Aria unei figuri geometrice- o caracteristică numerică a unei figuri geometrice care arată dimensiunea acestei figuri (parte a suprafeței limitată de conturul închis al acestei figuri). Mărimea zonei este exprimată prin numărul de unități pătrate conținute în ea.
Formulele ariei triunghiulare
- Formula pentru aria unui triunghi după latură și înălțime
Aria unui triunghi egal cu jumătate din produsul lungimii unei laturi a unui triunghi și lungimea altitudinii trasate pe această latură - Formula pentru aria unui triunghi bazată pe trei laturi și raza cercului circumferitor
- Formula pentru aria unui triunghi bazată pe trei laturi și raza cercului înscris
Aria unui triunghi este egal cu produsul dintre semiperimetrul triunghiului și raza cercului înscris. unde S este aria triunghiului,
- lungimile laturilor triunghiului,
- înălțimea triunghiului,
- unghiul dintre laturi și,
- raza cercului înscris,
R - raza cercului circumscris,
Formule de suprafață pătrată
- Formula pentru aria unui pătrat cu lungimea laturii
Suprafata patrata egal cu pătratul lungimii laturii sale. - Formula pentru aria unui pătrat de-a lungul lungimii diagonalei
Suprafata patrata egal cu jumătate din pătratul lungimii diagonalei sale.S= 1 2 2 unde S este aria pătratului,
- lungimea laturii pătratului,
- lungimea diagonalei pătratului.
Formula zonei dreptunghiulare
- Aria unui dreptunghi egal cu produsul lungimilor celor două laturi adiacente ale sale
unde S este aria dreptunghiului,
- lungimile laturilor dreptunghiului.
Formule cu arii de paralelogram
- Formula pentru aria unui paralelogram bazată pe lungimea și înălțimea laturii
Aria unui paralelogram - Formula pentru aria unui paralelogram bazată pe două laturi și unghiul dintre ele
Aria unui paralelogram este egal cu produsul lungimilor laturilor sale înmulțit cu sinusul unghiului dintre ele.a b sin α
unde S este aria paralelogramului,
- lungimile laturilor paralelogramului,
- lungimea înălțimii paralelogramului,
- unghiul dintre laturile paralelogramului.
Formule pentru aria unui romb
- Formula pentru aria unui romb bazată pe lungimea și înălțimea laturii
Zona unui romb egal cu produsul dintre lungimea laturii sale și lungimea înălțimii coborâte pe această latură. - Formula pentru aria unui romb bazată pe lungimea și unghiul laturii
Zona unui romb este egal cu produsul dintre pătratul lungimii laturii sale și sinusul unghiului dintre laturile rombului. - Formula pentru aria unui romb bazată pe lungimile diagonalelor sale
Zona unui romb egal cu jumătate din produsul lungimilor diagonalelor sale. unde S este aria rombului,
- lungimea laturii rombului,
- lungimea înălțimii rombului,
- unghiul dintre laturile rombului,
1, 2 - lungimile diagonalelor.
Formule ale zonei trapezoidale
- Formula lui Heron pentru trapez
Unde S este aria trapezului,
- lungimile bazelor trapezului,
- lungimile laturilor trapezului,
Puteți găsi peste 10 formule pentru calcularea ariei unui triunghi pe Internet. Multe dintre ele sunt folosite în probleme cu laturile și unghiurile cunoscute ale unui triunghi. Cu toate acestea, există un număr exemple complexe unde, conform condițiilor atribuirii, se cunosc doar o latură și unghiurile triunghiului, sau raza cercului circumscris sau înscris și încă o caracteristică. În astfel de cazuri, o formulă simplă nu poate fi aplicată.
Formulele de mai jos vor rezolva 95 la sută din problemele în care trebuie să găsiți aria unui triunghi.
Să trecem la a lua în considerare formulele pentru zone comune.
Luați în considerare triunghiul prezentat în figura de mai jos
În figură și mai jos în formule sunt introduse denumirile clasice ale tuturor caracteristicilor sale.
a,b,c – laturile triunghiului,
R – raza cercului circumscris,
r – raza cercului înscris,
h[b],h[a],h[c] – înălțimi trasate în conformitate cu laturile a,b,c.
alfa, beta, hamma – unghiuri în apropierea vârfurilor.
Formule de bază pentru aria unui triunghi
1. Aria este egală cu jumătate din produsul dintre latura triunghiului și înălțimea coborâtă pe această latură. În limbajul formulelor, această definiție poate fi scrisă după cum urmează
Astfel, dacă latura și înălțimea sunt cunoscute, atunci fiecare elev va găsi zona.
Apropo, din această formulă se poate deriva o relație utilă între înălțimi
2. Dacă luăm în considerare că înălțimea unui triunghi prin latura adiacentă se exprimă prin dependență
Apoi, prima formulă de zonă este urmată de a doua formulă de același tip
Priviți cu atenție formulele - sunt ușor de reținut, deoarece munca implică două laturi și unghiul dintre ele. Dacă desemnăm corect laturile și unghiurile triunghiului (ca în figura de mai sus), vom obține două laturile a,b iar unghiul este legat de al treilea Cu (hamma).
3. Pentru unghiurile unui triunghi, relația este adevărată
Dependența vă permite să utilizați următoarele formule pentru aria unui triunghi în calcule:
Exemplele de această dependență sunt extrem de rare, dar trebuie să vă amintiți că există o astfel de formulă.
4. Dacă latura și două unghiuri adiacente sunt cunoscute, atunci aria se află prin formula
5. Formula pentru aria în termeni de latură și cotangente a unghiurilor adiacente este următoarea
Prin rearanjarea indexurilor puteți obține dependențe pentru alte părți.
6. Formula ariei de mai jos este folosită în probleme când vârfurile unui triunghi sunt specificate pe plan prin coordonate. În acest caz, aria este egală cu jumătate din determinantul luat modulo.
7. Formula lui Heron folosit în exemple cu laturile cunoscute ale unui triunghi.
Mai întâi găsiți semiperimetrul triunghiului
Și apoi determinați zona folosind formula
sau
Este destul de des folosit în codul programelor de calculator.
8. Dacă toate înălțimile triunghiului sunt cunoscute, atunci aria este determinată de formula
Este dificil de calculat pe un calculator, dar în pachetele MathCad, Mathematica, Maple zona este „timpul doi”.
9. Următoarele formule folosesc razele cunoscute ale cercurilor înscrise și circumscrise. 
În special, dacă raza și laturile triunghiului sau perimetrul acestuia sunt cunoscute, atunci aria se calculează conform formulei
10. În exemplele în care sunt date laturile și raza sau diametrul cercului circumscris, aria se află folosind formula
11. Următoarea formulă determină aria unui triunghi prin laturile și unghiurile triunghiului.
Și în sfârșit - cazuri speciale:
Pătrat triunghi dreptunghic
cu catetele a și b egale cu jumătate din produsul lor
Formula pentru aria unui triunghi echilateral (regulat).=
= un sfert din produsul pătratului laturii și rădăcina lui trei.
Formula zonei este necesar să se determine aria unei figuri, care este o funcție cu valoare reală definită pe o anumită clasă de figuri din planul euclidian și care îndeplinește 4 condiții:
- Pozitivitate - Zona nu poate fi mai mică de zero;
- Normalizare - un pătrat cu unitate laterală are aria 1;
- Congruență - figurile congruente au zonă egală;
- Aditivitate - aria unirii a 2 figuri fără puncte interne comune este egală cu suma ariilor acestor cifre.
| Figura geometrică | Formula | Desen |
|---|---|---|
|
Rezultatul adunării distanțelor dintre punctele medii ale laturilor opuse ale unui patrulater convex va fi egal cu semiperimetrul acestuia. |
||
|
Sectorul cercului. Aria unui sector de cerc este egală cu produsul arcului său și jumătate din rază. |
|
|
|
Segment de cerc. Pentru a obține aria segmentului ASB, este suficient să scădeți aria triunghiului AOB din aria sectorului AOB. |
S = 1 / 2 R(s - AC) |
|
|
Aria elipsei este egală cu produsul dintre lungimile semiaxelor majore și minore ale elipsei și numărul pi. |
|
|
|
Elipsă. O altă opțiune pentru calcularea ariei unei elipse este prin două dintre razele sale. |
|
|
|
Triunghi. Prin bază și înălțime. Formula pentru aria unui cerc folosind raza și diametrul acestuia. |
||
|
Patrat . Prin partea lui. Aria unui pătrat este egală cu pătratul lungimii laturii sale. |
|
|
|
Pătrat. Prin diagonalele sale. Aria unui pătrat este egală cu jumătate din pătratul lungimii diagonalei sale. |
||
|
Poligon regulat. Pentru a determina aria unui poligon regulat, este necesar să-l împărțiți în triunghiuri egale care ar avea un vârf comun în centrul cercului înscris. |
S= r p = 1/2 r n a |
Pentru a determina aria unui triunghi, puteți utiliza diferite formule. Dintre toate metodele, cea mai ușoară și mai des folosită este să înmulțiți înălțimea cu lungimea bazei și apoi să împărțiți rezultatul la două. Cu toate acestea această metodă departe de singurul. Mai jos puteți citi cum să găsiți aria unui triunghi folosind diferite formule.
Separat, vom analiza modalități de a calcula aria unor tipuri specifice de triunghiuri - dreptunghiulare, isoscel și echilaterale. Însoțim fiecare formulă cu o scurtă explicație care vă va ajuta să înțelegeți esența ei.
Metode universale pentru găsirea ariei unui triunghi
Formulele de mai jos folosesc notații speciale. Vom descifra fiecare dintre ele:
- a, b, c – lungimile celor trei laturi ale figurii pe care o luăm în considerare;
- r este raza cercului care poate fi înscris în triunghiul nostru;
- R este raza cercului care poate fi descris în jurul acestuia;
- α este mărimea unghiului format de laturile b și c;
- β este mărimea unghiului dintre a și c;
- γ este mărimea unghiului format de laturile a și b;
- h este înălțimea triunghiului nostru, coborâtă din unghiul α în latura a;
- p – jumătate din suma laturilor a, b și c.
Este clar din punct de vedere logic de ce puteți găsi aria unui triunghi în acest fel. Triunghiul poate fi completat cu ușurință într-un paralelogram, în care o latură a triunghiului va acționa ca o diagonală. Aria unui paralelogram se găsește prin înmulțirea lungimii uneia dintre laturile sale cu valoarea înălțimii trase de el. Diagonala împarte acest paralelogram condiționat în 2 triunghiuri identice. Prin urmare, este destul de evident că aria triunghiului nostru original trebuie să fie egală cu jumătate din aria acestui paralelogram auxiliar.
S=½ a b sin γ
Conform acestei formule, aria unui triunghi se găsește înmulțind lungimile celor două laturi ale sale, adică a și b, cu sinusul unghiului format de acestea. Această formulă este derivată logic din cea anterioară. Dacă coborâm înălțimea de la unghiul β la latura b, atunci, conform proprietăților unui triunghi dreptunghic, atunci când înmulțim lungimea laturii a cu sinusul unghiului γ, obținem înălțimea triunghiului, adică h. .
Aria figurii în cauză se găsește înmulțind jumătate din raza cercului care poate fi înscris în el cu perimetrul său. Cu alte cuvinte, găsim produsul semiperimetrului și raza cercului menționat.
S= a b c/4R
Conform acestei formule, valoarea de care avem nevoie poate fi găsită împărțind produsul laturilor figurii la 4 raze ale cercului descris în jurul acesteia.
Aceste formule sunt universale, deoarece fac posibilă determinarea ariei oricărui triunghi (scalen, isoscel, echilateral, dreptunghiular). Acest lucru se poate face și folosind mai mult calcule complexe, despre care nu ne vom opri în detaliu.
Arii de triunghiuri cu proprietăți specifice
Cum să găsiți aria unui triunghi dreptunghic? Particularitatea acestei figuri este că cele două laturi ale sale sunt simultan înălțimile sale. Dacă a și b sunt catete și c devine ipotenuză, atunci găsim aria astfel:
Cum să găsiți aria unui triunghi isoscel? Are două laturi cu lungimea a și o parte cu lungimea b. În consecință, aria sa poate fi determinată împărțind la 2 produsul pătratului laturii a la sinusul unghiului γ.
Cum să găsiți aria unui triunghi echilateral? În ea, lungimea tuturor laturilor este egală cu a, iar mărimea tuturor unghiurilor este α. Înălțimea sa este egală cu jumătate din produsul lungimii laturii a și rădăcina pătrată a lui 3. Pentru a găsi aria unui triunghi regulat, trebuie să înmulțiți pătratul laturii a cu rădăcina pătrată a lui 3 și să împărțiți la 4.
Un triunghi este format din trei puncte care nu se află pe aceeași dreaptă și trei segmente care le unesc. În caz contrar, un triunghi este un poligon care are exact trei unghiuri.
Aceste trei puncte sunt numite vârfuri ale triunghiului, iar segmentele sunt numite laturile triunghiului. Laturile triunghiului formează trei unghiuri la vârfurile triunghiului.
Un triunghi isoscel este unul în care două laturi sunt egale. Aceste laturi se numesc laterale, a treia latura se numeste baza. ÎN triunghi isoscel unghiurile de la baza sunt egale.
Un triunghi echilateral sau regulat este unul în care toate cele trei laturi sunt egale. Toate unghiurile unui triunghi echilateral sunt, de asemenea, egale și egale cu 60°.
Aria unui triunghi arbitrar se calculează folosind formulele: sau 
Aria unui triunghi dreptunghic se calculează cu formula:
Aria unui triunghi regulat sau echilateral se calculează folosind formulele: 
sau 
sau 
Unde o,b,c- laturile triunghiului, h- înălțimea triunghiului, y- unghiul dintre laturi, R- raza cercului circumscris, r- raza cercului înscris.