1 Construcție suplimentară care duce la teorema liniei mediane a triunghiului, a trapezului și a proprietăților de similaritate ale triunghiurilor.
Și ea egal cu jumătate din ipotenuză.
Corolarul 1.
Corolarul 2.
Din aceasta este clar că 
1 Toate triunghiurile dreptunghiulare cu același unghi ascuțit sunt similare. O privire asupra funcțiilor trigonometrice.
Triunghiurile cu laturile hașurate și nehașurate sunt similare prin aceea că cele două unghiuri ale lor sunt egale. Prin urmare unde
Aceasta înseamnă că relațiile indicate depind numai de unghiul ascuțit al triunghiului dreptunghic și, în esență, îl determină. Acesta este unul dintre motivele apariției funcții trigonometrice:
Adesea, scrierea funcțiilor trigonometrice ale unghiurilor în triunghiuri dreptunghice similare este mai clară decât scrierea relațiilor de similitudine!
2 Un exemplu de construcție suplimentară este o înălțime coborâtă până la ipotenuză. Derivarea teoremei lui Pitagora pe baza asemănării triunghiurilor.
Să coborâm înălțimea CH până la ipotenuza AB. Avem trei triunghiuri similare ABC, AHC și CHB. Să scriem expresii pentru funcțiile trigonometrice:
Din aceasta este clar că . Adăugând, obținem teorema lui Pitagora, deoarece:
Pentru o altă demonstrație a teoremei lui Pitagora, vezi comentariul la problema 4.
3 Un exemplu important de construcție suplimentară este construcția unui unghi egal cu unul dintre unghiurile unui triunghi.
Executăm de sus unghi drept un segment drept care face un unghi cu piciorul CA, egal cu unghiul CAB a triunghiului dreptunghic dat ABC. Ca rezultat, obținem un triunghi isoscel ACM cu unghiuri de bază. Dar și celălalt triunghi rezultat din această construcție va fi isoscel, deoarece fiecare dintre unghiurile sale de la bază este egal (prin proprietatea unghiurilor unui triunghi dreptunghic și prin construcție - unghiul a fost „scăzut” din unghiul drept). Datorită faptului că triunghiurile BMC și AMC sunt isoscele cu latura comună MC, avem egalitatea MB=MA=MC, adică. M.C. mediana trasată la ipotenuza unui triunghi dreptunghic iar ea egal cu jumătate din ipotenuză.
Corolarul 1. Punctul de mijloc al ipotenuzei este centrul cercului circumscris acestui triunghi, deoarece se dovedește că punctul de mijloc al ipotenuzei este echidistant de vârfurile triunghiului dreptunghic.
Corolarul 2. Linia de mijloc a unui triunghi dreptunghic, care leagă mijlocul ipotenuzei și mijlocul catetei, este paralelă cu catetul opus și este egală cu jumătatea acestuia.
În triunghiurile isoscele BMC și AMC, să coborâm înălțimile MH și MG până la baze. Deoarece într-un triunghi isoscel, înălțimea coborâtă până la bază este și mediana (și bisectoarea), atunci MH și MG sunt liniile unui triunghi dreptunghic care leagă mijlocul ipotenuzei cu punctele medii ale catetelor. Prin construcție, ele se dovedesc a fi paralele cu picioarele opuse și egale cu jumătățile lor, deoarece triunghiurile sunt egale MHC și MGC sunt egale (și MHCG este un dreptunghi). Acest rezultat stă la baza demonstrației teoremei pe linia mediană a unui triunghi arbitrar și, în continuare, a liniei mediane a unui trapez și a proprietății de proporționalitate a segmentelor tăiate de drepte paralele pe două drepte care le intersectează.
Sarcini
Folosind proprietăți de similaritate -1
Utilizarea proprietăților de bază - 2
Folosind formația suplimentară 3-4
1 2 3 4
Înălțimea căzută de la vârful unui unghi drept al unui triunghi dreptunghic este egală cu rădăcina pătrată a lungimii segmentelor în care împarte ipotenuza.
Soluția pare evidentă dacă cunoașteți derivarea teoremei lui Pitagora din asemănarea triunghiurilor:
\(\mathrm(tg)\beta=\frac(h)(c_1)=\frac(c_2)(h)\),
de unde \(h^2=c_1c_2\).
Aflați locul punctelor (GMT) de intersecție a medianelor tuturor triunghiurilor dreptunghice posibile a căror ipotenuză AB este fixă.
Punctul de intersecție al medianelor oricărui triunghi separă o treime din mediană, numărând din punctul de intersecție cu latura corespunzătoare. ÎN triunghi dreptunghic Mediana trasată dintr-un unghi drept este egală cu jumătate din ipotenuză. Prin urmare, GMT-ul dorit este un cerc de rază egal cu 1/6 din lungimea ipotenuzei, cu un centru în mijlocul acestei ipotenuze (fixe).
Uneori, subiectele care sunt explicate în școală pot să nu fie întotdeauna clare prima dată. Acest lucru este valabil mai ales pentru o materie precum matematica. Dar lucrurile devin mult mai complicate atunci când această știință începe să fie împărțită în două părți: algebră și geometrie.
Fiecare elev poate avea o abilitate în una din două direcții, dar mai ales în școală primară Este important să înțelegeți baza atât a algebrei, cât și a geometriei. În geometrie, unul dintre subiectele principale este considerat a fi secțiunea despre triunghiuri.
Cum să găsiți linia mediană a unui triunghi? Să ne dăm seama.
Concepte de bază
Pentru început, pentru a vă da seama cum să găsiți linia de mijloc a unui triunghi, este important să înțelegeți ce este.
Nu există restricții privind trasarea liniei de mijloc: triunghiul poate fi orice (isoscel, echilateral, dreptunghiular). Și toate proprietățile care se referă la linia de mijloc vor fi în vigoare.
Linia mediană a unui triunghi este un segment care leagă punctele medii ale celor 2 laturi ale sale. Prin urmare, orice triunghi poate avea 3 astfel de drepte.
Proprietăți
Pentru a ști cum să găsim linia mediană a unui triunghi, să desemnăm proprietățile sale care trebuie reținute, altfel fără ele va fi imposibil să se rezolve problemele cu necesitatea de a desemna lungimea liniei mediane, deoarece toate datele obținute trebuie să fie fundamentate. și argumentat cu teoreme, axiome sau proprietăți.
Astfel, pentru a răspunde la întrebarea: „Cum să găsești linia mediană a triunghiului ABC?”, este suficient să cunoști una dintre laturile triunghiului.
Să dăm un exemplu
Aruncă o privire la poză. Afișează triunghiul ABC cu linia mijlocie DE. Rețineți că este paralel cu baza AC în triunghi. Prin urmare, indiferent de valoarea lui AC, linia medie DE va fi la jumătate mai mare. De exemplu, AC=20 înseamnă DE=10 etc.
În aceste moduri simple puteți înțelege cum să găsiți linia de mijloc a unui triunghi. Amintiți-vă proprietățile și definiția lui de bază și atunci nu veți avea niciodată probleme în a-i găsi sensul.
Subiectul lecției
Linia de mijloc a triunghiului
Obiectivele lecției
Să consolideze cunoștințele școlarilor despre triunghiuri;
Introduceți elevilor conceptul de linie de mijloc a unui triunghi;
Dezvoltarea cunoștințelor elevilor despre proprietățile triunghiurilor;
Continuați să învățați copiii cum să folosească proprietățile formelor atunci când rezolvă probleme;
Dezvolta gândire logică, perseverența și atenția elevilor.
Obiectivele lecției
Formarea cunoștințelor elevilor despre linia mediană a triunghiurilor;
Testează cunoștințele elevilor pe subiecte despre triunghiuri;
Testați abilitățile elevilor de rezolvare a problemelor.
Pentru a dezvolta interesul elevilor pentru științe exacte;
Continuați să dezvolte capacitatea elevilor de a-și exprima gândurile și de a stăpâni limbajul matematic;
Planul de lecție
1. Linia de mijloc a triunghiului. Concepte de bază.
2. Linia mediană a unui triunghi, teoreme și proprietăți.
3. Repetarea materialului studiat anterior.
4. Principalele linii ale triunghiului și proprietățile lor.
5. Fapte interesante din domeniul matematicii.
6. Tema pentru acasă.
Linia de mijloc a triunghiului
Linia mediană a unui triunghi este un segment care leagă punctele de mijloc a două laturi ale unui triunghi dat.
Fiecare triunghi are trei linii de mijloc care formează un alt triunghi nou situat în interior.
Vârfurile triunghiului nou format sunt situate la mijlocul laturilor acestui triunghi.
În fiecare triunghi este posibil să se deseneze trei linii de mijloc.
Acum să aruncăm o privire mai atentă la acest subiect. Uită-te la modelul triunghiului de mai sus. În fața ta este triunghiul ABC, pe care desenezi liniile de mijloc. Segmentele MN, MP și NP formează un alt triunghi MNP în interiorul acestui triunghi.
Proprietățile liniei mediane a unui triunghi
Fiecare linie mediană a unui triunghi care leagă punctele de mijloc ale laturilor sale are următoarele proprietăți:
1. Linia de mijloc a triunghiului este paralelă cu a treia latură a sa și egală cu jumătatea acesteia.
Astfel, vedem că latura AC este paralelă cu MN, care este jumătate din dimensiunea laturii AC.
2. Liniile mediane ale triunghiului îl împart în patru triunghiuri egale.
Dacă ne uităm la triunghiul ABC, vedem că liniile de mijloc MN, MP și NP l-au împărțit în patru triunghiuri egale, rezultând triunghiuri MBN, PMN, NCP și AMP.
3. Linia mediană a unui triunghi decupează dintr-un triunghi dat unul similar, a cărui zonă este egală cu un sfert din triunghiul original.
Deci, de exemplu, în triunghiul ABC, linia mediană MP se desprinde din acest triunghi, formând triunghiul AMP, a cărui zonă este egală cu un sfert din triunghiul ABC.
Triunghiuri
În clasele anterioare, ați studiat deja o astfel de figură geometrică ca un triunghi și știți ce tipuri de triunghiuri există, cum diferă și ce proprietăți au.
Triunghiul este unul dintre cele mai simple forme geometrice, care au trei laturi, trei unghiuri și aria lor este limitată de trei puncte și trei segmente care leagă aceste puncte în perechi.
Acum ne amintim definiția unui triunghi și acum să repetăm tot ce știți despre această figură, răspunzând la întrebările:
4. Ce tipuri de triunghiuri ai studiat deja? Enumerați-le.
5. Definiți fiecare tip de triunghi.
6. Care este aria triunghiului?
7. Care este suma unghiurilor acestei figuri geometrice?
8. Ce tipuri de triunghiuri cunoști? Numiți-le.
9. Ce triunghiuri cunoști pe baza tipului de laturi egale?
10. Definiți ipotenuza.
11. Câte unghiuri ascuțite pot fi într-un triunghi?
Liniile de bază ale triunghiului
Principalele linii ale unui triunghi includ: mediana, bisectoarea, altitudinea și mediana perpendiculară.
Median
Mediana unui triunghi este segmentul care leagă vârful triunghiului de punctul de mijloc al laturii opuse a triunghiului.
Proprietățile medianelor triunghiulare
1. Împarte triunghiul în alte două, egale ca suprafață;
2. Toate medianele unei figuri date se intersectează într-un punct. Acest punct le împarte în raport de doi la unu, începând de la vârf și se numește centrul de greutate al triunghiului;
3. Medianele împart un triunghi dat în șase triunghi egali.
Bisectoare
Raza care părăsește vârful și, trecând între laturile unghiului, o împarte în jumătate, se numește bisectoarea acestui unghi.
Și dacă un segment al bisectoarei unui unghi își leagă vârful cu un punct care se află pe partea opusă a triunghiului, atunci se numește bisectoarea triunghiului.
Proprietățile bisectoarelor triunghiului
1. Bisectoarea unui unghi este locul punctelor care sunt echidistante de laturile unui unghi dat.
2. Bisectoarea unui unghi intern al unui triunghi împarte latura opusă în segmente care sunt proporționale cu laturile adiacente ale triunghiului.
3. Centrul unui cerc înscris într-un triunghi este punctul de intersecție al bisectoarelor acestei figuri.
Înălţime
Perpendiculara trasată de la vârful figurii la linia dreaptă, care este latura opusă a triunghiului, se numește altitudine.
Proprietățile altitudinilor triunghiului
1. O altitudine trasă din vârful unui unghi drept împarte triunghiul în două similare.
2. Dacă un triunghi este ascuțit, atunci cele două altitudini ale sale le opresc pe cele similare din triunghiul dat.
Perpendiculară mediană
Mediana perpendiculară a unui triunghi este o dreaptă care trece prin mijlocul unui segment care este perpendicular pe acest segment.
Proprietăți bisectoare perpendiculare triunghi
1. Orice punct al bisectoarei perpendiculare pe un segment este echidistant de capetele acestuia. În acest caz, afirmația opusă va fi și adevărată.
2. Punctul de intersecție al bisectoarelor perpendiculare trasate pe laturile triunghiului este centrul cercului care este descris în jurul acestui triunghi.
Fapte interesante din domeniul matematicii
Ar fi o știre pentru tine să știi că au vrut să-l trimită pe rug pe François Vieta pentru descifrarea corespondenței secrete a guvernului spaniol, pentru că credeau că numai diavolul poate afla codul, iar o persoană nu poate face asta.
Știați că prima persoană care a propus numerotarea scaunelor, rândurilor și scaunelor a fost Rene Descartes? Aristocrații teatrului i-au cerut chiar regelui Franței să-i dea lui Descartes un premiu pentru asta, dar, din păcate, regele a refuzat, deoarece credea că acordarea de premii unui filozof este sub demnitatea lui.
Din cauza studenților care puteau să memoreze teorema lui Pitagora, dar nu au putut să o înțeleagă, teorema a fost numită „podul măgarului”. Aceasta însemna că studentul era un „măgar” care nu putea trece podul. ÎN în acest caz, Podul a fost considerat a fi teorema lui Pitagora.
Scriitorii și povestitorii și-au dedicat lucrările nu numai eroilor mitici, oamenilor și animalelor, ci și simboluri matematice. De exemplu, autorul celebrei „Scufiței Roșii” a scris un basm despre dragostea unui compas și a unei riglă.
Teme pentru acasă
1. Trei triunghiuri sunt afișate în fața ta, dați un răspuns, liniile sunt trasate în triunghiuri medii?
2. Câte linii mediane pot fi construite într-un triunghi?
3. Având în vedere un triunghi ABC. Aflați laturile triunghiului ABC dacă liniile sale mediane au următoarele dimensiuni: OF = 5,5 cm, FN = 8 cm, ON = 7 cm.
\[(\Large(\text(Similaritatea triunghiurilor)))\]
Definiții
Două triunghiuri se numesc similare dacă unghiurile lor sunt egale, iar laturile unui triunghi sunt proporționale cu laturile similare ale celuilalt.
(laturile se numesc similare dacă se află opuse unghiurilor egale).
Coeficientul de similitudine al triunghiurilor (asemănătoare) este un număr egal cu raportul laturilor similare ale acestor triunghiuri.
Definiţie
Perimetrul unui triunghi este suma lungimilor tuturor laturilor sale.
Teorema
Raportul dintre perimetrele a două triunghiuri similare este egal cu coeficientul de asemănare.
Dovada
Luați în considerare triunghiurile \(ABC\) și \(A_1B_1C_1\) cu laturile \(a,b,c\) și respectiv \(a_1, b_1, c_1\) (vezi figura de mai sus).
Apoi \(P_(ABC)=a+b+c=ka_1+kb_1+kc_1=k(a_1+b_1+c_1)=k\cdot P_(A_1B_1C_1)\)
Teorema
Raportul ariilor a două triunghiuri similare este egal cu pătratul coeficientului de similitudine.
Dovada
Fie triunghiurile \(ABC\) și \(A_1B_1C_1\) să fie similare și \(\dfrac(AB)(A_1B_1) = \dfrac(AC)(A_1C_1) = \dfrac(BC)(B_1C_1) = k\). Să notăm cu literele \(S\) și respectiv \(S_1\) ariile acestor triunghiuri.
Deoarece \(\angle A = \angle A_1\) , atunci \(\dfrac(S)(S_1) = \dfrac(AB\cdot AC)(A_1B_1\cdot A_1C_1)\)(prin teorema raportului dintre ariile triunghiurilor cu unghiuri egale).
Deoarece \(\dfrac(AB)(A_1B_1) = \dfrac(AC)(A_1C_1) = k\), Asta \(\dfrac(S)(S_1) = \dfrac(AB)(A_1B_1)\cdot\dfrac(AC)(A_1C_1) = k\cdot k = k^2\), ceea ce trebuia dovedit.
\[(\Large(\text(Semne ale asemănării triunghiurilor)))\]
Teorema (primul semn al asemănării triunghiurilor)
Dacă două unghiuri ale unui triunghi sunt, respectiv, egale cu două unghiuri ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt similare.
Dovada
Fie \(ABC\) și \(A_1B_1C_1\) să fie triunghiuri astfel încât \(\angle A = \angle A_1\) , \(\angle B = \angle B_1\) . Apoi, prin teorema privind suma unghiurilor unui triunghi \(\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - \angle A_1 - \angle B_1 = \angle C_1\), adică unghiurile triunghiului \(ABC\) sunt, respectiv, egale cu unghiurile triunghiului \(A_1B_1C_1\) .
Deoarece \(\angle A = \angle A_1\) și \(\angle B = \angle B_1\), atunci \(\dfrac(S_(ABC))(S_(A_1B_1C_1)) = \dfrac(AB\cdot AC)(A_1B_1\cdot A_1C_1)\)Şi \(\dfrac(S_(ABC))(S_(A_1B_1C_1)) = \dfrac(AB\cdot BC)(A_1B_1\cdot B_1C_1)\).
Din aceste egalităţi rezultă că \(\dfrac(AC)(A_1C_1) = \dfrac(BC)(B_1C_1)\).
În mod similar, se dovedește că \(\dfrac(AC)(A_1C_1) = \dfrac(AB)(A_1B_1)\)(folosind egalități \(\angle B = \angle B_1\) , \(\angle C = \angle C_1\) ).
Ca urmare, laturile triunghiului \(ABC\) sunt proporționale cu laturile similare ale triunghiului \(A_1B_1C_1\), ceea ce trebuia demonstrat.
Teoremă (al doilea criteriu pentru asemănarea triunghiurilor)
Dacă două laturi ale unui triunghi sunt proporționale cu două laturi ale altui triunghi și unghiurile dintre aceste laturi sunt egale, atunci triunghiurile sunt similare.
Dovada
Luați în considerare două triunghiuri \(ABC\) și \(A"B"C"\) astfel încât \(\dfrac(AB)(A"B")=\dfrac(AC)(A"C")\), \(\angle BAC = \angle A"\) Să demonstrăm că triunghiurile \(ABC\) și \(A"B"C"\) sunt similare. Luând în considerare primul semn de asemănare al triunghiurilor, este suficient să arătăm că \(\angle B = \angle B"\) .
Considerăm un triunghi \(ABC""\) cu \(\angle 1 = \angle A"\) , \(\angle 2 = \angle B"\) . Triunghiurile \(ABC""\) și \(A"B"C"\) sunt similare conform primului criteriu de asemănare a triunghiurilor, apoi \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC"")(A"C")\).
Pe de altă parte, după condiție \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC)(A"C")\). Din ultimele două egalități rezultă că \(AC = AC""\) .
Triunghiurile \(ABC\) și \(ABC""\) sunt egale pe două laturi și unghiul dintre ele, prin urmare, \(\angle B = \angle 2 = \angle B"\).
Teoremă (al treilea semn al asemănării triunghiurilor)
Dacă trei laturi ale unui triunghi sunt proporționale cu trei laturi ale altui triunghi, atunci triunghiurile sunt similare.
Dovada
Fie laturile triunghiurilor \(ABC\) și \(A"B"C"\) să fie proporționale: \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC)(A"C") = \dfrac(BC)(B"C")\). Să demonstrăm că triunghiurile \(ABC\) și \(A"B"C"\) sunt similare.
Pentru a face acest lucru, ținând cont de al doilea criteriu pentru asemănarea triunghiurilor, este suficient să demonstrăm că \(\angle BAC = \angle A"\) .
Considerăm un triunghi \(ABC""\) cu \(\angle 1 = \angle A"\) , \(\angle 2 = \angle B"\) .
Triunghiurile \(ABC""\) și \(A"B"C"\) sunt similare conform primului criteriu de asemănare a triunghiurilor, prin urmare, \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(BC"")(B"C") = \dfrac(C""A)(C"A")\).
Din ultimul lanț de egalități și condiții \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC)(A"C") = \dfrac(BC)(B"C")\) rezultă că \(BC = BC""\) , \(CA = C""A\) .
Triunghiurile \(ABC\) și \(ABC""\) sunt egale pe trei laturi, prin urmare, \(\angle BAC = \angle 1 = \angle A"\).
\[(\Large(\text(Teorema lui Thales)))\]
Teorema
Dacă marcați segmente egale pe o parte a unghiului și trasați linii drepte paralele prin capete, atunci aceste linii drepte vor tăia și segmente egale pe cealaltă parte.
Dovada
Să demonstrăm mai întâi lema: Dacă în \(\triunghiul OBB_1\) este trasată o linie dreaptă \(a\paralel BB_1\) prin mijlocul \(A\) laturii \(OB\), atunci aceasta va intersecta și latura \(OB_1\) în mijlocul.
Prin punctul \(B_1\) desenăm \(l\parallel OB\) . Fie \(l\cap a=K\) . Atunci \(ABB_1K\) este un paralelogram, prin urmare \(B_1K=AB=OA\) și \(\angle A_1KB_1=\angle ABB_1=\angle OAA_1\); \(\unghi AA_1O=\unghi KA_1B_1\) ca pe verticală. Deci, conform celui de-al doilea semn \(\triunghi OAA_1=\triunghi B_1KA_1 \Rightarrow OA_1=A_1B_1\). Lema este dovedită.
Să trecem la demonstrarea teoremei. Fie \(OA=AB=BC\) , \(a\parallel b\parallel c\) și trebuie să demonstrăm că \(OA_1=A_1B_1=B_1C_1\) .
Astfel, conform acestei leme \(OA_1=A_1B_1\) . Să demonstrăm că \(A_1B_1=B_1C_1\) . Să tragem o dreaptă \(d\parallel OC\) prin punctul \(B_1\), și fie \(d\cap a=D_1, d\cap c=D_2\) . Atunci \(ABB_1D_1, BCD_2B_1\) sunt paralelograme, prin urmare, \(D_1B_1=AB=BC=B_1D_2\) . Astfel, \(\angle A_1B_1D_1=\angle C_1B_1D_2\) ca pe verticală \(\angle A_1D_1B_1=\angle C_1D_2B_1\) zăcând ca cruci și, deci, după al doilea semn \(\triangle A_1B_1D_1=\triangle C_1B_1D_2 \Rightarrow A_1B_1=B_1C_1\).
teorema lui Thales
Liniile paralele decupează segmentele proporționale de pe laturile unui unghi.
Dovada
Fie drepte paralele \(p\paralel q\paralel r\paralel s\) a împărțit una dintre linii în segmente \(a, b, c, d\) . Apoi a doua linie dreaptă ar trebui împărțită în segmente \(ka, kb, kc, kd\), respectiv, unde \(k\) este un anumit număr, același coeficient de proporționalitate al segmentelor.
Să tragem prin punctul \(A_1\) o dreaptă \(p\parallel OD\) (\(ABB_2A_1\) este un paralelogram, prin urmare, \(AB=A_1B_2\) ). Apoi \(\triunghi OAA_1 \sim \triunghi A_1B_1B_2\) la două colţuri. Prin urmare, \(\dfrac(OA)(A_1B_2)=\dfrac(OA_1)(A_1B_1) \Rightarrow A_1B_1=kb\).
În mod similar, trasăm o linie dreaptă prin \(B_1\) \(q\paralel OD \Rightarrow \triangle OBB_1\sim \triangle B_1C_1C_2 \Rightarrow B_1C_1=kc\) etc.
\[(\Large(\text(linia mijlocie a triunghiului)))\]
Definiţie
Linia mediană a unui triunghi este un segment care leagă punctele medii ale oricăror două laturi ale triunghiului.
Teorema
Linia de mijloc a triunghiului este paralelă cu a treia latură și egală cu jumătatea acesteia.
Dovada
1) Paralelismul liniei mediane la bază rezultă din cele dovedite mai sus leme.
2) Să demonstrăm că \(MN=\dfrac12 AC\) .
Prin punctul \(N\) trasăm o dreaptă paralelă cu \(AB\) . Fie ca această dreaptă să intersecteze latura \(AC\) în punctul \(K\) . Atunci \(AMNK\) este un paralelogram ( \(AM\paralel NK, MN\parallel AK\) conform punctului anterior). Deci, \(MN=AK\) .
Deoarece \(NK\parallel AB\) și \(N\) sunt punctul de mijloc al lui \(BC\), apoi, după teorema lui Thales, \(K\) este punctul de mijloc al lui \(AC\) . Prin urmare, \(MN=AK=KC=\dfrac12 AC\) .
Consecinţă
Linia de mijloc a triunghiului taie din el un triunghi similar celui dat cu coeficientul \(\frac12\) .
Dacă liniile paralele care intersectează laturile unui unghi taie segmente egale pe o parte, atunci ele tăie segmente egale pe cealaltă parte.
Dovada. Fie A 1, A 2, A 3 punctele de intersecție ale dreptelor paralele cu una dintre laturile unghiului și A 2 se află între A 1 și A 3 (Fig. 1).
Fie B 1 B 2 , B 3 - punctele corespunzătoare intersecția acestor drepte cu cealaltă parte a unghiului. Să demonstrăm că dacă A 1 A 2 = A 2 A 3, atunci B 1 B 2 = B 2 B 3.
Să trasăm o dreaptă EF prin punctul B 2, paralelă cu dreapta A 1 A 3. Prin proprietatea unui paralelogram A 1 A 2 = FB 2, A 2 A 3 = B 2 E.
Și deoarece A 1 A 2 = A 2 A 3, atunci FB 2 = B 2 E.
Triunghiurile B 2 B 1 F și B 2 B 3 E sunt egale conform celui de-al doilea criteriu. Au B 2 F = B 2 E conform celor dovedite. Unghiurile de la vârful B 2 sunt egale ca verticale, iar unghiurile B 2 FB 1 și B 2 EB 3 sunt egale ca interioare încrucișate cu paralelele A 1 B 1 și A 3 B 3 și secantele EF. Din egalitatea triunghiurilor rezultă egalitatea laturilor: B 1 B 2 = B 2 B 3. Teorema este demonstrată.
Folosind teorema lui Thales, se stabilește următoarea teoremă.
Teorema 2. Linia de mijloc a triunghiului este paralelă cu a treia latură și egală cu jumătatea acesteia.
Linia mediană a unui triunghi este segmentul care leagă punctele medii ale celor două laturi ale sale. În figura 2, segmentul ED este linia de mijloc a triunghiului ABC.
ED - linia mediană a triunghiului ABC
Exemplul 1.Împărțiți acest segment în patru părți egale.
Soluţie. Fie AB un segment dat (Fig. 3), care trebuie împărțit în 4 părți egale.
Împărțirea unui segment în patru părți egale
Pentru a face acest lucru, desenați o semi-linie arbitrară a prin punctul A și trasați pe ea succesiv patru segmente egale AC, CD, DE, EK.
Să conectăm punctele B și K cu un segment. Să trasăm drepte paralele cu linia BK prin punctele rămase C, D, E, astfel încât acestea să intersecteze segmentul AB.
Conform teoremei lui Thales, segmentul AB va fi împărțit în patru părți egale.
Exemplul 2. Diagonala unui dreptunghi este a. Care este perimetrul unui patrulater ale cărui vârfuri sunt punctele mijlocii ale laturilor dreptunghiului?
Soluţie. Fie ca Figura 4 să îndeplinească condițiile problemei.
Atunci EF este linia mediană a triunghiului ABC și, prin urmare, prin teorema 2. $$ EF = \frac(1)(2)AC = \frac(a)(2) $$
În mod similar $$ HG = \frac(1)(2)AC = \frac(a)(2) , EH = \frac(1)(2)BD = \frac(a)(2) , FG = \frac( 1)(2)BD = \frac(a)(2) $$ și deci perimetrul patrulaterului EFGH este 2a.
Exemplul 3. Laturile unui triunghi sunt de 2 cm, 3 cm și 4 cm, iar vârfurile sale sunt punctele mijlocii ale laturilor altui triunghi. Aflați perimetrul triunghiului mare.
Soluţie. Fie ca Figura 5 să îndeplinească condițiile problemei.
Segmentele AB, BC, AC sunt liniile de mijloc ale triunghiului DEF. Prin urmare, conform teoremei 2 $$ AB = \frac(1)(2)EF\ \ ,\ \ BC = \frac(1)(2)DE\ \ ,\ \ AC = \frac(1)(2) DF $$ sau $$ 2 = \frac(1)(2)EF\ \ ,\ \ 3 = \frac(1)(2)DE\ \ ,\ \ 4 = \frac(1)(2)DF $ $ de unde $$ EF = 4\ \ ,\ \ DE = 6\ \ ,\ \ DF = 8 $$ și, prin urmare, perimetrul triunghiului DEF este de 18 cm.
Exemplul 4.Într-un triunghi dreptunghic, linii drepte paralele cu catetele sale sunt trasate prin mijlocul ipotenuzei sale. Aflați perimetrul dreptunghiului rezultat dacă catetele triunghiului au 10 cm și 8 cm.
Soluţie. ÎN triunghiul ABC(Fig.6)
∠ A este o linie dreaptă, AB = 10 cm, AC = 8 cm, KD și MD sunt liniile mediane ale triunghiului ABC, de unde $$ KD = \frac(1)(2)AC = \\ MD = \. frac(1) (2)AB = 5 cm $$ Perimetrul dreptunghiului K DMA este de 18 cm.