Ce ecuație se numește ecuația acestei drepte? Da un exemplu. Ecuație Vezi ce înseamnă „Ecuație” în alte dicționare


Dacă se specifică o regulă conform căreia un anumit număr u este asociat fiecărui punct M al planului (sau o anumită parte a planului), atunci se spune că în plan (sau pe o parte a planului) „o funcție punct este dat"; specificarea funcției este exprimată simbolic printr-o egalitate de forma u=f(M). Numărul u asociat cu punctul M se numește valoarea acestei funcție în punctul M. De exemplu, dacă A este un punct fix pe plan, M este un punct arbitrar, atunci distanța de la A la M este o funcție a punctului M . În acest caz, f(m)=AM .

Să fie dată o funcție u=f(M) și, în același timp, să fie introdus un sistem de coordonate. Atunci un punct arbitrar M este determinat de coordonatele x, y. În consecință, valoarea acestei funcții în punctul M este determinată de coordonatele x, y sau, după cum se spune, u=f(M) este funcția a două variabile x și y. O funcție a două variabile x și y se notează cu simbolul f(x; y): dacă f(M)=f(x;y), atunci formula u=f(x; y) se numește expresia acestei funcţionează în sistemul de coordonate ales. Deci, în exemplul anterior f(M)=AM; dacă introducem un sistem de coordonate dreptunghiular cartezian cu originea în punctul A, obținem expresia pentru această funcție:

u=sqrt(x^2 + y^2)

PROBLEMA 3688 Dată o funcție f (x, y)=x^2–y^2–16.

Având în vedere funcția f (x, y)=x^2–y^2–16. Determinați expresia acestei funcții în noul sistem de coordonate dacă axele de coordonate sunt rotite cu un unghi de –45 de grade.

Ecuații de linii parametrice


Să notăm coordonatele unui anumit punct M cu literele x și y; Să considerăm două funcții ale argumentului t:

x=φ(t), y=ψ(t) (1)

Când t se schimbă, valorile x și y se vor schimba, în general, prin urmare, punctul M se va deplasa. Se numesc egalităţi (1). ecuații de linii parametrice, care este traiectoria punctului M; argumentul t se numește parametru. Dacă parametrul t poate fi exclus din egalitățile (1), atunci obținem ecuația traiectoriei punctului M sub forma

Descărcați din Depositfiles

GEOMETRIE ANALITĂ

Prelegerea nr 7. Tema 1 : drepte pe un plan și ecuațiile lor

1.1. Drepte și ecuațiile lor în sistemul de coordonate carteziene

În geometria analitică, liniile de pe un plan sunt considerate drept locul punctelor (g.m.t.) care au aceeași proprietate comună tuturor punctelor dreptei.

Definiţie. Ecuația liniilor
este o ecuație cu două variabileXŞi la, care este satisfăcut de coordonatele oricărui punct de pe linie și nu este satisfăcut de coordonatele oricărui alt punct care nu se află pe această dreaptă.

Este adevărat și contrariul, adică. orice ecuațiela

formă, în general vorbind, în carteziană

sistemul de coordonate (DSC) definește linia

ca g.m.t., ale cărui coordonate satisfac

această ecuație. DESPRE X

Nota 1. Nu fiecare ecuație a formei definește o linie. De exemplu, pentru ecuație
nu există puncte ale căror coordonate ar satisface această ecuație. Nu vom lua în considerare astfel de cazuri în continuare.Acesta este cazul așa-numitelor linii imaginare.

P exemplu 1.Scrieți o ecuație pentru un cerc cu razăR centrat într-un punct
.

Pentru orice punct minciunalaM

pe un cerc, prin definițieR

cercuri ca g.m.t., echidistante

din punct de vedere, obținem ecuațiaX

1.2. Ecuații parametrice ale liniilor

Există o altă modalitate de a defini o dreaptă pe un plan folosind ecuații numiteparametrice:

Exemplul 1. Linia este dată de ecuații parametrice

Este necesar să se obțină ecuația acestei linii în DSC.

Să excludem parametrult . Pentru a face acest lucru, să pătram ambele părți ale acestor ecuații și să adăugăm

Exemplul 2. Linia este dată de ecuații parametrice


O

Este necesar pentru a obține ecuația

această linie în DSK. —aa

Să facem același lucru, apoi obținem

— O

Nota 2. Trebuie remarcat faptul că parametrult în mecanică este timpul.

1.3. Ecuația unei drepte într-un sistem de coordonate polare

DSC nu este singura modalitate de a determina poziția unui punct și, prin urmare, de a specifica ecuația unei drepte. Pe un avion este adesea recomandabil să se folosească așa-numitul sistem de coordonate polare (PCS).

P CS va fi determinat dacă specificați un punct O – stâlp și grindă OR emanând din acest punct, care se numește axa polară. Atunci poziția oricărui punct este determinată de două numere: raza polară
și unghiul polar – unghi între

axa polară și raza polară.

Direcție de referință pozitivă

unghi polar față de axa polară

numărat în sens invers acelor de ceasornic.

Pentru toate punctele avionului
, O R

iar pentru neechivocitatea unghiului polar se consideră
.

Dacă începutul DSC este combinat cu

pol și axa O X trimite prin

axa polară, este ușor de verificatla

în legătură între polar şi

coordonate carteziene:


DESPRE X R

Spate,

(1)

Dacă ecuația unei linii în DSC are forma , atunci în PSK - Atunci din această ecuație putem obține o ecuație sub forma

Exemplul 3. Scrieți o ecuație pentru un cerc în UCS dacă centrul cercului este la pol.

Folosind formulele de tranziție (1) de la DSC la PSC, obținem

P exemplu 4.Scrieți ecuația unui cerc,

dacă polul este pe cerc și pe axa polarăla

trece prin diametru.

Să facem la fel

O 2 R X

R

Această ecuație poate fi obținută și

din concepte geometrice (vezi figura).

P exemplu 5.Trasează o linie

Să trecem la PSK. Ecuaţie

va lua forma
DESPRE

Să construim un grafic cu liniiO

ținând cont de simetria acesteia și ODZ

Caracteristici:

Această linie se numeștelemniscata lui Bernoulli.

1.4. Transformarea sistemului de coordonate.

Ecuația unei drepte în noul sistem de coordonate

1. Transferul paralel al DSC.la

Luați în considerare două DSC-uri care auM

aceeași direcție a axelor, dar

origini diferite.

În sistemul de coordonate DESPRE xy punct

raportat la sistem
DESPRE X

are coordonate
. Apoi avem

Şi

În formă de coordonate, egalitatea vectorială rezultată are forma

sau
. (2)

Formulele (2) sunt formule pentru trecerea de la „vechiul” sistem de coordonate DESPRE xyla „noul” sistem de coordonate și invers.

Exemplul 5. Obține ecuația unui cerc efectuând o translație paralelă a sistemului de coordonatespre centrul cercului.

ŞI formulele (2) implică
la DESPRE

Rezolvarea ecuației

Ilustrarea unei metode grafice pentru găsirea rădăcinilor unei ecuații

Rezolvarea unei ecuații este sarcina de a găsi astfel de valori ale argumentelor la care se realizează această egalitate. Condiții suplimentare (întreg, real etc.) pot fi impuse valorilor posibile ale argumentelor.

Înlocuirea unei alte rădăcini produce o declarație incorectă:

.

Astfel, a doua rădăcină trebuie aruncată ca străină.

Tipuri de ecuații

Există ecuații algebrice, parametrice, transcendentale, funcționale, diferențiale și alte tipuri de ecuații.

Unele clase de ecuații au soluții analitice, care sunt convenabile deoarece nu numai că dau valoarea exactă a rădăcinii, dar vă permit și să scrieți soluția sub forma unei formule, care poate include parametri. Expresiile analitice permit nu numai să se calculeze rădăcinile, ci și să se analizeze existența și cantitatea lor în funcție de valorile parametrilor, ceea ce este adesea chiar mai important pentru utilizare practică decât valorile specifice ale rădăcinilor.

Ecuațiile pentru care sunt cunoscute soluții analitice includ ecuații algebrice nu mai mari de gradul al patrulea: ecuația liniară, ecuația pătratică, ecuația cubică și ecuația de gradul patru. Ecuațiile algebrice de grade superioare în cazul general nu au o soluție analitică, deși unele dintre ele pot fi reduse la ecuații de grade inferioare.

O ecuație care include funcții transcendentale se numește transcendentală. Dintre acestea, soluțiile analitice sunt cunoscute pentru unele ecuații trigonometrice, deoarece zerourile funcțiilor trigonometrice sunt bine cunoscute.

În cazul general, când nu se poate găsi o soluție analitică, se folosesc metode numerice. Metodele numerice nu oferă o soluție exactă, ci permit doar să restrângă intervalul în care se află rădăcina la o anumită valoare predeterminată.

Exemple de ecuații

Vezi de asemenea

Literatură

  • Bekarevich, A. B. Ecuații într-un curs de matematică școlar / A. B. Bekarevich. - M., 1968.
  • Markushevich, L. A. Ecuații și inegalități în repetarea finală a unui curs de algebră de liceu / L. A. Markushevich, R. S. Cherkasov. / Matematica la scoala. - 2004. - Nr. 1.
  • Kaplan Y. V. Rivnyannya. - Kiev: Şcoala Radyanska, 1968.
  • Ecuaţie- articol din Marea Enciclopedie Sovietică
  • Ecuații// Enciclopedia lui Collier. - Societate deschisă. 2000.
  • Ecuaţie// Enciclopedie în jurul lumii
  • Ecuaţie// Enciclopedie matematică. - M.: Enciclopedia Sovietică. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Legături

  • EqWorld - World of Mathematical Equations - conține informații extinse despre ecuații matematice și sisteme de ecuații.

Fundația Wikimedia.

2010.:

Sinonime:

  • Antonime
  • Khadzhimba, Raul Dzhumkovich

ES COMPUTER

    Vedeți ce este „Ecuația” în alte dicționare: ECUAŢIE - (1) o reprezentare matematică a problemei găsirii unor astfel de valori ale argumentelor (a se vedea (2)), pentru care valorile a două date (a se vedea) sunt egale. Argumentele de care depind aceste funcții se numesc necunoscute, iar valorile necunoscutelor la care valorile... ...

    Vedeți ce este „Ecuația” în alte dicționare: Marea Enciclopedie Politehnică - ECUAȚIE, ecuații, cf. 1. Acțiune conform cap. egalizare egalizare și condiție conform cap. egalize egalize. Drepturi egale. Ecuația timpului (traducerea timpului solar adevărat în timpul solar mediu, acceptată în societate și în știință;... ...

    Vedeți ce este „Ecuația” în alte dicționare: Dicționarul explicativ al lui Ușakov - (ecuație) Cerința ca o expresie matematică să ia o anumită valoare. De exemplu, o ecuație pătratică se scrie ca: ax2+bx+c=0. Soluția este valoarea lui x la care ecuația dată devine o identitate. ÎN… …

    Vedeți ce este „Ecuația” în alte dicționare: Dicționar economic - o reprezentare matematică a problemei găsirii valorilor argumentelor pentru care valorile a două funcții date sunt egale. Argumentele de care depind aceste funcții se numesc necunoscute, iar valorile necunoscutelor pentru care valorile funcției sunt egale... ...

    Vedeți ce este „Ecuația” în alte dicționare: Dicţionar enciclopedic mare - ECUAȚIE, două expresii legate printr-un semn egal; aceste expresii implică una sau mai multe variabile numite necunoscute. A rezolva o ecuație înseamnă a găsi toate valorile necunoscutelor la care aceasta devine o identitate sau a stabili...

O linie pe un plan este o colecție de puncte de pe acest plan care au anumite proprietăți, în timp ce punctele care nu se află pe o dreaptă dată nu au aceste proprietăți. Ecuația unei linii definește o relație exprimată analitic între coordonatele punctelor aflate pe această dreaptă. Fie ca aceasta relatie sa fie data de ecuatie

F( x,y)=0. (2.1)

O pereche de numere care satisface (2.1) nu este arbitrară: dacă X dat, atunci la nu poate fi nimic, adică la asociat cu X. La schimbare X schimbari la, și un punct cu coordonate ( x,y) descrie această linie. Dacă coordonatele punctului M 0 ( X 0 ,la 0) satisface ecuația (2.1), i.e. F( X 0 ,la 0)=0 este o egalitate adevărată, atunci punctul M 0 se află pe această dreaptă. Este adevărat și invers.

Definiţie. O ecuație a unei drepte pe un plan este o ecuație care este îndeplinită de coordonatele oricărui punct situat pe această dreaptă și nu este satisfăcută de coordonatele punctelor care nu se află pe această dreaptă.

Dacă se cunoaște ecuația unei anumite linii, atunci studiul proprietăților geometrice ale acestei linii poate fi redus la studiul ecuației sale - aceasta este una dintre ideile principale ale geometriei analitice. Pentru a studia ecuațiile, există metode bine dezvoltate de analiză matematică care simplifică studiul proprietăților dreptelor.

Când luăm în considerare liniile, se folosește termenul punctul curent linie – punct variabil M( x,y), deplasându-se pe această linie. Coordonatele XŞi la sunt numite punctul curent coordonatele curente puncte de linie.

Dacă din ecuația (2.1) putem exprima explicit la
prin X, adică scrieți ecuația (2.1) sub forma , apoi curba definită de o astfel de ecuație se numește programa funcții f(x).

1. Ecuația este dată: , sau . Dacă X ia valori arbitrare, atunci la ia valori egale cu X. În consecință, linia definită de această ecuație constă din puncte echidistante de axele de coordonate Ox și Oy - aceasta este bisectoarea unghiurilor de coordonate I–III (linia dreaptă în Fig. 2.1).

Ecuația sau determină bisectoarea unghiurilor de coordonate II–IV (dreaptă în Fig. 2.1).

0 x 0 x C 0 x

orez. 2.1 fig. 2.2 fig. 2.3

2. Ecuația este dată: , unde C este o constantă. Această ecuație poate fi scrisă diferit: . Această ecuație este satisfăcută de acele și numai acele puncte, ordonate la care sunt egale cu C pentru orice valoare de abscisă X. Aceste puncte se află pe o linie dreaptă paralelă cu axa Ox (Fig. 2.2). În mod similar, ecuația definește o linie dreaptă paralelă cu axa Oy (Fig. 2.3).

Nu orice ecuație de forma F( x,y)=0 definește o dreaptă pe plan: ecuația este satisfăcută de un singur punct – O(0,0), iar ecuația nu este satisfăcută de niciun punct din plan.

În exemplele date, am folosit o ecuație dată pentru a construi o linie determinată de această ecuație. Să luăm în considerare problema inversă: construiește-i ecuația folosind o dreaptă dată.


3. Creați o ecuație pentru un cerc cu centrul în punctul P( a,b) Și
raza R .

○ Un cerc cu centrul în punctul P și raza R este o mulțime de puncte situate la distanța R de punctul P. Aceasta înseamnă că pentru orice punct M situat pe cerc, MP = R, dar dacă punctul M nu se află pe cercul, apoi MP ≠ R.. ●

1. Care afirmație se numește corolar? Demonstrați că o dreaptă care intersectează una dintre două drepte paralele o intersectează și pe cealaltă 2. Demonstrați că

Dacă două drepte sunt paralele cu o a treia dreaptă, atunci sunt paralele.3. Ce teoremă se numește inversul acestei teoreme. Dați exemple de teoreme inverse cu aceste date două drepte paralele, atunci este și perpendiculară pe alta.6.Demonstrați că atunci când două drepte paralele se intersectează cu o transversală: a) unghiurile corespunzătoare sunt egale; b) suma unghiurilor unilaterale este de 180°.

Vă rog să mă ajutați cu întrebări despre geometrie (clasa 9)!

2) Ce înseamnă descompunerea unui vector în două

la aceşti vectori.


9) Care este raza vectorului unui punct Demonstrați că coordonatele punctului sunt egale cu coordonatele corespunzătoare ale vectorilor? 10) Deduceți formule pentru calcularea coordonatelor unui vector din coordonatele începutului și sfârșitului acestuia. 11) Deduceți formule pentru calcularea coordonatelor unui vector din coordonatele capetelor acestuia. 12) Deduceți o formulă pentru calcularea lungimii unui vector din coordonatele sale. 13) Deduceți o formulă pentru calcularea distanței dintre două puncte pe baza coordonatele lor.
15) Ce ecuație se numește ecuația acestei drepte Dați un exemplu. 16) Deduceți ecuația unui cerc de o rază dată cu un centru într-un punct dat.
1) Prezentați și demonstrați lema despre vectorii coliniari.
3)Formulați și demonstrați o teoremă despre descompunerea unui vector în doi vectori necoliniari.
4) Explicați cum este introdus un sistem de coordonate dreptunghiulare.
5) Ce sunt vectorii de coordonate?
6)Formulați și demonstrați o afirmație despre descompunerea unui vector arbitrar în vectori de coordonate.
11) Deduceți formule pentru calcularea coordonatelor unui vector din coordonatele capetelor acestuia.
12) Deduceți o formulă pentru calcularea lungimii unui vector din coordonatele sale.
13) Deduceți o formulă pentru calcularea distanței dintre două puncte pe baza coordonatele lor.
14) Dați un exemplu de rezolvare a unei probleme geometrice folosind metoda coordonatelor.
16) Deduceți ecuația unui cerc de o rază dată cu un centru într-un punct dat.
17) Scrieți ecuația unui cerc de rază dată cu centrul la origine.
18) Deduceți ecuația acestei drepte într-un sistem de coordonate dreptunghiular.
19) Scrieți ecuația dreptelor care trec printr-un punct dat M0 (X0: Y0) și paralele cu axele de coordonate.
20) Scrieți ecuația axelor de coordonate.
21) Dați exemple de utilizare a ecuațiilor unui cerc și unei drepte la rezolvarea problemelor geometrice.

Te rog, chiar am nevoie de el! De preferat cu desene (unde este cazul)!

GEOMETRIE CLASA A IX-A.

1) Prezentați și demonstrați lema despre vectorii coliniari.
2) Ce înseamnă descompunerea unui vector în doi vectori dați.
3)Formulați și demonstrați o teoremă despre descompunerea unui vector în doi vectori necoliniari.
4) Explicați cum este introdus un sistem de coordonate dreptunghiulare.
5) Ce sunt vectorii de coordonate?
6)Formulați și demonstrați o afirmație despre descompunerea unui vector arbitrar în vectori de coordonate.
7) Ce sunt coordonatele vectoriale?
8) Formulați și demonstrați regulile de aflare a coordonatelor sumei și diferenței vectorilor, precum și a produsului dintre un vector și un număr la coordonatele vectoriale date.
9) Care este vectorul rază al unui punct? Demonstrați că coordonatele unui punct sunt egale cu coordonatele corespunzătoare ale vectorilor.
14) Dați un exemplu de rezolvare a unei probleme geometrice folosind metoda coordonatelor.
15) Ce ecuație se numește ecuația acestei drepte? Da un exemplu.
17) Scrieți ecuația unui cerc de rază dată cu centrul la origine.
18) Deduceți ecuația acestei drepte într-un sistem de coordonate dreptunghiular.
19) Scrieți ecuația dreptelor care trec printr-un punct dat M0 (X0: Y0) și paralele cu axele de coordonate.
20) Scrieți ecuația axelor de coordonate.
21) Dați exemple de utilizare a ecuațiilor unui cerc și unei drepte la rezolvarea problemelor geometrice.