Ultima dată am învățat cum să adunăm și să scădem fracții (vezi lecția „Adunarea și scăderea fracțiilor”). Cea mai dificilă parte a acestor acțiuni a fost aducerea fracțiilor la un numitor comun.
Acum este timpul să ne ocupăm de înmulțire și împărțire. Vestea bună este că aceste operații sunt chiar mai simple decât adunarea și scăderea. În primul rând, să luăm în considerare cel mai simplu caz, când există două fracții pozitive fără o parte întreagă separată.
Pentru a înmulți două fracții, trebuie să le înmulțiți separat numărătorii și numitorii. Primul număr va fi numărătorul noii fracții, iar al doilea va fi numitorul.
Pentru a împărți două fracții, trebuie să înmulțiți prima fracție cu a doua fracție „inversată”.
Desemnare:
Din definiție rezultă că împărțirea fracțiilor se reduce la înmulțire. Pentru a „întoarce” o fracție, trebuie doar să schimbați numărătorul și numitorul. Prin urmare, pe parcursul lecției vom lua în considerare în principal înmulțirea.
Ca rezultat al înmulțirii, poate apărea (și adesea apare) o fracție reductibilă -, desigur, trebuie redusă. Dacă după toate reducerile fracțiunea se dovedește a fi incorectă, întreaga parte ar trebui evidențiată. Dar ceea ce cu siguranță nu se va întâmpla cu înmulțirea este reducerea la un numitor comun: fără metode încrucișate, cei mai mari factori și cei mai puțini multipli comuni.
Prin definiție avem:
Înmulțirea fracțiilor cu părți întregi și fracții negative
Dacă fracțiile conțin o parte întreagă, acestea trebuie convertite în unele necorespunzătoare - și abia apoi multiplicate conform schemelor prezentate mai sus.
Dacă există un minus la numărătorul unei fracții, la numitor sau în fața acesteia, acesta poate fi scos din înmulțire sau îndepărtat cu totul conform următoarelor reguli:
- Plus cu minus dă minus;
- Două negative fac o afirmație.
Până acum, aceste reguli au fost întâlnite doar la adunarea și scăderea fracțiilor negative, când era necesar să scăpăm de întreaga parte. Pentru o lucrare, acestea pot fi generalizate pentru a „arde” mai multe dezavantaje simultan:
- Trimitem negativele în perechi până când dispar complet. În cazuri extreme, poate supraviețui un minus - cel pentru care nu a existat pereche;
- Dacă nu mai sunt minusuri, operațiunea este finalizată - puteți începe să înmulțiți. Dacă ultimul minus nu este tăiat pentru că nu a existat o pereche pentru el, îl scoatem în afara limitelor înmulțirii. Rezultatul este o fracție negativă.
Sarcină. Găsiți sensul expresiei:
Convertim toate fracțiile în fracții improprii și apoi scoatem minusurile din înmulțire. Înmulțim ceea ce rămâne după regulile obișnuite. Primim:
Permiteți-mi să vă reamintesc încă o dată că minusul care apare în fața unei fracții cu o parte întreagă evidențiată se referă în mod specific la întreaga fracție, și nu doar la întreaga sa parte (acest lucru se aplică ultimelor două exemple).
De asemenea, acordați atenție numerelor negative: atunci când înmulțiți, acestea sunt incluse în paranteze. Acest lucru se face pentru a separa minusurile de semnele de înmulțire și pentru a face întreaga notație mai precisă.
Reducerea fracțiilor din mers
Înmulțirea este o operație care necesită multă muncă. Numerele de aici se dovedesc a fi destul de mari și, pentru a simplifica problema, puteți încerca să reduceți și mai mult fracția. înainte de înmulțire. Într-adevăr, în esență, numărătorii și numitorii fracțiilor sunt factori obișnuiți și, prin urmare, ei pot fi redusi folosind proprietatea de bază a unei fracții. Aruncă o privire la exemple:
Sarcină. Găsiți sensul expresiei:
Prin definiție avem:
În toate exemplele, numerele care au fost reduse și ceea ce rămâne din ele sunt marcate cu roșu.
Vă rugăm să rețineți: în primul caz, multiplicatorii s-au redus complet. În locul lor rămân unități care, în general, nu trebuie scrise. În al doilea exemplu, nu a fost posibil să se realizeze o reducere completă, dar suma totală a calculelor a scăzut în continuare.
Cu toate acestea, nu utilizați niciodată această tehnică atunci când adăugați și scădeți fracții! Da, uneori există numere similare pe care doriți doar să le reduceți. Aici, uite:
Nu poți face asta!
Eroarea apare din cauza faptului că atunci când se adună numărătorul unei fracții, apare suma și nu produsul numerelor. Prin urmare, este imposibil să se aplice proprietatea de bază a unei fracții, deoarece în această proprietate despre care vorbimîn special despre înmulțirea numerelor.
Pur și simplu nu există alte motive pentru reducerea fracțiilor, așa că soluția corectă la problema anterioară arată astfel:
Solutia corecta:
După cum puteți vedea, răspunsul corect s-a dovedit a nu fi atât de frumos. În general, fii atent.
1. Pentru a împărți prima fracție la a doua, trebuie să înmulțiți dividendul cu numărul care este inversul divizorului.
Pentru fracțiile proprii și improprii, regula împărțirii este următoarea:
Pentru a împărți o fracție comună, trebuie să înmulțiți numărătorul dividendului cu numitorul divizorului și să înmulțiți numitorul dividendului cu numărătorul divizorului. Luăm primul produs ca numărător, iar al doilea ca numitor.
Împărțirea unei fracții la o fracție.
Pentru a împărți prima fracție comună la a doua, nu faceți egal cu zero, necesar:
- înmulțiți numărătorul primei fracții cu numitorul celei de-a doua fracții și scrieți produsul în numărătorul fracției rezultate;
- înmulțiți numitorul primei fracții cu numărătorul celei de-a doua fracții și scrieți produsul în numitorul fracției rezultate.
Cu alte cuvinte, împărțirea fracțiilor duce la înmulțire.
Pentru a împărți prima fracție la a doua, trebuie să înmulțiți dividendul (prima fracție) cu fracția reciprocă a divizorului.
Împărțirea unei fracții la un număr.
Schematic, împărțirea unei fracții la un număr natural arată astfel:
Pentru a împărți o fracție la un număr natural, utilizați următoarea metodă:
Exprimăm un număr natural ca fracție improprie cu un numărător care este egal cu numărul însuși și un numitor care este egal cu 1.
Numerele fracționale obișnuite întâlnesc mai întâi școlari în clasa a V-a și îi însoțesc pe tot parcursul vieții, deoarece în viața de zi cu zi este adesea necesar să se ia în considerare sau să se folosească un obiect nu ca un întreg, ci în bucăți separate. Începeți să studiați acest subiect - acțiuni. Acțiunile sunt părți egale, în care se împarte acest sau acel obiect. La urma urmei, nu este întotdeauna posibil să se exprime, de exemplu, lungimea sau prețul unui produs ca număr întreg, ar trebui luate în considerare părțile sau părțile unei anumite măsuri; Format din verbul „a împărți” - a împărți în părți și având rădăcini arabe, cuvântul „fracție” însuși a apărut în limba rusă în secolul al VIII-lea.
Expresiile fracționale au fost mult timp considerate cea mai dificilă ramură a matematicii. În secolul al XVII-lea, când au apărut primele manuale de matematică, ele erau numite „numere sparte”, ceea ce era foarte greu de înțeles de către oameni.
Forma modernă a resturilor fracționale simple, ale căror părți sunt separate printr-o linie orizontală, a fost promovată pentru prima dată de Fibonacci - Leonardo din Pisa. Lucrările sale sunt datate din 1202. Dar scopul acestui articol este de a explica simplu și clar cititorului cum se înmulțesc fracțiile mixte cu diferiți numitori.
Înmulțirea fracțiilor cu numitori diferiți
Inițial merită determinat tipuri de fracții:
- corecta;
- incorect;
- amestecat.
În continuare, trebuie să vă amintiți cum sunt înmulțite numerele fracționale cu aceiași numitori. Însăși regula acestui proces este ușor de formulat independent: rezultatul înmulțirii fracții simple cu aceiași numitori este o expresie fracționară, al cărei numărător este produsul numărătorilor, iar numitorul este produsul numitorilor acestor fracții. Adică, de fapt, noul numitor este pătratul unuia dintre cele existente.
La înmulțire fracții simple cu numitori diferiți pentru doi sau mai mulți factori regula nu se schimbă:
o/b * c/d = a*c/ b*d.
Singura diferență este că numărul rezultat sub linia fracțională va fi produsul unor numere diferite și, în mod natural, pătratul lui unu. expresie numerică este imposibil să-l numești.
Merită să luați în considerare înmulțirea fracțiilor cu numitori diferiți folosind exemple:
- 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
- 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .
Exemplele folosesc metode pentru reducerea expresiilor fracționale. Puteți reduce numai numerele numărătorului cu numerele numitorului factorii adiacenți deasupra sau sub linia fracției nu pot fi reduse.
Alături de simplu numere fracționare, există un concept de fracții mixte. Un număr mixt este format dintr-un număr întreg și o parte fracțională, adică este suma acestor numere:
1 4/ 11 =1 + 4/ 11.
Cum funcționează înmulțirea?
Sunt oferite mai multe exemple pentru a fi luate în considerare.
2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.
Exemplul folosește înmulțirea unui număr cu parte fracțională obișnuită, regula pentru această acțiune poate fi scrisă astfel:
o* b/c = a*b/c.
De fapt, un astfel de produs este suma resturilor fracționale identice, iar numărul de termeni indică acest număr natural. Caz special:
4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.
Există o altă soluție pentru înmulțirea unui număr cu un rest fracționar. Trebuie doar să împărțiți numitorul la acest număr:
d* e/f = e/f:d.
Această tehnică este utilă atunci când numitorul este împărțit la un număr natural fără rest sau, după cum se spune, la un număr întreg.
Convertiți numerele mixte în fracții improprii și obțineți produsul în modul descris anterior:
1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.
Acest exemplu implică metoda de prezentare fracție mixtă incorect, poate fi reprezentat și ca o formulă generală:
o bc = a*b+ c/c, unde numitorul noii fracții se formează prin înmulțirea întregii părți cu numitorul și adăugarea acesteia cu numărătorul restului fracționar inițial, iar numitorul rămâne același.
Acest proces funcționează și în reversul. Pentru a separa întreaga parte și restul fracționar, trebuie să împărțiți numărătorul unei fracții improprie la numitorul ei folosind un „colț”.
Înmulțirea fracțiilor improprii produs într-un mod general acceptat. Când scrieți sub o singură linie de fracție, trebuie să reduceți fracțiile după cum este necesar pentru a reduce numerele folosind această metodă și a facilita calcularea rezultatului.
Există mulți ajutoare pe Internet pentru a rezolva chiar și probleme complexe. probleme de matematicăîn diverse variante de program. Un număr suficient de astfel de servicii oferă asistență în calcularea înmulțirii fracțiilor cu numere diferite în numitori - așa-numitele calculatoare online pentru calcularea fracțiilor. Ele sunt capabile nu numai să se înmulțească, ci și să producă toate celelalte cele mai simple operatii aritmetice cu fracții obișnuite și numere mixte. Este ușor să lucrați cu acesta; completați câmpurile corespunzătoare de pe pagina site-ului și selectați semnul operatie matematicași faceți clic pe „calculați”. Programul calculează automat.
Tema operațiilor aritmetice cu fracții este relevantă pe tot parcursul educației elevilor de gimnaziu și liceu. În liceu nu mai consideră cea mai simplă specie, dar expresii fracționale întregi, dar cunoașterea regulilor de transformare și calcule obținute mai devreme este aplicată în forma sa originală. Cunoștințele de bază bine stăpânite oferă încredere deplină în rezolvarea cu succes a celor mai complexe probleme.
În concluzie, are sens să cităm cuvintele lui Lev Nikolaevici Tolstoi, care a scris: „Omul este o fracțiune. Nu stă în puterea omului să-și mărească numărătorul – meritele – dar oricine își poate reduce numitorul – părerea sa despre sine, iar odată cu această scădere se apropie de perfecțiunea lui.
Apare diviziunea. În acest articol vom vorbi despre împărțirea fracțiilor ordinare. În primul rând, vom da o regulă pentru împărțirea fracțiilor obișnuite și vom analiza exemple de împărțire a fracțiilor. În continuare ne vom concentra pe diviziune fracție comună la numere naturale și numere la fracții. În cele din urmă, să vedem cum să împărțim o fracție comună la un număr mixt.
Navigare în pagină.
Împărțirea unei fracții comune la o fracție comună
Se știe că împărțirea este acțiunea inversă a înmulțirii (vezi legătura dintre împărțire și înmulțire). Adică, împărțirea implică găsirea unui factor necunoscut atunci când produsul și un alt factor sunt cunoscuți. Același sens al împărțirii se păstrează la împărțirea fracțiilor obișnuite.
Să ne uităm la exemple de împărțire a fracțiilor obișnuite.
Rețineți că nu ar trebui să uităm de reducerea fracțiilor și separarea întregii părți dintr-o fracție improprie.
Împărțirea unei fracții la un număr natural
Îl dăm imediat regula pentru împărțirea unei fracții la un număr natural: pentru a împărți fracția a/b la un număr natural n, trebuie să lăsați numărătorul același și să înmulțiți numitorul cu n, adică .
Această regulă de împărțire decurge direct din regula împărțirii fracțiilor obișnuite. Într-adevăr, reprezentarea unui număr natural sub formă de fracție duce la următoarele egalități 
.
Să ne uităm la exemplul de împărțire a unei fracții la un număr.
Exemplu.
Împărțiți fracția 16/45 la numărul natural 12.
Soluţie.
Conform regulii de împărțire a unei fracții la un număr, avem 
. Să facem abrevierea: . Această împărțire este completă.
Răspuns:
.
Împărțirea unui număr natural la o fracție
Regula de împărțire a fracțiilor este similară regula pentru împărțirea unui număr natural la o fracție: pentru a împărți un număr natural n la o fracție comună a/b, trebuie să înmulțiți numărul n cu reciproca fracției a/b.
Conform regulii enunțate, , și regula pentru înmulțirea unui număr natural cu o fracție obișnuită permite rescrierea acestuia sub forma .
Să ne uităm la un exemplu.
Exemplu.
Împărțiți numărul natural 25 la fracția 15/28.
Soluţie.
Să trecem de la împărțire la înmulțire, avem 
. După reducerea și selectarea întregii părți, obținem .
Răspuns:
.
Împărțirea unei fracții la un număr mixt
Împărțirea unei fracții la un număr mixt se reduce cu ușurință la împărțirea fracțiilor obișnuite. Pentru a face acest lucru, este suficient să efectuați
Pentru a înțelege cum să împărțim fracțiile, să studiem regula și să folosim exemple pentru a vedea cum să o aplicăm.
Regula pentru împărțirea fracțiilor ordinare
Pentru a împărți două fracții, trebuie să înmulțiți primul număr cu al doilea (adică înmulțim prima fracție cu secunda inversată).
Exemple de împărțire a fracțiilor obișnuite:
Pentru a împărți aceste fracții, rescriem prima fracție și , inversul celei de-a doua (înmulțim dividendul cu inversul divizorului). Nimic nu poate fi scurtat aici.
Pentru a împărți aceste fracții, rescriem primul număr neschimbat și îl înmulțim cu reciproca celui de-al doilea 6 și 9 cu 3, 20 și 25 cu 5. Fracția rezultată 8/15 este proprie și ireductibilă. Deci acesta este răspunsul final.
Lăsăm prima fracție neschimbată și o înmulțim cu reciproca celei de-a doua fracții. Reducem 45 și 36 cu 9, 65 și 52 cu 13. Ca rezultat, obținem o fracție improprie, din care .
La împărțirea a două numere egale primim unul, astfel încât să putem nota imediat răspunsul.
Pentru a împărți fracții, înmulțiți prima cu reciproca celei de-a doua. Reducem 23 și 23 cu 23, 14 și 7 cu 7. Deoarece numitorul este unul, răspunsul este un număr întreg.
Data viitoare ne vom uita la cum să împărțim un număr întreg la o fracție.