În ce raport sunt împărțite medianele unui triunghi? Elementele de bază ale triunghiului abc. Colectarea și utilizarea informațiilor personale

O mediană este un segment trasat de la vârful unui triunghi până la mijlocul laturii opuse, adică îl împarte în jumătate în punctul de intersecție. Punctul în care mediana intersectează latura opusă vârfului din care iese se numește bază. Fiecare mediană a triunghiului trece printr-un punct, numit punct de intersecție. Formula lungimii sale poate fi exprimată în mai multe moduri.

Formule pentru exprimarea lungimii medianei

Adesea, în problemele de geometrie, elevii trebuie să se ocupe de un segment, cum ar fi mediana unui triunghi. Formula pentru lungimea sa este exprimată în termeni de laturi:

unde a, b și c sunt laturile. Mai mult, c este partea pe care cade mediana. Așa arată cea mai simplă formulă. Medianele unui triunghi sunt uneori necesare pentru calculele auxiliare. Există și alte formule.

Dacă în timpul calculului se cunosc două laturi ale unui triunghi și un anumit unghi α situat între ele, atunci lungimea medianei triunghiului, coborâtă la a treia latură, se va exprima astfel.

Proprietăți de bază

Toate medianele au un punct comun de intersecție O și sunt împărțite de acesta într-un raport de doi la unu, dacă sunt numărate de la vârf. Acest punct se numește centrul de greutate al triunghiului.
Mediana împarte triunghiul în alți doi triunghi ale căror arii sunt egale. Astfel de triunghiuri se numesc arie egală.
Dacă desenați toate medianele, triunghiul va fi împărțit în 6 cifre egale, care vor fi și triunghiuri.
Dacă toate cele trei laturi ale unui triunghi sunt egale, atunci fiecare dintre mediane va fi, de asemenea, o altitudine și o bisectoare, adică perpendiculară pe latura de care este desenat și bisectează unghiul din care iese.
Într-un triunghi isoscel, mediana trasă de la vârful care este opus laturii care nu este egală cu oricare alta va fi, de asemenea, altitudinea și bisectoarea. Medianele scăzute de la alte vârfuri sunt egale. Acest lucru este de asemenea necesar și condiție suficientă isoscel.
Dacă triunghiul este baza piramida regulata, atunci înălțimea coborâtă la o bază dată este proiectată până la punctul de intersecție a tuturor medianelor.

Într-un triunghi dreptunghic, mediana trasată pe cea mai lungă latură este egală cu jumătate din lungimea sa.
Fie O punctul de intersecție al medianelor triunghiului. Formula de mai jos va fi adevărată pentru orice punct M.

Mediana unui triunghi are o altă proprietate. Formula pentru pătratul lungimii sale prin pătratele laturilor este prezentată mai jos.

Proprietățile laturilor pe care este trasată mediana

Dacă conectați oricare două puncte de intersecție ale medianelor cu laturile pe care sunt aruncate, atunci segmentul rezultat va fi linia mediană a triunghiului și va fi jumătate din latura triunghiului cu care nu are puncte comune.
Bazele altitudinilor și medianelor dintr-un triunghi, precum și punctele mijlocii ale segmentelor care leagă vârfurile triunghiului cu punctul de intersecție al altitudinilor, se află pe același cerc.

În concluzie, este logic să spunem că unul dintre cele mai importante segmente este mediana triunghiului. Formula sa poate fi folosită pentru a găsi lungimile celorlalte laturi ale sale.

Proprietăți

Medianele unui triunghi se intersectează într-un punct, care se numește centroid, și sunt împărțite de acest punct în două părți într-un raport de 2:1, numărând de la vârf.
Un triunghi este împărțit la trei mediane în șase triunghiuri egale.
Latura mai mare a triunghiului corespunde medianei mai mici.
Din vectorii care formează medianele se poate forma un triunghi.
Cu transformări afine, mediana devine mediana.
Mediana unui triunghi îl împarte în două părți egale.

Formule

Formula pentru mediana în termeni de laturi (derivată prin teorema lui Stewart sau prin extinderea la un paralelogram și folosind egalitatea în paralelogram a sumei pătratelor laturilor și a sumei pătratelor diagonalelor):

, unde m c este mediana laturii c; a, b, c sunt laturile triunghiului, prin urmare suma pătratelor medianelor unui triunghi arbitrar este întotdeauna de 4/3 ori mai mică decât suma pătratelor laturilor sale.

Formula secundară prin mediane:

, unde medianele laturilor corespunzătoare ale triunghiului sunt laturile triunghiului.

Dacă două mediane sunt perpendiculare, atunci suma pătratelor laturilor pe care sunt omise este de 5 ori pătratul celei de-a treia laturi.

Regulă mnemonică

maimuță mediană,
care are un ochi atent,
va sari chiar in mijloc
părțile în sus,
unde este acum?

Note

Vezi de asemenea

Legături

Fundația Wikimedia.

2010.

Vedeți ce înseamnă „mediana unui triunghi” în alte dicționare:

Mediană: Mediana unui triunghi în planimetrie, un segment care leagă vârful unui triunghi cu mijlocul laturii opuse Mediană (statistică) 0,5 cuantilă Mediană (urmă) linia de mijloc a unei urme trasate între dreapta și stânga... Wikipedia

Triunghiul și medianele sale. Mediana unui triunghi este un segment din interiorul unui triunghi care leagă vârful triunghiului cu mijlocul laturii opuse, precum și o linie dreaptă care conține acest segment. Cuprins 1 Proprietăți 2 Formule ... Wikipedia

O linie care leagă vârful unui triunghi de mijlocul bazei sale. Un dicționar complet de cuvinte străine care au intrat în uz în limba rusă. Popov M., 1907. median (lat. mediana medie) 1) geol. un segment care leagă vârful unui triunghi cu... ... Dicționar de cuvinte străine ale limbii ruse

Mediană (din latină mediana media) în geometrie, un segment care leagă unul dintre vârfurile unui triunghi cu mijlocul laturii opuse. Cele trei triunghiuri M. se intersectează într-un punct, care uneori este numit „centrul de greutate” al triunghiului, deci... Marea Enciclopedie Sovietică

O linie dreaptă a unui triunghi (sau segmentul său în interiorul unui triunghi) care leagă vârful triunghiului cu mijlocul laturii opuse. Trei triunghiuri se intersectează într-un punct, care se numește centru de greutate al triunghiului, centroid sau... ... Enciclopedie matematică

- (din latină mediana middle) un segment care leagă vârful unui triunghi cu mijlocul laturii opuse... Dicţionar enciclopedic mare

MEDIAN, mediani, femei. (Latina mediana, lit. mijloc). 1. Linie dreaptă trasată de la vârful triunghiului până la mijlocul laturii opuse (mat.). 2. În statistică, pentru o serie de multe date, o cantitate care are proprietatea că numărul de date,... ... Dicţionar Ushakova

MEDIAN, s, femeie. În matematică: un segment de dreaptă care leagă vârful unui triunghi de mijlocul laturii opuse. Dicționarul explicativ al lui Ozhegov. SI. Ozhegov, N.Yu. Şvedova. 1949 1992... Dicționarul explicativ al lui Ozhegov

MEDIAN (din latină mediana middle), un segment care leagă vârful unui triunghi cu mijlocul laturii opuse... Dicţionar enciclopedic

Mediana este una dintre liniile principale ale triunghiului. Acest segment și linia dreaptă pe care se află leagă punctul din capul unghiului triunghiului cu mijlocul părții opuse a aceleiași figuri. Într-un triunghi echilateral, mediana este, de asemenea, bisectoarea și altitudinea.

Proprietatea medianei, care va facilita foarte mult rezolvarea multor probleme, este următoarea: dacă desenați mediane din fiecare unghi dintr-un triunghi, atunci toate, care se intersectează într-un punct, vor fi împărțite într-un raport de 2: 1. Raportul trebuie numărat de la vârful unghiului.

Mediana tinde să împartă totul în mod egal. De exemplu, orice mediană împarte un triunghi în alte două cu suprafață egală. Și dacă desenați toate cele trei mediane, atunci într-un triunghi mare veți obține 6 mici, de asemenea egale ca suprafață. Astfel de cifre (cu aceeași zonă) sunt numite egale ca suprafață.

Bisectoare

O bisectoare este o rază care începe la vârful unui unghi și bisectează același unghi. Punctele situate pe o rază dată sunt echidistante de laturile unghiului. Proprietățile bisectoarei sunt utile în rezolvarea problemelor care implică triunghiuri.

Într-un triunghi, bisectoarea este un segment care se află pe raza bisectoare a unghiului și leagă vârful de latura opusă. Punctul de intersecție cu o latură îl împarte în segmente, al căror raport este egal cu raportul laturilor adiacente acestora.

Dacă un cerc este înscris într-un triunghi, atunci centrul său va coincide cu punctul de intersecție al tuturor bisectoarelor triunghiului dat. Această proprietate se reflectă și în stereometrie - acolo rolul unui triunghi este jucat de o piramidă, iar rolul unui cerc este jucat de o minge.

Înălţime

La fel ca mediana și bisectoarea, altitudinea într-un triunghi relaționează în primul rând vârful unghiului și latura opusă. Această legătură decurge din următoarele: înălțimea este o perpendiculară trasată de la un vârf la o dreaptă care conține latura opusă.

Dacă înălțimea este trasă înăuntru triunghi dreptunghic, apoi, atingând latura opusă, împarte întregul triunghi în alte două, care la rândul lor sunt asemănătoare cu primul.

Conceptul de perpendiculară este adesea folosit în stereometrie pentru a determina pozițiile relative ale liniilor drepte în diferite planuri și distanța dintre ele. În acest caz, segmentul care îndeplinește funcția de perpendiculară trebuie să aibă un unghi drept cu ambele drepte. Apoi valoare numerică a acestui segment va arăta distanța dintre două figuri.

Conținând acest segment. Se numește punctul de intersecție al medianei cu latura triunghiului baza medianei.

De asemenea, puteți introduce conceptul mediana exterioară triunghi.

YouTube enciclopedic

1 / 3

✪ MEDIANELE bisectoarelor și ALTITUDINILE unui triunghi - nota 7

✪ Mediana unui triunghi. Constructii. Proprietăți.

✪ bisectoare, mediană, altitudinea unui triunghi. Geometrie clasa a VII-a

Subtitrări

Proprietăți

Proprietatea principală

Toate cele trei mediane ale unui triunghi se intersectează într-un punct, care se numește centroid sau centru de greutate al triunghiului, și sunt împărțite de acest punct în două părți într-un raport de 2:1, numărând de la vârf.

Proprietățile medianelor unui triunghi isoscel

Într-un triunghi isoscel, sunt atrase două mediane partide egale triunghiurile sunt egale, iar a treia mediană este atât o bisectoare, cât și o altitudine.
Reversul este de asemenea adevărat: dacă două mediane dintr-un triunghi sunt egale, atunci triunghiul este isoscel, iar a treia mediană este atât o bisectoare, cât și altitudinea unghiului la vârful său.
Într-un triunghi echilateral, toate cele trei mediane sunt egale.

Proprietățile bazelor mediane

Teorema lui Euler pentru un cerc de nouă puncte: bazele celor trei altitudini ale unui triunghi arbitrar, punctele mijlocii ale celor trei laturi ale sale ( bazele medianelor sale) și punctele mijlocii ale trei segmente care leagă vârfurile sale cu ortocentrul, toate se află pe același cerc (așa-numitul cerc de nouă puncte).
Un segment trasat prin temeiuri oricare două mediane ale unui triunghi sunt ale acestuia linia mediană . Linia de mijloc a unui triunghi este întotdeauna paralel cu latura triunghiului cu care nu are puncte comune.
- Corolar (teorema lui Thales despre paralel segmente). Linia mediană a unui triunghi este egală cu jumătate din lungimea laturii triunghiului cu care este paralel.

Alte proprietăți

Dacă un triunghi versatil (scalen), atunci bisectoarea ei desenată din orice vârf se află între mediana și înălțimea trase din același vârf.
Mediana împarte triunghiul în două triunghiuri egale (în suprafață).
Un triunghi este împărțit la trei mediane în șase triunghiuri egale.
Din segmentele care formează medianele, puteți face un triunghi, a cărui zonă va fi egală cu 3/4 din întregul triunghi. Lungimile mediane satisfac inegalitatea triunghiului.
Într-un triunghi dreptunghic, mediana trasă din vârful cu unghiul drept este egală cu jumătate din ipotenuză.
Latura mai mare a triunghiului corespunde medianei mai mici.
Segment drept, simetric sau conjugat izogonal mediana internă relativă la bisectoarea internă se numește simediana triunghiului. Trei simedianii trece printr-un punct - Ideea lui Lemoine.
Mediana unui unghi de triunghi conjugată izotomic la mine însumi.

Relații de bază

În special, suma pătratelor medianelor unui triunghi arbitrar este 3/4 din suma pătratelor laturilor sale: m a 2 + m b 2 + m c 2 = 3 4 (a 2 + b 2 + c 2) (\displaystyle m_(a)^(2)+m_(b)^(2)+m_(c)^(2) =(\frac (3)(4))(a^(2)+b^(2)+c^(2))).

În schimb, puteți exprima lungimea unei laturi arbitrare a unui triunghi în termeni de mediane:

a = 2 3 2 (m b 2 + m c 2) − m a 2 (\displaystyle a=(\frac (2)(3))(\sqrt (2(m_(b)^(2)+m_(c))) (2))-m_(a)^(2)))), Unde m a , m b , m c (\displaystyle m_(a),m_(b),m_(c)) medianele laturilor corespunzătoare ale triunghiului, a , b , c (\displaystyle a,b,c)- laturile triunghiului.

Gomel Conferința științifică și practică a școlarilor despre matematică, aplicațiile ei și tehnologia de informație"Căutare"

Rezumat pe tema:

„Medianele unui triunghi”

Elevi:

Clasa de stat 9".

instituţiile de învăţământ

„Orașul Gomel

Gimnaziul multidisciplinar nr 14"

Morozova Elizaveta

Hodosovskaia Alesya

supraveghetor stiintific-

Profesor de matematică cea mai înaltă categorie

Safonova Alla Viktorovna

Gomel 2009

Introducere

1. Medianele unui triunghi și proprietățile lor

2. Descoperirea matematicianului german G. Leibniz

3. Aplicarea medianelor în statistici matematice

4. Medianele unui tetraedru

5. Şase dovezi ale teoremei mediane

Concluzie

Lista surselor și literaturii utilizate

Aplicație

Introducere

Geometria începe cu un triunghi. De două milenii, triunghiul este un simbol al geometriei, dar nu este un simbol. Un triunghi este un atom al geometriei.

Triunghiul este inepuizabil - noile sale proprietăți sunt în mod constant descoperite. Pentru a spune despre toate proprietățile sale cunoscute, aveți nevoie de un volum comparabil ca volum cu volumul Marea Enciclopedie. Vrem să vorbim despre mediana unui triunghi și proprietățile sale, precum și despre utilizarea medianelor.

În primul rând, amintiți-vă că mediana unui triunghi este un segment care leagă vârfurile triunghiului cu mijlocul laturii opuse. Medianele au multe proprietăți. Dar ne vom uita la o proprietate și la 6 dovezi diferite ale acesteia. Cele trei mediane se intersectează într-un punct, care se numește centroid (centrul de masă) și sunt împărțite într-un raport de 2:1.

Există mediane nu numai ale unui triunghi, ci și ale unui tetraedru. Segmentul care leagă vârful tetraedrului cu centroidul (punctul de intersecție al medianelor) feței opuse se numește mediana tetraedrului. Vom lua în considerare și proprietatea medianelor unui tetraedru.

Medianele sunt folosite în statistica matematică. De exemplu, pentru a găsi valoarea medie a unui anumit set de numere.

1. Medianele unui triunghi și proprietățile lor

După cum știți, medianele unui triunghi sunt segmentele care leagă vârfurile sale cu punctele medii ale laturilor opuse. Toate cele trei mediane se intersectează într-un punct și îl împart într-un raport de 1:2.

Punctul de intersecție al medianelor este și centrul de greutate al triunghiului. Dacă atârnați un triunghi de carton la punctul de intersecție al medianelor sale, acesta va fi într-o stare de echilibru

Este curios că toate cele șase triunghiuri în care fiecare triunghi este împărțit la mediane au aceleași arii.

Medianele unui triunghi prin laturile sale se exprimă după cum urmează:

, , .

Dacă două mediane sunt perpendiculare, atunci suma pătratelor laturilor pe care sunt omise este de 5 ori pătratul celei de-a treia laturi.

Să construim un triunghi ale cărui laturi sunt egale cu medianele triunghiului dat, atunci medianele triunghiului construit vor fi egale cu 3/4 din laturile triunghiului inițial.

Să numim acest triunghi primul, triunghiul din medianele sale - al doilea, triunghiul din medianele celui de-al doilea - al treilea etc. Atunci triunghiurile cu numere impare (1,3, 5, 7,...) sunt similare unul față de celălalt și triunghiurile cu numere pare ( 2, 4, 6, 8,...) sunt de asemenea asemănătoare între ele.

Suma pătratelor lungimilor tuturor medianelor unui triunghi este egală cu ¾ din suma pătratelor lungimilor laturilor sale.

2. Descoperirea matematicianului german G. Leibniz

Renumit matematician german G. Leibniz a descoperit un fapt remarcabil: suma distanțelor pătrate de la un punct arbitrar din plan la vârfurile unui triunghi situat în acest plan este egală cu suma distanțelor pătrate de la punctul de intersecție al medianelor la vârfurile acestuia, adăugată pentru a tripla pătratul distanței de la punctul de intersecție al medianelor până la punctul selectat.

Din această teoremă rezultă că punctul de pe plan pentru care suma distanțelor pătrate până la vârfurile unui triunghi dat este minimă este punctul de intersecție al medianelor acestui triunghi.

În același timp, suma minimă a distanțelor până la vârfurile triunghiului (și nu pătratele acestora) va fi pentru punctul din care fiecare latură a triunghiului este vizibilă la un unghi de 120°, dacă niciunul dintre unghiurile triunghiului triunghiul este mai mare de 120° (punctul Fermat), iar pentru vârful unghi obtuz dacă este mai mare de 120°.

Din teorema lui Leibniz și afirmația anterioară este ușor de găsit distanța d de la punctul de intersecție al medianelor până la centrul cercului circumscris. Într-adevăr, conform teoremei lui Leibniz, această distanță este egală cu rădăcina pătrată a unei treimi din diferența dintre suma pătratelor distanțelor de la centrul cercului circumscris la vârfurile triunghiului și suma.

Pătratele distanțelor de la punctul de intersecție al medianelor la vârfurile triunghiului. Înțelegem asta

Punct M al intersecției medianelor triunghiului ABC este singurul punct al triunghiului pentru care suma vectorilor MA,M.B.și MS egal cu zero. Coordonatele punctului M(față de axele arbitrare) sunt egale cu media aritmetică a coordonatelor corespunzătoare ale vârfurilor triunghiului. Din aceste afirmații putem obține o demonstrație a teoremei mediane.

3. Aplicarea medianelor în statistica matematică

Medianele există nu numai în geometrie, ci și în statistica matematică. Să presupunem că trebuie să găsim valoarea medie a unui anumit set de numere

, , ..., a p. Puteți, desigur, să luați ca medie media aritmetică

Dar uneori este incomod. Să spunem că trebuie să determinăm înălțimea medie a elevilor de clasa a doua din Moscova. Să intervievăm la întâmplare 100 de școlari și să le înregistrăm înălțimea. Dacă unul dintre băieți spune în glumă că înălțimea lui egal cu un kilometru, atunci media aritmetică a numerelor înregistrate va fi prea mare. Este mult mai bine să luați ca medie median numere

, ..., a p.

Să presupunem că există un număr impar de numere și să le aranjam în ordine nedescrescătoare. Numărul de pe locul din mijloc se numește mediana mulțimii. De exemplu, mediana mulțimii de numere 1, 2, 5, 30, 1, 1, 2 este 2 (și media aritmetică este mult mai mare - este 6).

4. Medianele unui tetraedru

Se pare că putem vorbi despre mediane nu numai pentru un triunghi, ci și pentru un tetraedru. Segmentul care leagă vârful tetraedrului cu centroidul (punctul de intersecție al medianelor) feței opuse se numește median tetraedru. La fel ca medianele unui triunghi, medianele unui tetraedru se intersectează într-un punct, centrul de masă sau centroidul tetraedrului, dar raportul în care se împart în acest punct este diferit - 3:1, numărând de la vârfuri. Același punct se află pe toate segmentele care leagă punctele medii ale muchiilor opuse ale tetraedrului, bimedianii săi, și le împarte în jumătate. Acest lucru poate fi dovedit, de exemplu, din considerente mecanice prin plasarea greutăților de unitate de masă la fiecare dintre cele patru vârfuri ale tetraedrului.

5. Şase dovezi ale teoremei mediane

S-a remarcat de mult timp că pentru a se familiariza cu solutii diferite o problemă poate fi mai utilă decât cu soluții similare la diferite probleme. Una dintre teoreme, care, la fel ca multe alte teoreme clasice ale geometriei elementare, admite mai multe dovezi instructive, este

Teorema asupra medianelor unui triunghi. Medianele, B și C ale unui triunghiABCse intersectează la un punct M, iar fiecare dintre ele este împărțit de acest punct în relație 2:1, numărând de sus:A.M.: M= B.M.: M= CM.: M=2. (1)

În toate dovezile date mai jos, cu excepția celei de-a șasea, stabilim doar atât mediana B trece prin punctul M, care împarte mediana A în raport 2:1. Dacă în argumentul corespunzător înlocuim segmentul ÎN pentru un segment CU , atunci obținem asta CU trece prin M. Acest lucru va dovedi că toate cele trei mediane se intersectează la un moment dat M,şi AM:M - 2. Deoarece toate medianele sunt egale, putem înlocui O pe ÎN sau SS 1 de aceea urmează (1).