Să fie un avion 
. 
Să desenăm un normal 
prin originea coordonatelor O. Fie dat 
– unghiuri formate de normală 
cu axe de coordonate. 
. Lasă 
– lungimea segmentului normal 
până când se intersectează cu planul. Presupunând că cosinusurile de direcție ale normalei sunt cunoscute 
.
, derivăm ecuația planului 
Lasă 
) este un punct arbitrar pe plan. Vectorul normal unitar are coordonate. Să găsim proiecția vectorului
la normal. De la punctul M
.
aparține avionului, atunci Aceasta este ecuația unui plan dat, numită .
normal
Distanța de la punct la plan 
,De la punctul*
Să fie dat un avion - punct în spațiu,
d
– distanța sa față de avion.
Definiţie.
Abatere puncte M* +
- punct în spațiu,),
din avion se numește numărul ( Dacă*
M 
se află de cealaltă parte a planului unde direcția pozitivă a punctelor normale - punct în spațiu,, și numărul (-
.
), dacă punctul este situat pe cealaltă parte a planului:.
Teorema 
Lasă avionul 
cu unitatea normală
, derivăm ecuația planului De la punctul*
este dat de ecuația normală: Dacă– punct în spațiu Abaterea t.
* din plan este dat de expresia Dovada. 
Proiecția t. * notăm cu normal.
Q puncte Abaterea punctului
.
din plan este egal Regulă. Pentru a găsi
abatere Dacă T. Dacă*
* din plan, trebuie să înlocuiți coordonatele t în ecuația normală a planului. 
.
. Distanța de la un punct la un plan este
Reducerea ecuației planului general la forma normală
Fie ca același plan să fie definit prin două ecuații:
Ecuația generală
Ecuație normală.
Deoarece ambele ecuații definesc același plan, coeficienții lor sunt proporționali:
Să punem la pătrat primele trei egalități și să le adunăm: 
De aici vom găsi
. (10)
- factor de normalizare:
Înmulțind ecuația generală a planului cu un factor de normalizare, obținem ecuația normală a planului:
Exemple de probleme pe tema „Avion”. Exemplul 1. 
Creați o ecuație a planului 
trecând printr-un punct dat
(2,1,-1) și paralel cu planul. Soluţie 
:
. Normal la avion 
. Deoarece planurile sunt paralele, atunci normalul 
este de asemenea normală cu planul dorit 
. Folosind ecuația unui plan care trece printr-un punct dat (3), obținem pentru plan
ecuaţie:
Răspuns: Exemplul 2. 
Baza unei perpendiculare a coborât de la origine la un plan 
. Aflați ecuația planului 
.
(2,1,-1) și paralel cu planul.. Vector 
este normal pentru avion 
. Punct De la punctul 0
aparține avionului. Puteți folosi ecuația unui plan care trece printr-un punct dat (3):
ecuaţie:
Exemplul 3. Construiți avionul 
, trecând prin puncte 
și perpendicular pe plan 
:.
Prin urmare, pentru un moment dat De la punctul
(x,
y,
z) aparținea avionului 
, este necesar ca trei vectori 
au fost coplanari:
=0.
Rămâne să relevăm determinantul și să aducem expresia rezultată la forma ecuației generale (1).
Exemplul 4. Avion 
dat ecuație generală:
Găsiți abaterea punctului 
dintr-un plan dat.
(2,1,-1) și paralel cu planul.. Să aducem ecuația planului la forma normală.
,
.
Să substituim coordonatele punctului în ecuația normală rezultată puncte.
.
ecuaţie: 
.
Exemplul 5. Planul intersectează segmentul?
(2,1,-1) și paralel cu planul.. A tăia AB traversat planul, abateri 
Şi 
din avion 
trebuie să aibă semne diferite:
.
Exemplul 6. Intersecția a trei plane într-un punct.
.
Sistemul are o soluție unică, prin urmare, cele trei planuri au un punct comun.
Exemplul 7. Aflarea bisectoarelor unui unghi diedru format din două plane date.
, derivăm ecuația planului 
Şi 
- abaterea unui punct 
din primul și al doilea plan.
Pe unul dintre planurile bisectoare (corespunzător unghiului în care se află originea coordonatelor) aceste abateri sunt egale ca mărime și semn, iar pe celălalt sunt egale ca mărime și opuse ca semn.
Aceasta este ecuația primului plan bisectoar.
Aceasta este ecuația celui de-al doilea plan bisectoar.
Exemplul 8. Determinarea locației a două puncte date 
Şi 
raportat la unghiurile diedrice formate de aceste plane.
, derivăm ecuația planului 
. Determinați: există puncte într-unul, colțuri adiacente sau verticale 
Şi 
.
O). Dacă 
Şi 
intins pe o parte a 
iar din 
, apoi se află în același unghi diedru.
b). Dacă 
Şi 
intins pe o parte a 
si diferit de 
, apoi se află în colțurile adiacente.
V). Dacă 
Şi 
culcați pe părțile opuse ale 
Şi 
, apoi se află în colțuri verticale.
Sistemele de coordonate 3
Linii pe un plan 8
Primele linii de comandă. Direct într-un avion. 10
Unghiul dintre liniile drepte 12
Ecuația generală a liniei 13
Ecuația de gradul I incompletă 14
Ecuația unei drepte „în segmente” 14
Studiul comun al ecuațiilor a două drepte 15
Normal la linia 15
Unghiul dintre două linii drepte 16
Ecuația canonică a liniei 16
Ecuații parametrice ale unei linii 17
Ecuația normală (normalizată) a unei linii 18
Distanța de la punct la linia 19
Ecuația unui creion cu linii 20
Exemple de probleme pe tema „linie pe un plan” 22
Produsul vectorial al vectorilor 24
Proprietățile produsului încrucișat 24
Proprietăți geometrice 24
Proprietăți algebrice 25
Exprimarea produsului vectorial prin coordonatele factorilor 26
Amestecat produs de trei vectori 28
Sensul geometric produs mixt 28
Exprimarea unui produs mixt prin coordonate vectoriale 29
Exemple de rezolvare a problemelor
Determinarea distantei dintre: 1 - punct si plan; 2 - drept și plat; 3 - avioane; 4 - liniile drepte încrucișate sunt considerate împreună, deoarece algoritmul de soluție pentru toate aceste probleme este în esență același și constă din constructii geometrice, care trebuie efectuată pentru a determina distanța dintre dat prin punct A și planul α. Dacă există vreo diferență, aceasta constă doar în faptul că în cazurile 2 și 3, înainte de a începe rezolvarea problemei, ar trebui să marcați un punct arbitrar A pe dreapta m (cazul 2) sau pe planul β (cazul 3). distanțe dintre liniile de încrucișare, le închidem mai întâi în planuri paralele α și β și apoi determinăm distanța dintre aceste plane.
Să luăm în considerare fiecare dintre cazurile notate de rezolvare a problemelor.
1. Determinarea distanței dintre un punct și un plan.
Distanța de la un punct la un plan este determinată de lungimea unui segment perpendicular trasat de la un punct la plan.
Prin urmare, soluția la această problemă constă în efectuarea secvențială a următoarelor operații grafice:
1) din punctul A coborâm perpendiculara pe planul α (Fig. 269);
2) găsiți punctul M de intersecție al acestei perpendiculare cu planul M = a ∩ α;
3) determinați lungimea segmentului.
Dacă planul α pozitia generala, apoi pentru a coborî o perpendiculară pe acest plan, este necesar să se determine mai întâi direcția proiecțiilor orizontale și frontale ale acestui plan. Găsirea punctului de întâlnire al acestei perpendiculare cu planul necesită și construcții geometrice suplimentare.
Soluția problemei este simplificată dacă planul α ocupă o anumită poziție față de planurile de proiecție. În acest caz, atât proiecția perpendicularei, cât și găsirea punctului de întâlnire a acesteia cu planul sunt efectuate fără construcții auxiliare suplimentare.
EXEMPLU 1. Determinați distanța de la punctul A la planul α care se proiectează frontal (Fig. 270).
SOLUŢIE. Prin A” realizăm proiecție orizontală perpendiculară l" ⊥ h 0α, iar prin A" - proiecția sa frontală l" ⊥ f 0α. Se marchează punctul M" = l" ∩ f 0α. Deoarece AM || π 2, atunci [A" M"] == |. AM|=d.
Din exemplul luat în considerare, este clar cât de simplu se rezolvă problema atunci când avionul ocupă o poziție de proiectare. Prin urmare, dacă în datele sursă este specificat un plan de poziție generală, atunci înainte de a continua cu soluția, planul trebuie mutat într-o poziție perpendiculară pe orice plan de proiecție.
EXEMPLU 2. Determinați distanța de la punctul K la planul specificat de ΔАВС (Fig. 271).
1. Transferăm planul ΔАВС în poziția de proiectare *. Pentru a face acest lucru, trecem de la sistemul xπ 2 /π 1 la x 1 π 3 /π 1: direcția noii axe x 1 este aleasă perpendicular pe proiecția orizontală a planului orizontal al triunghiului.
2. Proiectați ΔABC pe un nou plan π 3 (planul ΔABC este proiectat pe π 3, în [ C " 1 B " 1 ]).
3. Proiectați punctul K pe același plan (K" → K" 1).
4. Prin punctul K" 1 trasăm (K" 1 M" 1)⊥ segmentul [C" 1 B" 1 ]. Distanța necesară d = |K" 1 M" 1 |
Soluția problemei este simplificată dacă planul este definit prin urme, deoarece nu este nevoie să desenați proiecții ale liniilor de nivel.
EXEMPLU 3. Determinați distanța de la punctul K la planul α, specificată de urme (Fig. 272).
* Cea mai rațională modalitate de a transfera planul triunghiular în poziția de proiectare este înlocuirea planurilor de proiecție, deoarece în acest caz este suficient să construiți o singură proiecție auxiliară.
SOLUŢIE. Înlocuim planul π 1 cu planul π 3, pentru aceasta desenăm o nouă axă x 1 ⊥ f 0α. Pe h 0α marchem un punct arbitrar 1" și determinăm noua proiecție orizontală a acestuia pe planul π 3 (1" 1). Prin punctele X α 1 (X α 1 = h 0α 1 ∩ x 1) și 1" 1 desenăm h 0α 1. Determinăm noua proiecție orizontală a punctului K → K" 1. Din punctul K" 1 coborâm perpendiculara pe h 0α 1 și marcam punctul de intersecție cu h 0α 1 - M" 1. Lungimea segmentului K" 1 M" 1 va indica distanța necesară.
2. Determinarea distanței dintre o dreaptă și un plan.
Distanța dintre o dreaptă și un plan este determinată de lungimea unui segment perpendicular scăpat dintr-un punct arbitrar al dreptei către plan (vezi Fig. 248).
Prin urmare, soluția problemei determinării distanței dintre dreapta m și planul α nu este diferită de exemplele discutate în paragraful 1 pentru determinarea distanței dintre un punct și un plan (vezi Fig. 270 ... 272). Ca punct, puteți lua orice punct aparținând dreptei m.
3. Determinarea distanței dintre avioane.
Distanța dintre planuri este determinată de mărimea segmentului perpendicular scăpat dintr-un punct luat pe un plan în alt plan.
Din această definiție rezultă că algoritmul de rezolvare a problemei găsirii distanței dintre planele α și β diferă de un algoritm similar de rezolvare a problemei determinării distanței dintre dreapta m și planul α doar în aceea că linia m trebuie să aparțină planului α. , adică pentru a determina distanța dintre planele α și β urmează:
1) luați o dreaptă m în planul α;
2) selectați un punct arbitrar A pe dreapta m;
3) din punctul A, coborâți perpendiculara l pe planul β;
4) determinați punctul M - punctul de întâlnire al perpendicularei l cu planul β;
5) determinați dimensiunea segmentului.
În practică, este recomandabil să se folosească un algoritm de soluție diferit, care va diferi de cel dat doar prin faptul că, înainte de a trece cu primul pas, planurile ar trebui să fie transferate în poziția de proiecție.
Includerea acestei operații suplimentare în algoritm simplifică execuția tuturor celorlalte puncte fără excepție, ceea ce duce în cele din urmă la o soluție mai simplă.
EXEMPLU 1. Determinați distanța dintre planele α și β (Fig. 273).
SOLUŢIE. Trecem de la sistemul xπ 2 /π 1 la x 1 π 1 /π 3. În ceea ce privește noul plan π 3, planurile α și β ocupă o poziție proeminentă, prin urmare distanța dintre noile urme frontale f 0α 1 și f 0β 1 este cea dorită.
În practica ingineriei, este adesea necesar să se rezolve problema construcției unui plan paralel cu un plan dat și îndepărtat de acesta la o anumită distanță. Exemplul 2 de mai jos ilustrează soluția unei astfel de probleme.
EXEMPLU 2. Este necesar să se construiască proiecții ale unui plan β paralel cu un plan dat α (m || n), dacă se știe că distanța dintre ele este d (Fig. 274).
1. În planul α desenăm drepte orizontale arbitrare h (1, 3) și linii frontale f (1,2).
2. Din punctul 1 refacem perpendiculara l pe planul α(l" ⊥ h", l" ⊥ f").
3. Pe perpendiculara l notăm un punct arbitrar A.
4. Determinați lungimea segmentului - (poziția indică pe diagramă direcția metric nedistorsionată a dreptei l).
5. Așezați segmentul = d pe linia dreaptă (1"A 0) din punctul 1".
6. Marcați pe proiecțiile l" și l" punctele B" și B", corespunzător punctului La 0.
7. Prin punctul B desenăm planul β (h 1 ∩ f 1). Pentru β || α, este necesar să se respecte condiția h 1 || h și f 1 || f.
4. Determinarea distanței dintre liniile care se intersectează.
Distanța dintre liniile care se intersectează este determinată de lungimea perpendicularei cuprinse între planurile paralele cărora le aparțin dreptele care se intersectează.
Pentru a desena plane reciproc paralele α și β prin drepte care se intersectează m și f, este suficient să trasăm prin punctul A (A ∈ m) o dreaptă p paralelă cu dreapta f și prin punctul B (B ∈ f) o dreaptă k paralelă cu dreapta m . Dreptele care se intersectează m și p, f și k definesc planele reciproc paralele α și β (vezi Fig. 248, e). Distanța dintre planele α și β este egală cu distanța necesară dintre liniile de încrucișare m și f.
Se poate propune o altă modalitate de determinare a distanței dintre liniile care se intersectează, care constă în faptul că, folosind o metodă de transformare a proiecțiilor ortogonale, una dintre liniile care se intersectează este transferată în poziția de proiectare. În acest caz, o proiecție a dreptei degenerează într-un punct. Distanța dintre noile proiecții ale liniilor de încrucișare (punctul A" 2 și segmentul C" 2 D" 2) este cea necesară.
În fig. 275 prezintă o soluție la problema determinării distanței dintre liniile de încrucișare a și b, date segmente [AB] și [CD]. Soluția se efectuează în următoarea secvență:
1. Mutați una dintre liniile de trecere (a) într-o poziție paralel cu planulπ 3; Pentru a face acest lucru, treceți de la sistemul de planuri de proiecție xπ 2 /π 1 la noul x 1 π 1 /π 3, axa x 1 este paralelă cu proiecția orizontală a dreptei a. Determinați a" 1 [A" 1 B" 1 ] și b" 1.
2. Prin înlocuirea planului π 1 cu planul π 4, translatăm dreapta
și la poziția a" 2, perpendicular pe planπ 4 (noua axă x 2 este desenată perpendicular pe un „1).
3. Construiți o nouă proiecție orizontală a dreptei b" 2 - [ C" 2 D" 2 ].
4. Distanța de la punctul A" 2 la linia dreaptă C" 2 D" 2 (segmentul (A" 2 M" 2 ] (este cel necesar).
Trebuie avut în vedere că transferul uneia dintre liniile de trecere în poziția de proiectare nu este altceva decât transferul planurilor de paralelism, în care liniile a și b pot fi închise, tot în poziția de proiectare.
De fapt, prin mutarea liniei a într-o poziție perpendiculară pe planul π 4, ne asigurăm că orice plan care conține dreapta a este perpendicular pe planul π 4, inclusiv planul α definit de liniile a și m (a ∩ m, m | |. b). Dacă tragem acum o dreaptă n, paralelă cu a și dreapta care se intersectează cu b, atunci obținem planul β, care este al doilea plan de paralelism, care conține dreptele care se intersectează a și b. Din moment ce β || α, atunci β ⊥ π 4 .
, Concurs „Prezentare pentru lecție”
Clasă: 11
Prezentare pentru lecție
Înapoi Înainte
Atenţie! Previzualizările diapozitivelor au doar scop informativ și este posibil să nu reprezinte toate caracteristicile prezentării. Dacă sunteți interesat de această lucrare, vă rugăm să descărcați versiunea completă.
Obiective:
- generalizarea și sistematizarea cunoștințelor și aptitudinilor elevilor;
- dezvoltarea abilităților de a analiza, compara, trage concluzii.
Echipament:
- proiector multimedia;
- calculator;
- foi cu texte problematice
PROGRESUL CLASEI
I. Moment organizatoric
II. Etapa de actualizare a cunoștințelor(diapozitivul 2)
Repetăm modul în care se determină distanța de la un punct la un plan
III. Curs(diapozitivele 3-15)
În această lecție ne vom uita la diferite moduri de a găsi distanța de la un punct la un plan.
Prima metoda: de calcul pas cu pas
Distanța de la punctul M la planul α:
– egală cu distanța până la planul α de un punct arbitrar P situat pe o dreaptă a, care trece prin punctul M și este paralel cu planul α;
– este egală cu distanța până la planul α de la un punct arbitrar P situat pe planul β, care trece prin punctul M și este paralel cu planul α.
Vom rezolva următoarele probleme:
№1. În cubul A...D 1, găsiți distanța de la punctul C 1 la planul AB 1 C.
Rămâne de calculat valoarea lungimii segmentului O 1 N.
№2. Într-o prismă hexagonală regulată A...F 1, ale cărei toate muchiile sunt egale cu 1, găsiți distanța de la punctul A la planul DEA 1.
Următoarea metodă: metoda volumului.
Dacă volumul piramidei ABCM este egal cu V, atunci distanța de la punctul M până la planul α care conține ∆ABC se calculează prin formula ρ(M; α) = ρ(M; ABC) =
Când rezolvăm probleme, folosim egalitatea volumelor unei figuri, exprimată în două moduri diferite.
Să rezolvăm următoarea problemă:
№3. Muchia AD a piramidei DABC este perpendiculară pe planul de bază ABC. Aflați distanța de la A până la planul care trece prin punctele medii ale muchiilor AB, AC și AD, dacă.
La rezolvarea problemelor metoda coordonatelor distanța de la punctul M la planul α poate fi calculată folosind formula ρ(M; α) = 
, unde M(x 0; y 0; z 0), iar planul este dat de ecuația ax + by + cz + d = 0
Să rezolvăm următoarea problemă:
№4. Într-un cub unitar A...D 1, găsiți distanța de la punctul A 1 la planul BDC 1.
Să introducem un sistem de coordonate cu originea în punctul A, axa y va rula de-a lungul muchiei AB, axa x de-a lungul muchiei AD și axa z de-a lungul muchiei AA 1. Apoi coordonatele punctelor B (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1)
Să creăm o ecuație pentru un plan care trece prin punctele B, D, C 1.
Atunci – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0. Prin urmare, ρ = 
Următoarea metodă care poate fi utilizată pentru a rezolva probleme de acest tip este metoda de rezolvare a problemelor.
Aplicație această metodă constă în aplicarea unor probleme de referinţă cunoscute, care sunt formulate ca teoreme.
Să rezolvăm următoarea problemă:
№5. Într-un cub unitar A...D 1, găsiți distanța de la punctul D 1 la planul AB 1 C.
Să luăm în considerare aplicația metoda vectoriala.
№6. Într-un cub unitar A...D 1, găsiți distanța de la punctul A 1 la planul BDC 1.
Deci, ne-am uitat la diferite metode care pot fi folosite pentru a rezolva acest tip de problemă. Alegerea unei metode sau alteia depinde de sarcina specifică și de preferințele dvs.
IV. Munca de grup
Încercați să rezolvați problema în moduri diferite.
№1. Muchia cubului A...D 1 este egală cu . Aflați distanța de la vârful C la planul BDC 1.
№2. Într-un tetraedru regulat ABCD cu muchie, găsiți distanța de la punctul A la planul BDC
№3. Într-o prismă triunghiulară regulată ABCA 1 B 1 C 1, ale căror muchii sunt egale cu 1, găsiți distanța de la A la planul BCA 1.
№4. Într-o piramidă patrulateră obișnuită SABCD, ale cărei toate muchiile sunt egale cu 1, găsiți distanța de la A la planul SCD.
V. Rezumatul lecției, teme pentru acasă, reflexie
Condiții de paralelism și perpendicularitate
1°. Condiție pentru coplanaritatea a două planuri
Să fie date două planuri:
O 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, n 1 = {O 1 ; B 1 ; C 1 } ≠ 0 ;(1)
O 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0, n 2 = {O 2 ; B 2 ; C 2 } ≠ 0 .(2)
Când sunt ele coplanare (adică paralele sau coincidente)? Evident, acesta va fi cazul dacă și numai dacă vectorii lor normali sunt coliniari. Aplicând criteriul coplanarității obținem
Teza 1. Două plane sunt coplanare dacă și numai dacă produsul încrucișat al vectorilor lor normali este egal cu vectorul zero:
[n 1 , n 2 ] = 0 .
2°. Condiție pentru coincidența a două planuri
Propunerea 2. Planurile (1) și (2) coincid dacă și numai dacă toți cei patru coeficienți ai lor sunt proporționali, adică există un număr λ astfel încât
O 2 = λ O 1 , B 2 = λ B 1 , C 2 = λ C 1 , D 2 = λ D 1 . (3)
* din plan este dat de expresia Fie îndeplinite condițiile (3). Atunci ecuația celui de-al doilea plan poate fi scrisă după cum urmează:
λ O 1 x + λ B 1 y + λ C 1 z + λ D 1 = 0.
λ ≠ 0, altfel ar fi O 2 = B 2 = C 2 = D 2 = 0, ceea ce contrazice condiția n 2 ≠ 0 . Prin urmare, ultima ecuație este echivalentă cu ecuația (1), ceea ce înseamnă că cele două plane coincid.
Să știm acum, dimpotrivă, că aceste avioane coincid. Atunci vectorii lor normali sunt coliniari, adică există un număr λ astfel încât
O 2 = λ O 1 , B 2 = λ B 1 , C 2 = λ C 1 .
Ecuația (2) poate fi acum rescrisă ca:
λ O 1 x + λ B 1 y + λ C 1 z + D 2 = 0.
Înmulțind ecuația (1) cu λ, obținem o ecuație echivalentă a primului plan (deoarece λ ≠ 0):
λ O 1 x + λ B 1 y + λ C 1 z + λ D 1 = 0.
Să luăm un punct ( x 0 , y 0 , z 0) din primul (și deci al doilea) plan și înlocuiți coordonatele acestuia în ultimele două ecuații; obținem egalitățile corecte:
λ O 1 x 0 + λ B 1 y 0 + λ C 1 z 0 + D 2 = 0 ;
λ O 1 x 0 + λ B 1 y 0 + λ C 1 z 0 + λ D 1 = 0.
Scăzând partea inferioară din cea superioară, obținem D 2 − λ D 1 = 0, adică D 2 = λ D 1, QED.
3°. Condiție pentru perpendicularitatea a două plane
Evident, pentru aceasta este necesar și suficient ca vectorii normali să fie perpendiculari.
Propunerea 3. Două plane sunt perpendiculare dacă și numai dacă produsul scalar al vectorilor normali este zero:
(n 1 , n 2) = 0 .
Să fie dată ecuația plană
Topor + De + Cz + D = 0, n = {O; B; C} ≠ 0 ,
și punct Dacă 0 = (x 0 , y 0 , z 0). Să derivăm formula pentru distanța de la un punct la un plan:
Să luăm un punct arbitrar * notăm cu normal = (x 1 , y 1 , z 1), culcat în acest plan. Coordonatele sale satisfac ecuația plană:
Topor 1 + De 1 + Cz 1 + D = 0.
Să remarcăm acum că distanța necesară - punct în spațiu, egală cu valoarea absolută a proiecției vectoriale pe direcția vectorului n (aici luăm proiecția ca mărime numerică și nu ca vector). Apoi, aplicăm formula pentru a calcula proiecția:
O formulă similară este valabilă pentru distanță - punct în spațiu, din punct Dacă 0 = (x 0 , y 0) plan pe o dreaptă dată de ecuația generală Topor + De + C = 0.