Progresii aritmetice și geometrice
Informații teoretice
Informații teoretice
Progresie aritmetică |
Progresie geometrică |
|
Definiţie |
Progresie aritmetică un n este o succesiune în care fiecare membru, începând cu al doilea, este egal cu membrul anterior adăugat la același număr d (d- diferenta de progresie) |
Progresie geometrică b n este o succesiune de numere diferite de zero, al căror termen, începând cu al doilea, este egal cu termenul anterior înmulțit cu același număr. q (q- numitorul progresiei) |
Formula recurentei |
Pentru orice natural n |
Pentru orice natural n |
Formula al n-lea termen |
a n = a 1 + d (n – 1) |
b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0 |
| Proprietate caracteristică |  |
|
| Suma primilor n termeni |  |
 |
Exemple de sarcini cu comentarii
Sarcina 1
În progresie aritmetică ( un n) a 1 = -6, a 2
Conform formulei celui de-al n-lea termen:
un 22 = a 1+ d (22 - 1) = a 1+ 21 d
Dupa conditie:
a 1= -6, atunci un 22= -6 + 21 d .
Este necesar să găsiți diferența de progresii:
d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2
un 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.
Raspuns: un 22 = -48.
Sarcina 2
Aflați al cincilea termen al progresiei geometrice: -3; 6;....
Prima metodă (folosind formula n termeni)
Conform formulei pentru al n-lea termen al unei progresii geometrice:
b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.
Deoarece b 1 = -3,
A doua metodă (folosind formula recurentă)
Deoarece numitorul progresiei este -2 (q = -2), atunci:
b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;
b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;
b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.
Raspuns: b 5 = -48.
Sarcina 3
În progresie aritmetică ( a n ) a 74 = 34; un 76= 156. Aflați al șaptezeci și cincilea termen al acestei progresii.
Pentru o progresie aritmetică, proprietatea caracteristică are forma 
.
Din aceasta rezultă:
.
Să înlocuim datele în formula:
Raspuns: 95.
Sarcina 4
În progresie aritmetică ( a n ) a n= 3n - 4. Aflați suma primilor șaptesprezece termeni.
Pentru a afla suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice, se folosesc două formule:
.
În care se află în acest caz, mai comod de folosit?
Prin condiție, formula pentru al n-lea termen al progresiei inițiale este cunoscută ( un n) un n= 3n - 4. Puteți găsi imediat și a 1, Și un 16 fără a găsi d. Prin urmare, vom folosi prima formulă.
Raspuns: 368.
Sarcina 5
În progresie aritmetică ( un n) a 1 = -6; a 2= -8. Găsiți termenul douăzeci și doi al progresiei.
Conform formulei celui de-al n-lea termen:
a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1+ 21d.
După condiție, dacă a 1= -6, atunci un 22= -6 + 21d . Este necesar să găsiți diferența de progresii:
d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2
un 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.
Raspuns: un 22 = -48.
Sarcina 6
Se scriu mai mulți termeni consecutivi ai progresiei geometrice:
Găsiți termenul progresiei etichetat x.
Când rezolvăm, vom folosi formula pentru al n-lea termen b n = b 1 ∙ q n - 1 pentru progresii geometrice. Primul termen al progresiei. Pentru a găsi numitorul progresiei q, trebuie să luați oricare dintre termenii dați ai progresiei și să împărțiți la cel anterior. În exemplul nostru, putem lua și împărți prin. Obținem că q = 3. În loc de n, înlocuim 3 în formulă, deoarece este necesar să găsim al treilea termen al unei progresii geometrice date.
Înlocuind valorile găsite în formulă, obținem:
.
Raspuns: .
Sarcina 7
Din progresiile aritmetice date de formula celui de-al n-lea termen, selectați-l pe cel pentru care este îndeplinită condiția un 27 > 9:
Deoarece condiția dată trebuie îndeplinită pentru al 27-lea termen al progresiei, înlocuim 27 în loc de n în fiecare dintre cele patru progresii. În a 4-a progresie obținem:
.
Raspuns: 4.
Sarcina 8
În progresie aritmetică a 1= 3, d = -1,5. Specifica cea mai mare valoare n pentru care inegalitatea este valabilă un n > -6.
Mulți oameni au auzit despre progresia aritmetică, dar nu toată lumea are o idee bună despre ce este. În acest articol vom oferi definiția corespunzătoare și vom lua în considerare, de asemenea, întrebarea cum să găsim diferența unei progresii aritmetice și vom oferi o serie de exemple.
Definiție matematică
Deci dacă despre care vorbim despre progresia aritmetică sau algebrică (aceste concepte definesc același lucru), asta înseamnă că există o anumită serie de numere care îndeplinește următoarea lege: fiecare două numere adiacente din serie diferă cu aceeași valoare. Matematic se scrie asa:
Aici n înseamnă numărul elementului a n din succesiune, iar numărul d este diferența de progresie (denumirea acestuia decurge din formula prezentată).
Ce înseamnă a cunoaște diferența d? Despre cât de „departe” sunt numerele vecine unul de celălalt. Cu toate acestea, cunoașterea lui d este o condiție necesară, dar nu suficientă pentru determinarea (restaurarea) întregii progresii. Trebuie să știți încă un număr, care poate fi absolut orice element al seriei în cauză, de exemplu, un 4, a10, dar, de regulă, folosesc primul număr, adică un 1.
Formule pentru determinarea elementelor de progresie
În general, informațiile de mai sus sunt deja suficiente pentru a trece la rezolvarea unor probleme specifice. Cu toate acestea, înainte ca progresia aritmetică să fie dată și va fi necesar să găsim diferența acesteia, vom prezenta câteva formule utile, facilitând astfel procesul ulterior de rezolvare a problemelor.
Este ușor de arătat că orice element al șirului cu număr n poate fi găsit după cum urmează:
a n = a 1 + (n - 1) * d
Într-adevăr, oricine poate verifica această formulă prin căutare simplă: dacă înlocuiți n = 1, obțineți primul element, dacă înlocuiți n = 2, atunci expresia dă suma primului număr și diferența și așa mai departe.
Condițiile multor probleme sunt alcătuite în așa fel încât, având în vedere o pereche cunoscută de numere, ale căror numere sunt și ele date în succesiune, este necesară reconstrucția întregii serie de numere (aflați diferența și primul element). Acum vom rezolva această problemă în vedere generală.
Deci, să fie date două elemente cu numere n și m. Folosind formula obținută mai sus, puteți crea un sistem de două ecuații:
a n = a 1 + (n - 1) * d;
a m = a 1 + (m - 1) * d
Pentru a găsi cantități necunoscute, vom folosi o tehnică simplă bine-cunoscută pentru rezolvarea unui astfel de sistem: scădeți părțile stânga și dreaptă în perechi, egalitatea va rămâne valabilă. Avem:
a n = a 1 + (n - 1) * d;
a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)
Astfel, am exclus o necunoscută (a 1). Acum putem scrie expresia finală pentru determinarea d:
d = (a n - a m) / (n - m), unde n > m
Am primit o formulă foarte simplă: pentru a calcula diferența d în conformitate cu condițiile problemei, este necesar doar să luăm raportul dintre diferențele dintre elementele în sine și numerele lor de serie. Un punct important trebuie acordat atenție: diferențele sunt luate între membrii „senior” și „junior”, adică n > m („senior” înseamnă a sta mai departe de începutul secvenței, valoarea sa absolută poate fi fie element mai mare sau mai puțin „junior”).
Expresia pentru diferența d progresie ar trebui înlocuită în oricare dintre ecuațiile de la începutul rezolvării problemei pentru a obține valoarea primului termen.
În epoca noastră de dezvoltare tehnologie informatică Mulți școlari încearcă să găsească soluții pentru temele lor pe Internet, așa că apar adesea întrebări de acest tip: găsiți diferența unei progresii aritmetice online. Pentru o astfel de solicitare, motorul de căutare va returna un număr de pagini web, mergând la care va trebui să introduceți datele cunoscute din condiție (aceasta pot fi fie doi termeni ai progresiei, fie suma unui anumit număr dintre ei). ) și primiți instantaneu un răspuns. Cu toate acestea, această abordare a rezolvării problemei este neproductivă în ceea ce privește dezvoltarea și înțelegerea de către elev a esenței sarcinii care i-a fost atribuită.
Soluție fără a folosi formule
Să rezolvăm prima problemă fără a folosi nici una dintre formulele date. Să fie date elementele seriei: a6 = 3, a9 = 18. Aflați diferența progresiei aritmetice.
Elementele cunoscute stau aproape unele de altele la rând. De câte ori trebuie adăugată diferența d la cea mai mică pentru a obține cea mai mare? De trei ori (prima oară adăugând d, obținem al 7-lea element, a doua oară - a opta, în sfârșit, a treia oară - a noua). Ce număr trebuie adăugat la trei de trei ori pentru a obține 18? Acesta este numărul cinci. Serios:
Astfel, diferența necunoscută d = 5.
Desigur, soluția ar fi putut fi realizată folosind formula corespunzătoare, dar acest lucru nu a fost făcut intenționat. O explicație detaliată a soluției problemei ar trebui să devină un exemplu clar și clar a ceea ce este o progresie aritmetică.
O sarcină similară celei anterioare
Acum să rezolvăm o problemă similară, dar să schimbăm datele de intrare. Deci, ar trebui să aflați dacă a3 = 2, a9 = 19.
Desigur, puteți recurge din nou la metoda de soluție „directă”. Dar, deoarece sunt date elementele seriei, care sunt relativ departe unele de altele, această metodă nu va fi pe deplin convenabilă. Dar folosirea formulei rezultate ne va conduce rapid la răspuns:
d = (a 9 - a 3) / (9 - 3) = (19 - 2) / (6) = 17 / 6 ≈ 2,83
Aici am rotunjit numărul final. Măsura în care această rotunjire a condus la o eroare poate fi apreciată prin verificarea rezultatului obținut:
a 9 = a 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 = 18,98
Acest rezultat diferă doar cu 0,1% de valoarea dată în condiție. Prin urmare, rotunjirea folosită la cele mai apropiate sutimi poate fi considerată o alegere de succes.
Probleme care implică aplicarea formulei pentru un termen
Să luăm în considerare exemplu clasic sarcini pentru determinarea necunoscutului d: găsiți diferența progresiei aritmetice dacă a1 = 12, a5 = 40.
Când sunt date două numere dintr-o succesiune algebrică necunoscută, iar unul dintre ele este elementul a 1, atunci nu trebuie să vă gândiți mult, ci ar trebui să aplicați imediat formula pentru un termen. În acest caz avem:
a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7
Am primit numărul exact la împărțire, așa că nu are rost să verificăm acuratețea rezultatului calculat, așa cum sa făcut în paragraful anterior.
Să rezolvăm o altă problemă similară: trebuie să găsim diferența unei progresii aritmetice dacă a1 = 16, a8 = 37.
Folosim o abordare similară cu cea anterioară și obținem:
a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3
Ce altceva ar trebui să știi despre progresia aritmetică?
Pe lângă problemele de găsire a unei diferențe necunoscute sau a elementelor individuale, este adesea necesar să se rezolve problemele sumei primilor termeni ai unei secvențe. Luarea în considerare a acestor sarcini depășește scopul articolului, totuși, pentru caracterul complet al informațiilor pe care le prezentăm formula generala pentru suma de n numere dintr-o serie:
∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2
Da, da: progresia aritmetică nu este o jucărie pentru tine :) Ei bine, prieteni, dacă citiți acest text, atunci dovada internă a capacului îmi spune că încă nu știți ce este o progresie aritmetică, dar chiar (nu, așa: SOOOOO!) doriți să știți. Prin urmare, nu vă voi chinui cu prezentări lungi și voi ajunge direct la obiect.
În primul rând, câteva exemple. Să ne uităm la mai multe seturi de numere:
- 1; 2; 3; 4; ...
- 15; 20; 25; 30; ...
- $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$
Ce au în comun toate aceste seturi? La prima vedere, nimic. Dar de fapt există ceva. Anume: fiecare element următor diferă de cel precedent prin același număr.
Judecă singur. Primul set este pur și simplu numere consecutive, fiecare următor fiind cu unul mai mult decât precedentul. În al doilea caz, diferența dintre numerele adiacente este deja de cinci, dar această diferență este încă constantă. În al treilea caz, nu există deloc rădăcini. Cu toate acestea, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$ și $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, adică. și în acest caz, fiecare element următor crește pur și simplu cu $\sqrt(2)$ (și nu vă fie teamă că acest număr este irațional).
Deci: toate astfel de secvențe se numesc progresii aritmetice. Să dăm o definiție strictă:
Definiţie. O succesiune de numere în care fiecare următor diferă de precedentul prin exact aceeași cantitate se numește progresie aritmetică. Însuși valoarea cu care numerele diferă se numește diferență de progresie și este cel mai adesea notă cu litera $d$.
Notație: $\left(((a)_(n)) \right)$ este progresia în sine, $d$ este diferența acesteia.
Și un cuplu deodată comentarii importante. În primul rând, progresia este luată în considerare ordonat succesiune de numere: au voie să fie citite strict în ordinea în care sunt scrise - și nimic altceva. Numerele nu pot fi rearanjate sau schimbate.
În al doilea rând, succesiunea în sine poate fi fie finită, fie infinită. De exemplu, mulțimea (1; 2; 3) este în mod evident o progresie aritmetică finită. Dar dacă scrieți ceva în spirit (1; 2; 3; 4; ...) - aceasta este deja o progresie infinită. Elipsele de după cele patru par să sugereze că mai urmează destul de multe numere. Infinit multe, de exemplu.
De asemenea, aș dori să remarc că progresiile pot fi în creștere sau în scădere. Am văzut deja crescătoare - același set (1; 2; 3; 4; ...). Iată exemple de progresii în scădere:
- 49; 41; 33; 25; 17; ...
- 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
- $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$
Bine, bine: ultimul exemplu poate părea excesiv de complicat. Dar restul cred că ai înțeles. Prin urmare, introducem noi definiții:
Definiţie. O progresie aritmetica se numeste:
- crescând dacă fiecare element următor este mai mare decât cel anterior;
- descrescătoare dacă, dimpotrivă, fiecare element ulterior este mai mic decât cel anterior.
În plus, există așa-numitele secvențe „staționare” - ele constau din același număr care se repetă. De exemplu, (3; 3; 3; ...).
Rămâne o singură întrebare: cum să distingem o progresie crescătoare de una în scădere? Din fericire, totul aici depinde doar de semnul numărului $d$, adică. diferente de progresie:
- Dacă $d \gt 0$, atunci progresia crește;
- Dacă $d \lt 0$, atunci progresia este în mod evident în scădere;
- În sfârșit, există cazul $d=0$ - în acest caz întreaga progresie se reduce la o succesiune staționară de numere identice: (1; 1; 1; 1; ...), etc.
Să încercăm să calculăm diferența $d$ pentru cele trei progresii descrescătoare prezentate mai sus. Pentru a face acest lucru, este suficient să luați oricare două elemente adiacente (de exemplu, primul și al doilea) și să scădeți numărul din stânga din numărul din dreapta. Va arăta astfel:
- 41−49=−8;
- 12−17,5=−5,5;
- $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.
După cum putem vedea, în toate cele trei cazuri diferența sa dovedit a fi de fapt negativă. Și acum că ne-am dat seama mai mult sau mai puțin definițiile, este timpul să ne dăm seama cum sunt descrise progresiile și ce proprietăți au acestea.
Termeni de progresie și formula de recurență
Deoarece elementele secvențelor noastre nu pot fi schimbate, ele pot fi numerotate:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \dreapta\)\]
Elementele individuale ale acestui set sunt numite membri ai unei progresii. Ele sunt indicate printr-un număr: primul membru, al doilea membru etc.
În plus, după cum știm deja, termenii învecinați ai progresiei sunt legați prin formula:
\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]
Pe scurt, pentru a găsi termenul $n$ al unei progresii, trebuie să cunoașteți termenul $n-1$-lea și diferența $d$. Această formulă se numește recurentă, deoarece cu ajutorul ei poți găsi orice număr doar cunoscând-o pe precedentul (și de fapt, pe toate precedentele). Acest lucru este foarte incomod, deci există o formulă mai vicleană care reduce orice calcul la primul termen și diferența:
\[((a)_(n))=((a)_(1))+\stanga(n-1 \dreapta)d\]
Probabil că ați întâlnit deja această formulă. Le place să-l ofere în tot felul de cărți de referință și cărți de soluții. Și în orice manual de matematică sensibil este unul dintre primele.
Totuși, vă sugerez să exersați puțin.
Sarcina nr. 1. Notați primii trei termeni ai progresiei aritmetice $\left(((a)_(n)) \right)$ dacă $((a)_(1))=8,d=-5$.
Soluţie. Deci, cunoaștem primul termen $((a)_(1))=8$ și diferența de progresie $d=-5$. Să folosim formula tocmai dată și să înlocuim $n=1$, $n=2$ și $n=3$:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(align)\]
Răspuns: (8; 3; −2)
Asta este! Vă rugăm să rețineți: progresul nostru este în scădere.
Desigur, $n=1$ nu a putut fi înlocuit - primul termen este deja cunoscut de noi. Totuși, înlocuind unitatea, am fost convinși că și pentru primul termen formula noastră funcționează. În alte cazuri, totul s-a rezumat la aritmetică banală.
Sarcina nr. 2. Scrieți primii trei termeni ai unei progresii aritmetice dacă al șaptelea termen este egal cu -40 și al șaptesprezecelea termen este egal cu -50.
Soluţie. Să scriem condiția problemei în termeni familiari:
\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]
\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]
\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \corect.\]
Am pus semnul de sistem pentru că aceste cerințe trebuie îndeplinite simultan. Acum să observăm că, dacă o scădem pe prima din a doua ecuație (avem dreptul să facem asta, deoarece avem un sistem), obținem asta:
\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(align)\]
Așa este de ușor să găsești diferența de progresie! Tot ce rămâne este să înlocuiți numărul găsit în oricare dintre ecuațiile sistemului. De exemplu, în primul:
\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(matrice)\]
Acum, cunoscând primul termen și diferența, rămâne să găsim al doilea și al treilea termen:
\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(align)\]
Gata! Problema este rezolvată.
Răspuns: (−34; −35; −36)
Observați proprietatea interesantă a progresiei pe care am descoperit-o: dacă luăm termenii $n$th și $m$th și îi scădem unul de celălalt, obținem diferența de progresie înmulțită cu numărul $n-m$:
\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]
Simplu dar foarte proprietate utilă, pe care trebuie neapărat să-l cunoașteți - cu ajutorul lui puteți accelera semnificativ rezolvarea multor probleme de progresie. Aici strălucitor că exemplu:
Sarcina nr. 3. Al cincilea termen al unei progresii aritmetice este 8,4, iar al zecelea termen este 14,4. Găsiți al cincisprezecelea termen al acestei progresii.
Soluţie. Deoarece $((a)_(5))=8,4$, $((a)_(10))=14,4$ și trebuie să găsim $((a)_(15))$, observăm următoarele:
\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(align)\]
Dar prin condiția $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, deci $5d=6$, din care avem:
\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(align)\]
Răspuns: 20.4
Asta este! Nu a fost nevoie să creăm sisteme de ecuații și să calculăm primul termen și diferența - totul a fost rezolvat în doar câteva linii.
Acum să ne uităm la un alt tip de problemă - căutarea termenilor negativi și pozitivi ai unei progresii. Nu este un secret că, dacă o progresie crește, iar primul său termen este negativ, atunci mai devreme sau mai târziu vor apărea termeni pozitivi în ea. Și invers: termenii unei progresii în scădere vor deveni mai devreme sau mai târziu negativi.
În același timp, nu este întotdeauna posibil să găsiți acest moment „în față” parcurgând secvențial elementele. Adesea, problemele sunt scrise în așa fel încât, fără a cunoaște formulele, calculele ar dura mai multe coli de hârtie – pur și simplu am adormi în timp ce găsim răspunsul. Prin urmare, să încercăm să rezolvăm aceste probleme într-un mod mai rapid.
Sarcina nr. 4. Câți termeni negativi există în progresia aritmetică −38,5; −35,8; ...?
Soluţie. Deci, $((a)_(1))=-38,5$, $((a)_(2))=-35,8$, de unde găsim imediat diferența:
Rețineți că diferența este pozitivă, deci progresia crește. Primul termen este negativ, așa că într-adevăr, la un moment dat, ne vom împiedica de numere pozitive. Singura întrebare este când se va întâmpla asta.
Să încercăm să aflăm cât timp (adică până la ce număr natural $n$) rămâne negativitatea termenilor:
\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38,5+\left(n-1 \right)\cdot 2,7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \dreapta. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \end(align)\]
Ultima linie necesită câteva explicații. Deci știm că $n \lt 15\frac(7)(27)$. Pe de altă parte, ne mulțumim doar cu valori întregi ale numărului (mai mult: $n\in \mathbb(N)$), deci cel mai mare număr permis este tocmai $n=15$ și în niciun caz 16 .
Sarcina nr. 5. În progresie aritmetică $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Aflați numărul primului termen pozitiv al acestei progresii.
Aceasta ar fi exact aceeași problemă ca cea anterioară, dar nu știm $((a)_(1))$. Dar termenii vecini sunt cunoscuți: $((a)_(5))$ și $((a)_(6))$, așa că putem găsi cu ușurință diferența de progresie:
În plus, să încercăm să exprimăm al cincilea termen prin primul și diferența folosind formula standard:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(align)\]
Acum procedăm prin analogie cu sarcina anterioară. Să aflăm în ce moment în succesiunea noastră vor apărea numerele pozitive:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Rightarrow ((n)_(\min ))=56. \\ \end(align)\]
Soluția întreagă minimă a acestei inegalități este numărul 56.
Vă rugăm să rețineți: în ultima sarcină totul s-a rezumat la o inegalitate strictă, așa că opțiunea $n=55$ nu ne va potrivi.
Acum că am învățat cum să rezolvăm probleme simple, să trecem la altele mai complexe. Dar mai întâi, să studiem o altă proprietate foarte utilă a progresiilor aritmetice, care ne va economisi mult timp și celule inegale în viitor :)
Media aritmetică și indentări egale
Să luăm în considerare câțiva termeni consecutivi ai progresiei aritmetice crescătoare $\left(((a)_(n)) \right)$. Să încercăm să le marchem pe linia numerică:
Termenii unei progresii aritmetice pe dreapta numericăAm marcat în mod special termeni arbitrari $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, și nu niște $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ etc. Pentru că regula despre care vă voi spune acum funcționează la fel pentru orice „segment”.
Și regula este foarte simplă. Să ne amintim formula recurentă și să o scriem pentru toți termenii marcați:
\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(align)\]
Cu toate acestea, aceste egalități pot fi rescrise diferit:
\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(align)\]
Şi ce dacă? Și faptul că termenii $((a)_(n-1))$ și $((a)_(n+1))$ se află la aceeași distanță de $((a)_(n)) $ . Și această distanță este egală cu $d$. Același lucru se poate spune despre termenii $((a)_(n-2))$ și $((a)_(n+2))$ - sunt, de asemenea, eliminați din $((a)_(n) )$ la aceeași distanță egală cu $2d$. Putem continua la infinit, dar sensul este bine ilustrat de imagine
Termenii progresiei se află la aceeași distanță de centru Ce înseamnă asta pentru noi? Aceasta înseamnă că $((a)_(n))$ poate fi găsit dacă numerele învecinate sunt cunoscute:
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]
Am obținut o afirmație excelentă: fiecare termen al unei progresii aritmetice este egal cu media aritmetică a termenilor învecinați! Mai mult decât atât: ne putem întoarce de la $((a)_(n))$ la stânga și la dreapta nu cu un pas, ci cu $k$ pași - și formula va fi în continuare corectă:
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]
Aceste. putem găsi cu ușurință câțiva $((a)_(150))$ dacă știm $((a)_(100))$ și $((a)_(200))$, deoarece $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. La prima vedere, poate părea că acest fapt nu ne oferă nimic util. Cu toate acestea, în practică, multe probleme sunt special adaptate pentru a utiliza media aritmetică. Aruncă o privire:
Sarcina nr. 6. Găsiți toate valorile lui $x$ pentru care numerele $-6((x)^(2))$, $x+1$ și $14+4((x)^(2))$ sunt termeni consecutivi ai o progresie aritmetică (în ordinea indicată).
Soluţie. Deoarece aceste numere sunt membre ale unei progresii, condiția mediei aritmetice este îndeplinită pentru ele: elementul central $x+1$ poate fi exprimat în termeni de elemente învecinate:
\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(align)\]
A ieșit clasic ecuație pătratică. Rădăcinile sale: $x=2$ și $x=-3$ sunt răspunsurile.
Răspuns: −3; 2.
Sarcina nr. 7. Găsiți valorile lui $$ pentru care numerele $-1;4-3;(()^(2))+1$ formează o progresie aritmetică (în această ordine).
Soluţie. Să exprimăm din nou termenul mijlociu prin media aritmetică a termenilor vecini:
\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \right.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(align)\]
Din nou ecuația cuadratică. Și din nou există două rădăcini: $x=6$ și $x=1$.
Răspuns: 1; 6.
Dacă în procesul de rezolvare a unei probleme vii cu niște numere brutale, sau nu ești complet sigur de corectitudinea răspunsurilor găsite, atunci există o tehnică minunată care îți permite să verifici: am rezolvat corect problema?
Să presupunem că în problema nr. 6 am primit răspunsurile −3 și 2. Cum putem verifica dacă aceste răspunsuri sunt corecte? Să le conectăm la starea originală și să vedem ce se întâmplă. Permiteți-mi să vă reamintesc că avem trei numere ($-6(()^(2))$, $+1$ și $14+4(()^(2))$), care trebuie să formeze o progresie aritmetică. Să înlocuim $x=-3$:
\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(align)\]
Am obținut numerele −54; −2; 50 care diferă cu 52 este, fără îndoială, o progresie aritmetică. Același lucru se întâmplă și pentru $x=2$:
\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(align)\]
Din nou o progresie, dar cu o diferență de 27. Astfel, problema a fost rezolvată corect. Cei care doresc pot verifica singuri a doua problemă, dar voi spune imediat: totul este corect și acolo.
În general, rezolvând ultimele probleme, am dat peste alta fapt interesant, care trebuie reținut și:
Dacă trei numere sunt astfel încât al doilea este media aritmetică a primului și ultimului, atunci aceste numere formează o progresie aritmetică.
În viitor, înțelegerea acestei afirmații ne va permite să „proiectăm” literalmente progresiile necesare, pe baza condițiilor problemei. Dar înainte de a ne angaja într-o astfel de „construcție”, ar trebui să fim atenți la încă un fapt, care decurge direct din ceea ce a fost deja discutat.
Gruparea și însumarea elementelor
Să revenim din nou la axa numerelor. Să notăm acolo câțiva membri ai progresiei, între care, poate. valorează mulți alți membri:
Pe linia numerică sunt marcate 6 elementeSă încercăm să exprimăm „coada din stânga” prin $((a)_(n))$ și $d$, iar „coada din dreapta” prin $((a)_(k))$ și $d$. Este foarte simplu:
\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(align)\]
Acum rețineți că următoarele sume sunt egale:
\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(align)\]
Mai simplu spus, dacă considerăm ca început două elemente ale progresiei, care în total sunt egale cu un anumit număr $S$, și apoi începem să pășim din aceste elemente în direcții opuse (unul către celălalt sau invers pentru a se îndepărta), apoi sumele elementelor de care ne vom împiedica vor fi de asemenea egale$S$. Acest lucru poate fi cel mai clar reprezentat grafic:
Indentațiile egale dau cantități egale Înțelegerea acestui fapt ne va permite să rezolvăm probleme cu un nivel fundamental de complexitate mai mare decât cele pe care le-am considerat mai sus. De exemplu, acestea:
Sarcina nr. 8. Determinați diferența unei progresii aritmetice în care primul termen este 66, iar produsul dintre al doilea și al doisprezecelea termeni este cel mai mic posibil.
Soluţie. Să scriem tot ce știm:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(align)\]
Deci, nu cunoaștem diferența de progresie $d$. De fapt, întreaga soluție va fi construită în jurul diferenței, deoarece produsul $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ poate fi rescris după cum urmează:
\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(align)\]
Pentru cei din rezervor: am luat multiplicatorul total de 11 din a doua paranteză. Astfel, produsul necesar este o funcție pătratică față de variabila $d$. Prin urmare, luați în considerare funcția $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - graficul său va fi o parabolă cu ramuri în sus, deoarece dacă extindem parantezele, obținem:
\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]
După cum puteți vedea, coeficientul celui mai mare termen este 11 - acesta este un număr pozitiv, deci avem de-a face cu o parabolă cu ramuri în sus:
graficul unei funcții pătratice - parabolă
Vă rugăm să rețineți: această parabolă își ia valoarea minimă la vârful său cu abscisa $((d)_(0))$. Desigur, putem calcula această abscisă folosind schema standard (există formula $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), dar ar fi mult mai rezonabil să remarcăm că vârful dorit se află pe axa de simetrie a parabolei, prin urmare punctul $((d)_(0))$ este echidistant de rădăcinile ecuației $f\left(d \right)=0$:
\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(align)\]
De aceea nu m-am grăbit să deschid parantezele: în forma lor originală, rădăcinile erau foarte, foarte ușor de găsit. Prin urmare, abscisa este egală cu media numere aritmetice−66 și −6:
\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]
Ce ne oferă numărul descoperit? Cu ea, produsul necesar ia cea mai mică valoare(apropo, nu am calculat niciodată $((y)_(\min ))$ - nu ni se cere acest lucru). În același timp, acest număr este diferența progresiei inițiale, adică. am gasit raspunsul :)
Răspuns: −36
Sarcina nr. 9. Între numerele $-\frac(1)(2)$ și $-\frac(1)(6)$ introduceți trei numere astfel încât împreună cu aceste numere să formeze o progresie aritmetică.
Soluţie. În esență, trebuie să facem o secvență de cinci numere, cu primul și ultimul număr deja cunoscute. Să notăm numerele lipsă prin variabilele $x$, $y$ și $z$:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]
Rețineți că numărul $y$ este „mijlocul” secvenței noastre - este echidistant de numerele $x$ și $z$ și de numerele $-\frac(1)(2)$ și $-\frac (1)( 6)$. Și dacă din numerele $x$ și $z$ ne aflăm în acest moment nu putem obține $y$, atunci situația este diferită cu sfârșitul progresiei. Să ne amintim media aritmetică:
Acum, cunoscând $y$, vom găsi numerele rămase. Rețineți că $x$ se află între numerele $-\frac(1)(2)$ și $y=-\frac(1)(3)$ pe care tocmai le-am găsit. De aceea
Folosind un raționament similar, găsim numărul rămas:
Gata! Am găsit toate cele trei numere. Să le scriem în răspuns în ordinea în care ar trebui să fie introduse între numerele originale.
Răspuns: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$
Sarcina nr. 10. Între numerele 2 și 42, introduceți mai multe numere care, împreună cu aceste numere, formează o progresie aritmetică, dacă știți că suma primului, al doilea și ultimul dintre numerele introduse este 56.
Soluţie. O problemă și mai complexă, care, însă, se rezolvă după aceeași schemă ca și cele precedente - prin media aritmetică. Problema este că nu știm exact câte numere trebuie introduse. Prin urmare, să presupunem pentru certitudine că după ce ați inserat totul vor fi exact $n$ numere, iar primul dintre ele este 2, iar ultimul este 42. În acest caz, progresia aritmetică necesară poate fi reprezentată sub forma:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \dreapta\)\]
\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]
Rețineți, totuși, că numerele $((a)_(2))$ și $((a)_(n-1))$ sunt obținute din numerele 2 și 42 de la margini cu un pas unul spre celălalt, adică . spre centrul secvenței. Și asta înseamnă că
\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]
Dar atunci expresia scrisă mai sus poate fi rescrisă după cum urmează:
\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(align)\]
Cunoscând $((a)_(3))$ și $((a)_(1))$, putem găsi cu ușurință diferența progresiei:
\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Săgeată la dreapta d=5. \\ \end(align)\]
Tot ce rămâne este să găsiți termenii rămași:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(align)\]
Astfel, deja la pasul 9 vom ajunge la capătul din stânga secvenței – numărul 42. În total, au trebuit introduse doar 7 numere: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.
Răspuns: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37
Probleme de cuvinte cu progresii
În concluzie, aș dori să iau în considerare câteva relativ sarcini simple. Ei bine, la fel de simplu: pentru majoritatea elevilor care studiază matematica la școală și nu au citit ce este scris mai sus, aceste probleme pot părea grele. Cu toate acestea, acestea sunt tipurile de probleme care apar în OGE și examenul de stat unificat la matematică, așa că vă recomand să vă familiarizați cu ele.
Sarcina nr. 11. Echipa a produs 62 de piese în ianuarie, iar în fiecare lună următoare a produs cu 14 piese mai multe decât în luna precedentă. Câte piese a produs echipa în noiembrie?
Soluţie. Evident, numărul de piese enumerate pe lună va reprezenta o progresie aritmetică din ce în ce mai mare. În plus:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]
Noiembrie este a 11-a lună a anului, așa că trebuie să găsim $((a)_(11))$:
\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]
Prin urmare, în noiembrie vor fi produse 202 piese.
Sarcina nr. 12. Atelierul de legătorie a legat 216 cărți în ianuarie, iar în fiecare lună următoare a legat cu 4 cărți mai multe decât în luna precedentă. Câte cărți a legat atelierul în decembrie?
Soluţie. Totul este la fel:
$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$
Decembrie este ultima, a 12-a lună a anului, așa că căutăm $((a)_(12))$:
\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]
Acesta este răspunsul - 260 de cărți vor fi legate în decembrie.
Ei bine, dacă ați citit până aici, mă grăbesc să vă felicit: ați finalizat cu succes „cursul tânărului luptător” în progresii aritmetice. Puteți trece în siguranță la următoarea lecție, unde vom studia formula pentru suma progresiei, precum și consecințele importante și foarte utile din aceasta.
Sau aritmetica este un tip de succesiune numerică ordonată, ale cărei proprietăți sunt studiate într-un curs de algebră școlară. Acest articol discută în detaliu întrebarea cum să găsiți suma unei progresii aritmetice.
Ce fel de progres este aceasta?
Înainte de a trece la întrebarea (cum să găsiți suma unei progresii aritmetice), merită să înțelegeți despre ce vorbim.
Orice succesiune numere reale, care se obține adunând (scăzând) o anumită valoare din fiecare număr anterior, se numește progresie algebrică (aritmetică). Această definiție, atunci când este tradusă în limbaj matematic, ia forma:
Aici i este numărul de serie al elementului din rândul a i. Astfel, cunoscând un singur număr de început, puteți restabili cu ușurință întreaga serie. Parametrul d din formulă se numește diferență de progresie.
Se poate demonstra cu ușurință că pentru seria de numere luate în considerare este valabilă următoarea egalitate:
a n = a 1 + d * (n - 1).
Adică, pentru a găsi valoarea celui de-al n-lea element în ordine, ar trebui să adăugați diferența d la primul element a de 1 n-1 ori.
Care este suma unei progresii aritmetice: formula
Înainte de a da formula pentru suma indicată, merită să luați în considerare un simplu caz special. Având în vedere o progresie a numerelor naturale de la 1 la 10, trebuie să găsiți suma lor. Deoarece există puțini termeni în progresia (10), este posibil să se rezolve problema direct, adică să însumăm toate elementele în ordine.
S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.
Merită să luați în considerare un lucru interesant: deoarece fiecare termen diferă de următorul prin aceeași valoare d = 1, atunci însumarea în perechi a primului cu al zecelea, al doilea cu al nouălea și așa mai departe va da același rezultat. Serios:
11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.
După cum puteți vedea, există doar 5 dintre aceste sume, adică exact de două ori mai puțin decât numărul de elemente ale seriei. Apoi înmulțind numărul de sume (5) cu rezultatul fiecărei sume (11), veți ajunge la rezultatul obținut în primul exemplu.
Dacă generalizăm aceste argumente, putem scrie următoarea expresie:
S n = n * (a 1 + a n) / 2.
Această expresie arată că nu este deloc necesară însumarea tuturor elementelor pe rând este suficient să cunoaștem valoarea primului a 1 și a ultimului a n , precum și numărul total n termeni.
Se crede că Gauss a fost primul care s-a gândit la această egalitate atunci când a căutat o soluție la o anumită problemă. profesor de școală sarcină: însumați primele 100 de numere întregi.
Suma elementelor de la m la n: formula
Formula dată în paragraful anterior răspunde la întrebarea cum se găsește suma unei progresii aritmetice (primele elemente), dar adesea în probleme este necesară însumarea unei serii de numere la mijlocul progresiei. Cum să faci asta?
Cel mai simplu mod de a răspunde la această întrebare este luând în considerare următorul exemplu: să fie necesar să se găsească suma termenilor de la al mi-lea la al-lea. Pentru a rezolva problema, ar trebui să reprezentați segmentul dat de la m la n al progresiei ca un nou serie de numere. În această vedere al-lea termen un m va fi primul, iar un n va fi numerotat n-(m-1). În acest caz, aplicând formula standard pentru sumă, se va obține următoarea expresie:
S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.
Exemplu de utilizare a formulelor
Știind cum să găsiți suma unei progresii aritmetice, merită să luați în considerare un exemplu simplu de utilizare a formulelor de mai sus.
Mai jos este o secvență numerică, ar trebui să găsiți suma termenilor săi, începând cu a 5-a și terminând cu a 12-lea:
Numerele date indică faptul că diferența d este egală cu 3. Folosind expresia pentru al n-lea element, puteți găsi valorile termenilor al 5-lea și al 12-lea al progresiei. Se dovedește:
a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;
a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.
Cunoscând valorile numerelor de la capetele progresiei algebrice luate în considerare, precum și știind ce numere din seria ocupă acestea, puteți folosi formula pentru suma obținută în paragraful anterior. Se va dovedi:
S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.
Este de remarcat faptul că această valoare ar putea fi obținută diferit: mai întâi găsiți suma primelor 12 elemente folosind formula standard, apoi calculați suma primelor 4 elemente folosind aceeași formulă, apoi scădeți pe al doilea din prima sumă.
Atenţie!
Există suplimentare
materiale din secțiunea specială 555.
Pentru cei care sunt foarte „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)
O progresie aritmetică este o serie de numere în care fiecare număr este mai mare (sau mai mic) decât cel anterior cu aceeași cantitate.
Acest subiect pare adesea complex și de neînțeles. Indici de litere al n-lea termen progresii, diferențe de progresie - toate acestea sunt oarecum confuze, da... Să ne dăm seama ce înseamnă progresia aritmetică și totul se va îmbunătăți imediat.)
Conceptul de progresie aritmetică.
Progresia aritmetică este un concept foarte simplu și clar. Ai vreo îndoială? Degeaba.) Vezi singur.
Voi scrie o serie neterminată de numere:
1, 2, 3, 4, 5, ...
Poți extinde această serie? Ce numere vor urma, după cele cinci? Toată lumea... uh..., pe scurt, toată lumea își va da seama că vor urma numerele 6, 7, 8, 9 etc.
Să complicăm sarcina. Vă dau o serie neterminată de numere:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Veți putea să prindeți modelul, să extindeți seria și să denumiți şaptelea numărul rândului?
Dacă ți-ai dat seama că acest număr este 20, felicitări! Nu numai că ai simțit puncte cheie progresie aritmetica, dar și le-a folosit cu succes în afaceri! Dacă nu ți-ai dat seama, citește mai departe.
Acum să traducem punctele cheie din senzații în matematică.)
Primul punct cheie.
Progresia aritmetică se ocupă de serii de numere. Acest lucru este confuz la început. Suntem obișnuiți să rezolvăm ecuații, să desenăm grafice și toate astea... Dar aici extindem seria, găsim numărul seriei...
E bine. Doar că progresiile sunt prima cunoaștere cu o nouă ramură a matematicii. Secțiunea se numește „Serii” și funcționează în mod specific cu serii de numere și expresii. Obișnuiește-te.)
Al doilea punct cheie.
Într-o progresie aritmetică, orice număr este diferit de cel precedent cu aceeași sumă.
În primul exemplu, această diferență este una. Indiferent de numărul pe care îl luați, este cu unul mai mult decât cel anterior. În al doilea - trei. Orice număr este cu trei mai mult decât precedentul. De fapt, acest moment ne oferă posibilitatea de a înțelege modelul și de a calcula numerele ulterioare.
Al treilea punct cheie.
Acest moment nu este izbitor, da... Dar este foarte, foarte important. Iată-l: Fiecare număr de progresie este la locul său. Există primul număr, există al șaptelea, există al patruzeci și cinci, etc. Dacă le amesteci la întâmplare, modelul va dispărea. Progresia aritmetică va dispărea și ea. Ceea ce a mai rămas este doar o serie de numere.
Asta e ideea.
Desigur, în subiect nou apar noi termeni și denumiri. Trebuie să le cunoști. Altfel nu vei înțelege sarcina. De exemplu, va trebui să decideți ceva de genul:
Notați primii șase termeni ai progresiei aritmetice (a n), dacă a 2 = 5, d = -2,5.
Inspirant?) Scrisori, niște indexuri... Și sarcina, apropo, nu ar putea fi mai simplă. Trebuie doar să înțelegeți semnificația termenilor și a denumirilor. Acum vom stăpâni această chestiune și ne vom întoarce la sarcină.
Termeni și denumiri.
Progresie aritmetică este o serie de numere în care fiecare număr este diferit de cel precedent cu aceeași sumă.
Această cantitate se numește . Să ne uităm la acest concept mai detaliat.
Diferența de progresie aritmetică.
Diferența de progresie aritmetică este valoarea cu care orice număr de progresie Mai mult precedentul.
Un punct important. Vă rugăm să acordați atenție cuvântului "Mai mult". Din punct de vedere matematic, aceasta înseamnă că fiecare număr de progresie este prin adăugarea diferența de progresie aritmetică față de numărul anterior.
Pentru a calcula, să zicem doilea numerele seriei, trebuie primul număr adăuga tocmai această diferență a unei progresii aritmetice. Pentru calcul cincilea- diferenta este necesara adăuga La patrulea, bine, etc.
Diferența de progresie aritmetică Pot fi pozitiv, atunci fiecare număr din serie se va dovedi a fi real mai mult decât precedentul. Această progresie se numește crescând. De exemplu:
8; 13; 18; 23; 28; .....
Aici se obține fiecare număr prin adăugarea număr pozitiv, +5 față de cel precedent.
Diferența poate fi negativ, atunci fiecare număr din serie va fi mai puțin decât precedentul. Această progresie se numește (nu o să crezi!) în scădere.
De exemplu:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Aici se obține și fiecare număr prin adăugarea la precedentul, dar deja un număr negativ, -5.
Apropo, atunci când lucrați cu progresie, este foarte util să determinați imediat natura acesteia - dacă este în creștere sau în scădere. Acest lucru vă ajută foarte mult să navigați în decizie, să vă identificați greșelile și să le corectați înainte de a fi prea târziu.
Diferența de progresie aritmetică notată de obicei prin literă d.
Cum să găsești d? Foarte simplu. Este necesar să se scadă din orice număr din serie anterior număr. Scădea. Apropo, rezultatul scăderii se numește „diferență”.)
Să definim, de exemplu, d pentru creșterea progresiei aritmetice:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Luăm orice număr din serie pe care îl dorim, de exemplu, 11. Scădem din el numărul anterior aceste. 8:
Acesta este răspunsul corect. Pentru această progresie aritmetică, diferența este de trei.
O poți lua orice număr de progresie, deoarece pentru o anumită progresie d-mereu la fel. Cel puțin undeva la începutul rândului, cel puțin la mijloc, cel puțin oriunde. Nu poți lua doar primul număr. Pur și simplu pentru că primul număr nici unul precedent.)
Apropo, știind asta d=3, găsirea celui de-al șaptelea număr al acestei progresii este foarte simplă. Să adăugăm 3 la al cincilea număr - obținem al șaselea, va fi 17. Să adăugăm trei la al șaselea număr, obținem al șaptelea număr - douăzeci.
Să definim d pentru progresia aritmetică descrescătoare:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Vă reamintesc că, indiferent de semne, să se determine d necesare din orice număr ia-l pe cel precedent. Alegeți orice număr de progres, de exemplu -7. Numărul său anterior este -2. Apoi:
d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5
Diferența unei progresii aritmetice poate fi orice număr: întreg, fracțional, irațional, orice număr.
Alți termeni și denumiri.
Fiecare număr din serie este numit membru al unei progresii aritmetice.
Fiecare membru al progresiei are propriul număr. Cifrele sunt strict în ordine, fără trucuri. Primul, al doilea, al treilea, al patrulea etc. De exemplu, în progresia 2, 5, 8, 11, 14, ... doi este primul termen, cinci este al doilea, unsprezece este al patrulea, bine, înțelegeți...) Vă rugăm să înțelegeți clar - numerele în sine poate fi absolut orice, întreg, fracționat, negativ, orice, dar numerotarea numerelor- strict în ordine!
Cum se scrie o progresie în formă generală? Nicio întrebare! Fiecare număr dintr-o serie este scris ca o literă. Pentru a desemna o progresie aritmetică, se folosește de obicei litera o. Numărul membrului este indicat printr-un index în dreapta jos. Scriem termeni separați prin virgule (sau punct și virgulă), astfel:
un 1, un 2, un 3, un 4, un 5, .....
a 1- acesta este primul număr, a 3- al treilea etc. Nimic de lux. Această serie poate fi scrisă pe scurt astfel: (un n).
Se întâmplă progrese finit și infinit.
Final progresia are un număr limitat de membri. Cinci, treizeci și opt, orice. Dar este un număr finit.
Infinit progresie - are un număr infinit de membri, după cum ați putea ghici.)
Puteți scrie progresia finală printr-o serie ca aceasta, toți termenii și un punct la sfârșit:
un 1, un 2, un 3, un 4, un 5.
Sau așa, dacă sunt mulți membri:
un 1, un 2, ... un 14, un 15.
În intrarea scurtă va trebui să indicați suplimentar numărul de membri. De exemplu (pentru douăzeci de membri), astfel:
(a n), n = 20
O progresie infinită poate fi recunoscută prin punctele de suspensie de la sfârșitul rândului, ca în exemplele din această lecție.
Acum puteți rezolva sarcinile. Sarcinile sunt simple, doar pentru înțelegerea semnificației unei progresii aritmetice.
Exemple de sarcini privind progresia aritmetică.
Să ne uităm la sarcina dată mai sus în detaliu:
1. Scrieți primii șase termeni ai progresiei aritmetice (a n), dacă a 2 = 5, d = -2,5.
Traducem sarcina într-un limbaj ușor de înțeles. Se dă o progresie aritmetică infinită. Al doilea număr al acestei progresii este cunoscut: a 2 = 5. Diferența de progresie este cunoscută: d = -2,5. Trebuie să găsim primul, al treilea, al patrulea, al cincilea și al șaselea termen al acestei progresii.
Pentru claritate, voi scrie o serie în funcție de condițiile problemei. Primii șase termeni, în care al doilea termen este cinci:
un 1, 5, un 3, un 4, un 5, un 6,...
a 3 = a 2 + d
Înlocuiți în expresie a 2 = 5Şi d = -2,5. Nu uita de minus!
a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5
Al treilea termen s-a dovedit a fi mai mic decât al doilea. Totul este logic. Dacă numărul este mai mare decât cel precedent negativ valoare, ceea ce înseamnă că numărul în sine va fi mai mic decât cel anterior. Progresia este în scădere. Bine, să luăm în considerare.) Numărăm al patrulea termen al seriei noastre:
a 4 = a 3 + d
a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0
a 5 = a 4 + d
a 5=0+(-2,5)= - 2,5
a 6 = a 5 + d
a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5
Deci, au fost calculati termeni de la al treilea la al saselea. Rezultatul este următoarea serie:
a 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....
Rămâne de găsit primul termen a 1 De al doilea celebru. Acesta este un pas în cealaltă direcție, spre stânga.) Deci, diferența de progresie aritmetică d nu trebuie adăugată a 2, A la pachet:
a 1 = a 2 - d
a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5
Asta este. Răspuns la sarcină:
7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...
În treacăt, aș dori să notez că am rezolvat această sarcină recurent mod. Acest cuvânt teribil înseamnă doar căutarea unui membru al progresiei conform numărului anterior (adiacent). Vom analiza mai jos alte moduri de a lucra cu progresia.
Din această sarcină simplă se poate trage o concluzie importantă.
Amintiți-vă:
Dacă cunoaștem cel puțin un termen și diferența unei progresii aritmetice, putem găsi orice termen al acestei progresii.
Vă amintiți? Această concluzie simplă vă permite să rezolvați majoritatea problemelor curs şcolar pe acest subiect. Toate sarcinile se învârt în jurul a trei parametri principali: membru al unei progresii aritmetice, diferență a unei progresii, număr al unui membru al progresiei. Toate.
Desigur, toată algebra anterioară nu este anulată.) Inegalitățile, ecuațiile și alte lucruri sunt atașate progresiei. Dar conform progresiei în sine- totul se învârte în jurul a trei parametri.
De exemplu, să ne uităm la câteva sarcini populare pe acest subiect.
2. Scrieți progresia aritmetică finită ca o serie dacă n=5, d = 0,4 și a 1 = 3,6.
Totul este simplu aici. Totul a fost deja dat. Trebuie să vă amintiți cum sunt numărați termenii unei progresii aritmetice, să-i numărați și să le scrieți. Este recomandabil să nu pierdeți cuvintele din condițiile sarcinii: „final” și „ n=5„. Pentru a nu număra până nu ești complet albastru la față.) Există doar 5 (cinci) membri în această progresie:
a 2 = a 1 + d = 3,6 + 0,4 = 4
a 3 = a 2 + d = 4 + 0,4 = 4,4
a 4 = a 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8
a 5 = a 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2
Rămâne de scris răspunsul:
3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.
O altă sarcină:
3. Stabiliți dacă numărul 7 va fi membru al progresiei aritmetice (a n), dacă a 1 = 4,1; d = 1,2.
Hmm... Cine știe? Cum să determine ceva?
Cum-cum... Notează progresia sub forma unei serii și vezi dacă va fi un șapte acolo sau nu! Numaram:
a 2 = a 1 + d = 4,1 + 1,2 = 5,3
a 3 = a 2 + d = 5,3 + 1,2 = 6,5
a 4 = a 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7
4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...
Acum se vede clar că suntem doar șapte strecurat prin intre 6,5 si 7,7! Șapte nu s-au înscris în seria noastră de numere și, prin urmare, șapte nu vor fi un membru al progresiei date.
Răspuns: nu.
Iată o problemă bazată pe opțiune reală GIA:
4. Se scriu mai mulți termeni consecutivi ai progresiei aritmetice:
...; 15; X; 9; 6; ...
Iată o serie scrisă fără sfârșit și fără început. Fără numere de membri, fără diferențe d. E bine. Pentru a rezolva problema, este suficient să înțelegeți semnificația unei progresii aritmetice. Să ne uităm și să vedem ce este posibil a sti din seria asta? Care sunt cei trei parametri principali?
Numerele membrilor? Nu există un singur număr aici.
Dar sunt trei numere și - atenție! - cuvânt "consecvent" in stare. Aceasta înseamnă că numerele sunt strict în ordine, fără lacune. Sunt două în acest rând? vecine numere cunoscute? Da, am! Acestea sunt 9 și 6. Prin urmare, putem calcula diferența progresiei aritmetice! Scădeți din șase anterior număr, adică nouă:
Au mai rămas doar fleacuri. Ce număr va fi cel anterior pentru X? Cincisprezece. Aceasta înseamnă că X poate fi găsit cu ușurință prin simplă adăugare. Adăugați diferența progresiei aritmetice la 15:
Asta este. Răspuns: x=12
Următoarele probleme le rezolvăm singuri. Notă: aceste probleme nu se bazează pe formule. Pur și simplu pentru a înțelege semnificația unei progresii aritmetice.) Scriem doar o serie de numere și litere, ne uităm și ne dăm seama.
5. Aflați primul termen pozitiv al progresiei aritmetice dacă a 5 = -3; d = 1,1.
6. Se știe că numărul 5,5 este membru al progresiei aritmetice (a n), unde a 1 = 1,6; d = 1,3. Determinați numărul n al acestui termen.
7. Se știe că în progresia aritmetică a 2 = 4; a 5 = 15,1. Găsiți un 3.
8. Se scriu mai mulți termeni consecutivi ai progresiei aritmetice:
...; 15,6; X; 3,4; ...
Găsiți termenul progresiei indicat de litera x.
9. Trenul a început să se deplaseze din gară, crescând uniform viteza cu 30 de metri pe minut. Care va fi viteza trenului în cinci minute? Dati raspunsul in km/ora.
10. Se știe că în progresia aritmetică a 2 = 5; a 6 = -5. Găsiți un 1.
Răspunsuri (în dezordine): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; 4.
A mers totul? Uimitor! Puteți stăpâni progresia aritmetică pentru mai mult nivel înalt, în lecțiile următoare.
Nu a mers totul? Nici o problemă. În Secțiunea Specială 555, toate aceste probleme sunt rezolvate bucată cu bucată.) Și, desigur, este descrisă o tehnică practică simplă care evidențiază imediat soluția la astfel de sarcini clar, clar, dintr-o privire!
Apropo, în puzzle-ul trenului există două probleme de care oamenii se poticnesc adesea. Unul este pur în termeni de progresie, iar al doilea este general pentru orice problemă de matematică și fizică. Aceasta este o traducere a dimensiunilor de la una la alta. Arată cum trebuie rezolvate aceste probleme.
În această lecție am analizat semnificația elementară a unei progresii aritmetice și principalii ei parametri. Acest lucru este suficient pentru a rezolva aproape toate problemele pe această temă. Adăuga d la numere, scrie o serie, totul se va rezolva.
Soluția cu degetul funcționează bine pentru bucăți foarte scurte dintr-un rând, ca în exemplele din această lecție. Dacă seria este mai lungă, calculele devin mai complicate. De exemplu, dacă în problema 9 din întrebare înlocuim "cinci minute" pe „treizeci și cinci de minute” problema se va agrava semnificativ.)
Și există și sarcini simple în esență, dar absurde în ceea ce privește calculele, de exemplu:
Este dată o progresie aritmetică (a n). Aflați un 121 dacă a 1 =3 și d=1/6.
Deci ce, vom adăuga 1/6 de multe, de multe ori?! Poți să te sinucizi!?
Puteți.) Dacă nu cunoașteți o formulă simplă prin care puteți rezolva astfel de sarcini într-un minut. Această formulă va fi în lecția următoare. Și acolo se rezolvă această problemă. Într-un minut.)
Daca va place acest site...
Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)
Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Să învățăm - cu interes!)
Vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.