Ce este o teorie a probabilității. Teoria probabilității: formule și exemple de rezolvare a problemelor. Teoria probabilității. nivel intermediar

Ce este probabilitatea?

Prima dată când am întâlnit acest termen, nu aș fi înțeles ce este. Prin urmare, voi încerca să explic clar.

Probabilitatea este șansa ca evenimentul pe care îl dorim să se întâmple.

De exemplu, ai decis să mergi la casa unui prieten, îți amintești de intrare și chiar de podeaua pe care locuiește. Dar am uitat numărul și locația apartamentului. Și acum stai pe scară, iar în fața ta există uși din care să alegi.

Care este șansa (probabilitatea) ca, dacă suni la prima sonerie, prietenul tău să răspundă la ușă în locul tău? Sunt doar apartamente, iar un prieten locuiește doar în spatele unuia dintre ele. Cu șanse egale putem alege orice ușă.

Dar care este această șansă?

Ușa, ușa dreaptă. Probabilitatea de a ghici prin sunetul primei uși: . Adică, o dată din trei vei ghici cu exactitate.

Vrem să știm, după ce am sunat o dată, cât de des vom ghici ușa? Să ne uităm la toate opțiunile:

1. Ai sunat 1 uşă
2. Ai sunat al 2-lea uşă
3. Ai sunat al 3-lea uşă

Acum să ne uităm la toate opțiunile în care ar putea fi un prieten:

O. Pentru 1 uşa
b. Pentru al 2-lea uşa
V. Pentru al 3-lea uşa

Să comparăm toate opțiunile sub formă de tabel. O bifă indică opțiuni atunci când alegerea dvs. coincide cu locația unui prieten, o cruce - când nu coincide.

Cum vezi totul Pot fi opțiuni locația prietenului tău și alegerea ta asupra ușii să sune.

O rezultate favorabile tuturor . Adică vei ghici o dată sunând o dată la sonerie, adică. .

Aceasta este probabilitatea - raportul dintre un rezultat favorabil (când alegerea ta coincide cu locația prietenului tău) și numărul de evenimente posibile.

Definiția este formula. Probabilitatea este de obicei notată cu p, prin urmare:

Nu este foarte convenabil să scrieți o astfel de formulă, așa că să luăm pentru - numărul de rezultate favorabile și pentru - cantitate totală rezultate.

Probabilitatea poate fi scrisă ca procent, pentru a face acest lucru, trebuie să înmulțiți rezultatul rezultat cu:

Probabil că ți-a atras atenția cuvântul „rezultate”. Deoarece matematicienii numesc diverse acțiuni (în cazul nostru, o astfel de acțiune este o sonerie) experimente, rezultatul unor astfel de experimente este de obicei numit rezultat.

Ei bine, există rezultate favorabile și nefavorabile.

Să revenim la exemplul nostru. Să presupunem că am sunat la una dintre uși, dar un străin ne-a deschis-o. Nu am ghicit bine. Care este probabilitatea ca, dacă sună la una dintre ușile rămase, prietenul nostru să ne deschidă?

Dacă ai crezut asta, atunci aceasta este o greșeală. Să ne dăm seama.

Mai avem două uși. Deci avem pași posibili:

1) Sună 1 uşă
2) Sună al 2-lea uşă

Prietenul, în ciuda tuturor acestor lucruri, este cu siguranță în spatele unuia dintre ei (la urma urmei, el nu era în spatele celui pe care l-am sunat):

a) Prieten pentru 1 uşa
b) Prieten pentru al 2-lea uşa

Să desenăm din nou tabelul:

După cum puteți vedea, există doar opțiuni, dintre care sunt favorabile. Adică, probabilitatea este egală.

De ce nu?

Situația pe care am luat-o în considerare este exemplu de evenimente dependente. Primul eveniment este prima sonerie, al doilea eveniment este a doua sonerie.

Și se numesc dependenți pentru că influențează următoarele acțiuni. La urma urmei, dacă după primul sunet la sonerie a răspuns un prieten, care ar fi probabilitatea ca acesta să fie în spatele unuia dintre ceilalți doi? Corect,.

Dar dacă există evenimente dependente, atunci trebuie să existe și independent? Așa e, se întâmplă.

Un exemplu de manual este aruncarea unei monede.

1. Aruncă o monedă o dată. Care este probabilitatea de a obține capete, de exemplu? Așa este - pentru că există toate opțiunile (fie capete, fie cozi, vom neglija probabilitatea ca moneda să aterizeze pe marginea ei), dar ni se potrivește doar nouă.
2. Dar a venit capul. Bine, hai să-l aruncăm din nou. Care este probabilitatea de a obține capete acum? Nimic nu s-a schimbat, totul este la fel. Câte opțiuni? Două. Cu câți suntem mulțumiți? Unul.

Și lăsați-l să vină în cap de cel puțin o mie de ori la rând. Probabilitatea de a obține capete deodată va fi aceeași. Există întotdeauna opțiuni și unele favorabile.

Este ușor să distingem evenimentele dependente de cele independente:

1. Dacă experimentul se desfășoară o singură dată (ei aruncă o monedă o dată, sună o dată la ușă etc.), atunci evenimentele sunt întotdeauna independente.
2. Dacă un experiment este efectuat de mai multe ori (se aruncă o monedă o dată, se sună soneria de mai multe ori), atunci primul eveniment este întotdeauna independent. Și atunci, dacă numărul celor favorabile sau numărul tuturor rezultatelor se modifică, atunci evenimentele sunt dependente, iar dacă nu, sunt independente.

Să exersăm puțin determinarea probabilității.

Exemplul 1.

Moneda este aruncată de două ori. Care este probabilitatea de a obține capete de două ori la rând?

Soluţie:

Să luăm în considerare toate opțiunile posibile:

1. Vultur-vultur
2. Capete-cozi
3. Cozi-capete
4. Cozi-cozi

După cum puteți vedea, există doar opțiuni. Dintre acestea, suntem doar mulțumiți. Adică probabilitatea:

Dacă condiția vă cere pur și simplu să găsiți probabilitatea, atunci răspunsul trebuie dat sub forma unei fracții zecimale. Dacă s-ar preciza că răspunsul trebuie dat în procente, atunci am înmulți cu.

Răspuns:

Exemplul 2.

Într-o cutie de ciocolată, toate ciocolatele sunt ambalate în același ambalaj. Totusi, din dulciuri - cu nuci, cu coniac, cu cirese, cu caramel si cu nuga.

Care este probabilitatea de a lua o bomboană și de a obține o bomboană cu nuci? Dați răspunsul dvs. ca procent.

Soluţie:

Câte rezultate posibile există? .

Adică dacă iei o bomboană, aceasta va fi una dintre cele disponibile în cutie.

Câte rezultate favorabile?

Pentru că cutia conține doar ciocolată cu nuci.

Răspuns:

Exemplul 3.

Într-o cutie de baloane. dintre care sunt albe și negre.

1. Care este probabilitatea de a extrage o minge albă?
2. Am adăugat mai multe bile negre în cutie. Care este acum probabilitatea de a extrage o minge albă?

Soluţie:

a) În cutie sunt doar bile. Dintre ei sunt albi.

Probabilitatea este:

b) Acum sunt mai multe bile în cutie. Și au mai rămas la fel de mulți albi - .

Răspuns:

Probabilitate totală

Probabilitatea tuturor evenimentelor posibile este egală cu ().

Să presupunem că într-o cutie sunt bile roșii și verzi. Care este probabilitatea de a extrage o bila rosie? Minge verde? Minge rosie sau verde?

Probabilitatea de a extrage o minge roșie

Minge verde:

Minge roșie sau verde:

După cum puteți vedea, suma tuturor evenimentelor posibile este egală cu (). Înțelegerea acestui punct vă va ajuta să rezolvați multe probleme.

Exemplul 4.

Există markere în cutie: verde, roșu, albastru, galben, negru.

Care este probabilitatea de a trage NU un marcator roșu?

Soluţie:

Să numărăm numărul rezultate favorabile.

NU este un marker roșu, adică verde, albastru, galben sau negru.

Probabilitatea tuturor evenimentelor. Iar probabilitatea evenimentelor pe care le considerăm nefavorabile (când scoatem un marcaj roșu) este .

Astfel, probabilitatea de a scoate un stilou NU roșu este de .

Răspuns:

Probabilitatea ca un eveniment să nu se producă este egală cu minus probabilitatea ca evenimentul să se producă.

Regula pentru înmulțirea probabilităților evenimentelor independente

Știți deja ce sunt evenimentele independente.

Ce se întâmplă dacă trebuie să găsiți probabilitatea ca două (sau mai multe) evenimente independente să aibă loc la rând?

Să presupunem că vrem să știm care este probabilitatea ca, dacă aruncăm o monedă o dată, să vedem capete de două ori?

Am luat în considerare deja - .

Dacă aruncăm o monedă o dată? Care este probabilitatea de a vedea un vultur de două ori la rând?

Total opțiuni posibile:

1. Vultur-vultur-vultur
2. Capete-capete-cozi
3. Capete-cozi-capete
4. Capete-cozi-cozi
5. Cozi-capete-capete
6. Cozi-capete-cozi
7. Cozi-cozi-capete
8. Cozi-cozi-cozi

Nu știu despre tine, dar am făcut greșeli de mai multe ori când am alcătuit această listă. Wow! Și singura opțiune (prima) ni se potrivește.

Pentru 5 aruncări, puteți face singur o listă cu posibilele rezultate. Dar matematicienii nu sunt la fel de muncitori ca tine.

Prin urmare, au observat mai întâi și apoi au demonstrat că probabilitatea unei anumite secvențe evenimente independente de fiecare dată scade cu probabilitatea unui eveniment.

Cu alte cuvinte,

Să ne uităm la exemplul aceleiași monede nefericite.

Probabilitatea de a primi capete într-o provocare? . Acum aruncăm moneda o dată.

Care este probabilitatea de a obține capete la rând?

Această regulă nu funcționează numai dacă ni se cere să găsim probabilitatea ca același eveniment să se întâmple de mai multe ori la rând.

Dacă am vrea să găsim secvența COZI-CAPE-COZI pentru aruncări consecutive, am proceda la fel.

Probabilitatea de a obține cozi este , capete - .

Probabilitatea obținerii secvenței TAILS-HEADS-TAILS-TAILS:

Puteți verifica singur făcând un tabel.

Regula de adunare a probabilităților de evenimente incompatibile.

Așa că oprește-te! Definiție nouă.

Să ne dăm seama. Să luăm moneda noastră uzată și să o aruncăm o dată.
Opțiuni posibile:

1. Vultur-vultur-vultur
2. Capete-capete-cozi
3. Capete-cozi-capete
4. Capete-cozi-cozi
5. Cozi-capete-capete
6. Cozi-capete-cozi
7. Cozi-cozi-capete
8. Cozi-cozi-cozi

Deci, evenimentele incompatibile sunt o anumită secvență dată de evenimente. - acestea sunt evenimente incompatibile.

Dacă vrem să stabilim care este probabilitatea a două (sau mai multe) evenimente incompatibile apoi adunăm probabilitățile acestor evenimente.

Trebuie să înțelegeți că capul sau cozile sunt două evenimente independente.

Dacă vrem să determinăm probabilitatea ca o secvență (sau oricare alta) să apară, atunci folosim regula înmulțirii probabilităților.
Care este probabilitatea de a obține cap la prima aruncare și cozi la a doua și a treia aruncare?

Dar dacă vrem să știm care este probabilitatea de a obține una dintre mai multe secvențe, de exemplu, când capetele apar exact o dată, i.e. opțiuni și, atunci trebuie să adunăm probabilitățile acestor secvențe.

Opțiuni totale ni se potrivesc.

Putem obține același lucru prin adunarea probabilităților de apariție a fiecărei secvențe:

Astfel, adăugăm probabilități atunci când dorim să determinăm probabilitatea unor anumite, inconsecvente, secvențe de evenimente.

Există o regulă excelentă care vă ajută să evitați să vă încurcați când să înmulțiți și când să adăugați:

Să ne întoarcem la exemplul în care am aruncat o monedă o dată și am vrut să știm probabilitatea de a vedea capete o dată.
Ce ar trebui să se întâmple?

Ar trebui să cadă:
(capete ŞI cozi ŞI cozi) SAU (cozi ŞI capete ŞI cozi) SAU (cozi ŞI cozi ŞI capete).
Așa se dovedește:

Să ne uităm la câteva exemple.

Exemplul 5.

În cutie sunt creioane. roșu, verde, portocaliu și galben și negru. Care este probabilitatea de a desena creioane roșii sau verzi?

Soluţie:

Ce ar trebui să se întâmple? Trebuie să tragem (roșu SAU verde).

Acum este clar, să adunăm probabilitățile acestor evenimente:

Răspuns:

Exemplul 6.

Dacă un zar este aruncat de două ori, care este probabilitatea de a obține un total de 8?

Soluţie.

Cum putem obține puncte?

(și) sau (și) sau (și) sau (și) sau (și).

Probabilitatea de a obține o (orice) față este de .

Calculăm probabilitatea:

Răspuns:

Antrenamentul.

Cred că acum înțelegeți când trebuie să calculați probabilitățile, când să le adăugați și când să le înmulțiți. Nu-i aşa? Hai să exersăm puțin.

Sarcini:

Să luăm un pachet de cărți care conține cărți care includ pică, inimi, 13 treci și 13 diamante. De la Asul fiecarui costum.

1. Care este probabilitatea de a extrage crose la rând (punem prima carte scoasă înapoi în pachet și o amestecăm)?
2. Care este probabilitatea de a extrage o carte neagră (piccă sau bâte)?
3. Care este probabilitatea de a face o imagine (joc, regină, rege sau as)?
4. Care este probabilitatea de a extrage două imagini la rând (înlăturăm prima carte extrasă din pachet)?
5. Care este probabilitatea, luând două cărți, de a colecta o combinație - (joc, damă sau rege) și un as Nu contează succesiunea în care sunt extrase cărțile?

Raspunsuri:

1. Într-un pachet de cărți de fiecare valoare, înseamnă:
2. Evenimentele sunt dependente, deoarece după scoaterea primei cărți, numărul de cărți din pachet a scăzut (la fel și numărul de „imagini”). În pachet există inițial șorici, dame, regi și ași totale, ceea ce înseamnă probabilitatea de a extrage o „imagine” cu prima carte:

   Deoarece scoatem prima carte din pachet, înseamnă că au rămas deja cărți în pachet, inclusiv imagini. Probabilitatea de a desena o imagine cu a doua carte:

   Deoarece suntem interesați de situația în care scoatem o „poză” ȘI o „poză” de pe punte, trebuie să înmulțim probabilitățile:

   Răspuns:

3. După scoaterea primei cărți, numărul de cărți din pachet va scădea. Astfel, avem două opțiuni:
   1) Prima carte este As, a doua este Jack, Queen sau King
   2) Scoatem un valet, o regină sau un rege cu prima carte și un as cu a doua. (as și (jack sau regina sau rege)) sau ((jack sau regina sau rege) și as). Nu uita de reducerea numărului de cărți din pachet!

Dacă ai reușit să rezolvi singur toate problemele, atunci ești grozav! Acum veți rezolva problemele de teorie a probabilităților la examenul de stat unificat ca nucile!

TEORIA PROBABILITĂȚII. NIVEL MEDIU

Să ne uităm la un exemplu. Să zicem că aruncăm un zar. Ce fel de os este acesta, știi? Acesta este ceea ce ei numesc un cub cu numere pe fețele sale. Câte fețe, atâtea numere: de la la câte? La.

Așa că aruncăm zarurile și vrem să apară sau. Și o înțelegem.

În teoria probabilității ei spun ce s-a întâmplat eveniment de bun augur(a nu se confunda cu prosper).

Dacă s-ar întâmpla, evenimentul ar fi și el favorabil. În total, se pot întâmpla doar două evenimente favorabile.

Câte sunt defavorabile? Deoarece există un total de evenimente posibile, înseamnă că cele nefavorabile sunt evenimente (asta dacă sau cade).

Definiţie:

Probabilitatea este raportul dintre numărul de evenimente favorabile și numărul tuturor evenimentelor posibile. Adică, probabilitatea arată ce proporție dintre toate evenimentele posibile sunt favorabile.

Probabilitatea este desemnată printr-o literă latină (aparent din Cuvânt englezesc probabilitate – probabilitate).

Se obișnuiește să se măsoare probabilitatea ca procent (vezi subiectele și). Pentru a face acest lucru, valoarea probabilității trebuie înmulțită cu. În exemplul cu zaruri, probabilitatea.

Și în procente: .

Exemple (decideți singur):

1. Care este probabilitatea de a obține capete când aruncați o monedă? Care este probabilitatea de a ateriza capete?
2. Când aruncați un zar, care este probabilitatea de a obține număr par? Care este ciudat?
3. Într-o cutie de creioane simple, albastre și roșii. Desenăm un creion la întâmplare. Care este probabilitatea de a obține unul simplu?

Solutii:

1. Câte opțiuni există? Capete și cozi - doar două. Câte dintre ele sunt favorabile? Doar unul este un vultur. Deci probabilitatea

   La fel e cu cozile: .

2. Opțiuni totale: (câte laturi are cubul, atât de multe opțiuni diferite). Cele favorabile: (acestea sunt toate numere pare:).
   Probabilitate. Desigur, este același lucru cu numerele impare.
3. Total: . Favorabil: . Probabilitate: .

Probabilitate totală

Toate creioanele din cutie sunt verzi. Care este probabilitatea de a desena un creion roșu? Nu există șanse: probabilitate (la urma urmei, evenimente favorabile -).

Un astfel de eveniment se numește imposibil.

Care este probabilitatea de a desena un creion verde? Există exact același număr de evenimente favorabile ca și evenimente totale (toate evenimentele sunt favorabile). Deci probabilitatea este egală cu sau.

Un astfel de eveniment se numește de încredere.

Dacă o cutie conține creioane verzi și roșii, care este probabilitatea de a desena verde sau roșu? Din nou. Să remarcăm acest lucru: probabilitatea de a scoate verde este egală, iar roșu este egală.

În concluzie, aceste probabilități sunt exact egale. adica suma probabilităților tuturor evenimentelor posibile este egală cu sau.

Exemplu:

Într-o cutie de creioane, printre ele sunt albastru, roșu, verde, simplu, galben, iar restul sunt portocalii. Care este probabilitatea de a nu trage verde?

Soluţie:

Ne amintim că toate probabilitățile se adună. Și probabilitatea de a obține verde este egală. Aceasta înseamnă că probabilitatea de a nu trage verde este egală.

Amintiți-vă acest truc: Probabilitatea ca un eveniment să nu se producă este egală cu minus probabilitatea ca evenimentul să se producă.

Evenimente independente și regula înmulțirii

Răsturnești o monedă o dată și vrei să ia capul de ambele ori. Care este probabilitatea asta?

Să trecem prin toate opțiunile posibile și să stabilim câte sunt:

Cape-capete, Cozi-Cape, Capete-Cozi, Cozi-Cozi. Ce altele?

Opțiuni totale. Dintre acestea, doar unul ni se potrivește: Vulturul-Vultur. În total, probabilitatea este egală.

Amenda. Acum să aruncăm o monedă o dată. Fă singur calculul. A funcționat? (răspuns).

Poate ați observat că odată cu adăugarea fiecărei aruncări ulterioare, probabilitatea scade la jumătate. Regula generală numit regula înmulțirii:

Probabilitățile de evenimente independente se modifică.

Ce sunt evenimentele independente? Totul este logic: acestea sunt cele care nu depind unul de celălalt. De exemplu, atunci când aruncăm o monedă de mai multe ori, de fiecare dată se face o nouă aruncare, al cărei rezultat nu depinde de toate aruncările anterioare. Putem arunca la fel de ușor două monede diferite în același timp.

Mai multe exemple:

1. Zarurile sunt aruncate de două ori. Care este probabilitatea ca acesta să apară de ambele ori?
2. Moneda este aruncată o dată. Care este probabilitatea ca prima dată să apară capete, apoi de două ori?
3. Jucătorul aruncă două zaruri. Care este probabilitatea ca suma numerelor de pe ele să fie egală?

Raspunsuri:

1. Evenimentele sunt independente, ceea ce înseamnă că regula înmulțirii funcționează: .
2. Probabilitatea capetelor este egală. Probabilitatea de cozi este aceeași. Multiplica:
3. 12 poate fi obținut numai dacă se aruncă două -ki: .

Evenimente incompatibile și regula adunării

Evenimentele care se completează până la probabilitatea maximă sunt numite incompatibile. După cum sugerează și numele, acestea nu pot avea loc simultan. De exemplu, dacă aruncăm o monedă, aceasta poate apărea fie cu cap, fie cu cozi.

Exemplu.

Într-o cutie de creioane, printre ele sunt albastru, roșu, verde, simplu, galben, iar restul sunt portocalii. Care este probabilitatea de a trage verde sau roșu?

Soluție.

Probabilitatea de a desena un creion verde este egală. Roșu - .

Evenimente favorabile în general: verde + roșu. Aceasta înseamnă că probabilitatea de a trage verde sau roșu este egală.

Aceeași probabilitate poate fi reprezentată sub această formă: .

Aceasta este regula de adunare: se adună probabilitățile de evenimente incompatibile.

Probleme de tip mixt

Exemplu.

Moneda este aruncată de două ori. Care este probabilitatea ca rezultatele aruncărilor să fie diferite?

Soluție.

Aceasta înseamnă că, dacă primul rezultat este cap, al doilea trebuie să fie cozi și invers. Se pare că există două perechi de evenimente independente, iar aceste perechi sunt incompatibile între ele. Cum să nu fii confuz cu privire la unde să înmulțim și unde să adaugi.

Există o regulă simplă pentru astfel de situații. Încercați să descrie ce se va întâmpla folosind conjuncțiile „ȘI” sau „SAU”. De exemplu, în acest caz:

Ar trebui să apară (capete și cozi) sau (cozi și capete).

Acolo unde există o conjuncție „și” va fi înmulțire, iar acolo unde există „sau” va fi adunare:

Încearcă singur:

1. Care este probabilitatea ca, dacă o monedă este aruncată de două ori, moneda să cadă de ambele ori pe aceeași parte?
2. Zarurile sunt aruncate de două ori. Care este probabilitatea de a obține un total de puncte?

Solutii:

1. (capetele au cazut si cozile au cazut) sau (cozile au cazut si cozile au cazut): .
2. Care sunt variantele? Şi. Apoi:
   Scăpat (și) sau (și) sau (și): .

Un alt exemplu:

Aruncă o monedă o dată. Care este probabilitatea ca capetele să apară măcar o dată?

Soluţie:

Oh, cum nu vreau să trec prin opțiuni... Cap-cozi-cozi, vultur-capete-cozi,... Dar nu este nevoie! Să ne amintim despre probabilitatea totală. Vă amintiți? Care este probabilitatea ca vulturul nu va cădea niciodată? Este simplu: capetele zboară tot timpul, de aceea.

TEORIA PROBABILITĂȚII. SCURT DESPRE LUCRURILE PRINCIPALE

Probabilitatea este raportul dintre numărul de evenimente favorabile și numărul tuturor evenimentelor posibile.

Evenimente independente

Două evenimente sunt independente dacă apariția unuia nu modifică probabilitatea ca celălalt să se producă.

Probabilitate totală

Probabilitatea tuturor evenimentelor posibile este egală cu ().

Probabilitatea ca un eveniment să nu se producă este egală cu minus probabilitatea ca evenimentul să se producă.

Regula pentru înmulțirea probabilităților evenimentelor independente

Probabilitatea unei anumite secvențe de evenimente independente este egală cu produsul probabilităților fiecărui eveniment

Evenimente incompatibile

Evenimentele incompatibile sunt cele care nu pot avea loc simultan ca urmare a unui experiment. O serie de evenimente incompatibile formează un grup complet de evenimente.

Probabilitățile de evenimente incompatibile se adună.

După ce am descris ce ar trebui să se întâmple, folosind conjuncțiile „ȘI” sau „SAU”, în loc de „ȘI” punem un semn de înmulțire, iar în loc de „SAU” punem un semn de adunare.

RĂMĂSUL 2/3 ARTICOLE SUNT DISPONIBILE NUMAI STUDENTILOR YOUCLEVER!

Deveniți student YouClever,

Pregătiți-vă pentru examenul de stat unificat sau examenul de stat unificat la matematică la prețul „o ceașcă de cafea pe lună”,

Și, de asemenea, obțineți acces nelimitat la manualul „YouClever”, Programul de pregătire (registrul de lucru) „100gia”, nelimitat proces Examenul de stat unificatși OGE, 6000 de probleme cu analiza soluțiilor și a altor servicii YouClever și 100gia.

Matematică pentru programatori: Teoria probabilității

Ivan Kamyshan

Unii programatori, după ce au lucrat în domeniul dezvoltării de aplicații comerciale obișnuite, se gândesc să stăpânească învățarea automată și să devină analist de date. Adesea, ei nu înțeleg de ce funcționează anumite metode, iar majoritatea metodelor de învățare automată par a fi magice. De fapt, învățarea automată se bazează pe statistici matematice, și care, la rândul său, se bazează pe teoria probabilității. Prin urmare, în acest articol vom acorda atenție conceptelor de bază ale teoriei probabilităților: vom atinge definițiile probabilității, distribuției și vom analiza câteva exemple simple.

Poate știți că teoria probabilității este împărțită în mod convențional în 2 părți. Teoria probabilității discrete studiază fenomenele care pot fi descrise printr-o distribuție cu un număr finit (sau numărabil) de opțiuni de comportament posibile (aruncare de zaruri, monede). Teoria probabilității continue studiază fenomenele distribuite pe o mulțime densă, de exemplu, pe un segment sau într-un cerc.

Se poate lua în considerare subiectul teoriei probabilităților pe exemplu simplu. Imaginează-ți ca un dezvoltator de shooter. O parte integrantă a dezvoltării jocurilor din acest gen este mecanica de fotografiere. Este clar că un shooter în care toate armele trag absolut precis va fi de puțin interes pentru jucători. Prin urmare, este imperativ să adăugați răspândire la arma dumneavoastră. Dar pur și simplu randomizarea punctelor de impact ale armelor nu vă va permite să reușiți reglaj fin, prin urmare, ajustarea echilibrului jocului va fi dificilă. În același timp, utilizarea variabilelor aleatoare și a distribuțiilor acestora poate analiza modul în care va funcționa o armă cu o anumită răspândire și poate ajuta la efectuarea ajustărilor necesare.

Spațiul rezultatelor elementare

Să presupunem că dintr-un experiment aleatoriu pe care îl putem repeta de mai multe ori (de exemplu, aruncarea unei monede), putem extrage câteva informații formalizate (a ieșit cap sau coadă). Această informație se numește un rezultat elementar și este util să luăm în considerare ansamblul tuturor rezultatelor elementare, adesea notate cu litera Ω (Omega).

Structura acestui spațiu depinde în întregime de natura experimentului. De exemplu, dacă luăm în considerare tragerea la o țintă circulară suficient de mare, spațiul rezultatelor elementare va fi un cerc, pentru comoditate, plasat cu centrul la zero, iar rezultatul va fi un punct în acest cerc.

În plus, se iau în considerare seturi de rezultate elementare - evenimente (de exemplu, atingerea primelor zece este un cerc concentric de rază mică cu o țintă). În cazul discret, totul este destul de simplu: putem obține orice eveniment, inclusiv sau excluzând rezultate elementare într-un timp finit. În cazul continuu, totul este mult mai complicat: avem nevoie de o familie de mulțimi destul de bună de luat în considerare, numită algebră prin analogie cu numere reale simple care pot fi adunate, scăzute, împărțite și înmulțite. Mulțimile din algebră pot fi intersectate și combinate, iar rezultatul operației va fi în algebră. Aceasta este o proprietate foarte importantă pentru matematică care se află în spatele tuturor acestor concepte. O familie minimală este formată din doar două seturi - setul gol și spațiul rezultatelor elementare.

Măsură și probabilitate

Probabilitatea este o modalitate de a face inferențe despre comportamentul obiectelor foarte complexe fără a înțelege cum funcționează acestea. Astfel, probabilitatea este definită ca o funcție a unui eveniment (din acea familie foarte bună de mulțimi) care returnează un număr - o caracteristică a cât de des poate apărea un astfel de eveniment în realitate. Pentru a fi siguri, matematicienii au fost de acord că acest număr ar trebui să fie între zero și unu. În plus, această funcție are cerințe: probabilitatea unui eveniment imposibil este zero, probabilitatea întregului set de rezultate este unitară, iar probabilitatea combinării a două evenimente independente (seturi disjunctive) este egală cu suma probabilităților. Un alt nume pentru probabilitate este o măsură de probabilitate. Cel mai adesea se folosește măsura Lebesgue, care generalizează conceptele de lungime, suprafață, volum la orice dimensiuni (volum n-dimensional) și astfel este aplicabilă unei clase largi de mulțimi.

Împreună, colecția unui set de rezultate elementare, a unei familii de seturi și a unei măsuri de probabilitate se numește spațiu de probabilitate. Să luăm în considerare cum putem construi un spațiu de probabilitate pentru exemplul de a trage la o țintă.

Luați în considerare să trageți la o țintă rotundă mare cu raza R, care este imposibil de ratat. Printr-un set de evenimente elementare stabilim un cerc cu un centru la originea coordonatelor razei R. Deoarece vom folosi aria (măsura Lebesgue pentru mulțimi bidimensionale) pentru a descrie probabilitatea unui eveniment, vom folosi o familie de mulțimi măsurabile (pentru care există această măsură).

Notă De fapt, acesta este un punct tehnic și sarcini simple procesul de determinare a unei măsuri şi a unei familii de mulţimi nu joacă un rol deosebit. Dar este necesar să înțelegem că aceste două obiecte există, deoarece în multe cărți despre teoria probabilității teoremele încep cu cuvintele: „ Fie (Ω,Σ,P) un spațiu de probabilitate...».

După cum sa menționat mai sus, probabilitatea întregului spațiu al rezultatelor elementare trebuie să fie egală cu unu. Aria (măsură Lebesgue bidimensională, pe care o notăm λ 2 (A), unde A este un eveniment) a unui cerc, conform unei formule binecunoscute din școală, este egală cu π *R 2. Apoi putem introduce probabilitatea P(A) = λ 2 (A) / (π *R 2), iar această valoare va fi deja între 0 și 1 pentru orice eveniment A.

Dacă presupunem că lovirea oricărui punct de pe țintă este la fel de probabilă, căutarea probabilității ca un trăgător să lovească o anumită zonă a țintei se reduce la găsirea zonei acestui set (de aici putem concluziona că probabilitatea de lovire a unui anumit punct este zero, deoarece aria punctului este zero).

De exemplu, vrem să aflăm care este probabilitatea ca trăgătorul să lovească primii zece (evenimentul A - trăgătorul atinge setul dorit). În modelul nostru, „zece” este reprezentat de un cerc cu centrul la zero și raza r. Atunci probabilitatea de a intra în acest cerc este P(A) = λ 2 /(A)π *R 2 = π * r 2 /(π R 2)= (r/R) 2.

Acesta este unul dintre cele mai simple tipuri de probleme de „probabilitate geometrică” - majoritatea acestor probleme necesită găsirea unei zone.

Variabile aleatorii

O variabilă aleatorie este o funcție care convertește rezultatele elementare în numere reale. De exemplu, în problema luată în considerare, putem introduce o variabilă aleatoare ρ(ω) - distanța de la punctul de impact până la centrul țintei. Simplitatea modelului nostru ne permite să definim în mod explicit spațiul rezultatelor elementare: Ω = (ω = (x,y) astfel de numere care x 2 +y 2 ≤ R 2 ) . Atunci variabila aleatoare ρ(ω) = ρ(x,y) = x 2 +y 2 .

Mijloace de abstractizare din spațiul probabilistic. Funcția de distribuție și densitatea

Este bine când structura spațiului este bine cunoscută, dar în realitate nu este întotdeauna cazul. Chiar dacă structura unui spațiu este cunoscută, acesta poate fi complex. Pentru a descrie variabile aleatoare dacă expresia lor este necunoscută, există conceptul de funcție de distribuție, care este notat cu F ξ (x) = P(ξ< x) (нижний индекс ξ здесь означает случайную величину). Т.е. это вероятность множества всех таких элементарных исходов, для которых значение variabilă aleatoareξ la acest eveniment este mai mic decât parametrul dat x.

Funcția de distribuție are mai multe proprietăți:

1. În primul rând, este între 0 și 1.
2. În al doilea rând, nu scade atunci când argumentul său x crește.
3. În al treilea rând, când numărul -x este foarte mare, funcția de distribuție este aproape de 0, iar când x însuși este mare, funcția de distribuție este aproape de 1.

Probabil, sensul acestei construcții nu este foarte clar la prima lectură. Unul dintre proprietăți benefice– funcția de distribuție vă permite să căutați probabilitatea ca o valoare să ia o valoare dintr-un interval. Deci, P (variabila aleatoare ξ ia valori din interval) = F ξ (b)-F ξ (a). Pe baza acestei egalități, putem studia cum se modifică această valoare dacă limitele a și b ale intervalului sunt apropiate.

Fie d = b-a , atunci b = a+d . Și prin urmare, F ξ (b) - F ξ (a) = F ξ (a+d) - F ξ (a) . Pentru valorile mici ale lui d, diferența de mai sus este, de asemenea, mică (dacă distribuția este continuă). Este logic să luăm în considerare raportul p ξ (a,d)= (F ξ (a+d) - F ξ (a))/d. Dacă, pentru valori suficient de mici ale lui d, acest raport diferă puțin de o constantă p ξ (a), independentă de d, atunci în acest moment variabila aleatoare are o densitate egală cu p ξ (a).

Notă Cititorii care au întâlnit anterior conceptul de derivată pot observa că p ξ (a) este derivata funcției F ξ (x) la punctul a. În orice caz, puteți studia conceptul de derivat într-un articol pe această temă de pe site-ul Mathprofi.

Acum, semnificația funcției de distribuție poate fi definită după cum urmează: derivata ei (densitatea p ξ, pe care am definit-o mai sus) la punctul a descrie cât de des o variabilă aleatoare va cădea într-un interval mic centrat în punctul a (vecinătatea punctului a ) comparativ cu cartierele altor puncte . Cu alte cuvinte, cu cât funcția de distribuție crește mai repede, cu atât este mai probabil ca o astfel de valoare să apară într-un experiment aleatoriu.

Să revenim la exemplu. Putem calcula funcția de distribuție pentru variabila aleatoare, ρ(ω) = ρ(x,y) = x 2 +y 2 , care denotă distanța de la centru până la punctul de lovire aleatoriu al țintei. Prin definiție, F ρ (t) = P(ρ(x,y)< t) . т.е. множество {ρ(x,y) < t)} – состоит из таких точек (x,y) , расстояние от которых до нуля меньше, чем t . Мы уже считали вероятность такого события, когда вычисляли вероятность попадания в «десятку» - она равна t 2 /R 2 . Таким образом, Fρ(t) = P(ρ(x,y) < t) = t 2 /R 2 , для 0

Putem afla densitatea p ρ a acestei variabile aleatoare. Să observăm imediat că în afara intervalului este zero, deoarece funcția de distribuție pe acest interval este neschimbată. La sfârșitul acestui interval densitatea nu este determinată. În interiorul intervalului, acesta poate fi găsit folosind un tabel de derivate (de exemplu, de pe site-ul Mathprofi) și reguli elementare de diferențiere. Derivata lui t 2 /R 2 este egală cu 2t/R 2. Aceasta înseamnă că am găsit densitatea pe întreaga axă a numerelor reale.

O altă proprietate utilă a densității este probabilitatea ca o funcție să ia o valoare dintr-un interval, care este calculată folosind integrala densității pe acest interval (puteți afla ce este aceasta în articolele despre integralele proprii, improprie și nedefinite din Mathprofi site-ul web).

La prima citire, integrala pe un interval al funcției f(x) poate fi considerată ca aria unui trapez curbat. Laturile sale sunt un fragment al axei Ox, un decalaj (axa de coordonate orizontală), segmente verticale care leagă punctele (a,f(a)), (b,f(b)) pe curba cu punctele (a,0), (b,0 ) pe axa Ox. Ultima latură este un fragment din graficul funcției f de la (a,f(a)) la (b,f(b)) . Putem vorbi despre integrala pe interval (-∞; b] , când pentru valori negative suficient de mari, a, valoarea integralei pe interval se va schimba neglijabil în comparație cu modificarea numărului a. Integrala pe intervale este definite într-un mod similar Subiecte tehnologia informației în general EN teoria probabilității teoria șanselor calculul probabilității ... Ghidul tehnic al traducătorului

Teoria probabilității- este o parte a matematicii care studiază relațiile dintre probabilitățile (vezi Probabilitatea și Statistica) ale diferitelor evenimente. Să enumerăm cele mai importante teoreme legate de această știință. Probabilitatea apariției unuia dintre mai multe evenimente incompatibile este egală cu... ... Dicţionar Enciclopedic F.A. Brockhaus și I.A. Efron

TEORIA PROBABILITĂȚII- matematică o știință care permite, din probabilitățile unor evenimente aleatoare (vezi), să se găsească probabilitățile unor evenimente aleatoare asociate cu k.l. la fel cu primele. T.v. modern. bazată pe axiomatică (vezi Metoda axiomatică) de A. N. Kolmogorov. Pe... ... Enciclopedia Sociologică Rusă

Teoria probabilității- o ramură a matematicii în care, pe baza probabilităților date ale unor evenimente aleatoare, se găsesc probabilitățile altor evenimente legate într-un fel de primul. Teoria probabilității studiază și variabilele aleatoare și procesele aleatoare. Una dintre principalele...... Concepte ale științelor naturale moderne. Glosar de termeni de bază

teoria probabilității- tikimybių teorija statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. teoria probabilității vok. Wahrscheinlichkeitstheorie, f rus. teoria probabilității, f pranc. théorie des probabilités, f … Fizikos terminų žodynas

Teoria probabilității- ... Wikipedia

Teoria probabilității- o disciplină matematică care studiază tiparele fenomenelor aleatorii... Începuturile științelor naturale moderne

TEORIA PROBABILITĂȚII- (teoria probabilității) vezi Probabilitatea... Mare dicționar sociologic explicativ

Teoria probabilității și aplicațiile sale- („Teoria probabilității și aplicațiile sale”), revista științifică a Departamentului de Matematică al Academiei de Științe a URSS. Publică articole originale și scurte comunicări despre teoria probabilităților, probleme generale ale statisticii matematice și aplicațiile acestora în științe naturale și... ... Marea Enciclopedie Sovietică

Cărți

• Teoria probabilității. , Ventzel E.S.. Cartea este un manual destinat persoanelor familiarizate cu matematica în sfera unui curs obișnuit de facultate și interesate de aplicațiile tehnice ale teoriei probabilităților, în... Cumpărați pentru 2056 UAH (numai Ucraina)
• Teoria probabilității. , Ventzel E.S.. Cartea este un manual destinat persoanelor familiarizate cu matematica în sfera unui curs obișnuit de facultate și interesate de aplicațiile tehnice ale teoriei probabilităților, în ...

INTRODUCERE

Multe lucruri ne sunt de neînțeles nu pentru că conceptele noastre sunt slabe;
ci pentru că aceste lucruri nu sunt incluse în gama conceptelor noastre.
Kozma Prutkov

Scopul principal al studierii matematicii în instituțiile de învățământ secundar de specialitate este acela de a oferi studenților un set de cunoștințe și abilități matematice necesare studierii altor discipline de program care folosesc matematica într-un grad sau altul, pentru capacitatea de a efectua calcule practice, pentru formarea și dezvoltarea. a gândirii logice.

În această lucrare, toate conceptele de bază ale secțiunii de matematică „Fundamentele teoriei probabilităților și statisticii matematice”, prevăzute de program și de standardele educaționale de stat ale învățământului secundar profesional (Ministerul Educației al Federației Ruse. M., 2002). ), sunt introduse consecvent, se formulează principalele teoreme, dintre care majoritatea nu sunt dovedite. Sunt luate în considerare principalele probleme și metode de rezolvare a acestora și tehnologii de aplicare a acestor metode la rezolvarea problemelor practice. Prezentarea este însoțită de comentarii detaliate și de numeroase exemple.

Instrucțiunile metodologice pot fi folosite pentru familiarizarea inițială cu materialul studiat, la luarea notițelor la prelegeri, pentru pregătirea orelor practice, pentru consolidarea cunoștințelor, abilităților și abilităților dobândite. În plus, manualul va fi util și studenților de licență ca instrument de referință, permițându-le să-și amintească rapid ceea ce a fost studiat anterior.

La finalul lucrării există exemple și sarcini pe care elevii le pot îndeplini în modul de autocontrol.

Orientările sunt destinate studenților cu normă parțială și cu normă întreagă.

CONCEPTE DE BAZĂ

Teoria probabilității studiază tiparele obiective ale evenimentelor aleatoare de masă. Este baza teoretică pentru statistica matematică, care se ocupă cu dezvoltarea metodelor de colectare, descriere și prelucrare a rezultatelor observaționale. Prin observatii (teste, experimente), i.e. experiența în sensul larg al cuvântului are loc cunoașterea fenomenelor din lumea reală.

În activitățile noastre practice, întâlnim adesea fenomene al căror rezultat nu poate fi prezis, al căror rezultat depinde de întâmplare.

Un fenomen aleatoriu poate fi caracterizat prin raportul dintre numărul de apariții ale acestuia și numărul de încercări, în fiecare dintre acestea, în aceleași condiții ale tuturor încercărilor, ar putea să apară sau nu.

Teoria probabilității este o ramură a matematicii în care fenomenele aleatoare (evenimentele) sunt studiate și modelele sunt identificate atunci când sunt repetate în masă.

Statistica matematică este o ramură a matematicii al cărei subiect este studiul metodelor de colectare, sistematizare, prelucrare și utilizare a datelor statistice pentru a obține concluzii bazate științific și a lua decizii.

În acest caz, datele statistice sunt înțelese ca un set de numere care reprezintă caracteristicile cantitative ale caracteristicilor obiectelor studiate care ne interesează. Datele statistice sunt obținute ca rezultat al experimentelor și observațiilor special concepute.

Datele statistice prin esența lor depind de mulți factori aleatori, prin urmare statistica matematică este strâns legată de teoria probabilității, care este baza sa teoretică.

I. PROBABILITATE. TEOREME DE ADUNAREA SI MULTIPLICAREA PROBABILITATILOR

1.1. Concepte de bază ale combinatoriei

În ramura matematicii, care se numește combinatorică, se rezolvă unele probleme legate de luarea în considerare a mulțimilor și de alcătuirea diferitelor combinații de elemente ale acestor mulțimi. De exemplu, dacă luăm 10 numere diferite 0, 1, 2, 3,: , 9 și facem combinații ale acestora, vom obține numere diferite, de exemplu 143, 431, 5671, 1207, 43 etc.

Vedem că unele dintre aceste combinații diferă doar în ordinea cifrelor (de exemplu, 143 și 431), altele - în cifrele incluse în ele (de exemplu, 5671 și 1207), iar altele diferă și prin numărul de cifre (de exemplu, 143 și 43).

Astfel, combinațiile rezultate satisfac diverse condiții.

În funcție de regulile de compoziție, se pot distinge trei tipuri de combinații: permutări, plasări, combinații.

Să ne familiarizăm mai întâi cu conceptul factorial.

Se numește produsul tuturor numerelor naturale de la 1 la n inclusiv n-factorial si scrie.

Calculați: a) ; b) ; V).

Soluţie. A) .

b) Din moment ce , apoi îl putem scoate din paranteze

Apoi primim

V) .

Rearanjamente.

O combinație de n elemente care diferă între ele doar în ordinea elementelor se numește permutare.

Permutările sunt indicate prin simbol P n , unde n este numărul de elemente incluse în fiecare permutare. ( R- prima literă a unui cuvânt francez permutare- rearanjare).

Numărul de permutări poate fi calculat folosind formula

sau folosind factorial:

Să ne amintim asta 0!=1 și 1!=1.

Exemplul 2. În câte moduri pot fi aranjate șase cărți diferite pe un raft?

Soluţie. Numărul necesar de moduri este egal cu numărul de permutări a 6 elemente, adică.

Plasări.

Postari de la m elemente în nîn fiecare se numesc astfel de compuși care diferă unul de celălalt fie prin elementele în sine (cel puțin unul), fie prin ordinea dispunerii lor.

Locațiile sunt indicate prin simbolul unde m- numărul tuturor elementelor disponibile, n- numărul de elemente din fiecare combinație. ( O- prima literă a unui cuvânt francez aranjament, care înseamnă „așezarea, punerea în ordine”).

În același timp, se crede că nm.

Numărul de plasări poate fi calculat folosind formula

,

aceste. numărul tuturor plasărilor posibile de la m elemente prin n este egal cu produsul n numere întregi consecutive, dintre care cel mai mare este m.

Să scriem această formulă în formă factorială:

Exemplul 3. Câte opțiuni pentru distribuirea a trei vouchere către sanatorie de diferite profiluri pot fi compilate pentru cinci solicitanți?

Soluţie. Numărul necesar de opțiuni este egal cu numărul de plasări a 5 elemente din 3 elemente, i.e.

.

Combinații.

Combinațiile sunt toate combinațiile posibile ale m elemente prin n, care diferă unele de altele prin cel puțin un element (aici mŞi n- numere naturale și n m).

Numărul de combinații de m elemente prin n sunt notate cu ( CU-prima literă a unui cuvânt francez combinaţie- combinație).

În general, numărul de m elemente prin n egal cu numărul de plasări din m elemente prin n, împărțit la numărul de permutări de la n elemente:

Folosind formule factoriale pentru numărul de plasări și permutări, obținem:

Exemplul 4. Într-o echipă de 25 de persoane, trebuie să alocați patru pentru a lucra într-o anumită zonă. În câte moduri se poate face acest lucru?

Soluţie. Deoarece ordinea celor patru persoane selectate nu contează, există modalități de a face acest lucru.

Găsim folosind prima formulă

.

În plus, la rezolvarea problemelor, se folosesc următoarele formule, care exprimă proprietățile de bază ale combinațiilor:

(prin definiție ei presupun și);

.

1.2. Rezolvarea problemelor combinatorii

Sarcina 1. Sunt 16 materii studiate la facultate. Trebuie să puneți 3 subiecte în programul de luni. În câte moduri se poate face acest lucru?

Soluţie. Există tot atâtea moduri de a programa trei articole din 16 câte poți aranja plasări de 16 articole câte 3.

Sarcina 2. Din 15 obiecte, trebuie să selectați 10 obiecte. În câte moduri se poate face acest lucru?

Sarcina 3. Patru echipe au participat la competiție. Câte opțiuni de repartizare a locurilor între ele sunt posibile?

.

Problema 4. În câte moduri se poate forma o patrulă de trei soldați și un ofițer dacă sunt 80 de soldați și 3 ofițeri?

Soluţie. Puteți alege un soldat în patrulare

moduri, iar ofițerii în moduri. Deoarece orice ofițer poate merge cu fiecare echipă de soldați, există doar atâtea moduri.

Sarcina 5. Găsiți , dacă se știe că .

De când, primim

,

,

Prin definiția unei combinații rezultă că , . Că. .

1.3. Conceptul de eveniment aleatoriu. Tipuri de evenimente. Probabilitatea evenimentului

Orice acțiune, fenomen, observație cu mai multe rezultate diferite, realizată într-un anumit set de condiții, va fi numită test.

Rezultatul acestei acțiuni sau observații se numește eveniment .

Dacă un eveniment în anumite condiții poate să apară sau nu, atunci este numit aleatoriu . Când un eveniment este sigur că se va întâmpla, acesta este numit de încredere , iar în cazul în care în mod evident nu se poate întâmpla, - imposibil.

Evenimentele sunt numite incompatibil , dacă numai unul dintre ele este posibil să apară de fiecare dată.

Evenimentele sunt numite comun , dacă, în condiții date, apariția unuia dintre aceste evenimente nu exclude apariția altuia în timpul aceleiași probe.

Evenimentele sunt numite opus , dacă în condițiile de testare ele, fiind singurele rezultate, sunt incompatibile.

Evenimentele sunt de obicei notate cu majuscule ale alfabetului latin: A, B, C, D, : .

Un sistem complet de evenimente A 1 , A 2 , A 3 , : , A n este un ansamblu de evenimente incompatibile, apariția a cel puțin a unuia dintre ele este obligatorie în timpul unui test dat.

Dacă un sistem complet este format din două evenimente incompatibile, atunci astfel de evenimente sunt numite opuse și sunt desemnate A și .

Exemplu. Cutia contine 30 de bile numerotate. Determinați care dintre următoarele evenimente sunt imposibile, de încredere sau contrare:

scoase o minge numerotata (O);

am primit o minge cu un număr par (ÎN);

am primit o minge cu un număr impar (CU);

am o minge fără număr (D).

Care dintre ei formează un grup complet?

Soluţie . O- eveniment de încredere; D- eveniment imposibil;

În și CU- evenimente opuse.

Grupul complet de evenimente este format din OŞi D, VŞi CU.

Probabilitatea unui eveniment este considerată ca o măsură a posibilității obiective de apariție a unui eveniment aleatoriu.

1.4. Definiția clasică a probabilității

Se numește un număr care exprimă măsura posibilității obiective a producerii unui eveniment probabilitate acest eveniment și este indicat prin simbol R(A).

Definiţie. Probabilitatea evenimentului O este raportul dintre numărul de rezultate m favorabile producerii unui eveniment dat O, la număr n toate rezultatele (incoerente, numai posibile și la fel de posibile), adică .

Prin urmare, pentru a găsi probabilitatea unui eveniment, este necesar, luând în considerare diferitele rezultate ale testului, să se calculeze toate rezultatele inconsecvente posibile. n, alegeți numărul de rezultate m care ne interesează și calculați raportul m La n.

Următoarele proprietăți rezultă din această definiție:

Probabilitatea oricărui test este un număr nenegativ care nu depășește unu.

Într-adevăr, numărul m al evenimentelor necesare este în . Împărțirea ambelor părți în n, primim

2. Probabilitatea unui eveniment de încredere este egală cu unu, deoarece .

3. Probabilitatea unui eveniment imposibil este zero, deoarece .

Problema 1. Într-o loterie de 1000 de bilete, sunt 200 de bilete câștigătoare. Un bilet este scos la întâmplare. Care este probabilitatea ca acest bilet să fie câștigător?

Soluţie. Numărul total de rezultate diferite este n=1000. Numărul de rezultate favorabile câștigării este m=200. Conform formulei, obținem

.

Problema 2. Într-un lot de 18 piese sunt 4 defecte. 5 părți sunt selectate la întâmplare. Găsiți probabilitatea ca două dintre aceste 5 părți să fie defecte.

Soluţie. Numărul tuturor rezultatelor independente la fel de posibile n egal cu numărul de combinații de 18 cu 5 i.e.

Să numărăm numărul m care favorizează evenimentul A. Dintre 5 părți luate la întâmplare, ar trebui să fie 3 bune și 2 defecte. Numărul de moduri de a selecta două piese defecte dintre cele 4 defecte existente este egal cu numărul de combinații de 4 cu 2:

Numărul de moduri de a selecta trei piese de calitate din 14 piese de calitate disponibile este egal cu

.

Orice grup de piese bune poate fi combinat cu orice grup de piese defecte, deci numărul total de combinații m se ridică la

Probabilitatea necesară pentru evenimentul A este egală cu raportul dintre numărul de rezultate m favorabile acestui eveniment și numărul n al tuturor rezultatelor independente la fel de posibile:

.

Suma unui număr finit de evenimente este un eveniment constând din apariția a cel puțin unuia dintre ele.

Suma a două evenimente este notată prin simbolul A+B și suma n evenimente cu simbolul A 1 +A 2 + : +A n.

Teorema de adunare a probabilității.

Probabilitatea sumei a două evenimente incompatibile este egală cu suma probabilităților acestor evenimente.

Corolarul 1. Dacă evenimentul A 1, A 2, :,A n formează un sistem complet, atunci suma probabilităților acestor evenimente este egală cu unu.

Corolarul 2. Suma probabilităților de evenimente opuse și este egală cu unu.

.

Problema 1. Există 100 de bilete de loterie. Se știe că 5 bilete câștigă 20.000 de ruble fiecare, 10 bilete câștigă 15.000 de ruble, 15 bilete câștigă 10.000 de ruble, 25 de bilete câștigă 2.000 de ruble. si nimic in rest. Găsiți probabilitatea ca biletul achiziționat să primească un câștig de cel puțin 10.000 de ruble.

Soluţie. Fie A, B și C evenimente constând în faptul că biletul achiziționat primește un câștig egal cu 20.000, 15.000 și, respectiv, 10.000 de ruble. întrucât evenimentele A, B și C sunt incompatibile, atunci

Sarcina 2. Departamentul de corespondență al unei școli tehnice primește teste de matematică din orașe A, BŞi CU. Probabilitatea de a primi un test de la oraș O egal cu 0,6, din oraș ÎN- 0,1. Găsiți probabilitatea ca următorul test să vină din oraș CU.

Cel mai simplu exemplu de legătură între două evenimente este o relație cauzală, când apariția unuia dintre evenimente duce în mod necesar la apariția celuilalt, sau invers, când apariția unuia exclude posibilitatea apariției celuilalt.

Pentru a caracteriza dependența unor evenimente față de altele, se introduce conceptul probabilitate condiționată.

Definiţie. Lasă OŞi ÎN- două evenimente aleatorii ale aceluiași proces. Apoi probabilitatea condiționată a evenimentului O sau probabilitatea evenimentului A, cu condiția ca evenimentul B să aibă loc, se numește număr.

Notând probabilitatea condiționată, obținem formula

, .

Sarcina 1. Calculați probabilitatea ca într-o familie în care există un copil, un băiat, să se nască un al doilea băiat.

Soluţie. Lasă evenimentul O este că sunt doi băieți în familie, și evenimentul ÎN- acel băiat.

Luați în considerare toate rezultatele posibile: băiat și băiat; băiat și fată; fată și băiat; fata si fata.

Apoi, și folosind formula găsim

.

Eveniment O numit independent de la eveniment ÎN, dacă apariția unui eveniment ÎN nu are niciun efect asupra probabilității producerii evenimentului O.

Teorema înmulțirii probabilităților

Probabilitatea apariției simultane a două evenimente independente este egală cu produsul probabilităților acestor evenimente:

Probabilitatea de apariție a mai multor evenimente care sunt independente în agregat este calculată prin formula

Problema 2. Prima urnă conține 6 bile negre și 4 albe, a doua urnă conține 5 bile negre și 7 albe. Din fiecare urnă se extrage o minge. Care este probabilitatea ca ambele bile să fie albe?

A și ÎN exista un eveniment AB. Prin urmare,

b) Dacă primul element funcționează, atunci are loc un eveniment (opus evenimentului O- defectarea acestui element); dacă al doilea element funcționează – eveniment ÎN. Să găsim probabilitățile evenimentelor și:

Atunci evenimentul că ambele elemente vor funcționa este și, prin urmare,