că triunghiurile ABP, VCP, CDP, DAP sunt isoscele și egale, așa cum trebuie dovedit la paragraful 2.

Aria suprafeței laterale a unei piramide regulate este egală cu jumătate din produsul dintre perimetrul bazei și apotema:

Pentru a demonstra acest lucru, să alegem o piramidă triunghiulară obișnuită.

Dat: RAVS- piramida triunghiulara regulata.

AB = BC = AC.

RO- înălțime.

Dovedi: . Vezi fig. 5.

Orez. 5

Dovada.

RAVS- piramida triunghiulara regulata. Adică AB= AC = BC. Lasă DESPRE- centrul triunghiului ABC, Atunci RO este înălțimea piramidei. La baza piramidei se află un triunghi echilateral ABC. Rețineți că .

Triunghiuri RAV, RVS, RSA- triunghiuri isoscele egale (după proprietate). O piramidă triunghiulară are trei fețe laterale: RAV, RVS, RSA. Aceasta înseamnă că aria suprafeței laterale a piramidei este:

Partea S = 3S RAW

Teorema a fost demonstrată.

Raza unui cerc înscris la baza unei piramide patrulatere obișnuite este de 3 m, înălțimea piramidei este de 4 m Aflați aria suprafeței laterale a piramidei.

Dat: piramidă patruunghiulară regulată ABCD,

ABCD- pătrat,

r= 3 m,

RO- inaltimea piramidei,

RO= 4 m.

Găsi: partea S. Vezi fig. 6.

Orez. 6

Soluţie.

Conform teoremei dovedite, .

Să găsim mai întâi partea laterală a bazei AB. Știm că raza unui cerc înscris la baza unei piramide patruunghiulare regulate este de 3 m.

Apoi, m.

Aflați perimetrul pătratului ABCD cu latura de 6 m:

Luați în considerare un triunghi BCD. Lasă M- mijlocul lateral DC. Deoarece DESPRE- mijloc BD, Asta (m).

Triunghi DPC- isoscel. M- mijloc DC. adica RM- mediana, și deci înălțimea în triunghi DPC. Apoi RM- apotema piramidei.

RO- inaltimea piramidei. Apoi, drept RO perpendicular pe plan ABC, și deci direct OM, culcat în ea. Să găsim apotema RM dintr-un triunghi dreptunghic ROM.

Acum putem găsi suprafața laterală a piramidei:

Răspuns: 60 m2.

Raza cercului circumscris în jurul bazei unei piramide triunghiulare regulate este egală cu m Aria suprafeței laterale este de 18 m2. Aflați lungimea apotemului.

Dat: ABCP- piramida triunghiulara regulata,

AB = BC = SA,

R= m,

Latura S = 18 m2.

Găsi: . Vezi fig. 7.

Orez. 7

Soluţie.

Într-un triunghi dreptunghic ABC Este dată raza cercului circumscris. Să găsim o parte AB acest triunghi folosind teorema sinusurilor.

Cunoscând latura unui triunghi regulat (m), găsim perimetrul acestuia.

Prin teorema de pe suprafața laterală a unei piramide regulate, unde h a- apotema piramidei. Apoi:

Răspuns: 4 m.

Deci, ne-am uitat la ce este o piramidă, ce este o piramidă obișnuită și am demonstrat teorema despre suprafața laterală a unei piramide obișnuite. În lecția următoare ne vom familiariza cu piramida trunchiată.

Referințe

1. Geometrie. Clasele 10-11: manual pentru studenții instituțiilor de învățământ general (de bază și niveluri de profil) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - Ed. a 5-a, rev. si suplimentare - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill.
2. Geometrie. Clasa 10-11: Manual pentru învățământul general instituţiile de învăţământ/ Sharygin I.F. - M.: Gutarda, 1999. - 208 p.: ill.
3. Geometrie. Nota a 10-a: Manual pentru instituţiile de învăţământ general cu studiu aprofundat şi de specialitate la matematică /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - Ed. a VI-a, stereotip. - M.: Butard, 008. - 233 p.: ill.

1. Portalul de internet „Yaklass” ()
2. Portalul de internet „Festival idei pedagogice„Primul septembrie” ()
3. Portalul de internet „Slideshare.net” ()

Teme pentru acasă

1. Poate un poligon regulat să fie baza unei piramide neregulate?
2. Demonstrați că muchiile disjunse ale unei piramide regulate sunt perpendiculare.
3. Aflați valoarea unghiului diedrului de pe latura bazei unei piramide patruunghiulare regulate dacă apotema piramidei este egală cu latura bazei acesteia.
4. RAVS- piramida triunghiulara regulata. Construiți unghiul liniar al unghiului diedric de la baza piramidei.

Acest tutorial video va ajuta utilizatorii să-și facă o idee despre tema piramidei. Piramida corectă. În această lecție ne vom familiariza cu conceptul de piramidă și îi vom da o definiție. Să luăm în considerare ce este o piramidă obișnuită și ce proprietăți are. Apoi demonstrăm teorema despre suprafața laterală a unei piramide regulate.

În această lecție ne vom familiariza cu conceptul de piramidă și îi vom da o definiție.

Luați în considerare un poligon A 1 A 2...A n, care se află în planul α și punctul P, care nu se află în planul α (Fig. 1). Să conectăm punctele P cu vârfuri A 1, A 2, A 3, … A n. Primim n triunghiuri: A 1 A 2 R, A 2 A 3 Rși așa mai departe.

Definiţie. Poliedru RA 1 A 2 ...A n, alcătuită din n-pătrat A 1 A 2...A nŞi n triunghiuri RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 este numit n-piramida cărbunelui. Orez. 1.

Orez. 1

Luați în considerare o piramidă patruunghiulară PABCD(Fig. 2).

R- vârful piramidei.

ABCD- baza piramidei.

RA- coasta laterala.

AB- coasta de baza.

Din punct de vedere R să scăpăm perpendiculara RN la planul de bază ABCD. Perpendiculara desenată este înălțimea piramidei.

Orez. 2

Suprafața completă a piramidei este formată din suprafața laterală, adică aria tuturor fețelor laterale și aria bazei:

S plin = S lateral + S principal

O piramidă se numește corectă dacă:

• baza sa este un poligon regulat;
• segmentul care leagă vârful piramidei de centrul bazei este înălțimea acesteia.

Explicație folosind exemplul unei piramide patruunghiulare obișnuite

Luați în considerare o piramidă patruunghiulară obișnuită PABCD(Fig. 3).

R- vârful piramidei. Baza piramidei ABCD- un patrulater regulat, adică un pătrat. Punct DESPRE, punctul de intersecție al diagonalelor, este centrul pătratului. Mijloace, RO este înălțimea piramidei.

Orez. 3

Explicaţie: în corect nÎntr-un triunghi, centrul cercului înscris și centrul cercului circumscris coincid. Acest centru se numește centrul poligonului. Uneori se spune că vârful este proiectat în centru.

Se numește înălțimea feței laterale a unei piramide regulate trasă din vârful acesteia apotema si este desemnat h a.

1. toate marginile laterale ale unei piramide regulate sunt egale;

2. Fețele laterale sunt triunghiuri isoscele egale.

Vom da o dovadă a acestor proprietăți folosind exemplul unei piramide patruunghiulare obișnuite.

Dat: PABCD- piramida patruunghiulara regulata,

ABCD- pătrat,

RO- inaltimea piramidei.

Dovedi:

1. RA = PB = RS = PD

2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP Vezi Fig. 4.

Orez. 4

Dovada.

RO- inaltimea piramidei. Adică drept RO perpendicular pe plan ABC, și deci direct SA, VO, SOŞi DO culcat în ea. Deci triunghiuri ROA, ROV, ROS, ROD- dreptunghiular.

Luați în considerare un pătrat ABCD. Din proprietățile unui pătrat rezultă că AO = VO = CO = DO.

Apoi triunghiurile dreptunghiulare ROA, ROV, ROS, ROD picior RO- general si picioare SA, VO, SOŞi DO sunt egale, ceea ce înseamnă că aceste triunghiuri sunt egale pe două laturi. Din egalitatea triunghiurilor rezultă egalitatea segmentelor, RA = PB = RS = PD. Punctul 1 a fost dovedit.

Segmente ABŞi Soare sunt egale pentru că sunt laturile aceluiași pătrat, RA = PB = RS. Deci triunghiuri AVRŞi VSR - isoscel și egal pe trei laturi.

Într-un mod similar găsim că triunghiurile ABP, VCP, CDP, DAP sunt isoscele și egale, așa cum trebuie dovedit la paragraful 2.

Aria suprafeței laterale a unei piramide regulate este egală cu jumătate din produsul dintre perimetrul bazei și apotema:

Pentru a demonstra acest lucru, să alegem o piramidă triunghiulară obișnuită.

Dat: RAVS- piramida triunghiulara regulata.

AB = BC = AC.

RO- înălțime.

Dovedi: . Vezi fig. 5.

Orez. 5

Dovada.

RAVS- piramida triunghiulara regulata. Adică AB= AC = BC. Lasă DESPRE- centrul triunghiului ABC, Atunci RO este înălțimea piramidei. La baza piramidei se află un triunghi echilateral ABC. Rețineți că .

Triunghiuri RAV, RVS, RSA- triunghiuri isoscele egale (după proprietate). O piramidă triunghiulară are trei fețe laterale: RAV, RVS, RSA. Aceasta înseamnă că aria suprafeței laterale a piramidei este:

Partea S = 3S RAW

Teorema a fost demonstrată.

Raza unui cerc înscris la baza unei piramide patrulatere obișnuite este de 3 m, înălțimea piramidei este de 4 m Aflați aria suprafeței laterale a piramidei.

Dat: piramidă patruunghiulară regulată ABCD,

ABCD- pătrat,

r= 3 m,

RO- inaltimea piramidei,

RO= 4 m.

Găsi: partea S. Vezi fig. 6.

Orez. 6

Soluţie.

Conform teoremei dovedite, .

Să găsim mai întâi partea laterală a bazei AB. Știm că raza unui cerc înscris la baza unei piramide patruunghiulare regulate este de 3 m.

Apoi, m.

Aflați perimetrul pătratului ABCD cu latura de 6 m:

Luați în considerare un triunghi BCD. Lasă M- mijlocul lateral DC. Deoarece DESPRE- mijloc BD, Asta (m).

Triunghi DPC- isoscel. M- mijloc DC. adica RM- mediana, și deci înălțimea în triunghi DPC. Apoi RM- apotema piramidei.

RO- inaltimea piramidei. Apoi, drept RO perpendicular pe plan ABC, și deci direct OM, culcat în ea. Să găsim apotema RM dintr-un triunghi dreptunghic ROM.

Acum putem găsi suprafața laterală a piramidei:

Răspuns: 60 m2.

Raza cercului circumscris în jurul bazei unei piramide triunghiulare regulate este egală cu m Aria suprafeței laterale este de 18 m2. Aflați lungimea apotemului.

Dat: ABCP- piramida triunghiulara regulata,

AB = BC = SA,

R= m,

Latura S = 18 m2.

Găsi: . Vezi fig. 7.

Orez. 7

Soluţie.

Într-un triunghi dreptunghic ABC Este dată raza cercului circumscris. Să găsim o parte AB acest triunghi folosind teorema sinusurilor.

Cunoscând latura unui triunghi regulat (m), găsim perimetrul acestuia.

Prin teorema de pe suprafața laterală a unei piramide regulate, unde h a- apotema piramidei. Apoi:

Răspuns: 4 m.

Deci, ne-am uitat la ce este o piramidă, ce este o piramidă obișnuită și am demonstrat teorema despre suprafața laterală a unei piramide obișnuite. În lecția următoare ne vom familiariza cu piramida trunchiată.

Referințe

1. Geometrie. Clasele 10-11: manual pentru elevii instituţiilor de învăţământ general (nivel de bază şi de specialitate) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - Ed. a 5-a, rev. si suplimentare - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill.
2. Geometrie. Clasele 10-11: Manual pentru instituțiile de învățământ general / Sharygin I. F. - M.: Gutarda, 1999. - 208 p.: ill.
3. Geometrie. Nota a 10-a: Manual pentru instituţiile de învăţământ general cu studiu aprofundat şi de specialitate la matematică /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - Ed. a VI-a, stereotip. - M.: Butard, 008. - 233 p.: ill.

1. Portalul de internet „Yaklass” ()
2. Portalul de internet „Festivalul ideilor pedagogice „Primul septembrie” ()
3. Portalul de internet „Slideshare.net” ()

Teme pentru acasă

1. Poate un poligon regulat să fie baza unei piramide neregulate?
2. Demonstrați că muchiile disjunse ale unei piramide regulate sunt perpendiculare.
3. Aflați valoarea unghiului diedrului de pe latura bazei unei piramide patruunghiulare regulate dacă apotema piramidei este egală cu latura bazei acesteia.
4. RAVS- piramida triunghiulara regulata. Construiți unghiul liniar al unghiului diedric de la baza piramidei.

Textul lucrării este postat fără imagini și formule.
Versiune completă munca este disponibilă în fila „Fișiere de lucru” în format PDF

Introducere

Când întâlnim cuvântul „piramidă”, memoria noastră asociativă ne duce în Egipt. Dacă vorbim despre monumente de arhitectură timpurie, putem spune că numărul lor este de cel puțin câteva sute. Un scriitor arab din secolul al XIII-lea spunea: „Totul în lume se teme de timp, iar timpul se teme de piramide”. Piramidele sunt singurul miracol dintre cele șapte minuni ale lumii care a supraviețuit până în vremea noastră, până în epocă. tehnologie informatică. Cu toate acestea, cercetătorii încă nu au reușit să găsească cheile tuturor misterelor lor. Cu cât învățăm mai multe despre piramide, cu atât avem mai multe întrebări. Piramidele sunt de interes pentru istorici, fizicieni, biologi, medici, filozofi etc. Ele trezesc un mare interes și încurajează un studiu mai profund al proprietăților lor, atât din punct de vedere matematic, cât și din alt punct de vedere (istoric, geografic etc.).

De aceea scop Cercetarea noastră a fost de a studia proprietățile piramidei din diferite puncte de vedere. Am identificat ca obiective intermediare: luarea în considerare a proprietăților piramidei din punct de vedere al matematicii, studiul ipotezelor despre existența secretelor și misterelor piramidei, precum și posibilitățile de aplicare a acesteia.

Obiect Studiul din această lucrare este o piramidă.

Articol cercetare: caracteristici și proprietăți ale piramidei.

Sarcini cercetare:

Studiați literatura științifică populară pe tema cercetării.

Considerați piramida ca pe un corp geometric.

Determinați proprietățile și caracteristicile piramidei.

Găsiți material care confirmă aplicarea proprietăților piramidei în diferite domenii ale științei și tehnologiei.

Metode cercetare: analiză, sinteză, analogie, modelare mentală.

Rezultatul așteptat al lucrării ar trebui să existe informații structurate despre piramidă, proprietățile ei și posibilitățile de aplicare.

Etapele pregătirii proiectului:

Determinarea temei, a scopurilor și a obiectivelor proiectului.

Studierea și colectarea materialelor.

Întocmirea unui plan de proiect.

Formularea rezultatului așteptat al activității pe proiect, inclusiv asimilarea de material nou, formarea de cunoștințe, deprinderi și abilități în activitatea subiectului.

Prezentarea rezultatelor cercetării.

Reflecţie

Piramida ca corp geometric

Să luăm în considerare originile cuvântului și termenului „ piramidă" Este imediat de remarcat faptul că „piramida” sau „ piramidă"(engleză), " piramidă"(franceză, spaniolă și limbi slave), "piramida"(germană) este un termen occidental cu originile sale în Grecia antică. În greaca veche πύραμίς („p iramis„și multe altele. h. Πύραμίδες « piramide„) are mai multe sensuri. Grecii antici numeau piramidă» prăjitură de grâu care semăna cu forma clădirilor egiptene. Mai târziu, cuvântul a ajuns să însemne „o structură monumentală cu o zonă pătrată la bază și laturile înclinate care se întâlnesc în vârf. Dicționar etimologic indică faptul că grecescul „piramis” provine din egipteanul „ pimar." Prima interpretare scrisă a cuvântului "piramidă" găsit în Europa în 1555 și înseamnă: „unul dintre tipurile de structuri antice ale regilor”. După descoperirea piramidelor din Mexic și odată cu dezvoltarea științei în secolul al XVIII-lea, piramida a devenit nu doar un monument arhitectural antic, ci și o figură geometrică obișnuită cu patru laturi simetrice (1716). Începutul geometriei piramidei a fost pus în Egiptul Antic și Babilonul, dar a fost dezvoltat activ în Grecia antică. Primul care a stabilit volumul piramidei a fost Democrit și a fost dovedit de Eudoxus din Cnidus.

Prima definiție aparține matematicianului grec antic, autorul tratatelor teoretice de matematică care au ajuns până la noi, Euclid. În volumul XII al „Principiilor” sale, el definește o piramidă ca fiind o figură solidă delimitată de planuri care dintr-un plan (bază) converg într-un punct (apex). Dar această definiție a fost criticată deja în vremuri străvechi. Deci Heron a propus următoarea definiție a unei piramide: „Este o figură delimitată de triunghiuri care converg într-un punct și a cărei bază este un poligon.”

Există o definiție a matematicianului francez Adrien Marie Legendre, care în 1794 în lucrarea sa „Elemente de geometrie” definește o piramidă astfel: „O piramidă este o figură solidă formată din triunghiuri care converg într-un punct și se termină pe diferite laturi ale unui bază plată.”

Dicționarele moderne interpretează termenul „piramidă” după cum urmează:

	Un poliedru a cărui bază este un poligon, iar fețele rămase sunt triunghiuri care au un vârf comun	Dicționar explicativ al limbii ruse, ed. D. N. Ushakova
	Un corp delimitat de triunghiuri egale ale cărui vârfuri formează un singur punct și ale cărui baze formează un pătrat	Dicţionar explicativ al lui V.I
	Un poliedru a cărui bază este un poligon, iar fețele rămase sunt triunghiuri cu un vârf comun	Dicţionar explicativ, ed. S.I. Ozhegova și N.Yu.Shvedova
	Un poliedru a cărui bază este un poligon și ale cărui fețe laterale sunt triunghiuri care au un vârf comun	T. F. Efremov. Noul dicționar explicativ și formativ de cuvinte al limbii ruse.
	Un poliedru, dintre care o față este un poligon, iar celelalte fețe sunt triunghiuri având un vârf comun	Dicționar de cuvinte străine
	Un corp geometric, a cărui bază este un poligon, iar laturile sunt atâtea triunghiuri câte laturi are baza, convergând la vârfuri către un punct.	Dicționar de cuvinte străine ale limbii ruse
	Un poliedru, a cărui față este un poligon plat și toate celelalte fețe sunt triunghiuri, ale căror baze sunt laturile bazei poligonului, iar vârfurile converg într-un punct	F. Brockhaus, I.A. Efron. Dicţionar enciclopedic
	Un poliedru a cărui bază este un poligon, iar fețele rămase sunt triunghiuri care au un vârf comun	Modern dicţionar explicativ
	Un poliedru, una dintre fețele căruia este un poligon, iar fețele rămase sunt triunghiuri cu un vârf comun	Matematic dicţionar enciclopedic

Analizând definițiile piramidei, putem concluziona că toate sursele au formulări similare:

O piramidă este un poliedru a cărui bază este un poligon, iar fețele rămase sunt triunghiuri care au un vârf comun. Pe baza numărului de colțuri ale bazei, piramidele sunt clasificate ca triunghiulare, patrulatere etc.

Poligonul A 1 A 2 A 3 ... An este baza piramidei, iar triunghiurile RA 1 A 2 , RA 2 A 3 , ..., RANA 1 sunt fețele laterale ale piramidei, P este vârful piramidei. piramidă, segmente RA 1 , RA 2 , ..., RAN - nervuri laterale.

Se numește perpendiculara trasată din vârful piramidei pe planul bazei înălțime piramide.

Pe lângă o piramidă arbitrară, există o piramidă obișnuită, la baza căreia se află un poligon regulat și o piramidă trunchiată.

Zonă Suprafața totală a unei piramide este suma ariilor tuturor fețelor sale. Sfull = S latura + S principal, unde S latura este suma ariilor fețelor laterale.

Volum piramida se gaseste prin formula: V=1/3S main.h, unde S main. - suprafata bazei, h - inaltime.

LA proprietățile piramidei include:

Când toate marginile laterale sunt de aceeași dimensiune, atunci este ușor să descrii un cerc în jurul bazei piramidei, cu vârful piramidei proiectat în centrul acestui cerc; nervurile laterale formează unghiuri egale cu planul bazei; Mai mult, este adevărat și opusul, adică. când nervurile laterale se formează cu planul bazei unghiuri egale, sau când un cerc poate fi descris lângă baza piramidei și vârful piramidei va fi proiectat în centrul acestui cerc, ceea ce înseamnă că toate marginile laterale ale piramidei au aceeași dimensiune.

Când fețele laterale au un unghi de înclinare față de planul bazei de aceeași mărime, atunci este ușor să descrii un cerc în jurul bazei piramidei, iar vârful piramidei va fi proiectat în centrul acestui cerc. ; înălțimile fețelor laterale sunt de lungime egală; Aria suprafeței laterale este egală cu jumătate din produsul dintre perimetrul bazei și înălțimea feței laterale.

Piramida se numește corecta, dacă baza sa este un poligon regulat, iar vârful său este proiectat în centrul bazei. Fețele laterale ale unei piramide regulate sunt triunghiuri egale, isoscele (Fig. 2a). Axă a unei piramide regulate este linia dreaptă care conține înălțimea acesteia. Apotema -înălțimea feței laterale a unei piramide regulate trasă din vârful acesteia.

Pătrat faţa laterală a unei piramide regulate se exprimă astfel: Sside. =1/2P h, unde P este perimetrul bazei, h este înălțimea feței laterale (apotema unei piramide regulate). Dacă piramida este intersectată de planul A’B’C’D’, paralel cu baza, atunci marginile laterale și înălțimea sunt împărțite de acest plan în părți proporționale; în secțiune transversală se obține un poligon A’B’C’D’, asemănător bazei; Zonele și bazele secțiunii transversale sunt legate ca pătratele distanțelor lor de la vârf.

Piramida trunchiată se obține prin tăierea părții sale superioare din piramidă cu un plan paralel cu baza (Fig. 2b). Bazele trunchiului piramidei sunt poligoane similare ABCD și A`B`C`D`, fețele laterale sunt trapeze. Înălțimea unei piramide trunchiate este distanța dintre baze. Volumul unei trunchi de piramidă se găsește prin formula: V = 1/3 h (S + + S'), unde S și S' sunt ariile bazelor ABCD și A'B'C'D', h este înălțimea.

Bazele unei piramide n-gonale trunchiate regulate sunt n-goni regulate. Suprafața laterală a unei piramide trunchiate obișnuite este exprimată astfel: Sside. = ½(P+P’)h, unde P și P’ sunt perimetrele bazelor, h este înălțimea feței laterale (apotema unei piramide trunchiate obișnuite)

Secțiunile unei piramide prin planuri care trec prin vârful ei sunt triunghiuri. Secțiunea care trece prin două margini laterale neadiacente ale piramidei se numește secțiune diagonală. Dacă secțiunea trece printr-un punct de pe marginea laterală și pe partea bazei, atunci urma sa până în planul bazei piramidei va fi această parte. O secțiune care trece printr-un punct situat pe fața piramidei și o urmă de secțiune dată pe planul de bază, apoi construcția trebuie efectuată după cum urmează: găsiți punctul de intersecție al planului feței date și urma secțiunii a piramida și desemnați-o; construiți o linie dreaptă care trece prin punct datși punctul de intersecție rezultat; repetă acești pași pentru fețele următoare.

piramida dreptunghiulara - Aceasta este o piramidă în care una dintre marginile laterale este perpendiculară pe bază. În acest caz, această margine va fi înălțimea piramidei (Fig. 2c).

Piramidă triunghiulară regulată este o piramidă a cărei bază este un triunghi regulat, iar vârful este proiectat în centrul bazei. Un caz special al unei piramide triunghiulare regulate este tetraedru. (Fig. 2a)

Să luăm în considerare teoremele care leagă piramida cu altele corpuri geometrice.

Sferă

O sferă poate fi descrisă în jurul unei piramide când la baza piramidei există un poligon în jurul căruia poate fi descris un cerc (o condiție necesară și suficientă). Centrul sferei va fi punctul de intersecție al planurilor care trec prin punctele medii ale marginilor piramidei perpendicular pe acestea. Din această teoremă rezultă că o sferă poate fi descrisă atât în ​​jurul oricărei piramide triunghiulare, cât și în jurul oricărei piramide regulate; O sferă poate fi înscrisă într-o piramidă atunci când planurile bisectoare ale unghiurilor diedrice interne ale piramidei se intersectează într-un punct (o condiție necesară și suficientă). Acest punct va fi centrul sferei.

Con

Se spune că un con este înscris într-o piramidă dacă vârfurile lor coincid, iar baza lui este înscrisă în baza piramidei. Mai mult, este posibil să se potrivească un con într-o piramidă numai atunci când apotemele piramidei sunt egale între ele (o condiție necesară și suficientă); Se spune că un con este descris lângă o piramidă atunci când vârfurile lor coincid, iar baza lui este descrisă lângă baza piramidei. Mai mult, este posibil să descriem un con în apropierea unei piramide numai atunci când toate marginile laterale ale piramidei sunt egale între ele (o condiție necesară și suficientă); Înălțimile unor astfel de conuri și piramide sunt egale între ele.

Cilindru

Se spune că un cilindru este înscris într-o piramidă dacă una dintre bazele sale coincide cu un cerc înscris în secțiunea piramidei printr-un plan paralel cu baza, iar cealaltă bază aparține bazei piramidei. Se spune că un cilindru este descris lângă o piramidă dacă vârful piramidei aparține uneia dintre bazele sale, iar cealaltă bază este descrisă lângă baza piramidei. Mai mult, este posibil să descrii un cilindru lângă o piramidă numai dacă există un poligon înscris la baza piramidei (o condiție necesară și suficientă).

Foarte des în cercetarea lor, oamenii de știință folosesc proprietățile piramidei cu proporții ale raportului de aur. Ne vom uita la modul în care au fost utilizate rapoartele de aur la construirea piramidelor în paragraful următor și aici ne vom opri asupra definiției raportului de aur.

Dicționarul enciclopedic matematic oferă următoarea definiție Raportul de aur- aceasta este împărțirea segmentului AB în două părți, astfel încât partea sa mai mare AC să fie proporțională medie între întregul segment AB și partea sa mai mică CD.

Determinarea algebrică a secțiunii de aur a segmentului AB = a se reduce la rezolvarea ecuației a:x = x:(a-x), din care x este aproximativ egal cu 0,62a. Raportul x poate fi exprimat ca fracții n/n+1= 0,618, unde n este numărul Fibonacci numerotat n.

Raportul de aur este adesea folosit în opere de artă, arhitectură și se găsește în natură. Exemple vii sunt sculptura lui Apollo Belvedere și Partenonul. În timpul construcției Partenonului s-a folosit raportul dintre înălțimea clădirii și lungimea acesteia și acest raport este de 0,618. Obiectele din jurul nostru oferă, de asemenea, exemple ale raportului de aur, de exemplu, legăturile multor cărți au și un raport lățime-lungime apropiat de 0,618.

Astfel, după ce am studiat literatura științifică populară privind problema de cercetare, am ajuns la concluzia că o piramidă este un poliedru, a cărui bază este un poligon, iar fețele rămase sunt triunghiuri având un vârf comun. Am examinat elementele și proprietățile piramidei, tipurile sale și relația cu proporțiile raportului de aur.

2. Caracteristicile piramidei

Deci în Marele Dicționar Enciclopedic este scris că o piramidă este o structură monumentală care are formă geometrică piramide (uneori în trepte sau în formă de turn). Piramidele erau numele dat mormintelor faraonilor egipteni antici din mileniul III - II i.Hr. e., precum şi soclurile templelor din Central şi America de Sud asociate cu cultele cosmologice. Printre grandioasele piramide ale Egiptului, Marea Piramidă a faraonului Keops ocupă un loc aparte. Înainte de a începe să analizăm forma și dimensiunea piramidei Keops, ar trebui să ne amintim ce sistem de măsuri au folosit egiptenii. Egiptenii aveau trei unități de lungime: un „cot” (466 mm), care era egal cu șapte „palme” (66,5 mm), care la rândul lor era egal cu patru „degete” (16,6 mm).

Majoritatea cercetătorilor sunt de acord că lungimea laturii bazei piramidei, de exemplu, GF, este egală cu L = 233,16 m Această valoare corespunde aproape exact la 500 de „coți”. Respectarea deplină a 500 de „coturi” va avea loc dacă lungimea „cotului” este considerată egală cu 0,4663 m.

Înălțimea piramidei (H) este estimată de cercetători în mod diferit de la 146,6 la 148,2 m și, în funcție de înălțimea acceptată a piramidei, toate relațiile dintre elementele sale geometrice se modifică. Care este motivul diferențelor de estimări ale înălțimii piramidei? Faptul este că piramida lui Keops este trunchiată. Platforma sa superioară măsoară astăzi aproximativ 10x10 m, dar în urmă cu un secol avea 6x6 m Evident, vârful piramidei a fost demontat și nu corespunde cu cel inițial. Când se evaluează înălțimea piramidei, este necesar să se țină cont de acest lucru factor fizic, ca asezarea structurii. Pe o perioadă lungă de timp, sub influența presiunii colosale (atingând 500 de tone la 1 m 2 de suprafață inferioară), înălțimea piramidei a scăzut față de înălțimea ei inițială. Înălțimea originală a piramidei poate fi recreată prin găsirea unei idei geometrice de bază.

În 1837, colonelul englez G. Wise a măsurat unghiul de înclinare al fețelor piramidei: s-a dovedit a fi egal cu a = 51°51.” Această valoare este recunoscută și astăzi de majoritatea cercetătorilor. Valoare specificată Unghiul corespunde unei tangente (tg a) egală cu 1,27306. Această valoare corespunde raportului dintre înălțimea piramidei AC și jumătate din baza sa CB, adică AC / CB = H / (L / 2) = 2H / L.

Și iată că cercetătorii au avut o mare surpriză! Cert este că, dacă luăm rădăcina pătrată a raportului de aur, obținem următorul rezultat = 1,272. Comparând această valoare cu valoarea tg a = 1,27306, vedem că aceste valori sunt foarte apropiate unele de altele. Dacă luăm unghiul a = 51°50", adică îl reducem cu doar un minut de arc, atunci valoarea lui a va deveni egală cu 1,272, adică va coincide cu valoarea. De remarcat că în 1840 G. Wise și-a repetat măsurătorile și a clarificat că valoarea unghiului a = 51°50".

Aceste măsurători i-au condus pe cercetători la următoarea ipoteză interesantă: triunghiul ACB al piramidei lui Keops s-a bazat pe raportul AC / CB = 1,272.

Să luăm acum în considerare dreptunghiul triunghiul ABC, în care raportul catetelor AC / CB = . Dacă notăm acum lungimile laturilor dreptunghiului ABC cu x, y, z și, de asemenea, luăm în considerare că raportul y/x =, atunci în conformitate cu teorema lui Pitagora, lungimea z poate fi calculată folosind formula:

Dacă acceptăm x = 1, y = , atunci:

Un triunghi dreptunghic în care laturile sunt în raportul t::1 se numește triunghi dreptunghic „de aur”.

Atunci, dacă luăm ca bază ipoteza că „ideea geometrică” principală a piramidei lui Keops este „de aur” triunghi dreptunghic, apoi de aici puteți calcula cu ușurință înălțimea „design” a piramidei lui Cheops. Este egal cu:

H = (L/2)/= 148,28 m.

Să derivăm acum câteva alte relații pentru piramida lui Keops, care decurg din ipoteza „de aur”. În special, vom găsi raportul dintre zona exterioară a piramidei și zona bazei acesteia. Pentru a face acest lucru, luăm lungimea piciorului CB ca una, adică: CB = 1. Dar atunci lungimea laturii bazei piramidei este GF = 2, iar aria bazei EFGH va să fie egal cu S EFGH = 4.

Să calculăm acum aria feței laterale a piramidei Cheops S D . Deoarece înălțimea AB a triunghiului AEF este egală cu t, aria feței laterale va fi egală cu S D = t. Atunci aria totală a tuturor celor patru fețe laterale ale piramidei va fi egală cu 4t și raportul dintre suprafața totală exterioară a piramidei și zona bazei va fi egal cu raportul de aur. Acesta este principalul mister geometric al piramidei lui Keops.

Și, de asemenea, în timpul construcției piramidelor egiptene, s-a constatat că un pătrat construit la înălțimea piramidei este exact egal cu aria fiecărui triunghi lateral. Acest lucru este confirmat de ultimele măsurători.

Știm că relația dintre circumferința unui cerc și diametrul acestuia este constant, binecunoscut matematicienilor moderni și școlarilor, este numărul „Pi” = 3,1416... Dar dacă adunăm cele patru laturi ale bazei piramidei lui Keops, obținem 931,22 m Împărțind acest număr la două ori înălțimea lui piramidă (2x148,208), obținem 3 ,1416..., adică numărul „Pi”. În consecință, piramida lui Cheops este un monument unic, care reprezintă întruchiparea materială a numărului „Pi” jucat. rol importantîn matematică.

Astfel, prezența raportului de aur în dimensiunile piramidei - raportul dintre latura dublă a piramidei și înălțimea acesteia - este un număr foarte apropiat ca valoare de numărul π. Aceasta este, fără îndoială, și o caracteristică. Deși mulți autori consideră că această coincidență este întâmplătoare, întrucât fracția 14/11 este „o bună aproximare pentru rădăcină pătrată din raportul secțiunii de aur și din raportul dintre ariile unui pătrat și ale unui cerc înscrise în el.”

Cu toate acestea, este incorect să vorbim aici doar despre piramidele egiptene. Nu există doar piramide egiptene, există o întreagă rețea de piramide pe Pământ. Principalele monumente (piramidele egiptene și mexicane, Insula Paștelui și complexul Stonehenge din Anglia) la prima vedere sunt împrăștiate aleatoriu pe planeta noastră. Dar dacă complexul piramidal tibetan este inclus în studiu, atunci un strict sistem matematic locația lor pe suprafața Pământului. Pe fundalul lanțului Himalaya, se remarcă clar o formațiune piramidală - Muntele Kailash. Locația orașului Kailash, piramidele egiptene și mexicane este foarte interesantă și anume - dacă conectezi orașul Kailash cu piramidele mexicane, atunci linia care le leagă merge spre Insula Paștelui. Dacă conectați orașul Kailash cu piramidele egiptene, atunci linia conexiunii lor merge din nou spre Insula Paștelui. Exact o pătrime conturată glob. Dacă combinăm piramidele mexicane și egiptene, vom vedea două triunghi egal. Dacă le găsiți zonele, atunci suma lor este egală cu un sfert din suprafața globului.

A fost dezvăluită o legătură incontestabilă între complexul piramidal tibetan cu alte structuri antichitate - piramidele egiptene și mexicane, coloșii Insulei Paștelui și complexul Stonehenge din Anglia. Înălțimea principalei piramide a Tibetului - Muntele Kailash - este 6714 metri. Distanța de la Kailash la Polul Nord egală 6714 kilometri, distanța de la Kailash la Stonehenge este 6714 kilometri Dacă le punem pe glob de la Polul Nord 6714 kilometri, apoi vom ajunge la așa-numitul Turn al Diavolului, care arată ca o trunchi de piramidă. Și în sfârșit, exact 6714 kilometri de la Stonehenge până la Triunghiul Bermudelor.

În urma acestor studii, putem concluziona că există un sistem piramidal-geografic pe Pământ.

Astfel, caracteristicile includ raportul dintre suprafața totală exterioară a piramidei și zona bazei va fi egal cu raportul de aur; prezența în dimensiunile piramidei a raportului de aur - raportul dintre latura dublă a piramidei și înălțimea acesteia - este un număr foarte apropiat ca valoare de numărul π, adică. piramida lui Keops este un monument unic, care reprezintă întruchiparea materială a numărului „Pi”; existenţa unui sistem piramidal-geografic.

3. Alte proprietăți și utilizări ale piramidei.

Să luăm în considerare aplicarea practică a acestui lucru figură geometrică. De exemplu, hologramă.În primul rând, să ne uităm la ce este holografia. holografie - un set de tehnologii pentru înregistrarea, reproducerea și remodelarea cu acuratețe a câmpurilor de unde optice radiatii electromagnetice, o metodă fotografică specială în care imaginile obiectelor tridimensionale sunt înregistrate și apoi reconstruite cu ajutorul unui laser, în cel mai înalt grad similare cu cele reale. O hologramă este un produs al holografiei, o imagine tridimensională creată cu ajutorul unui laser care reproduce o imagine a unui obiect tridimensional. Folosind o piramidă tetraedrică trunchiată obișnuită, puteți recrea o imagine - o hologramă. Se creează un fișier foto și o piramidă tetraedică trunchiată obișnuită dintr-un material translucid. Se face o mică adâncitură din pixelul cel mai de jos și cel din mijloc în raport cu axa ordonatelor. Acest punct va fi punctul de mijloc al laturii pătratului format din secțiune. Fotografia este înmulțită, iar copiile sale sunt poziționate în același mod față de celelalte trei fețe. Așezați piramida pe pătrat cu secțiunea transversală în jos, astfel încât să coincidă cu pătratul. Monitorul generează undă luminoasă, fiecare dintre cele patru fotografii identice, fiind într-un plan care este o proiecție a feței piramidei, cade pe fața însăși. Ca urmare, pe fiecare dintre cele patru fețe avem imagini identice, iar din moment ce materialul din care este realizată piramida are proprietatea de transparență, undele par a fi refractate, întâlnindu-se în centru. Ca rezultat, obținem același model de interferență val în picioare, axa centrală sau a cărei axă de rotație este înălțimea unei piramide trunchiate obișnuite. Această metodă funcționează și cu imagini video, deoarece principiul de funcționare rămâne neschimbat.

Având în vedere cazuri speciale, puteți observa că piramida este utilizată pe scară largă în viata de zi cu zi, chiar și în gospodărie. Forma piramidală se găsește frecvent, în primul rând în natură: plante, cristale, molecula de metan are forma unei piramide triunghiulare regulate - un tetraedru, Celula unitară a unui cristal de diamant este, de asemenea, un tetraedru, cu atomi de carbon localizați în centru și patru vârfuri. Piramidele se găsesc acasă și în jucăriile copiilor. Butoanele și tastaturile computerelor sunt adesea ca o piramidă trunchiată de tip patrulater. Ele pot fi văzute sub formă de elemente ale clădirilor sau structurilor arhitecturale în sine, cum ar fi structurile de acoperiș translucide.

Să ne uităm la câteva exemple de utilizare a termenului „piramidă”

Piramide ecologice- sunt modele grafice (de obicei sub formă de triunghiuri) care reflectă numărul de indivizi (piramida de numere), cantitatea de biomasă a acestora (piramida de biomasă) sau energia conținută în acestea (piramida de energie) la fiecare nivel trofic și indicând o scădere a tuturor indicatorilor cu creșterea nivelului trofic

Piramida informației. Ea reflectă ierarhia diverse tipuri informaţii. Furnizarea de informații este structurată după următoarea schemă piramidală: în partea de sus se află principalii indicatori prin care puteți urmări clar ritmul mișcării întreprinderii către obiectivul ales. Dacă ceva nu este în regulă, atunci puteți merge la nivelul de mijloc al piramidei - date generalizate. Ele clarifică imaginea pentru fiecare indicator individual sau împreună unul cu celălalt. Folosind aceste date, puteți determina locația posibilă a unei defecțiuni sau probleme. Pentru informații mai complete, trebuie să vă referiți la baza piramidei - descriere detaliată stările tuturor proceselor în formă numerică. Aceste date ajută la identificarea cauzei problemei, astfel încât să poată fi corectată și evitată în viitor.

Taxonomia lui Bloom. Taxonomia lui Bloom oferă o clasificare a sarcinilor sub forma unei piramide pe care profesorii o stabilesc elevilor și, în consecință, obiectivele de învățare. Ea împarte obiectivele educaționale în trei domenii: cognitiv, afectiv și psihomotric. În cadrul fiecărei sfere individuale, pentru a trece la un nivel superior, este necesară experiența nivelurilor anterioare distinse în această sferă.

Piramida financiară- fenomen specific dezvoltarea economică. Numele „piramidă” ilustrează clar situația în care oamenii „din partea de jos” a piramidei dau bani în vârful mic. Mai mult, fiecare nou participant plătește pentru a crește posibilitatea promovării sale în vârful piramidei

Piramida nevoilor Maslow reflectă una dintre cele mai populare și cunoscute teorii ale motivației - teoria ierarhiei nevoi. Maslow a distribuit nevoile pe măsură ce acestea cresc, explicând această construcție prin faptul că o persoană nu poate experimenta nevoi nivel înalt, deocamdată are nevoie de lucruri mai primitive. Pe măsură ce nevoile inferioare sunt satisfăcute, nevoile de nivel superior devin din ce în ce mai relevante, dar asta nu înseamnă că locul nevoii anterioare este luat de una nouă doar atunci când cea anterioară este pe deplin satisfăcută.

Un alt exemplu de utilizare a termenului „piramidă” este piramida alimentara - reprezentarea schematică a principiilor alimentatie sanatoasa dezvoltat de nutriționiști. Alimentele de la baza piramidei trebuie consumate cât mai des posibil, în timp ce alimentele de la vârful piramidei trebuie evitate sau consumate în cantități limitate.

Astfel, toate cele de mai sus arată varietatea de utilizări ale piramidei în viața noastră. Poate că piramida are mult mai mult obiectiv înalt, și este destinat pentru ceva mai mult decât acestea moduri practice utilizările sale, care sunt acum deschise.

Concluzie

Întâlnim în mod constant piramide în viața noastră - sunt străvechi Piramidele egipteneși jucării cu care copiii se joacă; obiecte de arhitectura si design, cristale naturale; virusuri care pot fi observate doar cu un microscop electronic. De-a lungul multor milenii ale existenței lor, piramidele au devenit un fel de simbol, personificând dorința omului de a ajunge la culmea cunoașterii.

În timpul studiului, am stabilit că piramidele sunt un fenomen destul de comun pe tot globul.

Am studiat literatura științifică populară pe tema cercetării, am examinat diverse interpretări ale termenului „piramidă”, am stabilit că, în sens geometric, o piramidă este un poliedru, a cărui bază este un poligon, iar fețele rămase sunt triunghiuri care au un vârf comun. Am studiat tipurile de piramide (regulate, trunchiate, dreptunghiulare), elemente (apotema, fețe laterale, margini laterale, vârf, înălțime, bază, secțiune diagonală) și proprietățile piramidelor geometrice când marginile laterale sunt egale și când fețele laterale sunt egale. sunt înclinate față de planul bazei la același unghi. Am examinat teoremele care leagă piramida cu alte corpuri geometrice (sferă, con, cilindru).

Am inclus următoarele caracteristici ale piramidei:

raportul dintre suprafața totală exterioară a piramidei și zona bazei va fi egal cu raportul de aur;

prezența în dimensiunile piramidei a raportului de aur - raportul dintre latura dublă a piramidei și înălțimea acesteia - este un număr foarte apropiat ca valoare de numărul π, adică. piramida lui Keops este un monument unic, care reprezintă întruchiparea materială a numărului „Pi”;

existenţa unui sistem piramidal-geografic.

Am studiat utilizarea modernă a acestei figuri geometrice. Ne-am uitat la modul în care piramida și holograma sunt conectate și am observat că forma piramidală se găsește cel mai adesea în natură (plante, cristale, molecule de metan, structura rețelei de diamant etc.). Pe parcursul studiului, am întâlnit materiale care confirmă utilizarea proprietăților piramidei în diferite domenii ale științei și tehnologiei, în viața de zi cu zi a oamenilor, în analiza informațiilor, în economie și în multe alte domenii. Și au ajuns la concluzia că, probabil, piramidele au un scop mult mai înalt și sunt destinate pentru ceva mai mare decât modalitățile practice de utilizare care sunt acum descoperite.

Referințe.

Van der Waerden, Bartel Leendert. Trezirea Științei. Matematică Egiptul antic, Babilonul și Grecia. [Text]/ B. L. Van der Waerden - KomKniga, 2007

Voloshinov A.V. Matematică și artă. [Text]/ A.V Voloshinov - Moscova: „Iluminismul” 2000.

Istoria lumii(enciclopedie pentru copii). [Text]/ - M.: „Avanta+”, 1993.

Halogramă . [Resursa electronica] - https://hi-news.ru/tag/hologramma - articol pe internet

Geometrie [Text]: manual. 10 - 11 clase pentru instituțiile de învățământ Atanasyan L.S., V.F Butuzov și alții - ediția a 22-a. - M.: Educație, 2013.

Coppens F. Noua era a piramidelor. [Text]/ F. Coppens - Smolensk: Rusich, 2010

Dicționar enciclopedic matematic. [Text]/ A. M. Prokhorov și alții - M.: Enciclopedia sovietică, 1988.

Muldashev E.R. Sistemul mondial piramidele și monumentele antichității ne-au salvat de la sfârșitul lumii, dar ... [Text] / E. R. Muldashev - M.: „AiF-Print”; M.: „OLMA-PRESS”; Sankt Petersburg: Editura „Neva”; 2003.

Perelman Ya I. Aritmetică distractivă. [Text]/ Ya I. Perelman - M.: Tsentrpoligraf, 2017

Reichard G. Piramide. [Text]/ Hans Reichard - M.: Slovo, 1978

Terra-Lexicon. Dicționar enciclopedic ilustrat. [Text]/ - M.: TERRA, 1998.

Tompkins P. Secretele Marii Piramide a lui Keops. [Text]/ Peter Tompkins. - M.: „Centropoligraf”, 2008

Uvarov V. Proprietățile magice ale piramidelor. [Text]/ V. Uvarov - Lenizdat, 2006.

Sharygin I.F.. Geometrie clasele 10-11. [Text]/ I.F. Sharygin:. - M: „Iluminismul”, 2000

Yakovenko M. Cheia pentru înțelegerea piramidei [Resursa electronică] - http://world-pyramids.com/russia/pyramid.html - articol pe Internet.

Această lecție oferă definiția și proprietățile unei piramide triunghiulare regulate și cazul său special, tetraedrul (vezi mai jos). Legături către exemple de rezolvare a problemelor sunt oferite la sfârșitul lecției.

Definiţie

Piramidă triunghiulară regulată este o piramidă a cărei bază este un triunghi regulat, iar vârful este proiectat în centrul bazei.

Figura arată:
ABC- Baza piramide
OS - Înălțime
KS - Apothem
OK - raza unui cerc înscris la bază
AO - raza unui cerc circumscris în jurul bazei unei piramide triunghiulare regulate
SKO - unghi diedru între baza și fața piramidei (într-o piramidă obișnuită sunt egale)

Important. Într-o piramidă triunghiulară obișnuită, lungimea muchiei (AS, BS, CS în figură) poate să nu fie egală cu lungimea laturii bazei (AB, AC, BC în figură). Dacă lungimea marginii unei piramide triunghiulare regulate este egală cu lungimea laturii bazei, atunci o astfel de piramidă se numește tetraedru (vezi mai jos).

Proprietățile unei piramide triunghiulare regulate:

• marginile laterale ale unei piramide regulate sunt egale
• toate fețele laterale ale unei piramide regulate sunt triunghiuri isoscele
• într-o piramidă triunghiulară obișnuită puteți fie să potriviți o sferă, fie să o descrieți în jurul ei
• dacă centrele unei sfere înscrise și circumscrise în jurul unei piramide triunghiulare regulate coincid, atunci suma unghiurilor plane din vârful piramidei este egală cu π (180 de grade), iar fiecare dintre ele este, respectiv, egală cu π / 3 ( pi împărțit la 3 sau 60 de grade).
• Aria suprafeței laterale a unei piramide regulate este egală cu jumătate din produsul dintre perimetrul bazei și apotema
• vârful piramidei este proiectat pe bază în centrul unui triunghi echilateral regulat, care este centrul cercului și punctul de intersecție al medianelor

Formule pentru o piramidă triunghiulară regulată

Formula pentru volumul unei piramide triunghiulare regulate:

V este volumul unei piramide regulate cu un triunghi regulat (echilateral) la bază
h - înălțimea piramidei
a este lungimea laturii bazei piramidei
R - circumradius
r - raza cercului înscris

Deoarece o piramidă triunghiulară obișnuită este un caz special al unei piramide obișnuite, formulele care sunt adevărate pentru o piramidă obișnuită sunt valabile și pentru o piramidă triunghiulară obișnuită - vezi formulele pentru o piramidă obișnuită.

Exemple de rezolvare a problemelor:

Tetraedru

Un caz special al unei piramide triunghiulare regulate este tetraedru.

Tetraedru este un poliedru regulat (piramida triunghiulara regulata) in care toate fetele sunt triunghiuri regulate.

Pentru un tetraedru:

• Toate marginile sunt egale
• 4 fețe, 4 vârfuri și 6 muchii
• Toate unghiuri diedrice la muchii și toate unghiurile triedrice de la vârfuri sunt egale

Mediana unui tetraedru- acesta este un segment care leagă un vârf cu punctul de intersecție al medianelor feței opuse (medianele unui triunghi echilateral opus vârfului)

Bimedian al unui tetraedru- acesta este un segment care conectează punctele de mijloc ale muchiilor de încrucișare (care conectează punctele de mijloc ale laturilor unui triunghi, care este una dintre fețele tetraedrului)

Înălțimea tetraedrului- acesta este un segment care leagă un vârf de un punct de pe fața opusă și perpendicular pe această față (adică este înălțimea trasă din orice față, coincide și cu centrul cercului circumscris).

Tetraedru are următoarele proprietăți:

• Toate medianele și bimedianele unui tetraedru se intersectează într-un punct
• Acest punct împarte medianele într-un raport de 3:1, numărând de la vârf
• Acest punct împarte bimedianele în jumătate

Tutorial video 2: Problema piramidei. Volumul piramidei

Tutorial video 3: Problema piramidei. Piramida corectă

Curs: Piramida, baza ei, nervurile laterale, înălțimea, suprafata laterala; piramidă triunghiulară; piramida regulata

Piramida, proprietățile sale

Piramidă este un corp tridimensional care are un poligon la bază și toate fețele sale sunt formate din triunghiuri.

Un caz special al unei piramide este un con cu un cerc la bază.

Să ne uităm la elementele principale ale piramidei:

Apotema- acesta este un segment care leagă vârful piramidei cu mijlocul marginii inferioare a feței laterale. Cu alte cuvinte, aceasta este înălțimea marginii piramidei.

În figură puteți vedea triunghiuri ADS, ABS, BCS, CDS. Dacă te uiți cu atenție la nume, poți vedea că fiecare triunghi are o literă comună în numele său - S. Adică, aceasta înseamnă că toate fețele laterale (triunghiurile) converg într-un singur punct, care se numește vârful piramidei. .

Segmentul OS care leagă vârful cu punctul de intersecție al diagonalelor bazei (în cazul triunghiurilor - în punctul de intersecție al înălțimilor) se numește înălțimea piramidei.

O secțiune diagonală este un plan care trece prin vârful piramidei, precum și una dintre diagonalele bazei.

Deoarece suprafața laterală a piramidei este formată din triunghiuri, pentru a găsi aria totală a suprafeței laterale, este necesar să găsiți aria fiecărei fețe și să le însumați. Numărul și forma fețelor depind de forma și dimensiunea laturilor poligonului care se află la bază.

Se numește singurul plan dintr-o piramidă care nu aparține vârfului său bază piramide.

În figură vedem că baza este un paralelogram, dar poate fi orice poligon arbitrar.

Proprietăți:

Luați în considerare primul caz al unei piramide, în care are muchii de aceeași lungime:

• Un cerc poate fi desenat în jurul bazei unei astfel de piramide. Dacă proiectați vârful unei astfel de piramide, atunci proiecția acesteia va fi situată în centrul cercului.
• Unghiurile de la baza piramidei sunt aceleași pe fiecare față.
• În același timp condiție suficientă la faptul că un cerc poate fi descris în jurul bazei piramidei și, de asemenea, putem presupune că toate marginile lungimi diferite, putem considera unghiuri egale între bază și fiecare muchie a fețelor.

Dacă întâlniți o piramidă în care unghiurile dintre fețele laterale și bază sunt egale, atunci următoarele proprietăți sunt adevărate:

• Veți putea descrie un cerc în jurul bazei piramidei, al cărui vârf este proiectat exact în centru.
• Dacă desenați fiecare margine laterală a înălțimii la bază, atunci acestea vor fi de lungime egală.
• Pentru a găsi suprafața laterală a unei astfel de piramide, este suficient să găsiți perimetrul bazei și să îl înmulțiți cu jumătate din lungimea înălțimii.
• S bp = 0,5P oc H.
• Tipuri de piramide.
• În funcție de poligonul care se află la baza piramidei, acestea pot fi triunghiulare, patrulatere etc. Dacă la baza piramidei se află un poligon regulat (cu laturi egale), atunci o astfel de piramidă va fi numită obișnuită.

Piramidă triunghiulară regulată