Apare diviziunea. În acest articol vom vorbi despre diviziune fracții obișnuite . În primul rând, vom da o regulă pentru împărțirea fracțiilor obișnuite și vom analiza exemple de împărțire a fracțiilor. În continuare ne vom concentra pe împărțirea unei fracții obișnuite la un număr natural și a numerelor la o fracție. În cele din urmă, să vedem cum să împărțim o fracție comună la un număr mixt.
Navigare în pagină.
Împărțirea unei fracții comune la o fracție comună
Se știe că împărțirea este acțiunea inversă a înmulțirii (vezi legătura dintre împărțire și înmulțire). Adică, împărțirea implică găsirea unui factor necunoscut atunci când produsul și un alt factor sunt cunoscuți. Același sens al împărțirii se păstrează la împărțirea fracțiilor obișnuite.
Să ne uităm la exemple de împărțire a fracțiilor obișnuite.
Rețineți că nu ar trebui să uităm de reducerea fracțiilor și separarea întregii părți dintr-o fracție improprie.
Împărțirea unei fracții la un număr natural
Îl dăm imediat regula pentru împărțirea unei fracții la un număr natural: pentru a împărți fracția a/b la un număr natural n, trebuie să lăsați numărătorul același și să înmulțiți numitorul cu n, adică .
Această regulă de împărțire decurge direct din regula împărțirii fracțiilor obișnuite. Într-adevăr, reprezentarea unui număr natural sub formă de fracție duce la următoarele egalități 
.
Să ne uităm la exemplul de împărțire a unei fracții la un număr.
Exemplu.
Împărțiți fracția 16/45 la numărul natural 12.
Soluţie.
Conform regulii de împărțire a unei fracții la un număr, avem 
. Să facem abrevierea: . Această împărțire este completă.
Răspuns:
.
Împărțirea unui număr natural la o fracție
Regula de împărțire a fracțiilor este similară regula pentru împărțirea unui număr natural la o fracție: pentru a împărți un număr natural n la o fracție comună a/b, trebuie să înmulțiți numărul n cu reciproca fracției a/b.
Conform regulii enunțate, , și regula pentru înmulțirea unui număr natural cu o fracție obișnuită permite rescrierea acestuia sub forma .
Să ne uităm la un exemplu.
Exemplu.
Împărțiți numărul natural 25 la fracția 15/28.
Soluţie.
Să trecem de la împărțire la înmulțire, avem 
. După reducerea și selectarea întregii părți, obținem .
Răspuns:
.
Împărțirea unei fracții la un număr mixt
Împărțirea unei fracții la un număr mixt se reduce cu ușurință la împărțirea fracțiilor obișnuite. Pentru a face acest lucru, este suficient să efectuați
Ultima dată am învățat cum să adunăm și să scădem fracții (vezi lecția „Adunarea și scăderea fracțiilor”). Cea mai dificilă parte a acestor acțiuni a fost aducerea fracțiilor la un numitor comun.
Acum este timpul să ne ocupăm de înmulțire și împărțire. Vestea bună este că aceste operații sunt chiar mai simple decât adunarea și scăderea. În primul rând, să luăm în considerare cel mai simplu caz, când există două fracții pozitive fără o parte întreagă separată.
Pentru a înmulți două fracții, trebuie să le înmulțiți separat numărătorii și numitorii. Primul număr va fi numărătorul noii fracții, iar al doilea va fi numitorul.
Pentru a împărți două fracții, trebuie să înmulțiți prima fracție cu a doua fracție „inversată”.
Desemnare:
Din definiție rezultă că împărțirea fracțiilor se reduce la înmulțire. Pentru a „întoarce” o fracție, trebuie doar să schimbați numărătorul și numitorul. Prin urmare, pe parcursul lecției vom lua în considerare în principal înmulțirea.
Ca rezultat al înmulțirii, poate apărea (și adesea apare) o fracție reductibilă -, desigur, trebuie redusă. Dacă după toate reducerile fracțiunea se dovedește a fi incorectă, întreaga parte ar trebui evidențiată. Dar ceea ce cu siguranță nu se va întâmpla cu înmulțirea este reducerea la un numitor comun: fără metode încrucișate, cei mai mari factori și cei mai puțini multipli comuni.
Prin definiție avem:
Înmulțirea fracțiilor cu părți întregi și fracții negative
Dacă este prezent în fracții întreaga parte, acestea trebuie convertite în altele incorecte - și abia apoi multiplicate conform schemelor prezentate mai sus.
Dacă există un minus la numărătorul unei fracții, la numitor sau în fața acesteia, acesta poate fi scos din înmulțire sau îndepărtat cu totul conform următoarelor reguli:
- Plus cu minus dă minus;
- Două negative fac o afirmație.
Până acum, aceste reguli au fost întâlnite doar la adunarea și scăderea fracțiilor negative, când era necesar să scăpăm de întreaga parte. Pentru o lucrare, acestea pot fi generalizate pentru a „arde” mai multe dezavantaje simultan:
- Trimitem negativele în perechi până când dispar complet. În cazuri extreme, poate supraviețui un minus - cel pentru care nu a existat pereche;
- Dacă nu mai sunt minusuri, operațiunea este finalizată - puteți începe să înmulțiți. Dacă ultimul minus nu este tăiat pentru că nu a existat o pereche pentru el, îl scoatem în afara limitelor înmulțirii. Rezultatul este o fracție negativă.
Sarcină. Găsiți sensul expresiei:
Convertim toate fracțiile în fracții improprii și apoi scoatem minusurile din înmulțire. Înmulțim ceea ce rămâne după regulile obișnuite. Primim:
Permiteți-mi să vă reamintesc încă o dată că minusul care apare în fața unei fracții cu o parte întreagă evidențiată se referă în mod specific la întreaga fracție, și nu doar la întreaga sa parte (acest lucru se aplică ultimelor două exemple).
De asemenea, acordați atenție numerelor negative: atunci când înmulțiți, acestea sunt incluse în paranteze. Acest lucru se face pentru a separa minusurile de semnele de înmulțire și pentru a face întreaga notație mai precisă.
Reducerea fracțiilor din mers
Înmulțirea este o operație care necesită multă muncă. Numerele de aici se dovedesc a fi destul de mari și, pentru a simplifica problema, puteți încerca să reduceți și mai mult fracția. înainte de înmulțire. Într-adevăr, în esență, numărătorii și numitorii fracțiilor sunt factori obișnuiți și, prin urmare, ei pot fi redusi folosind proprietatea de bază a unei fracții. Aruncă o privire la exemple:
Sarcină. Găsiți sensul expresiei:
Prin definiție avem:
În toate exemplele, numerele care au fost reduse și ceea ce rămâne din ele sunt marcate cu roșu.
Vă rugăm să rețineți: în primul caz, multiplicatorii s-au redus complet. În locul lor rămân unități care, în general, nu trebuie scrise. În al doilea exemplu, nu a fost posibil să se realizeze o reducere completă, dar suma totală a calculelor a scăzut în continuare.
Cu toate acestea, nu utilizați niciodată această tehnică atunci când adăugați și scădeți fracții! Da, uneori există numere similare pe care doriți doar să le reduceți. Aici, uite:
Nu poți face asta!
Eroarea apare din cauza faptului că atunci când se adună numărătorul unei fracții, apare suma și nu produsul numerelor. Prin urmare, este imposibil să se aplice proprietatea de bază a unei fracții, deoarece în această proprietate despre care vorbimîn special despre înmulțirea numerelor.
Pur și simplu nu există alte motive pentru reducerea fracțiilor, așa că soluția corectă la problema anterioară arată astfel:
Solutia corecta:
După cum puteți vedea, răspunsul corect s-a dovedit a nu fi atât de frumos. În general, fii atent.
O fracție este una sau mai multe părți ale unui întreg, de obicei considerată una (1). Ca și în cazul numerelor naturale, puteți efectua toate operațiunile aritmetice de bază (adunare, scădere, împărțire, înmulțire) cu fracții, pentru a face acest lucru, trebuie să cunoașteți caracteristicile lucrului cu fracții și să distingeți tipurile acestora; Există mai multe tipuri de fracții: zecimală și ordinară sau simple. Fiecare tip de fracție are propriile sale specificități, dar odată ce înțelegeți bine cum să le gestionați, veți putea rezolva orice exemple cu fracții, deoarece veți cunoaște principiile de bază ale efectuării calculelor aritmetice cu fracții. Să ne uităm la exemple despre cum să împărțim o fracție la un număr întreg folosind diferite tipuri fractii
Cum se împarte o fracție simplă la un număr natural?Fracțiile ordinare sau simple sunt fracții care sunt scrise sub forma unui raport de numere în care dividendul (numărătorul) este indicat în partea de sus a fracției, iar divizorul (numitorul) fracției este indicat în partea de jos. Cum se împarte o astfel de fracție la un număr întreg? Să ne uităm la un exemplu! Să presupunem că trebuie să împărțim 8/12 la 2.
Pentru a face acest lucru, trebuie să efectuăm o serie de acțiuni:
Astfel, dacă ne confruntăm cu sarcina de a împărți o fracție la un număr întreg, diagrama soluției va arăta cam așa: 
Într-un mod similar, puteți împărți orice fracție obișnuită (simple) la un număr întreg.
Cum se împarte o zecimală la un număr întreg?
O zecimală este o fracție care se obține prin împărțirea unei unități în zece, o mie și așa mai departe. Operațiile aritmetice cu zecimale sunt destul de simple.
Să ne uităm la un exemplu despre cum să împărțim o fracție la un număr întreg. Să presupunem că trebuie să împărțim fracția zecimală 0,925 la numărul natural 5.
Pentru a rezuma, să ne oprim asupra a două puncte principale care sunt importante atunci când se efectuează operația de împărțire a fracțiilor zecimale la un număr întreg: - pentru a împărți o fracție zecimală la un număr natural, se folosește diviziunea lungă;
- O virgulă este plasată într-un coeficient atunci când împărțirea întregii părți a dividendului este finalizată.
1. Pentru a împărți prima fracție la a doua, trebuie să înmulțiți dividendul cu numărul care este inversul divizorului.
Pentru fracțiile proprii și improprii, regula împărțirii este următoarea:
Pentru a împărți o fracție comună, trebuie să înmulțiți numărătorul dividendului cu numitorul divizorului și să înmulțiți numitorul dividendului cu numărătorul divizorului. Luăm primul produs ca numărător, iar al doilea ca numitor.
Împărțirea unei fracții la o fracție.
Pentru a împărți prima fracție comună la a doua, nu faceți egal cu zero, necesar:
- înmulțiți numărătorul primei fracții cu numitorul celei de-a doua fracții și scrieți produsul în numărătorul fracției rezultate;
- înmulțiți numitorul primei fracții cu numărătorul celei de-a doua fracții și scrieți produsul în numitorul fracției rezultate.
Cu alte cuvinte, împărțirea fracțiilor duce la înmulțire.
Pentru a împărți prima fracție la a doua, trebuie să înmulțiți dividendul (prima fracție) cu fracția reciprocă a divizorului.
Împărțirea unei fracții la un număr.
Schematic, împărțirea unei fracții la un număr natural arată astfel:
Pentru a împărți o fracție la un număr natural, utilizați următoarea metodă:
Exprimăm un număr natural ca o fracție improprie cu un numărător care este egal cu numărul însuși și un numitor care este egal cu 1.
Puteți face totul cu fracții, inclusiv diviziunea. Acest articol arată împărțirea fracțiilor obișnuite. Vor fi date definiții și vor fi discutate exemple. Să ne oprim în detaliu asupra împărțirii fracțiilor la numere naturale și invers. Se va discuta despre împărțirea unei fracții comune la un număr mixt.
Împărțirea fracțiilor
Împărțirea este inversul înmulțirii. La împărțire, factorul necunoscut se găsește cu produsul cunoscut al altui factor, unde sensul său dat este păstrat cu fracții obișnuite.
Dacă este necesar să împărțiți o fracție comună a b la c d, atunci pentru a determina un astfel de număr trebuie să îl înmulțiți cu divizorul c d, acest lucru va da în cele din urmă dividendul a b. Să obținem un număr și să-l scriem a b · d c , unde d c este inversul numărului c d. Egalitățile se pot scrie folosind proprietățile înmulțirii și anume: a b · d c · c d = a b · d c · c d = a b · 1 = a b, unde expresia a b · d c este câtul împărțirii a b la c d.
De aici obținem și formulăm regula de împărțire a fracțiilor ordinare:
Definiția 1
Pentru a împărți o fracție comună a b la c d, trebuie să înmulțiți dividendul cu reciproca divizorului.
Să scriem regula sub forma unei expresii: a b: c d = a b · d c
Regulile de împărțire se rezumă la înmulțire. Pentru a rămâne cu ea, trebuie să înțelegeți bine înmulțirea fracțiilor.
Să trecem la considerarea împărțirii fracțiilor ordinare.
Exemplul 1
Împărțiți 9 7 la 5 3. Scrieți rezultatul ca fracție.
Soluţie
Numărul 5 3 este fracția reciprocă 3 5. Este necesar să folosiți regula pentru împărțirea fracțiilor obișnuite. Scriem această expresie după cum urmează: 9 7: 5 3 = 9 7 · 3 5 = 9 · 3 7 · 5 = 27 35.
Răspuns: 9 7: 5 3 = 27 35 .
Când reduceți fracțiile, separați întreaga parte dacă numărătorul este mai mare decât numitorul.
Exemplul 2
Împărțiți 8 15: 24 65. Scrieți răspunsul sub formă de fracție.
Soluţie
Pentru a rezolva, trebuie să treci de la împărțire la înmulțire. Să-l scriem sub această formă: 8 15: 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9
Este necesar să se facă o reducere, iar aceasta se face după cum urmează: 8 65 15 24 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9
Selectați întreaga parte și obțineți 13 9 = 1 4 9.
Răspuns: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .
Împărțirea unei fracții extraordinare la un număr natural
Folosim regula pentru împărțirea unei fracții la un număr natural: pentru a împărți a b la un număr natural n, trebuie doar să înmulțiți numitorul cu n. De aici obținem expresia: a b: n = a b · n.
Regula împărțirii este o consecință a regulii înmulțirii. Prin urmare, reprezentarea unui număr natural ca fracție va da o egalitate de acest tip: a b: n = a b: n 1 = a b · 1 n = a b · n.
Luați în considerare această împărțire a unei fracții la un număr.
Exemplul 3
Împărțiți fracția 16 45 la numărul 12.
Soluţie
Să aplicăm regula împărțirii unei fracții la un număr. Obținem o expresie de forma 16 45: 12 = 16 45 · 12.
Să reducem fracția. Se obține 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 5 = 4 135.
Răspuns: 16 45: 12 = 4 135 .
Împărțirea unui număr natural la o fracție
Regula împărțirii este similară O regula împărțirii unui număr natural la o fracție obișnuită: pentru a împărți un număr natural n la o fracție obișnuită a b, este necesar să se înmulțească numărul n cu reciproca fracției a b.
Pe baza regulii, avem n: a b = n · b a, iar datorită regulii înmulțirii unui număr natural cu o fracție obișnuită, obținem expresia noastră sub forma n: a b = n · b a. Este necesar să luăm în considerare această împărțire cu un exemplu.
Exemplul 4
Împărțiți 25 la 15 28.
Soluţie
Trebuie să trecem de la împărțire la înmulțire. Să o scriem sub forma expresiei 25: 15 28 = 25 28 15 = 25 28 15. Să reducem fracția și să obținem rezultatul sub forma fracției 46 2 3.
Răspuns: 25: 15 28 = 46 2 3 .
Împărțirea unei fracții la un număr mixt
Când împărțiți o fracție comună la un număr mixt, puteți începe cu ușurință să împărțiți fracțiile comune. Trebuie să convertiți un număr mixt într-o fracție improprie.
Exemplul 5
Împărțiți fracția 35 16 la 3 1 8.
Soluţie
Deoarece 3 1 8 este un număr mixt, să-l reprezentăm ca o fracție improprie. Atunci obținem 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8. Acum să împărțim fracțiile. Se obține 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10
Răspuns: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .
Împărțirea unui număr mixt se face în același mod ca și numerele obișnuite.
Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter