Obținem evolventa la puncte ca o dezvoltare a cercului principal d/,. Implementarea computerizată a acestei metode vă permite să construiți un număr arbitrar de mare de puncte. Să conectăm punctele cu o curbă spline netedă. De regulă, 8-10 puncte sunt suficiente pentru a obține o evolventă cu precizie ridicată.
Având în vedere că evolventele cercurilor de diferite diametre sunt similare, este suficient să construiți o evolventă pentru una dintre roți. Obținem evolventa pentru orice altă roată prin scalare. Factorul de scalare este egal cu raportul dintre diametrele cercurilor principale. Cu același modul de roată, de exemplu, dacă roțile aparțin aceleiași trepte de viteză, factorul de scalare este egal cu raportul dintre numărul de dinți ai roții.
Construim o evolventă pentru angrenaj (Fig. 20.4, O). Să luăm ideea 1 intersecția cercului principal
- ? cerc de pas d si circumferinta depresiunilor dr ar trebui să fie temporar ascuns - „înghețat”;
- ? din punct 1 perpendicular pe axa roții (mod ORTHO) construi un segment n aproximativ (8-10) lungime, unde T- modulul. În exemplul nostru pentru T= lungime de 3 segmente n angrenajul este setat la 25 mm.
Să setăm pasul de măturare la 8. Pe măsură ce pasul scade, numărul de puncte și precizia construcției evolventei cresc. Pentru a obține 8-10 puncte ale evolventei, luăm b = 0,5 T(în exemplul nostru 8 = 1,5 mm).
Orez. 20.4.
A - marcarea pasului de măturare; b - nomograma punctelor involutive
Pe segment n aplicați marcatori de puncte în trepte de 8:
- ? pdmode / 2 / pdsize / -1 - tipul de marker este setat la „cruce” și dimensiunea acestuia este de 1 mm;
- ? măsura / specifica un segment p co laturi punct de plecare marcajele, de ex. puncte 1 / 1.5 - lungimea pasului - marcatorii de puncte sunt plasați pe segment.
Combinăm marcatorii de segment și puncte într-un bloc:
Blocați / specificați un nume / specificați un punct ca punct de inserare 1 / Selectați obiecte - specificați obiectele care vor fi incluse în bloc, adică. segment nși marcatori / setați modul la Convertire în bloc / OK.
Să marchem cercul DJ, astfel încât lungimea segmentelor de arc ale marcajului să fie egală cu pasul de scanare 8:
- ? tăiați / specificați axele ca muchii de tăiere / specificați cercul de bază d)) astfel încât sfertul său superior drept să rămână cu punctul final 1;
- ? măsurați / specificați arcul cercului principal lângă punctul 1 / 1,5 - pe un arc dintr-un punct 1 sunt aplicați marcatori de puncte de marcare. Lungimea arcului dintre marcatori este de 1,5 mm.
Să stabilim un sistem de coordonate cu originea în centrul cercului, axa X te vom îndrepta către subiect 1 U Axa Y - la dreapta. În acest sistem vom construi o matrice circulară de blocuri create (Fig. 20.4, b):
- ? ucs / 3 / indica centrul cercului, punctul O, indica punctul Y, indica punctul din dreapta punctului Y;
- ? matrice / Matrice polară / Punct central / 0,0 / setați modul de creare a matricei: Numărul total de articole unghiul dintre articole / Numărul total de articole
setați numărul de elemente la 17 (în funcție de numărul de puncte de marcare a segmentului p) / Unghiul dintre articole - specificați un buton pe linia acestui parametru și indicați pe ecran, cu legarea Nodului, marcajul de marcare a arcului cel mai apropiat de punctul 1 - valoarea unghiului de rotație ar trebui să apară în fereastră (p, în exemplul nostru 3.0486 / Select objects - specificați blocul (segmentul cu markeri) care urmează să fie reprodus de matrice / Preview / OK.
S-a obţinut o nomogramă (vezi Fig. 20.4, b) ca ansamblu de puncte ale unei familii de evolvente. Evolventul necesar e părăsește punctul 1. Pentru a o crea ca o curbă netedă:
- ? setați legăturile obiectelor End, Node. Mergeți la alt strat;
- ? spline / indicați punctul 1 și succesiv toate punctele evolvenei /// - evolventa se obține ca curbă spline.
Involuta construită iese dincolo de cerc d a proeminențe dentare. Acest lucru este necesar pentru următorul pas - construirea conturului depresiunilor.
Modelarea conturului cavității angrenajului
Pe baza evolventei rezultate, vom crea conturul cavității angrenajului:
- ? restabilim sistemul de coordonate prin dirijarea axei X orizontal. Să ascundem nomograma (înghețați stratul);
- ? construirea sau restabilirea unui cerc divizor d si circumferinta depresiunilor df.
Având o evolventă e(Fig. 20.5, O) si axa i ca părți ale unei laturi a conturului, a doua parte va fi o imagine în oglindă. Pentru a găsi axa eu m simetria depresiunii, este necesar să se construiască un segment din centru Oh la obiect 2 intersecții involvente e cu cerc de pas dși întoarceți-l într-un unghi X= 360/42, unde 2 este numărul de dinți (pentru angrenajul 2 = 20D = 4,5):
- ? linie / cu snap obiect Int specifica puncte 0 și 2;
- ? rotiți / specificați segmentul (Oh- 2) / indicați centrul punctului de rotație O, / 4.5 - se construiește axa z;
- ? oglindă / specificați involute e iar axa z / cu referință End indică capetele axei z / ha // - evolventa este construită eși segment V.
Să împerechem liniile drepte radiale ale conturului r, Г cu cercul depresiunilor dr Raza de împerechere 1,2 (vezi tabelul 20.1):
- ? file / R / 1,2 / indicați cercul depresiunilor și una dintre liniile drepte radiale - perechea se face de-a lungul unui arc de cerc cu raza de 1,2 mm;
- ? repeta comanda file și conectează a doua linie dreaptă cu cercul dj.
Pentru a completa conturul, construiți un cerc de închidere Cu conturul depresiei. Echipă trim tăiați liniile de contur exterioare și comandați regiune combina segmente de cale într-o regiune k. Asigurați-vă că atunci când specificați un contur, acesta este selectat ca o singură piesă.
Există câteva foarte simple, dar nu moduri eficiente Conversia cercurilor în formă raster. De exemplu, pentru simplitate, luați în considerare un cerc cu centrul său la origine. Ecuația sa este scrisă ca x 2 + y 2 = R 2. Rezolvarea acestei ecuații pentru y, primim
y = ± .
Pentru a descrie a patra parte a cercului, ne vom schimba x cu un pas unitar de la 0 la R iar la fiecare pas calculează y. A doua metodă simplă pentru scanarea raster a unui cerc este utilizarea calculelor xŞi y după formule x = R cos α, y = R sin α la schimbarea unghiului α pas cu pas de la 0° la 90°.
Pentru a simplifica algoritmul de scanare raster a unui cerc standard, puteți utiliza simetria acestuia în raport cu axele de coordonate și liniile drepte y = ± x; în cazul în care centrul cercului nu coincide cu originea coordonatelor, aceste drepte trebuie deplasate paralel astfel încât să treacă prin centrul cercului. Astfel, este suficient să construiți o reprezentare raster pentru 1/8 din cerc și să obțineți toate punctele rămase prin simetrie (vezi Fig. 2.5).
Orez. 2.5. Simetrie în opt direcții
Luați în considerare o secțiune a unui cerc din al doilea octant xЄ. În continuare, descriem algoritmul Bresenheim pentru această secțiune a cercului.
La fiecare pas algoritmul selectează un punct P i (x i, y i), care este cel mai apropiat de cercul adevărat. Ideea algoritmului este de a selecta cel mai apropiat punct folosind variabile de control, ale căror valori pot fi calculate pas cu pas folosind un număr mic de adunări, scăderi și deplasări.
Să luăm în considerare o mică secțiune a grilei de pixeli, precum și modalitățile posibile (de la A la E) de trecere a unui cerc adevărat prin grilă (Fig. 2.6).
Să presupunem că ideea P i - 1 a fost ales ca fiind cel mai aproape de cerc când x = x i- 1. Acum să găsim care dintre puncte ( S i sau T i) este situat mai aproape de cercul la x = x i- 1 + 1.
Orez. 2.6. Opțiuni pentru trecerea unui cerc printr-o grilă raster
Rețineți că eroarea la alegerea unui punct P i(x i, y i) a fost egal
D( P i) = (x i 2 + yi 2) – R 2 .
Să scriem o expresie pentru erorile obținute la alegerea unui punct S i sau T i:
D( S i) = [(x i-1 + 1) 2 + (y i-1) 2 ] – R 2 ;
D( T i) = [(x i-1 + 1) 2 + (y i-1– 1) 2 ] – R 2 .
Dacă | D( S i) | ≥ | D( T i) |, atunci T i mai aproape de cercul real, altfel selectați S i.
Să vă prezentăm d i= | D( S i) | – | D( T i) |.
T i va fi selectat când d i≥ 0, altfel va fi setat Si.
Omitând transformările algebrice, scriem d iŞi d i + 1 pentru diferite opțiuni de selectare a punctelor S i sau T i.
D 1 = 3 – 2 R.
Dacă este selectat S i(Când d i < 0), то d i + 1 = d i + 4 x i -1 + 6.
Dacă este selectat T i(Când d i≥ 0), atunci d i + 1 = d i + 4 (x i - 1 – da eu - 1) + 10.
Există o modificare a algoritmului Bresenheim pentru elipsă.
Un cerc este o serie de puncte echidistante de un punct, care, la rândul său, este centrul acestui cerc. Cercul are și propria sa rază, egală cu distanța acestor puncte față de centru.
Raportul dintre lungimea unui cerc și diametrul său este același pentru toate cercurile. Acest raport este un număr care este o constantă matematică și este notat cu litera greacă π .
Determinarea circumferinței
Formula pentru calcularea circumferinței
Puteți calcula cercul folosind următoarea formulă:
L= π D=2 π r
r- raza cercului
D- diametrul cercului
L- circumferinta
π - 3.14
Un exemplu de găsire a circumferinței unui cerc
Sarcină:Calculați circumferința, având o rază de 10 centimetri.
Soluţie:Formula pentru calcularea circumferinței unui cerc are forma:
L= π D=2 π r
unde L este circumferința, π este 3,14, r este raza cercului, D este diametrul cercului.
Astfel, lungimea unui cerc cu raza de 10 centimetri este:
L = 2 × 3,14 × 10 = 31,4 centimetri
Cerc este o figură geometrică, care este o colecție a tuturor punctelor din planul îndepărtat punct dat, care se numește centrul său, la o anumită distanță, nu egal cu zeroși numită raza. Oamenii de știință au reușit să-i determine lungimea cu diferite grade de precizie deja în antichitate: istoricii științei cred că prima formulă pentru calcularea circumferinței a fost compilată în jurul anului 1900 î.Hr. în Babilonul antic.
Cu asa ceva forme geometrice, ca cercurile, ne întâlnim în fiecare zi și peste tot. Este forma sa care are suprafața exterioară a roților care sunt echipate cu diverse vehicule. Acest detaliu, în ciuda simplității sale exterioare și nepretențioșiei, este considerat unul dintre cele mai mari invenții umanitatea și este interesant că aborigenii din Australia și indienii americani, până la sosirea europenilor, nu aveau absolut nicio idee despre ce este.
După toate probabilitățile, primele roți erau bucăți de bușteni care erau montate pe o osie. Treptat, designul roții a fost îmbunătățit, designul lor a devenit din ce în ce mai complex, iar fabricarea lor a necesitat utilizarea a numeroase instrumente diferite. Mai întâi au apărut roți formate dintr-o jantă de lemn și spițe, iar apoi, pentru a reduce uzura suprafeței lor exterioare, au început să o acopere cu benzi metalice. Pentru a determina lungimile acestor elemente, este necesar să folosiți o formulă pentru calcularea circumferinței (deși în practică, cel mai probabil, meșterii au făcut acest lucru „cu ochiul” sau pur și simplu încercuind roata cu o bandă și tăiând secțiunea necesară).
Trebuie remarcat faptul că roată Nu este folosit doar în vehicule. De exemplu, forma sa este în formă de roată de olar, precum și elemente de roți dințate ale angrenajului, utilizate pe scară largă în tehnologie. Roțile au fost de multă vreme folosite la construcția de mori de apă (cele mai vechi structuri de acest fel cunoscute de oamenii de știință au fost construite în Mesopotamia), precum și roțile de filare, care erau folosite pentru a face fire din lână animală și fibre vegetale.
Cercuri pot fi găsite adesea în construcții. Forma lor este modelată de ferestre rotunde destul de răspândite, foarte caracteristice stilului arhitectural romanic. Fabricarea acestor structuri este o sarcină foarte dificilă și necesită abilități ridicate, precum și disponibilitate instrument special. Una dintre varietățile de ferestre rotunde sunt hublourile instalate în nave și avioane.
Astfel, inginerii proiectanți care dezvoltă diverse mașini, mecanisme și unități, precum și arhitecții și designerii, trebuie adesea să rezolve problema determinării circumferinței unui cerc. De la numărul π , necesar pentru aceasta, este infinit, nu este posibil să se determine acest parametru cu acuratețe absolută și, prin urmare, în calcule, se ia în considerare gradul acestuia, care într-un anumit caz este necesar și suficient.
Este posibil într-o carte de matematică, chiar una populară, să vorbim, de exemplu, despre gândaci? Se dovedește că este posibil. Dar va trebui să începem de departe.
Orez. 78. Scanarea unui cerc.
Un cerc, după cum știm acum, nu are evoluție. Toate normalele sale se intersectează într-un punct - în centru. Uneori se spune că evoluția unui cerc „degenerează” într-un punct. Dar are o evolventă (ceea ce, totuși, nu este un mare merit: la urma urmei, fiecare curbă netedă are o evolventă). Această evolventă se dovedește a fi o rudă apropiată a curbelor cicloidale.
Să începem cu desenul. Să facem un cerc din placaj, să-l fixăm pe hârtie, să lipim un fir de el și să înșurubam acest fir strâns pe marginea cercului nostru.
La capătul firului vom face o buclă în care vom introduce vârful unui creion (Fig. 78). Dacă acum „înfășăm” firul, creionul va trage automat
Orez. 79 Derularea unei linii drepte într-un cerc.
Firul, desigur, ar trebui să fie întins și creionul apăsat strâns pe hârtie.
Dezvoltarea unui cerc se poate obține în alt mod. Să considerăm un cerc fix de rază c și o dreaptă AB tangentă la acest cerc într-un punct (Fig. 79).
Orez. 80. Leagăn simplu.
Dacă linia dreaptă AB se rostogolește fără să alunece de-a lungul cercului, atunci punctul va descrie în mod evident dezvoltarea cercului. Într-adevăr, pentru orice punct M al acestei curbe, linia dreaptă de rulare KM servește ca normală, iar lungimea segmentului KM este egală cu lungimea arcului cercului fix.
Involuanta unui cerc este astfel un „cicloid întors pe dos”. În cazul unui cicloid, cercul se rostogolește fără alunecare de-a lungul unei linii drepte staționare. În cazul desfășurării unui cerc, linia dreaptă se rostogolește fără alunecare de-a lungul unui cerc staționar.
În fig. 80 arată un leagăn simplu. O scândură AB este așezată pe ciotul unui copac, astfel încât mijlocul acesteia să atingă ciotul. Ce se întâmplă dacă placa este înclinată? Știm că se va întoarce în poziția inițială, apoi prin inerție se va abate în cealaltă direcție și se va oscila în jurul poziției de echilibru. În acest caz, desigur, atât placa, cât și ciotul trebuie să fie aspre, altfel placa va aluneca în direcția indicată de săgeata din desen.
De ce va reveni placa la poziția inițială? Nu este greu să-ți dai seama. Se știe că fiecare corp se mișcă sub influența gravitației în așa fel încât centrul său de greutate scade. Pentru a răspunde la întrebarea noastră, este suficient să știm ce cale se mișcă centrul de greutate (mijlocul) plăcii atunci când se abate ușor de la poziția de echilibru.
Dar asta ne este clar acum! Mijlocul tablei va descrie arcul de cerc. Această parte a scanării este prezentată în Fig. 80 linie întreruptă. Vedem că, cu mici abateri ale plăcii, centrul său de greutate se ridică și, prin urmare, placa se va întoarce la poziția sa de echilibru. Echilibrul va fi evident stabil.
Relația dintre dezvoltarea unui cerc și curbele cicloidale poate fi descoperită în alt mod. Am spus deja că în cazul epicicloizilor sau hipocicloizilor (Fig. 66), o creștere nelimitată a razei unui cerc staționar cu raza constantă a unui cerc mobil duce la un cicloid. Dacă ne întoarcem la pericicloid (p. 50) și, lăsând neschimbată raza cercului fix, creștem nelimitat raza celui mobil, ca să spunem așa, „îndreptându-l” (Fig. 81), atunci pericicloidul va se transformă într-o dezvoltare a cercului.
Nu vom prezenta aici derivarea formulelor pentru lungimea arcului evolvent al unui cerc și aria sectorului său.
Să prezentăm rezultatul final (Fig. 82). Pentru lungimea l a arcului de scanare și pentru aria S a sectorului vom avea:
Aceste formule sunt interesante prin faptul că valoarea unghiului inclus în ele trebuie ridicată la a doua și a treia putere - o circumstanță care poate deruta un începător.
Orez. 81. Creștere nelimitată a cercului mobil.
Orez. 82. Lungimea arcului și aria sectorului evolvent al unui cerc.
Subliniem încă o dată că unghiul trebuie exprimat cu siguranță în radiani. Dacă unghiul este exprimat în grade și este egal, de exemplu, (și gradele sunt egale cu radiani), atunci formulele vor lua următoarea formă:
Să atragem atenția cititorilor că unghiul de radiani (sau un grade) este unghiul desenului nostru, și deloc unghiul sectorului evolvent!
Gândacul de matematică
Luați un cerc de hârtie (Fig. 83), tăiați-l de la margine la centru (de exemplu, de-a lungul razei NO) și rulați sectorul NOK într-un tub, așa cum se arată în figură.
Tubul se va dovedi a fi foarte îngrijit: la urma urmei, este o suprafață conică și toate componentele acestei suprafețe, precum razele aceluiași cerc, sunt egale între ele.
Orez. 83. Lipirea unui con de hârtie.
Dacă tăiem cercul așa cum se arată în Fig. 84, atunci tubul s-ar dovedi a fi neglijent: generatoarele suprafeței conice nu ar fi egale între ele.
Să luăm acum o bucată de hârtie limitată nu de un cerc, ci de o altă curbă netedă, de exemplu, cum se arată în Fig. 85. Dacă luați orice punct din interiorul frunzei, de exemplu, punctul O, faceți o tăietură de-a lungul OH și rulați tubul, atunci tubul se va dovedi rău, deoarece generatricele suprafeței conice vor fi lungimi diferite. Și indiferent cum alegem punctul O, nu vom putea obține un tub bun, deoarece nicio curbă, cu excepția unui cerc, nu are un punct echidistant de toate celelalte puncte ale sale.
Orez. 84. Teava proasta.
Bine? Să fim vicleni! Să luăm un punct H de pe marginea foii (Fig. 85) și să conturăm un mic arc NK. Vom considera acest arc ca fiind un arc de cerc și vom găsi centrul acestui cerc. În acest scop, desenăm normale în punctele H și K. Punctul de intersecție al normalelor T va fi centrul dorit. Apoi, luați în considerare arcul CM. De asemenea, poate fi considerat un arc de cerc fără mare eroare, dar centrul acestui cerc nu va coincide cu trasarea unei normale la conturul foii în punctele K și M, vom găsi punctul de intersecție a acestora care nu coincide cu punctul T.
Orez. 85. Cum să tai o frunză?
Ultimul pas rămâne de făcut: trecerea de la o linie întreruptă de centre la o curbă continuă pentru a asigura un tub complet neted, lipsit de zgârieturi. Este clar că pentru aceasta este suficient să înlocuim linia întreruptă ale cărei legături leagă punctele de intersecție ale perechilor de normale „învecinate” cu o curbă netedă - anvelopa acestor normale, adică curba TP prezentată în Fig. 86.
Dar învelișul normalelor este, după cum știm, evoluția unei curbe date.
Aceasta înseamnă că, pentru a rula cel mai precis tub dintr-o foaie, trebuie mai întâi să tăiați foaia de-a lungul unei bucăți din normalul NT, apoi de-a lungul evoluției TP a conturului acesteia.
Orez. 86. Cum să scapi de nick-uri?
Și tu, cititorul, și eu, și oricine altcineva este puțin probabil să fie nevoie să rulezi bucăți de hârtie în tuburi (rularea unei țigări - o „picior de capră” - nu funcționează: în acest caz, nu trebuie să ai grijă că toți constituenții sunt de lungime egală!). Prin urmare, valoarea practică a problemei pe care am analizat-o acum este neglijabilă. Dar iată ce este interesant: există un gândac, sau mai degrabă mai multe rase de gândaci, care fac o casă dintr-o frunză pentru viitorii lor urmași, rostogolindu-l într-un tub.
Acest tub ar trebui să fie puternic și îngrijit. Nu ar trebui să fie sfâșiat de vânturi și averse și nu ar trebui să atragă dușmani cu aspectul și dimensiunea sa pitorească. Iar gândacul nostru care rulează frunzele (gândacii din genurile Rhynchites, Byctiscus etc.) rezolvă perfect complexul problema de matematica. Acesta roade frunza de-a lungul conturului frunzei și numai după aceea o rulează. În fig. 87 prezintă o rolă de frunze de mesteacăn (în mărime naturală) și o frunză tăiată (sau mai bine zis, roadă) de aceasta.
Orez. 87 Rolă de frunze de mesteacăn (dimensiune completă).
Orez. 88. Rolă de frunze de struguri și tubul său (mărit de 2 ori).
În fig. 88 prezintă o rolă de frunze de struguri mărită dublu și tubul său.
Desigur, bug-ul geometru nu rezolvă în niciun caz această problemă sarcină simplă complet inconștient. De mulți ani selecția naturală a păstrat în principal acele insecte ale căror case erau deosebit de îngrijite. Ca urmare, a apărut un instinct care a fost moștenit din generație în generație. Acest instinct obligă insecta, fără să cunoască geometria, să rezolve o problemă geometrică complexă. Rețineți că o altă insectă, mai cunoscută - albina - rezolvă și ea (inconștient, desigur) o problemă la fel de complexă: construirea unui fagure astfel încât, pentru un număr și capacitate date de celule, suprafața acestora să fie cea mai mică.
În aceste condiții, se realizează cea mai economică utilizare a materialului de construcție (ceara).
Întâlnim adesea evoluții de suprafață în viața de zi cu zi, în producție și în construcții. Pentru a face o carcasă pentru o carte (Fig. 169), coaseți o husă pentru o valiză, o anvelopă pentru o minge de volei etc., trebuie să fiți capabil să construiți dezvoltări ale suprafețelor unei prisme, mingii și altor corpuri geometrice. O dezvoltare este o figură obținută prin combinarea suprafeței unui corp dat cu un plan. Pentru unele corpuri, scanările pot fi precise, pentru altele pot fi aproximative. Toate poliedrele (prisme, piramide etc.), suprafețele cilindrice și conice și unele altele au evoluții precise. Evoluțiile aproximative au o minge, un tor și alte suprafețe de revoluție cu o generatrică curbă. Vom numi primul grup de suprafețe dezvoltabile, al doilea - nedezvoltabil.
TBegin-->Tend-->
TBegin--> 
TEnd-->
Când construiți dezvoltări de poliedre, va trebui să găsiți dimensiunea reală a muchiilor și fețelor acestor poliedre folosind rotația sau schimbarea planurilor de proiecție. Atunci când se construiesc dezvoltări aproximative pentru suprafețe nedezvoltabile, va fi necesar să se înlocuiască secțiuni ale acestora din urmă cu suprafețe dezvoltabile apropiate de forma lor.
Pentru a construi o scanare a suprafeței laterale a prismei (Fig. 170), se presupune că planul de scanare coincide cu fața AADD a prismei; alte fețe ale prismei sunt aliniate cu același plan, așa cum se arată în figură. Fața ССВВ se combină în prealabil cu fața ААВВ. Liniile de pliere în conformitate cu GOST 2.303-68 sunt desenate cu linii subțiri solide cu o grosime de s/3-s/4. Punctele de pe scanare sunt de obicei notate cu aceleași litere ca pe desenul complex, dar cu indicele 0 (zero). La construirea unei dezvoltări a unei prisme drepte după un desen complex (Fig. 171, a), înălțimea fețelor se ia din proiecția frontală, iar lățimea din cea orizontală. Este obișnuit să construiți o scanare astfel încât partea din față a suprafeței să fie îndreptată spre observator (Fig. 171, b). Este important de observat această condiție deoarece unele materiale (piele, țesături) au două fețe: față și spate. Bazele prismei ABCD sunt atașate de una dintre fețele suprafeței laterale.
Dacă punctul 1 este specificat pe suprafața prismei, atunci acesta este transferat la dezvoltare folosind două segmente marcate pe desenul complex cu una și două lovituri, primul segment C1l1 este așezat la dreapta punctului C0, iar al doilea segment. este așezat vertical (până la punctul l0).
TBegin--> 
TEnd-->
În mod similar, se construiește o dezvoltare a suprafeței cilindrului de rotație (Fig. 172). Împărțiți suprafața cilindrului într-o anumită cantitate părţi egale, de exemplu, cu 12 și desfaceți suprafața înscrisă a unei prisme dodecagonale regulate. Lungimea de măturare cu această construcție se dovedește a fi puțin mai mică decât lungimea de măturare reală. Dacă este necesară o acuratețe semnificativă, atunci se utilizează o metodă grafico-analitică. Diametrul d al circumferinței bazei cilindrului (Fig. 173, a) se înmulțește cu numărul π = 3,14; dimensiunea rezultată este folosită ca lungime de dezvoltare (Fig. 173, b), iar înălțimea (lățimea) este luată direct din desen. Bazele cilindrului sunt atașate de dezvoltarea suprafeței laterale.
TBegin--> 
TEnd-->
Dacă punctul A este dat pe suprafața cilindrului, de exemplu, între generatricele 1 și 2, atunci locul său pe dezvoltare se găsește folosind două segmente: o coardă marcată cu o linie groasă (în dreapta punctului l1), și un segment egală cu distanța punctul A de la baza superioară a cilindrului, marcat în desen cu două curse.
Este mult mai dificil de construit dezvoltarea unei piramide (Fig. 174, a). Marginile sale SA și SC sunt drepte pozitia generalași sunt proiectate pe ambele planuri de proiecție cu distorsiuni. Înainte de a construi dezvoltarea, este necesar să găsiți valoarea reală a fiecărei margini. Mărimea muchiei SB este găsită prin construirea celei de-a treia proiecții a acesteia, deoarece această muchie este paralelă cu planul P3. Muchiile SA și SC sunt rotite în jurul unei axe proiectate orizontal care trece prin vârful S astfel încât să devină paralele cu planul frontal al proiecțiilor P (valoarea reală a muchiei SB poate fi găsită în același mod).
TBegin--> 
TEnd-->
După o astfel de rotație, proiecțiile lor frontale S 2 A 2 și S 2 C 2 vor fi egale cu dimensiunea reală a nervurilor SA și SC. Laturile bazei piramidei, ca linii drepte orizontale, sunt proiectate pe planul de proiecție P 1 fără distorsiuni. Având trei laturi ale fiecărei fețe și folosind metoda serifului, este ușor să construiți o dezvoltare (Fig. 174, b). Construcția începe din fața frontală; Un segment A 0 C 0 = A 1 C 1 este așezat pe o linie dreaptă orizontală, prima crestătură este realizată cu o rază A 0 S 0 - A 2 S 2 a doua - cu o rază C 0 S 0 = = G 2S2; la intersectia serifelor se obtine punctul S„. Acceptați partea de comandă A 0 S 0 ; din punctul A 0 se face o crestătură cu raza A 0 B 0 =A 1 B 1 din punctul S 0 se face o crestătură cu raza S 0 B 0 =S 3 B 3 ; la intersectia serifelor se obtine punctul B 0. În mod similar, fața S 0 B 0 C 0 este atașată de latura S 0 G 0 . În cele din urmă, triunghiul de bază A 0 G 0 S 0 este atașat de latura A 0 C 0 . Lungimile laturilor acestui triunghi pot fi luate direct din dezvoltare, așa cum se arată în desen.
Dezvoltarea unui con de rotație este construită în același mod ca și dezvoltarea unei piramide. Împărțiți circumferința bazei în părți egale, de exemplu în 12 părți (Fig. 175, a) și imaginați-vă că o piramidă dodecagonală regulată este înscrisă în con. Primele trei fețe sunt prezentate în desen. Suprafața conului este tăiată de-a lungul generatricei S6. După cum se știe din geometrie, dezvoltarea unui con este reprezentată de un sector al unui cerc a cărui rază este egală cu lungimea generatricei conului l. Toate generatricele unui con circular sunt egale, prin urmare lungimea reală a generatricei l este egală cu proiecția frontală a generatricei din stânga (sau din dreapta). Din punctul S 0 (Fig. 175, b) se așează vertical un segment de 5000 = l. Cu această rază este desenat un arc de cerc. Din punctul O 0, segmentele Ol 0 = O 1 l 1, 1 0 2 0 = 1 1 2 1 etc. sunt puse deoparte. Lăsând deoparte șase segmente, obținem punctul 60, care este conectat la vârful S0 . Partea stângă a scanării este construită în același mod; Baza conului este atașată mai jos.
TBegin--> 
TEnd-->
Dacă trebuie să puneți punctul B pe scanare, apoi trageți generatorul SB prin el (în cazul nostru S 2), aplicați această generatoare la scanare (S 0 2 0); rotind generatricea cu punctul B spre dreapta până când se aliniază cu generatricea S 3 (S 2 5 2), se găsește distanța reală S 2 B 2 și se lasă deoparte de punctul S 0. Segmentele găsite sunt marcate pe desene cu trei linii.
Dacă nu este necesar să se traseze puncte pe scanarea conului, atunci acesta poate fi construit mai rapid și mai precis, deoarece se știe că unghiul sectorului de scanare este a=360°R/l, raza cercului de bază și l este lungimea generatricei conului.