Procesul de rezolvare a integralelor în știința numită matematică se numește integrare. Folosind integrarea, puteți găsi câteva mărimi fizice: aria, volumul, masa corpurilor și multe altele.

Integralele pot fi nedefinite sau definite. Să luăm în considerare forma integralei definite și să încercăm să înțelegem sensul său fizic. Se reprezintă sub această formă: $$ \int ^a _b f(x) dx $$. O caracteristică distinctivă a scrierii unei integrale definite dintr-o integrală nedefinită este că există limite ale integrării a și b. Acum vom afla de ce sunt necesare ele și ce înseamnă de fapt o integrală definită. Într-un sens geometric, o astfel de integrală este egală cu aria figurii delimitată de curba f(x), liniile a și b și axa Ox.

Din Fig. 1 este clar că integrala definită este aceeași zonă care este umbrită în gri. Să verificăm acest lucru cu un exemplu simplu. Să găsim aria figurii din imaginea de mai jos folosind integrare, apoi să o calculăm în modul obișnuit de înmulțire a lungimii cu lățimea.

Din fig. 2 este clar că $ y=f(x)=3 $, $ a=1, b=2 $. Acum le substituim în definiția integralei, obținem că $$ S=\int _a ^b f(x) dx = \int _1 ^2 3 dx = $$ $$ =(3x) \Big|_1 ^2 =(3 \ cdot 2)-(3 \cdot 1)=$$ $$=6-3=3 \text(units)^2 $$ Să facem verificarea în modul obișnuit. În cazul nostru, lungimea = 3, lățimea figurii = 1. $$ S = \text(lungime) \cdot \text(width) = 3 \cdot 1 = 3 \text(units)^2 $$ După cum puteți vezi, totul se potrivește perfect.

Apare întrebarea: cum se rezolvă integrale nedefinite și care este semnificația lor? Rezolvarea unor astfel de integrale înseamnă găsirea de funcții antiderivate. Acest proces este opusul găsirii derivatei. Pentru a găsi antiderivată, puteți folosi ajutorul nostru în rezolvarea problemelor de matematică sau trebuie să memorați în mod independent proprietățile integralelor și tabelul de integrare a celor mai simple funcții elementare. Găsirea lui arată astfel $$ \int f(x) dx = F(x) + C \text(unde) F(x) $ este antiderivată a lui $ f(x), C = const $.

Pentru a rezolva integrala, trebuie să integrați funcția $ f(x) $ peste o variabilă. Dacă funcția este tabelară, atunci răspunsul este scris în forma corespunzătoare. Dacă nu, atunci procesul se reduce la obținerea unei funcții tabulare din funcția $ f(x) $ prin transformări matematice complicate. Există diferite metode și proprietăți pentru aceasta, pe care le vom lua în considerare în continuare.

Deci, acum să creăm un algoritm pentru rezolvarea integralelor pentru manechine?

Algoritm pentru calcularea integralelor

1. Să aflăm integrala definită sau nu.
2. Dacă nu este definită, atunci trebuie să găsiți funcția antiderivată $ F(x) $ a integrandului $ f(x) $ folosind transformări matematice care conduc la o formă tabelară a funcției $ f(x) $.
3. Dacă este definit, atunci trebuie să efectuați pasul 2 și apoi să înlocuiți limitele $ a $ și $ b $ în funcția antiderivată $ F(x) $. Veți afla ce formulă să utilizați pentru a face acest lucru în articolul „Formula Newton-Leibniz”.

Exemple de soluții

Deci, ați învățat cum să rezolvați integrale pentru manechine, exemple de rezolvare a integralelor au fost sortate. Am învățat semnificația lor fizică și geometrică. Metodele de rezolvare vor fi descrise în alte articole.

Pentru ce sunt integralele? Încercați să răspundeți singur la această întrebare.

Atunci când explică subiectul integralelor, profesorii enumeră domenii de aplicare care sunt de puțin folos minții școlii. Printre acestea:

• calcularea ariei unei figuri.
• Calculul masei corporale cu densitate neuniformă.
• determinarea distantei parcurse la deplasarea cu viteza variabila.
• etc.

Nu este întotdeauna posibilă conectarea tuturor acestor procese, așa că mulți studenți devin confuzi, chiar dacă au toate cunoștințele de bază pentru a înțelege integrala.

Principalul motiv al ignoranței– lipsa de înțelegere a semnificației practice a integralelor.

Integral - ce este?

Cerințe preliminare. Nevoia de integrare a apărut în Grecia Antică. În acel moment, Arhimede a început să folosească metode care erau în esență similare cu calculul integral modern pentru a găsi aria unui cerc. Principala abordare pentru determinarea zonei figurilor inegale a fost atunci „Metoda de epuizare”, care este destul de ușor de înțeles.

Esența metodei. În această figură se încadrează o succesiune monotonă de alte figuri și apoi se calculează limita secvenței ariilor lor. Această limită a fost luată ca zonă a acestei cifre.

Această metodă urmărește cu ușurință ideea de calcul integral, care este de a găsi limita unei sume infinite. Această idee a fost folosită ulterior de oamenii de știință pentru a o rezolva probleme aplicate astronautică, economie, mecanică etc.

Integrală modernă. Teoria clasică a integrării a fost formulată în formă generală de Newton și Leibniz. S-a bazat pe legile existente atunci ale calculului diferenţial. Pentru a-l înțelege, trebuie să aveți niște cunoștințe de bază care vă vor ajuta să utilizați limbajul matematic pentru a descrie idei vizuale și intuitive despre integrale.

Explicăm conceptul de „integral”

Procesul de găsire a derivatei se numește diferenţiereși găsirea antiderivatei – integrare.

Integral limbaj matematic– aceasta este antiderivată a funcției (ce era înainte de derivată) + constantă „C”.

Integral în cuvinte simple este aria unei figuri curbilinii. Integrala nedefinită este întreaga zonă. Integrala definită este aria dintr-o zonă dată.

Integrala se scrie astfel:

Fiecare integrand este înmulțit cu componenta „dx”. Arată peste ce variabilă se realizează integrarea. „dx” este incrementul argumentului. În loc de X poate exista orice alt argument, de exemplu t (timp).

Integrală nedefinită

O integrală nedefinită nu are limite de integrare.

Pentru a rezolva integrale nedefinite, este suficient să găsiți antiderivata integrandului și să îi adăugați „C”.

Integrală definită

Într-o integrală definită, restricțiile „a” și „b” sunt scrise pe semnul de integrare. Acestea sunt indicate pe axa X în graficul de mai jos.

Pentru a calcula o integrală definită, trebuie să găsiți antiderivată, să înlocuiți valorile „a” și „b” în ea și să găsiți diferența. În matematică aceasta se numește formula Newton-Leibniz:

Tabel de integrale pentru elevi (formule de bază)

Descărcați formulele integrale, vă vor fi utile

Cum se calculează corect integrala

Există mai multe operații simple pentru transformarea integralelor. Iată pe cele principale:

Eliminarea unei constante de sub semnul integral

Descompunerea integralei unei sume în suma integralelor

Dacă schimbați a și b, semnul se va schimba

Puteți împărți integrala în intervale după cum urmează

Acestea sunt cele mai simple proprietăți, pe baza cărora vor fi formulate ulterior teoreme și metode de calcul mai complexe.

Exemple de calcule integrale

Rezolvarea integralei nedefinite

Rezolvarea integralei definite

Concepte de bază pentru înțelegerea subiectului

Pentru a înțelege esența integrării și a nu închide pagina de neînțelegeri, vă vom explica o serie de concepte de bază. Ce este o funcție, derivată, limită și antiderivată.

Funcţie– o regulă conform căreia toate elementele dintr-o mulțime sunt corelate cu toate elementele din alta.

Derivat– o funcție care descrie rata de schimbare a unei alte funcții în fiecare punct specific. În limbaj strict, aceasta este limita raportului dintre incrementul unei funcții și incrementul argumentului. Este calculat manual, dar este mai ușor să utilizați un tabel derivat, care conține majoritatea funcțiilor standard.

Creştere– o modificare cantitativă a funcției cu o anumită modificare a argumentului.

Limită– valoarea la care tinde valoarea funcției când argumentul tinde către o anumită valoare.

Un exemplu de limită: să spunem dacă X este egal cu 1, Y va fi egal cu 2. Dar dacă X nu este egal cu 1, dar tinde spre 1, adică nu ajunge niciodată la el? În acest caz, y nu va ajunge niciodată la 2, ci va tinde doar către această valoare. În limbajul matematic aceasta se scrie astfel: limY(X), ca X –> 1 = 2. Se citește: limita funcției Y(X), întrucât x tinde spre 1, este egală cu 2.

După cum sa menționat deja, o derivată este o funcție care descrie o altă funcție. Funcția originală poate fi o derivată a unei alte funcții. Această altă funcție este numită antiderivat.

Concluzie

Găsirea integralelor nu este dificilă. Dacă nu înțelegi cum să faci asta, . A doua oară devine mai clar. Ține minte! Rezolvarea integralelor se reduce la simple transformări ale integrandului și căutarea lui în .

Dacă explicația textului nu vă convine, urmăriți videoclipul despre semnificația integrală și derivată:

Integrale - ce sunt, cum se rezolvă, exemple de soluții și explicații pentru manechine actualizat: 22 noiembrie 2019 de: Articole stiintifice.Ru

>> >> >> Metode de integrare

Metode de integrare de bază

Definiția integrală, definită și nedefinită, tabel de integrale, formula Newton-Leibniz, integrare pe părți, exemple de calcul a integralelor.

Integrală nedefinită

Fie u = f(x) și v = g(x) funcții care au continuu . Apoi, conform lucrării,

d(uv))= udv + vdu sau udv = d(uv) - vdu.

Pentru expresia d(uv), antiderivatul va fi evident uv, deci formula este valabilă:

∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)

Această formulă exprimă regula integrare pe părți. Conduce integrarea expresiei udv=uv"dx la integrarea expresiei vdu=vu"dx.

De exemplu, doriți să găsiți ∫xcosx dx. Să punem u = x, dv = cosxdx, deci du=dx, v=sinx. Apoi

∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.

Regula integrării pe părți are un domeniu de aplicare mai limitat decât înlocuirea variabilelor. Dar există clase întregi de integrale, de exemplu, ∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax și altele, care sunt calculate precis folosind integrarea pe părți.

Integrală definită

Metode de integrare, conceptul de integrală definită este introdus după cum urmează. Fie definită o funcție f(x) pe un interval. Să împărțim segmentul [a,b] în n părți cu puncte a= x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ x i =x i - x i-1. O sumă de forma f(ξ i)Δ x i se numește sumă integrală, iar limita ei la λ = maxΔx i → 0, dacă există și este finită, se numește integrală definită funcțiile f(x) de la a la b și se notează:

F(ξ i)Δx i (8.5).

Funcția f(x) în acest caz este numită integrabil pe interval, se numesc numerele a și b limitele inferioare și superioare ale integralei.

Metode de integrare au urmatoarele proprietati:

Ultima proprietate este numită teorema valorii medii.

Fie f(x) continuă pe . Apoi pe acest segment există o integrală nedefinită

∫f(x)dx = F(x) + C

si are loc formula Newton-Leibniz, legând integrala definită cu integrala nedefinită:

F(b) - F(a). (8,6)

Interpretare geometrică: reprezintă aria unui trapez curbiliniu mărginit de sus de curba y=f(x), drepte x = a și x = b și un segment al axei Ox.

Integrale improprii

Integralele cu limite infinite și integralele funcțiilor discontinue (nemărginite) sunt numite improprie. Integrale improprii de primul fel - Acestea sunt integrale pe un interval infinit, definite după cum urmează:

(8.7)

Dacă această limită există și este finită, atunci se numește integrală improprie convergentă a lui f(x) pe intervalul [a,+ ∞), iar funcția f(x) se numește integrabilă pe intervalul infinit [a,+ ∞ ). În caz contrar, se spune că integrala nu există sau că diverge.

Integrale improprii pe intervalele (-∞,b] și (-∞, + ∞) sunt definite în mod similar:

Să definim conceptul de integrală a unei funcții nemărginite. Dacă f(x) este continuă pentru toate valorile x ale segmentului, cu excepția punctului c, la care f(x) are o discontinuitate infinită, atunci integrala improprie a celui de-al doilea fel de f(x) variind de la a la b suma se numeste:

dacă aceste limite există și sunt finite. Desemnare:

Exemple de calcule integrale

Exemplul 3.30. Calculați ∫dx/(x+2).

Soluţie. Să notăm t = x+2, atunci dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln|x+2| +C.

Exemplul 3.31. Găsiți ∫ tgxdx.

Rezolvare: ∫ tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx. Fie t=cosx, atunci ∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| + C = -ln|cosx|+C.

Exemplu3.32 . Găsiți ∫dx/sinx

Exemplu3.33. Găsiți .

Soluţie. =

.

Exemplu3.34 . Găsiți ∫arctgxdx.

Soluţie. Să integrăm pe părți. Să notăm u=arctgx, dv=dx. Atunci du = dx/(x 2 +1), v=x, de unde ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; deoarece
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.

Exemplu3.35 . Calculați ∫lnxdx.

Soluţie. Aplicând formula de integrare prin părți, obținem:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. Atunci ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C= xlnx - x + C.

Exemplu3.36 . Calculați ∫e x sinxdx.

Soluţie. Să aplicăm formula de integrare prin părți. Să notăm u = e x, dv = sinxdx, apoi du = e x dx, v =∫ sinxdx= - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx.
∫e x cosxdx se integrează și pe părți: u = e x , dv = cosxdx, du=e x dx, v=sinx. Avem:

Exemplu 3.37. ∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. Am obținut relația ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx, din care 2∫e x sinx dx = - e x cosx + e x sinx + C.

Calculați J = ∫cos(lnx)dx/x.

Exemplu 3.38 Rezolvare: Deoarece dx/x = dlnx, atunci J= ∫cos(lnx)d(lnx). Înlocuind lnx prin t, ajungem la integrala tabelului J = ∫ costdt = sint + C = sin(lnx) + C.

. Calculați J = . .

Exemplu 3.39 Soluţie. Considerând că = d(lnx), înlocuim lnx = t. Atunci J = .

. Calculați J = Soluţie. Avem: =

. De aceea Acest calculator vă permite să rezolvați o integrală definită online. În esență calcul integral definit

este găsirea unui număr care este egal cu aria de sub graficul unei funcții. Pentru a rezolva, este necesar să se precizeze limitele integrării și funcția de integrat. După integrare, sistemul va găsi antiderivată pentru funcția dată, va calcula valorile acesteia în punctele de pe granițele integrării, va găsi diferența lor, care va fi soluția integralei definite. Pentru a rezolva o integrală nedefinită, trebuie să utilizați un calculator online similar, care se află pe site-ul nostru la linkul - Rezolvați o integrală nedefinită. Permitem calcula integrala definita online

Dacă definițiile din manual sunt prea complexe și neclare, citiți articolul nostru. Vom încerca să explicăm cât mai simplu posibil, „pe degete”, punctele principale ale unei astfel de ramuri a matematicii ca integrale definite. Cum se calculează integrala, citiți în acest manual.

Din punct de vedere geometric, integrala unei funcții este aria figurii formată din graficul unei anumite funcții și axa în limitele integrării. Notați integrala, analizați funcția sub integrală: dacă integrandul poate fi simplificat (redus, factorizat în semnul integral, împărțit în două integrale simple), procedați astfel.

Deschideți tabelul de integrale pentru a determina ce derivată a funcției se află sub integrală. Ati gasit raspunsul? Notați factorul adăugat la integrală (dacă aceasta a avut loc), notați funcția găsită din tabel și înlocuiți limitele integralei.

Pentru a calcula valoarea unei integrale, calculați valoarea acesteia la limita superioară și scădeți valoarea acesteia la limita inferioară. Diferența este valoarea dorită.

Pentru a vă testa sau cel puțin pentru a înțelege procesul de rezolvare a unei probleme integrale, este convenabil să utilizați serviciul online pentru găsirea integralelor, dar înainte de a începe rezolvarea, citiți regulile de introducere a funcțiilor. Cel mai mare avantaj al său este că întreaga soluție a problemei cu o integrală este descrisă aici pas cu pas.