Teorema. Probabilitatea sumei evenimente incompatibileși este egală cu suma probabilităților acestor evenimente:

Corolarul 1. Folosind metoda inducției matematice, formula (3.10) poate fi generalizată la orice număr de evenimente incompatibile pe perechi:

Corolarul 2. Deoarece evenimentele opuse sunt incompatibile, iar suma lor este un eveniment de încredere, atunci, folosind (3.10), avem:

Adesea, atunci când rezolvați probleme, formula (3.12) este utilizată sub forma:

(3.13)

Exemplul 3.29. Într-un experiment cu aruncarea unui zar, găsiți probabilitățile de a obține mai mult de 3 și mai puțin de 6 puncte pe partea superioară.

Să notăm evenimentele asociate cu pierderea unui punct de pe fața superioară a zarului de U 1 , două puncte prin U 2 ,…, la șase puncte U 6 .

Lasă evenimentul U– un număr de puncte mai mare de 3 și mai mic de 6 care apar pe fața de sus a zarului. Acest eveniment va avea loc dacă are loc cel puțin unul dintre evenimente U 4 sau U 5 , prin urmare, poate fi reprezentat ca suma acestor evenimente: . U 4 Pentru că evenimentele U 5 Şi U 1 , U 2 ,…,U 6 sunt inconsecvente, atunci pentru a afla probabilitatea sumei lor folosim formula (3.11). Avand in vedere ca probabilitatile evenimentelor

sunt egali, obtinem: Comentariu. Anterior, problemele de acest tip erau rezolvate prin numărarea numărului de rezultate favorabile.Într-adevăr, evenimentul U este favorizat de două rezultate și un total de șase rezultate elementare, prin urmare, folosind

abordare clasică

la conceptul de probabilitate, obținem: Cu toate acestea, abordarea clasică a conceptului de probabilitate, spre deosebire de teorema privind probabilitatea unei sume de evenimente incompatibile, este aplicabilă numai pentru rezultate la fel de posibile.

Exemplul 3.30.

Probabilitatea ca trăgătorul să lovească ținta este de 0,7.

Care este probabilitatea ca trăgătorul să rateze ținta? Fie evenimentul că trăgătorul lovește ținta, apoi evenimentul că trăgătorul nu lovește ținta este evenimentul opus evenimentului, deoarece în urma fiecărui test are loc întotdeauna unul și doar unul dintre aceste evenimente. Folosind formula (3.13), obținem: 3.2.10. Probabilitatea de a avea loc evenimente Definiţie. Evenimentul este numit

Care este probabilitatea ca trăgătorul să rateze ținta? dependente de la eveniment dacă probabilitatea unui eveniment depinde dacă evenimentul a avut loc sau nu.

Teorema. Probabilitatea apariției evenimentelor este egală cu produsul dintre probabilitatea unuia dintre ele și probabilitatea condiționată a celuilalt, calculată cu condiția ca primul să fi avut loc:

Condiția de independență a unui eveniment față de un eveniment poate fi scris sub forma Din această afirmație rezultă că pentru evenimente independente este valabilă următoarea relație:

adică probabilitatea produsului de evenimente independente și este egală cu produsul probabilităților acestora.

sunt egali, obtinem: Probabilitatea apariției mai multor evenimente este egală cu produsul probabilităților acestor evenimente, iar probabilitatea fiecărui eveniment ulterior în ordine este calculată cu condiția ca toate cele anterioare să fi avut loc:

Dacă evenimentele sunt independente, atunci avem:

Exemplul 3.31. Într-o cutie sunt 5 bile albe și 3 negre. Două bile sunt extrase din el la întâmplare, succesiv, fără înlocuire. Aflați probabilitatea ca ambele bile să fie albe.

Fie ca evenimentul să fie apariția unei mingi albe în timpul primei extrageri și apariția unei mingi albe în timpul celei de-a doua extrageri. Având în vedere că, (probabilitatea apariției unei a doua mingi albe, având în vedere că prima minge extrasă a fost albă și nu a fost returnată în cutie). Deoarece evenimentele sunt dependente, găsim probabilitatea produsului lor folosind formula (3.15):

Exemplul 3.32. Probabilitatea ca primul trăgător să lovească ținta este de 0,8;

al doilea – 0,7. Fiecare trăgător a tras într-o țintă. Care este probabilitatea ca cel puțin un trăgător să lovească ținta? Care este probabilitatea ca un trăgător să lovească ținta? Lăsați evenimentul să fie primul trăgător care lovește ținta și al doilea. Toate opțiunile posibile pot fi reprezentate în formular tabelul 3.5 , unde „+” înseamnă că evenimentul s-a petrecut

, dar „−” − nu s-a întâmplat.

Tabelul 3.5

Fie evenimentul că cel puțin un trăgător lovește ținta Atunci evenimentul este o sumă de evenimente independente și, prin urmare, este imposibil să se aplice teorema asupra probabilității unei sume de evenimente incompatibile în această situație.

Să considerăm evenimentul opus evenimentului care va avea loc atunci când niciun trăgător nu lovește ținta, adică este un produs de evenimente independente. Folosind formulele (3.13) și (3.15), obținem:

Lăsați evenimentul să fie un trăgător care lovește ținta. Acest eveniment poate fi reprezentat astfel:

Evenimente și sunt independente, evenimente și sunt, de asemenea, independente. Evenimente care sunt produse ale evenimentelor și sunt incompatibile. Folosind formulele (3.10) și (3.15) obținem:

Proprietăți ale operațiilor de adunare și înmulțire a evenimentelor:

Fie ca un eveniment să se producă numai împreună cu unul dintre evenimentele incompatibile în perechi (ipoteze),...,, formând un grup complet, i.e.

Probabilitatea unui eveniment se găsește prin formula probabilitate totala:

Dacă evenimentul a avut deja loc, atunci probabilitățile ipotezelor pot fi reestimate folosind formula Bayesian:

(3.17)

Exemplul 3.33. Sunt două urne identice cu bile. Prima urnă conține 5 bile albe și 10 negre, a doua urnă conține 3 bile albe și 7 negre. Ei aleg o urnă la întâmplare și scot o minge din ea.

Găsiți probabilitatea ca această minge să fie albă.

Dintr-o urnă aleasă aleatoriu se extrage o minge albă. Găsiți probabilitatea ca mingea să fie extrasă din prima urnă.

Teorema de înmulțire a probabilităților a două evenimente arbitrare: probabilitatea produsului a două evenimente arbitrare este egală cu produsul probabilității unuia dintre evenimente cu probabilitatea condiționată a celuilalt eveniment, cu condiția ca primul să fi avut deja loc:

P(AB)=P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B). (10)

Demonstrație (nu strictă): demonstrăm teorema înmulțirii pentru schema șanselor (ipoteze equiprobabile). Fie ca rezultatele posibile ale experimentului să fie n șanse. Să presupunem că evenimentul A are m șanse (umbrite în Fig. 11); evenimentul B - k șanse; simultan evenimentele A și B (AB) - l șanse (în Fig. 11 sunt ușor umbrite).

Figura 11

Este evident că m+k-l=n. După metoda clasică de calcul a probabilităţilor P(AB)=l/n; P(A)=m/n; P(B)=k/n. Și probabilitatea este P(B|A)=l/m, deoarece se știe că una dintre cele m șanse de eveniment A a avut loc, iar evenimentul B are l șanse similare. Inlocuind aceste expresii in Teorema (10), obtinem identitatea l/n=(m/n)(l/m). Teorema a fost demonstrată.

Teorema de înmulțire a probabilităților a trei evenimente arbitrare:

P(ABC)=|AB=D|=P(DC)=P(D)P(C|D)=P(AB)P(C|AB)=P(A)P(B|A)P( C|AB).(11)

Prin analogie, putem scrie teoreme pentru înmulțirea probabilităților pentru un număr mai mare de evenimente.

Corolarul 1. Dacă evenimentul A nu depinde de B, atunci evenimentul B nu depinde de A.

Dovada. Deoarece evenimentul A nu depinde de B, atunci prin definiția independenței evenimentelor P(A)=P(A|B)=P(A|). Trebuie să demonstrăm că P(B)=P(B|A).

Prin teorema înmulțirii, P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B), prin urmare, P(A)P(B|A)=P(B)P (A). Presupunând că P(A)>0, împărțim ambele părți ale egalității la P(A) și obținem: P(B)=P(B|A).

Din Corolarul 1 rezultă că două evenimente sunt independente dacă apariția unuia dintre ele nu modifică probabilitatea de apariție a celuilalt. În practică, evenimentele dependente sunt evenimente (fenomene) care sunt interconectate printr-o relație cauză-efect.

Corolarul 2. Probabilitatea produsului a două evenimente independente este egală cu produsul probabilităților acestor evenimente. Aceste. dacă evenimentele A și B sunt independente, atunci

P(AB)=P(A)P(B). (11)

Dovada este evidentă, deoarece pentru evenimente independente P(B|A)=P(B).

Identitatea (11) împreună cu expresiile (12) și (13) sunt condiții necesare și suficiente pentru independența a două evenimente aleatoare A și B.

P(A)=P(A|B); P(A)=P(A|); P(A|B)=P(A|); (12)

P(B)=P(B|A); P(B)=P(B|); P(B|A)=P(B|). (13)

Fiabilitatea unui anumit sistem este crescută prin redundanță dublă (vezi Fig. 12). Probabilitatea de funcționare fără defecțiuni a primului subsistem (într-un anumit timp de funcționare) este de 0,9, al doilea - 0,8. Determinați probabilitatea de defecțiune a sistemului în ansamblu într-un anumit timp de funcționare dacă defecțiunile subsistemelor sunt independente.

Figura 12 - Sistem dublu redundant

E: studiul fiabilității unui sistem de control dublu redundant;

A 1 =(funcționarea fără defecțiuni (pentru o anumită perioadă de funcționare) a primului subsistem); P(A1)=0,9;

A 2 = (funcționarea fără defecțiuni a celui de-al doilea subsistem); P(A2)=0,8;

A=(funcționarea fără defecțiuni a sistemului în ansamblu); P(A)=?

Soluţie. Să exprimăm evenimentul A prin evenimentele A 1 și A 2 ale căror probabilități sunt cunoscute. Deoarece pentru ca sistemul să funcționeze fără defecțiuni este suficientă funcționarea fără defecțiuni a cel puțin unuia dintre subsistemele sale, atunci evident A=A 1 A 2.

Aplicând teorema de adunare a probabilității obținem: P(A)=P(A 1 A 2)=P(A 1)+P(A 2)-P(A 1 A 2). Determinăm probabilitatea producerii în comun a evenimentelor A 1 și A 2 folosind teorema înmulțirii probabilităților: P(A 1 A 2)=P(A 1)P(A 2 |A 1). Considerând că (prin condiție) evenimentele A 1 și A 2 sunt independente, P(A 1 A 2)=P(A 1)P(A 2). Astfel, probabilitatea de funcționare fără defecțiuni a sistemului este egală cu P(A)=P(A 1 A 2)=P(A 1)+P(A 2)-P(A 1)P(A 2) =0,9+0, 8-0,90,8=0,98.

Răspuns: probabilitatea de funcționare fără defecțiuni a sistemului într-un anumit timp de funcționare este de 0,98.

Comentariu. În exemplul 20, este posibilă o altă modalitate de a determina evenimentul A prin evenimentele A 1 și A 2: , i.e. Eșecul sistemului este posibil atunci când ambele subsisteme eșuează simultan. Aplicând teorema înmulțirii probabilităților evenimentelor independente, obținem următoarea valoare a probabilității de defecțiune a sistemului: . În consecință, probabilitatea de funcționare fără defecțiuni a sistemului într-un anumit timp de funcționare este egală.

Exemplul 21 (paradoxul independenței)

E: două monede sunt aruncate.

A=(stema de pe prima monedă), P(A)=0,5;

B=(stema de pe a doua monedă), P(B)=0,5;

C=(steama apare doar pe una dintre monede), P(C)=0,5.

Evenimentele A, B și C sunt independente perechi, deoarece sunt îndeplinite condițiile de independență a două evenimente (11)-(13):

P(A)=P(A|B)=0,5; P(B)=P(B|C)=0,5; P(C)=P(C|A)=0,5.

Cu toate acestea, P(A|BC)=0P(A); P(A|C)=1P(A); P(B|AC)=0P(B); P(C|AB)=0P(C).

Comentariu. Independența perechi a evenimentelor aleatoare nu înseamnă independența lor în agregat.

Se spune că evenimentele aleatoare sunt colectiv independente dacă probabilitatea apariției fiecăruia dintre ele nu se modifică odată cu apariția oricărei combinații de alte evenimente. Pentru evenimentele aleatoare A 1, A 2, ... A n, independent în agregat, următoarea teoremă de înmulțire a probabilității este valabilă (necesară și condiție suficientă independență în totalitatea n evenimente aleatoare):

P(A 1 A 2…A n)=P(A 1)P(A 2)…P(A n). (14)

De exemplu 21, condiția (14) nu este îndeplinită: P(ABC)=0P(A)P(B)P(C)=0,50,50,5=0,125. Prin urmare, evenimentele independente pe perechi A, B și C sunt dependente colectiv.

Exemplul 22

Cutia conține 12 tranzistoare, dintre care trei sunt defecte. Pentru a asambla un amplificator în două trepte, doi tranzistori sunt îndepărtați aleatoriu. Cât de probabil este amplificatorul asamblat să se defecteze?

E: selecția a două tranzistoare dintr-o cutie cu 9 tranzistoare bune și 3 rele;

A=(defecțiunea amplificatorului asamblat); P(A)=?

Soluţie. Evident, amplificatorul în două trepte asamblat va fi defect dacă cel puțin unul dintre cei doi tranzistori selectați pentru asamblare este defect. Prin urmare, redefinim evenimentul A după cum urmează:

A=(cel puțin unul dintre cei doi tranzistori selectați este defect);

Să definim următoarele evenimente aleatoare auxiliare:

A 01 = (doar primul dintre cele două tranzistoare selectate este defect);

A 10 =(doar al doilea dintre cele două tranzistoare selectate este defect);

A 00 = (ambele tranzistoare selectate sunt defecte);

Evident, A = A 01 A 10 A 00 (pentru apariția evenimentului A trebuie să se producă cel puțin unul dintre evenimentele A 01 sau A 10 sau A 00), iar evenimentele A 01, A 10 și A 00 sunt incompatibile ( nu se pot întâmpla împreună), prin urmare vom găsi probabilitatea unui eveniment folosind teorema de adunare a probabilităților de evenimente incompatibile:

P(A)=P(A01A10A00)=P(A01)+P(A10)+P(A00).

Pentru a determina probabilitățile evenimentelor A 01, A 10 și A 00, introducem evenimente auxiliare:

B 1 =(primul tranzistor selectat este defect);

B 2 = (al doilea tranzistor selectat este defect).

Este evident că A 01 =B 1; A10 =B2; A00 =B1B2; Prin urmare, pentru a determina probabilitățile evenimentelor A 01, A 10 și A 00, aplicăm teorema înmulțirii probabilităților.

P(A01)=P(B1)=P(B1)P(|B1),

unde P(B 1) este probabilitatea ca primul tranzistor selectat să fie defect; P(|B 1) este probabilitatea ca al doilea tranzistor selectat să fie operațional, cu condiția ca primul tranzistor selectat să fie defect. Folosind metoda clasică de calcul a probabilităților, P(B 1) = 3/12 și P(|B 1) = 9/11 (deoarece după selectarea primului tranzistor defect, în casetă au mai rămas 11 tranzistori, dintre care 9 sunt bune).

Astfel, P(A01)=P(B1)=P(B1)P(|B1)=3/129/11=0,20(45). Prin analogie:

P(A10)=P(B2)=P()P(B2 |)=9/123/11=0,20(45);

P(A00)=P(B1B2)=P(B1)P(B2 |B1)=3/122/11=0,041(6).

Să substituim valorile obținute ale probabilităților A 01, A 10 și A 00 în expresia pentru probabilitatea evenimentului A:

P(A)=P(A 01 A 10 A 00)=P(A 01)+P(A 10)+P(A 00)=3/129/11+9/123/11+3/122/11 =0,45(45).

Răspuns: Probabilitatea ca amplificatorul asamblat să fie defect este de 0,4545.

Teorema.(Înmulțirea probabilității) Probabilitatea apariției a două evenimente (apariția în comun a acestor evenimente) este egală cu produsul dintre probabilitatea unuia dintre ele și probabilitatea condiționată a celuilalt, calculată cu condiția ca primul eveniment să fi avut deja loc.

De asemenea, puteți scrie:

Demonstrarea acestei teoreme rezultă direct din definiția probabilității condiționate.

Dacă evenimentele sunt independente, atunci , iar teorema înmulțirii probabilităților ia forma:

În cazul producerii mai multor evenimente dependente, probabilitatea este egală cu produsul unuia dintre ele cu probabilitățile condiționate ale tuturor celorlalte, cu condiția ca probabilitatea fiecăruia ulterior să fie calculată în ipoteza că toate celelalte evenimente au deja a avut loc.

Din teorema produsului probabilităților putem concluziona că probabilități aspect cel putin un eveniment .

Dacă testul poate avea ca rezultat n evenimente care sunt independente în agregat, atunci probabilitatea apariției a cel puțin unuia dintre ele este egală cu

Eveniment aici O denotă apariția a cel puțin unuia dintre evenimente Ai, O qi– probabilitatea unor evenimente opuse.

Exemplul 1. Dintr-un pachet complet de cărți (52 buc.), patru cărți sunt scoase în același timp. Găsiți probabilitatea ca printre aceste patru cărți să fie cel puțin un diamant sau un cartonaș roșu.

Soluţie.

Să notăm ca eveniment apariția a cel puțin un card diamant O , apariția a cel puțin unui cartonaș roșu este un eveniment ÎN . Astfel, trebuie să determinăm probabilitatea evenimentului CU = O + ÎN .

În plus, evenimente O Pentru că evenimentele ÎN – articulație, adică apariția unuia dintre ele nu exclude apariția celuilalt.

Există un total de 13 inimi și 13 diamante în pachet.

Să găsim probabilitatea unui eveniment opus evenimentului CU (nu vor fi diamante sau inimioare printre cărțile eliminate):

la scoaterea primei cărți, probabilitatea ca nici o carte roșie, nici diamante să nu apară este egală cu, la scoaterea celei de-a doua cărți - , a treia - , a patra - .

Atunci probabilitatea ca printre cărțile extrase să nu fie nici diamante, nici inimi, este egală cu .

Probabilitate necesară

Exemplul 2. Care este probabilitatea ca la aruncarea a trei zaruri să apară 6 puncte pe cel puțin unul dintre zaruri?

Soluţie.

Probabilitatea de a obține 6 puncte la o singură aruncare a zarurilor este de . Probabilitatea de a nu obține 6 puncte este . Probabilitatea ca o aruncare de trei zaruri să nu aibă ca rezultat un 6 este .

Atunci probabilitatea ca 6 puncte să apară cel puțin o dată este egală cu .

Exemplul 3. Cilindrul revolverului conține 4 cartușe din șase în ordine aleatorie. Tamburul este rotit, iar apoi declanșatorul este apăsat de două ori. Aflați probabilitățile de: a) cel puțin o lovitură, b) două lovituri, c) două rateuri.

Soluţie.

Probabilitatea de a declanșa prima dată când trăgaciul este apăsat (eveniment O ) este egal cu , probabilitatea unei rateuri - Probabilitatea unei lovituri atunci când trăgaciul este apăsat pentru a doua oară depinde de rezultatul primei trageri.

Deci, dacă în primul caz a fost o împușcătură, atunci au rămas doar 3 cartușe în tambur și au fost distribuite în 5 sloturi, deoarece când trăgaciul este apăsat pentru a doua oară, fanta în care a fost amplasat cartuşul atunci când trăgaciul a fost apăsat pentru prima dată nu poate fi vizavi de butoi.

Probabilitatea condiționată de o lovitură la a doua încercare - dacă a fost o lovitură prima dată - dacă prima dată a avut loc o rau.

Probabilitatea condiționată a unei rateuri de aprindere a doua oară - dacă a avut loc o împușcătură prima dată - dacă a existat o rată de aprindere prima dată.

Să luăm în considerare probabilitățile ca în al doilea caz să se producă o împușcătură (eveniment ÎN ) sau va avea loc o rată de foc (eveniment ) cu condiția ca în primul caz să se fi produs o împușcare (eveniment O ) sau rau (eveniment).

Două lovituri la rând

Prima rau, a doua lovitură

Prima lovitură, a doua rau

Două rateuri la rând

Aceste patru cazuri formează un grup complet de evenimente (suma probabilităților lor este egală cu unu)

Analizând rezultatele obținute, observăm că probabilitatea de cel puțin o lovitură este egală cu suma

Exemplul 4. Doi trăgători trag într-o țintă. Probabilitatea de a lovi ținta cu o singură lovitură este de 0,7 pentru primul trăgător și de 0,8 pentru al doilea. Găsiți probabilitatea ca în timpul unei salve doar unul dintre trăgători să lovească ținta.

Soluţie.

Să notăm primul trăgător care lovește ținta ca eveniment A, al doilea ca eveniment B, ratarea primului trăgător ca eveniment și ratarea celui de-al doilea trăgător ca eveniment.

Probabilitatea ca primul trăgător să lovească ținta și al doilea nu este egală cu

Probabilitatea ca al doilea trăgător să lovească ținta și primul nu este egală cu

Atunci probabilitatea de a lovi ținta cu un singur trăgător este

Același rezultat poate fi obținut în alt mod - găsim probabilitățile ca ambii trăgători să lovească ținta și să rateze ambii. Aceste probabilități sunt, respectiv, egale:

Atunci probabilitatea ca un singur trăgător să lovească ținta este:

Exemplul 5. Probabilitatea ca o piesă luată la întâmplare dintr-un anumit lot de piese să fie defectă este de 0,2. Aflați probabilitatea ca din trei părți luate, 2 să nu fie defecte.

Soluţie.

Să notăm o parte defectă ca eveniment A și o parte nedefectă ca eveniment .

Dacă dintre trei părți există doar un defect, atunci acest lucru este posibil într-unul din trei cazuri: piesa defectă va fi prima, a doua sau a treia.

Exemplul 6. Probabilitățile ca partea dorită să fie în prima, a doua, a treia sau a patra casetă sunt 0,6, 0,7, 0,8, respectiv 0,9. Aflați probabilitatea ca această parte să fie situată: a) în cel mult trei casete; b) în cel puţin două cutii.

Soluţie.

a) Probabilitatea ca o parte dată să fie în toate cele patru casete este egală cu

Probabilitatea ca piesa dorită să fie în cel mult trei casete este egală cu probabilitatea ca aceasta să nu fie în toate cele patru casete.

b) Probabilitatea ca piesa cerută să fie în cel puțin două casete este suma probabilităților ca piesa să fie în doar două casete, doar trei casete, doar patru casete. Desigur, aceste probabilități pot fi calculate și apoi adunate, cu toate acestea, este mai ușor să faci altfel. Aceeași probabilitate este egală cu probabilitatea ca piesa să nu fie într-o singură cutie și să fie disponibilă deloc.

Se întâmplă adesea ca probabilitatea unui anumit eveniment să poată fi găsită cunoscând probabilitățile altor evenimente asociate cu acest eveniment.

Teorema de adunare a probabilității.

?Teorema 2.6. (Teorema de adunare a probabilității). Probabilitatea sumei (unirii; apariția unuia dintre ele, indiferent care) a două evenimente arbitrare este egală cu suma probabilităților acestor evenimente minus probabilitatea apariției lor comune, i.e. P(O+B) = P(O) + P(B) - P(AB).

Corolarul 1. Probabilitatea sumei (unirii) evenimentelor neconjurate în perechi este egală cu suma probabilităților lor, adică. P(O 1 +O 2 +...+A n) = = P(O 1) + P(O 2) + ... + P(A n).

Corolarul 2. Lasă O 1 , O 2 , ... , A n- un grup complet de evenimente incompatibile pe perechi. Apoi P(O 1)+P(O 2)+ ... +P(A n) = 1.

Corolarul 3. Suma probabilităților de evenimente opuse este egală cu unu, adică. P(O) + P(`O) = 1.

Exemplul 2.10.În urnă sunt 5 bile albe, 6 negre și 9 roșii. Care este probabilitatea ca prima bilă extrasă la întâmplare să fie neagră sau roșie?

Soluţie. Există doar 20 de rezultate elementare, dintre care apariția unei mingi negre este favorizată de 6, iar apariția unei mingi roșii de 9. Prin urmare, probabilitatea coevenimentului O- aspectul unei bile negre: P(O) = 6/20, iar probabilitatea evenimentului B- aspectul unei mingi roșii: P(O) = 9/20. De la evenimente O Pentru că evenimentele B sunt incompatibile (se scoate doar o minge), atunci P(O+B) = P(O) + P(B) = 6/20 + 9/20 = 0,75. Răspuns: 0,75.

? Probabilitatea condiționată a evenimentului B (PA (B)) - probabilitatea evenimentului B, calculată având în vedere că evenimentul A a avut deja loc. Dacă O Pentru că evenimentele B- evenimente independente, deci P A(B) = P(B), P B(O) = P(O).

Teorema înmulțirii probabilităților.

?Teorema 2.7. (Teorema înmulțirii probabilităților). Probabilitatea produsului (intersecției; co-apariția) a două evenimente arbitrare este egală cu produsul probabilității unuia dintre ele cu probabilitatea condiționată a celuilalt, calculată cu condiția ca primul eveniment să fi avut deja loc, adică. P(AB) = P(O)· P A(B) = P(B)· P B(O).

Exemplul 2.11. Pe raft sunt 11 cărți populare științifice și 5 cărți de ficțiune. Care este probabilitatea ca două cărți luate la întâmplare la rând să se dovedească a fi ficțiune?

Soluţie. Luați în considerare două evenimente B 1 și B 2: B 1 - în timpul primului test a fost luată o carte de ficțiune, B 2 - la a doua probă s-a luat o carte de artă. Conform teoremei 2.7, probabilitatea unui astfel de eveniment este egală cu P(B 1 B 2)=P(B 1)· P B 1 (B 2). Probabilitatea evenimentului B 1 P(B 1) = 5/16. După primul test, pe raft vor rămâne 15 cărți, dintre care 4 sunt ficțiune, deci probabilitatea condiționată P B 1 (B 2) = 4/15. Prin urmare, probabilitatea necesară este: P(B 1 B 2) = . Răspuns: 1/12.

Corolarul 1. Probabilitatea producerii în comun a mai multor evenimente este egală cu produsul dintre probabilitatea unuia dintre ele cu probabilitățile condiționate ale tuturor celorlalte, iar probabilitatea fiecărui eveniment ulterior este calculată cu condiția ca toate evenimentele anterioare să fi avut deja loc, i.e. P(O 1 · O 2 ·...· A n) = P(O 1)· P A 1 (O 2) P A 1O 2 (O 3). · ... · P A 1 O 2… Un -1 (A n).

Exemplul 2.12. Cuvântul „MATEMATICĂ” este format din zece cărți. Dintre acestea, elevul selectează aleatoriu patru cărți una câte una și le așează una lângă alta. Care este probabilitatea ca cuvântul „SUBIECTUL” să apară?

Soluţie. Să introducem evenimente O 1 , O 2 , O 3 , O 4, constând în faptul că prima literă aleasă este T, a doua este E, a treia este M și a patra este A. Trebuie să aflăm probabilitatea producerii acestor evenimente. Prin corolarul 1 din teorema 2.7 avem:

P(O 1 · O 2 · O 3 · O 4) = P(O 1)· P A 1 (O 2)· P A 1O 2 (O 3)· P A 1O 2O 3 (O 4) = Răspuns: 1/420.

Corolarul 2. Dacă O 1 ,O 2 ,...,A n- evenimente independente, atunci probabilitatea producerii lor (apariția în comun) este egală cu produsul probabilităților acestor evenimente, i.e. P(O 1 · O 2 · ... · A n) = P(O 1)· P(O 2) · ... · P(A n).

Exemplul 2.13. Doi trăgători, independent unul de celălalt, trag o singură lovitură în aceeași țintă. Probabilitatea de a lovi ținta de către primul trăgător este de 0,7, al doilea - 0,8. Care este probabilitatea ca ținta să fie lovită?

Soluţie. Lasă evenimentul O este că ținta a fost lovită de primul trăgător, iar evenimentul B este că ținta a fost lovită de al doilea trăgător. După condiție R(O) = 0,7 și R(ÎN) =0,8.

1a metoda. Luați în considerare evenimentele opuse: `A- primul trăgător ratează `B - rata de al doilea. Prin corolarul 3 din teorema 2.6 obţinem R(`A) = 1-0,7 = 0,3 și R(`B) = 1-0,8 = 0,2. Produsul evenimentelor `A·`Bînseamnă că ambii trăgători ratează. După sensul sarcinii evenimentului O Pentru că evenimentele ÎN sunt independente, deci coexistențe opuse `AŞi `B va fi, de asemenea, independent. Prin corolarul 2 din teorema 2.7 obținem probabilitatea ca ambii trăgători să rateze: P(`A·`B) = 0,3·0,2 = 0,06. Suntem interesați de probabilitatea evenimentului opus, și anume ca ținta să fie lovită. Prin urmare, găsim probabilitatea dorită prin Corolarul 3 al Teoremei 2.6: 1 - 0,06 = 0,94.

a 2-a metoda. Evenimentul dorit (ținta va fi lovită de cel puțin un trăgător) este suma evenimentelor O Pentru că evenimentele B. Prin teorema 2.6. P(O+B) = P(O) + P(B) - P(AB) = 0,7 + 0,8 - 0,7·0,8 = 1,5 - 0,56 = 0,94. Răspuns: 0,94.

Exemplul 2.14. În grupul studenților sunt 25 de persoane. Care este probabilitatea ca cel puțin două persoane să aibă aceeași zi de naștere?

Soluţie. Probabilitatea ca zilele de naștere a două persoane alese aleatoriu să coincidă este 1/365 (presupunem că o zi de naștere care cade în orice zi a anului este o apariție la fel de posibilă). Apoi probabilitatea ca zilele de naștere a două persoane să nu coincidă, adică. probabilitatea evenimentului opus este 1-1/365 = 364/365. Probabilitatea ca a treia zi de naștere să fie diferită de cele două anterioare va fi de 363/365 (363 din 365 de cazuri sunt favorabile pentru acest eveniment). Raționând în mod similar, constatăm că pentru al 25-lea membru al grupului această probabilitate este 341/365. În continuare, vom găsi probabilitatea ca zilele de naștere ale tuturor celor 25 de membri ai grupului să nu coincidă. Deoarece toate aceste evenimente (discrepanța dintre ziua de naștere a fiecărui membru următor al grupului și zilele de naștere ale celor anteriori) sunt independente, atunci prin Corolarul 2 din Teorema 2.7 obținem:

P(O 2 O 3 ... O 25) = · · ... · » 0,43.

Aceasta este probabilitatea ca toate cele 25 de persoane să nu aibă aceeași zi de naștere. Probabilitatea evenimentului opus va fi probabilitatea ca cel puțin două persoane să aibă aceeași zi de naștere, i.e. căutat după probabilitatea mea P„1-0,43 = 0,57. Răspuns: „0,57.

Formula probabilității totale.

?Teorema 2.8. Lasă B 1 , B 2 , …, Bn- un grup complet de evenimente non-comunite în perechi. Probabilitatea evenimentului O, care poate apărea numai dacă are loc unul dintre evenimente B 1 , B 2 , …, Bn, este egal cu suma produselor probabilităților fiecăruia dintre aceste evenimente cu probabilitatea condiționată corespunzătoare a evenimentului O, adică

P( O) = P(B 1)· P B 1 (O) + P(B 2)· P B 2 (O) + … + P(Bn)· P Bn(O).

Această formulă se numește formula probabilității totale. Evenimente B 1 , B 2 , …, Bn, care îndeplinesc condițiile teoremei 2.8 se numesc ipoteze.

Exemplul 2.15. La fel de probabil, un turist alege unul dintre cele trei trasee: călare, apă și munte. Probabilitatea ca el să depășească cu succes calea atunci când alege o metodă de transport pentru cai este de 0,75, atunci când alege o cale navigabilă - 0,8, când alege un traseu montan - 0,55. Găsiți probabilitatea ca turistul să parcurgă cu succes întreaga cale pentru orice alegere de traseu.

Soluţie. Să intrăm în evenimente: O- „Turista va parcurge cu succes întreg traseul indiferent de alegerea traseului”, B 1 , B 2 , B 3 - traseele de cai, de apă și de munte sunt selectate corespunzător. Deoarece alegerea unei rute este la fel de probabilă, probabilitățile de a alege fiecare rută P(B 1) = P(B 2) = P(B 3) = 1/3. După condiție P B 1 (O) = 0,75; P B 2 (O) = 0,8; P B 3 (O) = 0,55. Apoi, conform formulei probabilității totale: P(O) = P(B 1)· P B 1 (O) + P(B 2)· P B 2 (O) + P(B 3)· P B 3 (O) = (1/3) 0,75 + (1/3) 0,8 + (1/3)0,55 = 0,7.

Răspuns: 0,7.

?Teorema 2.9. Probabilitate condiționată a oricărei ipoteze B eu ( i = 1, 2, … ,n) se calculează prin Formula Bayes:

Formula lui Bayes vă permite să supraestimați probabilitățile ipotezelor după ce devine rezultat cunoscut test care a dus la un eveniment O.

Exemplul 2.16. Există trei seturi de jetoane, dintre care primul conține 100, al doilea 300 și al treilea 600 de jetoane. Probabilitatea ca un microcircuit luat la întâmplare din primul set să funcționeze este de 0,9, iar pentru al doilea și al treilea set este de 0,85 și, respectiv, 0,8. Care este probabilitatea ca: a) un microcircuit selectat aleatoriu să funcționeze b) un microcircuit de lucru să fie luat din al doilea set?

Soluţie. a) B în acest caz, există trei ipoteze ale căror probabilităţi P(B 1) = 0,1, P(B 2) = 0,3, P(B 3) = 0,6. Folosind formula probabilității totale, găsim P(O) = P(B 1)· P B 1 (O) + P(B 2)· P B 2 (O) + P(B 3)· P B 3 (O) = 0,1·0,9 + 0,3·0,85 + 0,6·0,8 = 0,825.

b) Să presupunem că evenimentul dorit O sa întâmplat - microcircuitul corect a fost îndepărtat. Să găsim probabilitatea P A(B 2) faptul că acest microcircuit a fost extras din al doilea set. Conform formulei lui Bayes,

Răspuns: a) 0,825; b) 17/55.

Exemplul 2.17. Din cei 10 elevi care au venit la examenul de matematică, trei s-au pregătit perfect, patru bine, doi satisfăcător, iar unul nu s-a pregătit deloc. Biletele conțin 20 de întrebări. Elevii bine pregătiți pot răspunde la toate cele 20 de întrebări, elevii bine pregătiți pot răspunde la 16 întrebări, studenții pregătiți în mod satisfăcător pot răspunde la 10 întrebări, iar studenții nepregătiți pot răspunde la 5 întrebări. Fiecare elev primește 3 întrebări din 20 la întâmplare. Studentul invitat a răspuns mai întâi la toate cele 3 întrebări. Care este probabilitatea ca el să fie un elev excelent?

P A ( B 1). Conform formulei lui Bayes P A(B 1) = "0,58.

După cum putem vedea, probabilitatea dorită este relativ mică. Prin urmare, profesorul va trebui să mai pună elevului câteva întrebări suplimentare. Răspuns: 0,58.

Studiul teoriei probabilităților începe cu rezolvarea problemelor care implică adunarea și înmulțirea probabilităților. Merită menționat imediat că un student poate întâmpina o problemă atunci când stăpânește acest domeniu de cunoaștere: dacă fizic sau procese chimice poate fi reprezentat vizual și înțeles empiric, atunci nivelul de abstractizare matematică este foarte ridicat, iar înțelegerea aici vine doar cu experiență.

Cu toate acestea, jocul merită lumânarea, deoarece formulele - atât cele discutate în acest articol, cât și cele mai complexe - sunt folosite peste tot astăzi și pot fi foarte utile în muncă.

Origine

Destul de ciudat, imboldul pentru dezvoltarea acestei ramuri a matematicii a fost... jocurile de noroc. Într-adevăr, zarurile, aruncarea de monede, pokerul, ruleta sunt exemple tipice care folosesc adunarea și înmulțirea probabilităților. Acest lucru poate fi văzut clar folosind exemplele de probleme din orice manual. Oamenii au fost interesați să învețe cum să-și mărească șansele de câștig și trebuie să spun că unii au reușit acest lucru.

De exemplu, deja în secolul 21, o persoană, al cărei nume nu îl vom dezvălui, a folosit aceste cunoștințe acumulate de-a lungul secolelor pentru a „curăța” literalmente cazinoul, câștigând câteva zeci de milioane de dolari la ruletă.

Cu toate acestea, în ciuda dobândă crescută la subiect, abia în secolul al XX-lea a fost dezvoltat baza teoretica, făcând „teorema” completă Astăzi, în aproape orice știință puteți găsi calcule folosind metode probabilistice.

Aplicabilitate

Un punct important atunci când se utilizează formule pentru adunarea și înmulțirea probabilităților și probabilității condiționate este satisfacabilitatea teoremei limitei centrale. Altfel, deși elevul poate să nu-și dea seama, toate calculele, oricât de plauzibile ar părea, vor fi incorecte.

Da, un student foarte motivat este tentat să folosească cunoștințe noi cu fiecare ocazie. Dar, în acest caz, este necesar să încetiniți puțin și să subliniați cu strictețe domeniul de aplicare.

Teoria probabilității se ocupă de evenimente aleatoare, care în termeni empirici reprezintă rezultatele experimentelor: putem arunca un zar cu șase fețe, putem trage o carte dintr-un pachet, putem prezice numărul de părți defecte dintr-un lot. Cu toate acestea, în unele întrebări este strict interzisă utilizarea formulelor din această secțiune de matematică. Vom discuta caracteristicile luării în considerare a probabilităților unui eveniment, teoremele de adunare și multiplicare a evenimentelor la sfârșitul articolului, dar deocamdată să ne întoarcem la exemple.

Concepte de bază

Un eveniment aleatoriu se referă la un proces sau rezultat care poate sau nu să apară ca rezultat al unui experiment. De exemplu, aruncăm un sandviș - acesta poate ateriza cu untul în sus sau cu untul în jos. Oricare dintre cele două rezultate va fi aleatoriu și nu știm dinainte care dintre ele va avea loc.

Când studiem adunarea și înmulțirea probabilităților, vom avea nevoie de încă două concepte.

Astfel de evenimente sunt numite comune, apariția unuia dintre ele nu exclude apariția celuilalt. Să presupunem că doi oameni trag într-o țintă în același timp. Dacă unul dintre ei produce unul de succes, nu va afecta în niciun fel capacitatea celui de-al doilea de a lovi ochiul sau de a rata.

Evenimentele incompatibile vor fi acele evenimente a căror producere în același timp este imposibilă. De exemplu, dacă scoți doar o minge dintr-o cutie, nu poți obține atât albastru cât și roșu deodată.

Desemnare

Conceptul de probabilitate este notat cu litera majusculă latină P. Urmează între paranteze argumentele care denotă anumite evenimente.

În formulele teoremei adunării, probabilității condiționate și teoremei înmulțirii, veți vedea expresii între paranteze, de exemplu: A+B, AB sau A|B. Ele vor fi calculate în diferite moduri, iar acum ne vom întoarce la ele.

Plus

Să luăm în considerare cazurile în care se folosesc formule de adunare și înmulțire a probabilităților.

Pentru evenimentele incompatibile, cea mai simplă formulă de adunare este relevantă: probabilitatea oricăruia dintre rezultatele aleatoare va fi egală cu suma probabilităților fiecăruia dintre aceste rezultate.

Să presupunem că există o cutie cu 2 bile albastre, 3 roșii și 5 galbene. În cutie sunt în total 10 articole. Care este adevărul afirmației că vom trage o minge albastră sau roșie? Va fi egal cu 2/10 + 3/10, adică cincizeci la sută.

În cazul evenimentelor incompatibile, formula devine mai complicată, deoarece se adaugă un termen suplimentar. Să revenim la el într-un paragraf, după ce luăm în considerare o altă formulă.

Multiplicare

Adunarea și multiplicarea probabilităților evenimentelor independente sunt utilizate în cazuri diferite. Dacă, conform condițiilor experimentului, suntem mulțumiți de oricare dintre cele două rezultate posibile, vom calcula suma; dacă dorim să obținem două rezultate concrete unul după altul, vom recurge la utilizarea unei formule diferite.

Revenind la exemplul din secțiunea anterioară, vrem să desenăm mai întâi bila albastră și apoi pe cea roșie. Știm primul număr - este 2/10. Ce se întâmplă mai departe? Au mai rămas 9 bile și mai sunt tot același număr de roșii - trei. Conform calculelor, va fi 3/9 sau 1/3. Dar ce să faci acum cu două numere? Răspunsul corect este să înmulțiți pentru a obține 2/30.

Evenimente comune

Acum putem apela din nou la formula sumei pentru evenimente comune. De ce am fost distrași de la subiect? Pentru a afla cum se înmulțesc probabilitățile. Acum vom avea nevoie de aceste cunoștințe.

Știm deja care vor fi primii doi termeni (la fel ca în formula de adunare discutată mai devreme), dar acum trebuie să scădem produsul probabilităților, pe care tocmai am învățat să-l calculăm. Pentru claritate, să scriem formula: P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB). Se pare că atât adunarea, cât și înmulțirea probabilităților sunt folosite într-o expresie.

Să presupunem că trebuie să rezolvăm oricare dintre cele două probleme pentru a obține credit. Pe primul îl putem rezolva cu o probabilitate de 0,3, iar pe al doilea cu o probabilitate de 0,6. Rezolvare: 0,3 + 0,6 - 0,18 = 0,72. Rețineți că simpla adunare a numerelor aici nu va fi suficientă.

Probabilitate condiționată

În sfârșit, există conceptul de probabilitate condiționată, ale cărui argumente sunt indicate în paranteze și separate printr-o bară verticală. Intrarea P(A|B) se citește după cum urmează: „probabilitatea evenimentului A dat eveniment B”.

Să ne uităm la un exemplu: un prieten îți dă un dispozitiv, să fie un telefon. Poate fi spart (20%) sau intact (80%). Puteți repara orice dispozitiv care vă vine în mâini cu o probabilitate de 0,4 sau nu puteți face acest lucru (0,6). În cele din urmă, dacă dispozitivul este în stare de funcționare, puteți ajunge la persoana potrivita cu probabilitate 0,7.

Este ușor de văzut cum se joacă probabilitatea condiționată în acest caz: nu veți putea ajunge la o persoană dacă telefonul este stricat, dar dacă funcționează, nu trebuie să îl reparați. Astfel, pentru a obține rezultate la „al doilea nivel”, trebuie să aflați ce eveniment a fost executat la primul.

Calcule

Să ne uităm la exemple de rezolvare a problemelor care implică adunarea și înmulțirea probabilităților, folosind datele din paragraful anterior.

Mai întâi, să găsim probabilitatea de a repara dispozitivul care ți-a fost dat. Pentru a face acest lucru, în primul rând, trebuie să fie defect și, în al doilea rând, trebuie să îl puteți remedia. Aceasta este o problemă tipică folosind înmulțirea: obținem 0,2 * 0,4 = 0,08.

Care este probabilitatea să ajungi imediat la persoana potrivită? Este la fel de simplu: 0,8*0,7 = 0,56. În acest caz, ați constatat că telefonul funcționează și ați efectuat cu succes apelul.

În cele din urmă, luați în considerare acest scenariu: obțineți un telefon stricat, îl reparați, apoi formați un număr și persoana de la celălalt capăt preia. Aici trebuie deja să înmulțim trei componente: 0,2*0,4*0,7 = 0,056.

Ce să faci dacă ai două telefoane care nu funcționează simultan? Cât de probabil aveți să remediați cel puțin unul dintre ele? asupra adunării și înmulțirii probabilităților, deoarece se folosesc evenimente comune. Rezolvare: 0,4 + 0,4 - 0,4*0,4 = 0,8 - 0,16 = 0,64. Astfel, dacă primești două dispozitive stricate, îl vei putea repara în 64% din cazuri.

Utilizare atentă

După cum sa spus la începutul articolului, utilizarea teoriei probabilităților ar trebui să fie deliberată și conștientă.

Cu cât seria de experimente este mai mare, cu atât valoarea prezisă teoretic se apropie de cea obţinută în practică. De exemplu, aruncăm o monedă. Teoretic, cunoscând existența formulelor de adunare și înmulțire a probabilităților, putem prezice de câte ori vor apărea „capete” și „cozi” dacă efectuăm experimentul de 10 ori. Am efectuat un experiment și, întâmplător, raportul laturilor desenate a fost de 3 la 7. Dar dacă facem o serie de 100, 1000 sau mai multe încercări, se dovedește că graficul de distribuție se apropie din ce în ce mai mult de cel teoretic: 44 la 56, 482 la 518 și așa mai departe.

Acum imaginați-vă că acest experiment se desfășoară nu cu o monedă, ci cu producerea unor noi substanta chimica, a cărei probabilitate nu știm. Am face 10 experimente și, fără a obține un rezultat de succes, am putea generaliza: „este imposibil să obținem substanța”. Dar cine știe, dacă am fi făcut a unsprezecea încercare, am fi atins obiectivul sau nu?

Deci, dacă mergi în necunoscut, într-o zonă neexplorată, teoria probabilității s-ar putea să nu se aplice. Fiecare încercare ulterioară în acest caz poate avea succes și generalizări precum „X nu există” sau „X este imposibil” vor fi premature.

Ultimul cuvânt

Deci, ne-am uitat la două tipuri de adunare, înmulțire și probabilități condiționate. Odată cu studiul suplimentar al acestei zone, este necesar să învățăm să distingem situațiile în care este utilizată fiecare formulă specifică. În plus, trebuie să vă imaginați dacă metodele probabilistice sunt aplicabile în general pentru rezolvarea problemei dvs.

Dacă exersați, după un timp veți începe să efectuați toate operațiunile necesare doar în mintea dvs. Pentru cei care sunt interesați de jocurile de cărți, această abilitate poate fi considerată extrem de valoroasă - îți vei crește semnificativ șansele de câștig doar calculând probabilitatea ca o anumită carte sau costum să cadă. Cu toate acestea, puteți găsi cu ușurință aplicarea cunoștințelor dobândite în alte domenii de activitate.