În cazul proiecției dreptunghiulare, sistemul de planuri de proiecție este format din două planuri de proiecție reciproc perpendiculare (Fig. 2.1). Au convenit să plaseze unul pe orizontală și pe celălalt pe verticală.
Se numește planul de proiecție situat orizontal plan orizontal de proiecție si denota sch, iar planul perpendicular pe acesta este planul frontal al proiecțiilorl 2. Sistemul de planuri de proiecție în sine este notat p/p 2. De obicei se folosesc expresii prescurtate: plan L[, avion n 2. Linia de intersecție a planurilor schŞi la 2 numit axa de proiecțieOH.Împarte fiecare plan de proiecție în două părți - podele. Planul de proiecție orizontal are față și spate, iar planul frontal are etajele superioare și inferioare.
Avioane schŞi n 2împărțiți spațiul în patru părți, numite în sferturiși desemnate cu cifre romane I, II, III și IV (vezi Fig. 2.1). Primul sfert este partea de spațiu limitată de planurile de proiecție orizontale goale frontale superioare și anterior. Pentru sferturile rămase de spațiu, definițiile sunt similare cu cea anterioară.
Toate desenele de inginerie mecanică sunt imagini construite pe același plan. În fig. 2.1 sistemul de planuri de proiecție este spațial. Pentru a trece la imagini din același plan, am convenit să combinăm planurile de proiecție. De obicei plat n 2 rămas nemişcat, iar avionul P rotiți în direcția indicată de săgeți (vezi Fig. 2.1) în jurul axei OH la un unghi de 90° până când se aliniază cu planul n 2. Cu această rotație, podeaua frontală a planului orizontal coboară, iar spatele urcă. După ce combină avioanele cu care arată
căsătorit cu fig. 2.2. Se crede că planurile de proiecție sunt opace și observatorul este întotdeauna în primul trimestru. În fig. 2.2 desemnarea planurilor care sunt invizibile după combinarea etajelor este luată între paranteze, așa cum este obișnuit pentru evidențierea figurilor invizibile în desene.
Punctul proiectat poate fi situat în orice sfert de spațiu sau pe orice plan de proiecție. În toate cazurile, pentru a construi proiecții, prin ea se trasează linii de proiecție și se găsesc punctele lor de întâlnire cu planurile 711 și 712, care sunt proiecții.
Luați în considerare proiecția unui punct situat în primul trimestru. Sunt specificate sistemul de planuri de proiecție 711/712 și punctul O(Fig. 2.3). Prin ea sunt trasate două LINEI drepte, perpendiculare pe PLANURI 71) ȘI 71 2. Unul dintre ei va intersecta planul 711 într-un punct A ", numit proiecția orizontală a punctului A, iar celălalt este planul 71 2 la punct A ", numit proiecția frontală a punctului A.
Proiectarea liniilor drepte AA"Şi AA" determinați planul de proiecție a. Este perpendicular pe planuri Kip 2,întrucât trece prin perpendicularele pe acestea și intersectează planele de proiecție de-a lungul unor drepte Un „Ah și un „Ah. Axa de proiecție OH perpendicular pe planul os, ca linie de intersecție a două plane 71| și 71 2, perpendiculară pe cel de-al treilea plan (a) și, prin urmare, pe orice dreaptă care se află în el. În special, 0X1A"A xŞi 0X1A „Ah.
La combinarea avioanelor, un segment A „Ah, plat la 2, rămâne nemișcat, iar segmentul A „A xîmpreună cu planul 71) vor fi rotite în jurul axei OH până când se aliniază cu planul 71 2. Vedere a planurilor de proiecție combinate împreună cu proiecțiile punctuale O prezentat în Fig. 2.4, O. După combinarea punctului A", Ax și A" va fi situat pe o singură linie dreaptă, perpendiculară pe axă OH. Aceasta înseamnă că două proiecții ale aceluiași punct
se află pe o perpendiculară comună pe axa de proiecție. Această perpendiculară care leagă două proiecții ale aceluiași punct se numește linie de comunicare de proiecție.
Desenul din Fig. 2.4, O poate fi foarte simplificat. Denumirile planurilor de proiecție combinate nu sunt marcate în desene și dreptunghiurile care limitează în mod convențional planurile de proiecție nu sunt reprezentate, deoarece planurile sunt nelimitate. Desen punct simplificat O(Fig. 2.4, b) numit si diagramă(din franceză ?pură - desen).
Arată în Fig. 2.3 patrulater AE4 "A H A" este un dreptunghi și laturile sale opuse sunt egale și paralele. Prin urmare, distanța de la punct O a aviona P, măsurată printr-un segment AA", în desen este determinat de segment Un „Ah. Segmentul A „A x = AA” vă permite să judecați distanța de la un punct O a aviona la 2. Astfel, desenul unui punct oferă o imagine completă a locației acestuia în raport cu planurile de proiecție. De exemplu, conform desenului (vezi Fig. 2.4, b) se poate argumenta că ideea O situat în primul sfert și scos din avion n 2 la o distanţă mai mică decât de avion din moment ce A „A x Un „Ah.
Să trecem la proiectarea unui punct în al doilea, al treilea și al patrulea sferturi de spațiu.
La proiectarea unui punct ÎN, situat în al doilea trimestru (Fig. 2.5), după combinarea planurilor, ambele proiecții ale sale vor fi deasupra axei OH.
Proiecția orizontală a punctului C, specificată în al treilea trimestru (Fig. 2.6), este situată deasupra axei OH, iar cel din față este mai jos.
Punctul D prezentat în fig. 2.7, situat în al patrulea trimestru. După combinarea planurilor de proiecție, ambele proiecții vor fi sub axă OH.
Comparând desenele punctelor situate în diferite sferturi de spațiu (vezi Fig. 2.4-2.7), puteți observa că fiecare este caracterizat de propria sa locație a proiecțiilor în raport cu axa proiecțiilor OH.
În cazuri speciale, punctul proiectat se poate afla pe planul de proiecție. Apoi, una dintre proiecțiile sale coincide cu punctul însuși, iar cealaltă va fi situată pe axa proiecțiilor. De exemplu, pentru un punct E,întins într-un avion sch(Fig. 2.8), proiecție orizontală coincide cu punctul în sine, iar cel din față este pe axă OH. La punctul E, situat într-un avion la 2(Fig. 2.9), proiecție orizontală pe axă OH, iar cea din față coincide cu punctul însuși.
Un punct, ca concept matematic, nu are dimensiuni. Evident, dacă obiectul proiecției este un obiect cu dimensiune zero, atunci vorbirea despre proiecția sa este lipsită de sens.
Fig.9 Fig.10
În geometrie, este recomandabil să se considere un punct ca un obiect fizic care are dimensiuni liniare. În mod convențional, o minge cu o rază infinitezimală poate fi luată ca punct. Cu această interpretare a conceptului de punct, putem vorbi despre proiecțiile acestuia.
Când construim proiecții ortogonale ale unui punct, ar trebui să ne ghidăm după prima proprietate invariantă a proiecției ortogonale: Proiecția ortogonală a unui punct este un punct.
Poziția unui punct în spațiu este determinată de trei coordonate: X, Y, Z, arătând distanţele la care un punct este îndepărtat din planurile de proiecţie. Pentru a determina aceste distanțe, este suficient să determinați punctele de întâlnire ale acestor drepte cu planurile de proiecție și să măsurați mărimile corespunzătoare, care vor indica în mod corespunzător valorile absciselor. X, ordonate Yși degete Z puncte (Fig. 10).
Proiecția unui punct este baza perpendicularei trase din punct pe planul de proiecție corespunzător. Proiecție orizontală puncte O se numește proiecție dreptunghiulară a unui punct pe un plan orizontal de proiecție, proiecție frontală a /– respectiv pe planul frontal al proiecţiilor şi profil a // – pe planul de profil al proiecţiilor.
Direct Aa, Aa /Şi Aa // se numesc linii proiectante. În același timp, direct Ah, punct de proiectare O pe planul orizontal al proiecțiilor se numește linie dreaptă proiectată orizontal, Aa /Şi Aa //- respectiv: frontalŞi linii de proiectare a profilului.
Două linii de proiecție care trec printr-un punct O definiți un plan, care este de obicei numit proiectand.
La transformarea aspectului spațial, proiecția frontală a punctului A – a / rămâne pe loc, ca aparținând unui plan care nu își schimbă poziția în timpul transformării luate în considerare. proiecție orizontală - Oîmpreună cu planul orizontal de proiecție se va roti în sensul mișcării acelor de ceasornic și va fi situat la una perpendiculară pe axă. X cu proiecție frontală. proiecție profil - a // se va roti odată cu planul profilului și până la sfârșitul transformării va lua poziția indicată în Figura 10. În acest caz - a // va aparține perpendicularei pe axă Z trase din punct A /și va fi îndepărtat de pe axă Z la aceeași distanță cu proiecția orizontală O departe de axă X. Prin urmare, legătura dintre proiecțiile orizontale și de profil ale unui punct poate fi stabilită folosind două segmente ortogonale aa yŞi a da //și arcul de cerc care le conectează cu centrul în punctul de intersecție a axelor ( DESPRE– originea coordonatelor). Conexiunea marcată este folosită pentru a găsi proiecția lipsă (date două date). Poziția proiecției profilului (orizontală) conform proiecțiilor orizontale (profilului) și frontală date poate fi găsită folosind o linie dreaptă trasată la un unghi de 45 0 de la origine la axă. Y(aceasta bisectoare se numește linie dreaptă k– constanta Monge). Prima dintre aceste metode este de preferat deoarece este mai precisă.
Din aceasta rezultă:
1. Un punct din spațiu este eliminat:
din planul orizontal H Z,
din planul frontal V prin valoarea unei coordonate date Y,
din planul profilului W prin valoarea coordonatei. X.
2. Două proiecții ale oricărui punct aparțin aceleiași perpendiculare (o linie de legătură):
orizontală și frontală – perpendicular pe ax X,
orizontală și de profil – perpendicular pe axa Y,
frontală și de profil - perpendicular pe axa Z.
3. Poziția unui punct în spațiu este complet determinată de poziția celor două proiecții ortogonale ale sale. Din aceasta rezultă - Folosind oricare două proiecții ortogonale date ale unui punct, este întotdeauna posibil să se construiască a treia proiecție lipsă.
Dacă un punct are trei coordonate specifice, atunci se numește un astfel de punct punct de poziţie generală. Dacă un punct are una sau două coordonate valoare nulă, atunci se numește un astfel de punct punct privat.
Orez. 11 Fig. 12
Figura 11 prezintă un desen spațial al punctelor cu o anumită poziție, Figura 12 arată desen integrat(diagrama) acestor puncte. Punct O aparține planului frontal al proiecțiilor, punct ÎN– plan orizontal de proiecție, punct CU– planul și punctul de proiecție al profilului D– axa x ( X).
În acest articol vom găsi răspunsuri la întrebări despre cum să creați o proiecție a unui punct pe un plan și cum să determinați coordonatele acestei proiecții. În partea teoretică ne vom baza pe conceptul de proiecție. Vom defini termenii și vom oferi informații cu ilustrații. Să consolidăm cunoștințele dobândite prin rezolvarea de exemple.
Proiecție, tipuri de proiecție
Pentru confortul vizualizării figurilor spațiale, se folosesc desene care ilustrează aceste figuri.
Definiția 1
Proiectia unei figuri pe un plan– desenul unei figuri spațiale.
Evident, există o serie de reguli folosite pentru a construi o proiecție.
Definiția 2
Proiecție– procesul de construire a unui desen al unei figuri spațiale pe un plan folosind reguli de construcție.
Planul de proiecție- acesta este planul în care este construită imaginea.
Utilizarea anumitor reguli determină tipul de proiecție: central sau paralel.
Un caz special proiecție paralelă este proiecție perpendiculară sau ortogonală: în geometrie se folosește cu precădere. Din acest motiv, adjectivul „perpendicular” în sine este adesea omis în vorbire: în geometrie se spune pur și simplu „proiecția unei figuri” și prin aceasta se referă la construirea unei proiecții folosind metoda proiecției perpendiculare. În cazuri speciale, desigur, se poate conveni altceva.
Să remarcăm faptul că proiecția unei figuri pe un plan este în esență o proiecție a tuturor punctelor acestei figuri. Prin urmare, pentru a putea studia o figură spațială într-un desen, este necesar să dobândești abilitățile de bază de a proiecta un punct pe un plan. Despre ce vom vorbi mai jos.
Să reamintim că cel mai adesea în geometrie, când vorbim despre proiecția pe un plan, se referă la utilizarea unei proiecții perpendiculare.
Să facem construcții care să ne dea posibilitatea de a obține o definiție a proiecției unui punct pe un plan.
Să presupunem că este dat un spațiu tridimensional, iar în el există un plan α și un punct M 1 care nu aparține planului α. Desenați o dreaptă prin punctul dat M O perpendicular pe un plan dat α. Notăm punctul de intersecție al dreptei a și planului α ca H 1 prin construcție, acesta va servi ca bază a unei perpendiculare coborâte din punctul M 1 în planul α;
Dacă este dat un punct M2, aparținând unui plan dat α, atunci M2 va servi ca proiecție a lui însuși pe planul α.
Definiția 3
- acesta este fie punctul în sine (dacă aparține unui plan dat), fie baza unei perpendiculare coborâte dintr-un punct dat spre exterior avion dat.
Găsirea coordonatelor proiecției unui punct pe un plan, exemple
Să fie date în spațiul tridimensional următoarele: un sistem de coordonate dreptunghiular O x y z, un plan α, un punct M 1 (x 1, y 1, z 1). Este necesar să se găsească coordonatele proiecției punctului M 1 pe un plan dat.
Soluția rezultă în mod evident din definiția dată mai sus a proiecției unui punct pe un plan.
Să notăm proiecția punctului M 1 pe planul α ca H 1 . Conform definiției, H 1 este punctul de intersecție al unui plan dat α și o dreaptă a trasă prin punctul M 1 (perpendicular pe plan). Aceste. Coordonatele proiecției punctului M1 de care avem nevoie sunt coordonatele punctului de intersecție a dreptei a și a planului α.
Astfel, pentru a găsi coordonatele proiecției unui punct pe un plan este necesar:
Se obține ecuația planului α (dacă nu este specificată). Un articol despre tipurile de ecuații plane vă va ajuta aici;
Determinați ecuația unei drepte a care trece printr-un punct M 1 și perpendicular pe planul α (studiați subiectul despre ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat perpendicular pe un plan dat);
Aflați coordonatele punctului de intersecție al dreptei a și ale planului α (articol - aflarea coordonatelor punctului de intersecție al planului și al dreptei). Datele obținute vor fi coordonatele de care avem nevoie pentru proiecția punctului M 1 pe planul α.
Să ne uităm la teorie cu exemple practice.
Exemplul 1
Determinați coordonatele proiecției punctului M 1 (- 2, 4, 4) pe planul 2 x – 3 y + z - 2 = 0.
Soluţie
După cum vedem, ne este dată ecuația planului, i.e. nu este nevoie să-l compilați.
Să notăm ecuațiile canonice ale unei drepte a care trece prin punctul M 1 și perpendiculară pe planul dat. În aceste scopuri, determinăm coordonatele vectorului de direcție al dreptei a. Deoarece linia a este perpendiculară pe un plan dat, vectorul direcție al dreptei a este vectorul normal al planului 2 x - 3 y + z - 2 = 0. Astfel, a → = (2, - 3, 1) – vector de direcție al dreptei a.
Acum vom compune ecuațiile canonice ale unei drepte în spațiu care trece prin punctul M 1 (- 2, 4, 4) și având un vector de direcție a → = (2 , - 3 , 1) :
x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1
Pentru a găsi coordonatele necesare, următorul pas este să determinați coordonatele punctului de intersecție al dreptei x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 și ale planului 2 x - 3 y + z - 2 = 0 . În aceste scopuri, trecem de la ecuații canonice la ecuațiile a două plane care se intersectează:
x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 ⇔ - 3 · (x + 2) = 2 · (y - 4) 1 · (x + 2) = 2 · (z - 4) 1 · ( y - 4) = - 3 (z + 4) ⇔ 3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0
Să creăm un sistem de ecuații:
3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0 2 x - 3 y + z - 2 = 0 ⇔ 3 x + 2 y = 2 x - 2 z = - 10 2 x - 3 y + z = 2
Și să o rezolvăm folosind metoda lui Cramer:
∆ = 3 2 0 1 0 - 2 2 - 3 1 = - 28 ∆ x = 2 2 0 - 10 0 - 2 2 - 3 1 = 0 ⇒ x = ∆ x ∆ = 0 - 28 = 0 ∆ y = 3 2 0 1 - 10 - 2 2 2 1 = - 28 ⇒ y = ∆ y ∆ = - 28 - 28 = 1 ∆ z = 3 2 2 1 0 - 10 2 - 3 2 = - 140 ⇒ z = ∆ = - z 140 - 28 = 5
Astfel, coordonatele cerute ale unui punct dat M 1 pe un plan dat α vor fi: (0, 1, 5).
Răspuns: (0 , 1 , 5) .
Exemplul 2
Într-un sistem de coordonate dreptunghiular O x y z al spațiului tridimensional, sunt date punctele A (0, 0, 2); B (2, - 1, 0); C (4, 1, 1) şi M1 (-1, -2, 5). Este necesar să se găsească coordonatele proiecției M 1 pe planul A B C
Soluţie
În primul rând, să scriem ecuația unui avion care trece prin trei puncte date:
x - 0 y - 0 z - 0 2 - 0 - 1 - 0 0 - 2 4 - 0 1 - 0 1 - 2 = 0 ⇔ x y z - 2 2 - 1 - 2 4 1 - 1 = 0 ⇔ ⇔ 3 x - 6 y + 6 z - 12 = 0 ⇔ x - 2 y + 2 z - 4 = 0
Să notăm ecuațiile parametrice ale dreptei a, care va trece prin punctul M 1 perpendicular pe planul A B C. Planul x – 2 y + 2 z – 4 = 0 are un vector normal cu coordonatele (1, -). 2, 2), adică vector a → = (1, - 2, 2) – vectorul de direcție al dreptei a.
Acum, având coordonatele punctului dreptei M 1 și coordonatele vectorului de direcție al acestei drepte, scriem ecuațiile parametrice ale dreptei în spațiu:
Apoi determinăm coordonatele punctului de intersecție al planului x – 2 y + 2 z – 4 = 0 și dreapta
x = - 1 + λ y = - 2 - 2 λ z = 5 + 2 λ
Pentru a face acest lucru, înlocuim în ecuația planului:
x = - 1 + λ, y = - 2 - 2 λ, z = 5 + 2 λ
Acum, folosind ecuațiile parametrice x = - 1 + λ y = - 2 - 2 · λ z = 5 + 2 · λ, găsim valorile variabilelor x, y și z pentru λ = - 1: x = - 1 + (- 1) y = - 2 - 2 · (- 1) z = 5 + 2 · (- 1) ⇔ x = - 2 y = 0 z = 3
Astfel, proiecția punctului M 1 pe planul A B C va avea coordonate (- 2, 0, 3).
Răspuns: (- 2 , 0 , 3) .
Să ne oprim separat asupra problemei găsirii coordonatelor proiecției unui punct pe planuri de coordonateși planuri care sunt paralele cu planurile coordonate.
Să fie date punctele M 1 (x 1, y 1, z 1) și planele de coordonate O x y, O x z și O y z. Coordonatele proiecției acestui punct pe aceste plane vor fi, respectiv: (x 1, y 1, 0), (x 1, 0, z 1) și (0, y 1, z 1). Să considerăm, de asemenea, planuri paralele cu planurile de coordonate date:
C z + D = 0 ⇔ z = - D C , B y + D = 0 ⇔ y = - D B
Și proiecțiile unui punct dat M 1 pe aceste plane vor fi puncte cu coordonatele x 1, y 1, - DC, x 1, - D B, z 1 și - D A, y 1, z 1.
Să demonstrăm cum a fost obținut acest rezultat.
Ca exemplu, să definim proiecția punctului M 1 (x 1, y 1, z 1) pe planul A x + D = 0. Restul cazurilor sunt similare.
Planul dat este paralel cu planul de coordonate O y z și i → = (1, 0, 0) este vectorul său normal. Același vector servește ca vector de direcție al dreptei perpendiculare pe planul O y z. Atunci ecuațiile parametrice ale unei drepte trasate prin punctul M 1 și perpendiculare pe un plan dat vor avea forma:
x = x 1 + λ y = y 1 z = z 1
Să găsim coordonatele punctului de intersecție al acestei drepte și a planului dat. Să substituim mai întâi egalitățile în ecuația A x + D = 0: x = x 1 + λ , y = y 1 , z = z 1 și obținem: A · (x 1 + λ) + D = 0 ⇒ λ = - D A - x 1
Apoi calculăm coordonatele necesare folosind ecuațiile parametrice ale dreptei cu λ = - D A - x 1:
x = x 1 + - D A - x 1 y = y 1 z = z 1 ⇔ x = - D A y = y 1 z = z 1
Adică, proiecția punctului M 1 (x 1, y 1, z 1) pe plan va fi un punct cu coordonatele - DA, y 1, z 1.
Exemplul 2
Este necesar să se determine coordonatele proiecției punctului M 1 (- 6, 0, 1 2) pe planul de coordonate O x y și pe planul 2 y - 3 = 0.
Soluţie
Planul de coordonate O x y va corespunde ecuației generale incomplete a planului z = 0. Proiecția punctului M 1 pe planul z = 0 va avea coordonate (- 6, 0, 0).
Ecuația plană 2 y - 3 = 0 poate fi scrisă ca y = 3 2 2. Acum doar scrieți coordonatele proiecției punctului M 1 (- 6, 0, 1 2) pe planul y = 3 2 2:
6 , 3 2 2 , 1 2
Răspuns:(- 6 , 0 , 0) și - 6 , 3 2 2 , 1 2
Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
Acest articol este răspunsul la două întrebări: „Ce este” și „Cum să găsești coordonatele proiecției punctului pe plan"? În primul rând, sunt oferite informațiile necesare despre proiecție și tipurile acesteia. Următoarea este o definiție a proiecției unui punct pe un plan și o ilustrare grafică. După aceasta, s-a obținut o metodă de găsire a coordonatelor proiecției unui punct pe un plan. În concluzie, soluții la exemple în care se calculează coordonatele proiecției unui punct dat pe un plan dat.
Navigare în pagină.
Proiecție, tipuri de proiecție – informații necesare.
Când studiați figurile spațiale, este convenabil să folosiți imaginile lor în desen. Desenul unei figuri spațiale este un așa-numit proiecție această figură într-un avion. Procesul de construire a unei imagini a unei figuri spațiale pe un plan are loc după anumite reguli. Deci procesul de construire a unei imagini a unei figuri spațiale pe un plan, împreună cu un set de reguli prin care se realizează acest proces, se numește proiecție figuri pe un plan dat. Se numește planul în care este construită imaginea planul de proiectie.
În funcție de regulile prin care se realizează proiecția, există centralŞi proiecție paralelă. Nu vom intra în detalii, deoarece acest lucru depășește scopul acestui articol.
Folosit în principal în geometrie caz special proiecție paralelă - proiecție perpendiculară, care se mai numește ortogonală. În numele acestui tip de proiecție, adjectivul „perpendicular” este adesea omis. Adică, când în geometrie se vorbește despre proiecția unei figuri pe un plan, de obicei înseamnă că această proiecție a fost obținută folosind proiecția perpendiculară (cu excepția cazului în care, desigur, se precizează altfel).
Trebuie remarcat faptul că proiecția unei figuri pe un plan este un set de proiecții ale tuturor punctelor acestei figuri pe planul de proiecție. Cu alte cuvinte, pentru a obține proiecția unei anumite figuri, trebuie să puteți găsi proiecțiile punctelor acestei figuri pe plan. Următorul paragraf al articolului arată exact cum să găsiți proiecția unui punct pe un plan.
Proiecția unui punct pe un plan - definiție și ilustrare.
Să subliniem încă o dată că vom vorbi despre proiecția perpendiculară a unui punct pe un plan.
Să realizăm construcții care ne vor ajuta să definim proiecția unui punct pe un plan.
Să ni se dea un punct M 1 și un plan în spațiul tridimensional. Să trasăm o dreaptă a prin punctul M1, perpendiculară pe plan. Dacă punctul M1 nu se află în plan, atunci notăm punctul de intersecție al dreptei a și planul ca H1. Astfel, punctul H 1 prin construcție este baza perpendicularei căzute din punctul M 1 în plan.
Definiţie.
Proiecția punctului M 1 pe plan- acesta este punctul M 1 însuși, dacă, sau punctul H 1, dacă.
Această definiție Următoarea definiție este echivalentă cu proiecția unui punct pe un plan.
Definiţie.
Proiectia unui punct pe un plan- acesta este fie punctul însuși, dacă se află într-un plan dat, fie baza unei perpendiculare coborâte din acest punct într-un plan dat.
În desenul de mai jos, punctul H1 este proiecția punctului M1 pe plan; punctul M2 se află în plan, prin urmare M2 este proiecția punctului M2 însuși pe plan.
Găsirea coordonatelor proiecției unui punct pe un plan - soluții la exemple.
Să fie introdus Oxyz în spațiul tridimensional și să fie dat un punct 
si avionul. Să ne punem sarcina: să determinăm coordonatele proiecției punctului M 1 pe plan.
Soluția problemei rezultă logic din definirea proiecției unui punct pe un plan.
Să notăm proiecția punctului M 1 pe plan ca H 1 . Prin definiția proiecției unui punct pe un plan, H 1 este punctul de intersecție a unui plan dat și o dreaptă a care trece prin punctul M 1 perpendicular pe plan. Astfel, coordonatele dorite ale proiecției punctului M 1 pe plan sunt coordonatele punctului de intersecție a dreptei a și planului.
Prin urmare, pentru a găsi coordonatele de proiecție ale unui punct in avion ai nevoie de:
Să ne uităm la soluțiile exemplelor.
Exemplu.
Găsiți coordonatele proiecției punctului 
la avion 
.
Soluţie.
În enunțul problemei ni se oferă o ecuație plană generală de forma , deci nu este nevoie să-l compuneți.
Să scriem ecuațiile canonice ale dreptei a, care trece prin punctul M 1 perpendicular pe planul dat. Pentru a face acest lucru, obținem coordonatele vectorului de direcție al dreptei a. Deoarece linia dreaptă a este perpendiculară pe planul dat, atunci vectorul direcție al dreptei a este vectorul normal al planului . adica 
- vector de direcție al dreptei a. Acum putem scrie ecuațiile canonice ale unei drepte în spațiu care trece prin punct și are un vector de direcție :
.
Pentru a obține coordonatele necesare proiecției punctului pe plan, rămâne să se determine coordonatele punctului de intersecție al dreptei si avioane . Pentru a face acest lucru, trecem de la ecuațiile canonice ale unei linii drepte la ecuațiile a două plane care se intersectează, compilând un sistem de ecuații 
și găsiți-i soluția. Folosim: 
Astfel, proiecția punctului la avion are coordonate.
Răspuns:
Exemplu.
În sistemul de coordonate dreptunghiular Oxyz în spațiu tridimensional, puncte și 
. Determinați coordonatele proiecției punctului M 1 pe planul ABC.
Soluţie.
Să scriem mai întâi ecuația unui plan care trece prin trei puncte date: 
Dar să ne uităm la o abordare alternativă.
Obținem ecuațiile parametrice ale dreptei a, care trece prin punct și perpendicular pe planul ABC. Vectorul normal al unui plan are coordonate, deci vectorul 
este vectorul de direcție al dreptei a. Acum putem scrie ecuațiile parametrice ale unei linii în spațiu, deoarece știm coordonatele punctului dreptei ( ) și coordonatele vectorului său de direcție ( ):
Rămâne de determinat coordonatele punctului de intersecție al dreptei și avioane. Pentru a face acest lucru, înlocuiți în ecuația planului:
.
Acum conform ecuațiilor parametrice Să calculăm valorile variabilelor x, y și z la: 
.
Astfel, proiecția punctului M 1 pe planul ABC are coordonate.
Răspuns:
În concluzie, să discutăm despre găsirea coordonatelor proiecției unui anumit punct pe planuri coordonate și planuri paralele cu planurile coordonate.
Proiecțiile unui punct pe planurile de coordonate Oxy, Oxz și Oyz sunt puncte cu coordonate 
si in consecinta. Și proiecțiile punctului în avion şi 
, care sunt paralele cu planurile de coordonate Oxy, Oxz și respectiv Oyz, sunt puncte cu coordonate 
Şi 
.
Să arătăm cum au fost obținute aceste rezultate.
De exemplu, să găsim proiecția punctului în avion (alte cazuri sunt similare cu acesta).
Acest plan este paralel cu planul de coordonate Oyz și este vectorul său normal. Vectorul este vectorul direcție al unei linii perpendiculare pe planul Oyz. Atunci ecuațiile parametrice ale unei drepte care trece prin punctul M 1 perpendicular pe un plan dat au forma .
Să găsim coordonatele punctului de intersecție al dreptei și al planului. Pentru a face acest lucru, înlocuim mai întâi egalitățile în ecuația: , și proiecția punctului
Studierea proprietăților figurilor în spațiu și pe un plan este imposibilă fără a cunoaște distanțele dintre un punct și obiecte geometrice precum o linie dreaptă și un plan. În acest articol vom arăta cum să găsim aceste distanțe luând în considerare proiecția unui punct pe un plan și pe o dreaptă.
Ecuația unei drepte pentru spații bidimensionale și tridimensionale
Calculul distanțelor dintre un punct și o dreaptă și un plan se realizează folosind proiecția acestuia pe aceste obiecte. Pentru a putea găsi aceste proiecții, ar trebui să știți sub ce formă sunt date ecuațiile pentru drepte și plane. Să începem cu primele.
O linie dreaptă este o colecție de puncte, fiecare dintre acestea putând fi obținută de la precedentul transferându-l la vectori paraleli între ei. De exemplu, există un punct M și N. Vectorul MN¯ care le conectează duce M la N. Există și un al treilea punct P. Dacă vectorul MP¯ sau NP¯ este paralel cu MN¯, atunci toate cele trei puncte se află pe aceeași linie și formați-o.
În funcție de dimensiunea spațiului, ecuația care definește linia își poate schimba forma. Da, toată lumea știe dependență liniară coordonatele y din x din spațiu sunt descrise de un plan care este paralel cu a treia axă z. În acest sens, în acest articol vom lua în considerare doar ecuația vectorială pentru linie. Are același aspect pentru un spațiu plan și tridimensional.
În spațiu, o linie dreaptă poate fi definită prin următoarea expresie:
(x; y; z) = (x 0 ; y 0 ; z 0) + α*(a; b; c)
Aici, valorile coordonatelor cu indici zero corespund unui anumit punct aparținând dreptei, u¯(a; b; c) sunt coordonatele vectorului de direcție care se află pe această dreaptă, α este un arbitrar număr real, schimbând care puteți obține toate punctele liniei. Această ecuație se numește ecuație vectorială.
Ecuația de mai sus este adesea scrisă în formă extinsă:
Într-un mod similar, puteți scrie ecuația pentru o dreaptă situată într-un plan, adică în spațiu bidimensional:
(x; y) = (x 0 ; y 0) + α*(a; b);
Ecuația plană
Pentru a putea găsi distanța de la un punct la planurile de proiecție, trebuie să știți cum este definit un plan. La fel ca o linie dreaptă, poate fi reprezentată în mai multe moduri. Aici vom lua în considerare doar una: ecuația generală.
Să presupunem că punctul M(x 0 ; y 0 ; z 0) aparține planului, iar vectorul n¯(A; B; C) este perpendicular pe acesta, atunci pentru toate punctele (x; y; z) ale plan egalitatea va fi valabilă:
A*x + B*y + C*z + D = 0, unde D = -1*(A*x 0 + B*y 0 + C*z 0)
Trebuie amintit că în această ecuație plană generală, coeficienții A, B și C sunt coordonatele vectorului normal la plan.
Calculul distanțelor după coordonate
Înainte de a trece la considerarea proiecțiilor pe planul unui punct și pe o linie dreaptă, merită să ne amintim cum se calculează distanța dintre două puncte cunoscute.
Să fie două puncte spațiale:
A 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) și A 2 (x 2 ; y 2 ; z 2)
Apoi, distanța dintre ele se calculează cu formula:
A 1 A 2 = √((x 2 -x 1) 2 +(y 2 -y 1) 2 +(z 2 -z 1) 2)
Folosind această expresie se determină și lungimea vectorului A 1 A 2 ¯.
Pentru cazul unui plan, când două puncte sunt definite doar de o pereche de coordonate, putem scrie o egalitate similară fără prezența unui termen cu z în el:
A 1 A 2 = √((x 2 -x 1) 2 +(y 2 -y 1) 2)
Acum să luăm în considerare diverse cazuri proiecții pe un plan a unui punct pe o dreaptă și pe un plan în spațiu.
Punctul, linia și distanța dintre ele
Să presupunem că există un punct și o dreaptă:
P2 (x1; y1);
(x; y) = (x 0 ; y 0) + α*(a; b)
Distanța dintre aceste obiecte geometrice va corespunde lungimii vectorului, începutul căruia se află în punctul P 2, iar sfârșitul este într-un punct P pe linia specificată pentru care vectorul P 2 P ¯ este perpendicular pe acesta. linia. Punctul P se numește proiecția punctului P 2 pe dreapta luată în considerare.
Mai jos este o figură care arată punctul P 2, distanța sa d față de linie, precum și vectorul direcție v 1 ¯. De asemenea, un punct arbitrar P 1 este selectat pe linie și un vector este trasat de la acesta la P 2. Punctul P coincide aici cu locul în care perpendiculara intersectează dreapta.
Se poate observa că săgețile portocalii și roșii formează un paralelogram, ale cărui laturi sunt vectorii P 1 P 2 ¯ și v 1 ¯, iar înălțimea este d. Din geometrie se știe că, pentru a găsi înălțimea unui paralelogram, aria acestuia trebuie împărțită la lungimea bazei pe care este coborâtă perpendiculara. Deoarece aria unui paralelogram este calculată ca produs vectorial laturile sale, atunci obținem formula pentru calculul d:
d = ||/|v 1 ¯|
Toți vectorii și coordonatele punctelor din această expresie sunt cunoscuți, așa că o puteți utiliza fără a efectua transformări.
Această problemă ar fi putut fi rezolvată altfel. Pentru a face acest lucru, scrieți două ecuații:
- produs punctual P 2 P ¯ pe v 1 ¯ trebuie să fie egal cu zero, deoarece acești vectori sunt reciproc perpendiculari;
- coordonatele punctului P trebuie să satisfacă ecuația dreptei.
Aceste ecuații sunt suficiente pentru a găsi coordonatele P și apoi lungimea d folosind formula dată în paragraful anterior.
Sarcina de a afla distanța dintre o linie și un punct
Vom arăta cum să folosim aceste informații teoretice pentru a rezolva o problemă specifică. Să presupunem că sunt cunoscute următoarele puncte și drepte:
(x; y) = (3; 1) - α*(0; 2)
Este necesar să găsiți punctele de proiecție pe o dreaptă din plan, precum și distanța de la M la linie dreaptă.
Să notăm proiecția care trebuie găsită prin punctul M 1 (x 1 ; y 1). Să rezolvăm această problemă în două moduri, descrise în paragraful anterior.
Metoda 1. Vectorul direcție v 1 ¯ are coordonatele (0; 2). Pentru a construi un paralelogram, selectăm un punct aparținând dreptei. De exemplu, un punct cu coordonate (3; 1). Atunci vectorul celei de-a doua laturi a paralelogramului va avea coordonatele:
(5; -3) - (3; 1) = (2; -4)
Acum trebuie să calculați produsul vectorilor care definesc laturile paralelogramului:
Inlocuim aceasta valoare in formula si obtinem distanta d de la M la dreapta:
Metoda 2. Acum să găsim în alt mod nu numai distanța, ci și coordonatele proiecției M pe linie dreaptă, așa cum este cerut de condiția problemei. După cum am menționat mai sus, pentru a rezolva problema este necesar să se creeze un sistem de ecuații. Va arata ca:
(x1-5)*0+(y1 +3)*2 = 0;
(x 1 ; y 1) = (3; 1)-α*(0; 2)
Să rezolvăm acest sistem:
Proiecția punctului de coordonate original are M 1 (3; -3). Atunci distanța necesară este:
d = |MM 1 ¯| = √(4+0) = 2
După cum puteți vedea, ambele metode de rezolvare au dat același rezultat, ceea ce indică corectitudinea operațiilor matematice efectuate.
Proiectia unui punct pe un plan
Acum să luăm în considerare care este proiecția unui punct dat în spațiu pe un anumit plan. Este ușor de ghicit că această proiecție este și un punct care, împreună cu cel original, formează perpendicular pe plan vector.
Să presupunem că proiecția pe planul punctului M are următoarele coordonate:
Planul în sine este descris de ecuația:
A*x + B*y + C*z + D = 0
Pe baza acestor date, putem crea o ecuație pentru o dreaptă care intersectează planul în unghi drept și trece prin M și M 1:
(x; y; z) = (x 0 ; y 0 ; z 0) + α*(A; B; C)
Aici, variabilele cu indici zero sunt coordonatele punctului M. Poziția pe planul punctului M 1 poate fi calculată pe baza faptului că coordonatele acestuia trebuie să satisfacă ambele ecuații scrise. Dacă aceste ecuații nu sunt suficiente pentru a rezolva problema, atunci puteți utiliza condiția de paralelism între MM 1 ¯ și vectorul de ghidare pentru un plan dat.
Evident, proiecția unui punct aparținând planului coincide cu ea însăși, iar distanța corespunzătoare este zero.
Problemă cu un punct și un plan
Să fie dat un punct M(1; -1; 3) și un plan, care este descris prin următoarele ecuație generală:
Este necesar să se calculeze coordonatele proiecției pe planul punctului și să se calculeze distanța dintre aceste obiecte geometrice.
Mai întâi, să construim ecuația unei drepte care trece prin M și perpendiculară pe planul indicat. Arata ca:
(x; y; z) = (1; -1; 3) + α*(-1; 3; -2)
Să notăm punctul în care această dreaptă intersectează planul ca M 1 . Egalitățile pentru plan și linie trebuie să fie satisfăcute dacă coordonatele M 1 sunt substituite în ele. Scriind ecuația dreptei în mod explicit, obținem următoarele patru egalități:
X1 + 3*y1-2*z1 + 4 = 0;
y1 = -1 + 3*a;
Din ultima egalitate obținem parametrul α, apoi îl substituim în penultima și a doua expresie, obținem:
y1 = -1 + 3*(3-z 1)/2 = -3/2*z 1 + 3,5;
x 1 = 1 - (3-z 1)/2 = 1/2*z 1 - 1/2
Inlocuim expresia pentru y 1 si x 1 in ecuatia pentru plan, avem:
1*(1/2*z 1 - 1/2) + 3*(-3/2*z 1 + 3,5) -2*z 1 + 4 = 0
De unde il luam:
y 1 = -3/2*15/7 + 3,5 = 2/7;
x 1 = 1/2*15/7 - 1/2 = 4/7
Am stabilit că proiecția punctului M pe un plan dat corespunde coordonatelor (4/7; 2/7; 15/7).
Acum să calculăm distanța |MM 1 ¯|. Coordonatele vectorului corespunzător sunt:
MM 1 ¯(-3/7; 9/7; -6/7)
Distanța necesară este:
d = |MM 1 ¯| = √126/7 ≈ 1,6
Proiecție în trei puncte
În timpul producerii desenelor, este adesea necesar să se obțină proiecții ale secțiunilor pe trei planuri reciproc perpendiculare. Prin urmare, este util să luăm în considerare cu ce vor fi egale proiecțiile unui anumit punct M cu coordonate (x 0 ; y 0 ; z 0) pe trei plane de coordonate.
Nu este greu să arăți că planul xy este descris de ecuația z = 0, planul xz corespunde expresiei y = 0, iar planul yz rămas este notat cu x = 0. Nu este greu de ghicit că proiecțiile unui punct pe 3 plane vor fi egale:
pentru x = 0: (0; y 0; z 0);
pentru y = 0: (x 0; 0; z 0);
pentru z = 0: (x 0 ; y 0 ; 0)
Unde este important să cunoaștem proiecția unui punct și distanța acestuia față de avioane?
Determinarea poziției proiecției punctelor pe un plan dat este importantă atunci când se găsesc cantități precum aria suprafeței și volumul pentru prisme și piramide înclinate. De exemplu, distanța de la vârful piramidei până la planul de bază este înălțimea. Acesta din urmă este inclus în formula pentru volumul acestei cifre.
Formulele și metodele luate în considerare pentru determinarea proiecțiilor și distanțelor de la un punct la o linie dreaptă și un plan sunt destul de simple. Este important doar să ne amintim formele corespunzătoare ale ecuațiilor unui plan și a unei linii drepte, precum și să aveți o bună imaginație spațială pentru a le aplica cu succes.