Formule de bază în fizică - vibrații și unde. Formule de bază în fizică - oscilații și unde Viteza și accelerația în timpul oscilațiilor armonice

Pe măsură ce studiați această secțiune, vă rugăm să rețineți că fluctuatii de natură fizică diferită sunt descrise din poziții matematice comune. Aici este necesar să înțelegem clar concepte precum oscilația armonică, fază, diferența de fază, amplitudine, frecvență, perioadă de oscilație.

Trebuie avut în vedere că în orice sistem oscilator real există rezistență a mediului, adică. oscilaţiile vor fi amortizate. Pentru a caracteriza amortizarea oscilațiilor se introduc un coeficient de amortizare și un decrement de amortizare logaritmic.

Dacă oscilațiile apar sub influența unei forțe externe, care se schimbă periodic, atunci astfel de oscilații se numesc forțate. Vor fi neamortizate. Amplitudinea oscilațiilor forțate depinde de frecvența forței motrice. Pe măsură ce frecvența oscilațiilor forțate se apropie de frecvența oscilațiilor naturale, amplitudinea oscilațiilor forțate crește brusc. Acest fenomen se numește rezonanță.

Când treceți la studiul undelor electromagnetice, trebuie să înțelegeți clar acest lucruunde electromagneticeeste un câmp electromagnetic care se propagă în spațiu. Cel mai simplu sistem care emite unde electromagnetice este un dipol electric. Dacă un dipol suferă oscilații armonice, atunci emite o undă monocromatică.

Tabel de formule: oscilații și unde

Legi fizice, formule, variabile	Formule de oscilație și unde
Ecuația vibrației armonice: unde x este deplasarea (abaterea) mărimii fluctuante de la poziția de echilibru; A - amplitudine; ω - frecvență circulară (ciclică); α - faza initiala; (ωt+α) - faza.
Relația dintre perioadă și frecvența circulară:
Frecvenţă:
Relația dintre frecvența circulară și frecvența:
Perioade de oscilații naturale 1) pendul cu arc: unde k este rigiditatea arcului; 2) pendul matematic: unde l este lungimea pendulului, g - accelerația în cădere liberă; 3) circuit oscilator: unde L este inductanța circuitului, C este capacitatea condensatorului.
Frecvența naturală:
Adăugarea oscilațiilor de aceeași frecvență și direcție: 1) amplitudinea oscilației rezultate unde A 1 și A 2 sunt amplitudinile componentelor vibrației, α 1 și α 2 - fazele inițiale ale componentelor de vibrație; 2) faza inițială a oscilației rezultate
Ecuația oscilațiilor amortizate: e = 2,71... - baza logaritmilor naturali.
Amplitudinea oscilațiilor amortizate: unde A 0 este amplitudinea la momentul inițial de timp; β - coeficient de atenuare;
Coeficient de atenuare: corp oscilant unde r este coeficientul de rezistență al mediului, m - greutatea corporală; circuit oscilator unde R este rezistența activă, L este inductanța circuitului.
Frecvența oscilațiilor amortizate ω:
Perioada de oscilații amortizate T:
Scădere de amortizare logaritmică:

Până acum, am luat în considerare oscilațiile naturale, adică oscilațiile care apar în absența influențelor externe. Influența externă a fost necesară doar pentru a scoate sistemul din echilibru, după care a fost lăsat în voia lui. Ecuația diferențială a oscilațiilor naturale nu conține nicio urmă de influență externă asupra sistemului: această influență se reflectă doar în condițiile inițiale.

Stabilirea oscilaţiilor. Dar de foarte multe ori trebuie să se confrunte cu fluctuațiile care apar cu o influență externă constant prezentă. Deosebit de important și în același timp destul de simplu de studiat este cazul când forța externă este periodică. O caracteristică comună a oscilațiilor forțate care apar sub influența unei forțe externe periodice este aceea că la ceva timp după apariția forței externe, sistemul își „uită” complet starea inițială, oscilațiile devin staționare și nu depind de condițiile inițiale. . Condițiile inițiale apar numai în perioada de stabilire a oscilațiilor, care se numește de obicei proces de tranziție.

Efect sinusoidal. Să luăm mai întâi în considerare cel mai simplu caz de oscilații forțate ale unui oscilator sub influența unei forțe externe care variază în funcție de o lege sinusoidală:

Orez. 178. Excitarea oscilaţiilor forţate ale unui pendul

O astfel de influență externă asupra sistemului poate fi efectuată în diferite moduri. De exemplu, puteți lua un pendul sub formă de minge pe o tijă lungă și un arc lung cu rigiditate scăzută și îl puteți atașa la tija pendulului în apropierea punctului de suspendare, așa cum se arată în Fig. 178. Celălalt capăt al unui arc orizontal trebuie făcut să se miște conform legii? folosind un mecanism cu manivelă acţionat de un motor electric. Actual

pe pendulul din partea arcului, forța de antrenare va fi aproape sinusoidală dacă domeniul de mișcare a capătului din stânga arcului B este mult mai mare decât amplitudinea oscilației tijei pendulului în punctul în care este atașat arcul C.

Ecuația mișcării. Ecuația de mișcare pentru acest și alte sisteme similare, în care, împreună cu forța de restabilire și forța de rezistență, o forță externă motrice care acționează sinusoid în timp acționează asupra oscilatorului, poate fi scrisă sub forma

Aici partea stângă, în conformitate cu a doua lege a lui Newton, este produsul dintre masă și accelerație. Primul termen din partea dreaptă reprezintă forța de restabilire proporțională cu deplasarea din poziția de echilibru. Pentru o sarcină suspendată pe un arc, aceasta este o forță elastică, iar în toate celelalte cazuri, când natura sa fizică este diferită, această forță se numește cvasielastică. Al doilea termen este forța de frecare, proporțională cu viteza, de exemplu, forța de rezistență a aerului sau forța de frecare în axă. Amplitudinea și frecvența forței motrice care balansează sistemul vor fi considerate constante.

Împărțim ambele părți ale ecuației (2) la masă și introducem notația

Acum ecuația (2) ia forma

În absența unei forțe motrice, partea dreaptă a ecuației (4) dispare și, așa cum ar fi de așteptat, se reduce la ecuația oscilațiilor naturale amortizate.

Experiența arată că în toate sistemele, sub influența unei forțe exterioare sinusoidale, se stabilesc în cele din urmă oscilații, care au loc și după o lege sinusoidală cu frecvența forței motrice co și cu o amplitudine constantă a, dar cu o oarecare defazare relativă. la forța motrice. Astfel de oscilații se numesc oscilații forțate în regim de echilibru.

Oscilații la starea de echilibru. Să luăm în considerare mai întâi oscilațiile forțate în regim de echilibru și, pentru simplitate, vom neglija frecarea. În acest caz, ecuația (4) nu va conține un termen care să conțină viteza:

Să încercăm să căutăm o soluție corespunzătoare oscilațiilor forțate în regim permanent, sub forma

Să calculăm derivata a doua și să o înlocuim împreună cu în ecuația (5):

Pentru ca această egalitate să fie valabilă în orice moment, coeficienții pentru stânga și dreapta trebuie să fie aceiași. Din această condiție găsim amplitudinea oscilațiilor a:

Să studiem dependența amplitudinii a de frecvența forței motrice. Graficul acestei dependențe este prezentat în Fig. 179. Când formula (8) dă Înlocuirea valorilor aici vedem că o forță constantă de timp deplasează pur și simplu oscilatorul într-o nouă poziție de echilibru, deplasată de la cea veche de la (6) rezultă că atunci când deplasarea

asa cum evident ar trebui sa fie.

Orez. 179. Graficul dependenței

Relații de fază. Pe măsură ce frecvența forței motrice crește de la 0 la starea staționară, apar oscilații în fază cu forța motrice și amplitudinea acestora crește constant, la început lent, și pe măsură ce se apropie de - din ce în ce mai rapid: la amplitudinea oscilațiilor crește la nesfârșit

Pentru valorile co care depășesc frecvența oscilațiilor naturale, formula (8) oferă o valoare negativă pentru a (Fig. 179). Din formula (6) este clar că atunci când oscilațiile apar în antifază cu forța motrice: când forța acționează într-o direcție, oscilatorul este deplasat în sens opus. Cu o creștere nelimitată a frecvenței forței motrice, amplitudinea oscilațiilor tinde spre zero.

În toate cazurile, este convenabil să se considere amplitudinea oscilațiilor ca fiind pozitivă, ceea ce este ușor de realizat prin introducerea unui defazaj între forțare.

forță și deplasare:

Aici a este încă dat de formula (8), iar defazarea este egală cu zero la și egală cu . 180.

Orez. 180. Amplitudinea și faza oscilațiilor forțate

Rezonanţă. Dependența amplitudinii oscilațiilor forțate de frecvența forței motrice este nemonotonă. O creștere bruscă a amplitudinii oscilațiilor forțate pe măsură ce frecvența forței motrice se apropie de frecvența naturală a oscilatorului se numește rezonanță.

Formula (8) oferă o expresie pentru amplitudinea oscilațiilor forțate, neglijând frecarea. Cu această neglijare, amplitudinea oscilațiilor ajunge la infinit atunci când frecvențele coincid exact. În realitate, amplitudinea oscilațiilor, desigur, nu poate merge la infinit.

Aceasta înseamnă că atunci când descriem oscilații forțate în apropierea rezonanței, luarea în considerare a frecării este fundamental necesară. Când se ia în considerare frecarea, amplitudinea oscilațiilor forțate la rezonanță se dovedește a fi finită. Cu cât frecarea în sistem este mai mare, cu atât va fi mai mică. Departe de rezonanță, formula (8) poate fi folosită pentru a afla amplitudinea oscilațiilor chiar și în prezența frecării, dacă nu este prea puternică, adică mai mult, această formulă, obținută fără a ține cont de frecare, are sens fizic doar atunci când mai exista frecare. Faptul este că însuși conceptul de oscilații forțate în stare de echilibru este aplicabil numai sistemelor în care există frecare.

Dacă nu ar exista deloc frecare, atunci procesul de stabilire a oscilațiilor ar continua la nesfârșit. În realitate, aceasta înseamnă că expresia (8) obținută fără a lua în considerare frecarea pentru amplitudinea oscilațiilor forțate va descrie corect oscilațiile din sistem numai după o perioadă de timp suficient de mare după începerea acțiunii forței motrice. Cuvintele „o perioadă de timp suficient de lungă” înseamnă aici că procesul de tranziție s-a încheiat deja, a cărui durată coincide cu timpul caracteristic de atenuare a oscilațiilor naturale din sistem.

La frecare scăzută, oscilațiile forțate în regim de echilibru apar în fază cu forța motrice la și în antifază la ambele și în absența frecării. Cu toate acestea, aproape de rezonanță, faza nu se schimbă brusc, ci continuu, și cu coincidența exactă a frecvențelor, deplasarea rămâne în fază în urma forței motrice cu (un sfert de perioadă). Viteza se schimbă în fază cu forța motrice, ceea ce asigură cele mai favorabile condiții pentru transferul energiei de la sursa forței motrice externe la oscilator.

Care este semnificația fizică a fiecăruia dintre termenii din ecuația (4), care descrie oscilațiile forțate ale oscilatorului?

Ce sunt oscilațiile forțate în stare staționară?

În ce condiții se poate folosi formula (8) pentru amplitudinea oscilațiilor forțate în regim de echilibru, obținute fără a ține cont de frecare?

Ce este rezonanța? Dați exemple cunoscute de dvs. de manifestare și utilizare a fenomenului de rezonanță.

Descrieți defazarea dintre forța de antrenare și deplasarea pentru diferite rapoarte dintre frecvența co din forța de antrenare și frecvența naturală a oscilatorului.

Ce determină durata procesului de stabilire a oscilațiilor forțate? Spuneți motivele răspunsului dvs.

Diagrame vectoriale. Puteți verifica validitatea afirmațiilor de mai sus dacă obțineți o soluție a ecuației (4), care descrie oscilații forțate în stare de echilibru în prezența frecării. Întrucât oscilațiile în regim staționar apar cu frecvența forței motrice c și cu o anumită schimbare de fază, soluția ecuației (4), corespunzătoare unor astfel de oscilații, ar trebui căutată sub forma

În acest caz, viteza și accelerația se vor schimba, evident, și în timp, conform legii armonice:

Este convenabil să se determine amplitudinea a oscilațiilor forțate în regim de echilibru și defazarea utilizând diagrame vectoriale. Să profităm de faptul că valoarea instantanee a oricărei mărimi care variază conform legii armonice poate fi reprezentată ca o proiecție a unui vector pe o direcție preselectată, iar vectorul însuși se rotește uniform în planul cu o frecvență co, iar lungimea sa constantă este egală cu

valoarea amplitudinii acestei marimi oscilante. În conformitate cu aceasta, asociem fiecare termen al ecuației (4) cu un vector care se rotește cu viteza unghiulară, a cărui lungime este egală cu valoarea amplitudinii acestui termen.

Deoarece proiecția sumei mai multor vectori este egală cu suma proiecțiilor acestor vectori, ecuația (4) înseamnă că suma vectorilor asociați cu termenii din partea stângă este egală cu vectorul asociat cu valoarea de pe partea dreaptă. Pentru a construi acești vectori, scriem valorile instantanee ale tuturor termenilor din partea stângă a ecuației (4), ținând cont de relațiile

Din formulele (13) este clar că vectorul lungime asociat cu cantitatea este în față cu un unghi, vectorul asociat cu cantitatea. Vectorul lungime asociat cu termenul x este înainte cu vectorul lungime, adică acești vectori sunt direcționați directii opuse.

Poziția relativă a acestor vectori pentru un moment arbitrar în timp este prezentată în Fig. 181. Întregul sistem de vectori se rotește ca întreg cu viteza unghiulară c în sens invers acelor de ceasornic în jurul punctului O.

Orez. 181. Diagrama vectorială a oscilațiilor forțate

Orez. 182. Vector comparabil cu forța externă

Valorile instantanee ale tuturor cantităților sunt obținute prin proiectarea vectorilor corespunzători pe o direcție preselectată. Vectorul asociat cu partea dreaptă a ecuației (4) este egal cu suma vectorilor din Fig. 181. Această adăugare este prezentată în Fig. 182. Aplicând teorema lui Pitagora, obținem

de unde găsim amplitudinea oscilațiilor forțate în regim de echilibru a:

Defazatul dintre forța motrice și deplasare, așa cum se poate vedea din diagrama vectorială din Fig. 182, este negativ, deoarece vectorul lungime este în urmă cu vectorul Prin urmare

Deci, oscilațiile forțate în regim de echilibru apar conform legii armonice (10), unde a și sunt determinate prin formulele (14) și (15).

Orez. 183. Dependenţa amplitudinii oscilaţiilor forţate de frecvenţa forţei motrice

Curbele de rezonanță. Amplitudinea oscilațiilor forțate în regim staționar este proporțională cu amplitudinea forței motrice Să studiem dependența amplitudinii oscilațiilor de frecvența forței motrice. La atenuare scăzută această dependență are un caracter foarte ascuțit. Dacă atunci, pe măsură ce co tinde spre frecvența oscilațiilor libere, amplitudinea oscilațiilor forțate a tinde spre infinit, ceea ce coincide cu rezultatul obținut anterior (8). În prezența amortizării, amplitudinea oscilațiilor la rezonanță nu mai merge la infinit, deși depășește semnificativ amplitudinea oscilațiilor sub influența unei forțe externe de aceeași mărime, dar având o frecvență departe de cea rezonantă. Curbele de rezonanță pentru diferite valori ale constantei de amortizare y sunt prezentate în Fig. 183. Pentru a găsi limita de frecvență de rezonanță, trebuie să aflați la ce co expresia radicalului din formula (14) are un minim. Echivalând derivata acestei expresii cu zero (sau completând-o cu un pătrat complet), suntem convinși că amplitudinea maximă a oscilațiilor forțate are loc la

Frecvența de rezonanță se dovedește a fi mai mică decât frecvența oscilațiilor libere ale sistemului. La 7 mic, frecvența de rezonanță coincide practic cu Cu cât frecvența forței motrice tinde spre infinit, adică la amplitudinea a, după cum se poate observa din (14), tinde spre zero. Când, adică sub acțiunea unei forțe externe constante, amplitudinea Dacă înlocuim aici și obținem Aceasta este o deplasare statică a oscilatorului din poziția de echilibru sub acțiunea unei forțe constante și deplasarea oscilatorului are loc în antifaza cu forța motrice. În rezonanță, după cum se poate vedea din (15), deplasarea rămâne în urmă forței externe în fază cu A doua dintre formulele (13) arată că în acest caz forța externă se schimbă în fază cu viteza, adică acționează întotdeauna în direcția de mișcare. Că exact așa ar trebui să fie reiese clar din considerente intuitive.

Rezonanța vitezei. Din formula (13) este clar că amplitudinea oscilațiilor de viteză în timpul oscilațiilor forțate în regim de echilibru este egală cu . Folosind (14) obținem

Orez. 184. Amplitudinea vitezei în timpul oscilațiilor forțate constante

Dependența amplitudinii vitezei de frecvența forței externe este prezentată în Fig. 184. Curba de rezonanță pentru viteză, deși similară cu curba de rezonanță pentru deplasare, diferă de aceasta în unele privințe. Deci, adică, sub acțiunea unei forțe constante, oscilatorul experimentează o deplasare statică din poziția de echilibru și viteza sa după încheierea procesului de tranziție este zero. Din formula (19) este clar că amplitudinea vitezei la devine zero. Rezonanța vitezei apare atunci când frecvența forței externe coincide exact cu frecvența oscilațiilor libere

Cum se construiesc diagramele vectoriale pentru oscilații forțate în stare staționară sub influență externă sinusoidală?

Ce determină frecvența, amplitudinea și faza oscilațiilor armonice forțate în stare de echilibru?

Descrieți diferențele dintre curbele de rezonanță pentru amplitudinea deplasării și amplitudinea vitezei. Ce caracteristici ale sistemului oscilator determină claritatea curbelor de rezonanță?

Cum este natura curbei de rezonanță legată de parametrii sistemului care determină amortizarea propriilor oscilații?

Forța Coriolis este egală cu:

unde este punctul greutate,-vectorviteza unghiulara sistem de referință rotativ, - vectorul vitezei de mișcare a unei mase punctuale în acest sistem de referință, parantezele pătrate indică operația produs vectorial.

Magnitudinea numita acceleratie Coriolis.

Prin natura fizica

Mecanic(sunet,vibratie)

Electromagnetic (aprinde,unde radio, termic)

Tip mixt- combinatii ale celor de mai sus

Prin natura interacțiunii cu mediul

Forţat - oscilaţii care apar în sistem sub influenţa influenţei periodice externe. Exemple: frunze pe copaci, ridicarea și coborârea unei mâini. În timpul oscilațiilor forțate, poate apărea un fenomen rezonanţă: o creștere bruscă a amplitudinii oscilațiilor la coincidență frecventa naturalaoscilatorși frecvența influenței externe.

Gratuit (sau propriu)- acestea sunt oscilații într-un sistem sub influența forțelor interne, după ce sistemul este scos din echilibru (în condiții reale, oscilațiile libere sunt întotdeauna decolorare).

Cele mai simple exemple de oscilații libere sunt oscilațiile unei greutăți atașate unui arc sau ale unei greutăți suspendate pe un filet. Auto-oscilații - fluctuatii in timpul carora sistemul are rezerva energie potenţială , cheltuit pe oscilații (un exemplu de astfel de sistem este). O diferență caracteristică între auto-oscilațiile și oscilațiile forțate este că amplitudinea lor este determinată de proprietățile sistemului însuși, și nu de condițiile inițiale.

Parametric - oscilații care apar atunci când orice parametru al sistemului oscilator se modifică ca urmare a influenței externe.

Aleatoriu - oscilaţii în care sarcina externă sau parametrică este un proces aleatoriu.

Vibrații armonice

Unde XOω

Oscilatie armonica generalizata in forma diferentiala

(Orice non-trivial

Viteza și accelerația în timpul oscilațiilor armonice.

Conform definiției vitezei, viteza este derivata unei poziții în raport cu timpul

Astfel, vedem că viteza în timpul mișcării oscilatorii armonice se modifică, de asemenea, conform legii armonice, dar oscilațiile vitezei sunt înaintea oscilațiilor de defazare cu p/2.

Valoare - viteza maximă a mișcării oscilatorii (amplitudinea fluctuațiilor de viteză).

Prin urmare, pentru viteza în timpul oscilației armonice avem: ,

iar pentru cazul fazei inițiale zero (vezi graficul).

Conform definiției accelerației, accelerația este derivata vitezei în raport cu timpul:

-

derivata a doua a coordonatei în raport cu timpul. Apoi: .

Accelerația în timpul mișcării oscilatorii armonice se modifică, de asemenea, conform legii armonice, dar oscilațiile de accelerație sunt înaintea oscilațiilor de viteză cu p/2 și a oscilațiilor de deplasare cu p (se spune că oscilațiile apar in antifaza).

Magnitudinea

Accelerația maximă (amplitudinea fluctuațiilor accelerației). Prin urmare, pentru accelerare avem: ,

iar pentru cazul fazei inițiale zero: (vezi graficul).

Din analiza procesului mișcării oscilatorii, grafice și expresii matematice corespunzătoare, este clar că atunci când corpul oscilant trece de poziția de echilibru (deplasarea este zero), accelerația este zero, iar viteza corpului este maximă (deplasarea este zero). corpul trece de poziția de echilibru prin inerție), iar când se atinge valoarea amplitudinii deplasării, viteza este egală cu zero, iar accelerația este maximă în valoare absolută (corpul își schimbă direcția mișcării).

Vibrații armonice- oscilații în care o mărime fizică (sau orice alta) se modifică în timp conform unei legi sinusoidale sau cosinusului. Ecuația cinematică a oscilațiilor armonice are forma

Unde X- deplasarea (abaterea) punctului oscilant de la pozitia de echilibru la momentul t; O- amplitudinea oscilaţiilor, aceasta este valoarea care determină abaterea maximă a punctului de oscilaţie de la poziţia de echilibru; ω - frecvența ciclică, o valoare care indică numărul de oscilații complete care au loc în 2π secunde - faza completă a oscilațiilor;

Oscilatie armonica generalizata in forma diferentiala

(Orice non-trivial soluția acestei ecuații diferențiale este o oscilație armonică cu o frecvență ciclică)

(lat. amplitudine- magnitudine) este cea mai mare abatere a corpului oscilant de la poziţia de echilibru.

Pentru un pendul, aceasta este distanța maximă pe care mingea se îndepărtează de poziția sa de echilibru (figura de mai jos). Pentru oscilații cu amplitudini mici, o astfel de distanță poate fi luată drept lungimea arcului 01 sau 02, precum și lungimile acestor segmente.

Amplitudinea oscilațiilor se măsoară în unități de lungime - metri, centimetri etc. Pe graficul oscilațiilor, amplitudinea este definită ca ordonată maximă (modulo) a curbei sinusoidale (vezi figura de mai jos).

Perioada de oscilație.

Perioada de oscilație- aceasta este cea mai scurtă perioadă de timp prin care un sistem oscilant revine din nou în aceeași stare în care se afla la momentul inițial de timp, ales arbitrar.

Cu alte cuvinte, perioada de oscilație ( T) este timpul în care are loc o oscilație completă. De exemplu, în figura de mai jos, acesta este timpul necesar pendulului să se deplaseze din punctul cel mai din dreapta prin punctul de echilibru. DESPRE până la punctul extrem din stânga și înapoi prin punct DESPRE din nou spre extrema dreapta.

Într-o perioadă completă de oscilație, corpul parcurge astfel o cale egală cu patru amplitudini. Perioada de oscilație se măsoară în unități de timp - secunde, minute etc. Perioada de oscilație poate fi determinată dintr-un grafic binecunoscut al oscilațiilor (vezi figura de mai jos).

Conceptul de „perioadă de oscilație”, strict vorbind, este valabil numai atunci când valorile mărimii oscilante se repetă exact după o anumită perioadă de timp, adică pentru oscilații armonice. Cu toate acestea, acest concept se aplică și cazurilor de cantități aproximativ repetate, de exemplu, pt oscilații amortizate.

Frecvența de oscilație.

Frecvența de oscilație- acesta este numărul de oscilații efectuate pe unitatea de timp, de exemplu, în 1 s.

Unitatea SI a frecvenței este numită hertz(Hz) în onoarea fizicianului german G. Hertz (1857-1894). Dacă frecvența de oscilație ( v) este egal cu 1 Hz, asta înseamnă că în fiecare secundă există o oscilație. Frecvența și perioada oscilațiilor sunt legate de relațiile:

În teoria oscilațiilor ei folosesc și conceptul ciclic, sau frecventa circulara ω . Este legat de frecvența normală vși perioada de oscilație T rapoarte:

.

Frecvența ciclică este numărul de oscilații efectuate per 2π secunde