Sarcina 1 #6713

Nivel de activitate: Egal cu examenul de stat unificat

\[\begin(cases) \sqrt((x+2)^2+y^2)+\sqrt(x^2+(y-a)^2)=\sqrt(4+a^2)\\ 5y= |6-a^2| \end(cazuri)\]

are o soluție unică.

(sarcină de la abonați)

Să considerăm a doua ecuație a sistemului: ea specifică o familie de drepte \(y=0.2|6-a^2|\) paralele cu axa \(Ox\) și situate în semiplanul superior (inclusiv axa \(Ox\)) pentru orice parametru de valoare \(a\) (deoarece modulul este întotdeauna nenegativ).

Să ne uităm la prima ecuație. Fie \(A(x;y)\) , \(B(-2;0)\) , \(C(0;a)\) să fie puncte. Apoi \(BA=\sqrt((x+2)^2+y^2)\) , \(AC=\sqrt(x^2+(y-a)^2)\) , \(BC=\sqrt( 4+a^2)\) .
Astfel, prima ecuație a sistemului arată astfel: \(BA+AC=BC\) . Aceasta înseamnă că specifică locul punctelor \(A\) situate pe segmentul \(BC\) .

Pentru ca acest sistem să aibă o soluție unică, dreapta \(y=0.2|6-a^2|\) trebuie să intersecteze segmentul \(BC\) într-un punct.

1) Fie \(a<0\) , то есть точка \(C\) лежит на отрицательной части оси \(Oy\) . Единственный случай, когда прямая \(y=0,2|6-a^2|\) будет иметь с отрезком одну общую точку, – когда прямая \(y=0,2|6-a^2|\) будет проходить через точку \(B\) , то есть совпадать с осью абсцисс. Отсюда \(0,2|6-a^2|=0\) , следовательно, \(a=\pm \sqrt6\) . Так как \(a<0\) , то \(a=-\sqrt6\) .

2) Fie \(a=0\) . Atunci segmentul \(BC\) se află pe axa x, linia dreaptă \(y=0.2|6-a^2|\) se află în semiplanul superior și nu au puncte comune.

3) Fie \(a>0\) . Atunci \(C\) se află pe direcția pozitivă a ordonatei.

Linia dreaptă \(y=0.2|6-a^2|\) intersectează axa ordonatelor în punctul \(D\) . Pentru ca o dreaptă să intersecteze segmentul \(BC\), este necesar ca punctul \(C\) să nu fie mai jos decât punctul \(D\), adică \

Să rezolvăm această inegalitate. Deoarece \(a>0\), atunci avem: \[|6-a^2|\leqslant 5a\quad\Leftrightarrow\quad -5a\leqslant 6-a^2\leqslant 5a\quad\Leftrightarrow\quad 1\leqslant a\leqslant 6.\]

Răspuns:

\(a\in\(-\sqrt6\)\cup\)

Sarcina 2 #3978

Nivel de activitate: Egal cu examenul de stat unificat

Găsiți toate valorile parametrului \(a\) , pentru fiecare dintre care sistemul \[\begin(cases) y^2-(2a+1)y+a^2+a-2=0\\ \sqrt((x-a)^2+y^2)+\sqrt((x-a)^ 2+(y-3)^2)=3 \end(cazuri)\] are exact o solutie.

Să transformăm prima ecuație a sistemului. Rețineți că \(a^2+a-2=(a+2)(a-1)\) . De asemenea, rețineți că \(a+2+a-1=2a+1\) , prin urmare, conform teoremei lui Vieta, rădăcinile acestei ecuații vor fi \(y=a+2\) și \(y=a-1 \) . Aceasta înseamnă că graficul primei ecuații va fi două drepte \(y=a+2\) și \(y=a-1\) paralele cu axa absciselor.

Să transformăm a doua ecuație. Se consideră punctele \(A(a;0)\) , \(B(a;3)\) , \(C(x;y)\) . Apoi \(AB=\sqrt((a-a)^2+(0-3)^2)=3\), \(AC=\sqrt((x-a)^2+y^2)\) și \(CB=\sqrt((x-a)^2+(y-3)^2)\) . Prin urmare, a doua ecuație a sistemului poate fi rescrisă ca \(AC+CB=AB\) . Aceasta înseamnă că specifică setul de puncte \(C\) care se află pe segmentul \(AB\) . Rețineți că, deoarece punctele \(A\) și \(B\) au aceeași abscisă, segmentul \(AB\) este perpendicular pe axa absciselor.

Schematic, graficele ambelor ecuații arată astfel:

Pentru ca sistemul să aibă o soluție unică, graficul verde trebuie să intersecteze segmentul \(AB\) într-un punct. În consecință, fie linia \(y=a+2\) intersectează segmentul, dar linia \(y=a-1\) nu îl intersectează, fie invers: \[\left[\begin(gathered)\begin(aligned) &\begin(cases) 0\leqslant a+2\leqslant 3\\ a-1<0 \end{cases} \\ &\begin{cases} 0\leqslant a-1\leqslant 3\\ a+2>3\end(cazuri)\end(aliniat)\end(adunat)\dreapta.\quad\Leftrightarrow\quad a\in [-2;1)\cup(1;4]\]

Răspuns:

\([-2;1)\cup(1;4]\)

Sarcina 3 #3979

Nivel de activitate: Egal cu examenul de stat unificat

Găsi cea mai mică valoare parametrul \(a\) pentru care ecuația \[\sqrt((x+8)^2+(x+2)^2)+\sqrt((x+14)^2+(x+3)^2)=13a\] are cel puțin o rădăcină.

1 cale.

Să luăm în considerare \(f(x)=\sqrt((x+8)^2+(x+2)^2)+\sqrt((x+14)^2+(x+3)^2)\).
Atunci ecuația va lua forma \(f(x)=13a\) . Apoi trebuie să găsim cea mai mică valoare a lui \(a\) la care dreapta \(y=13a\) va intersecta graficul \(y=f(x)\) cel puțin într-un punct. Să explorăm \(f(x)\) . Pentru a face acest lucru, găsim mai întâi derivata sa: \[\begin(aligned) &f"(x)=\dfrac(2(x+8)+2(x+2))(2\sqrt((x+8)^2+(x+2)^2 ))+ \dfrac(2(x+14)+2(x+3))(2\sqrt((x+14)^2+(x+3)^2))=\\ &=\dfrac( 2x+10)(\sqrt((x+8)^2+(x+2)^2))+ \dfrac(2x+17)(\sqrt((x+14)^2+(x+3) ^2))\end(aliniat)\] Să găsim zerourile derivatei: \[\begin(aligned) &\dfrac(2x+10)(\sqrt((x+8)^2+(x+2)^2))+ \dfrac(2x+17)(\sqrt((x +14)^2+(x+3)^2))=0 \quad\Leftrightarrow\\ &\sqrt(\dfrac((x+14)^2+(x+3)^2)((x+ 8) )^2+(x+2)^2))=-\dfrac(2x+17)(2x+10) \quad\Leftrightarrow\\ &\begin(cases) \dfrac((x+14)^2 + (x+3)^2)((x+8)^2+(x+2)^2)=\left(\dfrac(2x+17)(2x+10)\right)^2 \qquad ( * )\\ \dfrac(2x+17)(2x+10)\leqslant 0\end(cases) \quad\Leftrightarrow\\ &\begin(cases) 85x^2+598x+424=0\\ x\in \ stânga[-8,5; -5\right) \end(cases) \quad\Leftrightarrow\\ & x=-\dfrac(106)(17) \end(aligned)\]

Să determinăm semnele derivatei:

Prin urmare, un grafic schematic al funcției arată astfel:

În consecință, valoarea minimă a parametrului \(a\) este atunci când dreapta \(y=13a\) trece prin punctul extremum al funcției \(f(x)\) : \

Metoda 2.

Rețineți că în prima metodă au fost o mulțime de calcule și de fapt am fost norocoși că la rezolvarea ecuației \((*)\) termenii cu \(x^4\) și \(x^3\) s-au anulat, si am ajuns To ecuație pătratică. Dar dacă numerele nu sunt alese atât de bine și nu ajungem la o ecuație „frumoasă” pe care o putem rezolva?
Să ne uităm la a doua modalitate de a rezolva astfel de ecuații.

Luați în considerare trei puncte: \(A(x;x)\) , \(B(-8, -2)\) , \(C(-14, -3)\) . Atunci ecuația va lua forma \ Dacă trebuie să găsim cea mai mică valoare a parametrului \(a\) la care ecuația are cel puțin o soluție, atunci trebuie să găsim punctul \(A\) în care suma dintre lungimile segmentelor \(AB\) și \ (AC\) va fi cea mai mică.
Unde este situat punctul \(A\)? Acest punct „se desfășoară” de-a lungul liniei drepte \(y=x\) . Grafic arata asa:

Aici vom folosi ideea clasică de planimetrie. Să reflectăm punctul \(B\) simetric față de dreapta \(y=x\) (adică desenăm \(BB"\perp y=x\) , unde \(BH=HB"\) :

Apoi \(AB+AC=AB"+AC\). Rețineți că, conform regulii triunghiului, dacă punctul \(A\) nu se află pe segmentul \(B"C\), atunci \(AB"+ AC>B" C\) . Prin urmare, cea mai mică sumă de lungimi \(AB"+AC\) va fi atinsă când \(A\in B"C\) .

Astfel, am înțeles ideologic unde ar trebui să fie punctul \(A\). Acum nu mai rămâne decât să-i găsim coordonatele.

1) Aflați coordonatele punctului \(B"\) .
Pentru a face acest lucru, găsim mai întâi ecuația dreptei \(BB"\). Deoarece \(BB"\perp y=x\), atunci dacă ecuația dreptei \(BB"\) are forma \(y=kx+b\) , atunci \(k\cdot 1=-1\) (produsul coeficienților unghiulari a două drepte reciproc perpendiculare este egal cu \(-1\) Prin urmare, \(y=- x+b\) .
Pentru a găsi numărul \(b\), trebuie să înlocuiți coordonatele punctului \(B\) în ecuația dreptei: \[-2=-1\cdot (-8)+b\quad\Leftrightarrow\quad b=-10\] Prin urmare, ecuația dreptei are forma \(y=-x-10\) .
Să găsim coordonatele punctului \(H\) - acesta este punctul de intersecție al dreptelor \(y=x\) și \(y=-x-10\) : \[\begin(cases) y=x\\ y=-x-10\end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad x=y=-5\quad\Rightarrow\quad H(-5,-5)\ ]\(H\) este mijlocul segmentului \(BB"\). Aceasta înseamnă că dacă coordonatele punctului \(B"\) sunt egale cu \((x_0;y_0)\), atunci \[\begin(cases) -5=\dfrac(-8+x_0)2\\ -5=\dfrac(-2+y_0)2\end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) x_0 =-2\\ y_0=-8\end(cases)\] Astfel, \(B"(-2;-8)\) .

2) Aflați ecuația dreptei \(B"C\). Dacă ecuația acestei drepte este în vedere generală arată ca \(y=mx+n\) , atunci \[\begin(cases) -8=-2m+n\\ -3=-14m+n\end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) m=-\dfrac5(12)\\ n =-\dfrac(53)6\end(cases)\] Prin urmare, \(y=-\frac5(12)x-\frac(53)6\) . Acum puteți găsi coordonatele punctului \(A\) - acesta este punctul de intersecție al liniilor \(y=x\) și \(B"C\): \[\begin(cases) y=x\\ y=-\frac5(12)x-\frac(53)6\end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad x=y=-\dfrac(106)( 17)\]

3) Acum puteți găsi valoarea parametrului \(a\) . \

Ce este bun la această metodă? În primul rând, este mai elegant. În al doilea rând, în cursul soluției doar am întâlnit-o ecuații liniare, care sunt mult mai ușor de rezolvat.

Răspuns:

\(a=1\)

Sarcina 4 #3909

Nivel de sarcină: Mai dificil decât examenul de stat unificat

Găsiți toate valorile parametrului \(a\) pentru care sistemul \[\begin(cases) x^2+|x^2-2x|=y^2+|y^2-2y|\\ x+y=a\end(cases)\]

are mai mult de două soluții.

Să desenăm un grafic al primei ecuații. Pentru a face acest lucru, luați în considerare cazurile:

1) \(x^2-2x\geqslant 0\) , \(y^2-2y\geqslant 0\) . Apoi ecuația va lua forma \ Apoi, în acest caz, obținem următorul grafic:

2) \(x^2-2x\leqslant 0\) , \(y^2-2y\leqslant 0\) . Apoi: \ Aceasta înseamnă că graficul pentru primele două cazuri va arăta astfel:

3) \(x^2-2x\geqslant 0\) , \(y^2-2y\leqslant 0\) . Atunci ecuația va lua forma: \ Prin urmare, vom adăuga și:

4) \(x^2-2x\leqslant 0\) , \(y^2-2y\geqslant 0\) . Atunci avem: \ Graficul va fi aceeași parabolă ca la pasul 3, doar cu axele schimbate:

Graficul lui \(x+y=a\) pentru fiecare \(a\) fix este linia \(y=-x+a\), adică o dreaptă paralelă cu \(y=-x\) ( și, de asemenea, paralel cu o parte a dreptei \(y=1-x\) din punctul 1).
Pentru ca sistemul să aibă mai mult de două soluții, este necesar ca linia dreaptă \(y=-x+a\) să fie în poziții de la (1) (nu inclusiv) la (2) (inclusiv):

Într-adevăr, atunci când linia este în poziţia (2), atunci sistemul va avea un număr infinit de soluţii (şi anume, o parte a dreptei \(y=1-x\) cu \(x\in (-\infty;-1]\cup\]

Continuăm să studiem secțiunea „Ecuația unei drepte pe un plan” și în acest articol vom examina subiectul „Ecuația unei drepte în segmente”. Vom lua în considerare secvenţial forma ecuaţiei unei drepte în segmente, construcţia unei drepte, care este dată de această ecuaţie, trecerea de la ecuaţia generală a unei linii la ecuaţia unei linii în segmente. Toate acestea vor fi însoțite de exemple și analize de rezolvare a problemelor.

Să existe un sistem de coordonate dreptunghiular O x y pe plan.

O dreaptă pe un plan în sistemul de coordonate cartezian O x y este dată de o ecuație de forma x a + y b = 1, unde a și b sunt unele numere reale, diferit de zero, ale căror valori sunt egale cu lungimile segmentelor tăiate de o linie dreaptă pe axele O x și O y. Lungimile segmentelor sunt calculate de la origine.

După cum știm, coordonatele oricăruia dintre punctele aparținând unei drepte date de ecuația unei drepte satisfac ecuația acestei drepte. Punctele a, 0 și 0, b aparțin acestei drepte, deoarece a a + 0 b = 1 ⇔ 1 ≡ 1 și 0 a + b b = 1 ⇔ 1 ≡ 1. Punctele a, 0 și b, 0 sunt situate pe axele de coordonate O x și O y și sunt îndepărtate de la origine prin unități a și b. Direcția în care trebuie trasată lungimea segmentului este determinată de semnul care apare înaintea numerelor a și b. Semnul „-” înseamnă că lungimea segmentului trebuie trasată în direcția negativă a axei de coordonate.

Să explicăm toate cele de mai sus plasând linii drepte relativ la un sistem de coordonate carteziene fix O x y pe un desen schematic. Ecuația unei drepte în segmentele x a + y b = 1 este utilizată pentru a construi o dreaptă în sistemul de coordonate carteziene O x y. Pentru a face acest lucru, trebuie să marchem punctele a, 0 și b, 0 pe axe și apoi să conectăm aceste puncte cu o linie folosind o riglă.

Desenul prezintă cazuri în care numerele a și b au semne diferite și, prin urmare, lungimile segmentelor sunt reprezentate în direcții diferite ale axelor de coordonate.

Să ne uităm la un exemplu.

Exemplul 1

O linie dreaptă este dată de ecuația unei drepte în segmente de forma x 3 + y - 5 2 = 1. Este necesar să se construiască această dreaptă pe un plan în sistemul de coordonate carteziene O x y.

Soluţie

Folosind ecuația unei drepte în segmente, determinăm punctele prin care trece linia dreaptă. Acesta este 3, 0, 0, - 5 2. Să le marchem și să tragem o linie.

Reducerea ecuației generale a unei linii la ecuația unei drepte în segmente

Trecerea de la o ecuație dată a unei linii la o ecuație a unei linii în segmente ne face mai ușor să rezolvăm diverse probleme. Avand complet ecuație generală linie dreaptă, putem obține ecuația dreptei în segmente.

Ecuația generală completă a unei drepte pe un plan este A x + B y + C = 0, unde A, B și C nu sunt egale cu zero. Transferăm numărul C în partea dreaptă a egalității, împărțim ambele părți ale egalității rezultate la – C. În același timp, trimitem coeficienții lui x și y la numitori:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

Pentru a efectua ultima tranziție, am folosit egalitatea p q = 1 q p, p ≠ 0, q ≠ 0.

Ca urmare, am făcut trecerea de la ecuația generală a dreptei A x + B y + C = 0 la ecuația dreptei din segmentele x a + y b = 1, unde a = - C A, b = - C B.

Să ne uităm la următorul exemplu.

Exemplul 2

Să facem trecerea la ecuația unei drepte în segmente, având o ecuație generală a unei drepte x - 7 y + 1 2 = 0.

Soluţie

Ne deplasăm cu o secundă în partea dreaptă a egalității x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Împărțim ambele părți ale egalității la - 1 2: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1.

Să transformăm egalitatea rezultată în forma dorită: 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 ⇔ x - 1 2 + y 1 14 = 1.

Am obținut ecuația unei drepte în segmente.

Răspuns: x - 1 2 + y 1 14 = 1

În cazurile în care o dreaptă este dată de o ecuație canonică sau parametrică a unei drepte pe un plan, atunci mai întâi trecem la ecuația generală a dreptei, apoi la ecuația dreptei în segmente.

Trecerea de la ecuația unei linii în segmente la ecuația generală a unei linii este simplă: transferăm unitatea din partea dreaptă a ecuației unei linii în segmente de forma x a + y b = 1 în partea stângă cu opusul semn, selectând coeficienții în fața necunoscutelor x și y.

x a + y b = 1 ⇔ x a + y b - 1 = 0 ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0

Obținem o ecuație generală a unei drepte, din care putem trece la orice alt tip de ecuație a unei drepte din plan. Am discutat în detaliu procesul de tranziție în subiectul „Reducerea ecuației generale a unei linii la alte tipuri de ecuații a unei linii”.

Exemplul 3

Ecuația unei drepte în segmente are forma x 2 3 + y - 12 = 1. Este necesar să scrieți ecuația generală a unei drepte pe un plan.

Soluţie

Funcționează conform unui algoritm descris anterior:

x 2 3 + y - 12 = 1 ⇔ 1 2 3 x + 1 - 12 y - 1 = 0 ⇔ ⇔ 3 2 x - 1 12 y - 1 = 0

Răspuns: 3 2 x - 1 12 y - 1 = 0

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Dacă în ecuația generală a dreptei Ах + Ву + С = 0 С ¹ 0, atunci, împărțind la –С, obținem: sau

Sensul geometric al coeficienților este că coeficientul O este coordonata punctului de intersecție a dreptei cu axa Ox și b– coordonata punctului de intersecție a dreptei cu axa Oy.

Exemplu. Ecuația generală a dreptei x – y + 1 = 0 Găsiți ecuația acestei drepte în segmente.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Ecuația normală a unei linii.

Dacă ambele părți ale ecuației Ax + By + C = 0 sunt împărțite la un număr numit factor de normalizare, apoi primim

Xcosj + ysinj - p = 0 –

ecuația normală a unei linii.

Semnul ± al factorului de normalizare trebuie ales astfel încât m×С< 0.

p este lungimea perpendicularei coborâte de la origine la dreapta, iar j este unghiul format de această perpendiculară cu direcția pozitivă a axei Ox.

Exemplu. Este dată ecuația generală a dreptei 12x – 5y – 65 = 0. Este necesar să se scrie diferite tipuri de ecuații pentru această dreaptă.

ecuația acestei drepte în segmente:

ecuația acestei drepte cu panta: (împarte la 5)

ecuația normală a unei linii:

; cosj = 12/13; sinj = -5/13; p = 5.

Trebuie remarcat faptul că nu orice linie dreaptă poate fi reprezentată printr-o ecuație în segmente, de exemplu, drepte paralele cu axele sau care trec prin originea coordonatelor.

Exemplu. Linia dreaptă taie segmente pozitive egale pe axele de coordonate. Scrieți o ecuație a unei drepte dacă aria triunghiului format din aceste segmente este de 8 cm2.

Ecuația dreptei are forma: , a = b = 1; ab/2 = 8; a = 4; -4.

a = -4 nu este potrivit în funcție de condițiile problemei.

Total: sau x + y – 4 = 0.

Exemplu. Scrieți o ecuație pentru o dreaptă care trece prin punctul A(-2, -3) și origine.

Ecuația dreptei are forma: , unde x 1 = y 1 = 0; x2 = -2; y 2 = -3.

Ecuația unei drepte care trece prin acest punct

Perpendicular pe o dreaptă dată.

Definiţie. O dreaptă care trece prin punctul M 1 (x 1, y 1) și perpendiculară pe dreapta y = kx + b este reprezentată de ecuația:

Unghiul dintre liniile drepte dintr-un plan.

Definiţie. Dacă sunt date două drepte y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, atunci unghiul ascuțit dintre aceste drepte va fi definit ca

Două drepte sunt paralele dacă k 1 = k 2.

Două drepte sunt perpendiculare dacă k 1 = -1/k 2 .

Teorema. Dreptele Ax + Bу + C = 0 și A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 sunt paralele când coeficienții A 1 = lA, B 1 = lB sunt proporționali. Dacă și С 1 = lС, atunci liniile coincid.

Coordonatele punctului de intersecție a două drepte se găsesc ca soluție a sistemului de ecuații ale acestor drepte.

Distanța de la un punct la o dreaptă.

Teorema. Dacă este dat un punct M(x 0, y 0), atunci distanța până la dreapta Ax + Bу + C = 0 este determinată ca

Dovada. Fie punctul M 1 (x 1, y 1) să fie baza unei perpendiculare coborâte din punctul M la o dreaptă dată. Atunci distanța dintre punctele M și M 1:

Coordonatele x 1 și y 1 pot fi găsite prin rezolvarea sistemului de ecuații:

A doua ecuație a sistemului este ecuația dreptei care trece prin punct dat M 0 este perpendiculară pe o dreaptă dată.

Dacă transformăm prima ecuație a sistemului în forma:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

apoi, rezolvand, obtinem:

Înlocuind aceste expresii în ecuația (1), găsim:

Teorema a fost demonstrată.

Exemplu . Determinați unghiul dintre drepte: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k1 = -3; k 2 = 2 tgj = ; j = p/4.

Exemplu. Arătați că dreptele 3x – 5y + 7 = 0 și 10x + 6y – 3 = 0 sunt perpendiculare.

Găsim: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, prin urmare, dreptele sunt perpendiculare.

Exemplu. Sunt date vârfurile triunghiului A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Găsiți ecuația înălțimii desenată din vârful C.

Găsim ecuația laturii AB: ; 4x = 6y – 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Ecuația de înălțime necesară are forma: Ax + By + C = 0 sau y = kx + b.

k = . Atunci y = . Deoarece altitudinea trece prin punctul C, apoi coordonatele lui satisfac această ecuație: de unde b = 17. Total: .

Răspuns: 3x + 2y – 34 = 0.

Curbe de ordinul doi.

O curbă de ordinul doi poate fi dată de ecuație

Ax 2 + 2Bhu + Su 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0.

Există un sistem de coordonate (nu neapărat dreptunghiular cartezian) în care această ecuație poate fi reprezentată într-una din formele prezentate mai jos.

1) - ecuația elipsei.

2) - ecuația unei elipse „imaginare”.

3) - ecuația hiperbolei.

4) a 2 x 2 – c 2 y 2 = 0 – ecuația a două drepte care se intersectează.

5) y 2 = 2px – ecuația unei parabole.

6) y 2 – a 2 = 0 – ecuația a două drepte paralele.

7) y 2 + a 2 = 0 – ecuația a două drepte paralele „imaginare”.

8) y 2 = 0 – o pereche de drepte care coincid.

9) (x – a) 2 + (y – b) 2 = R 2 – ecuația unui cerc.

Cerc.

Într-un cerc (x – a) 2 + (y – b) 2 = R 2 centrul are coordonatele (a; b).

Exemplu. Aflați coordonatele centrului și razei cercului dacă ecuația acestuia este dată sub forma:

2x 2 + 2y 2 – 8x + 5y – 4 = 0.

Pentru a găsi coordonatele centrului și razei cercului, această ecuație trebuie adusă la forma indicată mai sus la paragraful 9. Pentru a face acest lucru, selectați pătrate complete:

x 2 + y 2 – 4x + 2,5y – 2 = 0

x 2 – 4x + 4 –4 + y 2 + 2,5y + 25/16 – 25/16 – 2 = 0

(x – 2) 2 + (y + 5/4) 2 – 25/16 – 6 = 0

(x – 2) 2 + (y + 5/4) 2 = 121/16

De aici găsim O(2; -5/4); R = 11/4.

Elipsă.

Definiţie. Elipsă se numește curba dată de ecuație.

Definiţie. Se concentrează sunt numite două puncte astfel încât suma distanțelor de la care până la orice punct de pe elipsă este constant.

F 1, F 2 – focalizează. F1 = (c; 0); F2 (-c; 0)

c – jumătate din distanța dintre focus;

a – semiaxa mare;

b – semiaxa minoră.

Teorema. Distanța focală și semiaxele elipsei sunt legate prin relația:

a 2 = b 2 + c 2 .

Dovada: Dacă punctul M se află la intersecția elipsei cu axa verticală, r 1 + r 2= 2 (conform teoremei lui Pitagora). Dacă punctul M se află la intersecția elipsei cu axa orizontală, r 1 + r 2 = a – c + a + c. Deoarece prin definiţie suma r 1 + r 2 este o valoare constantă, atunci, echivalând, obținem:

a 2 = b 2 + c 2

r 1 + r 2 = 2a.

Definiţie. Forma elipsei este determinată de caracteristică, care este raportul dintre distanța focală și axa majoră și se numește excentricitate.

Deoarece Cu< a, то е < 1.

Definiţie. Se numește mărimea k = b/a raportul de compresie elipsa, iar cantitatea 1 – k = (a – b)/a se numeste comprimare elipsă.

Raportul de compresie și excentricitatea sunt legate prin relația: k 2 = 1 – e 2 .

Dacă a = b (c = 0, e = 0, focarele se îmbină), atunci elipsa se transformă într-un cerc.

Dacă condiția este îndeplinită pentru punctul M(x 1, y 1): atunci este situat în interiorul elipsei, iar dacă , atunci punctul este în afara elipsei.

Teorema. Pentru un punct arbitrar M(x, y) aparținând unei elipse, următoarele relații sunt adevărate::

R 1 = a – ex, r 2 = a + ex.

Dovada. S-a arătat mai sus că r 1 + r 2 = 2a. În plus, din considerente geometrice putem scrie:

După pătrarea și aducerea unor termeni similari:

Se demonstrează în mod similar că r 2 = a + ex. Teorema a fost demonstrată.

O elipsă este conectată la două linii drepte numite directoare. Ecuațiile lor sunt:

X = a/e; x = -a/e.

Teorema. Pentru ca un punct să se afle pe o elipsă, este necesar și suficient ca raportul dintre distanța la focalizare și distanța la directrixa corespunzătoare să fie egal cu excentricitatea e.

Exemplu. Scrieți o ecuație pentru dreapta care trece prin focarul din stânga și vârful inferior al elipsei dat de ecuația:

1) Coordonatele vârfului inferior: x = 0; y2 = 16; y = -4.

2) Coordonatele focarului stâng: c 2 = a 2 – b 2 = 25 – 16 = 9; c = 3; F2 (-3; 0).

3) Ecuația unei drepte care trece prin două puncte:

Exemplu. Scrieți o ecuație pentru o elipsă dacă focarele sale sunt F 1 (0; 0), F 2 (1; 1), iar axa majoră este 2.

Ecuația elipsei are forma: . Distanța de focalizare:

2c = astfel a 2 – b 2 = c 2 = ½

prin condiția 2a = 2, deci a = 1, b =

Hiperbolă.

Definiţie. Hiperbolă este mulțimea de puncte ale planului pentru care modulul diferenței de distanțe de la două puncte date, numit trucuri este o valoare constantă mai mică decât distanța dintre focare.

Prin definiție ïr 1 – r 2 ï= 2a. F 1, F 2 – focarele hiperbolei. F 1 F 2 = 2c.

Să alegem un punct arbitrar M(x, y) pe hiperbolă. Apoi:

notăm c 2 – a 2 = b 2 (geometric, această mărime este semiaxa minoră)

Am obținut ecuația canonică a hiperbolei.

Hiperbola este simetrică față de mijlocul segmentului care leagă focarele și față de axele de coordonate.

Axa 2a se numește axa reală a hiperbolei.

Axa 2b se numește axa imaginară a hiperbolei.

O hiperbolă are două asimptote, ale căror ecuații sunt

Definiţie. Relația se numește excentricitate hiperbole, unde c este jumătate din distanța dintre focare și este semiaxa reală.

Ținând cont de faptul că c 2 – a 2 = b 2:

Dacă a = b, e = , atunci se numește hiperbola echilateral (echilateral).

Definiţie. Două drepte perpendiculare pe axa reală a hiperbolei și situate simetric față de centru la o distanță a/e ​​de acesta se numesc directoare hiperbolă. Ecuațiile lor sunt: ​​.

Teorema. Dacă r este distanța de la un punct arbitrar M al hiperbolei la orice focar, d este distanța de la același punct la directrixa corespunzătoare acestui focar, atunci raportul r/d este o valoare constantă egală cu excentricitatea.

Dovada. Să descriem schematic o hiperbolă.

Din relațiile geometrice evidente putem scrie:

a/e + d = x, deci d = x – a/e.

(x – c) 2 + y 2 = r 2

Din ecuația canonică: , ținând cont de b 2 = c 2 – a 2:

Apoi pentru că с/a = e, atunci r = ex – a.

Pentru ramura stângă a hiperbolei demonstrația este similară. Teorema a fost demonstrată.

Exemplu. Aflați ecuația unei hiperbole ale cărei vârfuri și focare se află la vârfurile și focarele corespunzătoare ale elipsei.

Pentru o elipsă: c 2 = a 2 – b 2.

Pentru o hiperbolă: c 2 = a 2 + b 2.

Ecuația hiperbolei: .

Exemplu. Scrieți o ecuație pentru o hiperbolă dacă excentricitatea ei este 2 și focarele sale coincid cu focarele elipsei, ecuația fiind parametrul parabolei. Să derivăm ecuația canonică a parabolei.

Din relații geometrice: AM = MF; AM = x + p/2;

MF 2 = y 2 + (x – p/2) 2

(x + p/2) 2 = y 2 + (x – p/2) 2

x 2 +xp + p 2 /4 = y 2 + x 2 – xp + p 2 /4

Ecuația directrice: x = -p/2.

Exemplu . Pe parabola y 2 = 8x, găsiți un punct a cărui distanță de directrice este 4.

Din ecuația parabolei aflăm că p = 4.

r = x + p/2 = 4; deci:

x = 2; y2 = 16; y = ±4. Puncte căutate: M 1 (2; 4), M 2 (2; -4).

Exemplu. Ecuația unei curbe într-un sistem de coordonate polare are forma:

Găsiți ecuația unei curbe într-un sistem de coordonate dreptunghiular cartezian, determinați tipul curbei, găsiți focarele și excentricitatea. Desenați schematic curba.

Să folosim legătura dintre sistemele de coordonate carteziene dreptunghiulare și polare: ;

Am obținut ecuația canonică a hiperbolei. Din ecuație este clar că hiperbola este deplasată de-a lungul axei Ox cu 5 la stânga, semiaxa majoră a este egală cu 4, semiaxa minoră b este egală cu 3, de unde obținem c 2 = a 2 + b2; c = 5; e = c/a = 5/4.

Focalizează F 1 (-10; 0), F 2 (0; 0).

Să construim un grafic al acestei hiperbole.

Sarcina este de a utiliza coordonatele date ale capătului unui segment pentru a construi o linie dreaptă care trece prin acesta.

Credem că segmentul este nedegenerat, adică. are o lungime mai mare decât zero (altfel, desigur, trec infinit de linii drepte diferite).

Caz bidimensional

Fie dat un segment, i.e. sunt cunoscute coordonatele capetelor sale , , ,.

Necesar pentru a construi ecuația unei drepte într-un plan, trecând prin acest segment, i.e. găsiți coeficienții , , în ecuația dreptei:

Rețineți că triplele necesare care trec printr-un segment dat sunt infinit de multe: Puteți înmulți toți cei trei coeficienți cu un număr arbitrar diferit de zero și puteți obține aceeași linie dreaptă. Prin urmare, sarcina noastră este să găsim unul dintre aceste tripleți.

Este ușor de verificat (prin înlocuirea acestor expresii și coordonatele punctelor și în ecuația dreptei) că următorul set de coeficienți este potrivit:

Cazul întreg

Un avantaj important al acestei metode de construire a unei linii drepte este că, dacă coordonatele capetelor au fost întregi, atunci coeficienții rezultați vor fi, de asemenea, numere întregi. În unele cazuri, acest lucru permite efectuarea de operații geometrice fără a apela deloc la numere reale.

Cu toate acestea, există un mic dezavantaj: pentru aceeași linie, pot fi obținute triplete diferite de coeficienți. Pentru a evita acest lucru, dar nu a vă îndepărta de coeficienții întregi, puteți utiliza următoarea tehnică, numită adesea raționalizarea. Să găsim cel mai mare divizor comun al numerelor , , , împărțim toți cei trei coeficienți cu acesta și apoi normalizăm semnul: dacă sau , atunci înmulțim toți cei trei coeficienți cu . Ca urmare, vom ajunge la concluzia că pentru drepte identice vom obține triplete identice de coeficienți, ceea ce va face ușoară verificarea egalității liniilor.

Caz cu valoare reală

Când lucrați cu numere reale, ar trebui să fiți întotdeauna conștienți de erori.

Coeficienții pe care îi obținem sunt de ordinul coordonatelor inițiale, coeficientul este deja de ordinul pătratului acestora. Acestea pot fi deja numere destul de mari și, de exemplu, atunci când liniile se intersectează, ele vor deveni și mai mari, ceea ce poate duce la erori mari de rotunjire chiar și cu coordonatele originale ale ordinii.

Prin urmare, atunci când lucrați cu numere reale, este recomandabil să efectuați așa-numitul normalizare direct: și anume, a face coeficienții astfel încât . Pentru a face acest lucru, trebuie să calculați numărul:

și împărțiți toți cei trei coeficienți , , la ea.

Astfel, ordinea coeficienților și nu va mai depinde de ordinea coordonatelor de intrare, iar coeficientul va fi de aceeași ordine cu coordonatele de intrare. În practică, acest lucru duce la o îmbunătățire semnificativă a preciziei de calcul.

În sfârșit, să menționăm comparaţie drepte - până la urmă, după o astfel de normalizare pentru aceeași dreaptă, se pot obține doar două triplete de coeficienți: până la înmulțirea cu . În consecință, dacă efectuăm o normalizare suplimentară ținând cont de semn (dacă sau , atunci înmulțiți cu ), atunci coeficienții rezultați vor fi unici.

Ecuația unei drepte pe un plan.
Vectorul direcție este drept. Vector normal

O linie dreaptă pe un plan este una dintre cele mai simple forme geometrice, cunoscut de atunci clase de juniori, iar astăzi vom învăța cum să o rezolvăm folosind metodele geometriei analitice. Pentru a stăpâni materialul, trebuie să fii capabil să construiești o linie dreaptă; cunoașteți ce ecuație definește o dreaptă, în special o dreaptă care trece prin originea coordonatelor și drepte paralele cu axele de coordonate. Aceste informații pot fi găsite în manual Grafice și proprietăți ale funcțiilor elementare, l-am creat pentru matan, dar secțiunea despre funcţie liniară S-a dovedit foarte reușit și detaliat. Prin urmare, dragi ceainice, încălziți-vă mai întâi acolo. În plus, trebuie să aveți cunoștințe de bază despre vectori, altfel înțelegerea materialului va fi incompletă.

Pe această lecție Vom analiza modalități prin care puteți crea o ecuație a unei linii drepte pe un plan. Recomand să nu neglijăm exemplele practice (chiar dacă par foarte simple), deoarece le voi oferi fapte elementare și importante, metode tehnice, care va fi solicitată în viitor, inclusiv în alte secțiuni de matematică superioară.

• Cum se scrie o ecuație a unei linii drepte cu un coeficient de unghi?
• Cum ?
• Cum să găsiți un vector de direcție folosind ecuația generală a unei linii drepte?
• Cum se scrie o ecuație a unei linii drepte dintr-un punct și un vector normal?

si incepem:

Ecuația unei drepte cu panta

Cunoscuta formă „școală” a unei ecuații în linie dreaptă se numește ecuația unei drepte cu panta. De exemplu, dacă o dreaptă este dată de ecuație, atunci panta ei este: . Să luăm în considerare sens geometric a acestui coeficient și modul în care valoarea acestuia afectează locația liniei:

Într-un curs de geometrie se dovedeşte că panta dreptei este egală cu tangenta unghiuluiîntre direcția pozitivă a axeiși această linie: , iar unghiul „se deșuruba” în sens invers acelor de ceasornic.

Pentru a nu aglomera desenul, am desenat unghiuri doar pentru două linii drepte. Să luăm în considerare linia „roșie” și panta acesteia. Conform celor de mai sus: (unghiul „alfa” este indicat printr-un arc verde). Pentru linia dreaptă „albastră” cu coeficientul unghiului, egalitatea este adevărată (unghiul „beta” este indicat printr-un arc maro). Și dacă tangenta unghiului este cunoscută, atunci, dacă este necesar, este ușor de găsit și colțul însuși prin folosire functie inversa– arctangent. După cum se spune, un tabel trigonometric sau un microcalculator în mâinile tale. Astfel, coeficientul unghiular caracterizează gradul de înclinare a dreptei faţă de axa absciselor.

Sunt posibile următoarele cazuri:

1) Dacă panta este negativă: atunci linia, aproximativ vorbind, merge de sus în jos. Exemple sunt liniile drepte „albastre” și „zmeură” din desen.

2) Dacă panta este pozitivă: atunci linia merge de jos în sus. Exemple - linii drepte „negre” și „roșii” în desen.

3) Dacă panta egal cu zero: , atunci ecuația ia forma , iar linia dreaptă corespunzătoare este paralelă cu axa. Un exemplu este linia dreaptă „galbenă”.

4) Pentru o familie de linii paralele cu o axă (nu există niciun exemplu în desen, cu excepția axei în sine), coeficientul unghiular nu exista (tangenta de 90 de grade nu este definită).

Cu cât coeficientul de pantă în valoare absolută este mai mare, cu atât graficul în linie dreaptă este mai abrupt..

De exemplu, luați în considerare două linii drepte. Aici, așadar, linia dreaptă are o pantă mai abruptă. Permiteți-mi să vă reamintesc că modulul vă permite să ignorați semnul, ne interesează doar valori absolute coeficienți unghiulari.

La rândul său, o linie dreaptă este mai abruptă decât liniile drepte .

Dimpotrivă: cu cât coeficientul de pantă este mai mic în valoare absolută, cu atât linia dreaptă este mai plată.

Pentru linii drepte inegalitatea este adevărată, astfel linia dreaptă este mai plată. Tobogan pentru copii, pentru a nu-ți da vânătăi și lovituri.

De ce este necesar acest lucru?

Prelungiți-vă chinul Cunoașterea faptelor de mai sus vă permite să vă vedeți imediat greșelile, în special erorile atunci când construiți grafice - dacă desenul se dovedește a fi „evident ceva greșit”. Este recomandabil ca dvs pe loc era clar că, de exemplu, linia dreaptă este foarte abruptă și merge de jos în sus, iar linia dreaptă este foarte plată, apăsată aproape de axă și merge de sus în jos.

În problemele geometrice, apar adesea mai multe linii drepte, așa că este convenabil să le desemnați cumva.

Denumiri: liniile drepte sunt desemnate cu litere mici latine: . O opțiune populară este de a le desemna folosind aceeași literă cu indicele naturale. De exemplu, cele cinci linii la care tocmai ne-am uitat pot fi notate cu .

Deoarece orice linie dreaptă este determinată în mod unic de două puncte, ea poate fi notată prin următoarele puncte: etc. Denumirea implică în mod clar că punctele aparțin liniei.

E timpul sa ne incalzim putin:

Cum se scrie o ecuație a unei linii drepte cu un coeficient de unghi?

Dacă se cunosc un punct aparținând unei anumite drepte și coeficientul unghiular al acestei drepte, atunci ecuația acestei drepte se exprimă prin formula:

Exemplul 1

Scrieți o ecuație pentru o dreaptă cu pantă dacă se știe că punctul aparține dreptei date.

Soluţie: Să compunem ecuația dreptei folosind formula . ÎN în acest caz,:

Răspuns:

Examinare se face simplu. În primul rând, ne uităm la ecuația rezultată și ne asigurăm că panta noastră este la locul său. În al doilea rând, coordonatele punctului trebuie să satisfacă această ecuație. Să le conectăm în ecuație:

Se obține egalitatea corectă, ceea ce înseamnă că punctul satisface ecuația rezultată.

Concluzie: Ecuația a fost găsită corect.

Un exemplu mai dificil de rezolvat singur:

Exemplul 2

Scrieți o ecuație pentru o dreaptă dacă se știe că unghiul său de înclinare față de direcția pozitivă a axei este , iar punctul aparține acestei drepte.

Dacă aveți dificultăți, recitiți materialul teoretic. Mai precis, mai practic, sar peste multe dovezi.

A sunat ultimul apel, petrecerea de absolvire a încetat, iar în afara porților scoala de acasa Ceea ce ne așteaptă este, de fapt, geometria analitică. Glumele s-au terminat... Sau poate abia incep =)

Ne fluturăm cu nostalgie stiloul către familiar și ne familiarizăm cu ecuația generală a unei linii drepte. Pentru că în geometria analitică este exact ceea ce se folosește:

Ecuația generală a unei drepte are forma: , unde sunt câteva numere. În același timp, coeficienții simultan nu sunt egale cu zero, deoarece ecuația își pierde sensul.

Să ne îmbrăcăm într-un costum și să legăm ecuația cu coeficientul de pantă. Mai întâi, să mutăm toți termenii în partea stângă:

Termenul cu „X” trebuie pus pe primul loc:

În principiu, ecuația are deja forma , dar conform regulilor de etichetă matematică, coeficientul primului termen (în acest caz) trebuie să fie pozitiv. Schimbarea semnelor:

Amintiți-vă această caracteristică tehnică! Facem primul coeficient (cel mai des) pozitiv!

În geometria analitică, ecuația unei linii drepte va fi aproape întotdeauna dată în forma generala. Ei bine, dacă este necesar, poate fi ușor redus la forma „școală” cu un coeficient unghiular (cu excepția liniilor drepte paralele cu axa ordonatelor).

Să ne întrebăm ce suficientștii să construiești o linie dreaptă? Două puncte. Dar mai multe despre acest incident din copilărie, acum se lipește cu regula săgeților. Fiecare linie dreaptă are o pantă foarte specifică, la care este ușor de „adaptat”. vector.

Un vector care este paralel cu o dreaptă se numește vector de direcție al acelei drepte. Este evident că orice linie dreaptă are un număr infinit de vectori de direcție și toți vor fi coliniari (codirecționali sau nu - nu contează).

Voi nota vectorul de direcție astfel: .

Dar un vector nu este suficient pentru a construi o linie dreaptă, vectorul este liber și nu este legat de niciun punct din plan. Prin urmare, în plus, este necesar să cunoașteți un punct care aparține liniei.

Cum se scrie o ecuație a unei linii drepte folosind un punct și un vector de direcție?

Dacă se cunosc un punct aparținând unei linii și vectorul de direcție al acestei linii , atunci ecuația acestei linii poate fi compilată folosind formula:

Uneori se numește ecuație canonică direct .

Ce să faci când una dintre coordonate este egal cu zero, vom înțelege în exemplele practice de mai jos. Apropo, vă rugăm să rețineți - ambele deodată coordonatele nu pot fi egale cu zero, deoarece vectorul zero nu specifică o direcție specifică.

Exemplul 3

Scrieți o ecuație pentru o dreaptă folosind un punct și un vector de direcție

Soluţie: Să compunem ecuația unei linii drepte folosind formula. În acest caz:

Folosind proprietățile proporției, scăpăm de fracții:

Și aducem ecuația la forma ei generală:

Răspuns:

De regulă, nu este nevoie să faceți un desen în astfel de exemple, ci de dragul înțelegerii:

În desen vedem punctul de plecare, vectorul de direcție inițial (poate fi reprezentat din orice punct al planului) și linia dreaptă construită. Apropo, în multe cazuri este cel mai convenabil să construiți o linie dreaptă folosind o ecuație cu un coeficient unghiular. Este ușor să ne transformăm ecuația în formă și să selectăm cu ușurință un alt punct pentru a construi o linie dreaptă.

După cum sa menționat la începutul paragrafului, o linie dreaptă are un număr infinit de vectori de direcție și toți sunt coliniari. De exemplu, am desenat trei astfel de vectori: . Indiferent de vectorul de direcție pe care îl alegem, rezultatul va fi întotdeauna aceeași ecuație de linie dreaptă.

Să creăm o ecuație a unei linii drepte folosind un punct și un vector de direcție:

Rezolvarea proporției:

Împărțiți ambele părți la –2 și obțineți ecuația familiară:

Cei interesați pot testa vectori în același mod sau orice alt vector coliniar.

Acum să rezolvăm problema inversă:

Cum să găsiți un vector de direcție folosind ecuația generală a unei linii drepte?

Foarte simplu:

Dacă o dreaptă este dată de o ecuație generală, atunci vectorul este vectorul de direcție al acestei linii.

Exemple de găsire a vectorilor de direcție ai liniilor drepte:

Declarația ne permite să găsim un singur vector de direcție dintr-un număr infinit, dar nu avem nevoie de mai mult. Deși în unele cazuri este recomandabil să se reducă coordonatele vectorilor de direcție:

Astfel, ecuația specifică o dreaptă care este paralelă cu axa și coordonatele vectorului de direcție rezultat sunt împărțite convenabil la –2, obținându-se exact vectorul de bază ca vector de direcție. Logic.

În mod similar, ecuația specifică o linie dreaptă paralelă cu axa și împărțind coordonatele vectorului la 5, obținem vectorul ort ca vector de direcție.

Acum hai să o facem verificarea Exemplul 3. Exemplul a crescut, așa că vă reamintesc că în el am compilat ecuația unei drepte folosind un vector punct și un vector de direcție

În primul rând, folosind ecuația dreptei îi reconstruim vectorul de direcție: – totul este în regulă, am primit vectorul original (în unele cazuri rezultatul poate fi un vector coliniar cu cel original, iar acest lucru este de obicei ușor de observat prin proporționalitatea coordonatelor corespunzătoare).

În al doilea rând, coordonatele punctului trebuie să satisfacă ecuația. Le substituim în ecuația:

S-a obținut egalitatea corectă, ceea ce ne bucură foarte mult.

Concluzie: Sarcina a fost finalizată corect.

Exemplul 4

Scrieți o ecuație pentru o dreaptă folosind un punct și un vector de direcție

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Soluția și răspunsul sunt la sfârșitul lecției. Este foarte recomandabil să verificați folosind algoritmul discutat. Încercați să verificați întotdeauna (dacă este posibil) un draft. Este o prostie sa faci greseli acolo unde pot fi evitate 100%.

În cazul în care una dintre coordonatele vectorului de direcție este zero, procedați foarte simplu:

Exemplul 5

Soluţie: Formula nu este potrivită deoarece numitorul din partea dreaptă este zero. Există o cale de ieșire! Folosind proprietățile proporției, rescriem formula în formă, iar restul s-a rostogolit de-a lungul unui șanț adânc:

Răspuns:

Examinare:

1) Restabiliți vectorul de direcție al dreptei:
– vectorul rezultat este coliniar cu vectorul de direcție original.

2) Înlocuiți coordonatele punctului în ecuație:

Se obține egalitatea corectă

Concluzie: sarcina finalizată corect

Apare întrebarea, de ce să vă deranjați cu formula dacă există o versiune universală care va funcționa în orice caz? Există două motive. În primul rând, formula este sub forma unei fracții mult mai bine amintit. Și în al doilea rând, dezavantajul formulei universale este că riscul de confuzie crește semnificativ la înlocuirea coordonatelor.

Exemplul 6

Scrieți o ecuație pentru o dreaptă folosind un punct și un vector de direcție.

Acesta este un exemplu de rezolvat singur.

Să revenim la cele două puncte omniprezente:

Cum se scrie o ecuație a unei linii drepte folosind două puncte?

Dacă se cunosc două puncte, atunci ecuația unei drepte care trece prin aceste puncte poate fi compilată folosind formula:

De fapt, acesta este un tip de formulă și iată de ce: dacă se cunosc două puncte, atunci vectorul va fi vectorul de direcție al dreptei date. În clasă Vectori pentru manechine am considerat cea mai simplă problemă - cum să găsim coordonatele unui vector din două puncte. Conform acestei probleme, coordonatele vectorului de direcție sunt:

Nota : punctele pot fi „schimbate” și poate fi folosită formula. O astfel de soluție va fi echivalentă.

Exemplul 7

Scrieți o ecuație a unei drepte folosind două puncte .

Soluţie: Folosim formula:

Pieptănarea numitorilor:

Și amestecați puntea:

Acum este momentul să scapi de el numere fracționare. În acest caz, trebuie să înmulțiți ambele părți cu 6:

Deschideți parantezele și aduceți-vă în minte ecuația:

Răspuns:

Examinare este evident - coordonatele punctelor inițiale trebuie să satisfacă ecuația rezultată:

1) Înlocuiți coordonatele punctului:

Adevărata egalitate.

2) Înlocuiți coordonatele punctului:

Adevărata egalitate.

Concluzie: Ecuația dreptei este scrisă corect.

Dacă cel putin unul dintre puncte nu satisface ecuația, căutați o eroare.

Este demn de remarcat faptul că verificarea grafică în acest caz este dificilă, deoarece construiți o linie dreaptă și vedeți dacă punctele îi aparțin , nu chiar atât de simplu.

Voi mai nota câteva aspecte tehnice ale soluției. Poate că în această problemă este mai profitabil să folosiți formula oglindă și, în aceleași puncte faceți o ecuație:

Mai puține fracții. Dacă doriți, puteți duce soluția până la capăt, rezultatul ar trebui să fie aceeași ecuație.

Al doilea punct este să vă uitați la răspunsul final și să vă dați seama dacă poate fi simplificat în continuare? De exemplu, dacă obțineți ecuația , atunci este recomandabil să o reduceți cu două: – ecuația va defini aceeași linie dreaptă. Cu toate acestea, acesta este deja un subiect de conversație poziţia relativă a liniilor.

După ce a primit răspunsul în Exemplul 7, pentru orice eventualitate, am verificat dacă TOȚI coeficienții ecuației sunt divizibili cu 2, 3 sau 7. Deși, cel mai adesea astfel de reduceri se fac în timpul soluției.

Exemplul 8

Scrieți o ecuație pentru o dreaptă care trece prin puncte .

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă, care vă va permite să înțelegeți și să exersați mai bine tehnicile de calcul.

Similar cu paragraful anterior: dacă în formulă unul dintre numitori (coordonata vectorului de direcție) devine zero, apoi îl rescriem sub forma . Din nou, observați cât de stânjenită și confuză arată. Nu văd prea mult rost să aduc exemple practice, întrucât deja am rezolvat o astfel de problemă (vezi nr. 5, 6).

Vector normal direct (vector normal)

Ce este normal? Cu cuvinte simple, normalul este perpendicular. Adică, vectorul normal al unei linii este perpendicular pe o dreaptă dată. Evident, orice linie dreaptă are un număr infinit de ele (precum și vectori de direcție), iar toți vectorii normali ai dreptei vor fi coliniari (codirecționali sau nu, nu are nicio diferență).

Tratarea cu ei va fi chiar mai ușoară decât cu vectorii ghid:

Dacă o dreaptă este dată de o ecuație generală într-un sistem de coordonate dreptunghiular, atunci vectorul este vectorul normal al acestei linii.

Dacă coordonatele vectorului de direcție trebuie să fie „trase” cu atenție din ecuație, atunci coordonatele vectorului normal pot fi pur și simplu „eliminate”.

Vectorul normal este întotdeauna ortogonal cu vectorul de direcție al dreptei. Să verificăm ortogonalitatea acestor vectori folosind produs punctual:

Voi da exemple cu aceleași ecuații ca și pentru vectorul de direcție:

Este posibil să construim o ecuație a unei drepte având în vedere un punct și un vector normal? O simt în intestine, este posibil. Dacă vectorul normal este cunoscut, atunci direcția dreptei în sine este clar definită - aceasta este o „structură rigidă” cu un unghi de 90 de grade.

Cum se scrie o ecuație a unei drepte având în vedere un punct și un vector normal?

Dacă un anumit punct aparținând unei linii și vectorul normal al acestei drepte sunt cunoscute, atunci ecuația acestei linii se exprimă prin formula:

Aici totul a mers fără fracțiuni și alte surprize. Acesta este vectorul nostru normal. Iubește-l. Si respect =)

Exemplul 9

Scrieți o ecuație a unei drepte având în vedere un punct și un vector normal. Găsiți vectorul direcție al dreptei.

Soluţie: Folosim formula:

S-a obținut ecuația generală a dreptei, să verificăm:

1) „Eliminați” coordonatele vectorului normal din ecuație: – da, într-adevăr, vectorul original a fost obținut din condiție (sau ar trebui să se obțină un vector coliniar).

2) Să verificăm dacă punctul satisface ecuația:

Adevărata egalitate.

După ce suntem convinși că ecuația este compusă corect, vom finaliza a doua parte, mai ușoară, a sarcinii. Scoatem vectorul de direcție al dreptei:

Răspuns:

În desen situația arată astfel:

În scopuri de instruire, o sarcină similară pentru rezolvarea independentă:

Exemplul 10

Scrieți o ecuație a unei drepte având în vedere un punct și un vector normal. Găsiți vectorul direcție al dreptei.

Secțiunea finală a lecției va fi dedicată unor tipuri de ecuații mai puțin comune, dar și importante ale unei drepte pe un plan

Ecuația unei drepte în segmente.
Ecuația unei drepte în formă parametrică

Ecuația unei linii drepte în segmente are forma , unde sunt constante nenule. Unele tipuri de ecuații nu pot fi reprezentate în această formă, de exemplu, proporționalitatea directă (deoarece termenul liber este egal cu zero și nu există nicio modalitate de a obține unul în partea dreaptă).

Acesta este, la figurat vorbind, un tip „tehnic” de ecuație. O sarcină comună este de a reprezenta ecuația generală a unei linii ca o ecuație a unei linii în segmente. Cum este convenabil? Ecuația unei drepte în segmente vă permite să găsiți rapid punctele de intersecție ale unei linii cu axe de coordonate, ceea ce poate fi foarte important în unele probleme de matematică superioară.

Să găsim punctul de intersecție al dreptei cu axa. Resetăm „y” și ecuația ia forma . Punctul dorit se obtine automat: .

La fel si cu axa – punctul în care dreapta intersectează axa ordonatelor.