Conversia expresiilor. Teorie detaliată (2019). Cum se simplifică expresiile algebrice Cum se simplifică expresiile 8

Simplificarea expresiilor algebrice este una dintre cele puncte cheieînvățarea algebrei și o abilitate extrem de utilă pentru toți matematicienii. Simplificarea vă permite să reduceți o expresie complexă sau lungă la o expresie simplă cu care este ușor de lucrat. Abilitățile de bază de simplificare sunt bune chiar și pentru cei care nu sunt entuziaști de matematică. Prin observarea mai multor reguli simple, puteți simplifica multe dintre cele mai comune tipuri de expresii algebrice fără cunoștințe matematice speciale.

Pași

Definiții importante

  1. Membri similari . Aceștia sunt membri cu o variabilă de aceeași ordine, membri cu aceleași variabile sau membri liberi (membri care nu conțin o variabilă). Cu alte cuvinte, termeni similari includ aceeași variabilă în același grad, includ mai multe dintre aceleași variabile sau nu includ deloc o variabilă. Ordinea termenilor din expresie nu contează.

    • De exemplu, 3x 2 și 4x 2 sunt termeni similari, deoarece conțin o variabilă de ordinul doi (la a doua putere) „x”. Cu toate acestea, x și x2 nu sunt termeni similari, deoarece conțin variabila „x” de ordine diferite (primul și al doilea). La fel, -3yx și 5xz nu sunt termeni similari deoarece conțin variabile diferite.

  2. Factorizarea . Aceasta este găsirea numerelor al căror produs duce la numărul inițial. Orice număr original poate avea mai mulți factori. De exemplu, numărul 12 poate fi factorizat în următoarea serie de factori: 1 × 12, 2 × 6 și 3 × 4, deci putem spune că numerele 1, 2, 3, 4, 6 și 12 sunt factori ai numărul 12. Factorii sunt aceiași cu factorii , adică numerele cu care se împarte numărul inițial.

    • De exemplu, dacă doriți să factorizați numărul 20, scrieți-l astfel: 4×5.
    • Rețineți că la factorizare, variabila este luată în considerare. De exemplu, 20x = 4(5x).
    • Numerele prime nu pot fi factorizate, deoarece sunt divizibile doar cu ele însele și cu 1.

  3. Amintiți-vă și urmați ordinea operațiunilor pentru a evita greșelile.

    • Paranteze
    • grad
    • Multiplicare
    • Diviziune
    • Plus
    • Scădere

Aducerea de membri similari

  1. Notează expresia. Expresiile algebrice simple (cele care nu conțin fracții, rădăcini etc.) pot fi rezolvate (simplificate) în doar câțiva pași.

    • De exemplu, simplificați expresia 1 + 2x - 3 + 4x.

  2. Definiți termeni similari (termeni cu aceeași variabilă, termeni cu aceleași variabile sau termeni liberi).

    • Găsiți termeni similari în această expresie. Termenii 2x și 4x conțin o variabilă de același ordin (primul). De asemenea, 1 și -3 sunt termeni liberi (nu conțin o variabilă). Astfel, în această expresie termenii 2x și 4x sunt similare, iar membrii 1 și -3 sunt de asemenea asemănătoare.

  3. Dați termeni similari. Aceasta înseamnă adăugarea sau scăderea lor și simplificarea expresiei.

    • 2x + 4x = 6x
    • 1 - 3 = -2

  4. Rescrieți expresia ținând cont de termenii dați. Veți obține o expresie simplă cu mai puțini termeni. Noua expresie este egală cu cea inițială.

    • În exemplul nostru: 1 + 2x - 3 + 4x = 6x - 2, adică expresia originală este simplificată și mai ușor de lucrat.

  5. Urmați ordinea operațiunilor când aduceți membri similari.În exemplul nostru, a fost ușor să furnizați termeni similari. Cu toate acestea, în cazul expresiilor complexe în care termenii sunt încadrați în paranteze și sunt prezenți fracții și rădăcini, nu este atât de ușor să aduceți astfel de termeni. În aceste cazuri, urmați ordinea operațiunilor.

    • De exemplu, luați în considerare expresia 5(3x - 1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x. Aici ar fi o greșeală să definiți imediat 3x și 2x ca termeni similari și să le dați, deoarece este necesar să deschideți mai întâi parantezele. Prin urmare, efectuați operațiunile în ordinea lor.
      • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
      • 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
      • 15x - 5 + x 2 + 8 - 3x. Acum, când expresia conține doar operații de adunare și scădere, puteți aduce termeni similari.
      • x 2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
      • x 2 + 12x + 3

Scoaterea multiplicatorului din paranteze

  1. Găsi cel mai mare divizor comun(GCD) a tuturor coeficienților expresiei. GCD este cel mai mare număr, prin care toți coeficienții expresiei sunt împărțiți.

    • De exemplu, luați în considerare ecuația 9x 2 + 27x - 3. În acest caz, GCD = 3, deoarece orice coeficient al acestei expresii este divizibil cu 3.

  2. Împărțiți fiecare termen al expresiei la mcd. Termenii rezultați vor conține coeficienți mai mici decât în ​​expresia originală.

    • În exemplul nostru, împărțiți fiecare termen din expresie la 3.
      • 9x 2 /3 = 3x 2
      • 27x/3 = 9x
      • -3/3 = -1
      • Rezultatul a fost o expresie 3x 2 + 9x - 1. Nu este egal cu expresia originală.

  3. Notați expresia inițială ca fiind egală cu produsul mcd și expresia rezultată. Adică, includeți expresia rezultată între paranteze și scoateți gcd-ul dintre paranteze.

    • În exemplul nostru: 9x 2 + 27x - 3 = 3(3x 2 + 9x - 1)

  4. Simplificarea expresiilor fracționale prin scoaterea factorului dintre paranteze. De ce pur și simplu scoateți multiplicatorul dintre paranteze, așa cum sa făcut mai devreme? Apoi, pentru a învăța cum să simplificați expresii complexe, cum ar fi expresiile fracționale. În acest caz, scoaterea factorului dintre paranteze poate ajuta la eliminarea fracției (de la numitor).

    • De exemplu, luați în considerare expresia fracțională (9x 2 + 27x - 3)/3. Utilizați factoring out pentru a simplifica această expresie.
      • Puneți factorul 3 din paranteze (cum ați făcut mai devreme): (3(3x 2 + 9x - 1))/3
      • Observați că acum există un 3 atât în ​​numărător, cât și în numitor. Aceasta poate fi redusă pentru a da expresia: (3x 2 + 9x – 1)/1
      • Deoarece orice fracție care are numărul 1 la numitor este pur și simplu egală cu numărătorul, expresia fracțională inițială se simplifică la: 3x 2 + 9x - 1.

Metode suplimentare de simplificare

  1. Simplificarea expresiilor fracționale. După cum sa menționat mai sus, dacă atât numărătorul, cât și numitorul conțin aceiași termeni (sau chiar expresii identice), atunci ele pot fi reduse. Pentru a face acest lucru, trebuie să eliminați factorul comun al numărătorului sau al numitorului sau atât al numărătorului, cât și al numitorului. Sau puteți împărți fiecare termen din numărător la numitor și astfel simplificați expresia.

    • De exemplu, luați în considerare expresia fracțională (5x 2 + 10x + 20)/10. Aici, pur și simplu împărțiți fiecare termen numărător la numitorul (10). Dar rețineți că termenul 5x 2 nu este divizibil egal cu 10 (deoarece 5 este mai mic decât 10).
      • Deci, scrieți o expresie simplificată ca aceasta: ((5x 2)/10) + x + 2 = (1/2)x 2 + x + 2.

  2. Simplificarea expresiilor radicale. Sunt numite expresii sub semnul rădăcină expresii radicale. Ele pot fi simplificate prin descompunerea lor în factori corespunzători și prin îndepărtarea ulterioară a unui factor de sub rădăcină.

    • Să ne uităm la un exemplu simplu: √(90). Numărul 90 poate fi factorizat în următorii factori: 9 și 10 și extras din 9 rădăcină pătrată(3) și scoateți 3 de sub rădăcină.
      • √(90)
      • √(9×10)
      • √(9)×√(10)
      • 3×√(10)
      • 3√(10)

  3. Simplificarea expresiilor cu puteri. Unele expresii conțin operații de înmulțire sau împărțire a termenilor cu puteri. La înmulțirea termenilor cu aceeași bază, se adună puterile acestora; în cazul împărțirii termenilor cu aceeași bază, se scad gradele acestora.

    • De exemplu, luați în considerare expresia 6x 3 × 8x 4 + (x 17 /x 15). În cazul înmulțirii, se adună puterile, iar în cazul împărțirii, se scad.
      • 6x 3 × 8x 4 + (x 17 /x 15)
      • (6 × 8)x 3 + 4 + (x 17 - 15)
      • 48x 7 + x 2
    • Mai jos este o explicație a regulilor de înmulțire și împărțire a termenilor exponenți.
      • Înmulțirea termenilor cu puteri este echivalentă cu înmulțirea termenilor prin ei înșiși. De exemplu, deoarece x 3 = x × x × x și x 5 = x × x × x × x × x, atunci x 3 × x 5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), sau x8.
      • De asemenea, împărțirea termenilor cu grade este echivalentă cu împărțirea termenilor la ei înșiși. x 5 / x 3 = (x × x × x × x × x)/(x × x × x). Deoarece termeni similari găsiți atât la numărător, cât și la numitor pot fi reduceți, produsul a doi „x”, sau x 2 , rămâne în numărător.

O expresie algebrică în care, împreună cu operațiile de adunare, scădere și înmulțire, împărțirea cu expresii literale, se numește expresie algebrică fracțională. Acestea sunt, de exemplu, expresiile

Numim o fracție algebrică o expresie algebrică care are forma unui coeficient al împărțirii a două expresii algebrice întregi (de exemplu, monomii sau polinoame). Acestea sunt, de exemplu, expresiile

A treia dintre expresii).

Transformările identice ale expresiilor algebrice fracționale sunt în cea mai mare parte menite să le reprezinte sub forma fracție algebrică. Pentru a afla numitorul comun se folosește descompunerea în factori a numitorilor fracțiilor - termeni pentru a le găsi cel mai mic multiplu comun. La reducerea fracțiilor algebrice, identitatea strictă a expresiilor poate fi încălcată: este necesar să se excludă valorile cantităților la care factorul prin care se face reducerea devine zero.

Să dăm exemple de transformări identice ale expresiilor algebrice fracționale.

Exemplul 1: Simplificați o expresie

Toți termenii pot fi redusi la un numitor comun (este convenabil să schimbați semnul în numitorul ultimului termen și semnul din fața acestuia):

Expresia noastră este egală cu unu pentru toate valorile, cu excepția acestor valori, este nedefinită și reducerea fracției este ilegală).

Exemplul 2. Reprezentați expresia ca o fracție algebrică

Soluţie. Expresia poate fi luată ca numitor comun. Găsim secvenţial:

Exerciții

1. Găsiți valorile expresiilor algebrice pentru valorile parametrilor specificate:

2. Factorizați.

§ 1 Conceptul de simplificare a unei expresii literale

În această lecție, ne vom familiariza cu conceptul de „termeni similari” și, folosind exemple, vom învăța cum să efectuăm reducerea termenilor similari, simplificând astfel expresiile literale.

Să aflăm sensul conceptului „simplificare”. Cuvântul „simplificare” este derivat din cuvântul „simplificare”. A simplifica înseamnă a face simplu, mai simplu. Prin urmare, a simplifica o expresie literală înseamnă a o face mai scurtă, cu cantitate minima actiuni.

Luați în considerare expresia 9x + 4x. Aceasta este o expresie literală care este o sumă. Termenii de aici sunt prezentați ca produse ale unui număr și ale unei litere. Factorul numeric al unor astfel de termeni se numește coeficient. În această expresie, coeficienții vor fi numerele 9 și 4. Vă rugăm să rețineți că factorul reprezentat de literă este același în ambii termeni ai acestei sume.

Să ne amintim legea distributivă a înmulțirii:

Pentru a înmulți o sumă cu un număr, puteți înmulți fiecare termen cu acel număr și puteți adăuga produsele rezultate.

ÎN vedere generală scris astfel: (a + b) ∙ c = ac + bc.

Această lege este adevărată în ambele direcții ac + bc = (a + b) ∙ c

Să o aplicăm expresiei noastre literale: suma produselor lui 9x și 4x este egală cu produsul al cărui prim factor este egal cu suma 9 și 4, al doilea factor este x.

9 + 4 = 13, adică 13x.

9x + 4 x = (9 + 4)x = 13x.

În loc de trei acțiuni în expresie, rămâne o singură acțiune - înmulțirea. Aceasta înseamnă că am simplificat expresia noastră literală, adică. a simplificat-o.

§ 2 Reducerea termenilor similari

Termenii 9x și 4x diferă doar prin coeficienți - astfel de termeni sunt numiți similari. Partea cu litere a termenilor similari este aceeași. Termenii similari includ, de asemenea, numere și termeni egali.

De exemplu, în expresia 9a + 12 - 15 termeni similari vor fi numerele 12 și -15, iar în suma produsului dintre 12 și 6a, numărul 14 și produsul lui 12 și 6a (12 ∙ 6a + 14 + 12 ∙ 6a) termenii egali reprezentați de produsul dintre 12 și 6a.

Este important de reținut că termenii ai căror coeficienți sunt egali, dar ai căror factori de litere sunt diferiți, nu sunt similari, deși uneori este util să se aplice legea distributivă a înmulțirii acestora, de exemplu, suma produselor 5x și 5y este egal cu produsul dintre numărul 5 și suma lui x și y

5x + 5y = 5(x + y).

Să simplificăm expresia -9a + 15a - 4 + 10.

Termeni similari în în acest caz, sunt termenii -9a și 15a, deoarece diferă doar prin coeficienți. Multiplicatorul lor de litere este același, iar termenii -4 și 10 sunt, de asemenea, similari, deoarece sunt numere. Adunați termeni similari:

9a + 15a - 4 + 10

9a + 15a = 6a;

Obținem: 6a + 6.

Prin simplificarea expresiei, am găsit sumele termenilor similari în matematică aceasta se numește reducerea termenilor similari;

Dacă adăugarea unor astfel de termeni este dificilă, puteți găsi cuvinte pentru ei și puteți adăuga obiecte.

De exemplu, luați în considerare expresia:

Pentru fiecare literă luăm propriul obiect: b-măr, c-pere, apoi obținem: 2 mere minus 5 pere plus 8 pere.

Putem scădea perele din mere? Desigur că nu. Dar putem adăuga 8 pere la minus 5 pere.

Să prezentăm termeni similari -5 pere + 8 pere. Termenii similari au aceeași parte de literă, așa că atunci când aduc termeni similari este suficient să adăugați coeficienții și să adăugați partea de literă la rezultat:

(-5 + 8) pere - primești 3 pere.

Revenind la expresia noastră literală, avem -5 s + 8 s = 3 s. Astfel, după aducerea unor termeni similari, obținem expresia 2b + 3c.

Deci, în această lecție, v-ați familiarizat cu conceptul de „termeni similari” și ați învățat cum să simplificați expresiile cu litere prin reducerea termenilor similari.

Lista literaturii folosite:

  1. Matematică. clasa a VI-a: planuri de lecție la manualul I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich // autor-compilator L.A. Topilina. Mnemosyne 2009.
  2. Matematică. Clasa a VI-a: manual pentru elevii instituţiilor de învăţământ general. I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich - M.: Mnemosyne, 2013.
  3. Matematică. clasa a VI-a: manual pentru instituţiile de învăţământ general/G.V. Dorofeev, I.F. Sharygin, S.B. Suvorov și alții/editat de G.V. Dorofeeva, I.F. Sharygina; Academia Rusă de Științe, Academia Rusă de Educație. M.: „Iluminismul”, 2010.
  4. Matematică. Clasa a VI-a: studiu pentru instituții de învățământ general/N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhohov, A.S. Cesnokov, S.I. Schwartzburd. – M.: Mnemosyne, 2013.
  5. Matematică. Clasa a VI-a: manual/G.K. Muravin, O.V. Muravina. – M.: Dropia, 2014.

Imagini folosite:

Menținerea confidențialității dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să examinați practicile noastre de confidențialitate și să ne comunicați dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

  • Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa dvs e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

  • Colectat de noi Informații personale ne permite să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
  • Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și comunicări importante.
  • De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
  • Dacă participați la o tragere la sorți, la un concurs sau la o promoție similară, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea informațiilor către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

  • Dacă este necesar - în conformitate cu legea, procedura judiciară, procedurile judiciare și/sau în baza cererilor sau solicitărilor publice din partea agentii guvernamentale pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluie informațiile tale personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de importanță publică.
  • În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, este posibil să transferăm informațiile personale pe care le colectăm terței părți succesoare aplicabile.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Respectarea vieții private la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri standarde de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.