Tip de lecție: stabilirea unei sarcini de învățare.
Obiectivele lecției:
Educațional: sistematizează cunoștințele elevilor despre metodele de rezolvare a problemelor simple ecuații trigonometrice, consolida abilitățile în lucrul cu cercuri și tabele.
De dezvoltare: continuați să lucrați la formarea creative abilități intelectuale elevilor prin utilizarea unei varietăți de tehnici de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice.
Educațional: dezvoltarea abilităților de activitate mentală colectivă, sprijin reciproc și acceptare a unui punct de vedere diferit de al cuiva.
Progresul lecției
1. Situația de succes.
Rezolvați ecuația: cosx=1; cosx=0; cosx= -1.
2. Situație, decalaj” între cunoaștere și ignoranță.
Rezolvați ecuația: cosx=½; cosx=a.
Discuţie.
3. Enunțarea sarcinii educaționale.
Cum se rezolvă o ecuație de acest tip?
1) Care este abscisa unui punct? cerc unitar obtinut prin rotirea punctului (1;0) in jurul originii cu un unghi egal cu: ?
2). Ce este egal cu: 
?
Răspuns:
3).Ce este egal cu: .
Răspuns:
;
;
(1)
.
Cuvintele profesorului: matematicienii au numit cuvintele invers cos „cuvântul arccosin (arccos). Arccosinusul unui număr este un număr al cărui cosinus este egal cu a:
arccosa=α,dacă cosα=a și 0≤α≤π.
4). Scrieți egalitatea (1) folosind simbolul arccos.
5). Rezolvați ecuațiile: cosx=½, cosx=α.
Răspuns: x=arccos½, x=arccosa.
6). Numiți unghiurile de rotație ale punctului (1;0) al cercului unitar având o abscisă egală cu ½.
Răspuns: abscisa este egală cu ½ atunci când punctul este rotit cu un unghi egal cu π/3 și -π/3.
adică cosx=½ la x=±arccos½
cosx=a la x=±arccosa.
7). Care sunt abscisele punctelor obținute prin rotirea punctului (1;0) cu unghiuri: π/3+2π; π/3+6π; -π/3+4π; -π/3+8π; π/3+2πn; -π/3+2πn.
Răspuns: abscisa este ½, iar cosx=½ la x=±arccos½+2πn,.
cosx=a la x=±arccosa+2πn,.
8). Concluzie: ecuația cosx=a
1) are rădăcini dacă ≤1,
2) nu are rădăcini dacă >1.
9). Rezumatul lecției:
a) Pentru ce valori ale lui a și α are sens egalitatea arccosa = α?
b) Cum se numește arccosinusul lui a?
c) La ce valori ale lui a are rădăcini ecuația cosx=a?
d) Formula pentru găsirea rădăcinilor ecuațiile cosx=a.
ecuația cos X = O
Fiecare rădăcină a ecuației
cos X = O (1)
poate fi considerată ca abscisa unui punct de intersecție al sinusoidei y = cosX cu o linie dreaptă y =O , și, invers, abscisa fiecărui astfel de punct de intersecție este una dintre rădăcinile ecuației (1). Astfel, mulțimea tuturor rădăcinilor ecuației (1) coincide cu setul de abscise a tuturor punctelor de intersecție ale undei cosinus. y = cosX cu o linie dreaptă y = O .
Dacă | O| >1 , apoi cosinusul y = cosX nu se intersectează cu o linie y = O .
În acest caz, ecuația (1) nu are rădăcini.
La |O| < 1 există infinit de multe puncte de intersecție.
pentru a > 0
pentru a< 0.
Vom împărți toate aceste puncte de intersecție în două grupuri:
A -2 , A - 1 , A 1 , A 2 , ... ,
B -2 , B - 1 , B 1 , B 2 , ... ,
Punct O are o abscisă arccos O , iar toate celelalte puncte ale primului grup sunt separate de acesta la distanțe care sunt multipli de 2 π
arccos o+ 2k π . (2)
Punct ÎN, după cum se poate înțelege cu ușurință din figuri, are o abscisă - arccosO , iar toate celelalte puncte ale celui de-al doilea grup sunt îndepărtate din acesta la distanțe care sunt multipli de 2 π . Prin urmare abscisele lor sunt exprimate ca
arccos O+ 2nπ . (3)
Astfel, ecuația (1) are două grupuri de rădăcini definite prin formulele (2) și (3). Dar aceste două formule pot fi scrise în mod evident ca o singură formulă
X = ± arccos o+ 2m π , (4)
Unde m trece prin toate numerele întregi (m = 0, ±1, ±2, ±3, ...).
Raționamentul pe care l-am efectuat în derivarea acestei formule este corect numai dacă
| o| =/= 1. Cu toate acestea, formal relația (4)
determină toate rădăcinile ecuației cosx=a
iar la | O| =1. (Demonstrați!) Prin urmare, putem spune că formula (4)
oferă toate rădăcinile ecuației (1) pentru orice valoare O
, cu excepția cazului în care |O|
<
1
.
Dar tot în trei cazuri speciale ( O = 0, O = -1, O= +1) vă recomandăm să nu folosiți formula (4) , dar folosiți alte relații. Este util să ne amintim că rădăcinile ecuației cos X = 0 sunt date prin formula
X = π / 2 +n π ; (5)
rădăcinile ecuației cos X = -1 sunt date prin formula
X = π + 2m π ; (6)
și în final, rădăcinile ecuației cos X = 1 sunt date prin formula
X = 2m π ; (7)
În concluzie, observăm că formulele (4) , (5), (6) și (7) sunt corecte numai în ipoteza că unghiul dorit X exprimată în radiani. Dacă este exprimată în grade, atunci aceste formule trebuie să fie natural schimba. Deci, formula (4) ar trebui înlocuit cu formula
X = ± arccos o+ 360° n,
formula (5) formulă
X = 90° + 180° n etc.
Centrat într-un punct O.
α
- unghi exprimat în radiani.
Definiţie
Sinus (sin α)- Asta functie trigonometrica, în funcție de unghiul α dintre ipotenuză și catet triunghi dreptunghic, egal cu raportul dintre lungimea laturii opuse |BC| la lungimea ipotenuzei |AC|.
Cosinus (cos α) este o funcție trigonometrică în funcție de unghiul α dintre ipotenuză și catetul unui triunghi dreptunghic, egal cu raportul dintre lungimea catetei adiacente |AB| la lungimea ipotenuzei |AC|.
Notatii acceptate
;
;
.
;
;
.
Graficul funcției sinus, y = sin x
Graficul funcției cosinus, y = cos x
Proprietățile sinusului și cosinusului
Periodicitate
Funcțiile y = sin xși y = cos x periodic cu punct 2π.
Paritate
Funcția sinus este impară. Funcția cosinus este pară.
Domeniul definirii si valorilor, extrema, crestere, scadere
Funcțiile sinus și cosinus sunt continue în domeniul lor de definiție, adică pentru tot x (vezi dovada continuității). Principalele lor proprietăți sunt prezentate în tabel (n - întreg).
| y= sin x | y= cos x | |
| Domeniul de aplicare și continuitatea | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| Gama de valori | -1 ≤ y ≤ 1 | -1 ≤ y ≤ 1 |
| Cresterea | ||
| Descendent | ||
| Maxima, y = 1 | ||
| Minima, y = - 1 | ||
| Zerouri, y = 0 | ||
| Interceptarea punctelor cu axa ordonatelor, x = 0 | y= 0 | y= 1 |
Formule de bază
Suma pătratelor sinusului și cosinusului
Formule pentru sinus și cosinus din sumă și diferență
;
;
Formule pentru produsul sinusurilor și cosinusurilor
Formule de sumă și diferență
Exprimarea sinusului prin cosinus
;
;
;
.
Exprimarea cosinusului prin sinus
;
;
;
.
Exprimarea prin tangentă
; .
Când , avem:
;
.
La:
;
.
Tabelul sinusurilor și cosinusurilor, tangentelor și cotangentelor
Acest tabel arată valorile sinusurilor și cosinusurilor pentru anumite valori ale argumentului. 
Expresii prin variabile complexe
;
formula lui Euler
Expresii prin funcții hiperbolice
;
;
Derivate
;
.
{ -∞ <
x < +∞ }
Derivarea formulelor > > >
Derivate de ordin al n-lea:
Secant, cosecant Funcții inverse
Funcții inverse
la sinus și cosinus sunt arcsinus și, respectiv, arccosinus.
Arcsin, arcsin
Arccosine, arccos
Literatura folosita:
ÎN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matematică pentru ingineri și studenți, „Lan”, 2009.
Exemple:
\(2\sin(x) = \sqrt(3)\)
tg\((3x)=-\) \(\frac(1)(\sqrt(3))\)
\(4\cos^2x+4\sinx-1=0\)
\(\cos4x+3\cos2x=1\)
Cum se rezolvă ecuații trigonometrice:
Orice ecuație trigonometrică ar trebui redusă la unul dintre următoarele tipuri: \(\sint=a\), \(\cost=a\), tg\(t=a\), ctg\(t=a\) unde \(t\) este o expresie cu un x, \(a\) este un număr. Astfel de ecuații trigonometrice se numesc
cel mai simplu
. Ele pot fi rezolvate cu ușurință folosind () sau formule speciale: Vedeți infografice despre rezolvarea ecuațiilor trigonometrice simple aici: și.Exemplu
. Rezolvați ecuația trigonometrică \(\sinx=-\)\(\frac(1)(2)\). Soluţie:
Răspuns:
\(\left[ \begin(gathered)x=-\frac(π)(6)+2πk, \\ x=-\frac(5π)(6)+2πn, \end(gathered)\right.\) \(k,n∈Z\) Ce înseamnă fiecare simbol în formula pentru rădăcinile ecuațiilor trigonometrice, vezi.
Atenţie!
. Ele pot fi rezolvate cu ușurință folosind () sau formule speciale:
Ecuațiile \(\sinx=a\) și \(\cosx=a\) nu au soluții dacă \(a ϵ (-∞;-1)∪(1;∞)\). Deoarece sinus și cosinus pentru orice x sunt mai mari sau egale cu \(-1\) și mai mici sau egale cu \(1\):
Exemplu
\(-1,1<-1\), а значение косинуса не может быть меньше \(-1\). Значит у уравнения нет решения.
\(-1≤\sin x≤1\) \(-1≤\cosx≤1\)
. Rezolvați ecuația \(\cosx=-1,1\).
. Ele pot fi rezolvate cu ușurință folosind () sau formule speciale: Răspuns
Exemplu
|
|
Să rezolvăm ecuația folosind cercul numeric. Pentru a face acest lucru: |
. Ele pot fi rezolvate cu ușurință folosind () sau formule speciale:
. Rezolvați ecuația trigonometrică \(\cos(3x+\frac(π)(4))=0\).
Exemplu
|
|
Să folosim din nou cercul numeric. \(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\) \(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x+\)\(\frac( π)(4)\) \(=-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) 8) Ca de obicei, vom exprima \(x\) în ecuații. \(3x=-\)\(\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x=-\)\ (\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) |
Reducerea ecuațiilor trigonometrice la cea mai simplă este o sarcină creativă aici trebuie să utilizați ambele și metode speciale pentru rezolvarea ecuațiilor:
- Metoda (cea mai populară în cadrul examenului unificat de stat).
- Metoda.
- Metoda argumentelor auxiliare.
Să luăm în considerare un exemplu de rezolvare a ecuației trigonometrice pătratice
. Ele pot fi rezolvate cu ușurință folosind () sau formule speciale: . Rezolvați ecuația trigonometrică \(2\cos^2x-5\cosx+2=0\)Exemplu
|
\(2\cos^2x-5\cosx+2=0\) |
Să facem înlocuirea \(t=\cosx\). |
|
Ecuația noastră a devenit tipică. O poți rezolva folosind . |
|
|
\(D=25-4 \cdot 2 \cdot 2=25-16=9\) |
|
|
\(t_1=\)\(\frac(5-3)(4)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\) ; \(t_2=\)\(\frac(5+3)(4)\) \(=2\) |
Facem o înlocuire inversă. |
|
\(\cosx=\)\(\frac(1)(2)\); \(\cosx=2\) |
Rezolvăm prima ecuație folosind cercul numeric. |
 |
Să notăm toate numerele care se află în aceste puncte. |
Un exemplu de rezolvare a unei ecuații trigonometrice cu studiul ODZ:
Exemplu (UTILIZARE) . Rezolvați ecuația trigonometrică \(=0\)|
\(\frac(2\cos^2x-\sin(2x))(ctg x)\)\(=0\) |
Există o fracție și există o cotangentă - asta înseamnă că trebuie să o notăm. Permiteți-mi să vă reamintesc că o cotangentă este de fapt o fracție: ctg\(x=\)\(\frac(\cosx)(\sinx)\) Prin urmare, ODZ pentru ctg\(x\): \(\sinx≠0\). |
|
ODZ: ctg\(x ≠0\); \(\sinx≠0\)
\(x≠±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\); \(x≠πn\); \(k,n∈Z\) |
Să marchem „non-soluții” pe cercul numeric. |
|
\(\frac(2\cos^2x-\sin(2x))(ctg x)\)\(=0\) |
Să scăpăm de numitorul din ecuație înmulțindu-l cu ctg\(x\). Putem face acest lucru, deoarece am scris mai sus că ctg\(x ≠0\). |
|
\(2\cos^2x-\sin(2x)=0\) |
Să aplicăm formula unghiului dublu pentru sinus: \(\sin(2x)=2\sinx\cosx\). |
|
\(2\cos^2x-2\sinx\cosx=0\) |
Dacă mâinile tale se întind pentru a împărți la cosinus, trage-le înapoi! Puteți împărți la o expresie cu o variabilă dacă cu siguranță nu este egală cu zero (de exemplu, acestea: \(x^2+1.5^x\)). În schimb, să punem \(\cosx\) din paranteze. |
|
\(\cosx (2\cosx-2\sinx)=0\) |
Să „împărțim” ecuația în două. |
|
\(\cosx=0\); \(2\cosx-2\sinx=0\) |
Să rezolvăm prima ecuație folosind cercul numeric. Să împărțim a doua ecuație la \(2\) și să mutam \(\sinx\) în partea dreaptă. |
 |
|
|
\(x=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\). \(\cosx=\sinx\) |
Rădăcinile rezultate nu sunt incluse în ODZ. Prin urmare, nu le vom scrie ca răspuns. |
|
Folosim din nou un cerc. |
|
|
|
Aceste rădăcini nu sunt excluse de ODZ, așa că le puteți scrie în răspuns. |
