chiar, dacă pentru toate \(x\) din domeniul său de definiție este adevărată următoarea: \(f(-x)=f(x)\) .
Programa chiar funcția simetric față de axa \(y\):
Exemplu: funcția \(f(x)=x^2+\cos x\) este pară, deoarece \(f(-x)=(-x)^2+\cos((-x))=x^2+\cos x=f(x)\).
\(\blacktriangleright\) Se apelează funcția \(f(x)\). ciudat, dacă pentru toate \(x\) din domeniul său de definiție este adevărată următoarea: \(f(-x)=-f(x)\) .
Programa funcţie ciudată este simetric față de origine:
Exemplu: funcția \(f(x)=x^3+x\) este impară deoarece \(f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)\).
\(\blacktriangleright\) Funcțiile care nu sunt nici pare, nici impare se numesc funcții vedere generală. Această funcție poate fi întotdeauna singura cale reprezentați-o ca suma unei funcții par și impare.
De exemplu, funcția \(f(x)=x^2-x\) este suma funcției pare \(f_1=x^2\) și a imparei \(f_2=-x\) .
\(\blacktriangleright\) Unele proprietăți:
1) Produsul și câtul a două funcții cu aceeași paritate este o funcție pară.
2) Produsul și câtul a două funcții cu parități diferite este o funcție impară.
3) Suma și diferența funcțiilor pare este o funcție pare.
4) Suma și diferența de funcții impare - funcție impară.
5) Dacă \(f(x)\) este o funcție pară, atunci ecuația \(f(x)=c \ (c\in \mathbb(R)\) ) are o rădăcină unică dacă și numai când \( x =0\) .
6) Dacă \(f(x)\) este o funcție pară sau impară, iar ecuația \(f(x)=0\) are rădăcina \(x=b\), atunci această ecuație va avea cu siguranță o secundă rădăcină \(x =-b\) .
\(\blacktriangleright\) O funcție \(f(x)\) se numește periodică pe \(X\) dacă pentru un număr \(T\ne 0\) este valabilă următoarele: \(f(x)=f( x+T) \) , unde \(x, x+T\in X\) . Cea mai mică \(T\) pentru care această egalitate este satisfăcută se numește perioada principală (principală) a funcției.
O funcție periodică are orice număr de forma \(nT\) , unde \(n\in \mathbb(Z)\) va fi, de asemenea, o perioadă.
Exemplu: oricare functie trigonometrica este periodică;
pentru funcțiile \(f(x)=\sin x\) și \(f(x)=\cos x\) perioada principală este egală cu \(2\pi\), pentru funcțiile \(f(x )=\mathrm(tg)\,x\) și \(f(x)=\mathrm(ctg)\,x\) perioada principală este egală cu \(\pi\) .
Pentru a construi un grafic al unei funcții periodice, puteți reprezenta graficul acesteia pe orice segment de lungime \(T\) (perioada principală); apoi graficul întregii funcții este completat prin deplasarea părții construite cu un număr întreg de perioade la dreapta și la stânga:
\(\blacktriangleright\) Domeniul \(D(f)\) al funcției \(f(x)\) este o mulțime formată din toate valorile argumentului \(x\) pentru care funcția are sens (este definit).
Exemplu: funcția \(f(x)=\sqrt x+1\) are un domeniu de definiție: \(x\in
Sarcina 1 #6364
Nivel de activitate: Egal cu examenul de stat unificat
La ce valori ale parametrului \(a\) are ecuația
are o singura solutie?
Rețineți că, deoarece \(x^2\) și \(\cos x\) sunt funcții pare, dacă ecuația are o rădăcină \(x_0\) , va avea și o rădăcină \(-x_0\) .
Într-adevăr, fie \(x_0\) o rădăcină, adică egalitatea \(2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a^2=0\) corect. Să înlocuim \(-x_0\): \(2 (-x_0)^2+a\mathrm(tg)\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a ^2=0\).
Astfel, dacă \(x_0\ne 0\) , atunci ecuația va avea deja cel puțin două rădăcini. Prin urmare, \(x_0=0\) . Apoi:
Am primit două valori pentru parametrul \(a\) . Rețineți că am folosit faptul că \(x=0\) este exact rădăcina ecuației originale. Dar nu am folosit niciodată faptul că el este singurul. Prin urmare, trebuie să înlocuiți valorile rezultate ale parametrului \(a\) în ecuația originală și să verificați pentru ce anume \(a\) rădăcina \(x=0\) va fi cu adevărat unică.
1) Dacă \(a=0\) , atunci ecuația va lua forma \(2x^2=0\) . Evident, această ecuație are o singură rădăcină \(x=0\) . Prin urmare, valoarea \(a=0\) ni se potrivește.
2) Dacă \(a=-\mathrm(tg)\,1\) , atunci ecuația va lua forma \ Să rescriem ecuația sub forma \ Deoarece \(-1\leqslant \cos x\leqslant 1\), Asta \(-\mathrm(tg)\,1\leqslant \mathrm(tg)\,(\cos x)\leqslant \mathrm(tg)\,1\). În consecință, valorile părții drepte a ecuației (*) aparțin segmentului \([-\mathrm(tg)^2\,1; \mathrm(tg)^2\,1]\).
Deoarece \(x^2\geqslant 0\) , atunci partea stângă a ecuației (*) este mai mare sau egală cu \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) .
Astfel, egalitatea (*) poate fi adevărată numai atunci când ambele părți ale ecuației sunt egale cu \(\mathrm(tg)^2\,1\) . Și asta înseamnă că \[\begin(cases) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \mathrm(tg)\ ,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) x=0\\ \mathrm(tg)\,(\cos x) =\mathrm(tg)\,1 \end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\] Prin urmare, valoarea \(a=-\mathrm(tg)\,1\) ni se potrivește.
Răspuns:
\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)
Sarcina 2 #3923
Nivel de activitate: Egal cu examenul de stat unificat
Găsiți toate valorile parametrului \(a\) , pentru fiecare dintre acestea graficul funcției \
simetric fata de origine.
Dacă graficul unei funcții este simetric față de origine, atunci o astfel de funcție este impară, adică \(f(-x)=-f(x)\) este valabilă pentru orice \(x\) din domeniu de definire a funcţiei. Astfel, este necesar să se găsească acele valori ale parametrilor pentru care \(f(-x)=-f(x).\)
\[\begin(aligned) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\right)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end(aliniat)\]
Ultima ecuație trebuie satisfăcută pentru toate \(x\) din domeniul lui \(f(x)\), prin urmare, \(\sin(2\pi a)=0 \Rightarrow a=\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\).
Răspuns:
\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)
Sarcina 3 #3069
Nivel de activitate: Egal cu examenul de stat unificat
Găsiți toate valorile parametrului \(a\) , pentru fiecare dintre ele ecuația \ are 4 soluții, unde \(f\) este o funcție periodică pară cu perioadă \(T=\dfrac(16)3\) definit pe întreaga linie numerică și \(f(x)=ax^2\) pentru \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)
(sarcină de la abonați)
Deoarece \(f(x)\) este o funcție pară, graficul său este simetric față de axa ordonatelor, prin urmare, atunci când \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\)\(f(x)=ax^2\) . Astfel, când \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\), iar acesta este un segment de lungime \(\dfrac(16)3\) , funcția \(f(x)=ax^2\) .
1) Fie \(a>0\) . Apoi graficul funcției \(f(x)\) va arăta astfel: 
Atunci, pentru ca ecuația să aibă 4 soluții, este necesar ca graficul \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) să treacă prin punctul \(A\) : 
Prin urmare, \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &9(a+2)=32a\\ &9(a +2)=-32a\end(aliniat)\end(adunat)\dreapta. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(aligned) \end( adunat)\ corect.\] Deoarece \(a>0\) , atunci \(a=\dfrac(18)(23)\) este potrivit.
2) Fie \(a<0\)
. Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:
Este necesar ca graficul \(g(x)\) să treacă prin punctul \(B\) : \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt(-8) \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &a=\dfrac(18)(23 )\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(aliniat) \end(adunat)\right.\] Din moment ce \(a<0\)
, то подходит \(a=-\dfrac{18}{41}\)
.
3) Cazul în care \(a=0\) nu este potrivit, de atunci \(f(x)=0\) pentru toate \(x\) , \(g(x)=2\sqrtx\) și ecuația va avea doar 1 rădăcină.
Răspuns:
\(a\în \left\(-\dfrac(18)(41);\dfrac(18)(23)\right\)\)
Sarcina 4 #3072
Nivel de activitate: Egal cu examenul de stat unificat
Găsiți toate valorile lui \(a\) , pentru fiecare dintre ele ecuația \
are cel puțin o rădăcină.
(sarcină de la abonați)
Să rescriem ecuația sub forma \
și luați în considerare două funcții: \(g(x)=7\sqrt(2x^2+49)\) și \(f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\ ).
Funcția \(g(x)\) este pară și are un punct minim \(x=0\) (și \(g(0)=49\) ).
Funcția \(f(x)\) pentru \(x>0\) este descrescătoare, iar pentru \(x<0\)
– возрастающей, следовательно, \(x=0\)
– точка максимума.
Într-adevăr, când \(x>0\) al doilea modul se va deschide pozitiv (\(|x|=x\) ), prin urmare, indiferent de modul în care se va deschide primul modul, \(f(x)\) va fi egal la \( kx+A\) , unde \(A\) este expresia lui \(a\) iar \(k\) este egal fie cu \(-9\) fie cu \(-3\) . Când \(x<0\)
наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\)
, где \(k\)
равно либо \(3\)
, либо \(9\)
.
Să găsim valoarea lui \(f\) în punctul maxim: \ 
Pentru ca ecuația să aibă cel puțin o soluție, este necesar ca graficele funcțiilor \(f\) și \(g\) să aibă cel puțin un punct de intersecție. Prin urmare, aveți nevoie de: \ \\]
Răspuns:
\(a\în \(-7\)\cup\)
Sarcina 5 #3912
Nivel de activitate: Egal cu examenul de stat unificat
Găsiți toate valorile parametrului \(a\) , pentru fiecare dintre ele ecuația \
are șase soluții diferite.
Să facem înlocuirea \((\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t\) , \(t>0\) . Apoi ecuația va lua forma \
Vom scrie treptat condițiile în care ecuația inițială va avea șase soluții.
Rețineți că ecuația pătratică \((*)\) poate avea maximum două soluții. Orice ecuație cubică \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) nu poate avea mai mult de trei soluții. Prin urmare, dacă ecuația \((*)\) are două soluții diferite (pozitive!, deoarece \(t\) trebuie să fie mai mare decât zero) \(t_1\) și \(t_2\) , atunci, făcând inversul substituție, obținem: \[\left[\begin(gathered)\begin(aligned) &(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t_1\\ &(\sqrt2)^(x^3-3x^2 +4)=t_2\end(aliniat)\end(adunat)\dreapta.\] Deoarece orice număr pozitiv poate fi reprezentat ca \(\sqrt2\) într-o oarecare măsură, de exemplu, \(t_1=(\sqrt2)^(\log_(\sqrt2) t_1)\), atunci prima ecuație a mulțimii va fi rescrisă sub formă \
După cum am spus deja, orice ecuație cubică nu are mai mult de trei soluții, prin urmare, fiecare ecuație din mulțime nu va avea mai mult de trei soluții. Aceasta înseamnă că întregul set nu va avea mai mult de șase soluții.
Aceasta înseamnă că pentru ca ecuația inițială să aibă șase soluții, ecuația pătratică \((*)\) trebuie să aibă două soluții diferite, iar fiecare ecuație cubică rezultată (din mulțime) trebuie să aibă trei soluții diferite (și nu o singură soluție de o ecuație ar trebui să coincidă cu oricare - prin decizia celei de-a doua!)
Evident, dacă ecuația pătratică \((*)\) are o singură soluție, atunci nu vom obține șase soluții pentru ecuația originală.
Astfel, planul de soluție devine clar. Să notăm punct cu punct condițiile care trebuie îndeplinite.
1) Pentru ca ecuația \((*)\) să aibă două soluții diferite, discriminantul ei trebuie să fie pozitiv: \
2) De asemenea, este necesar ca ambele rădăcini să fie pozitive (deoarece \(t>0\) ). Dacă produsul a două rădăcini este pozitiv și suma lor este pozitivă, atunci rădăcinile în sine vor fi pozitive. Prin urmare, aveți nevoie de: \[\begin(cases) 12-a>0\\-(a-10)>0\end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad a<10\]
Astfel, ne-am furnizat deja două rădăcini pozitive diferite \(t_1\) și \(t_2\) .
3)
Să ne uităm la această ecuație \
Pentru ce \(t\) va avea trei soluții diferite? Astfel, am stabilit că ambele rădăcini ale ecuației \((*)\) trebuie să se afle în intervalul \((1;4)\) . Cum se scrie această condiție? avea patru rădăcini diferite, diferite de zero, reprezentând, împreună cu \(x=0\), o progresie aritmetică. Rețineți că funcția \(y=25x^4+25(a-1)x^2-4(a-7)\) este pară, ceea ce înseamnă că dacă \(x_0\) este rădăcina ecuației \( (*)\ ), atunci \(-x_0\) va fi și rădăcina acestuia. Atunci este necesar ca rădăcinile acestei ecuații să fie numere ordonate crescător: \(-2d, -d, d, 2d\) (atunci \(d>0\)). Atunci aceste cinci numere vor forma o progresie aritmetică (cu diferența \(d\)). Pentru ca aceste rădăcini să fie numerele \(-2d, -d, d, 2d\) , este necesar ca numerele \(d^(\,2), 4d^(\,2)\) să fie rădăcinile lui ecuația \(25t^2 +25(a-1)t-4(a-7)=0\) . Apoi, conform teoremei lui Vieta: Să rescriem ecuația sub forma \
și luați în considerare două funcții: \(g(x)=20a-a^2-2^(x^2+2)\) și \(f(x)=13|x|-2|5x+12a|\) . Pentru ca ecuația să aibă cel puțin o soluție, este necesar ca graficele funcțiilor \(f\) și \(g\) să aibă cel puțin un punct de intersecție. Prin urmare, aveți nevoie de: \
Rezolvând acest set de sisteme, obținem răspunsul: \\]
Răspuns: \(a\în \(-2\)\cup\) Ascundeți afișarea
Se consideră funcția \(f(x)=x^3-3x^2+4\) .
Poate fi factorizat: \
Prin urmare, zerourile sale sunt: \(x=-1;2\) .
Dacă găsim derivata \(f"(x)=3x^2-6x\) , atunci obținem două puncte extreme \(x_(max)=0, x_(min)=2\) .
Prin urmare, graficul arată astfel: 
Vedem că orice linie orizontală \(y=k\) , unde \(0
Astfel, aveți nevoie de: \[\begin(cases) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\]
Să observăm imediat că, dacă numerele \(t_1\) și \(t_2\) sunt diferite, atunci numerele \(\log_(\sqrt2)t_1\) și \(\log_(\sqrt2)t_2\) vor fi diferit, ceea ce înseamnă ecuațiile \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_1\)Şi \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_2\) va avea rădăcini diferite.
Sistemul \((**)\) poate fi rescris după cum urmează: \[\begin(cases) 1
Nu vom scrie rădăcinile în mod explicit.
Se consideră funcția \(g(t)=t^2+(a-10)t+12-a\) . Graficul său este o parabolă cu ramuri în sus, care are două puncte de intersecție cu axa x (am notat această condiție în paragraful 1)). Cum ar trebui să arate graficul său, astfel încât punctele de intersecție cu axa x să fie în intervalul \((1;4)\)? Aşa: 
În primul rând, valorile \(g(1)\) și \(g(4)\) ale funcției în punctele \(1\) și \(4\) trebuie să fie pozitive, iar în al doilea rând, vârful parabola \(t_0\ ) trebuie să fie și în intervalul \((1;4)\) . Prin urmare, putem scrie sistemul: \[\begin(cases) 1+a-10+12-a>0\\ 4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4
Funcția \(g(x)\) are un punct maxim \(x=0\) (și \(g_(\text(top))=g(0)=-a^2+20a-4\)):
\(g"(x)=-2^(x^2+2)\cdot \ln 2\cdot 2x\). Derivată zero: \(x=0\) . Când \(x<0\)
имеем: \(g">0\) , pentru \(x>0\) : \(g"<0\)
.
Funcția \(f(x)\) pentru \(x>0\) este în creștere, iar pentru \(x<0\)
– убывающей, следовательно, \(x=0\)
– точка минимума.
Într-adevăr, când \(x>0\) primul modul se va deschide pozitiv (\(|x|=x\)), prin urmare, indiferent de modul în care se va deschide al doilea modul, \(f(x)\) va fi egal la \( kx+A\) , unde \(A\) este expresia lui \(a\) , iar \(k\) este egal fie cu \(13-10=3\) fie cu \(13+10 =23\) . Când \(x<0\)
наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\)
, где \(k\)
равно либо \(-3\)
, либо \(-23\)
.
Să găsim valoarea lui \(f\) în punctul minim: \
Metode pentru specificarea unei funcții
Fie funcția dată de formula: y=2x^(2)-3. Prin atribuirea oricăror valori variabilei independente x, puteți calcula, folosind această formulă, valorile corespunzătoare ale variabilei dependente y. De exemplu, dacă x=-0,5, atunci, folosind formula, aflăm că valoarea corespunzătoare a lui y este y=2 \cdot (-0,5)^(2)-3=-2,5.
Luând orice valoare luată de argumentul x în formula y=2x^(2)-3, puteți calcula o singură valoare a funcției care îi corespunde. Funcția poate fi reprezentată sub formă de tabel:
| x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| y | −4 | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 |
Folosind acest tabel, puteți vedea că pentru valoarea argumentului −1 va corespunde valoarea funcției −3; iar valoarea x=2 va corespunde cu y=0 etc. De asemenea, este important de știut că fiecare valoare de argument din tabel corespunde unei singure valori de funcție.
Mai multe funcții pot fi specificate folosind grafice. Cu ajutorul unui grafic se stabilește ce valoare a funcției se corelează cu o anumită valoare x. Cel mai adesea, aceasta va fi o valoare aproximativă a funcției.
Funcția pară și impară
Funcția este chiar funcția, când f(-x)=f(x) pentru orice x din domeniul definiției. O astfel de funcție va fi simetrică față de axa Oy.
Funcția este funcţie ciudată, când f(-x)=-f(x) pentru orice x din domeniul definiției. O astfel de funcție va fi simetrică față de originea O (0;0) .
Funcția este nici măcar, nici ciudat si se numeste functia generala, când nu are simetrie față de axă sau origine.
Să examinăm următoarea funcție pentru paritate:
f(x)=3x^(3)-7x^(7)
D(f)=(-\infty ; +\infty) cu un domeniu de definiție simetric relativ la origine. f(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -f(x).
Aceasta înseamnă că funcția f(x)=3x^(3)-7x^(7) este impară.
Funcția periodică
Funcția y=f(x) , în domeniul căreia egalitatea f(x+T)=f(x-T)=f(x) este valabilă pentru orice x, se numește functie periodica cu perioada T \neq 0 .
Repetând graficul unei funcții pe orice segment al axei x care are lungimea T.
Intervalele în care funcția este pozitivă, adică f(x) > 0, sunt segmente ale axei absciselor care corespund punctelor graficului funcției situate deasupra axei absciselor.
f(x) > 0 pe (x_(1); x_(2)) \cup (x_(3); +\infty)
Intervale în care funcția este negativă, adică f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.
f(x)< 0 на (-\infty; x_(1)) \cup (x_(2); x_(3))
Funcție limitată
Mărginit de jos Se obișnuiește să se numească o funcție y=f(x), x \in X când există un număr A pentru care inegalitatea f(x) \geq A este valabilă pentru orice x \in X .
Un exemplu de funcție mărginită de mai jos: y=\sqrt(1+x^(2)) deoarece y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 pentru orice x .
Mărginit de sus se apelează o funcție y=f(x), x \in X când există un număr B pentru care inegalitatea f(x) \neq B este valabilă pentru orice x \in X .
Un exemplu de funcție mărginită mai jos: y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1] deoarece y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 pentru orice x \in [-1;1] .
Limitat Se obișnuiește să se apeleze o funcție y=f(x), x \in X când există un număr K > 0 pentru care inegalitatea \left | f(x)\dreapta | \neq K pentru orice x \in X .
Un exemplu de funcție limitată: y=\sin x este limitată pe toată axa numerelor, deoarece \left | \sin x \right | \neq 1.
Funcția de creștere și scădere
Se obișnuiește să se vorbească despre o funcție care crește pe intervalul luat în considerare ca functie de crestere atunci, când o valoare mai mare a lui x corespunde unei valori mai mari a funcției y=f(x) . Rezultă că luând două valori arbitrare ale argumentului x_(1) și x_(2) din intervalul luat în considerare, cu x_(1) > x_(2) , rezultatul va fi y(x_(1)) > y(x_(2)).
Se numește o funcție care scade pe intervalul luat în considerare funcția descrescătoare când o valoare mai mare a lui x corespunde unei valori mai mici a funcției y(x) . Rezultă că, luând două valori arbitrare ale argumentului x_(1) și x_(2) din intervalul luat în considerare, cu x_(1) > x_(2) , rezultatul va fi y(x_(1))< y(x_{2}) .
Funcția Rădăcini Se obișnuiește să se numească punctele în care funcția F=y(x) intersectează axa absciselor (se obțin prin rezolvarea ecuației y(x)=0).
a) Dacă pentru x > 0 o funcție pară crește, atunci ea scade pentru x< 0
b) Când o funcție pară scade la x > 0, atunci crește la x< 0
c) Când o funcție impară crește la x > 0, atunci crește și la x< 0
d) Când o funcție impară scade pentru x > 0, atunci va scădea și pentru x< 0
Extreme ale funcției
Punctul minim al funcției y=f(x) se numește de obicei un punct x=x_(0) a cărui vecinătate va avea alte puncte (cu excepția punctului x=x_(0)), iar pentru acestea inegalitatea f(x) > f va fi atunci satisfăcut (x_(0)) . y_(min) - desemnarea funcției în punctul min.
Punctul maxim al funcției y=f(x) se numește de obicei un punct x=x_(0) a cărui vecinătate va avea alte puncte (cu excepția punctului x=x_(0)), iar pentru ele inegalitatea f(x) va fi apoi satisfăcută< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.
Condiție prealabilă
Conform teoremei lui Fermat: f"(x)=0 când funcția f(x) care este derivabilă în punctul x_(0) va avea un extrem în acest punct.
Stare suficientă
- Când derivata își schimbă semnul de la plus la minus, atunci x_(0) va fi punctul minim;
- x_(0) - va fi un punct maxim doar atunci când derivata își schimbă semnul din minus în plus la trecerea prin punctul staționar x_(0) .
Cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții dintr-un interval
Etape de calcul:
- Se caută derivata f"(x);
- Se găsesc punctele staţionare şi critice ale funcţiei şi se selectează cele aparţinând segmentului;
- Valorile funcției f(x) se găsesc în punctele și capetele staționare și critice ale segmentului. Cel mai mic dintre rezultatele obținute va fi cea mai mică valoare a funcției, și mai mult - cel mai mare.
Chiar și funcție.
Chiar este o funcție al cărei semn nu se schimbă atunci când semnul se schimbă x.
x egalitatea este valabilă f(–x) = f(x). Semn x nu afectează semnul y.
Graficul unei funcții pare este simetric față de axa de coordonate (Fig. 1).
Exemple de funcție pare:
y=cos x
y = x 2
y = –x 2
y = x 4
y = x 6
y = x 2 + x
Explicaţie:
Să luăm funcția y = x 2 sau y = –x 2 .
Pentru orice valoare x functia este pozitiva. Semn x nu afectează semnul y. Graficul este simetric față de axa de coordonate. Aceasta este o funcție uniformă.
Funcție ciudată.
Ciudat este o funcție al cărei semn se schimbă atunci când semnul se schimbă x.
Cu alte cuvinte, pentru orice valoare x egalitatea este valabilă f(–x) = –f(x).
Graficul unei funcții impare este simetric față de origine (Fig. 2).
Exemple de funcții impare:
y= păcat x
y = x 3
y = –x 3
Explicaţie:
Să luăm funcția y = – x 3 .
Toate semnificațiile la va avea semnul minus. Acesta este un semn x influențează semnul y. Dacă variabila independentă este un număr pozitiv, atunci funcția este pozitivă, dacă variabila independentă este un număr negativ, atunci funcția este negativă: f(–x) = –f(x).
Graficul funcției este simetric față de origine. Aceasta este o funcție ciudată.
Proprietățile funcțiilor pare și impare:
NOTA:
Nu toate funcțiile sunt pare sau impare. Există funcții care nu se supun unei astfel de gradații. De exemplu, funcția rădăcină la = √X nu se aplică funcțiilor pare sau impare (Fig. 3). Atunci când enumerați proprietățile unor astfel de funcții, trebuie oferită o descriere adecvată: nici par, nici impar.
Funcții periodice.
După cum știți, periodicitatea este repetarea anumitor procese la un anumit interval. Funcțiile care descriu aceste procese sunt numite funcții periodice. Adică acestea sunt funcții în ale căror grafice există elemente care se repetă la anumite intervale numerice.
Dependența unei variabile y de o variabilă x, în care fiecare valoare a lui x corespunde unei singure valori a lui y se numește funcție. Pentru desemnare folosiți notația y=f(x). Fiecare funcție are o serie de proprietăți de bază, cum ar fi monotonitatea, paritatea, periodicitatea și altele.
Aruncă o privire mai atentă asupra proprietății de paritate.
O funcție y=f(x) este apelată chiar dacă îndeplinește următoarele două condiții:
2. Valoarea funcției în punctul x, aparținând domeniului de definire a funcției, trebuie să fie egală cu valoarea funcției în punctul -x. Adică, pentru orice punct x, următoarea egalitate trebuie îndeplinită din domeniul de definiție al funcției: f(x) = f(-x).
Graficul unei funcții pare
Dacă trasați un grafic al unei funcții pare, aceasta va fi simetrică față de axa Oy.
De exemplu, funcția y=x^2 este pară. Să verificăm. Domeniul de definiție este întreaga axă numerică, ceea ce înseamnă că este simetrică față de punctul O.
Să luăm un x=3 arbitrar. f(x)=3^2=9.
f(-x)=(-3)^2=9. Prin urmare f(x) = f(-x). Astfel, ambele condiții sunt îndeplinite, ceea ce înseamnă că funcția este egală. Mai jos este un grafic al funcției y=x^2.
Figura arată că graficul este simetric față de axa Oy.
Graficul unei funcții impare
O funcție y=f(x) se numește impară dacă îndeplinește următoarele două condiții:
1. Domeniul de definire al unei funcții date trebuie să fie simetric față de punctul O. Adică, dacă un punct a aparține domeniului de definire al funcției, atunci punctul corespunzător -a trebuie să aparțină și domeniului definiției a funcţiei date.
2. Pentru orice punct x trebuie îndeplinită următoarea egalitate din domeniul definiției funcției: f(x) = -f(x).
Graficul unei funcții impare este simetric față de punctul O - originea coordonatelor. De exemplu, funcția y=x^3 este impară. Să verificăm. Domeniul de definiție este întreaga axă numerică, ceea ce înseamnă că este simetrică față de punctul O.
Să luăm un x=2 arbitrar. f(x)=2^3=8.
f(-x)=(-2)^3=-8. Prin urmare f(x) = -f(x). Astfel, ambele condiții sunt îndeplinite, ceea ce înseamnă că funcția este impară. Mai jos este un grafic al funcției y=x^3.
Figura arată clar că funcția impară y=x^3 este simetrică față de origine.
Care vă erau familiare într-o măsură sau alta. De asemenea, s-a remarcat acolo că stocul de proprietăți funcționale va fi completat treptat. Două proprietăți noi vor fi discutate în această secțiune.
Definiția 1.
Funcția y = f(x), x є X, este numită chiar dacă pentru orice valoare x din mulțimea X este valabilă egalitatea f (-x) = f (x).
Definiția 2.
Funcția y = f(x), x є X, se numește impară dacă pentru orice valoare x din mulțimea X este valabilă egalitatea f (-x) = -f (x).
Demonstrați că y = x 4 este o funcție pară.
Soluţie. Avem: f(x) = x 4, f(-x) = (-x) 4. Dar(-x) 4 = x 4. Aceasta înseamnă că pentru orice x este valabilă egalitatea f(-x) = f(x), adică. funcția este egală.
În mod similar, se poate dovedi că funcțiile y - x 2, y = x 6, y - x 8 sunt pare.
Demonstrați că y = x 3 ~ o funcție impară.
Soluţie. Avem: f(x) = x 3, f(-x) = (-x) 3. Dar (-x) 3 = -x 3. Aceasta înseamnă că pentru orice x este valabilă egalitatea f (-x) = -f (x), adică. functia este impara.
În mod similar, se poate dovedi că funcțiile y = x, y = x 5, y = x 7 sunt impare.
Am văzut deja de mai multe ori că termenii noi din matematică au cel mai adesea o origine „pământească”, adică. pot fi explicate cumva. Acesta este cazul atât cu funcțiile pare, cât și cu cele impare. Vezi: y - x 3, y = x 5, y = x 7 sunt funcții impare, în timp ce y = x 2, y = x 4, y = x 6 sunt funcții pare. Și, în general, pentru orice funcție de forma y = x" (mai jos vom studia în mod specific aceste funcții), unde n este un număr natural, putem concluziona: dacă n nu este număr par, atunci funcția y = x" este impară; dacă n este un număr par, atunci funcția y = xn este par.
Există și funcții care nu sunt nici pare, nici impare. Astfel, de exemplu, este funcția y = 2x + 3. Într-adevăr, f(1) = 5 și f (-1) = 1. După cum puteți vedea, aici, așadar, nici identitatea f(-x) = f ( x), nici identitatea f(-x) = -f(x).
Deci, o funcție poate fi pară, impară sau nici una.
Studiind întrebarea dacă funcţie dată par sau impar se numește de obicei studiul unei funcții pentru paritate.
În definițiile 1 și 2 despre care vorbim despre valorile funcției în punctele x și -x. Aceasta presupune că funcția este definită atât în punctul x, cât și în punctul -x. Aceasta înseamnă că punctul -x aparține domeniului de definire al funcției simultan cu punctul x. Dacă o mulțime numerică X, împreună cu fiecare dintre elementele sale x, conține și elementul opus -x, atunci X se numește mulțime simetrică. Să presupunem că (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) sunt mulțimi simetrice, în timp ce )