Testul lui D'Alembert pentru convergența seriilor pozitive. Serii de numere: definiții, proprietăți, semne de convergență, exemple, soluții. Condiție necesară și suficientă pentru convergența unei serii de numere pozitive

Înainte de a începe să lucrați cu acest subiect, vă sfătuiesc să vă uitați la secțiunea cu terminologie pentru serie de numere. În special, merită să acordați atenție conceptului de membru comun al unei serii. Dacă aveți îndoieli cu privire la alegerea corectă a unui criteriu de convergență, vă sfătuiesc să priviți subiectul „Alegerea unui criteriu de convergență pentru seria de numere”.

Testul lui D'Alembert (sau testul lui d'Alembert) este folosit pentru a studia convergenţa seriilor al căror termen comun este strict mai mare decât zero, adică $u_n > 0$ sunt numite astfel de serii strict pozitiv. În exemplele standard, semnul D'Alembert este folosit în forma sa extremă.

Semnul lui D'Alembert (în forma sa extremă)

Dacă seria $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ este strict pozitivă și $$ \lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)=L , $ $ apoi pentru $L<1$ ряд сходится, а при $L>1$ (iar pentru $L=\infty$) seria diverge.

Formularea este destul de simplă, dar următoarea întrebare rămâne deschisă: ce se va întâmpla dacă $L=1$? Testul lui D'Alembert nu este capabil să dea un răspuns la această întrebare Dacă $L=1$, atunci seria poate converge și diverge.

Cel mai adesea, în exemplele standard, criteriul D'Alembert este utilizat dacă expresia termenului general al seriei conține un polinom de $n$ (polinomul poate fi sub rădăcină) și un grad de forma $a^n $ sau $n!$ De exemplu, $u_n= \frac(5^n\cdot(3n+7))(2n^3-1)$ (vezi exemplul nr. 1) sau $u_n=\frac(\. sqrt(4n+5))((3n-2)$ (см. пример №2). Вообще, для стандартного примера наличие $n!$ - это своеобразная "визитная карточка" признака Д"Аламбера.!}

Ce înseamnă expresia „n!” arată\ascunde

Înregistrarea „n!” (a se citi „en factorial”) denotă produsul tuturor numerelor naturale de la 1 la n, adică

$$ n!=1\cdot2\cdot 3\cdot \ldots\cdot n $$

Prin definiție, se presupune că $0!=1!=1$. De exemplu, să găsim 5!:

$$ 5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120. $$

În plus, testul D'Alembert este adesea folosit pentru a determina convergența unei serii al cărei termen comun conține produsul următoarei structuri: $u_n=\frac(3\cdot 5\cdot 7\cdot\ldots\cdot(2n). +1))(2\ cdot 5\cdot 8\cdot\ldots\cdot(3n-1))$.

Exemplul nr. 1

Examinați seria $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(5^n\cdot(3n+7))(2n^3-1)$ pentru convergență.

Deoarece limita inferioară a însumării este 1, termenul general al seriei se scrie sub semnul sumei: $u_n=\frac(5^n\cdot(3n+7))(2n^3-1)$. Deoarece pentru $n≥ 1$ avem $3n+7 > 0$, $5^n>0$ și $2n^3-1 > 0$, apoi $u_n > 0$. Prin urmare, seria noastră este strict pozitivă.

$$ 5\cdot\lim_(n\la\infty)\frac((3n+10)\left(2n^3-1\right))(\left(2(n+1)^3-1\right) )(3n+7))=\left|\frac(\infty)(\infty)\right|= 5\cdot\lim_(n\la\infty)\frac(\frac((3n+10)\left (2n^3-1\right))(n^4))(\frac(\left(2(n+1)^3-1\right)(3n+7))(n^4))= 5 \cdot\lim_(n\la\infty)\frac(\frac(3n+10)(n)\cdot\frac(2n^3-1)(n^3))(\frac(\left(2() n+1)^3-1\right))(n^3)\cdot\frac(3n+7)(n))=\\ =5\cdot\lim_(n\to\infty)\frac(\ stânga(\frac(3n)(n)+\frac(10)(n)\dreapta)\cdot\left(\frac(2n^3)(n^3)-\frac(1)(n^3) \right))(\left(2\left(\frac(n)(n))+\frac(1)(n)\right)^3-\frac(1)(n^3)\right)\cdot \left(\frac(3n)(n)+\frac(7)(n)\right))=5\cdot\lim_(n\la\infty)\frac(\left(3+\frac(10)) (n)\dreapta)\cdot\left(2-\frac(1)(n^3)\dreapta))(\left(2\left(1+\frac(1)(n)\right)^3 -\frac(1)(n^3)\right)\cdot\left(3+\frac(7)(n)\right))=5\cdot\frac(3\cdot 2)(2\cdot 3 )=5. $$

Deoarece $\lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)=5>1$, atunci în funcție de seria dată diverge.

Sincer, testul D'Alembert nu este singura opțiune în această situație. Puteți utiliza, de exemplu, testul radical Cauchy Testul D'Alembert în această situație este mai convenabil.

Răspuns: seria diverge.

Exemplul nr. 2

Explorați seria $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(\sqrt(4n+5))((3n-2)$ на сходимость.!}

Deoarece limita inferioară a însumării este 1, termenul general al seriei se scrie sub semnul sumei: $u_n=\frac(\sqrt(4n+5))((3n-2)$. Заданный ряд является строго положительным, т.е. $u_n>0$.!}

Termenul comun al seriei conține polinomul sub rădăcină, adică. $\sqrt(4n+5)$, iar factorialul $(3n-2)!$. Prezența unui factorial într-un exemplu standard este o garanție de aproape sută la sută a aplicării criteriului D'Alembert.

Pentru a aplica acest criteriu, va trebui să găsim limita raportului $\frac(u_(n+1))(u_n)$. Pentru a scrie $u_(n+1)$, aveți nevoie în formula $u_n=\frac(\sqrt(4n+5))((3n-2)$ вместо $n$ подставить $n+1$:!}

$$ u_(n+1)=\frac(\sqrt(4(n+1)+5))((3(n+1)-2)=\frac{\sqrt{4n+9}}{(3n+1)!}. $$ !}

Deoarece $(3n+1)!=(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)$, atunci formula pentru $u_(n+1)$ poate fi scrisă ca la altul:

$$ u_(n+1)=\frac(\sqrt(4n+9))((3n+1)=\frac{\sqrt{4n+9}}{(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}. $$ !}

Această notație este convenabilă pentru soluții ulterioare când trebuie să reducem fracția sub limită. Dacă egalitatea cu factoriali necesită clarificări, vă rugăm să deschideți nota de mai jos.

Cum am obținut egalitatea $(3n+1)!=(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)$? arată\ascunde

Notația $(3n+1)!$ înseamnă produsul tuturor numerelor naturale de la 1 la $3n+1$. Aceste. această expresie poate fi scrisă astfel:

$$ (3n+1)!=1\cdot 2\cdot\ldots\cdot(3n+1). $$

Direct înaintea numărului $3n+1$ există un număr care este cu unul mai puțin, adică. numărul $3n+1-1=3n$. Și imediat înaintea numărului $3n$ există numărul $3n-1$. Ei bine, imediat înainte de numărul $3n-1$ avem numărul $3n-1-1=3n-2$. Să rescriem formula pentru $(3n+1)!$:

$$ (3n+1)!=1\cdot2\cdot\ldots\cdot(3n-2)\cdot(3n-1)\cdot 3n\cdot (3n+1) $$

Care este produsul $1\cdot2\cdot\ldots\cdot(3n-2)$? Acest produs este egal cu $(3n-2)!$. Prin urmare, expresia pentru $(3n+1)!$ poate fi rescrisă în următoarea formă:

$$(3n+1)!=(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)$$

Această notație este convenabilă pentru soluții ulterioare când trebuie să reducem fracția sub limită.

Să calculăm valoarea lui $\lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)$:

$$ \lim_(n\la\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)=\lim_(n\la\infty)\frac(\frac(\sqrt(4n+9))(( 3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)))(\frac(\sqrt(4n+5))((3n-2)}= \lim_{n\to\infty}\left(\frac{\sqrt{4n+9}}{\sqrt{4n+5}}\cdot\frac{(3n-2)!}{(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}\right)=\\ =\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{4n+9}}{\sqrt{4n+5}}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}= \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{4+\frac{9}{n}}}{\sqrt{4+\frac{5}{n}}}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}=1\cdot 0=0. $$ !}

Deoarece $\lim_(n\la\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)=0<1$, то согласно

Testul de convergență al lui D'Alembert Testul de convergență Radical Cauchy Testul de convergență Cauchy integral

Unul dintre semnele de comparație comune care se găsesc în exemplele practice este semnul D'Alembert. Semnele lui Cauchy sunt mai puțin frecvente, dar și foarte populare. Ca întotdeauna, voi încerca să prezint materialul simplu, accesibil și ușor de înțeles. Subiectul nu este cel mai dificil și toate sarcinile sunt într-o anumită măsură standard.

Jean Leron d'Alembert a fost un celebru matematician francez al secolului al XVIII-lea. În general, d’Alembert s-a specializat în ecuații diferențiale și, pe baza cercetărilor sale, a studiat balistica pentru ca ghiulele Majestății Sale să zboare mai bine. În același timp, nu am uitat de seria de numere, nu degeaba rândurile trupelor lui Napoleon au convergit și s-au separat atât de clar.

Înainte de a formula semnul în sine, să luăm în considerare o întrebare importantă:
Când ar trebui folosit testul de convergență al lui D'Alembert?

Să începem mai întâi cu o recenzie. Să ne amintim cazurile în care trebuie să folosiți cele mai populare limita de comparatie. Criteriul limitativ de comparare se aplică atunci când în termenul general al seriei:
1) Numitorul conține un polinom.
2) Polinoamele sunt atât la numărător, cât și la numitor.
3) Unul sau ambele polinoame pot fi sub rădăcină.

Principalele premise pentru aplicarea testului lui d'Alembert sunt următoarele:

1) Termenul comun al seriei („umplutura” a seriei) include într-o anumită măsură un număr, de exemplu, și așa mai departe. Mai mult, nu contează deloc unde se află acest lucru, la numărător sau la numitor - ceea ce contează este că este prezent acolo.

2) Termenul comun al seriei include factorialul. Am încrucișat săbiile cu factoriali înapoi în clasă Secvența de numere și limita sa. Cu toate acestea, nu va strica să întindeți din nou fața de masă auto-asamblată:

…

…

! Când folosim testul lui d'Alembert, va trebui să descriem factorialul în detaliu. Ca și în paragraful anterior, factorialul poate fi situat în partea de sus sau de jos a fracției.

3) Dacă în termenul general al seriei există un „lanț de factori”, de exemplu, . Acest caz este rar, dar! Când studiezi o astfel de serie, se face adesea o greșeală - vezi Exemplul 6.

Alături de puteri și/sau factoriali, polinoamele se găsesc adesea în umplerea unei serii, acest lucru nu schimbă situația - trebuie să folosiți semnul lui D'Alembert.

În plus, într-un termen comun al unei serii pot apărea simultan atât un grad, cât și un factorial; pot fi doi factoriali, două grade, important este să existe măcar ceva punctele luate în considerare – și tocmai aceasta este condiția prealabilă pentru utilizarea semnului D'Alembert.

semnul lui D'Alembert: Să luăm în considerare serie de numere pozitive. Dacă există o limită a raportului dintre termenul următor și cel anterior: , atunci:
a) Când rând converge. În special, seria converge la .
b) Când rând diverge. În special, seria diverge la .
c) Când semnul nu dă un răspuns. Trebuie să folosiți un alt semn. Cel mai adesea, unul se obține în cazul în care încearcă să aplice testul D'Alembert unde este necesar să se folosească testul de comparație limitativă.

Pentru cei care mai au probleme cu limitele sau neînțelegerile limitelor, consultați lecția Limite. Exemple de soluții. Fără o înțelegere a limitei și capacitatea de a dezvălui incertitudinea, din păcate, nu se poate avansa mai departe.

Și acum exemplele mult așteptate.

Exemplul 1

Vedem că în termenul general al seriei avem , iar aceasta este o condiție prealabilă sigură pentru utilizarea testului lui d'Alembert. În primul rând, soluția completă și designul eșantionului, comentariile de mai jos.

Folosim semnul lui d'Alembert:

converge.

(1) Compunem raportul dintre următorul membru al seriei față de cel anterior: . Din condiție vedem că termenul general al seriei este . Pentru a obține următorul membru al seriei este necesar in loc sa inlocuiesti: .
(2) Scăpăm de fracția cu patru etaje. Dacă aveți ceva experiență cu soluția, puteți sări peste acest pas.
(3) Deschideți parantezele la numărător. La numitor îi scoatem pe cei patru din putere.
(4) Reduceți cu . Luăm constanta dincolo de semnul limită. La numărător prezentăm termeni similari între paranteze.
(5) Incertitudinea este eliminată în mod standard - prin împărțirea numărătorului și numitorului la „en” la cea mai mare putere.
(6) Împărțim numeratorii termen cu termen la numitori și indicăm termenii care tind spre zero.
(7) Simplificăm răspunsul și notăm că cu concluzia că, după criteriul lui D’Alembert, seria studiată converge.

În exemplul luat în considerare, în termenul general al seriei am întâlnit un polinom de gradul II. Ce să faci dacă există un polinom de gradul 3, 4 sau superior? Faptul este că, dacă este dat un polinom de un grad superior, atunci vor apărea dificultăți la deschiderea parantezelor. În acest caz, puteți utiliza metoda soluției „turbo”.

Exemplul 2

Să luăm o serie similară și să o examinăm pentru convergență

Mai întâi soluția completă, apoi comentariile:

Folosim semnul lui d'Alembert:

Astfel, seria în studiu converge.

(1) Creăm relația .
(2) Scăpăm de fracția cu patru etaje.
(3) Luați în considerare expresia din numărător și expresia din numitor. Vedem că în numărător trebuie să deschidem parantezele și să le ridicăm la a patra putere: , ceea ce nu vrem să facem. În plus, pentru cei care nu sunt familiarizați cu binomul lui Newton, această sarcină poate să nu fie fezabilă deloc. Să analizăm gradele superioare: dacă deschidem parantezele de sus, obținem gradul cel mai înalt. Mai jos avem aceeași grad superior: . Prin analogie cu exemplul anterior, este evident că atunci când împărțim termenul numărător și numitor cu termen, ajungem cu unul în limită. Sau, după cum spun matematicienii, polinoamele și - aceeași ordine de creștere. Astfel, este foarte posibil să încercuiți raportul cu un simplu creion și să indicați imediat că acest lucru tinde spre unul. Ne ocupăm de a doua pereche de polinoame în același mod: și , și ei aceeași ordine de creștere, iar raportul lor tinde spre unitate.

De fapt, un astfel de „hack” ar fi putut fi scos în exemplul nr. 1, dar pentru un polinom de gradul al 2-lea o astfel de soluție încă arată cumva nedemn. Personal, fac asta: dacă există un polinom (sau polinoame) de gradul I sau al II-lea, folosesc metoda „lungă” pentru rezolvarea Exemplului 1. Dacă dau peste un polinom de gradul III sau mai mare, folosesc Metoda „turbo” similară cu Exemplul 2.

Exemplul 3

Examinați seria pentru convergență

Soluția completă și proiectarea eșantionului la sfârșitul lecției despre secvențele de numere.
(4) Tăiem tot ce poate fi tăiat.
(5) Mutăm constanta dincolo de semnul limită. Deschideți parantezele la numărător.
(6) Eliminam incertitudinea în modul standard - prin împărțirea numărătorului și numitorului la „en” la cea mai mare putere.

Exemplul 5

Examinați seria pentru convergență

Soluția completă și proiectarea eșantionului la sfârșitul lecției

Exemplul 6

Examinați seria pentru convergență

Uneori există serii care conțin un „lanț” de factori în umplerea lor, nu am luat în considerare încă acest tip de serii. Cum să studiezi o serie cu un „lanț” de factori? Folosește semnul lui d'Alembert. Dar mai întâi, pentru a înțelege ce se întâmplă, să descriem seria în detaliu:

Din expansiune vedem că fiecare membru următor al seriei are un factor suplimentar adăugat la numitor, prin urmare, dacă membrul comun al seriei este , atunci următorul membru al seriei:
. Aici ei fac adesea automat o greșeală, scriind oficial conform algoritmului care

Un exemplu de soluție ar putea arăta astfel:

Folosim semnul lui d'Alembert:

Astfel, seria în studiu converge.

Înainte de a formula semnul în sine, să luăm în considerare o întrebare importantă:
Când ar trebui folosit testul de convergență al lui D'Alembert?

Principalele premise pentru aplicarea testului lui d'Alembert sunt următoarele:

2) Termenul comun al seriei include factorialul. Ce este factorial? Nimic complicat, factorial este doar o reprezentare condensată a produsului:

…

…

! Când folosim testul lui d'Alembert, va trebui să descriem factorialul în detaliu. Ca și în paragraful anterior, factorialul poate fi situat în partea de sus sau de jos a fracției.

3) Dacă în termenul general al seriei există un „lanț de factori”, de exemplu, . Acest caz este rar, dar! Când studiezi o astfel de serie, se face adesea o greșeală - vezi Exemplul 6.

Alături de puteri și/sau factoriali, polinoamele se găsesc adesea în umplerea unei serii, acest lucru nu schimbă situația - trebuie să folosiți semnul lui D'Alembert.

În plus, într-un termen comun al unei serii pot apărea simultan atât un grad, cât și un factorial; pot fi doi factoriali, două grade, important este să existe măcar ceva din punctele luate în considerare – și tocmai aceasta este condiția prealabilă pentru utilizarea semnului lui d’Alembert.

semnul lui D'Alembert: Să luăm în considerare serie de numere pozitive. Dacă există o limită a raportului dintre termenul următor și cel anterior: , atunci:
a) Când rând converge
b) Când rând diverge
c) Când semnul nu dă un răspuns. Trebuie să folosiți un alt semn. Cel mai adesea, unul se obține în cazul în care încearcă să aplice testul D'Alembert unde este necesar să se folosească testul de comparație limitativă.

Cine mai are probleme cu limitele sau neînțelegerile limitelor, consultați subiectul Limite. Exemple de soluții. Fără o înțelegere a limitei și capacitatea de a dezvălui incertitudinea, din păcate, nu se poate avansa mai departe. Și acum exemplele mult așteptate.

Exemplul 1
Vedem că în termenul general al seriei avem , iar aceasta este o condiție prealabilă sigură pentru utilizarea testului lui d'Alembert. În primul rând, soluția completă și designul eșantionului, comentariile de mai jos.

Folosim semnul lui d'Alembert:

converge.

Exemplul 2 Să luăm o serie similară și să o examinăm pentru convergență
Mai întâi soluția completă, apoi comentariile:

Folosim semnul lui d'Alembert:

Astfel, seria în studiu converge.

Exemplul 3 .

Să ne uităm la exemple tipice cu factoriali:

Exemplul 4 Examinați seria pentru convergență

Termenul comun al seriei include atât gradul, cât și factorialul. Este clar ca ziua că semnul lui d'Alembert trebuie folosit aici. Să decidem.

Astfel, seria în studiu diverge.

(1) Creăm relația . Repetăm din nou. După condiție, membrul comun al seriei este: . Pentru a obține următorul termen din serie, în schimb trebuie să înlocuiți, Astfel: .
(2) Scăpăm de fracția cu patru etaje.
(3) Ciupiți cei șapte din grad. Descriem factorii în detaliu. Cum să faci asta - vezi începutul lecției.
(4) Tăiem tot ce poate fi tăiat.
(5) Mutăm constanta dincolo de semnul limită. Deschideți parantezele la numărător.
(6) Eliminam incertitudinea în modul standard - prin împărțirea numărătorului și numitorului la „en” la cea mai mare putere.

Exemplul 5 Examinați seria pentru convergență. Soluția completă este mai jos.

Exemplul 6 Examinați seria pentru convergență

Un exemplu de soluție aproximativă ar putea arăta astfel: Să folosim semnul lui D'Alembert:
Astfel, seria în studiu converge.
SEMN CAUCHY RADICAL

Augustin Louis Cauchy este un matematician francez și mai faimos. Orice student la inginerie vă poate spune biografia lui Cauchy. În cele mai pitorești culori. Nu întâmplător acest nume este sculptat la primul etaj al Turnului Eiffel.

Testul de convergență al lui Cauchy pentru seriile de numere pozitive este oarecum similar cu testul lui D'Alembert tocmai discutat.

Semnul radical Cauchy: Să luăm în considerare serie de numere pozitive. Dacă există o limită: , atunci:
a) Când rând converge. În special, seria converge la .
b) Când rând diverge. În special, seria diverge la .
c) Când semnul nu dă un răspuns. Trebuie să folosiți un alt semn. Este interesant de observat că, dacă testul lui Cauchy nu ne oferă un răspuns la întrebarea convergenței unei serii, atunci nici testul lui D'Alembert nu ne va oferi un răspuns. Dar dacă testul lui d’Alembert nu dă un răspuns, atunci testul lui Cauchy poate „funcționa”. Adică semnul Cauchy este în acest sens un semn mai puternic.

Când ar trebui să utilizați semnul radical Cauchy? Testul radical Cauchy este folosit de obicei în cazurile în care termenul comun al seriei COMPLET este în grad in functie de "ro". Sau când rădăcina „bun” este extrasă dintr-un membru comun al seriei. Există și cazuri exotice, dar nu ne vom face griji pentru ele.

Exemplul 7 Examinați seria pentru convergență

Vedem că termenul general al seriei este complet sub o putere care depinde de , ceea ce înseamnă că trebuie să folosim testul radical Cauchy:

Astfel, seria în studiu diverge.

(1) Formulăm termenul comun al seriei sub rădăcină.
(2) Rescriem același lucru, doar fără rădăcină, folosind proprietatea gradelor.
(3) În indicator, împărțim numărătorul la numitor termen cu termen, indicând că
(4) Ca urmare, avem incertitudine. Aici puteți merge pe calea lungă: cub, cub, apoi împărțiți numărătorul și numitorul la „en” la cea mai mare putere. Dar în acest caz, există o soluție mai eficientă: puteți împărți termenul numărător și numitor cu termen direct sub puterea constantă. Pentru a elimina incertitudinea, împărțiți numărătorul și numitorul la (cea mai mare putere).
(5) Efectuăm de fapt împărțirea termen cu termen și indicăm termenii care tind spre zero.
(6) Ne aducem în minte răspunsul, notăm ce avem și concluzionam că seria diverge.

Iată un exemplu mai simplu pe care să-l rezolvi singur:

Exemplul 8 Examinați seria pentru convergență

Și încă câteva exemple tipice.

Soluția completă și designul eșantionului sunt mai jos.

Exemplul 9 Examinați seria pentru convergență
Folosim testul radical Cauchy:

Astfel, seria în studiu converge.

(1) Puneți termenul comun al seriei sub rădăcină.
(2) Rescriem același lucru, dar fără rădăcină, în timp ce deschidem parantezele folosind formula de înmulțire prescurtată: .
(3) În indicator, împărțim numărătorul la numitor termen cu termen și indicăm că .
(4) O incertitudine a formei . Aici puteți împărți direct numărătorul la numitorul din paranteză cu „en” la cel mai înalt grad. Am întâlnit ceva asemănător când am studiat a doua limită minunată. Dar aici situația este diferită. Dacă coeficienţii la puteri mai mari ar fi identic, de exemplu: , atunci trucul cu împărțirea termen cu termen nu ar mai funcționa și ar fi necesar să se folosească a doua limită remarcabilă. Dar avem acești coeficienți diferit(5 și 6), prin urmare este posibil (și necesar) să se împartă termen cu termen (apropo, dimpotrivă - a doua limită remarcabilă pentru diferit coeficienţii la grade superioare nu mai funcţionează).
(5) Efectuăm de fapt împărțirea termen cu termen și indicăm care termeni tind spre zero.
(6) Incertitudinea a fost eliminată, cea mai simplă limită rămâne: De ce în infinit de mare tinde spre zero? Deoarece baza gradului satisface inegalitatea. Dacă cineva are îndoieli cu privire la corectitudinea limitei, atunci nu voi fi leneș, voi lua un calculator:
Dacă, atunci
Dacă, atunci
Dacă, atunci
Dacă, atunci
Dacă, atunci
...etc. la infinit - adică la limită:
(7) Indicăm că concluzionăm că seria converge.

Exemplul 10 Examinați seria pentru convergență

Acesta este un exemplu de rezolvat singur.

Uneori se oferă un exemplu provocator pentru o soluție, de exemplu:. Aici în exponent nu "ro", doar o constantă. Aici trebuie să pătrați numărătorul și numitorul (obțineți polinoame), apoi urmați algoritmul din articol Rânduri pentru manechine. Într-un astfel de exemplu, fie testul necesar pentru convergența seriei, fie testul limitativ pentru comparație ar trebui să funcționeze.
SEMN CAUCHY INTEGRAL

Îi voi dezamăgi pe cei care nu au înțeles bine materialul de prim curs. Pentru a aplica testul integral Cauchy, trebuie să fii mai mult sau mai puțin încrezător în a găsi derivate, integrale și, de asemenea, să ai abilități de calcul integrală improprie primul fel. În manualele de analiză matematică, testul Cauchy integral este dat matematic strict, să formulăm testul într-un mod foarte primitiv, dar de înțeles. Și imediat exemple pentru clarificare.

Testul Cauchy integral: Să luăm în considerare serie de numere pozitive. Această serie converge sau diverge?

Exemplul 11 Examinați seria pentru convergență

Aproape un clasic. Logaritm natural și niște prostii.

Principala condiție prealabilă pentru utilizarea testului integral Cauchy este este faptul că în termenul general al seriei există o anumită funcție și derivata ei. Din subiect Derivat probabil vă amintiți cel mai simplu lucru de tabel: , și avem doar un astfel de caz canonic.

Cum se utilizează atributul integral? În primul rând, luăm pictograma integrală și rescriem limitele superioare și inferioare din „contorul” seriei: . Apoi, sub integrală, rescriem „umplerea” seriei cu litera „el”: . Ceva lipsește..., oh, da, trebuie să lipiți și o pictogramă diferențială în numărător: .

Acum trebuie să calculăm integrala improprie. În acest caz, sunt posibile două cazuri:

1) Dacă se dovedește că integrala converge, atunci și seria noastră va converge.

2) Dacă se dovedește că integrala diverge, atunci și seria noastră va diverge.

Repet, dacă materialul este neglijat, atunci citirea paragrafului va fi dificilă și neclară, deoarece utilizarea unei caracteristici se reduce în esență la calcul integrală improprie primul fel.

Soluția completă și formatul exemplu ar trebui să arate cam așa:

Folosim semnul integral:

Astfel, seria în studiu divergeîmpreună cu integrala improprie corespunzătoare.

Exemplul 12 Examinați seria pentru convergență

Soluția și proiectarea eșantionului la sfârșitul lecției

În exemplele luate în considerare, logaritmul ar putea fi, de asemenea, sub rădăcină, aceasta nu ar schimba metoda de soluție.

Și încă două exemple pentru început

Exemplul 13 Examinați seria pentru convergență

Conform „parametrilor” generali, termenul general al seriei pare a fi potrivit pentru utilizarea criteriului limitativ pentru comparație. Trebuie doar să deschideți parantezele și să-l transmiteți imediat candidatului pentru a compara în detaliu această serie cu seria convergentă. Totuși, trișam puțin, parantezele s-ar putea să nu fie deschise, dar totuși soluția prin testul de comparație limitatoare va părea destul de pretențioasă.

Prin urmare, folosim testul Cauchy integral:

Funcția integrand este activă continuă

convergeîmpreună cu integrala improprie corespunzătoare.

! Nota:numărul rezultat estenu este suma seriei!!!

Exemplul 14 Examinați seria pentru convergență

Soluția și proiectarea eșantionului sunt la sfârșitul secțiunii care se termină.

Pentru a stăpâni complet și irevocabil subiectul seriilor de numere, vizitați subiectele.

Solutii si raspunsuri:

Exemplul 3:Folosim semnul lui d'Alembert:

Astfel, seria în studiu diverge.
Notă: a fost, de asemenea, posibil să se folosească metoda soluției „turbo”: încercuiește imediat raportul cu un creion, indică faptul că tinde spre unitate și notează: „de aceeași ordine de creștere”.

Exemplul 5: Folosim semnul lui d'Alembert: Astfel, seria în studiu converge.

Exemplul 8:

Astfel, seria în studiu converge.

Exemplul 10:
Folosim testul radical Cauchy.

Astfel, seria în studiu diverge.
Notă: Aici baza este gradul, deci

Exemplul 12: Folosim un semn integral.

Se obține un număr finit, ceea ce înseamnă că seria studiată este converge

Exemplul 14: Folosim semnul integral
Integrandul este continuu pe .

Astfel, seria în studiu divergeîmpreună cu integrala improprie corespunzătoare.
Notă: O serie poate fi examinată și folosindcriteriu limitativ de comparare . Pentru a face acest lucru, trebuie să deschideți parantezele de sub rădăcină și să comparați seria în studiu cu seria divergentă.

Alternând rânduri. semnul lui Leibniz. Exemple de soluții

Pentru a înțelege exemplele acestei lecții, trebuie să înțelegeți bine seria de numere pozitive: înțelegeți ce este o serie, cunoașteți semnul necesar pentru convergența unei serii, să fiți capabil să aplicați teste de comparație, testul lui d'Alembert , testul lui Cauchy. Subiectul poate fi ridicat aproape de la zero prin studierea constantă a articolelor Rânduri pentru manechineŞi semnul lui D'Alembert. semnele lui Cauchy. În mod logic, această lecție este a treia la rând și vă va permite nu numai să înțelegeți rândurile alternative, ci și să consolidați materialul deja parcurs! Nu va fi puțină noutate, iar stăpânirea rândurilor alternative nu va fi dificilă. Totul este simplu și accesibil.

Ce este un serial alternativ? Acest lucru este clar sau aproape clar din numele însuși. Doar un exemplu simplu Să ne uităm la serie și să o descriem mai detaliat:

Și acum va fi un comentariu criminal. Membrii unei serii alternante au semne alternante: plus, minus, plus, minus, plus, minus etc. la infinit.
Alinierea oferă un multiplicator: dacă par, va exista un semn plus, dacă este impar, va exista un semn minus. În jargonul matematic, acest lucru se numește „flasher”. Astfel, o serie alternativă este „identificată” cu minus unu la gradul „en”.

În exemple practice, alternarea termenilor seriei poate fi asigurată nu numai de multiplicator, ci și de frații săi: , , , …. De exemplu:

Capcana sunt „înșelăciunile”: , , etc. - astfel de multiplicatori nu furnizați schimbarea semnului. Este absolut clar că pentru orice firesc: , , . Rândurile cu înșelăciuni sunt alunecate nu numai studenților deosebit de dotați, ci apar din când în când „de la sine” în timpul soluționării serie functionala.

Cum să examinăm o serie alternativă pentru convergență? Folosiți testul lui Leibniz. Nu vreau să spun nimic despre gigantul german al gândirii Gottfried Wilhelm Leibniz, deoarece, pe lângă lucrările sale de matematică, a scris mai multe volume despre filozofie. Periculoasă pentru creier.

testul lui Leibniz: Dacă membrii unei serii alternative monoton scăderea modulului, apoi seria converge. Sau in doua puncte:

2) Termenii seriei scad în valoare absolută: . Mai mult, ele scad monoton.

Dacă este completat ambele condiții, atunci seria converge.

Informații scurte despre modul sunt oferite în manualFormule fierbinți pentru cursul școlar de matematică , dar pentru comoditate încă o dată:

Ce înseamnă „modulo”? Modulul, așa cum ne amintim de la școală, „mănâncă” semnul minus. Să revenim la rând. Ștergeți mental toate semnele cu o radieră și să ne uităm la cifre. Vom vedea asta fiecare următoare membru al seriei Mai puțin decât precedentul. Astfel, următoarele expresii înseamnă același lucru:

– Membrii seriei indiferent de semn sunt în scădere.
– Membrii seriei scad modulo.
– Membrii seriei scad în valoare absolută.
– Modul termenul comun al seriei tinde spre zero: Sfârșitul ajutorului

Acum să vorbim puțin despre monotonie. Monotonia este o consistență plictisitoare.

Membrii seriei strict monoton scăderea modulului dacă FIECARE URMĂTOR membru al seriei modulo MAI MAI MULT decât anterior: . Seria are o monotonitate strictă în scădere, poate fi descrisă în detaliu:

Sau putem spune pe scurt: fiecare membru următor al seriei modulo mai puțin decât precedentul: .

Membrii seriei nu strict monoton scădere în modulo dacă FIECARE URMĂTOR membru al seriei modulo NU ESTE MAI MARE decât precedentul: . Să luăm în considerare o serie cu un factorial: Există o monotonitate liberă aici, deoarece primii doi termeni ai seriei sunt identici ca modul. Adică fiecare membru următor al seriei modulo nu mai mult decât precedentul: .

În condițiile teoremei lui Leibniz, monotonitatea descrescătoare trebuie să fie satisfăcută (nu contează dacă este strictă sau nestrictă). În acest caz, membrii seriei pot chiar și creșterea modulului de ceva timp, dar „coada” serialului trebuie neapărat să fie monoton în scădere. Nu trebuie să-mi fie frică de ceea ce am adunat exemplele practice vor pune totul la locul lui:

Exemplul 1 Examinați seria pentru convergență

Termenul comun al seriei include un factor, ceea ce înseamnă că trebuie să utilizați criteriul Leibniz

1) Verificarea rândului pentru alternanță. De obicei, în acest moment al deciziei, seria este descrisă în detaliu și se pronunță verdictul „Serialul alternează”.

2) Termenii seriei scad în valoare absolută? Este necesar să se rezolve limita, care este de cele mai multe ori foarte simplă.

– termenii seriei nu scad în modul. Apropo, nu mai este nevoie să discutăm despre monotonia scăderii. Concluzie: seria diverge.

Cum să-ți dai seama ce este egal? Foarte simplu. După cum știți, modulul distruge contra, așa că pentru a crea unul, trebuie doar să îndepărtați lumina intermitentă de pe acoperiș. În acest caz, termenul comun al seriei este . Scoatem prostesc „lumina intermitentă”: .

Exemplul 2 Examinați seria pentru convergență

Folosim criteriul lui Leibniz:

1) Seria este alternantă.

2) – termenii seriei scad în valoare absolută. Fiecare membru următor al seriei este mai puțin în valoare absolută decât precedentul: astfel, scăderea este monotonă.

Concluzie: seria converge.

Totul ar fi foarte simplu - dar acesta nu este sfârșitul soluției!

Dacă o serie converge după testul lui Leibniz, atunci se mai spune că seria converge conditionat.

Dacă converge și o serie compusă din module, atunci ei spun că seria converge absolut.

Prin urmare, a doua etapă a rezolvării unei probleme tipice este pe ordinea de zi - studierea semnului seriei alternative pentru convergența absolută.

Nu este vina mea - asta este doar teoria seriei de numere =)

Să examinăm seria noastră pentru convergență absolută.
Să compunem o serie de module - din nou pur și simplu înlăturăm factorul care asigură alternanța semnelor: - diverge (seria armonică).

Astfel seria noastră nu este absolut convergent.
Seria in studiu converge doar conditionat.

Rețineți că în Exemplul nr. 1 nu este nevoie de a studia convergența non-absolută, deoarece la prima etapă s-a ajuns la concluzia că seria diverge.

Colectăm găleți, lopeți, mașini și lăsăm cutia cu nisip pentru a privi lumea cu ochii larg deschiși din cabina excavatorului meu:

Exemplul 3 Examinați seria pentru convergență Folosim criteriul Leibniz:

1)
Această serie este alternativă.

2) – termenii seriei scad în valoare absolută. Fiecare membru următor al seriei este mai puțin în valoare absolută decât precedentul: aceasta înseamnă că scăderea este monotonă. Concluzie: seria converge.

Analizând umplerea seriei ajungem la concluzia că aici este necesar să folosim criteriul limitativ pentru comparație. Este mai convenabil să deschideți parantezele la numitor:

Să comparăm această serie cu o serie convergentă. Folosim criteriul limitativ pentru comparație.

Se obține un număr finit diferit de zero, ceea ce înseamnă că seria converge cu seria. Seria în studiu converge absolut.

Exemplul 4 Examinați seria pentru convergență

Exemplul 5 Examinați seria pentru convergență

Acestea sunt exemple pe care le puteți decide pe cont propriu. Soluția completă și proiectarea eșantionului la sfârșitul secțiunii.

După cum puteți vedea, rândurile alternative sunt simple și plictisitoare! Dar nu vă grăbiți să închideți pagina, în doar câteva ecrane ne vom uita la un caz care îi derută pe mulți. Între timp, încă câteva exemple pentru exersare și repetare.

Exemplul 6 Examinați seria pentru convergență

Folosim criteriul lui Leibniz.
1) Seria este alternantă.
2)
Termenii seriei scad în modul. Fiecare membru următor al seriei este mai puțin în valoare absolută decât precedentul, ceea ce înseamnă că scăderea este monotonă. Concluzie: seria converge.

Vă rugăm să rețineți că nu am descris în detaliu membrii seriei. Este întotdeauna recomandabil să le descrii, dar din cauza lenei irezistibile în cazurile „dificile”, te poți limita la expresia „Serialul alternează în semn”. Apropo, nu este nevoie să tratăm acest punct în mod formal, verificăm mereu(cel puțin mental) că seria de fapt alternează. O privire rapidă eșuează și o greșeală este făcută automat. Amintiți-vă despre „înșelăciunile”, , , dacă există, atunci trebuie să scăpați de ele, obținând o serie „obișnuită” cu termeni pozitivi.

A doua subtilitate se referă la sintagma despre monotonie, pe care am scurtat-o și eu pe cât posibil. Puteți face acest lucru și aproape întotdeauna sarcina dvs. va fi acceptată. Voi spune ceva complet rău - personal, adesea tac despre monotonie și un astfel de număr trece. Dar fii pregătit să descrii totul în detaliu, până la lanțuri detaliate de inegalități (vezi exemplul de la începutul lecției). În plus, uneori monotonia nu este strictă, iar acest lucru trebuie, de asemenea, monitorizat pentru a înlocui cuvântul „mai puțin” cu cuvântul „nu mai mult”.

Să examinăm seria pentru convergență absolută:

Evident, trebuie să utilizați testul radical Cauchy:

Astfel, seria converge. Seria în studiu converge absolut.

Exemplul 7 Examinați seria pentru convergență

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă Adesea, există rânduri alternative care provoacă dificultăți.

Exemplul 8 Examinați seria pentru convergență

Folosim criteriul lui Leibniz:
1) Seria este alternantă.

Ideea este că nu există tehnici standard, de zi cu zi, pentru rezolvarea unor astfel de limite. Unde se duce aceasta limita? La zero, la infinit? Ceea ce este important aici este CEA crește mai repede la infinit– numărător sau numitor.

NOTĂ: conceptul de ordine de creștere a unei funcții este tratat în detaliu în articolMetode de rezolvare a limitelor . Avem limitele secvenței, dar asta nu schimbă esența.

Dacă numărătorul la crește mai repede decât factorialul, atunci . Dacă, la infinit, factorialul crește mai repede decât numărătorul, atunci, dimpotrivă, va „trage” limita la zero: . Sau poate că această limită este egală cu un număr diferit de zero?

Să încercăm să scriem primii termeni ai seriei:
puteți înlocui un polinom de gradul al miilea, iar acest lucru nu va schimba situația - mai devreme sau mai târziu, factorialul va „depăși” un polinom atât de teribil. Factorială ordin superior de creștere decât orice secvență de putere.

– Factorialul crește mai repede decât produs de orice cantitate secvențe exponențiale și de putere (cazul nostru).

– Orice o secvență exponențială crește mai repede decât orice secvență de putere, de exemplu: , . Secvență exponențială ordin superior de creștere decât orice secvență de putere. Similar factorialului, secvența exponențială „trage” produsul oricărui număr de secvențe de putere sau polinoame: .

– Există ceva mai „mișto” decât factorial? Mânca! O secvență exponențială de putere („en” la puterea „en”) crește mai repede decât factorial. În practică este rar, dar informațiile nu vor fi de prisos. Sfârșitul ajutorului

Astfel, al doilea punct al studiului (mai ții minte asta? =)) poate fi scris astfel:
2) , deoarece ordinea de creștere este mai mare decât .
Termenii seriei scad în modul, pornind de la un anumit număr, în acest caz, fiecare membru următor al seriei este mai puțin în valoare absolută decât precedentul, astfel scăderea este monotonă.

Concluzie: seria converge.

Iată exact cazul curios când termenii seriei cresc pentru prima dată în valoare absolută, motiv pentru care am avut o părere inițială eronată despre limită. Dar, incepand de la un numar "en", factorialul este depășit de numărător, iar „coada” seriei devine monoton descrescătoare, ceea ce este fundamental pentru îndeplinirea condițiilor teoremei lui Leibniz. Ce este exact acest „en” este destul de greu de aflat.

Conform teoremei corespunzătoare, din convergența absolută a seriei urmează convergența condiționată a seriei. Concluzie: Seria de studiu converge absolut.

Și în sfârșit, câteva exemple pe care să le decideți singur. Una din aceeași operă (recitiți ajutorul), dar mai simplu. Un altul pentru gurmanzi este consolidarea semnului integral al convergenței.

Exemplul 9 Examinați seria pentru convergență

Exemplul 10 Examinați seria pentru convergență

După un studiu de înaltă calitate al seriilor numerice pozitive și alternante, cu conștiința curată puteți trece la serie functionala, care nu sunt mai puțin monotone și monotone sunt interesante.

Solutii si raspunsuri:

Exemplul 4: Folosim criteriul Leibniz:

1) Această serie este alternativă.
2)
Termenii seriei nu scad în modul. Concluzie: seria diverge..

, în acest caz, fiecare membru următor al seriei este mai puțin în valoare absolută decât precedentul, astfel scăderea este monotonă. converge doar conditionat.

Astfel, seria diverge împreună cu integrala improprie corespunzătoare. Seria în studiu
Semne de convergență a seriei.

semnul lui D'Alembert. semnele lui Cauchy
Munca, munca - și înțelegerea vor veni mai târziu

J.L. d'Alembert Felicitări tuturor pentru începutul anului școlar! Astăzi este 1 septembrie și, în cinstea sărbătorii, am decis să prezint cititorilor ceea ce ați așteptat cu nerăbdare și dornici să știți de mult timp - semne de convergenţă a seriilor numerice pozitive

. Vacanța de la 1 septembrie și felicitările mele sunt întotdeauna relevante, e în regulă dacă de fapt este vară afară, acum reluezi examenul pentru a treia oară, studiază dacă ai vizitat această pagină! Pentru cei care abia încep să studieze seriale, recomand să citiți mai întâi articolul Serii de numere pentru manechine

. De fapt, acest cărucior este o continuare a banchetului. Deci, astăzi în lecție ne vom uita la exemple și soluții pe subiecte:

Înainte de a formula semnul în sine, să luăm în considerare o întrebare importantă:
Când ar trebui folosit testul de convergență al lui D'Alembert?

Testul de convergență al lui D'Alembert
1) Numitorul conține un polinom.
2) Polinoamele sunt atât la numărător, cât și la numitor.
3) Unul sau ambele polinoame pot fi sub rădăcină.

Principalele premise pentru aplicarea testului lui d'Alembert sunt următoarele:

4) Desigur, pot exista mai multe polinoame și rădăcini.

1) Termenul comun al seriei („umplerea” seriei) include într-o anumită măsură un număr, de exemplu, , , și așa mai departe. Mai mult, nu contează deloc unde se află acest lucru, la numărător sau la numitor - ceea ce contează este că este prezent acolo.

…

…

! Când folosim testul lui d'Alembert, va trebui să descriem factorialul în detaliu. Ca și în paragraful anterior, factorialul poate fi situat în partea de sus sau de jos a fracției.

2) Termenul comun al seriei include factorialul. Am încrucișat săbiile cu factoriali înapoi în secvența de numere a lecției și limita ei. Cu toate acestea, nu va strica să întindeți din nou fața de masă auto-asamblată: 3) Dacă în termenul general al seriei există un „lanț de factori”, de exemplu,

Alături de puteri și/sau factoriali, polinoamele se găsesc adesea în umplerea unei serii, acest lucru nu schimbă situația - trebuie să folosiți semnul lui D'Alembert.

În plus, într-un termen comun al unei serii pot apărea simultan atât un grad, cât și un factorial; pot fi doi factoriali, două grade, important este să existe măcar ceva din punctele luate în considerare - și tocmai aceasta este condiția prealabilă pentru utilizarea semnului lui d’Alembert.

semnul lui D'Alembert: Să luăm în considerare serie de numere pozitive. Dacă există o limită a raportului dintre termenul următor și cel anterior: , atunci:
a) Când rând converge
b) Când rând diverge
c) Când semnul nu dă un răspuns. Trebuie să folosiți un alt semn. Cel mai adesea, unul se obține în cazul în care încearcă să aplice testul D'Alembert unde este necesar să se folosească testul de comparație limitativă.

Și acum exemplele mult așteptate.

Exemplul 1

Folosim semnul lui d'Alembert:

converge.
(1) Compunem raportul dintre membrul următor al seriei față de cel anterior: . Din condiție vedem că termenul general al seriei este . Pentru a obține următorul membru al seriei de care aveți nevoie ÎN LOC pentru a înlocui: .
(2) Scăpăm de fracția cu patru etaje. Dacă aveți ceva experiență cu soluția, puteți sări peste acest pas.
(3) Deschideți parantezele la numărător. La numitor îi scoatem pe cei patru din putere.
(4) Reduceți cu . Luăm constanta dincolo de semnul limită. La numărător prezentăm termeni similari între paranteze.
(5) Incertitudinea este eliminată în mod standard - prin împărțirea numărătorului și numitorului la „en” la cea mai mare putere.
(6) Împărțim numeratorii termen cu termen la numitori și indicăm termenii care tind spre zero.
(7) Simplificăm răspunsul și notăm că cu concluzia că, după criteriul lui D’Alembert, seria studiată converge.

Exemplul 2

Să luăm o serie similară și să o examinăm pentru convergență

Mai întâi soluția completă, apoi comentariile:

Folosim semnul lui d'Alembert:

Astfel, seria în studiu converge.

(1) Creăm relația .

(3) Luați în considerare expresia la numărător și expresia la numitor. Vedem că în numărător trebuie să deschidem parantezele și să le ridicăm la a patra putere: , ceea ce nu vrem să facem. Și pentru cei care nu sunt familiarizați cu binomul lui Newton, această sarcină va fi și mai dificilă. Să analizăm gradele superioare: dacă deschidem parantezele de sus , atunci vom obține o diplomă superior. Mai jos avem aceeași grad superior: . Prin analogie cu exemplul anterior, este evident că atunci când împărțim termenul numărător și numitor cu termen, ajungem cu unul în limită. Sau, după cum spun matematicienii, polinoame Și - aceeași ordine de creștere. Astfel, este foarte posibil să conturați relația cu un simplu creion și indică imediat că acest lucru tinde spre unul. Ne ocupăm de a doua pereche de polinoame în același mod: și , și ei aceeași ordine de creștere, iar raportul lor tinde spre unitate.

Exemplul 3

Examinați seria pentru convergență

Să ne uităm la exemple tipice cu factoriali:

Exemplul 4

Examinați seria pentru convergență

Termenul comun al seriei include atât gradul, cât și factorialul. Este clar ca ziua că semnul lui d'Alembert trebuie folosit aici. Să decidem.

Astfel, seria în studiu diverge.
(1) Creăm relația . Repetăm din nou. După condiție, termenul comun al seriei este: . Pentru a obține următorul termen din serie, în schimb trebuie să înlocuiți, Astfel: .
(2) Scăpăm de fracția cu patru etaje.
(3) Ciupiți cei șapte din grad. Descriem factorii în detaliu. Cum să faci asta - vezi începutul lecției sau articolul despre secvențele de numere.
(4) Tăiem tot ce poate fi tăiat.
(5) Mutăm constanta dincolo de semnul limită. Deschideți parantezele la numărător.
(6) Eliminam incertitudinea în modul standard - prin împărțirea numărătorului și numitorului la „en” la cea mai mare putere.

Exemplul 5

Examinați seria pentru convergență

Soluția completă și proiectarea eșantionului la sfârșitul lecției

Exemplul 6

Examinați seria pentru convergență

Din expansiune vedem că fiecare membru următor al seriei are un factor suplimentar adăugat la numitor, prin urmare, dacă membrul comun al seriei , apoi următorul membru al seriei:
. Aici ei fac adesea automat o greșeală, scriind oficial conform algoritmului care

Un exemplu de soluție ar putea arăta astfel:

Folosim semnul lui d'Alembert:

Astfel, seria în studiu converge.

Semnul lui Cauchy radical

Testul de convergență al lui Cauchy pentru seriile de numere pozitive este oarecum similar cu testul lui D'Alembert tocmai discutat.

Semnul radical Cauchy: Să luăm în considerare serie de numere pozitive. Dacă există o limită: , atunci:
a) Când rând converge. În special, seria converge la .
b) Când rând diverge. În special, seria diverge la .
c) Când semnul nu dă un răspuns. Trebuie să folosiți un alt semn. Este interesant de observat că, dacă testul lui Cauchy nu ne oferă un răspuns la întrebarea convergenței unei serii, atunci nici testul lui D'Alembert nu ne va oferi un răspuns. Dar dacă semnul lui d’Alembert nu dă un răspuns, atunci semnul lui Cauchy poate „funcționează”. Adică semnul Cauchy este în acest sens un semn mai puternic.

Când ar trebui să utilizați semnul radical Cauchy? Testul radical Cauchy este folosit de obicei în cazurile în care rădăcina „bună” este extrasă dintr-un membru comun al seriei. De regulă, acest ardei este într-un grad care depinde de. Există și cazuri exotice, dar nu ne vom face griji pentru ele.

Exemplul 7

Examinați seria pentru convergență

Vedem că fracția este complet sub o putere care depinde de „en”, ceea ce înseamnă că trebuie să folosim testul radical Cauchy:

Astfel, seria în studiu diverge.

(1) Formulăm termenul comun al seriei sub rădăcină.

(2) Rescriem același lucru, doar fără rădăcină, folosind proprietatea gradelor.
(3) În indicator, împărțim numărătorul la numitor termen cu termen, indicând că
(4) Ca urmare, avem incertitudine. Aici puteți merge pe calea lungă: cub, cub, apoi împărțiți numărătorul și numitorul la „en” cub. Dar în acest caz există o soluție mai eficientă: această tehnică poate fi utilizată direct sub gradul constant. Pentru a elimina incertitudinea, împărțiți numărătorul și numitorul la (cea mai mare putere a polinoamelor).

(5) Efectuăm împărțirea termen cu termen și indicăm termenii care tind spre zero.
(6) Ne aducem în minte răspunsul, notăm ce avem și concluzionăm că seria diverge.

Iată un exemplu mai simplu pe care să-l rezolvi singur:

Exemplul 8

Examinați seria pentru convergență

Și încă câteva exemple tipice.

Soluția completă și proiectarea eșantionului la sfârșitul lecției

Exemplul 9

Examinați seria pentru convergență
Folosim testul radical Cauchy:

Astfel, seria în studiu converge.

(1) Puneți termenul comun al seriei sub rădăcină.

(2) Rescriem același lucru, dar fără rădăcină, în timp ce deschidem parantezele folosind formula de înmulțire prescurtată: .
(3) În indicator, împărțim numărătorul la numitor termen cu termen și indicăm că .
(4) Se obține o incertitudine a formei și și aici se poate face împărțirea direct sub grad. Dar cu o condiție: coeficienţii puterilor superioare ale polinoamelor trebuie să fie diferiţi. Ale noastre sunt diferite (5 și 6) și, prin urmare, este posibil (și necesar) să împărțim ambele etaje în . Dacă aceşti coeficienţi sunt la fel, de exemplu (1 și 1): , atunci un astfel de truc nu funcționează și trebuie să îl utilizați a doua limită minunată. Dacă vă amintiți, aceste subtilități au fost discutate în ultimul paragraf al articolului Metode de rezolvare a limitelor.

(5) Efectuăm de fapt împărțirea termen cu termen și indicăm care termeni tind spre zero.
(6) Incertitudinea a fost eliminată, ne rămâne cu cea mai simplă limită: . De ce în infinit de mare tinde spre zero? Deoarece baza gradului satisface inegalitatea. Dacă cineva are îndoieli cu privire la corectitudinea limitei , atunci nu voi fi leneș, voi lua un calculator:
Dacă, atunci
Dacă, atunci
Dacă, atunci
Dacă, atunci
Dacă, atunci
...etc. la infinit - adică la limită:

Doar așa progresie geometrică infinit descrescătoare pe degetele tale =)
! Nu folosi niciodată această tehnică ca dovadă! Pentru că doar pentru că ceva este evident, asta nu înseamnă că este corect.

(7) Indicăm că concluzionăm că seria converge.

Exemplul 10

Examinați seria pentru convergență

Acesta este un exemplu de rezolvat singur.

Testul Cauchy integral

Sau doar un semn integral. Îi voi dezamăgi pe cei care nu au înțeles bine materialul de prim curs. Pentru a aplica testul integral Cauchy, trebuie să fii mai mult sau mai puțin încrezător în a găsi derivate, integrale și, de asemenea, să ai abilități de calcul integrală improprie primul fel.

În manualele de analiză matematică testul Cauchy integral dat matematic strict, dar prea confuz, așa că voi formula semnul nu prea strict, dar clar:

Să luăm în considerare serie de numere pozitive. Dacă există o integrală improprie, atunci seria converge sau diverge împreună cu această integrală.

Și doar câteva exemple pentru clarificare:

Exemplul 11

Examinați seria pentru convergență

Aproape un clasic. Logaritm natural și niște prostii.

Principala condiție prealabilă pentru utilizarea testului integral Cauchy este este faptul că termenul general al seriei conţine factori asemănători unei anumite funcţii şi derivatei acesteia. Din subiect

Înainte de a formula semnul în sine, să luăm în considerare o întrebare importantă:
Când ar trebui folosit testul de convergență al lui D'Alembert?

Principalele premise pentru aplicarea testului lui d'Alembert sunt următoarele:

1) Termenul comun al seriei („umplutura” a seriei) include într-o anumită măsură un număr, de exemplu, și așa mai departe. Mai mult, nu contează deloc unde se află aceste funcții, la numărător sau la numitor – ceea ce contează este că ele sunt prezente acolo.

2) Termenul comun al seriei include factorialul. Ce este factorial?

…

…

! Când folosim testul lui d'Alembert, va trebui să descriem factorialul în detaliu. Ca și în paragraful anterior, factorialul poate fi situat în partea de sus sau de jos a fracției.

Alături de puteri și/sau factoriali, polinoamele se găsesc adesea în umplerea unei serii, acest lucru nu schimbă situația - trebuie să folosiți semnul lui D'Alembert.

În plus, într-un termen comun al unei serii pot apărea simultan atât un grad, cât și un factorial; pot fi doi factoriali, două grade, important este să existe măcar ceva din punctele luate în considerare - și tocmai aceasta este condiția prealabilă pentru utilizarea semnului lui d’Alembert.

semnul lui D'Alembert: Să luăm în considerare serie de numere pozitive. Dacă există o limită a raportului dintre termenul următor și cel anterior: , atunci:
a) Când rând converge
b) Când rând diverge
c) Când semnul nu dă un răspuns. Trebuie să folosiți un alt semn. Cel mai adesea, unul se obține în cazul în care încearcă să aplice testul D'Alembert unde este necesar să se folosească testul de comparație limitativă.

Fără o înțelegere a limitei și capacitatea de a dezvălui incertitudinea, din păcate, nu se poate avansa.

Exemplu:
Soluţie: Vedem că în termenul general al seriei avem , iar aceasta este o condiție prealabilă sigură pentru utilizarea testului lui d'Alembert.

Folosim semnul lui d'Alembert:

converge.

Semnul radical Cauchy.

Testul de convergență al lui Cauchy pentru seriile de numere pozitive este oarecum similar cu testul lui D'Alembert tocmai discutat.

! Este interesant de observat că, dacă testul lui Cauchy nu ne oferă un răspuns la întrebarea convergenței unei serii, atunci nici testul lui D'Alembert nu ne va oferi un răspuns. Dar dacă semnul lui d’Alembert nu dă un răspuns, atunci semnul lui Cauchy poate „funcționează”. Adică semnul Cauchy este în acest sens un semn mai puternic.

!!! Când ar trebui să utilizați semnul radical Cauchy? Testul radical Cauchy este folosit de obicei în cazurile în care termenul comun al seriei COMPLET este în grad in functie de "ro". Sau când rădăcina „bun” este extrasă dintr-un membru comun al seriei. Există și cazuri exotice, dar nu ne vom face griji pentru ele.

Exemplu: Examinați seria pentru convergență

Soluţie: Vedem că termenul general al seriei este complet sub o putere care depinde de , ceea ce înseamnă că trebuie să folosim testul radical Cauchy:

Astfel, seria în studiu diverge.

Testul Cauchy integral.

Pentru a aplica testul integral Cauchy, trebuie să fii mai mult sau mai puțin încrezător în a găsi derivate, integrale și, de asemenea, să ai abilități de calcul integrală improprie primul fel.

O voi formula cu propriile mele cuvinte (pentru ușurința înțelegerii).

Testul Cauchy integral: Să luăm în considerare serie de numere pozitive. Această serie converge sau diverge împreună cu integrala improprie corespunzătoare.

! !! Principala condiție prealabilă pentru utilizarea testului integral Cauchy este este faptul că în termenul general al seriei există o anumită funcție și derivata ei.

Exemplu: Examinați seria pentru convergență

Soluţie: Din subiect Derivat probabil vă amintiți cel mai simplu lucru de tabel: , și avem doar un astfel de caz canonic.

Acum trebuie să calculăm integrala improprie. În acest caz, sunt posibile două cazuri:

1) Dacă se dovedește că integrala converge, atunci și seria noastră va converge.

2) Dacă se dovedește că integrala diverge, atunci și seria noastră va diverge.

Folosim semnul integral:

Funcția integrand este activă continuă

Astfel, seria în studiu divergeîmpreună cu integrala improprie corespunzătoare.

Exemplu: Investigați convergența seriei

Soluţie: in primul rand sa verificam un semn necesar de convergenţă a unei serii. Aceasta nu este o formalitate, ci o șansă excelentă de a trata exemplul cu „mică vărsare de sânge”.

Secvență de numere superior ordinea de crestere, decât , prin urmare , adică semnul necesar de convergență este satisfăcut, iar seria poate fie să converge, fie să diverge.

Prin urmare, trebuie să utilizați un fel de semn. Dar care? Limita de comparațieîn mod clar nu se potrivește, deoarece un logaritm a fost strâns în termenul comun al seriei, semnele lui d'Alembert şi Cauchy nici nu conduc la rezultate. Dacă am avea, atunci cel puțin am putea scăpa caracteristică integrală.

„Inspecția locului crimei” sugerează o serie divergentă (cazul unei serii armonice generalizate), dar din nou se pune întrebarea, cum să luăm în considerare logaritmul în numărător?

Ceea ce rămâne este chiar primul semn de comparație, bazat pe inegalități, care adesea nu este luat în considerare și adună praful pe un raft îndepărtat. Să descriem seria mai detaliat:

Permiteți-mi să vă reamintesc că – în creștere nelimitată succesiune de numere:

Și, pornind de la număr, inegalitatea va fi satisfăcută:

adică membrii seriei vor fi chiar mai mult membri relevanți divergente rând.

Drept urmare, serialul nu are de ales decât să se disperseze.

Convergența sau divergența unei serii de numere depinde de „coada sa infinită” (restul). În cazul nostru, putem ignora faptul că inegalitatea nu este adevărată pentru primele două numere - acest lucru nu afectează concluzia.

Exemplul final ar trebui să arate cam așa:

Să comparăm această serie cu o serie divergentă.
Pentru toate numerele, începând cu , inegalitatea este satisfăcută, prin urmare, conform criteriului de comparare, seria studiată diverge.

Alternând rânduri. semnul lui Leibniz. Exemple de soluții.

Ce este un serial alternativ? Acest lucru este clar sau aproape clar din numele în sine. Doar un exemplu simplu.

Să ne uităm la serie și să o descriem mai detaliat:

Alinierea oferă un multiplicator: dacă par, va exista un semn plus, dacă este impar, va exista un semn minus.

În exemple practice, alternarea termenilor seriei poate fi asigurată nu numai de multiplicator, ci și de frații săi: , , , …. De exemplu:

Capcana sunt „înșelăciunile”: , , etc. - astfel de multiplicatori nu furnizați schimbarea semnului. Este absolut clar că pentru orice firesc: , , .

Cum să examinăm o serie alternativă pentru convergență? Folosiți testul lui Leibniz.

testul lui Leibniz: Dacă într-o serie alternativă sunt îndeplinite două condiţii: 1) termenii seriei scad monoton în valoare absolută. 2) limita termenului comun în modul este egală cu zero, atunci seria converge, iar modulul sumei acestei serii nu depășește modulul primului termen.

Scurte informații despre modul:

Ce înseamnă „modulo”? Modulul, așa cum ne amintim de la școală, „mănâncă” semnul minus. Să revenim la rând . Ștergeți mental toate semnele cu o radieră și să ne uităm la cifre. Vom vedea asta fiecare următoare membru al seriei Mai puțin decât precedentul.

Acum puțin despre monotonie.

Membrii seriei strict monoton scăderea modulului dacă FIECARE URMĂTOR membru al seriei modulo MAI MAI MULT decât anterior: . Pentru un rând Monotonitatea strictă a scăderii este îndeplinită poate fi descrisă în detaliu:

Sau putem spune pe scurt: fiecare membru următor al seriei modulo mai puțin decât precedentul: .

Membrii seriei nu strict monoton scădere în modulo dacă FIECARE URMĂTOR membru al seriei modulo NU ESTE MAI MARE decât precedentul: . Luați în considerare o serie cu factorial: Aici există o monotonitate slabă, deoarece primii doi termeni ai seriei sunt identici ca modul. Adică fiecare membru următor al seriei modulo nu mai mult decât precedentul: .

Exemplu: Examinați seria pentru convergență

Soluţie: Termenul comun al seriei include un factor, ceea ce înseamnă că trebuie să utilizați criteriul Leibniz

1) Verificarea seriei pentru scădere monotonă.

1<2<3<…, т.е. n+1>n – prima condiție nu este îndeplinită

2) – nici a doua condiție nu este îndeplinită.

Concluzie: seria diverge.

Definiţie: Dacă o serie converge după criteriul Leibniz și converge și o serie compusă din module, atunci ei spun că seria converge absolut.

Dacă o serie converge conform criteriului Leibniz și o serie compusă din module diverge, atunci seria se spune că este converge conditionat.

Dacă o serie compusă din module converge, atunci converge și această serie.

Prin urmare, o serie convergentă alternativă trebuie examinată pentru convergență absolută sau condiționată.

Exemplu:

Soluţie: Folosim criteriul lui Leibniz:

1) Fiecare membru următor al seriei este mai puțin în valoare absolută decât precedentul: – prima condiție este îndeplinită.

2) – este îndeplinită și a doua condiție.

Concluzie: seria converge.

Să verificăm dacă există convergență condiționată sau absolută.

Să facem o serie de module - din nou pur și simplu eliminăm multiplicatorul, care asigură alternarea semnelor:
– diverge (seria armonică).

Astfel seria noastră nu este absolut convergent.
Seria in studiu converge conditionat.

Exemplu: Examinați o serie pentru convergență condiționată sau absolută

Soluţie: Folosim criteriul lui Leibniz:
1) Să încercăm să scriem primii termeni ai seriei:

…?!

Dacă numărătorul la crește mai repede decât factorialul, atunci . Dacă, la infinit, factorialul crește mai repede decât numărătorul, atunci acesta, dimpotrivă, va „trage” limita la zero: . Sau poate că această limită este egală cu un număr diferit de zero? sau . În schimb, puteți înlocui un polinom de gradul al miilea, iar acest lucru nu va schimba situația - mai devreme sau mai târziu, factorialul va „depăși” un polinom atât de teribil. Factorială ordin superior de creștere.

– Factorialul crește mai repede decât produs de orice cantitate secvențe exponențiale și de putere(cazul nostru).

– Orice o secvență exponențială crește mai repede decât orice secvență de putere, de exemplu: , . Secvență exponențială ordin superior de creștere decât orice secvență de putere. Similar cu factorialul, o secvență exponențială „trage” produsul oricărui număr de secvențe de putere sau polinoame: .

– Există ceva „mai puternic” decât factorial? Mânca! O secvență exponențială de putere („en” la puterea lui „en”) crește mai repede decât factorial. În practică este rar, dar informațiile nu vor fi de prisos.

Sfârșitul ajutorului

Astfel, al doilea punct al studiului poate fi redactat astfel:
2) , deoarece ordinea de creștere este mai mare decât .
Termenii seriei scad în modul, pornind de la un anumit număr, în acest caz, fiecare membru următor al seriei este mai puțin în valoare absolută decât precedentul, astfel scăderea este monotonă.

Concluzie: seria converge.

Iată exact cazul curios când termenii seriei cresc pentru prima dată în valoare absolută, motiv pentru care am avut o părere inițială eronată despre limită. Dar, incepand de la un numar "en", factorialul îl depășește pe numărător, iar „coada” seriei devine monoton descrescătoare, ceea ce este fundamental pentru îndeplinirea condițiilor teoremei lui Leibniz. Ce este exact acest „en” este destul de greu de aflat..

Examinăm seria pentru convergență absolută sau condiționată:

Și aici semnul lui D’Alembert funcționează deja:

Folosim semnul lui d'Alembert:

Astfel, seria converge.

Seria în studiu converge absolut.

Exemplul analizat poate fi rezolvat în alt mod (folosim un criteriu suficient pentru convergența unei serii alternative).

Un semn suficient de convergență al unei serii alternative: Dacă o serie compusă din valorile absolute ale termenilor unei serii date converge, atunci și seria dată converge.

A doua cale:

Examinați o serie pentru convergență condiționată sau absolută

Soluţie : Să examinăm seria pentru convergență absolută:

Folosim semnul lui d'Alembert:

Astfel, seria converge.
Pe baza unui criteriu suficient pentru convergența unei serii alternative, seria în sine converge.

Concluzie: Seria de studiu converge absolut.

Pentru a calcula suma unei serii cu o precizie dată Vom folosi următoarea teoremă:

Lasă seria alternativă să semneze satisface condiţiile criteriului lui Leibniz şi lasă – lui n suma parțială. Apoi seria converge și eroarea în calculul aproximativ al sumei sale Sîn valoare absolută nu depășește modulul primului termen aruncat:

Serii funcționale. Seria de putere.
Domeniul de convergență al seriei.

Pentru a stăpâni cu succes subiectul, trebuie să înțelegeți bine seria de numere obișnuite.

Testul lui D'Alembert pentru convergența seriilor pozitive. Serii de numere: definiții, proprietăți, semne de convergență, exemple, soluții. Condiție necesară și suficientă pentru convergența unei serii de numere pozitive

Astfel, seria diverge împreună cu integrala improprie corespunzătoare. Seria în studiu Semne de convergență a seriei.

. De fapt, acest cărucior este o continuare a banchetului. Deci, astăzi în lecție ne vom uita la exemple și soluții pe subiecte:

Semnul lui Cauchy radical

Testul Cauchy integral

Astfel, seria diverge împreună cu integrala improprie corespunzătoare. Seria în studiu
Semne de convergență a seriei.