Definirea exemplelor de spațiu euclidian. Spații euclidiene. Algebră liniară. Conjugați spații și operatori

Spațiul euclidian

T.A. Volkova, T.P. Knysh.

ȘI FORME PĂTRATATE

SPATIUL EUCLIDEAN

Sankt Petersburg


Referent: Candidat la științe tehnice, conferențiar Shkadova A.R.

Spațiul euclidian și forme pătratice: note de curs. – Sankt Petersburg: SPGUVK, 2012 – p.

Notele de curs sunt destinate studenților din anul II ai diplomei de licență 010400.62 " Matematică aplicatăși informatică” și anul I de licență 090900.62 „Securitatea informației”.

Manualul conține note complete de curs pe una dintre secțiunile disciplinei „Geometrie și algebră” pentru direcția 010400.62 și disciplina „Algebră și geometrie” pentru direcția 090900.62 Tutorial corespunde programelor de lucru ale disciplinelor, standardelor specialităților precizate și poate fi folosit în pregătirea examenului de către studenți și profesori.

© Statul Sankt Petersburg

Universitatea de Comunicații cu Apă, 2012


Multe proprietăți ale obiectelor găsite în geometrie sunt strâns legate de capacitatea de a măsura lungimile segmentelor și unghiul dintre liniile drepte. În spațiul liniar nu putem face încă astfel de măsurători, drept urmare domeniul de aplicare a teoriei generale a spațiilor liniare la geometrie și la o serie de alte discipline matematice este destul de restrâns. Această dificultate, însă, poate fi eliminată dacă introducem conceptul produs punctual doi vectori. Și anume, să fie un spațiu real liniar-dimensional. Să atribuim fiecare pereche de vectori, număr realși hai să sunăm la acest număr produs scalar vectori și dacă sunt îndeplinite următoarele cerințe:

1. (legea comutativă).

3. pentru orice real.

4. pentru orice vector diferit de zero.

Produsul scalar este un caz special al conceptului funcţie numerică a două argumente vectoriale, adică funcții ale căror valori sunt numere. Prin urmare, putem numi produsul scalar astfel functie numerica argumente vectoriale , , ale căror valori sunt valabile pentru orice valori ale argumentelor de la și pentru care sunt îndeplinite cerințele 1 - 4.

Se va numi un spațiu liniar real în care produsul scalar este definit euclidianăși va fi notat cu .

Rețineți că în spațiul euclidian produsul scalar dintre un vector zero și orice vector este egal cu zero: . Într-adevăr, și datorită cerinței 3. Presupunând că obținem asta. Prin urmare, în special, .



1. Fie un spațiu tridimensional obișnuit vectori geometrici cu origine comună la punctul . În geometria analitică, produsul scalar a doi astfel de vectori este un număr real egal cu , unde și sunt lungimile vectorilor și , și este unghiul dintre vectorii , , și se demonstrează că pentru acest număr toate cerințele 1 − 4 sunt mulțumiți.

Astfel, conceptul de produs scalar pe care l-am introdus este o generalizare a conceptului de produs scalar al vectorilor geometrici.

2. Luați în considerare spațiul rândurilor dimensionale cu coordonate reale și atribuiți un număr real fiecărei perechi de astfel de vectori rând

Este ușor să verificați dacă toate cerințele 1 - 4 sunt îndeplinite pentru acest număr:

si asemanator. In sfarsit,

întrucât cel puțin unul dintre numerele la este diferit de zero.

Vedem de aici că acest număr este produsul scalar al vectorilor șir și , iar spațiul, după ce am introdus un astfel de produs scalar, devine euclidian.

3. Fie un spațiu liniar real-dimensional și să fie o parte din baza lui. Să asociem fiecare pereche de vectori cu un număr real. Apoi spațiul se va transforma în euclidian, adică numărul va fi produsul scalar al vectorilor și . De fapt:

Putem chiar transforma spațiul nostru într-un spațiu euclidian în alte moduri, de exemplu, am putea atribui o pereche de vectori, un număr real

și este ușor de verificat că pentru un astfel de număr sunt îndeplinite toate cerințele 1 − 4, care caracterizează produsul scalar. Dar din moment ce aici (cu aceeași bază) am definit o funcție numerică diferită, atunci obținem un spațiu euclidian diferit cu o „definiție de măsură” diferită.

4. În sfârșit, revenind la același spațiu, considerăm funcția numerică, care, pentru , este definită de egalitatea . Această funcție nu mai este un produs scalar, deoarece cerința 4 este încălcată: când , vectorul este egal cu , a . Astfel, spațiul euclidian nu poate fi obținut aici.

Folosind cerințele 2 și 3 incluse în definiția produsului scalar, este ușor de obținut următoarea formulă:

unde , sunt două sisteme arbitrare de vectori. De aici, în special, se dovedește pentru o bază arbitrară și pentru orice pereche de vectori , , că

Unde . Expresia din partea dreaptă a egalității (1) este un polinom în și și se numește formă biliniară de la și (fiecare dintre termenii săi este liniar, adică de gradul întâi, atât în ​​ceea ce privește, cât și în raport cu ). Forma biliniară se numește simetric, dacă pentru fiecare dintre coeficienții săi este îndeplinită condiția de simetrie. Astfel, produs punctual pe o bază arbitrară exprimată ca formă biliniară simetrică a coordonatelor vectoriale , cu cote reale. Dar acest lucru încă nu este suficient. Și anume, stabilind , obținem din egalitatea (1) că

Definiţia Euclidean space

Definiția 1. Un spațiu liniar real se numește euclidiană, Dacă definește o operație care asociază oricare doi vectori xŞi y din aceasta număr spațiu numit produs scalar al vectorilor xŞi y si desemnat(x,y), pentru care sunt îndeplinite următoarele condiții:

1. (x,y) = (y,x);

2. (x + y,z) = (x,z) + (y,z) , unde z- orice vector aparținând unui spațiu liniar dat;

3. (?x,y) = ? (x,y), unde ? - orice număr;

4. (x,x) ? 0 și (x,x) = 0 x = 0.

De exemplu, într-un spațiu liniar de matrice cu o singură coloană, produsul scalar al vectorilor

poate fi determinat prin formula

Spațiu de dimensiune euclidiană n denotă En. Rețineți că Există atât spații euclidiene cu dimensiuni finite, cât și cu dimensiuni infinite.

Definiția 2. Lungimea (modulul) vectorului x în spațiul euclidian En numit (x,x)și notează-l astfel: |x| = (x,x). Pentru orice vector al spațiului euclidianexistă o lungime, iar vectorul zero o are egală cu zero.

Înmulțirea unui vector diferit de zero x pe număr , obținem un vector, lungime care este egal cu unu. Această operație se numește raționalizarea vector x.

De exemplu, în spațiul matricelor cu o singură coloană lungimea vectorului poate fi determinat prin formula:

Inegalitatea Cauci-Bunyakovsky

Fie x? Ro și tu? En – oricare doi vectori. Să demonstrăm că inegalitatea este valabilă pentru ei:

(inegalitatea Cauci-Bunyakovsky)

Dovada. Lasă-l? - orice număr real. Este evident că (?x ? y,?x ? y) ? 0. Pe de altă parte, datorită proprietăților produsului scalar putem scrie

Am înțeles

Discriminantul acestui lucru trinom pătratic nu poate fi pozitiv, adică , din care rezultă:

Inegalitatea a fost dovedită.

Inegalitatea triunghiulară

Lasă xŞi y- vectori arbitrari ai spatiului euclidian En, i.e. x? Ro și y? En.

Să demonstrăm asta . (Inegalitatea triunghiulară).

Dovada. Este evident că Pe de alta parte,. Luând în considerare inegalitatea Cauci-Bunyakovsky, obținem

Inegalitatea triunghiului a fost dovedită.

Norma spațiului euclidian

Definiția 1 . Spațiu liniar?numit metric, dacă este cazul două elemente ale acestui spaţiu xŞi y potrivită nenegativnumăr? (x,y), numită distanța dintre xŞi y , (? (x,y)? 0) și sunt executatecondiții (axiome):

1) ? (x,y) = 0 x = y

2) ? (x,y) = ? (y,x)(simetrie);

3) pentru oricare trei vectori x, yŞi z acest spatiu? (x,y) ? ? (x,z) + ? (z,y).

Comentariu. Elementele unui spațiu metric sunt de obicei numite puncte.

Spațiul euclidian En este metric și ca distanța dintre vectorii x? Ro și tu? En poate fi luat x ? y.

Deci, de exemplu, în spațiul matricelor cu o singură coloană, unde

prin urmare

Definiția 2 . Spațiu liniar?numit normalizat, Dacă fiecare vector x din acest spațiu este asociat cu un non-negativ număr numit-o norma x. În acest caz, axiomele sunt îndeplinite:

Este ușor de observat că un spațiu normat este un spațiu metric stvom. De fapt, ca distanța dintre xŞi y poate fi luat. În euclidianăspațiu En ca normă a oricărui vector x? En este lungimea lui, aceste. .

Deci, spațiul euclidian En este un spațiu metric și, în plus, Spațiul euclidian En este un spațiu normat.

Unghiul dintre vectori

Definiția 1 . Unghiul dintre vectorii nenuli oŞi b Spațiul euclidiancalitate E n numește numărul pentru care

Definiția 2 . Vectori xŞi y Spațiul euclidian En sunt numite ortogonlenjerie, dacă egalitatea este valabilă pentru ei (x,y) = 0.

Dacă xŞi y- sunt nenule, atunci din definiție rezultă că unghiul dintre ele este egal

Rețineți că vectorul zero este, prin definiție, considerat ortogonal oricărui vector.

Exemplu . În spațiul geometric (de coordonate)?3, care este un caz special de spațiu euclidian, vectori unitari i, jŞi k reciproc ortogonale.

Baza ortonormala

Definiția 1 . Baza e1,e2 ,...,en se numește spațiul euclidian En ortogonlenjerie, dacă vectorii acestei baze sunt ortogonali pe perechi, i.e. Dacă

Definiția 2 . Dacă toți vectorii bazei ortogonale e1, e2 ,...,en sunt unitare, i.e. e i = 1 (i = 1,2,...,n) , atunci se numește baza ortonormal, adică Pentrubaza ortonormala

Teorema. (pe construcția unei baze ortonormale)

În orice spațiu euclidian E n există baze ortonormale.

Dovada . Să demonstrăm teorema cazului n = 3.

Fie E1 ,E2 ,E3 o bază arbitrară a spațiului euclidian E3 Să construim o bază ortonormalăin acest spatiu.Să punem unde ? - un număr real pe care îl alegem noiastfel încât (e1 ,e2 ) = 0, atunci obținem

si ce este evident? = 0 dacă E1 și E2 sunt ortogonale, adică. în acest caz e2 = E2, și , pentru că acesta este vectorul de bază.

Având în vedere că (e1 ,e2 ) = 0, obținem

Este evident că dacă e1 și e2 sunt ortogonali cu vectorul E3, i.e. în acest caz ar trebui să luăm e3 = E3. Vector E3? 0 pentru că E1, E2 și E3 sunt liniar independente,deci e3 ? 0.

În plus, din raționamentul de mai sus rezultă că e3 nu poate fi reprezentat în formă combinație liniară a vectorilor e1 și e2, prin urmare vectorii e1, e2, e3 sunt liniar independențisims și sunt ortogonale în perechi, prin urmare, ele pot fi luate ca bază pentru euclidianulspaţiul E3. Tot ce rămâne este normalizarea bazei construite, pentru care este suficientăîmpărțiți fiecare dintre vectorii construiți la lungimea sa. Apoi primim

Deci ne-am construit o bază - baza ortonormala. Teorema a fost demonstrată.

Metoda aplicată pentru construirea unei baze ortonormale dintr-un arbitrar se numește bază procesul de ortogonalizare . Rețineți că în procesul de probăteorema, am stabilit că vectorii ortogonali pe perechi sunt liniar independenți. Cu excepţia dacă este o bază ortonormală în En, atunci pentru orice vector x? Enexistă o singură descompunere

unde x1, x2,..., xn sunt coordonatele vectorului x în această bază ortonormală.

Deoarece

apoi înmulțind scalar egalitatea (*) cu, primim .

În cele ce urmează vom lua în considerare numai baze ortonormale și, prin urmare pentru ușurință de scriere, zerourile sunt deasupra vectorilor de bazăvom omite.

Corespunzător unui astfel de spațiu vectorial. În acest articol, prima definiție va fi luată ca punct de plecare.

N (\displaystyle n) spatiul euclidian -dimensional se noteaza prin E n , (\displaystyle \mathbb (E) ^(n),) se foloseşte şi notaţia des (dacă din context reiese clar că spaţiul are o structură euclidiană).

YouTube enciclopedic

    1 / 5

    ✪ 04 - Algebră liniară. Spațiul euclidian

    ✪ Geometrie non-euclidiană. Prima parte.

    ✪ Geometrie non-euclidiană. Partea a doua

    ✪ 01 - Algebră liniară. Spațiu liniar (vector).

    ✪ 8. Spații euclidiene

    Subtitrări

Definiție formală

Pentru a defini spațiul euclidian, cel mai simplu mod este să luăm ca concept principal produsul scalar. Spațiul vectorial euclidian este definit ca un spațiu vectorial cu dimensiuni finite peste câmpul numerelor reale, pe ai cărui vectori este specificată o funcție cu valoare reală. (⋅ , ⋅) , (\displaystyle (\cdot ,\cdot),) având următoarele trei proprietăți:

Exemplu de spațiu euclidian - spațiu de coordonate R n , (\displaystyle \mathbb (R) ^(n),) constând din toate tuplurile posibile de numere reale (x 1 , x 2 , … , x n) , (\displaystyle (x_(1),x_(2),\ldots ,x_(n))),) produs scalar în care este determinat de formula (x , y) = ∑ i = 1 n x i y i = x 1 y 1 + x 2 y 2 + ⋯ + x n y n .

(\displaystyle (x,y)=\sum _(i=1)^(n)x_(i)y_(i)=x_(1)y_(1)+x_(2)y_(2)+\cdots +x_(n)y_(n).)

Lungimi și unghiuri Produsul scalar definit pe spațiul euclidian este suficient pentru a introduce conceptele geometrice de lungime și unghi. Lungimea vectorului u (\displaystyle u) definit ca(u , u) (\displaystyle (\sqrt ((u,u)))) si este desemnat| u |.

(\displaystyle |u|.) Produsul scalar definit pe spațiul euclidian este suficient pentru a introduce conceptele geometrice de lungime și unghi. Lungimea vectoruluiŞi Definitivitatea pozitivă a produsului scalar garantează că lungimea vectorului diferit de zero este nenulă, iar din biliniaritate rezultă că| a u |= | a |) | u | , (\displaystyle |au|=|a||u|,)

adică lungimile vectorilor proporționali sunt proporționale.

Unghiul dintre vectori v (\displaystyle v) determinat de formula φ = arccos ⁡ ((x , y) | x | | y |) .(\displaystyle \varphi =\arccos \left((\frac ((x,y))(|x||y|))\dreapta).) Din teorema cosinusului rezultă că pentru un spațiu euclidian bidimensional ( plan euclidian această definiție unghiul coincide cu cel obișnuit. Vectorii ortogonali, ca în spațiul tridimensional, pot fi definiți ca vectori al căror unghi este egal cu π 2.Şi (\displaystyle (\frac (\pi)(2)).) spațiu de coordonare R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)) este dat de formula d (x , y) = ‖ x − y ‖ = ∑ i = 1 n (x i − y i) 2 .

(\displaystyle d(\mathbf (x) ,\mathbf (y))=\|\mathbf (x) -\mathbf (y) \|=(\sqrt (\sum _(i=1)^(n)) (x_(i)-y_(i))^(2))).)

Proprietăți algebrice

Baze ortonormale

Conjugați spații și operatori π 2. Orice vector Spațiul euclidian definește o funcțională liniară x ∗ (\displaystyle x^(*)) pe acest spatiu, definit ca x ∗ (y) = (x , y) .

(\displaystyle x^(*)(y)=(x,y).)

Această mapare este un izomorfism între spațiul euclidian și

Chiar și la școală, toți elevii sunt introduși în conceptul de „geometrie euclidiană”, ale cărui principale prevederi sunt concentrate în jurul mai multor axiome bazate pe elemente geometrice precum un punct, un plan, o linie dreaptă și mișcare. Toate împreună formează ceea ce a fost mult timp cunoscut drept „spațiul euclidian”.

Euclidian, care se bazează pe principiul înmulțirii scalare a vectorilor, este un caz special al unui spațiu liniar (afin) care satisface o serie de cerințe. În primul rând, produsul scalar al vectorilor este absolut simetric, adică un vector cu coordonate (x;y) este identic cantitativ cu un vector cu coordonate (y;x), dar opus ca direcție.

În al doilea rând, dacă un produs scalar al unui vector este realizat cu el însuși, atunci rezultatul acestei acțiuni va fi pozitiv. Singura excepție va fi cazul în care coordonatele inițiale și finale ale acestui vector sunt egale cu zero: în acest caz, produsul său cu el însuși va fi, de asemenea, egal cu zero.

În al treilea rând, produsul scalar este distributiv, adică posibilitatea descompunerii uneia dintre coordonatele sale în suma a două valori, ceea ce nu va implica nicio modificare a rezultatului final al înmulțirii scalare a vectorilor. În cele din urmă, în al patrulea rând, atunci când înmulțiți vectori cu același lucru, produsul lor scalar va crește și el cu aceeași cantitate.

  1. Dacă toate aceste patru condiții sunt îndeplinite, putem spune cu încredere că acesta este spațiu euclidian.
  2. Spațiul euclidian se va obține și dacă prin vectori înțelegem un anumit set finit de numere reale cu o formulă dată care descrie suma sau produsul lor scalar.
  3. Un caz special de spațiu euclidian ar trebui recunoscut ca așa-numitul spațiu nul, care se obține dacă lungimea scalară a ambilor vectori este egală cu zero.

Spațiul euclidian are o serie de proprietăți specifice. În primul rând, factorul scalar poate fi scos din paranteze atât din primul cât și din cel de-al doilea factor al produsului scalar, rezultatul nu va suferi nicio modificare. În al doilea rând, împreună cu distributivitatea primului element al produsului scalar, funcționează și distributivitatea celui de-al doilea element. În plus, pe lângă suma scalară a vectorilor, distributivitatea apare și în cazul scăderii vectorilor. În cele din urmă, în al treilea rând, atunci când înmulțiți scalar un vector cu zero, rezultatul va fi, de asemenea, egal cu zero.

Astfel, spațiul euclidian este cel mai important concept geometric folosit în rezolvarea problemelor cu poziție relativă vectori unul față de celălalt, pentru a caracteriza care este utilizat un concept, cum ar fi un produs scalar.

Să considerăm spațiul liniar L. Alături de operațiile de adunare a vectorilor și de înmulțire a unui vector cu un număr, introducem o altă operație în acest spațiu - operația de înmulțire scalară.

Definiția 1

Dacă fiecare pereche de vectori O , b О L, după o regulă, asociază un număr real notat cu simbolul ( O , b ) și îndeplinirea condițiilor

1. (O , b ) = (b ,O ),

2. (O + Cu , b ) = (O , b ) + (Cu , b ),

3. (a O , b ) = a( O , b )

4. > 0 " O ¹ 0 u = 0 Û O = 0 ,

atunci această regulă se numește înmulțirea scalară , iar numărul ( O , b ) se numește produs scalar vector O a vector b .

Numărul este sunat pătrat scalar vector O și indică , adică .

Sunt denumite condițiile 1) – 4). proprietățile produsului scalar: primul – proprietate simetrie(comutativitatea), a doua și a treia – proprietăți liniaritatea, al patrulea - certitudine pozitivă, iar condiția Û se numește condiție non-degenerare produs scalar.

Definiția 2

Spațiul euclidian este un spațiu liniar real pe care se introduce operația de multiplicare vectorială scalară.

Spațiul euclidian este notat cu E.

Se numesc proprietățile 1) – 4) ale produsului scalar axiome Spațiul euclidian.

Să ne uităm la exemple de spații euclidiene.

· Spaţiile V 2 şi V 3 sunt spaţii euclidiene, deoarece pe ele produsul scalar care satisface toate axiomele a fost definit după cum urmează

· În spațiul liniar R n(x) polinoame de grad nu mai mare decât n multiplicarea scalară a vectorilor și poate fi introdus folosind formula

Să verificăm proprietățile produsului scalar pentru operația introdusă.

2) Să luăm în considerare. Să fie atunci

4). Dar suma pătratelor oricăror numere este întotdeauna mai mare sau egală cu zero și este egală cu zero dacă și numai dacă toate aceste numere sunt egale cu zero. Prin urmare, , dacă polinomul nu este identic zero (adică, printre coeficienții săi există unii nenuli) și Û când, ce înseamnă.

Astfel, toate proprietățile produsului scalar sunt îndeplinite, ceea ce înseamnă că egalitatea determină înmulțirea scalară a vectorilor în spațiul R n(x), iar acest spațiu în sine este euclidian.

· În spațiul liniar R n multiplicarea vectorului scalar a vector poate fi determinat prin formula

Să arătăm asta în orice spațiu liniarînmulțirea scalară poate fi definită, adică orice spațiu liniar poate fi făcut spațiu euclidian. Pentru a face acest lucru, să luăm spațiul L n baza arbitrara ( O 1 , O 2 , …, O n). Lasă să intre această bază

O= a 1 O 1 + a 2 O 2 + …+ a nO nŞi b = b 1 O 1 + b 2 O 2 + …+ b nO n.

(O , b ) = a 1 b 1 + a 2 b 2 + …+ a n b n. (*)

Să verificăm proprietățile produsului scalar:

1) (O , b ) = a 1 b 1 + a 2 b 2 + …+ a n b n= b 1 a 1 + b 2 a 2 + …+b n o n= (b , O ),

2) Dacă , atunci

Apoi

(O+ Cu , b ) =

= (O , b ) + (Cu , b ).

3. (l O , b ) = (la 1)b 1 + (la 2)b 2 + …+ (la n)b n= la 1 b 1 + la 2 b 2 + …+ la n b n =

L(a 1 b 1) + l(a 2 b 2) + …+ l(a n b n) = l ( O , b ).

4. " O ¹ 0 și dacă și numai dacă totul este a i= 0, adică O = 0 .

Prin urmare, egalitatea ( O , b ) = a 1 b 1 + a 2 b 2 + …+ a n b n definește în L n produs scalar.

Rețineți că egalitatea considerată ( O , b ) = a 1 b 1 + a 2 b 2 + …+ a n b n pentru baze diferite ale spațiului oferă valori diferite ale produsului scalar al acelorași vectori O Şi b . Mai mult, produsul scalar poate fi definit într-un mod fundamental diferit. Prin urmare, vom numi definiția produsului scalar folosind egalitatea (*) tradiţional.

Definiția 3

Norma vector O valoare aritmetică rădăcină pătrată din pătratul scalar al acestui vector.

Norma unui vector se notează cu || O ||, sau [ O ] sau | a | . Deci, prin definiție,

||O || .

Au loc următoarele proprietăți ale normei:

1. ||O || = 0 Û O =0 .

2. ||a O ||= |a|.|| O || „a ÎR.

3. |(O , b )| £ || O ||.||b || (inegalitatea Cauci-Bunyakovsky).

4. ||O +b || £ || O || + ||b || (inegalitatea triunghiului).

În spațiile euclidiene V 2 și V 3 cu înmulțirea scalară definită tradițional, norma vectorului ` O este lungimea lui

||`O|| = |`O|.

În spațiul euclidian R n cu înmulțirea scalară norma vectorială egal cu

||o || = .

Definiția 4

Vector O Se numește spațiu euclidian normalizat (sau singur), dacă norma sa este egală cu unu: || o || = 1.

Dacă O ¹ 0 , atunci vectorii și sunt vectori unitari. Găsirea pentru un vector dat O se numește vectorul unitar corespunzător (sau ). raționalizarea vector O .

Din inegalitatea Cauci–Bunyakovsky rezultă că

Unde ,

prin urmare raportul poate fi considerat drept cosinusul unui unghi.

Definiția 5

Unghiul j (0£ j unghiîntre vectori O Şi b Spațiul euclidian.

Astfel, unghiul dintre vectori O Şi b Spațiul euclidian este definit de formula

j = = arccos .

Rețineți că introducerea înmulțirii scalare în spațiul liniar face posibilă efectuarea de „măsurători” în acest spațiu similar cu cele care sunt posibile în spațiul vectorilor geometrici, și anume măsurarea „lungimilor” vectorilor și a „unghiurilor” dintre vectori, în timp ce alegerea formei de specificare a înmulțirii scalare este similară cu alegerea unei „scări” pentru astfel de măsurători. Acest lucru face posibilă extinderea metodelor de geometrie asociate cu măsurătorile la spații liniare arbitrare, întărind astfel semnificativ mijloacele de studiu a obiectelor matematice întâlnite în algebră și analiză.

Definiția 6

Vectori O Şi b Se numesc spații euclidiene ortogonală , dacă produsul lor scalar este egal cu zero:

Rețineți că dacă cel puțin unul dintre vectori este zero, atunci egalitatea este satisfăcută. Într-adevăr, pentru că vectorul zero poate fi reprezentat ca 0 = 0.O , că ( 0 , b ) = (0.O , b ) = 0.(O , b ) = 0. Prin urmare, vectorul zero este ortogonal cu orice vector Spațiul euclidian.

Definiția 7

Sistem vectorial O 1 , O 2 , …, O T Se numește spațiu euclidian ortogonală , dacă acești vectori sunt ortogonali pe perechi, i.e.

(O i, O j) = 0 "i¹ j, i,j=1,2,…,m.

Sistem vectorial O 1 , O 2 , …, O T Se numește spațiu euclidian ortonormal (sau ortonormal ), dacă este ortogonal și fiecare dintre vectorii săi este normalizat, i.e.

(O i, O j) = , i,j= 1,2, …, m.

Un sistem ortogonal de vectori are următoarele proprietăți:

1. Dacă este un sistem ortogonal de vectori nenuli, apoi sistemul obtinut prin normalizarea fiecaruia dintre vectorii unui sistem dat este si ortogonal.

2. Un sistem ortogonal de vectori nenuli este liniar independent.

Dacă fiecare sistem de vectori ortogonal și, prin urmare, ortonormal este liniar independent, atunci poate un astfel de sistem să formeze baza unui spațiu dat? Următoarea teoremă răspunde la această întrebare.

Teorema 3

Oricum n-spațiu euclidian dimensional ( ) există o bază ortonormală.

Dovada

A demonstra o teoremă înseamnă găsi această bază. Prin urmare, vom proceda după cum urmează.

Considerați într-un spațiu euclidian dat o bază arbitrară ( O 1 , O 2 , …, O n), folosindu-l construim o bază ortogonală ( g 1 , g 2 , …, g n), și apoi normalizăm vectorii acestei baze, i.e. pune . Apoi sistemul de vectori ( e 1 , e 2 ,…, e n) formează o bază ortonormală.

Deci hai B:( O 1 , O 2 , …, O n) este o bază arbitrară a spațiului luat în considerare.

1. Să punem

g 1 = O 1 ,g 2 = O 2 + g 1

și selectați coeficientul astfel încât vectorul g 2 a fost ortogonală cu vectorul g 1, adică ( g 1 , g 2) = 0. Din moment ce

,

apoi din egalitate găsim = – .

Apoi vectorul g 2 = O 2 – g 1 este ortogonală cu vectorul g 1 .

g 3 = O 3 + g 1 + g 2 ,

și selectați și astfel încât vectorul g 3 era ortogonală și g 2, și g 3, adică ( g 1 , g 3) = 0 și ( g 2 , g 3) = 0. Găsiți

Apoi din egalităţi Şi găsim în consecință Şi .

Deci vectorul g 3 = O 3 –` g 1 – g 2 ortogonal la vectori g 1 și g 2 .

Să construim în mod similar vectorul

g 4 = O 4 –` g 1 – g 2 – g 3 .

Este ușor de verificat că ( g 1 , g 4) = 0, (g 2 , g 4) = 0, (g 3 , g 4) = 0. 2 – … – g k –1 ,k = 2, 3, …,n.

3) Normalizați sistemul rezultat de vectori ( g 1 , g 2 , …, g n), adică pune .

4) Notează o bază ortonormală ( e 1 , e 2 , …, e n}.

În cele ce urmează, vom desemna o bază ortonormală

B 0:( e 1 , e 2 , …, e n}.

Să notăm următoarele proprietățile unei baze ortonormale.

1) Într-o bază ortonormală, produsul scalar al oricăror doi vectori din spațiu este egal cu suma produselor coordonatelor lor corespunzătoare: ( O , b ) = a 1 b 1 + a 2 b 2 + …+ a n b n.

2) Dacă într-o anumită bază produsul scalar a doi vectori este egal cu suma produselor coordonatelor lor corespunzătoare, atunci această bază este ortonormală.

Astfel, orice bază a spațiului euclidian va fi ortonormală dacă produs punctual definită ca suma produselor coordonatelor vectoriale în această bază.

3) Într-o bază ortonormală, norma unui vector este egală cu rădăcina pătrată a sumei pătratelor coordonatelor sale.

||o || = .

Definiția 8.

Se numește mulțimea M spațiu metric , dacă există o regulă conform căreia oricare dintre elementele sale X Şi la un număr real r( X ,la ) numit distanţă între aceste elemente, îndeplinind condițiile:

1.r( X ,la ) = r( la ,X );

2.r( X ,la )³0 pentru orice X Şi la , și r( X ,la )=0 dacă și numai dacă X = la ;

3.r( X ,la ) £ r( X , z ) + r( la , z ) pentru oricare trei elemente X , la , z OM.

Elementele unui spațiu metric sunt numite puncte.

Un exemplu de spațiu metric este spațiul R n, în el distanța dintre puncte (vectorii acestui spațiu) poate fi determinată prin formula r( X ,la ) = || X – la ||.