Următoarele oferă câteva criterii pentru dependența liniară și, în consecință, independența liniară a sistemelor vectoriale.
Teorema. (Necesar și condiție suficientă dependența liniară a vectorilor.)
Un sistem de vectori este dependent dacă și numai dacă unul dintre vectorii sistemului este exprimat liniar prin ceilalți ai acestui sistem.
Dovada. Necesitate. Fie ca sistemul să fie dependent liniar. Apoi, prin definiție, reprezintă vectorul zero în mod netrivial, adică. există o combinație netrivială a acestui sistem de vectori egală cu vectorul zero:
unde cel puțin unul dintre coeficienții acestei combinații liniare nu este egal cu zero. Să , .
Să împărțim ambele părți ale egalității anterioare la acest coeficient diferit de zero (adică înmulțim cu:
Să notăm: , unde .
aceste. unul dintre vectorii sistemului este exprimat liniar prin ceilalți ai acestui sistem etc.
Adecvarea. Fie ca unul dintre vectorii sistemului să fie exprimat liniar prin alți vectori ai acestui sistem:
Să mutăm vectorul la dreapta acestei egalități:
Deoarece coeficientul vectorului este egal cu , atunci avem o reprezentare netrivială a zero printr-un sistem de vectori, ceea ce înseamnă că acest sistem de vectori este dependent liniar etc.
Teorema a fost demonstrată.
Consecinţă.
1. Un sistem de vectori dintr-un spațiu vectorial este liniar independent dacă și numai dacă niciunul dintre vectorii sistemului nu este exprimat liniar în termenii altor vectori ai acestui sistem.
2. Un sistem de vectori care conțin un vector zero sau doi vector egal, este dependent liniar.
Dovada.
1) Necesitatea. Fie sistemul liniar independent. Să presupunem contrariul și există un vector al sistemului care este exprimat liniar prin alți vectori ai acestui sistem. Apoi, conform teoremei, sistemul este dependent liniar și ajungem la o contradicție.
Adecvarea. Niciunul dintre vectorii sistemului nu fie exprimat în termenii celorlalți. Să presupunem contrariul. Fie ca sistemul să fie dependent liniar, dar din teoremă rezultă că există un vector al sistemului care poate fi exprimat liniar prin alți vectori ai acestui sistem și ajungem din nou la o contradicție.
2a) Fie ca sistemul să conțină un vector zero. Să presupunem pentru certitudine că vectorul :. Atunci egalitatea este evidentă
aceste. unul dintre vectorii sistemului este exprimat liniar prin ceilalți vectori ai acestui sistem. Din teoremă rezultă că un astfel de sistem de vectori este dependent liniar etc.
Rețineți că acest fapt poate fi demonstrat direct dintr-un sistem de vectori dependent liniar.
Deoarece , următoarea egalitate este evidentă
Aceasta este o reprezentare non-trivială a vectorului zero, ceea ce înseamnă că sistemul este dependent liniar.
2b) Fie ca sistemul să aibă doi vectori egali. Lasă pentru . Atunci egalitatea este evidentă
Aceste. primul vector este exprimat liniar prin vectorii rămași ai aceluiași sistem. Din teoremă rezultă că acest sistem este dependent liniar etc.
Similar cu cea precedentă, această afirmație poate fi demonstrată direct prin definiția unui sistem dependent liniar. Atunci acest sistem reprezintă vectorul zero în mod netrivial
de unde urmează dependenţa liniară a sistemului.
Teorema a fost demonstrată.
Consecinţă. Un sistem format dintr-un vector este liniar independent dacă și numai dacă acest vector este diferit de zero.
Lasă L – spațiu liniar peste câmp R . Lasă А1, а2, …, аn (*) sistem finit de vectori din L . Vector ÎN = a1× A1 +a2× A2 + … + an× Un (16) se numește Combinație liniară de vectori ( *), sau ei spun că vectorul ÎN exprimată liniar printr-un sistem de vectori (*).
Definiția 14. Sistemul de vectori (*) este numit Liniar dependent , dacă și numai dacă există un set diferit de zero de coeficienți a1, a2, … , astfel încât a1× A1 +a2× A2 + … + an× Un = 0. Dacă a1× A1 +a2× A2 + … + an× Un = 0 Û a1 = a2 = … = an = 0, atunci se apelează sistemul (*) Liniar independent.
Proprietăți ale dependenței și independenței liniare.
10. Dacă un sistem de vectori conține un vector zero, atunci acesta este dependent liniar.
Într-adevăr, dacă în sistem (*) vectorul A1 = 0, Adică 1× 0 + 0× A2 + … + 0 × An = 0 .
20. Dacă un sistem de vectori conține doi vectori proporționali, atunci este dependent liniar.
Lasă A1 = L×a2. Apoi 1× A1 –l× A2 + 0× A3 + … + 0× O N= 0.
30. Un sistem finit de vectori (*) pentru n ³ 2 este liniar dependent dacă și numai dacă cel puțin unul dintre vectorii săi este o combinație liniară a vectorilor rămași ai acestui sistem.
Þ Fie (*) dependent liniar. Apoi există un set diferit de zero de coeficienți a1, a2, …, an, pentru care a1× A1 +a2× A2 + … + an× Un = 0 . Fără pierderea generalității, putem presupune că a1 ¹ 0. Atunci există A1 = ×a2× A2 + … + ×an× O N. Deci, vector A1 este o combinație liniară a vectorilor rămași.
Ü Fie unul dintre vectori (*) o combinație liniară a celorlalți. Putem presupune că acesta este primul vector, adică A1 = B2 A2+ … + mld O N, deci (–1)× A1 + b2 A2+ … + mld O N= 0 , adică (*) este dependent liniar.
Comentariu. Folosind ultima proprietate, putem defini dependența liniară și independența unui sistem infinit de vectori.
Definiția 15. Sistem vectorial А1, а2, …, аn , … (**) se numește dependent liniar, Dacă cel puțin unul dintre vectorii săi este o combinație liniară a unui număr finit de alți vectori. În caz contrar, sistemul (**) este apelat Liniar independent.
40. Un sistem finit de vectori este liniar independent dacă și numai dacă niciunul dintre vectorii săi nu poate fi exprimat liniar în termenii vectorilor săi rămași.
50. Dacă un sistem de vectori este liniar independent, atunci oricare dintre subsistemele sale este, de asemenea, liniar independent.
60. Dacă un subsistem al unui sistem dat de vectori este dependent liniar, atunci întregul sistem este, de asemenea, dependent liniar.
Să fie date două sisteme de vectori А1, а2, …, аn , … (16) și В1, В2, …, Вs, … (17). Dacă fiecare vector al sistemului (16) poate fi reprezentat ca o combinație liniară a unui număr finit de vectori ai sistemului (17), atunci se spune că sistemul (17) este exprimat liniar prin sistemul (16).
Definiția 16. Cele două sisteme vectoriale sunt numite Echivalent , dacă fiecare dintre ele este exprimat liniar prin celălalt.
Teorema 9 (teorema dependenței liniare de bază).
Lăsați-l să fie – două sisteme finite de vectori din L . Dacă primul sistem este liniar independent și liniar exprimat prin al doilea, atunci N£s.
Dovada. Să presupunem că N> S. Conform teoremei
|
|
Deoarece sistemul este liniar independent, egalitatea (18) Û X1=x2=…=xN= 0. Să substituim aici expresiile vectorilor: …+=0 (19). Prin urmare (20). Condițiile (18), (19) și (20) sunt în mod evident echivalente. Dar (18) este satisfăcută numai atunci când X1=x2=…=xN= 0. Să aflăm când egalitatea (20) este adevărată. Dacă toți coeficienții săi sunt zero, atunci este în mod evident adevărat. Echivalându-le cu zero, obținem sistemul (21). Deoarece acest sistem are zero, atunci acesta |
(21)comun Deoarece numărul de ecuații este mai mare decât numărul de necunoscute, sistemul are infinite de soluții. Prin urmare, are un non-zero X10, x20, …, xN0. Pentru aceste valori, egalitatea (18) va fi adevărată, ceea ce contrazice faptul că sistemul de vectori este liniar independent. Deci presupunerea noastră este greșită. Prin urmare, N£s.
Consecinţă. Dacă două sisteme echivalente de vectori sunt finite și liniar independente, atunci ele conțin același număr de vectori.
Definiția 17. Sistemul vectorial este numit Sistem de vectori liniar independent maxim Spațiu liniar L , dacă este liniar independent, dar când se adaugă la el orice vector din L , neinclus în acest sistem, devine liniar dependent.
Teorema 10. Orice două sisteme maxime finite liniar independente de vectori din L Conțin același număr de vectori.
Dovada rezultă din faptul că oricare două sisteme de vectori maxime liniar independente sunt echivalente .
Este ușor de demonstrat că orice sistem liniar independent de vectori spațiali L poate fi extins la un sistem maxim liniar independent de vectori în acest spațiu.
Exemple:
1. În ansamblul tuturor coliniare vectori geometrici orice sistem format dintr-un vector diferit de zero este independent liniar maxim.
2. În mulțimea tuturor vectorilor geometrici coplanari, oricare doi vectori necoliniari constituie un sistem independent liniar maxim.
3. În mulțimea tuturor vectorilor geometrici posibili ai spațiului euclidian tridimensional, orice sistem de trei vectori necoplanari este independent liniar maxim.
4. În mulțimea tuturor polinoamelor, gradele nu sunt mai mari decât N Cu coeficienți reali (complexi), un sistem de polinoame 1, x, x2, … , xn Este independent liniar maxim.
5. În mulțimea tuturor polinoamelor cu coeficienți reali (complexi), exemple de sistem maximal independent liniar sunt
O) 1, x, x2, ... , xn, ... ;
b) 1, (1 – x), (1 – x)2, … , (1 – x)N,...
6. Set de matrici de dimensiuni M´ N este spațiu liniar(verifică). Un exemplu de sistem independent liniar maxim în acest spațiu este sistemul matriceal E11= , E12 =, …, EMn = .
Să fie dat un sistem de vectori C1, c2, …, cf (*). Se numește subsistemul de vectori din (*) Maxim liniar independent Subsistemul sisteme ( *) , dacă este liniar independent, dar atunci când se adaugă orice alt vector al acestui sistem, acesta devine liniar dependent. Dacă sistemul (*) este finit, atunci oricare dintre subsistemele sale maxime independente liniar conține același număr de vectori. (Demonstrați-l singur). Se numește numărul de vectori din subsistemul maxim liniar independent al sistemului (*) Rang Acest sistem. Evident, sistemele echivalente de vectori au aceleași ranguri.
Lema 1 : Dacă într-o matrice de dimensiune n n cel puțin un rând (coloană) este zero, atunci rândurile (coloanele) ale matricei sunt dependente liniar.
Dovada: Fie prima linie zero, atunci
Unde a 10. Asta se cerea.
Definiţie: Se numește o matrice ale cărei elemente situate sub diagonala principală sunt egale cu zero triunghiular:
și ij = 0, i>j.
Lema 2: Determinantul unei matrice triunghiulare este egal cu produsul elementelor diagonalei principale.
Dovada este ușor de realizat prin inducție pe dimensiunea matricei.
Teorema privind independența liniară a vectorilor.
O)Necesitate: dependent liniar D=0 .
Dovada: Lasă-le să fie dependente liniar, j=,
adică există un j , nu toate egale cu zero, j= , Ce a 1 A 1 + a 2 A 2 + ... a n A n = , A j – coloane de matrice O. Să, de exemplu, un n¹0.
Avem a j * = a j / a n , j£ n-1a 1 * A 1 + a 2 * A 2 + ... a n -1 * A n -1 + A n = .
Să înlocuim ultima coloană a matricei O pe
A n * = a 1 * A 1 + a 2 * A 2 + ... a n -1 A n -1 + A n = .
Conform proprietății dovedite mai sus a determinantului (nu se va modifica dacă la orice coloană se adaugă o altă coloană dintr-o matrice, înmulțită cu un număr), determinantul noii matrice este egal cu determinantul unul original. Dar în noua matrice o coloană este zero, ceea ce înseamnă că, extinzând determinantul peste această coloană, obținem D=0, Q.E.D.
b)Adecvarea: Matricea dimensiunilor n ncu rânduri liniar independente Poate fi întotdeauna redusă la o formă triunghiulară folosind transformări care nu modifică valoarea absolută a determinantului. Mai mult, din independența rândurilor matricei originale, rezultă că determinantul său este egal cu zero.
1. Dacă în matricea dimensiunilor n n cu element de rânduri liniar independent un 11 este egal cu zero, apoi coloana al cărei element a 1 j ¹ 0. Conform Lemei 1, un astfel de element există. Determinantul matricei transformate poate diferi de determinantul matricei originale numai în semn.
2. Din linii cu numere i>1 scădeți prima linie înmulțită cu fracția a i 1 /a 11. Mai mult, în prima coloană de rânduri cu numere i>1 va rezulta zero elemente.
3. Să începem să calculăm determinantul matricei rezultate prin descompunerea peste prima coloană. Deoarece toate elementele din el, cu excepția primului, sunt egale cu zero,
D nou = a 11 nou (-1) 1+1 D 11 nou,
Unde d 11 nou este determinantul unei matrice de dimensiuni mai mici.
Apoi, pentru a calcula determinantul D 11 repetați pașii 1, 2, 3 până când ultimul determinant se dovedește a fi determinantul matricei de mărime 1 1. Deoarece pasul 1 schimbă doar semnul determinantului matricei care se transformă, iar pasul 2 nu schimbă deloc valoarea determinantului, atunci, până la semn, vom obține în final determinantul matricei originale. În acest caz, deoarece datorită independenței liniare a rândurilor matricei originale, pasul 1 este întotdeauna satisfăcut, toate elementele diagonalei principale se vor dovedi a fi inegale cu zero. Astfel, determinantul final, conform algoritmului descris, este egal cu produsul elementelor nenule de pe diagonala principală. Prin urmare, determinantul matricei originale nu este egal cu zero. Q.E.D.
Anexa 2
Conceptele de dependență liniară și independență a unui sistem de vectori sunt foarte importante atunci când studiem algebrei vectoriale, deoarece conceptele de dimensiune și baza spațiului se bazează pe ele. În acest articol vom da definiții, vom lua în considerare proprietățile dependenței și independenței liniare, vom obține un algoritm pentru studierea unui sistem de vectori pentru dependența liniară și vom analiza în detaliu soluțiile exemplelor.
Navigare în pagină.
Determinarea dependenței liniare și a independenței liniare a unui sistem de vectori.
Să considerăm un set de vectori p n-dimensionali, notăm-i după cum urmează. Să facem o combinație liniară a acestor vectori și numere arbitrare 
(real sau complex): . Pe baza definiției operațiilor pe vectori n-dimensionali, precum și a proprietăților operațiilor de adunare a vectorilor și de înmulțire a unui vector cu un număr, se poate susține că combinația liniară scrisă reprezintă un vector n-dimensional, adică .
Așa am abordat definiția dependenței liniare a unui sistem de vectori.
Definiţie.
Dacă o combinație liniară poate reprezenta un vector zero, atunci când este printre numere 
există cel puțin unul diferit de zero, atunci se numește sistemul de vectori dependent liniar.
Definiţie.
Dacă o combinație liniară este un vector zero numai atunci când toate numerele sunt egale cu zero, atunci sistemul de vectori se numește liniar independent.
Proprietăți ale dependenței și independenței liniare.
Pe baza acestor definiții, formulăm și dovedim proprietățile dependenței liniare și ale independenței liniare ale unui sistem de vectori.
Dacă se adaugă mai mulți vectori la un sistem de vectori dependent liniar, sistemul rezultat va fi dependent liniar.
Dovada.
Deoarece sistemul de vectori este dependent liniar, egalitatea este posibilă dacă există cel puțin un număr diferit de zero din numere. . Lasă .
Să adăugăm mai mulți vectori la sistemul original de vectori 
, și obținem sistemul . Deoarece și , atunci combinația liniară de vectori ai acestui sistem este de forma
reprezintă vectorul zero și . În consecință, sistemul de vectori rezultat este dependent liniar.
Dacă mai mulți vectori sunt excluși dintr-un sistem de vectori liniar independent, atunci sistemul rezultat va fi liniar independent.
Dovada.
Să presupunem că sistemul rezultat este dependent liniar. Prin adăugarea tuturor vectorilor aruncați la acest sistem de vectori, obținem sistemul original de vectori. Prin condiție, este liniar independent, dar datorită proprietății anterioare de dependență liniară, trebuie să fie liniar dependent. Am ajuns la o contradicție, prin urmare presupunerea noastră este incorectă.
Dacă un sistem de vectori are cel puțin un vector zero, atunci un astfel de sistem este dependent liniar.
Dovada.
Fie vectorul din acest sistem de vectori zero. Să presupunem că sistemul original de vectori este liniar independent. Atunci egalitatea vectorială este posibilă numai când . Totuși, dacă luăm orice , diferit de zero, atunci egalitatea va fi în continuare adevărată, deoarece . În consecință, presupunerea noastră este incorectă, iar sistemul original de vectori este dependent liniar.
Dacă un sistem de vectori este dependent liniar, atunci cel puțin unul dintre vectorii săi este exprimat liniar în termenii celorlalți. Dacă un sistem de vectori este liniar independent, atunci niciunul dintre vectori nu poate fi exprimat în termenii celorlalți.
Dovada.
Mai întâi, să demonstrăm prima afirmație.
Fie ca sistemul de vectori să fie dependent liniar, atunci există cel puțin un număr diferit de zero și egalitatea este adevărată. Această egalitate poate fi rezolvată cu privire la , deoarece în acest caz avem 
În consecință, vectorul este exprimat liniar prin vectorii rămași ai sistemului, ceea ce trebuia demonstrat.
Acum să demonstrăm a doua afirmație.
Deoarece sistemul de vectori este liniar independent, egalitatea este posibilă numai pentru .
Să presupunem că un vector al sistemului este exprimat liniar în termenii celorlalți. Fie acest vector , atunci . Această egalitate poate fi rescrisă ca , pe partea stângă există o combinație liniară de vectori de sistem, iar coeficientul din fața vectorului este diferit de zero, ceea ce indică o dependență liniară a sistemului original de vectori. Așa că am ajuns la o contradicție, ceea ce înseamnă că proprietatea este dovedită.
Din ultimele două proprietăți rezultă o afirmație importantă:
dacă un sistem de vectori conține vectori și , unde este un număr arbitrar, atunci este dependent liniar.
Studiul unui sistem de vectori pentru dependență liniară.
Să punem o problemă: trebuie să stabilim o dependență liniară sau o independență liniară a unui sistem de vectori.
Întrebarea logică este: „cum se rezolvă?”
Ceva util din punct de vedere practic poate fi învățat din definițiile și proprietățile dependenței și independenței liniare ale unui sistem de vectori discutate mai sus. Aceste definiții și proprietăți ne permit să stabilim o dependență liniară a unui sistem de vectori în următoarele cazuri:
Ce să faci în alte cazuri, care sunt majoritatea?
Să ne dăm seama.
Să ne amintim formularea teoremei asupra rangului unei matrice, pe care am prezentat-o în articol.
Teorema.
Lasă r – rangul matricei A de ordinul p prin n, 
. Fie M baza minoră a matricei A. Toate rândurile (toate coloanele) ale matricei A care nu participă la formarea bazei minore M sunt exprimate liniar prin rândurile (coloanele) matricei care generează baza minorului M.
Acum să explicăm legătura dintre teorema privind rangul unei matrice și studiul unui sistem de vectori pentru dependența liniară.
Să compunem o matrice A, ale cărei rânduri vor fi vectorii sistemului studiat: 
Ce ar însemna independența liniară a unui sistem de vectori?
Din a patra proprietate a independenței liniare a unui sistem de vectori, știm că niciunul dintre vectorii sistemului nu poate fi exprimat în termenii celorlalți. Cu alte cuvinte, niciun rând al matricei A nu va fi exprimat liniar în termenii altor rânduri, prin urmare, independența liniară a sistemului de vectori va fi echivalentă cu condiția Rank(A)=p.
Ce va însemna o dependență liniară a unui sistem de vectori?
Totul este foarte simplu: cel puțin un rând al matricei A va fi exprimat liniar în termenii celorlalți, prin urmare, dependența liniară a sistemului de vectori va fi echivalentă cu condiția Rank(A)
.
Deci, problema studierii unui sistem de vectori pentru dependență liniară se reduce la problema găsirii rangului unei matrice compuse din vectori ai acestui sistem.
Trebuie remarcat că pentru p>n sistemul de vectori va fi liniar dependent.
Comentariu: la compilarea matricei A, vectorii sistemului pot fi luați nu ca rânduri, ci ca coloane.
Algoritm pentru studierea unui sistem de vectori pentru dependența liniară.
Să ne uităm la algoritm folosind exemple.
Exemple de studiere a unui sistem de vectori pentru dependență liniară.
Exemplu.
Este dat un sistem de vectori. Examinează-l pentru dependență liniară.
Soluţie.
Deoarece vectorul c este zero, sistemul original de vectori este dependent liniar datorită celei de-a treia proprietăți.
Răspuns:
Sistemul vectorial este dependent liniar.
Exemplu.
Examinați un sistem de vectori pentru dependența liniară.
Soluţie.
Nu este greu de observat că coordonatele vectorului c sunt egale cu coordonatele corespunzătoare ale vectorului înmulțite cu 3, adică . Prin urmare, sistemul original de vectori este dependent liniar.