Să presupunem că t este timpul în care pietonul s-a deplasat (în secunde), s este distanța pe care a parcurs-o (în metri). Dacă un pieton se deplasează uniform cu o viteză de 5 m/sec, atunci s = 5t. Este logic ca fiecare valoare a variabilei t să corespundă unei singure valori s. Formula s = 5t, unde t ≥ 0, definește funcția.
Să presupunem că n este numărul de pachete de înghețată, p este costul acestora (în ruble). Dacă prețul unui pachet de înghețată este de 6 ruble, atunci p = 6n. Este logic ca fiecare valoare a variabilei n să corespundă unei singure valori p.
Formula p = 6n, unde n € N, definește funcția.
În exemplele luate în considerare, am lucrat cu funcții specificate prin formule de forma y = kx, unde x și y sunt variabile, k nu este egal cu zero număr.
O funcție care poate fi specificată printr-o formulă de forma y = kx, unde k este un număr diferit de zero, se numește proporționalitate directă (= proporționalitate).
Numărul k se numește coeficient de proporționalitate. Se spune că variabila y este proporțională cu variabila x.
Domeniul de definire a proporționalității directe poate fi mulțimea tuturor numerelor sau a oricărui subset al acesteia. În exemplele date, în primul caz funcția a fost definită pe mulțimea numerelor pozitive, în al doilea - pe mulțimea numerelor naturale.
Din formula y = kh pentru x ≠ 0 rezultă că y/x = k. Este adevărat și invers: dacă y/x = k, atunci y = khx. Prin urmare, pentru a afla dacă funcția x - y este direct proporțională, comparați coeficientii y/x pentru toate perechile de valori corespunzătoare ale variabilelor x și y, în care x ≠ 0. Dacă acești coeficienti sunt egali cu același numărul k, diferit de zero, iar dacă x egal cu 0 corespunde lui y egal cu 0 (dacă 0 este inclus în domeniul de definire al funcției), atunci dependența lui y de x este proporționalitate directă.
Să luăm în considerare teoria în practică și să analizăm un exemplu.
Exemplu. Funcția a – b este dată de valori
Dacă a = -4, atunci b = -12. Dacă a = -3, atunci b = -9. Dacă a = -1,5, atunci b = -4,5. Dacă a = 2,5, atunci b = 7,5. Dacă a = 5, atunci b = 15. Dacă a = 6,1, atunci b = 18,3.
Este această funcție direct proporțională?
Pentru fiecare pereche (a; b) a valorilor corespunzătoare ale variabilelor a și b, găsim câtul b/a.
Dacă a = -4, atunci b = -12, atunci k = 3. Dacă a = -3, atunci b = -9, atunci k = 3. Dacă a = -1,5, atunci b = -4, 5, atunci k = 3. Dacă a = 2,5, atunci b = 7,5, atunci k = 3. Dacă a = 5, atunci b = 15, atunci k = 3. Dacă a = 6,1, atunci b = 18,3, ceea ce înseamnă k = 3.
Rezultă că coeficientii găsiți sunt egali cu același număr 3. Aceasta înseamnă că funcția f pe care o considerăm este proporționalitate directă.
Proporționalitatea directă este caracterizată de anumite proprietăți.
Dacă funcția x – y este proporționalitate directă și (x 1 ; y 1), (x 2 ; y 2) sunt perechi de valori corespunzătoare ale variabilelor x și y, și x 2 ≠ 0, atunci x 1 / x 2 = y 1 / y 2.
Dovada.
Fie k coeficientul de proporționalitate. Din formula y = khx avem că y 1 = kh 1, y 2 = kh 2 (deoarece x 2 ≠ 0 și k ≠ 0, atunci y 2 ≠ 0). De aici obținem y 1 / y 2 = kh 1 / kh 2 = x 1 / x 2.
Dacă valorile variabilelor x și y sunt numere pozitive, atunci putem formula proprietatea dovedită a proporționalității directe după cum urmează:
pe măsură ce valoarea lui x crește de mai multe ori, valoarea corespunzătoare a lui y crește cu aceeași cantitate; în mod similar: pe măsură ce valoarea lui x scade de mai multe ori, valoarea corespunzătoare a lui y crește cu aceeași cantitate.
Proprietatea stabilită a proporționalității directe este convenabilă de utilizat la rezolvarea problemelor. 
În 8 ore, strunjitorul a produs 17 piese. Câte ore îi vor dura unui operator de strung pentru a produce 85 de piese dacă lucrează la aceeași productivitate?
Soluţie.
Lăsați un strunjitor să aibă nevoie de x ore pentru a produce 85 de piese. la productivitate constantă, numărul de piese produse este direct proporțional cu timpul petrecut, atunci 8/x = 17/85.
Prin urmare, 17x = 8 ∙ 85; x = (8 ∙ 85)/17; x = 40.
Răspuns: strungărul va avea nevoie de 40 de ore.
blog.site, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursa originală.
Exemplu
1,6 / 2 = 0,8;4/5 = 0,8;
5,6 / 7 = 0,8 etc. Factorul de proporționalitate Se numește o relație constantă de mărimi proporționale
factor de proporționalitate
factor de proporționalitate. Coeficientul de proporționalitate arată câte unități dintr-o cantitate sunt pe unitatea alteia. Proporționalitate directă- dependenta functionala, in care o anumita cantitate depinde de o alta marime in asa fel incat raportul acestora sa ramana constant. Cu alte cuvinte, aceste variabile se schimbă
proporţional
, în părți egale, adică dacă argumentul se schimbă de două ori în orice direcție, atunci și funcția se schimbă de două ori în aceeași direcție.(x) = ox,o = const
Proporționalitate inversă
Proporționalitate inversă- aceasta este o dependență funcțională, în care o creștere a valorii independente (argumentului) determină o scădere proporțională a valorii dependente (funcției).
Matematic, proporționalitatea inversă se scrie sub formă de formulă:
Proprietățile funcției:
Surse
Fundația Wikimedia.
- 2010.
- A doua lege a lui Newton
bariera coulombiană
Vedeți ce înseamnă „Proporționalitate directă” în alte dicționare: proporționalitate directă - - [A.S. Goldberg. Dicționar energetic englez-rus. 2006] Subiecte energetice în general raport direct EN ...
Vedeți ce înseamnă „Proporționalitate directă” în alte dicționare: Ghidul tehnic al traducătorului
- tiesioginis proporcingumas statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. proporţionalitate directă vok. direkte Proportionalität, f rus. proporţionalitate directă, f pranc. proportionnalité direct, f … Fizikos terminų žodynas PROPORȚIONALITATE - (din latină proportionalis proporțional, proporțional). Proporționalitate. Dicționar de cuvinte străine incluse în limba rusă. Chudinov A.N., 1910. PROPORȚIONALITATE lat. proportionalis, proportional. Proporționalitate. Explicație 25000... ...
- tiesioginis proporcingumas statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. proporţionalitate directă vok. direkte Proportionalität, f rus. proporţionalitate directă, f pranc. proportionnalité direct, f … Fizikos terminų žodynas Dicționar de cuvinte străine ale limbii ruse - PROPORȚIONALITATE, proporționalitate, plural. nu, femeie (carte). 1. abstract substantiv la proporţional. Proporționalitatea pieselor. Proporționalitatea corpului. 2. O astfel de relație între cantități atunci când acestea sunt proporționale (vezi proporțional ... Dicţionar
Ushakova Proporționalitate - Sunt numite două proporționale cantități dependente
- tiesioginis proporcingumas statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. proporţionalitate directă vok. direkte Proportionalität, f rus. proporţionalitate directă, f pranc. proportionnalité direct, f … Fizikos terminų žodynas, dacă raportul dintre valorile lor rămâne neschimbat.. Cuprins 1 Exemplu 2 Coeficient de proporționalitate ... Wikipedia - PROPORȚIONALITATE și, feminin. 1. vezi proporțional. 2. La matematică: o astfel de relație între mărimi în care o creștere a uneia dintre ele atrage după sine modificarea celeilalte în aceeași valoare. Linie dreaptă (cu o tăietură cu o creștere cu o valoare... ...
Dicționarul explicativ al lui Ozhegov proporționalitatea - Și; şi. 1. la Proporțional (1 valoare); proporționalitatea. P. piese. P. fizic. P. reprezentare în parlament. 2. Matematică. Dependența dintre cantitățile care se schimbă proporțional. Factorul de proporționalitate. Linie directă (în care cu... ...
Dicţionar Enciclopedic
Graficul de proporționalitate directă
Obiectivele lecției:
Determinați tipul graficului de proporționalitate directă; Investigați dependența locației graficului de proporționalitate directă de plan de coordonate
Dezvoltați capacitatea de a construi un grafic de proporționalitate directă folosind o formulă și efectuați acțiunea inversă - notați formula unei funcții conform graficului;
Contribuie la dezvoltarea independenței, responsabilității, acurateței la construirea desenelor;
Învață să pui și să rezolvi probleme;
Cultivați voința și perseverența de a obține rezultate finale, atitudine respectuoasă față de colegii de clasă.
Rezultate planificate:
Abilități de subiect: repetarea materialului teoretic pe o anumită temă; formarea de cunoștințe și deprinderi asupra materialului studiat, consolidarea deprinderilor în construirea unui grafic de proporționalitate directă;
Abilități personale de învățare: dezvoltarea abilităților de autoanaliză și autocontrol, abilități de elaborare a algoritmilor pentru a îndeplini o anumită sarcină, motivație durabilă de a învăța;
Controlul de management normativ: definirea unui scop, căutarea mijloacelor pentru a-l atinge, identificarea abaterilor de la standard în munca proprie, înțelegerea cauzelor erorilor;
UUD cognitiv: capacitatea de a înlocui termeni cu definiții, de a evidenția și de a formula o problemă, de a exprima sensul unei situații folosind un algoritm;
Activități de învățare comunicativă: reglarea propriilor activități prin acțiuni de vorbire, capacitatea de a organiza interacțiunea educațională în echipă, pereche, capacitatea de a exprima un punct de vedere, justificarea lui cu argumente.
Componenta corectivă a lecției:
Repetarea repetată a informațiilor folosind suporturi materializate;
Întocmirea și aplicarea algoritmului;
Automatizarea pronunției și scrierii termenilor cu structură silabică complexă.
Tip de lecție: stăpânirea noilor cunoștințe și abilități folosind elemente.
Principii de antrenament:
Ştiinţific;
Sistematicitate și consecvență;
Vizibilitate;
Confort.
Metode de predare: individual, frontal, de grup, verbal-vizual, parțial de căutare.
Echipament pentru lecție: calculator, proiector, prezentare multimedia.
Dotare: portretul lui R. Descartes, afiș cu declarație, instrumente de desen, creioane colorate, cartonașe pentru munca individuală și colectivă a elevilor; material pentru fișe.
Manual: „Algebră. clasa a VII-a”: manual pentru instituţiile de învăţământ general / [, ]; editat de . – ed. a XIX-a. – M.: Educație, 2012.
Planul lecției:
1. Moment organizatoric.
2. Motivația lecției.
3. Actualizarea cunoștințelor de bază ale elevilor.
4. Formularea temei lecției, scopuri, obiective.
5. Etapa principală a lecției:
1) stăpânirea noilor cunoștințe urmând instrucțiuni;
2) elaborarea unui algoritm pentru construirea unui grafic de proporţionalitate directă;
3) munca de cercetare.
6. Minutul de educație fizică.
7. Fixare primară:
1) finalizarea sarcinilor de dezvoltare a algoritmului;
2) munca independentă.
9. Rezumatul lecției.
10. Reflecție.
Progresul lecției
I. Moment organizatoric.
(Diapozitivul 1) Salutare reciprocă. Verificarea gradului de pregătire pentru lecție.
II. Motivația.
1. (Diapozitivul 2) – Aș dori să încep lecția cu următoarele cuvinte: „Gândesc, deci exist”, care au fost spuse de omul de știință francez Rene Descartes.
Rene Descartes este mai bine cunoscut ca un mare filozof. Dar tocmai în matematică meritele sale sunt atât de mari încât este inclus pe bună dreptate printre marii matematicieni. Băieții au pregătit rapoarte despre viața și opera lui Descartes.
(Diapozitivul 3) Mesaj 1. Descartes sa născut în Franța, în orășelul Lae. Tatăl său era avocat, mama lui a murit când Rene avea 1 an. După ce a absolvit o facultate pentru fiii familiilor aristocratice, el, după exemplul fratelui său, a început să studieze. La 22 de ani, a părăsit Franța și a servit în diverse trupe ca ofițer voluntar.
Descartes în învățătura sa filozofică a dezvoltat ideea atotputerniciei minții umane și, prin urmare, a fost persecutat Biserica Catolică. Dorind să găsească refugiu pentru o muncă liniștită de filozofie și matematică, de care era interesat încă din copilărie, Descartes s-a stabilit în Olanda în 1629, unde a trăit aproape până la sfârșitul vieții. Toate lucrările majore ale lui Descartes despre filozofie, matematică, fizică, cosmologie și fiziologie au fost scrise de el în Olanda.
(Diapozitivul 4) Mesaj 2. Descartes a introdus în matematică semnele „+” și „-” pentru a desemna cantități pozitive și negative, desemnarea unui grad și semnul pentru a desemna o cantitate infinit de mare. Pentru mărimile variabile și necunoscute, Descartes a adoptat notația x, y, z, iar pentru mărimile cunoscute și constante – a, b, c. Aceste notații sunt folosite în matematică până astăzi. El a introdus un sistem de coordonate care a fost numit după el. Timp de 150 de ani, matematica s-a dezvoltat pe căile trasate de Descartes.
Să urmăm sfatul omului de știință. Vom fi activi, atenți, vom gândi, vom gândi și vom învăța lucruri noi, pentru că cunoștințele îți vor fi de folos în viața ulterioară. Și aș dori să propun aceste cuvinte ale lui R. Descartes ca motto al lecției noastre: „Respectul față de ceilalți dă naștere respectului față de sine”.
2. – Acum să lucrăm cu termenii matematici pe care îi vom folosi în lecție. Completați singur sarcina nr. 1 de pe card.
Fișă, sarcina 1. Corectați greșelile făcute în orttografia termenilor:
Cordinata
Ardinata
Coeficient
Argument
Schimbarea
Schimbați cardurile și verificați dacă toate greșelile sunt corectate.
(Diapozitivul 5) – Să verificăm diapozitivul.
III. Actualizarea cunoștințelor.
– Să ne amintim materialul principal al lecțiilor anterioare, pe care ne vom baza.
1. Definiți proporționalitatea directă.
2. (Diapozitivul 6) – Folosiți formula pentru a determina care dintre funcții este direct proporțională:
a) y = 182x; c) y = -17x2;
b) y = ; d) y = 3x + 11.
3. Card, sarcina 2. Distribuiți formulele în 2 grupuri. În primul grup scrieți funcții care sunt direct proporționale, în al doilea - cele care nu sunt. Pentru proporționalitate directă, subliniați coeficientul k.
y = 2x; y = 3x – 7; y = -0,2x; y = ; y = x2; y = x; y = 8 + 3x; y = - x; y = 70x
(Diapozitivul 7) – Testează-te. Cine a completat-o fără erori? Bine făcut. Văd că ești bine pregătit pentru lecție și ești pregătit să înveți material nou.
IV. Formularea temei lecției, scopuri, obiective.
Acum am luat în considerare proporționalitatea directă dată de formulă. Gândește-te cum altfel poți întreba această funcție? Care metodă este mai vizuală? Deci, tema lecției noastre... (formulată de elevi).
Elevii notează subiectul lecției în caiet.
Pe baza întrebărilor directoare ale profesorului, elevii formulează scopurile și obiectivele lecției.
V. Etapa principală a lecției.
1. – Să facem puțină muncă practică.
Fiecare elev primește o coală de hârtie cu formula de proporționalitate directă. Scopul este de a lucra cu formula conform instrucțiunilor scrise în sarcina 3 a cardului.
(Diapozitivul 8) y = x y = - x
y = 1,5x y = -1,5x
Card, sarcina 3. Instrucțiuni:
- completați tabelul cu valorile funcției pentru -3 ≤ x ≤ 3 cu pasul 1; marcați punctele din planul de coordonate ale căror coordonate sunt plasate în tabel; conectați punctele.
Apoi elevii răspund la întrebările profesorului:
Unde sunt punctele pe care le-ai trasat?
Ce s-a întâmplat când ai conectat punctele?
Ce este special la locația unei linii drepte în planul de coordonate?
Ce concluzie se poate trage din asta?
Elevii formulează o concluzie despre tipul de grafic de proporționalitate directă și caracteristicile acestuia.
Să-l găsim în manual și să-l comparăm cu cel primit.
2. – Pentru a construi o dreaptă, câte puncte trebuie să știm?
Avem deja unul. Care?
Deci, de câte puncte mai trebuie să avem pentru a construi un grafic de proporționalitate directă?
Pe baza acestor concluzii, elevii creează un algoritm pentru construirea unui grafic de proporționalitate directă.
Algoritm
1. Găsiți coordonatele unui punct de pe graficul unei funcții date (alta decât originea).
2. Marcați acest punct pe planul de coordonate.
3. Desenați o linie dreaptă prin acest punct și origine.
3. – Acum vom face o mică cercetare și vom trage o concluzie, iar mai târziu veți afla despre ce este vorba.
Mâinile sus dacă ați avut o funcție cu un coeficient k pozitiv. În ce sferturi de coordonate sunt situate graficele dvs.?
Mâinile sus pentru cei care au avut o funcție cu un coeficient k negativ. În ce sferturi de coordonate sunt situate graficele dvs.?
Ca urmare munca de cercetare Elevii trag concluzii despre localizarea graficelor de proporționalitate directă în funcție de semnul coeficientului k și le compară cu concluziile din manual.
VI. Minut de educație fizică. (Diapozitivul 10)
S-au ridicat repede și au zâmbit.
Se întindeau din ce în ce mai sus.
Hai, îndreaptă-ți umerii,
Ridicați, coborâți.
Virați la dreapta, virați la stânga,
Atinge-ți mâinile cu genunchii.
S-au așezat și s-au ridicat. S-au așezat și s-au ridicat.
Și au fugit pe loc.
VII. Consolidare primară.
1. Efectuarea unei sarcini de dezvoltare a unui algoritm pentru construirea unui grafic de proporționalitate directă, găsirea din grafic a valorilor unei funcții pe baza unei valori cunoscute a argumentului și invers.
Elevii completează numărul 000(a, b) din manual în caiete și pe tablă.
La finalizarea acestei sarcini, repetăm cu elevii regula de a afla valoarea unei funcții dintr-o valoare dată a argumentului dintr-un grafic și invers (marcăm un punct pe axa absciselor; trasăm o dreaptă perpendiculară pe axa absciselor). până când se intersectează cu graficul funcției din punctul rezultat coborâm o perpendiculară pe axa ordonatelor și găsim valoarea ordonatei corespunzătoare).
De asemenea, arătăm în acest exemplu că alegerea dimensiunii corecte a segmentului unitar și a abscisei punctului selectat este foarte importantă.
2. Munca independentă(în funcție de disponibilitatea timpului).
Lucrați conform figurii 26 din manual.
(Diapozitivul 11) - Ce părere aveți, este posibil să scrieți formula sa analitică folosind graficul unei funcții?
Împreună cu elevii aflăm că toate graficele sunt drepte care trec prin originea coordonatelor, ceea ce înseamnă că funcțiile sunt proporționalitate directă și pot fi specificate printr-o formulă de forma y = khx. Problema se rezumă la găsirea coeficientului k. Pentru a face acest lucru, pe fiecare grafic selectăm un punct arbitrar cu coordonate întregi.
(Diapozitivul 12) – Testează-te.
VIII. Tema pentru acasă: paragraful 15 (învață regulile); Nr. 000 (a), 301 (b) – construiți grafice folosind algoritmul; 302 – răspunde la întrebare, gândește-te la o soluție.
IX. Rezumatul lecției.
La ce am lucrat astăzi în clasă?
Ce este un grafic de proporționalitate directă?
Care este algoritmul pentru construirea unui grafic?
Cum se află graficul funcției y = khx pentru k în planul de coordonate?< 0 и при k > 0?
X. Reflecție. (Diapozitivul 14)
Te-a interesat lecția?
Cine crede că a lucrat bine astăzi?
Ce dificultăți ai avut la lecție?
(Diapozitivul 15) - Ai făcut o treabă bună la lecție. Bine făcut! Aș dori în special să notez... Vă mulțumesc tuturor! Lecția s-a terminat.
Ushakova- aceasta este dependența unei cantități de alta, în care o modificare a unei cantități duce la o modificare a celeilalte cu aceeași cantitate.
Proporționalitatea cantităților poate fi directă sau inversă.
Proporționalitate directă
factor de proporționalitate- aceasta este o dependență a două mărimi în care o cantitate depinde de a doua mărime în așa fel încât raportul lor să rămână neschimbat. Se numesc astfel de cantități direct proporțională sau doar proporţional.
Să luăm în considerare un exemplu de proporționalitate directă pe formula căii:
s = vt
Unde s- acesta este drumul v- viteza și t- timp.
La mișcare uniformă traseul este proportional cu timpul de miscare. Dacă luăm viteza v egal cu 5 km/h, apoi distanța parcursă s va depinde doar de timpul deplasării t:
| Viteză v= 5 km/h | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| Timp t(h) | 1 | 2 | 4 | 8 | 16 |
| Cale s(km) | 5 | 10 | 20 | 40 | 80 |
Exemplul arată că de câte ori crește timpul de mișcare? t, distanța parcursă crește cu aceeași valoare s. În exemplu, am dublat timpul de fiecare dată, deoarece viteza nu s-a schimbat, s-a dublat și distanța.
ÎN în acest caz, viteza ( v= 5 km/h) este un coeficient de proporționalitate directă, adică raportul dintre distanță și timp, care rămâne neschimbat:
Dacă timpul de mișcare rămâne neschimbat, atunci cu o mișcare uniformă distanța va fi proporțională cu viteza:
Din aceste exemple rezultă că două mărimi se numesc direct proporționale dacă, atunci când una dintre ele crește (sau scade) de mai multe ori, cealaltă crește (sau scade) cu aceeași cantitate..
Formula de proporționalitate directă
Formula de proporționalitate directă:
y = kx
Unde yŞi x k- Asta constant, numit coeficient de proporționalitate directă.
Coeficient de proporționalitate directă este raportul oricăror valori corespunzătoare ale variabilelor proporționale yŞi x egal cu același număr.
Formula coeficientului de proporționalitate directă:
| y | = k |
| x |
Proporționalitate inversă
Proporționalitate inversă este o dependență a două mărimi, în care o creștere a unei mărimi duce la o scădere proporțională a celeilalte. Astfel de cantități sunt numite invers proporțională.
Să luăm în considerare un exemplu de proporționalitate inversă pe formula căii:
s = vt
Unde s- acesta este drumul v- viteza și t- timp.
Când parcurgeți aceeași cale la viteze diferite, timpul va fi invers proporțional cu viteza. Dacă iei poteca s egal cu 120 km, apoi timpul petrecut la depășirea acestui drum t va depinde doar de viteza de deplasare v:
| Cale s= 120 km | ||||
|---|---|---|---|---|
| Viteză v(km/h) | 10 | 20 | 40 | 80 |
| Timp t(h) | 12 | 6 | 3 | 1,5 |
Exemplul arată că de câte ori crește viteza de mișcare? v, timpul scade cu aceeași cantitate t. În exemplu, am mărit viteza de mișcare de 2 ori de fiecare dată și, din moment ce distanța de parcurs nu s-a schimbat, timpul necesar pentru a parcurge această distanță s-a redus și la jumătate.
În acest caz, calea ( s= 120 km) este un coeficient de proporționalitate inversă, adică produsul dintre viteză și timp:
s = vt, prin urmare 10 12 = 20 6 = 40 3 = 80 1,5 = 120
Din acest exemplu rezultă că două mărimi se numesc invers proporționale dacă, atunci când una dintre ele crește de mai multe ori, cealaltă scade cu aceeași cantitate..
Formula de proporționalitate inversă
Formula de proporționalitate inversă:
| y = | k |
| x |
Unde yŞi x sunt variabile și k este o valoare constantă numită coeficient de proporționalitate inversă.
Factorul de proporționalitate inversă este produsul oricăror valori corespunzătoare ale variabilelor invers proporționale yŞi x, egal cu același număr.
Formula pentru coeficientul de proporționalitate inversă.