Împărțirea în hârtie în carouri.

Aceasta este de fapt o versiune simplificată a jocului Katamino, care necesită doar hârtie în carouri și un creion. Asemenea probleme apar adesea în manualeşi sarcini ale olimpiadelor pentru şcolari juniori. Trebuie să împărțiți figura desenată în celule într-un număr dat de părți identice.

Aceste sarcini sunt potrivite pentru o gamă de vârstă foarte largă, începând de la trei până la patru ani. Dar nu ar trebui să le folosiți excesiv - în cele din urmă devin plictisitoare. Cel mai probabil, ar trebui să vă stabiliți pe o complexitate de 4-5 părți din 4-5 celule fiecare.

Nivelul 1.

Orez. 1: Împărțiți de-a lungul liniilor grilei (pe celule) în 2 părți egale.

Orez. 2: Împărțiți de-a lungul liniilor grilei în 3 părți egale.

Copiii tăi pot avea nevoie de mai mult sarcini simple. Sunt foarte ușor de compus: trebuie doar să mergi „de la răspuns”, adică. luați hârtie în carouri, selectați forma unei figuri („parte”) din mai multe celule și trageți mai multe astfel de figuri una lângă alta, „orbindu-le” împreună. (Ar fi bine să nu confundăm cifrele cu ale lor reflexii în oglindă.) Nu contează dacă se dovedește că problema are două sau mai multe soluții, ceea ce înseamnă că trebuie să găsiți cel puțin una (sau toate). Redesenați conturul „monstrului” rezultat pe o foaie goală de hârtie în carouri - sarcina este gata.

Nivelul 2.

Orez. 3: Împărțiți celulele în 2 părți egale, astfel încât fiecare dintre ele să conțină una
pătrat roșu. (O condiție suplimentară - un pătrat roșu - interzice „extra”
decizii.)

Orez. 4: Împărțiți de-a lungul liniilor grilei în 3 părți egale.

Orez. 5: Împărțiți de-a lungul liniilor grilei în 4 părți egale.

Nivelul 3.

Orez. 6: Împărțiți în 4 părți egale.

29 aprilie 2013 la 16:34

Tăierea în două părți egale, prima parte

• Matematică

Problemele de tăiere sunt o zonă a matematicii în care, după cum se spune, nu există mamuți întins în jur. Multe probleme individuale, dar în esență nicio teorie generală. În afară de binecunoscuta teoremă Bolyai-Gerwin, practic nu există alte rezultate fundamentale în acest domeniu. Incertitudinea este un partener etern al sarcinilor de tăiere. Putem, de exemplu, să tăiem un pentagon obișnuit în șase bucăți, din care putem forma un pătrat; cu toate acestea, nu putem demonstra că cinci părți nu ar fi suficiente pentru aceasta.

Cu ajutorul euristicii viclene, a imaginației și a unei jumătăți de litru, reușim uneori să găsim o soluție anume, dar, de regulă, nu avem instrumentele adecvate pentru a demonstra minimalitatea acestei soluții sau inexistența ei (aceasta din urmă). , desigur, se aplică și în cazul în care nu am găsit o soluție) . Este trist și nedrept. Și într-o zi am luat un caiet gol și am decis să refac dreptatea pe scara unei sarcini specifice: tăierea unei figuri plate în două părți egale (congruente). Ca parte a acestei serii de articole (apropo, vor fi trei dintre ele), tu și cu mine, tovarăși, ne vom uita la acest poligon amuzant prezentat mai jos și vom încerca să ne dăm seama în mod imparțial dacă este posibil să-l tăiem în două egale. cifre sau nu.

Introducere

Mai întâi, să reîmprospătăm curs şcolar geometrie și amintiți-vă ce sunt figurile egale. Yandex sugerează cu ajutor:

Două figuri dintr-un plan sunt numite egale dacă există o mișcare prin care unul la unul transformă o figură în alta.

Acum să întrebăm Wikipedia despre mișcări. Ea ne va spune, în primul rând, că mișcarea este o transformare a planului care păstrează distanțele dintre puncte. În al doilea rând, există chiar și o clasificare a mișcărilor pe un plan. Toate aparțin unuia dintre următoarele trei tipuri:

• Simetria de alunecare (aici, de dragul confortului și al avantajului, includ simetria oglinzii, ca un caz degenerat, în care translația paralelă este efectuată la vectorul zero)

Să introducem o notație. Vom numi figura tăiată figura A, iar cele două figuri egale ipotetice în care se presupune că o putem tăia se vor numi B și, respectiv, C. Vom numi partea din plan care nu este ocupată de figura A regiune D. În cazurile în care un anumit poligon din imagine este considerat figura tăiată, o vom numi A 0 .

Deci, dacă figura A poate fi tăiată în două părți egale B și C, atunci există o mișcare care traduce B în C. Această mișcare poate fi fie translație paralelă, fie rotație, fie simetrie de alunecare (de acum înainte, nu mai stipulez că simetria oglinzii este considerată și alunecare). Decizia noastră se va construi pe această bază simplă și, aș spune chiar, evidentă. În această parte ne vom uita la cel mai simplu caz - transferul paralel. Rotația și simetria de alunecare vor cădea în partea a doua și, respectiv, a treia.

Cazul 1: transfer paralel

Transferul paralel este specificat de un singur parametru - vectorul prin care are loc deplasarea. Să mai introducem câțiva termeni. Se va numi o linie dreaptă paralelă cu vectorul de deplasare și care conține cel puțin un punct al figurii A secantă. Se va numi intersecția unei drepte secante și a figurii A secţiune transversală. O secantă față de care figura A (minus secțiunea) se află în întregime într-un semiplan va fi numită frontieră.

Lema 1. O secțiune de delimitare trebuie să conțină mai mult de un punct.

Dovada: evidenta. Ei bine, sau mai detaliat: haideți să dovedim prin contradicție. Dacă acest punct aparține figurii B, atunci acesta imagine(adică punctul în care va merge în timpul translației paralele) aparține figurii C => imaginea aparține figurii A => imaginea aparține secțiunii. Contradicţie. Dacă acest punct aparține figurii C, atunci acesta prototip(punctul care, cu traducere paralelă, va intra în el) aparține figurii B și apoi în mod similar. Se pare că trebuie să existe cel puțin două puncte în secțiune.

Ghidat de această lemă simplă, nu este greu de înțeles că translația paralelă dorită poate avea loc numai de-a lungul axei verticale (în orientarea curentă a imaginii, dacă ar fi în orice altă direcție, cel puțin una dintre secțiunile de limită). consta dintr-un singur punct. Acest lucru poate fi înțeles prin rotirea mentală a vectorului de schimbare și văzând ce se întâmplă cu granițele. Pentru a elimina cazul transferului vertical paralel, avem nevoie de un instrument mai sofisticat.

Lema 2. Imaginea inversă a unui punct situat la limita figurii C este fie la limita figurilor B și C, fie la limita figurii B și a regiunii D.

Dovada: nu este evidentă, dar o reparăm acum. Permiteți-mi să vă reamintesc că punctul limită al unei figuri este un astfel de punct încât, oricât de aproape de acesta, există puncte care aparțin figurii și puncte care nu îi aparțin. În consecință, în apropierea punctului de limită (să-i spunem O") al figurii C vor exista atât puncte din figura C, cât și alte puncte aparținând fie figurii B, fie regiunii D. Imaginile inverse ale punctelor figurii C pot fi doar puncte ale figurii B. În consecință, în mod arbitrar aproape de imaginea inversă a punctului O" (ar fi logic să-l numim punct O) există puncte din figura B. Imaginile inverse ale punctelor din cifra B pot fi orice puncte care nu nu aparțin lui B (adică fie punctele figurii C, fie punctele regiunii D). În mod similar, pentru punctele regiunii D. În consecință, indiferent cât de aproape de punctul O există fie puncte din figura C (și atunci punctul O va fi la limita dintre B și C), fie puncte ale regiunii D (și atunci imaginea inversă va fi să fie la limita dintre B și D). Dacă poți trece peste toate aceste scrisori, vei fi de acord că lema este dovedită.

Teorema 1. Dacă secțiunea transversală a figurii A este un segment, atunci lungimea sa este un multiplu al lungimii vectorului de deplasare.

Dovada: luați în considerare capătul „depărtat” al acestui segment (adică capătul al cărui prototip aparține și segmentului). Acest capăt aparține în mod evident figurii C și este punctul său de limită. În consecință, imaginea sa inversă (apropo, de asemenea situată pe segment și separată de imagine prin lungimea vectorului de deplasare) va fi fie la limita lui B și C, fie la limita lui B și D. Dacă se află la limita lui B și C, atunci luăm și imaginea inversă a acesteia. Vom repeta această operație până când următoarea imagine inversă încetează să mai fie la limita C și ajunge la limita D - și asta se va întâmpla exact la celălalt capăt al secțiunii. Ca rezultat, obținem un lanț de preimagini care împart secțiunea într-un număr de segmente mici, lungimea fiecăruia fiind egală cu lungimea vectorului de deplasare. Prin urmare, lungimea secțiunii este un multiplu al lungimii vectorului de deplasare etc.

Corolarul teoremei 1. Oricare două secțiuni care sunt segmente trebuie să fie proporționale.

Folosind acest corolar, este ușor de arătat că și transferul paralel vertical dispare.

Într-adevăr, secțiunea unu are o lungime de trei celule, iar secțiunea a doua are o lungime de trei minus rădăcina a două în jumătate. Evident, aceste valori sunt incomensurabile.

Concluzie

Dacă figura A 0 și poate fi tăiată în două figuri egale B și C, atunci B nu este tradus în C prin translație paralelă. De continuat.

În atenția tutorilor de matematică și a profesorilor de la diferite opțiuni și cluburi, este oferită o selecție de probleme de tăiere geometrică distractive și educative. Scopul unui tutor care folosește astfel de probleme în cursurile sale nu este doar să-l intereseze pe elev în combinații interesante și eficiente de celule și figuri, ci și să-și dezvolte simțul liniilor, unghiurilor și formelor. Setul de probleme se adresează în principal copiilor din clasele 4-6, deși este posibil să-l folosească chiar și cu elevii de liceu. Exercițiile solicită elevilor să aibă o concentrare ridicată și susținută a atenției și sunt perfecte pentru dezvoltarea și antrenamentul memoriei vizuale. Recomandat pentru profesorii de matematică care pregătesc elevii pentru examenele de admitere la școli și clase de matematică care impun cerințe speciale la nivelul gândirii independente și creativitatea copil. Nivelul sarcinilor corespunde nivelului olimpiadelor de intrare la liceu „școala a doua” (a doua școală de matematică), mica Facultate de Mecanică și Matematică a Universității de Stat din Moscova, școala Kurchatov etc.

Notă profesor de matematică:
În unele soluții la probleme, pe care le puteți vizualiza făcând clic pe indicatorul corespunzător, este indicat doar unul dintre exemplele posibile de tăiere. Recunosc pe deplin că s-ar putea să ajungeți cu o altă combinație corectă - nu trebuie să vă fie frică de asta. Verifică cu atenție soluția micuțului tău și dacă îndeplinește condițiile, atunci nu ezitați să vă asumați următoarea sarcină.

1) Încercați să tăiați figura prezentată în figură în 3 părți de formă egală:

: Formele mici sunt foarte asemănătoare cu litera T

2) Acum tăiați această figură în 4 părți de formă egală:

Sfat profesor de matematică: Este ușor de ghicit că figurile mici vor consta din 3 celule, dar nu există multe figuri cu trei celule. Există doar două tipuri de ele: un colț și un dreptunghi 1×3.

3) Tăiați această figură în 5 bucăți de formă egală:

Aflați numărul de celule care alcătuiesc fiecare astfel de cifră. Aceste cifre arată ca litera G.

4) Acum trebuie să tăiați o cifră de zece celule în 4 inegal dreptunghi (sau pătrat) unul față de celălalt.

Instrucțiuni pentru profesorul de matematică: Selectați un dreptunghi și apoi încercați să încărcați încă trei în celulele rămase. Dacă nu funcționează, schimbați primul dreptunghi și încercați din nou.

5) Sarcina devine mai complicată: trebuie să tăiați figura în 4 diferite ca formă figuri (nu neapărat dreptunghiuri).

Sfat profesor de matematică: desenați mai întâi separat toate tipurile de figuri de diferite forme (vor fi mai mult de patru) și repetați metoda de enumerare a opțiunilor ca în sarcina anterioară.
:

6) Tăiați această figură în 5 figuri din patru celule de forme diferite, astfel încât în ​​fiecare dintre ele să fie pictată o singură celulă verde.

Sfat profesor de matematică:Încercați să începeți să tăiați de la marginea de sus a acestei figuri și veți înțelege imediat cum să procedați.
:

7) Pe baza sarcinii anterioare. Aflați câte cifre sunt în total diverse forme, format din exact patru celule? Figurile pot fi răsucite și răsucite, dar nu puteți ridica masa (de pe suprafața ei) pe care se află. Adică, cele două cifre date nu vor fi considerate egale, deoarece nu pot fi obținute una de la cealaltă prin rotație.

Sfat profesor de matematică: Studiați soluția la problema anterioară și încercați să vă imaginați diferitele poziții ale acestor figuri atunci când vă întoarceți. Nu este greu de ghicit că răspunsul la problema noastră va fi numărul 5 sau mai mult. (De fapt, chiar mai mult de șase). Sunt descrise 7 tipuri de figuri.

8) Tăiați un pătrat de 16 celule în 4 bucăți de formă egală, astfel încât fiecare dintre cele patru bucăți să aibă exact o celulă verde.

Sfat profesor de matematică: Aspectul figurilor mici nu este un pătrat sau un dreptunghi, sau chiar un colț de patru celule. Deci, în ce forme ar trebui să încercați să tăiați?

9) Tăiați figura ilustrată în două părți, astfel încât părțile rezultate să poată fi pliate într-un pătrat.

Sugestie pentru profesor de matematică: Există 16 celule în total, ceea ce înseamnă că pătratul va avea dimensiunea de 4x4. Și cumva trebuie să umpleți fereastra din mijloc. Cum să faci asta? Ar putea exista un fel de schimbare? Apoi, deoarece lungimea dreptunghiului este egală cu un număr impar de celule, tăierea ar trebui să se facă nu cu o tăietură verticală, ci de-a lungul unei linii întrerupte. Astfel încât partea superioară să fie tăiată pe o parte a celulei din mijloc, iar partea inferioară pe cealaltă.

10) Tăiați un dreptunghi de 4x9 în două bucăți, astfel încât să poată fi pliate într-un pătrat.

Sfat profesor de matematică: Există 36 de celule în total în dreptunghi. Prin urmare, pătratul va avea dimensiunea de 6x6. Deoarece partea lungă este formată din nouă celule, trei dintre ele trebuie tăiate. Cum va decurge această tăiere?

11) Crucea a cinci celule prezentată în figură trebuie tăiată (puteți tăia singuri celulele) în bucăți din care să poată fi pliat un pătrat.

Sfat profesor de matematică: Este clar că, indiferent de modul în care tăiem de-a lungul liniilor celulelor, nu vom obține un pătrat, deoarece există doar 5 celule. Aceasta este singura sarcină în care este permisă tăierea nu prin celule. Totuși, ar fi totuși bine să-i lăsați drept ghid. de exemplu, merită remarcat faptul că trebuie să înlăturăm cumva adânciturile pe care le avem - și anume, în colțurile interioare ale crucii noastre. Cum să faci asta? De exemplu, tăierea unor triunghiuri proeminente din colțurile exterioare ale crucii...

Remarcile de deschidere ale profesorului:

Mic fundal istoric: Mulți oameni de știință au fost interesați de problemele de tăiere încă din cele mai vechi timpuri. Soluțiile la multe probleme simple de tăiere au fost găsite de grecii antici și chinezi, dar primul tratat sistematic pe această temă a fost scris de Abul-Vef. Geometrii au început să rezolve serios problemele de tăiere a figurilor în cel mai mic număr de piese și apoi de a construi o altă figură la începutul secolului al XX-lea. Unul dintre fondatorii acestei secțiuni a fost faimosul fondator de puzzle Henry E. Dudeney.

În zilele noastre, iubitorii de puzzle-uri sunt dornici să rezolve problemele de tăiere, deoarece nu există o metodă universală de rezolvare a unor astfel de probleme, iar oricine se angajează să le rezolve își poate demonstra pe deplin ingeniozitatea, intuiția și capacitatea de a le rezolva. gândire creativă. (În timpul lecției, vom indica doar unul dintre exemplele posibile de tăiere. Se poate presupune că elevii pot ajunge la o altă combinație corectă - nu trebuie să vă temeți de aceasta).

Această lecție ar trebui să se desfășoare sub formă lectie practica. Împărțiți participanții la cerc în grupuri de 2-3 persoane. Furnizați fiecărei grupe cifre pregătite în prealabil de către profesor. Elevii au o riglă (cu diviziuni), un creion și foarfece. Este permisă numai tăieturi drepte cu ajutorul foarfecelor. După ce tăiați o figură în bucăți, trebuie să faceți o altă figură din aceleași părți.

Sarcini de tăiere:

1). Încercați să tăiați figura prezentată în figură în 3 părți de formă egală:

Sugestie: Formele mici seamănă mult cu litera T.

2). Acum tăiați această figură în 4 părți de formă egală:

Sugestie: este ușor de ghicit că figurile mici vor consta din 3 celule, dar nu există multe figuri cu trei celule. Există doar două tipuri: colț și dreptunghi.

3). Împărțiți figura în două părți egale și utilizați părțile rezultate pentru a forma o tablă de șah.

Sugestie: Sugerați să începeți sarcina din a doua parte, ca și cum ați obține o tablă de șah. Amintiți-vă ce formă are o tablă de șah (pătrat). Numărați numărul disponibil de celule în lungime și lățime. (Amintiți-vă că ar trebui să fie 8 celule).

4). Încercați să tăiați brânza în opt bucăți egale cu trei mișcări ale cuțitului.

Sfat: încercați să tăiați brânza pe lungime.

Sarcini pentru soluție independentă:

1). Tăiați un pătrat de hârtie și faceți următoarele:

· tăiați în 4 bucăți care pot fi folosite pentru a face două pătrate egale mai mici.

· tăiați în cinci părți - patru triunghiuri isoscele și un pătrat - și pliați-le astfel încât să obțineți trei pătrate.