Sisteme de ecuații liniare. Cursul 6.
Sisteme de ecuații liniare.
Concepte de bază.
Vizualizare sistem
numit sistem - ecuații liniare cu necunoscute.
Numerele , , sunt numite coeficienții sistemului.
Numerele sunt numite membri liberi ai sistemului, – variabile de sistem. Matrice
numit matricea principală a sistemului, și matricea
– sistem de matrice extinsă. Matrici - coloane
Și - în consecință matrice de termeni liberi și necunoscute ale sistemului. Apoi, sub formă de matrice, sistemul de ecuații poate fi scris ca . Soluție de sistem se numește valorile variabilelor, la înlocuirea cărora, toate ecuațiile sistemului se transformă în egalități numerice corecte. Orice soluție a sistemului poate fi reprezentată ca o coloană-matrice. Atunci egalitatea matricei este adevărată.
Sistemul de ecuații se numește comun dacă are cel puţin o soluţie şi nearticulată daca nu exista solutie.
Rezolvarea unui sistem de ecuații liniare înseamnă a afla dacă este consecvent și, dacă da, a găsi soluția lui generală.
Sistemul este numit omogen dacă toți termenii săi liberi sunt egali cu zero. Un sistem omogen este întotdeauna consistent, deoarece are o soluție
Teorema Kronecker-Copelli.
Răspunsul la întrebarea existenței soluțiilor la sisteme liniare și unicitatea acestora ne permite să obținem următorul rezultat, care poate fi formulat sub forma următoarelor afirmații referitoare la un sistem de ecuații liniare cu necunoscute
(1)
Teorema 2. Sistemul de ecuații liniare (1) este consistent dacă și numai dacă rangul matricei principale este egal cu rangul matricei extinse (.
Teorema 3. Dacă rangul matricei de bază a sistemului comun de ecuații liniare egală cu numărul necunoscute, atunci sistemul are o soluție unică.
Teorema 4. Dacă rangul matricei principale a unui sistem comun este mai mic decât numărul de necunoscute, atunci sistemul are un număr infinit de soluții.
Reguli pentru rezolvarea sistemelor.
3. Aflați expresia variabilelor principale în termeni de cele libere și obțineți soluția generală a sistemului.
4. Prin atribuirea de valori arbitrare variabilelor libere se obțin toate valorile variabilelor principale.
Metode de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare.
Metoda matricei inverse.
și , adică sistemul are o soluție unică. Să scriem sistemul sub formă de matrice
Unde 
,
,
.
Să înmulțim ambele părți ale ecuației matriceale din stânga cu matricea
Deoarece , obținem , din care obținem egalitatea pentru găsirea necunoscutelor
Exemplul 27. Rezolvați un sistem de ecuații liniare folosind metoda matricei inverse 
Soluţie. Să notăm prin matricea principală a sistemului
.
Fie, atunci găsim soluția folosind formula.
Să calculăm.
Din , atunci sistemul are o soluție unică. Să găsim toate complementele algebrice
,
,
,
,
,
,
,
,
Astfel
.
Să verificăm
.
Matricea inversă a fost găsită corect. De aici, folosind formula, găsim matricea de variabile.
.
Comparând valorile matricelor, obținem răspunsul: .
metoda lui Cramer.
Să fie dat un sistem de ecuații liniare cu necunoscute
și , adică sistemul are o soluție unică. Să scriem soluția sistemului sub formă de matrice sau
Să notăm
. . . . . . . . . . . . . . ,
Astfel, obținem formule pentru găsirea valorilor necunoscutelor, care sunt numite Formule Cramer.
Exemplul 28. Rezolvați următorul sistem de ecuații liniare folosind metoda Cramer 
.
Soluţie. Să găsim determinantul matricei principale a sistemului
.
Din , atunci sistemul are o soluție unică.
Să găsim determinanții rămași pentru formulele lui Cramer
,
,
.
Folosind formulele lui Cramer găsim valorile variabilelor
metoda Gauss.
Metoda constă în eliminarea secvenţială a variabilelor.
Să fie dat un sistem de ecuații liniare cu necunoscute.
Procesul de soluție Gaussian constă din două etape:
În prima etapă, matricea extinsă a sistemului este redusă, folosind transformări elementare, la o formă în trepte.
,
unde , căruia îi corespunde sistemul
După aceasta variabilele 
sunt considerate libere și sunt transferate în partea dreaptă în fiecare ecuație.
În a doua etapă, variabila este exprimată din ultima ecuație, iar valoarea rezultată este substituită în ecuație. Din această ecuație
variabila este exprimată. Acest proces continuă până la prima ecuație. Rezultatul este o expresie a principalelor variabile prin variabile libere 
.
Exemplul 29. Rezolvați următorul sistem folosind metoda Gauss
Soluţie. Să scriem matricea extinsă a sistemului și să o aducem în formă treptat
.
Deoarece 
mai mare decât numărul de necunoscute, atunci sistemul este consistent și are un număr infinit de soluții. Să scriem sistemul pentru matricea pasilor
Determinantul matricei extinse a acestui sistem, compus din primele trei coloane, nu este egal cu zero, prin urmare îl considerăm de bază. Variabile
Acestea vor fi de bază, iar variabila va fi liberă. Să-l mutăm în toate ecuațiile în partea stângă
Din ultima ecuație pe care o exprimăm
Înlocuind această valoare în penultima a doua ecuație, obținem
unde 
. Înlocuind valorile variabilelor și în prima ecuație, găsim 
. Să scriem răspunsul în forma următoare
Metoda matriceală pentru rezolvarea sistemelor liniare ecuații algebrice- derivarea formulei.
Lăsați pentru matrice O comanda n pe n există matrice inversă. Să înmulțim ambele părți ale ecuației matriceale din stânga cu (ordinele matricelor A⋅XŞi ÎN vă permit să efectuați o astfel de operație, consultați articolul operații pe matrice, proprietăți ale operațiilor). Avem 
. Deoarece operația de înmulțire a matricilor de ordine adecvate este caracterizată de proprietatea asociativității, ultima egalitate poate fi rescrisă ca 
, iar prin definiția matricei inverse ( E– matricea de ordine unitară n pe n), De aceea 
Astfel, rezolvarea unui sistem de ecuații algebrice liniare metoda matricei determinat de formula. Cu alte cuvinte, soluția SLAE se găsește folosind matricea inversă.
Știm că o matrice pătrată O comanda n pe n are o matrice inversă numai dacă determinantul său nu este zero. Prin urmare, SISTEMUL n ECUAȚII ALGEBRICE LINEARE CU n NECUNOSCUTELE POT FI REZOLVATE PRIN METODĂ MATRIXĂ NUMAI CÂND DETERMINANTUL MATRICEI DE BAZĂ A SISTEMULUI ESTE DIFERIT DE ZERO.
Începutul paginii
Exemple de rezolvare a sistemelor de ecuații algebrice liniare folosind metoda matricei.
Să ne uităm la metoda matricei folosind exemple. În unele exemple, nu vom descrie în detaliu procesul de calcul al determinanților matricilor, dacă este necesar, consultați articolul Calcularea determinantului unei matrici;
Exemplu.
Folosind matricea inversă, găsiți soluția sistemului de ecuații liniare 
.
Soluţie.
Sub formă de matrice, sistemul original va fi scris ca , unde 
. Să calculăm determinantul matricei principale și să ne asigurăm că este diferit de zero. În caz contrar, nu vom putea rezolva sistemul folosind metoda matricei. Avem 
, prin urmare, pentru matrice O se poate găsi matricea inversă. Astfel, dacă găsim matricea inversă, atunci definim soluția dorită a SLAE ca . Deci, sarcina a fost redusă la construirea matricei inverse. Să o găsim.
Știm asta pentru matrice 
matricea inversă poate fi găsită ca 
, unde sunt complementele algebrice ale elementelor .
În cazul nostru 
Apoi 
Să verificăm soluția rezultată 
, substituindu-l în forma matriceală a sistemului original de ecuații. Această egalitate trebuie să se transforme în identitate, altfel s-a făcut o greșeală undeva. 
Prin urmare, soluția a fost găsită corect.
Răspuns:
sau într-o altă postare 
.
Exemplu.
Rezolvați SLAE folosind metoda matricei.
Soluţie.
Prima ecuație a sistemului nu conține o variabilă necunoscută x 2, al doilea - x 1, al treilea - x 3. Adică, coeficienții acestor variabile necunoscute sunt egali cu zero. Să rescriem sistemul de ecuații ca 
. De la acest tip este mai ușor să treceți la forma matriceală de înregistrare SLAE 
. Să ne asigurăm că acest sistem de ecuații poate fi rezolvat folosind matricea inversă. Cu alte cuvinte, vom arăta că: 
Să construim matricea inversă folosind o matrice de adunări algebrice: 
Apoi, 
Rămâne de găsit o soluție la SLAE: 
Răspuns:
.
Când treceți de la forma obișnuită a unui sistem de ecuații algebrice liniare la forma sa matriceală, ar trebui să aveți grijă la ordinea variabilelor necunoscute în ecuațiile sistemului. De exemplu, SLAU 
NU POATE fi scris ca 
. Mai întâi trebuie să ordonați toate variabilele necunoscute din toate ecuațiile sistemului și apoi să treceți la notația matriceală: 
sau 
De asemenea, fiți atenți la desemnarea variabilelor necunoscute x 1 , x 2 , …, x n pot fi orice alte litere. De exemplu, SLAU 
în formă de matrice se va scrie ca 
.
Să ne uităm la un exemplu.
Exemplu.
folosind matricea inversă.
Soluţie.
După ce am ordonat variabilele necunoscute în ecuațiile sistemului, le scriem în formă matematică 
. Să calculăm determinantul matricei principale: 
Este diferit de zero, deci soluția sistemului de ecuații poate fi găsită folosind matricea inversă ca 
. Să găsim matricea inversă folosind formula 
:
Obținem soluția dorită: 
Răspuns:
x = 0, y = -2, z = 3.
Exemplu.
Găsiți o soluție la un sistem de ecuații algebrice liniare 
metoda matricei.
Soluţie.
Determinantul matricei principale a sistemului este zero 
prin urmare, nu putem aplica metoda matricei.
Găsirea soluțiilor la astfel de sisteme este descrisă în secțiunea Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare.
Exemplu.
Rezolvați SLAE 
metoda matricei, - un număr real.
Soluţie.
Sistemul de ecuații în formă matriceală are forma 
. Să calculăm determinantul matricei principale a sistemului și să ne asigurăm că este diferit de zero:
Trinomul pătrat nu dispare pentru nicio valoare reală, deoarece discriminantul său este negativ, prin urmare determinantul matricei principale a sistemului nu este egal cu zero pentru nicio valoare reală. Prin metoda matricei avem 
. Să construim matricea inversă folosind formula :
Apoi 
Răspuns:
.Înapoi sus
Să rezumam.
Metoda matricei este potrivită pentru rezolvarea SLAE-urilor în care numărul de ecuații coincide cu numărul de variabile necunoscute și determinantul matricei principale a sistemului este diferit de zero. Dacă sistemul conține mai mult de trei ecuații, atunci găsirea matricei inverse necesită un efort de calcul semnificativ, prin urmare, în acest caz, este recomandabil să se folosească metoda Gaussiană pentru rezolvare.
Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare (SLAE) este, fără îndoială, cel mai important subiect al cursului algebră liniară. Un număr mare de probleme din toate ramurile matematicii se rezumă la rezolvarea sistemelor de ecuații liniare. Acești factori explică motivul acestui articol. Materialul articolului este selectat și structurat astfel încât cu ajutorul lui să puteți
- alege metoda optimă pentru rezolvarea sistemului tău de ecuații algebrice liniare,
- studiază teoria metodei alese,
- rezolvați sistemul dvs. de ecuații liniare examinând soluții detaliate exemple tipiceși sarcini.
Scurtă descriere a materialului articolului.
În primul rând, dăm toate definițiile, conceptele necesare și introducem notații.
În continuare, vom lua în considerare metode de rezolvare a sistemelor de ecuații algebrice liniare în care numărul de ecuații este egal cu numărul de variabile necunoscute și care au o soluție unică. În primul rând, ne vom concentra pe metoda lui Cramer, în al doilea rând, vom prezenta metoda matriceală pentru rezolvarea unor astfel de sisteme de ecuații, iar în al treilea rând, vom analiza metoda Gauss (metoda eliminării secvențiale a variabilelor necunoscute). Pentru a consolida teoria, cu siguranță vom rezolva mai multe SLAE-uri în moduri diferite.
După aceasta, vom trece la rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare vedere generală, în care numărul de ecuații nu coincide cu numărul de variabile necunoscute sau matricea principală a sistemului este singulară. Să formulăm teorema Kronecker-Capelli, care ne permite să stabilim compatibilitatea SLAE-urilor. Să analizăm soluția sistemelor (dacă sunt compatibile) folosind conceptul de bază minoră a unei matrice. Vom lua în considerare și metoda Gauss și vom descrie în detaliu soluțiile exemplelor.
Ne vom opri cu siguranță asupra structurii soluției generale a sistemelor omogene și neomogene de ecuații algebrice liniare. Să dăm conceptul de sistem fundamental de soluții și să arătăm cum este scrisă soluția generală a unui SLAE folosind vectorii sistemului fundamental de soluții. Pentru o mai bună înțelegere, să ne uităm la câteva exemple.
În concluzie, vom lua în considerare sisteme de ecuații care pot fi reduse la cele liniare, precum și diverse probleme în soluția cărora apar SLAE-uri.
Navigare în pagină.
Definiții, concepte, denumiri.
Vom lua în considerare sisteme de p ecuații algebrice liniare cu n variabile necunoscute (p poate fi egal cu n) de forma
Variabile necunoscute - coeficienți (unii reali sau numere complexe), - termeni liberi (de asemenea numere reale sau complexe).
Această formă de înregistrare SLAE se numește coordona.
ÎN formă matriceală Scrierea acestui sistem de ecuații are forma,
Unde 
- matricea principală a sistemului, - o matrice coloană de variabile necunoscute, - o matrice coloană de termeni liberi.
Dacă adăugăm o coloană matrice de termeni liberi la matricea A ca coloană (n+1), obținem așa-numita matrice extinsă sisteme de ecuații liniare. De obicei, o matrice extinsă este desemnată cu litera T, iar coloana de termeni liberi este separată printr-o linie verticală de coloanele rămase, adică 
Rezolvarea unui sistem de ecuații algebrice liniare numit un set de valori ale variabilelor necunoscute care transformă toate ecuațiile sistemului în identități. Ecuația matriceală pentru valorile date ale variabilelor necunoscute devine, de asemenea, o identitate.
Dacă un sistem de ecuații are cel puțin o soluție, atunci se numește comun.
Dacă un sistem de ecuații nu are soluții, atunci se numește nearticulată.
Dacă un SLAE are o soluție unică, atunci se numește anumit; dacă există mai multe soluții, atunci - nesigur.
Dacă termenii liberi ai tuturor ecuațiilor sistemului sunt egali cu zero 
, atunci sistemul este apelat omogen, altfel - eterogen.
Rezolvarea sistemelor elementare de ecuații algebrice liniare.
Dacă numărul de ecuații ale unui sistem este egal cu numărul de variabile necunoscute și determinantul matricei sale principale nu este egal cu zero, atunci astfel de SLAE vor fi numite elementar. Astfel de sisteme de ecuații au o soluție unică, iar în cazul unui sistem omogen, toate variabilele necunoscute sunt egale cu zero.
Am început să studiem astfel de SLAE în liceu. Când le-am rezolvat, am luat o ecuație, am exprimat o variabilă necunoscută în termenii altora și am înlocuit-o în ecuațiile rămase, apoi am luat următoarea ecuație, am exprimat următoarea variabilă necunoscută și am înlocuit-o în alte ecuații și așa mai departe. Sau au folosit metoda adunării, adică au adăugat două sau mai multe ecuații pentru a elimina unele variabile necunoscute. Nu ne vom opri în detaliu asupra acestor metode, deoarece sunt în esență modificări ale metodei Gauss.
Principalele metode de rezolvare a sistemelor elementare de ecuații liniare sunt metoda Cramer, metoda matriceală și metoda Gauss. Să le rezolvăm.
Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare folosind metoda lui Cramer.
Să presupunem că trebuie să rezolvăm un sistem de ecuații algebrice liniare 
în care numărul de ecuații este egal cu numărul de variabile necunoscute și determinantul matricei principale a sistemului este diferit de zero, adică .
Fie determinantul matricei principale a sistemului, și 
- determinanţi ai matricelor care se obţin din A prin înlocuire 1, 2, …, al n-lea coloana respectiv la coloana de membri liberi: 
Cu această notație, variabilele necunoscute sunt calculate folosind formulele metodei lui Cramer ca 
. Așa se găsește soluția unui sistem de ecuații algebrice liniare folosind metoda lui Cramer.
Exemplu.
metoda lui Cramer 
.
Soluţie.
Matricea principală a sistemului are forma 
. Să calculăm determinantul acestuia (dacă este necesar, vezi articolul): 
Deoarece determinantul matricei principale a sistemului este diferit de zero, sistemul are o soluție unică care poate fi găsită prin metoda lui Cramer.
Să compunem și să calculăm determinanții necesari 
(obținem determinantul prin înlocuirea primei coloane din matricea A cu o coloană de termeni liberi, determinantul prin înlocuirea celei de-a doua coloane cu o coloană de termeni liberi și prin înlocuirea celei de-a treia coloane a matricei A cu o coloană de termeni liberi) : 
Găsirea variabilelor necunoscute folosind formule 
:
Răspuns:
Principalul dezavantaj al metodei lui Cramer (dacă poate fi numită un dezavantaj) este complexitatea calculării determinanților atunci când numărul de ecuații din sistem este mai mare de trei.
Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare folosind metoda matricei (folosind o matrice inversă).
Fie dat un sistem de ecuații algebrice liniare sub formă de matrice, unde matricea A are dimensiunea n cu n și determinantul său este diferit de zero.
Deoarece , matricea A este inversabilă, adică există o matrice inversă. Dacă înmulțim ambele părți ale egalității cu stânga, obținem o formulă pentru găsirea unei matrice-coloană de variabile necunoscute. Așa am obținut o soluție a unui sistem de ecuații algebrice liniare folosind metoda matricei.
Exemplu.
Rezolvarea unui sistem de ecuații liniare metoda matricei.
Soluţie.
Să rescriem sistemul de ecuații sub formă de matrice: 
Deoarece
atunci SLAE poate fi rezolvat folosind metoda matricei. Folosind matricea inversă, soluția acestui sistem poate fi găsită ca 
.
Să construim o matrice inversă folosind o matrice din complementele algebrice ale elementelor matricei A (dacă este necesar, vezi articolul): 
Rămâne de calculat matricea variabilelor necunoscute prin înmulțirea matricei inverse 
la o coloană-matrice de membri liberi (dacă este necesar, vezi articolul): 
Răspuns:
sau într-o altă notație x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.
Principala problemă la găsirea de soluții la sisteme de ecuații algebrice liniare folosind metoda matricei este complexitatea găsirii matricei inverse, în special pentru matrice pătrată de ordin mai mare decât treimea.
Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare folosind metoda Gauss.
Să presupunem că trebuie să găsim o soluție la un sistem de n ecuații liniare cu n variabile necunoscute 
al cărei determinant al matricei principale este diferit de zero.
Esența metodei Gauss constă în eliminarea secvenţială a variabilelor necunoscute: mai întâi x 1 este exclus din toate ecuaţiile sistemului, începând cu a doua, apoi x 2 este exclus din toate ecuaţiile, începând cu a treia, şi tot aşa, până când doar variabila necunoscută x n rămâne în ultima ecuație. Acest proces de transformare a ecuațiilor unui sistem pentru a elimina secvențial variabilele necunoscute se numește metoda Gaussiană directă. După finalizarea cursei înainte a metodei gaussiene, se găsește x n din ultima ecuație, folosind această valoare din penultima ecuație, se calculează x n-1 și așa mai departe, se află x 1 din prima ecuație. Procesul de calcul al variabilelor necunoscute la trecerea de la ultima ecuație a sistemului la prima este numit inversa metodei gaussiene.
Să descriem pe scurt algoritmul de eliminare a variabilelor necunoscute.
Vom presupune că , deoarece putem realiza întotdeauna acest lucru prin interschimbarea ecuațiilor sistemului. Să eliminăm variabila necunoscută x 1 din toate ecuațiile sistemului, începând cu a doua. Pentru a face acest lucru, la a doua ecuație a sistemului o adunăm pe prima, înmulțită cu , la a treia ecuație o adunăm pe prima, înmulțită cu , și așa mai departe, la a n-a ecuație o adunăm pe prima, înmulțită cu . Sistemul de ecuații după astfel de transformări va lua forma 
unde si 
.
Am fi ajuns la același rezultat dacă am fi exprimat x 1 în termenii altor variabile necunoscute în prima ecuație a sistemului și am fi înlocuit expresia rezultată în toate celelalte ecuații. Astfel, variabila x 1 este exclusă din toate ecuațiile, începând cu a doua.
În continuare, procedăm într-un mod similar, dar numai cu o parte din sistemul rezultat, care este marcată în figură 
Pentru a face acest lucru, la a treia ecuație a sistemului o adunăm pe a doua, înmulțită cu , la a patra ecuație o adunăm pe a doua, înmulțită cu , și așa mai departe, la a n-a ecuație o adunăm pe a doua, înmulțită cu . Sistemul de ecuații după astfel de transformări va lua forma 
unde si 
. Astfel, variabila x 2 este exclusă din toate ecuațiile, începând cu a treia.
În continuare, procedăm la eliminarea necunoscutului x 3 și acționăm în mod similar cu partea din sistem marcată în figură 
Așa că continuăm progresia directă a metodei gaussiene până când sistemul ia forma 
Din acest moment începem inversul metodei gaussiene: calculăm x n din ultima ecuație ca , folosind valoarea obținută a lui x n găsim x n-1 din penultima ecuație, și așa mai departe, găsim x 1 din prima ecuație .
Exemplu.
Rezolvarea unui sistem de ecuații liniare metoda Gauss.
Soluţie.
Să excludem variabila necunoscută x 1 din a doua și a treia ecuație a sistemului. Pentru a face acest lucru, la ambele părți ale celei de-a doua și a treia ecuații adăugăm părțile corespunzătoare ale primei ecuații, înmulțite cu și, respectiv, cu: 
Acum eliminăm x 2 din a treia ecuație adunând la laturile sale stânga și dreapta laturile stânga și dreapta ale celei de-a doua ecuații, înmulțite cu: 
Aceasta completează cursa înainte a metodei Gauss; începem cursa inversă.
Din ultima ecuație a sistemului de ecuații rezultat găsim x 3: 
Din a doua ecuație obținem .
Din prima ecuație găsim variabila necunoscută rămasă și completăm astfel inversul metodei Gauss.
Răspuns:
X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.
Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare de formă generală.
În general, numărul de ecuații ale sistemului p nu coincide cu numărul de variabile necunoscute n:
Astfel de SLAE-uri pot să nu aibă soluții, să aibă o singură soluție sau să aibă infinite de soluții. Această afirmație se aplică și sistemelor de ecuații a căror matrice principală este pătrată și singulară.
Teorema Kronecker–Capelli.
Înainte de a găsi o soluție la un sistem de ecuații liniare, este necesar să se stabilească compatibilitatea acestuia. Răspunsul la întrebarea când SLAE este compatibil și când este inconsecvent este dat de Teorema Kronecker–Capelli:
Pentru ca un sistem de p ecuații cu n necunoscute (p poate fi egal cu n) să fie consistent, este necesar și suficient ca rangul matricei principale a sistemului să fie egal cu rangul matricei extinse, adică , Rang(A)=Rang(T).
Să luăm în considerare, ca exemplu, aplicarea teoremei Kronecker–Capelli pentru a determina compatibilitatea unui sistem de ecuații liniare.
Exemplu.
Aflați dacă sistemul de ecuații liniare are 
solutii.
Soluţie.
. Să folosim metoda limitării minorilor. Minor de ordinul doi 
diferit de zero. Să ne uităm la minorii de ordinul trei care se învecinează cu acesta: 
Deoarece toți minorii învecinați de ordinul al treilea sunt egali cu zero, rangul matricei principale este egal cu doi.
La rândul său, rangul matricei extinse 
este egal cu trei, întrucât minorul este de ordinul trei 
diferit de zero.
Astfel, Rang(A), prin urmare, folosind teorema Kronecker–Capelli, putem concluziona că sistemul original de ecuații liniare este inconsecvent.
Răspuns:
Sistemul nu are soluții.
Deci, am învățat să stabilim inconsistența unui sistem folosind teorema Kronecker-Capelli.
Dar cum să găsești o soluție la un SLAE dacă compatibilitatea acestuia este stabilită?
Pentru a face acest lucru, avem nevoie de conceptul de bază minoră a unei matrice și de o teoremă despre rangul unei matrice.
Se numește minorul de ordinul cel mai înalt al matricei A, diferit de zero de bază.
Din definiția unei baze minore rezultă că ordinea acesteia este egală cu rangul matricei. Pentru o matrice A diferită de zero pot exista mai multe baze minore, există întotdeauna o bază minoră.
De exemplu, luați în considerare matricea 
.
Toate minorele de ordinul trei ale acestei matrice sunt egale cu zero, deoarece elementele celui de-al treilea rând al acestei matrice sunt suma elementelor corespunzătoare din primul și al doilea rând.
Următorii minori de ordinul doi sunt de bază, deoarece sunt diferit de zero 
Minorii 
nu sunt de bază, deoarece sunt egale cu zero.
Teorema rangului matricei.
Dacă rangul unei matrice de ordinul p cu n este egal cu r, atunci toate elementele de rând (și coloană) ale matricei care nu formează baza minoră aleasă sunt exprimate liniar în termenii elementelor de rând (și coloană) corespunzătoare care formează baza minoră.
Ce ne spune teorema rangului matricei?
Dacă, conform teoremei Kronecker–Capelli, am stabilit compatibilitatea sistemului, atunci alegem orice bază minoră a matricei principale a sistemului (ordinea acesteia este egală cu r) și excludem din sistem toate ecuațiile care nu nu formează baza selectată minoră. SLAE obținut în acest fel va fi echivalent cu cel inițial, deoarece ecuațiile aruncate sunt încă redundante (conform teoremei rangului matricei, ele sunt o combinație liniară a ecuațiilor rămase).
Ca rezultat, după eliminarea ecuațiilor inutile ale sistemului, sunt posibile două cazuri.
Dacă numărul de ecuații r din sistemul rezultat este egal cu numărul de variabile necunoscute, atunci acesta va fi definit și singura soluție poate fi găsită prin metoda Cramer, metoda matricei sau metoda Gauss.
Exemplu.
.
Soluţie.
Rangul matricei principale a sistemului 
este egal cu doi, deoarece minorul este de ordinul doi 
diferit de zero. Rang matrice extins 
este, de asemenea, egal cu doi, deoarece singurul minor de ordinul trei este zero 
iar minorul de ordinul doi considerat mai sus este diferit de zero. Pe baza teoremei Kronecker–Capelli, putem afirma compatibilitatea sistemului original de ecuații liniare, deoarece Rank(A)=Rank(T)=2.
Ca bază minoră luăm . Este format din coeficienții primei și celei de-a doua ecuații: 
A treia ecuație a sistemului nu participă la formarea bazei minore, așa că o excludem din sistemul bazat pe teorema privind rangul matricei: 
Așa am obținut un sistem elementar de ecuații algebrice liniare. Să o rezolvăm folosind metoda lui Cramer: 
Răspuns:
x 1 = 1, x 2 = 2.
Dacă numărul de ecuații r din SLAE rezultat este mai mic decât numărul de variabile necunoscute n, atunci în partea stângă a ecuațiilor lăsăm termenii care formează baza minori și transferăm termenii rămași în partea dreaptă a ecuațiilor. ecuații ale sistemului cu semnul opus.
Se numesc variabilele necunoscute (r dintre ele) rămase în partea stângă a ecuațiilor principal.
Se numesc variabile necunoscute (există n - r piese) care sunt în partea dreaptă gratuit.
Acum credem că variabilele necunoscute libere pot lua valori arbitrare, în timp ce principalele variabile necunoscute r vor fi exprimate în termeni de variabile necunoscute libere singura cale. Expresia lor poate fi găsită prin rezolvarea SLAE rezultată folosind metoda Cramer, metoda matricei sau metoda Gauss.
Să ne uităm la asta cu un exemplu.
Exemplu.
Rezolvați un sistem de ecuații algebrice liniare 
.
Soluţie.
Să găsim rangul matricei principale a sistemului 
prin metoda limitării minorilor. Să luăm un 1 1 = 1 ca un minor diferit de zero de ordinul întâi. Să începem să căutăm un minor diferit de zero de ordinul doi care se învecinează cu acest minor: 
Așa am găsit un minor non-zero de ordinul doi. Să începem să căutăm un minor de ordinul al treilea care nu se limitează la zero: 
Astfel, rangul matricei principale este de trei. Rangul matricei extinse este, de asemenea, egal cu trei, adică sistemul este consecvent.
Luăm ca bază minorul non-zero găsit de ordinul al treilea.
Pentru claritate, arătăm elementele care formează baza minoră: 
Lăsăm termenii implicați în baza minoră în partea stângă a ecuațiilor sistemului și transferăm restul cu semne opuse în partea dreaptă: 
Să dăm variabilelor necunoscute libere x 2 și x 5 valori arbitrare, adică acceptăm 
, unde sunt numere arbitrare. În acest caz, SLAE va lua forma 
Să rezolvăm sistemul elementar rezultat de ecuații algebrice liniare folosind metoda lui Cramer: 
Prin urmare, .
În răspunsul dvs., nu uitați să indicați variabile necunoscute gratuite.
Răspuns:
Unde sunt numerele arbitrare.
Să rezumam.
Pentru a rezolva un sistem de ecuații algebrice liniare generale, determinăm mai întâi compatibilitatea acestuia folosind teorema Kronecker–Capelli. Dacă rangul matricei principale nu este egal cu rangul matricei extinse, atunci ajungem la concluzia că sistemul este incompatibil.
Dacă rangul matricei principale este egal cu rangul matricei extinse, atunci selectăm o bază minoră și renunțăm la ecuațiile sistemului care nu participă la formarea bazei minore selectate.
Dacă ordinea bazei minore este egală cu numărul de variabile necunoscute, atunci SLAE are o soluție unică, care poate fi găsită prin orice metodă cunoscută de noi.
Dacă ordinea bazei minore este mai mică decât numărul de variabile necunoscute, atunci în partea stângă a ecuațiilor sistemului lăsăm termenii cu principalele variabile necunoscute, transferăm termenii rămași în partea dreaptă și dăm valori arbitrare pentru variabilele necunoscute libere. Din sistemul de ecuații liniare rezultat găsim principalele variabile necunoscute folosind metoda Cramer, metoda matricei sau metoda Gauss.
Metoda Gauss pentru rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare de formă generală.
Metoda Gauss poate fi folosită pentru a rezolva sisteme de ecuații algebrice liniare de orice fel fără a le testa mai întâi pentru consistență. Procesul de eliminare secvențială a variabilelor necunoscute face posibilă tragerea unei concluzii atât despre compatibilitatea, cât și despre incompatibilitatea SLAE, iar dacă există o soluție, face posibilă găsirea acesteia.
Din punct de vedere computațional, metoda gaussiană este de preferat.
Vezi descrierea detaliată a acesteia și exemplele analizate în articolul Metoda Gauss pentru rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare generale.
Scrierea unei soluții generale la sisteme algebrice liniare omogene și neomogene folosind vectori ai sistemului fundamental de soluții.
În această secțiune vom vorbi despre sisteme omogene și neomogene simultane de ecuații algebrice liniare care au un număr infinit de soluții.
Să ne ocupăm mai întâi de sisteme omogene.
Sistem fundamental de soluții sistem omogen de p ecuații algebrice liniare cu n variabile necunoscute este o colecție de (n – r) soluții liniar independente ale acestui sistem, unde r este ordinul bazei minore a matricei principale a sistemului.
Dacă notăm soluții liniar independente ale unui SLAE omogen ca X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) sunt matrici coloane de dimensiunea n prin 1) , atunci soluția generală a acestui sistem omogen este reprezentată ca o combinație liniară de vectori ai sistemului fundamental de soluții cu coeficienți constanți arbitrari C 1, C 2, ..., C (n-r), adică .
Ce înseamnă termenul de soluție generală a unui sistem omogen de ecuații algebrice liniare (oroslau)?
Sensul este simplu: formula stabilește totul solutii posibile SLAE original, cu alte cuvinte, luând orice set de valori ale constantelor arbitrare C 1, C 2, ..., C (n-r), folosind formula vom obține una dintre soluțiile SLAE omogen original.
Astfel, dacă găsim un sistem fundamental de soluții, atunci putem defini toate soluțiile acestui SLAE omogen ca .
Să arătăm procesul de construire a unui sistem fundamental de soluții la un SLAE omogen.
Selectăm baza minoră a sistemului original de ecuații liniare, excludem toate celelalte ecuații din sistem și transferăm toți termenii care conțin variabile necunoscute libere în partea dreaptă a ecuațiilor sistemului cu semne opuse. Să dăm variabilelor necunoscute libere valorile 1,0,0,...,0 și să calculăm principalele necunoscute prin rezolvarea sistemului elementar rezultat de ecuații liniare în orice mod, de exemplu, folosind metoda Cramer. Aceasta va avea ca rezultat X (1) - prima soluție a sistemului fundamental. Dacă dăm necunoscutelor libere valorile 0,1,0,0,…,0 și calculăm principalele necunoscute, obținem X (2) . Și așa mai departe. Dacă atribuim valorile 0,0,...,0,1 variabilelor necunoscute libere și calculăm principalele necunoscute, obținem X (n-r) . În acest fel, se va construi un sistem fundamental de soluții la un SLAE omogen și soluția sa generală poate fi scrisă sub forma .
Pentru sistemele neomogene de ecuații algebrice liniare, soluția generală este reprezentată sub forma , unde este soluția generală a sistemului omogen corespunzător și este soluția particulară a SLAE neomogen original, pe care o obținem dând necunoscutelor libere valorile 0,0,…,0 și calcularea valorilor principalelor necunoscute.
Să ne uităm la exemple.
Exemplu.
Aflați sistemul fundamental de soluții și soluția generală a unui sistem omogen de ecuații algebrice liniare 
.
Soluţie.
Rangul matricei principale a sistemelor omogene de ecuații liniare este întotdeauna egal cu rangul matricei extinse. Să găsim rangul matricei principale folosind metoda limitării minorilor. Ca un minor non-zero de ordinul întâi, luăm elementul a 1 1 = 9 din matricea principală a sistemului. Să găsim minorul de margine non-zero de ordinul doi: 
A fost găsit un minor de ordinul doi, diferit de zero. Să trecem prin minorii de ordinul trei care se învecinează cu acesta în căutarea unuia diferit de zero: 
Toți minorii de ordinul trei sunt egali cu zero, prin urmare, rangul matricei principale și extinse este egal cu doi. Să luăm. Pentru claritate, să notăm elementele sistemului care îl formează: 
A treia ecuație a SLAE inițial nu participă la formarea bazei minore, prin urmare, poate fi exclusă: 
Lăsăm termenii care conțin principalele necunoscute în partea dreaptă a ecuațiilor și transferăm termenii cu necunoscute libere în partea dreaptă:
Să construim un sistem fundamental de soluții la sistemul omogen original de ecuații liniare. Sistemul fundamental de soluții al acestui SLAE constă din două soluții, deoarece SLAE original conține patru variabile necunoscute, iar ordinea bazei sale minore este egală cu două. Pentru a găsi X (1), dăm variabilelor necunoscute libere valorile x 2 = 1, x 4 = 0, apoi găsim principalele necunoscute din sistemul de ecuații 
.
Să o rezolvăm folosind metoda lui Cramer: 
Astfel, .
Acum să construim X (2) . Pentru a face acest lucru, dăm variabilelor necunoscute libere valorile x 2 = 0, x 4 = 1, apoi găsim principalele necunoscute din sistemul de ecuații liniare 
.
Să folosim din nou metoda lui Cramer: 
Primim.
Deci avem doi vectori ai sistemului fundamental de soluții și acum putem scrie soluția generală a unui sistem omogen de ecuații algebrice liniare: 
, unde C 1 și C 2 sunt numere arbitrare., sunt egale cu zero. Vom lua, de asemenea, minorul ca bază, vom elimina a treia ecuație din sistem și vom muta termenii cu necunoscute libere în partea dreaptă a ecuațiilor sistemului: 
Pentru a găsi, să dăm variabilelor necunoscute libere valorile x 2 = 0 și x 4 = 0, apoi sistemul de ecuații va lua forma 
, de unde găsim principalele variabile necunoscute folosind metoda lui Cramer: 
Avem 
, prin urmare, 
unde C 1 și C 2 sunt numere arbitrare.
Trebuie remarcat faptul că soluțiile unui sistem omogen nedeterminat de ecuații algebrice liniare generează spațiu liniar Soluţie.
Ecuația canonică a unui elipsoid într-un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare are forma 
. Sarcina noastră este să determinăm parametrii a, b și c. Deoarece elipsoidul trece prin punctele A, B și C, atunci când înlocuiți coordonatele lor în ecuație canonică elipsoid trebuie să se transforme într-o identitate. Deci obținem un sistem de trei ecuații: 
Să notăm 
, atunci sistemul va deveni un sistem de ecuații algebrice liniare 
.
Să calculăm determinantul matricei principale a sistemului: 
Deoarece este diferit de zero, putem găsi soluția folosind metoda lui Cramer:
). Evident, x = 0 și x = 1 sunt rădăcinile acestui polinom. Coeficient din diviziune 
pe 
este . Astfel, avem o expansiune și expresia originală ia forma 
.
Să folosim metoda coeficienților nedeterminați. 
Echivalând coeficienții corespunzători ai numărătorilor, ajungem la un sistem de ecuații algebrice liniare 
. Soluția sa ne va oferi coeficienții nedeterminați A, B, C și D doriti.
Să rezolvăm sistemul folosind metoda Gaussiană: 
Folosind inversul metodei gaussiene, găsim D = 0, C = -2, B = 1, A = 1.
primim, 
Răspuns:
.
Vom continua să ne lustruim tehnologia transformări elementare
pe sistem omogen de ecuații liniare.
Pe baza primelor paragrafe, materialul poate părea plictisitor și mediocru, dar această impresie este înșelătoare. Pe lângă dezvoltarea ulterioară tehnici Vor fi o mulțime de informații noi, așa că vă rugăm să încercați să nu neglijați exemplele din acest articol.
Ce este un sistem omogen de ecuații liniare?
Răspunsul se sugerează de la sine. Un sistem de ecuații liniare este omogen dacă termenul liber toată lumea ecuația sistemului este zero. De exemplu:
Este absolut clar că un sistem omogen este întotdeauna consistent, adică are întotdeauna o soluție. Și, în primul rând, ceea ce îți atrage atenția este așa-zisul banal soluţie 
. Trivial, pentru cei care nu înțeleg deloc sensul adjectivului, înseamnă fără o prezentare. Nu academic, bineînțeles, dar inteligibil =) ...De ce să ne batem prin tufiș, să aflăm dacă acest sistem are alte soluții:
Exemplul 1
Soluţie: pentru a rezolva un sistem omogen este necesar să se scrie matricea sistemului iar cu ajutorul transformărilor elementare aduceți-o într-o formă treptat. Vă rugăm să rețineți că aici nu este nevoie să scrieți bara verticală și coloana zero a termenilor liberi - la urma urmei, indiferent ce faceți cu zerouri, acestea vor rămâne zero: 
(1) Prima linie a fost adăugată la a doua linie, înmulțită cu –2. Prima linie a fost adăugată la a treia linie, înmulțită cu –3.
(2) A doua linie a fost adăugată la a treia linie, înmulțită cu –1.
Împărțirea celei de-a treia rânduri la 3 nu are prea mult sens.
Ca urmare a transformărilor elementare se obține un sistem omogen echivalent 
, și, folosind inversul metodei Gauss, este ușor de verificat că soluția este unică.
Răspuns: 
Să formulăm un criteriu evident: un sistem omogen de ecuaţii liniare are doar o solutie banala, Dacă rangul matricei sistemului(V în acest caz, 3) egal cu numărul de variabile (în acest caz – 3 bucăți).
Să ne încălzim și să ne acordăm radioul la valul de transformări elementare:
Exemplul 2
Rezolvați un sistem omogen de ecuații liniare 
Pentru a consolida în sfârșit algoritmul, să analizăm sarcina finală:
Exemplul 7
Rezolvați un sistem omogen, scrieți răspunsul în formă vectorială. 
Soluţie: să notăm matricea sistemului și, folosind transformări elementare, să o aducem într-o formă treptat: 
(1) Semnul primei linii a fost schimbat. Încă o dată atrag atenția asupra unei tehnici care a fost întâlnită de multe ori, care vă permite să simplificați semnificativ următoarea acțiune.
(1) Prima linie a fost adăugată la rândurile a 2-a și a 3-a. Prima linie, înmulțită cu 2, a fost adăugată la a patra linie.
(3) Ultimele trei rânduri sunt proporționale, două dintre ele au fost eliminate.
Ca rezultat, se obține o matrice standard de etape, iar soluția continuă de-a lungul pistei moletate:
– variabile de bază;
– variabile libere.
Să exprimăm variabilele de bază în termeni de variabile libere. Din a 2-a ecuație:
– înlocuiți în prima ecuație:
Deci solutia generala este:
Deoarece în exemplul luat în considerare există trei variabile libere, sistemul fundamental conține trei vectori.
Să înlocuim un triplu de valori 
în soluția generală și obțineți un vector ale cărui coordonate satisfac fiecare ecuație a sistemului omogen. Și din nou, repet că este foarte recomandabil să verificați fiecare vector primit - nu va dura mult timp, dar vă va proteja complet de erori.
Pentru un triplu de valori 
găsi vectorul
Și în sfârșit pentru cei trei 
obținem al treilea vector:
Răspuns: , Unde
Cei care doresc să evite valorile fracționale pot lua în considerare tripleți 
și obțineți un răspuns în formă echivalentă:
Apropo de fracții. Să ne uităm la matricea obținută în problemă 
și să ne întrebăm: este posibil să simplificăm soluția ulterioară? La urma urmei, aici am exprimat mai întâi variabila de bază prin fracții, apoi prin fracții variabila de bază și, trebuie să spun, acest proces nu a fost cel mai simplu și nici cel mai plăcut.
A doua soluție:
Ideea este sa incerci alegeți alte variabile de bază. Să ne uităm la matrice și să observăm două în coloana a treia. Deci, de ce să nu ai un zero în vârf? Să realizăm încă o transformare elementară:
Sistemele de ecuații au fost utilizate pe scară largă în industria economică cu modelare matematică diverse procese. De exemplu, la rezolvarea problemelor de management și planificare a producției, rute logistice (problema de transport) sau amplasarea echipamentelor.
Sistemele de ecuații sunt utilizate nu numai în matematică, ci și în fizică, chimie și biologie, atunci când se rezolvă probleme de găsire a mărimii populației.
Un sistem de ecuații liniare este două sau mai multe ecuații cu mai multe variabile pentru care este necesar să se găsească o soluție comună. O astfel de succesiune de numere pentru care toate ecuațiile devin egalități adevărate sau dovedesc că șirul nu există.
Ecuație liniară
Ecuațiile de forma ax+by=c se numesc liniare. Denumirile x, y sunt necunoscutele a căror valoare trebuie găsită, b, a sunt coeficienții variabilelor, c este termenul liber al ecuației.
Rezolvarea unei ecuații prin reprezentarea ei va arăta ca o dreaptă, toate punctele care sunt soluții ale polinomului.
Tipuri de sisteme de ecuații liniare
Cele mai simple exemple sunt considerate a fi sisteme de ecuații liniare cu două variabile X și Y.
F1(x, y) = 0 și F2(x, y) = 0, unde F1,2 sunt funcții și (x, y) sunt variabile de funcție.
Rezolvarea sistemului de ecuații - aceasta înseamnă găsirea valorilor (x, y) la care sistemul se transformă într-o egalitate adevărată sau stabilirea faptului că valorile adecvate ale lui x și y nu există.
O pereche de valori (x, y), scrisă ca coordonatele unui punct, se numește soluție a unui sistem de ecuații liniare.
Dacă sistemele au o soluție comună sau nu există nicio soluție, ele se numesc echivalente.
Sistemele omogene de ecuații liniare sunt sisteme a căror latură dreaptă este egală cu zero. Dacă partea dreaptă după semnul egal are o valoare sau este exprimată printr-o funcție, un astfel de sistem este eterogen.
Numărul de variabile poate fi mult mai mare de două, atunci ar trebui să vorbim despre un exemplu de sistem de ecuații liniare cu trei sau mai multe variabile.
Când se confruntă cu sisteme, școlarii presupun că numărul de ecuații trebuie să coincidă în mod necesar cu numărul de necunoscute, dar nu este cazul. Numărul de ecuații din sistem nu depinde de variabile;
Metode simple și complexe de rezolvare a sistemelor de ecuații
Nu există comun metoda analitica soluții de sisteme similare, toate metodele se bazează pe soluții numerice. ÎN curs şcolar Matematica descrie în detaliu metode precum permutarea, adăugarea algebrică, substituția, precum și metodele grafice și matriceale, soluționate prin metoda Gauss.
Sarcina principală atunci când predați metode de soluție este de a învăța cum să analizați corect sistemul și să găsiți algoritmul optim de soluție pentru fiecare exemplu. Principalul lucru nu este să memorezi un sistem de reguli și acțiuni pentru fiecare metodă, ci să înțelegi principiile utilizării unei anumite metode.
Rezolvarea exemplelor de sisteme de ecuații liniare din programa de învățământ general de clasa a VII-a este destul de simplă și explicată în detaliu. În orice manual de matematică, acestei secțiuni i se acordă suficientă atenție. Rezolvarea exemplelor de sisteme de ecuații liniare folosind metoda Gauss și Cramer este studiată mai detaliat în primii ani de învățământ superior.
Rezolvarea sistemelor prin metoda substituției
Acțiunile metodei substituției au ca scop exprimarea valorii unei variabile în termenii celei de-a doua. Expresia este substituită în ecuația rămasă, apoi este redusă la o formă cu o variabilă. Acțiunea se repetă în funcție de numărul de necunoscute din sistem
Să dăm o soluție unui exemplu de sistem de ecuații liniare din clasa 7 folosind metoda substituției:
După cum se poate observa din exemplu, variabila x a fost exprimată prin F(X) = 7 + Y. Expresia rezultată, substituită în ecuația a 2-a a sistemului în locul lui X, a ajutat la obținerea unei variabile Y în a doua ecuație. . Rezolvarea acestui exemplu este ușoară și vă permite să obțineți valoarea Y Ultimul pas este să verificați valorile obținute.
Nu este întotdeauna posibil să se rezolve un exemplu de sistem de ecuații liniare prin substituție. Ecuațiile pot fi complexe și exprimarea variabilei în termenii celei de-a doua necunoscute va fi prea greoaie pentru calcule ulterioare. Când există mai mult de 3 necunoscute în sistem, rezolvarea prin înlocuire este, de asemenea, inadecvată.
Rezolvarea unui exemplu de sistem de ecuații liniare neomogene:
Rezolvare folosind adunarea algebrică
Când se caută soluții pentru sisteme folosind metoda adunării, ecuațiile sunt adăugate termen cu termen și înmulțite cu diverse numere. Scopul final operatii matematice este o ecuație cu o variabilă.
Pentru Aplicații această metodă sunt necesare practică și observație. Rezolvarea unui sistem de ecuații liniare folosind metoda adunării atunci când există 3 sau mai multe variabile nu este ușoară. Adunarea algebrică este convenabilă de utilizat atunci când ecuațiile conțin fracții și zecimale.
Algoritm de rezolvare:
- Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu un anumit număr. Ca rezultat al operației aritmetice, unul dintre coeficienții variabilei ar trebui să devină egal cu 1.
- Adăugați expresia rezultată termen cu termen și găsiți una dintre necunoscute.
- Înlocuiți valoarea rezultată în a doua ecuație a sistemului pentru a găsi variabila rămasă.
Metoda de rezolvare prin introducerea unei noi variabile
O nouă variabilă poate fi introdusă dacă sistemul necesită găsirea unei soluții pentru nu mai mult de două ecuații, de asemenea, numărul de necunoscute nu trebuie să fie mai mare de două.
Metoda este folosită pentru a simplifica una dintre ecuații prin introducerea unei noi variabile. Noua ecuație este rezolvată pentru necunoscuta introdusă, iar valoarea rezultată este folosită pentru a determina variabila inițială.
Exemplul arată că prin introducerea unei noi variabile t, a fost posibilă reducerea primei ecuații a sistemului la un trinom pătratic standard. Puteți rezolva un polinom găsind discriminantul.
Este necesar să se afle valoarea discriminantului folosind formula binecunoscută: D = b2 - 4*a*c, unde D este discriminantul dorit, b, a, c sunt factorii polinomului. ÎN exemplu dat a=1, b=16, c=39, deci D=100. Dacă discriminantul este mai mare decât zero, atunci există două soluții: t = -b±√D / 2*a, dacă discriminantul este mai mic decât zero, atunci există o soluție: x = -b / 2*a.
Soluția pentru sistemele rezultate se găsește prin metoda adunării.
Metoda vizuală de rezolvare a sistemelor
Potrivit pentru sisteme cu 3 ecuații. Metoda constă în construirea graficelor fiecărei ecuații incluse în sistem pe axa de coordonate. Coordonatele punctelor de intersecție ale curbelor vor fi soluția generală a sistemului.
Metoda grafică are o serie de nuanțe. Să ne uităm la câteva exemple de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare într-un mod vizual.
După cum se poate observa din exemplu, pentru fiecare linie s-au construit două puncte, valorile variabilei x au fost alese în mod arbitrar: 0 și 3. Pe baza valorilor lui x, s-au găsit valorile pentru y: 3 și 0. Punctele cu coordonatele (0, 3) și (3, 0) au fost marcate pe grafic și legate printr-o linie.
Pașii trebuie repetați pentru a doua ecuație. Punctul de intersecție al dreptelor este soluția sistemului.
Următorul exemplu necesită găsirea solutie grafica sisteme de ecuații liniare: 0,5x-y+2=0 și 0,5x-y-1=0.
După cum se poate observa din exemplu, sistemul nu are soluție, deoarece graficele sunt paralele și nu se intersectează pe toată lungimea lor.
Sistemele din exemplele 2 și 3 sunt similare, dar atunci când sunt construite devine evident că soluțiile lor sunt diferite. Trebuie amintit că nu este întotdeauna posibil să spunem dacă un sistem are o soluție sau nu este întotdeauna necesar să construim un grafic.
Matricea și varietățile sale
Matricele sunt folosite pentru a scrie concis un sistem de ecuații liniare. O matrice este un tip special de tabel plin cu numere. n*m are n - rânduri și m - coloane.
O matrice este pătrată atunci când numărul de coloane și rânduri este egal. Un vector-matrice este o matrice de o coloană cu un număr infinit posibil de rânduri. O matrice cu unități de-a lungul uneia dintre diagonale și alte elemente zero se numește identitate.
O matrice inversă este o matrice atunci când este înmulțită cu care cea originală se transformă într-o matrice unitară, o astfel de matrice există doar pentru cea pătrată originală.
Reguli pentru transformarea unui sistem de ecuații într-o matrice
În raport cu sistemele de ecuații, coeficienții și termenii liberi ai ecuațiilor sunt scrise ca numere de matrice, o ecuație este un rând al matricei.
Se spune că un rând de matrice este diferit de zero dacă cel puțin un element al rândului nu este zero. Prin urmare, dacă în oricare dintre ecuații numărul de variabile diferă, atunci este necesar să introduceți zero în locul necunoscutului lipsă.
Coloanele matricei trebuie să corespundă strict variabilelor. Aceasta înseamnă că coeficienții variabilei x pot fi scriși doar într-o coloană, de exemplu prima, coeficientul necunoscutului y - doar în a doua.
La înmulțirea unei matrice, toate elementele matricei sunt înmulțite secvenţial cu un număr.
Opțiuni pentru găsirea matricei inverse
Formula pentru găsirea matricei inverse este destul de simplă: K -1 = 1 / |K|, unde K -1 este matricea inversă și |K| este determinantul matricei. |K| nu trebuie să fie egal cu zero, atunci sistemul are o soluție.
Determinantul este ușor de calculat pentru o matrice de două câte două, trebuie doar să înmulțiți elementele diagonale între ele. Pentru opțiunea „trei cu trei”, există o formulă |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Puteți folosi formula sau vă puteți aminti că trebuie să luați câte un element din fiecare rând și fiecare coloană, astfel încât numărul de coloane și rânduri de elemente să nu se repete în lucrare.
Rezolvarea exemplelor de sisteme de ecuații liniare folosind metoda matricei
Metoda matriceală de găsire a unei soluții vă permite să reduceți intrările greoaie atunci când rezolvați sisteme cu un număr mare de variabile și ecuații.
În exemplu, a nm sunt coeficienții ecuațiilor, matricea este un vector x n sunt variabile, iar b n sunt termeni liberi.
Rezolvarea sistemelor folosind metoda Gauss
În matematica superioară, metoda Gauss este studiată împreună cu metoda Cramer, iar procesul de găsire a soluțiilor sistemelor se numește metoda soluției Gauss-Cramer. Aceste metode sunt folosite pentru a găsi sisteme variabile cu un număr mare de ecuaţii liniare.
Metoda lui Gauss este foarte asemănătoare cu soluțiile care folosesc substituții și adunare algebrică, dar mai sistematic. În cursul școlar, soluția prin metoda Gauss este utilizată pentru sistemele cu 3 și 4 ecuații. Scopul metodei este de a reduce sistemul la forma unui trapez inversat. Prin intermediul transformărilor și substituțiilor algebrice, valoarea unei variabile se găsește într-una din ecuațiile sistemului. A doua ecuație este o expresie cu 2 necunoscute, în timp ce 3 și 4 sunt, respectiv, cu 3 și 4 variabile.
După aducerea sistemului la forma descrisă, soluția ulterioară este redusă la înlocuirea secvențială a variabilelor cunoscute în ecuațiile sistemului.
În manualele școlare pentru clasa a 7-a, un exemplu de soluție prin metoda Gauss este descris după cum urmează:
După cum se poate observa din exemplu, la pasul (3) s-au obținut două ecuații: 3x 3 -2x 4 =11 și 3x 3 +2x 4 =7. Rezolvarea oricăreia dintre ecuații vă va permite să aflați una dintre variabilele x n.
Teorema 5, care este menționată în text, afirmă că dacă una dintre ecuațiile sistemului este înlocuită cu una echivalentă, atunci și sistemul rezultat va fi echivalent cu cel original.
Metoda gaussiană este greu de înțeles de către elevi liceu, dar este una dintre cele mai interesante modalități de a dezvolta ingeniozitatea copiilor înscriși la programe de învățare avansată la cursurile de matematică și fizică.
Pentru ușurința înregistrării, calculele se fac de obicei după cum urmează:
Coeficienții ecuațiilor și termenii liberi se scriu sub formă de matrice, unde fiecare rând al matricei corespunde uneia dintre ecuațiile sistemului. separă partea stângă a ecuației de dreapta. Numerele romane indică numerele de ecuații din sistem.
Mai întâi notează matricea cu care se lucrează, apoi toate acțiunile efectuate cu unul dintre rânduri. Matricea rezultată se scrie după semnul „săgeată” și se continuă operațiile algebrice necesare până la obținerea rezultatului.
Rezultatul ar trebui să fie o matrice în care una dintre diagonale este egală cu 1 și toți ceilalți coeficienți sunt egali cu zero, adică matricea este redusă la o formă unitară. Nu trebuie să uităm să facem calcule cu numere de ambele părți ale ecuației.
Această metodă de înregistrare este mai puțin greoaie și vă permite să nu fiți distras prin enumerarea numeroaselor necunoscute.
Utilizarea gratuită a oricărei metode de soluție va necesita îngrijire și ceva experiență. Nu toate metodele sunt de natură aplicată. Unele metode de găsire a soluțiilor sunt mai de preferat într-un anumit domeniu al activității umane, în timp ce altele există în scopuri educaționale.