Între rădăcinile și coeficienții unei ecuații pătratice, pe lângă formulele rădăcinilor, există și alte relații utile care sunt date teorema lui Vieta. În acest articol vom oferi o formulare și o demonstrație a teoremei lui Vieta pt ecuație pătratică. În continuare considerăm teorema inversă cu teorema lui Vieta. După aceasta, vom analiza cele mai multe soluții exemple tipice. În cele din urmă, notăm formulele Vieta care definesc relația dintre rădăcinile reale ecuație algebrică gradul n și coeficienții săi.
Navigare în pagină.
Teorema lui Vieta, formulare, demonstrație
Din formulele rădăcinilor ecuației pătratice a·x 2 +b·x+c=0 de forma, unde D=b 2 −4·a·c, urmează următoarele relații: x 1 +x 2 =− b/a, x 1 ·x 2 = c/a . Aceste rezultate sunt confirmate teorema lui Vieta:
Teorema.
Dacă x 1 și x 2 sunt rădăcinile ecuației pătratice a x 2 +b x+c=0, atunci suma rădăcinilor este egală cu raportul dintre coeficienții b și a, luați cu semnul opus, și produsul dintre rădăcinile este egală cu raportul dintre coeficienții c și a, adică .
Dovada.
Vom efectua demonstrația teoremei lui Vieta după următoarea schemă: vom compune suma și produsul rădăcinilor ecuației pătratice folosind formule de rădăcină cunoscute, apoi vom transforma expresiile rezultate și ne vom asigura că acestea sunt egale cu − b/a și, respectiv, c/a.
Să începem cu suma rădăcinilor și să o alcătuim. Acum aducem fracțiile la un numitor comun, avem . În numărătorul fracției rezultate, după care:. În cele din urmă, după 2, obținem . Aceasta dovedește prima relație a teoremei lui Vieta pentru suma rădăcinilor unei ecuații pătratice. Să trecem la al doilea.
Compunem produsul rădăcinilor ecuației pătratice: . Conform regulii înmulțirii fracțiilor, ultimul produs poate fi scris ca . Acum înmulțim o paranteză cu o paranteză în numărător, dar este mai rapid să restrângem acest produs cu formula diferenței pătrate, Deci . Apoi, amintindu-ne, efectuăm următoarea tranziție. Și întrucât discriminantul ecuației pătratice corespunde formulei D=b 2 −4·a·c, atunci în loc de D în ultima fracție putem înlocui b 2 −4·a·c, obținem. După ce deschidem parantezele și aducem termeni similari, ajungem la fracția , iar reducerea ei cu 4·a dă . Aceasta dovedește a doua relație a teoremei lui Vieta pentru produsul rădăcinilor.
Dacă omitem explicațiile, demonstrația teoremei lui Vieta va lua o formă laconică:
,
.
Rămâne doar de observat că atunci când egal cu zero Ecuația pătratică discriminantă are o rădăcină. Cu toate acestea, dacă presupunem că ecuația în acest caz are două rădăcini identice, atunci sunt valabile și egalitățile din teorema lui Vieta. Într-adevăr, când D=0 rădăcina ecuației pătratice este egală cu , atunci și , și deoarece D=0, adică b 2 −4·a·c=0, de unde b 2 =4·a·c, atunci .
În practică, teorema lui Vieta este folosită cel mai adesea în raport cu ecuația pătratică redusă (cu coeficientul de conducere a egal cu 1) de forma x 2 +p·x+q=0. Uneori se formulează doar pentru ecuații pătratice de acest tip, ceea ce nu limitează generalitatea, deoarece orice ecuație pătratică poate fi înlocuită cu o ecuație echivalentă prin împărțirea ambelor părți la un număr diferit de zero a. Să dăm formularea corespunzătoare a teoremei lui Vieta:
Teorema.
Suma rădăcinilor ecuației pătratice reduse x 2 +p x+q=0 este egală cu coeficientul lui x luat cu semnul opus, iar produsul rădăcinilor este egal cu termenul liber, adică x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 = q.
Conversați teorema cu teorema lui Vieta
A doua formulare a teoremei lui Vieta, dată în paragraful precedent, indică faptul că dacă x 1 și x 2 sunt rădăcinile ecuației pătratice reduse x 2 +p x+q=0, atunci relațiile x 1 +x 2 =−p , x 1 x 2 =q. Pe de altă parte, din relațiile scrise x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q rezultă că x 1 și x 2 sunt rădăcinile ecuației pătratice x 2 +p x+q=0. Cu alte cuvinte, inversul teoremei lui Vieta este adevărat. Să o formulăm sub forma unei teoreme și să o demonstrăm.
Teorema.
Dacă numerele x 1 și x 2 sunt astfel încât x 1 +x 2 =−p și x 1 · x 2 =q, atunci x 1 și x 2 sunt rădăcinile ecuației pătratice reduse x 2 +p · x+q =0.
Dovada.
După înlocuirea coeficienților p și q din ecuația x 2 +p·x+q=0 cu expresiile lor prin x 1 și x 2, se transformă într-o ecuație echivalentă.
Să substituim numărul x 1 în loc de x în ecuația rezultată și avem egalitatea x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 =0, care pentru orice x 1 și x 2 reprezintă egalitatea numerică corectă 0=0, deoarece x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 ·x 1 +x 1 ·x 2 =0. Prin urmare, x 1 este rădăcina ecuației x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, ceea ce înseamnă că x 1 este rădăcina ecuației echivalente x 2 +p·x+q=0.
Dacă în ecuație x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0înlocuiți numărul x 2 în loc de x, obținem egalitatea x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 =0. Aceasta este o adevărată egalitate, deoarece x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 ·x 2 −x 2 2 +x 1 ·x 2 =0. Prin urmare, x 2 este, de asemenea, o rădăcină a ecuației x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, și deci ecuațiile x 2 +p·x+q=0.
Aceasta completează demonstrația teoremei, inversul teoremei Vieta.
Exemple de utilizare a teoremei lui Vieta
Este timpul să vorbim despre aplicarea practică a teoremei lui Vieta și a teoremei sale inverse. În această secțiune vom analiza soluții pentru câteva dintre cele mai tipice exemple.
Să începem prin a aplica teorema inversă la teorema lui Vieta. Este convenabil de utilizat pentru a verifica dacă două numere date sunt rădăcini ale unei ecuații pătratice date. În acest caz, se calculează suma și diferența lor, după care se verifică valabilitatea relațiilor. Dacă ambele dintre aceste relații sunt satisfăcute, atunci, în virtutea teoremei converse cu teorema lui Vieta, se ajunge la concluzia că aceste numere sunt rădăcinile ecuației. Dacă cel puțin una dintre relații nu este satisfăcută, atunci aceste numere nu sunt rădăcinile ecuației pătratice. Această abordare poate fi folosită la rezolvarea ecuațiilor pătratice pentru a verifica rădăcinile găsite.
Exemplu.
Care dintre perechile de numere 1) x 1 =−5, x 2 =3 sau 2) sau 3) este o pereche de rădăcini a ecuației pătratice 4 x 2 −16 x+9=0?
Soluţie.
Coeficienții ecuației pătratice date 4 x 2 −16 x+9=0 sunt a=4, b=−16, c=9. Conform teoremei lui Vieta, suma rădăcinilor unei ecuații pătratice ar trebui să fie egală cu −b/a, adică 16/4=4, iar produsul rădăcinilor să fie egal cu c/a, adică 9 /4.
Acum să calculăm suma și produsul numerelor din fiecare dintre cele trei perechi date și să le comparăm cu valorile pe care tocmai le-am obținut.
În primul caz avem x 1 +x 2 =−5+3=−2. Valoarea rezultată este diferită de 4, deci nu poate fi efectuată nicio verificare ulterioară, dar folosind teorema inversă teoremei lui Vieta, se poate concluziona imediat că prima pereche de numere nu este o pereche de rădăcini ale ecuației pătratice date.
Să trecem la al doilea caz. Aici, adică prima condiție este îndeplinită. Verificăm a doua condiție: valoarea rezultată este diferită de 9/4. În consecință, a doua pereche de numere nu este o pereche de rădăcini ale ecuației pătratice.
A mai rămas un ultim caz. Aici și. Ambele condiții sunt îndeplinite, astfel încât aceste numere x 1 și x 2 sunt rădăcinile ecuației pătratice date.
Răspuns:
Reversul teoremei lui Vieta poate fi folosit în practică pentru a găsi rădăcinile unei ecuații pătratice. De obicei, sunt selectate rădăcini întregi ale ecuațiilor pătratice date cu coeficienți întregi, deoarece în alte cazuri acest lucru este destul de dificil de realizat. În acest caz, ei folosesc faptul că, dacă suma a două numere este egală cu al doilea coeficient al ecuației pătratice, luată cu semnul minus, iar produsul acestor numere este egal cu termenul liber, atunci aceste numere sunt rădăcinile acestei ecuații pătratice. Să înțelegem asta cu un exemplu.
Să luăm ecuația pătratică x 2 −5 x+6=0. Pentru ca numerele x 1 și x 2 să fie rădăcinile acestei ecuații, trebuie îndeplinite două egalități: x 1 + x 2 =5 și x 1 · x 2 =6. Tot ce rămâne este să selectezi astfel de numere. ÎN în acest caz, acest lucru este destul de simplu de făcut: astfel de numere sunt 2 și 3, deoarece 2+3=5 și 2·3=6. Astfel, 2 și 3 sunt rădăcinile acestei ecuații pătratice.
Teorema inversă teoremei lui Vieta este deosebit de convenabilă de utilizat pentru a găsi a doua rădăcină a unei ecuații pătratice date atunci când una dintre rădăcini este deja cunoscută sau evidentă. În acest caz, a doua rădăcină poate fi găsită din oricare dintre relații.
De exemplu, să luăm ecuația pătratică 512 x 2 −509 x −3=0. Aici este ușor de observat că unitatea este rădăcina ecuației, deoarece suma coeficienților acestei ecuații pătratice este egală cu zero. Deci x 1 =1. A doua rădăcină x 2 poate fi găsită, de exemplu, din relația x 1 ·x 2 =c/a. Avem 1 x 2 =−3/512, din care x 2 =−3/512. Așa am determinat ambele rădăcini ale ecuației pătratice: 1 și −3/512.
Este clar că selecția rădăcinilor este recomandată doar în cele mai simple cazuri. În alte cazuri, pentru a găsi rădăcini, puteți folosi formule pentru rădăcinile unei ecuații pătratice printr-un discriminant.
Încă un lucru aplicare practică Teorema, invers cu teorema lui Vieta, constă în alcătuirea ecuațiilor pătratice având în vedere rădăcinile x 1 și x 2. Pentru a face acest lucru, este suficient să calculați suma rădăcinilor, care dă coeficientul lui x cu semnul opus al ecuației pătratice date, și produsul rădăcinilor, care dă termenul liber.
Exemplu.
Scrieți o ecuație pătratică ale cărei rădăcini sunt numerele -11 și 23.
Soluţie.
Să notăm x 1 =−11 și x 2 =23. Calculăm suma și produsul acestor numere: x 1 +x 2 =12 și x 1 ·x 2 =−253. Prin urmare, numerele indicate sunt rădăcinile ecuației pătratice reduse cu un al doilea coeficient de −12 și un termen liber de −253. Adică, x 2 −12·x−253=0 este ecuația necesară.
Răspuns:
x 2 −12·x−253=0 .
Teorema lui Vieta este foarte des folosită la rezolvarea problemelor legate de semnele rădăcinilor ecuațiilor pătratice. Cum este teorema lui Vieta legată de semnele rădăcinilor ecuației pătratice reduse x 2 +p·x+q=0? Iată două afirmații relevante:
- Dacă termenul liber q este un număr pozitiv și dacă ecuația pătratică are rădăcini reale, atunci fie ambele sunt pozitive, fie ambele negative.
- Dacă termenul liber q este un număr negativ și dacă ecuația pătratică are rădăcini reale, atunci semnele acestora sunt diferite, cu alte cuvinte, o rădăcină este pozitivă și cealaltă negativă.
Aceste afirmații rezultă din formula x 1 · x 2 =q, precum și din regulile de înmulțire a numerelor pozitive, negative și a numerelor cu semne diferite. Să ne uităm la exemple de aplicare a acestora.
Exemplu.
R este pozitiv. Folosind formula discriminantă găsim D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8, valoarea expresiei r 2 +8 este pozitivă pentru orice r real, deci D>0 pentru orice r real. În consecință, ecuația pătratică originală are două rădăcini pentru orice valoare reală a parametrului r.
Acum să aflăm când au rădăcinile semne diferite. Dacă semnele rădăcinilor sunt diferite, atunci produsul lor este negativ și, conform teoremei lui Vieta, produsul rădăcinilor ecuației pătratice reduse este egal cu termenul liber. Prin urmare, ne interesează acele valori ale lui r pentru care termenul liber r−1 este negativ. Astfel, pentru a găsi valorile lui r care ne interesează, avem nevoie rezolva inegalitatea liniara r−1<0 , откуда находим r<1 .
Răspuns:
la r<1 .
formule Vieta
Mai sus am vorbit despre teorema lui Vieta pentru o ecuație pătratică și am analizat relațiile pe care le afirmă. Dar există formule care conectează rădăcinile și coeficienții reale nu numai a ecuațiilor pătratice, ci și a ecuațiilor cubice, a ecuațiilor de gradul al patrulea și, în general, ecuații algebrice gradul n. Sunt numiti formulele lui Vieta.
Să scriem formula Vieta pentru o ecuație algebrică de grad n a formei și vom presupune că are n rădăcini reale x 1, x 2, ..., x n (printre ele pot fi și unele care coincid): 
Se pot obține formulele lui Vieta teorema despre descompunerea unui polinom în factori liniari, precum și definirea polinoamelor egale prin egalitatea tuturor coeficienților corespunzători acestora. Deci polinomul și expansiunea lui în factori liniari de formă sunt egale. Deschizând parantezele din ultimul produs și echivalând coeficienții corespunzători, obținem formulele lui Vieta.
În special, pentru n=2 avem formulele Vieta deja familiare pentru o ecuație pătratică.
Pentru o ecuație cubică, formulele lui Vieta au forma 
Rămâne doar de observat că în partea stângă a formulelor lui Vieta se află așa-numitele elementare polinoame simetrice.
Referințe.
- Algebră: manual pentru clasa a VIII-a. educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; editat de S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M.: Educație, 2008. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Mordkovich A.G. Algebră. clasa a 8-a. În 2 ore. Partea 1. Manual pentru studenții instituțiilor de învățământ general / A. G. Mordkovich. - Ed. a XI-a, șters. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
- Algebrăși începutul analizei matematice. Clasa a X-a: manual. pentru învăţământul general instituţii: de bază şi de profil. niveluri / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; editat de A. B. Jiţcenko. - Ed. a 3-a. - M.: Educație, 2010.- 368 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-022771-1.
Când se studiază metodele de rezolvare a ecuațiilor de ordinul doi într-un curs de algebră școlară, se iau în considerare proprietățile rădăcinilor rezultate. Ele sunt cunoscute în prezent ca teorema lui Vieta. Exemple de utilizare a acestuia sunt date în acest articol.
Ecuație cuadratică
Ecuația de ordinul doi este egalitatea prezentată în fotografia de mai jos.
Aici simbolurile a, b, c sunt niște numere numite coeficienți ai ecuației luate în considerare. Pentru a rezolva o egalitate, trebuie să găsiți valorile lui x care o fac adevărată.
Rețineți că, deoarece puterea maximă la care poate fi ridicat x este de două, atunci și numărul de rădăcini în cazul general este de asemenea două.
Există mai multe modalități de a rezolva acest tip de egalități. În acest articol vom lua în considerare una dintre ele, care implică utilizarea așa-numitei teoreme Vieta.
Formularea teoremei lui Vieta
La sfârșitul secolului al XVI-lea, celebrul matematician Francois Viète (francez) a observat, în timp ce analiza proprietățile rădăcinilor diferitelor ecuații pătratice, că anumite combinații ale acestora satisfac relații specifice. În special, aceste combinații sunt produsul și suma lor.
Teorema lui Vieta stabilește următoarele: rădăcinile unei ecuații pătratice, însumate, dau raportul dintre coeficienții liniari și pătratici luați cu semnul opus, iar atunci când sunt înmulțiți duc la raportul dintre termenul liber și coeficientul pătratic. .
Dacă forma generală a ecuației este scrisă așa cum se arată în fotografia din secțiunea anterioară a articolului, atunci matematic această teoremă poate fi scrisă sub forma a două egalități:
- r2 + r1 = -b/a;
- r 1 x r 2 = c / a.
Unde r 1, r 2 este valoarea rădăcinilor ecuației în cauză.
Cele două egalități de mai sus pot fi folosite pentru a rezolva o serie de probleme matematice diferite. Utilizarea teoremei lui Vieta în exemple cu soluții este dată în următoarele secțiuni ale articolului.
În matematică, există tehnici speciale prin care multe ecuații pătratice pot fi rezolvate foarte rapid și fără discriminatori. Mai mult, cu o pregătire adecvată, mulți încep să rezolve ecuațiile pătratice oral, literalmente „la prima vedere”.
Din păcate, în cursul modern al matematicii școlare, astfel de tehnologii aproape nu sunt studiate. Dar trebuie să știi! Și astăzi ne vom uita la una dintre aceste tehnici - teorema lui Vieta. Mai întâi, să introducem o nouă definiție.
O ecuație pătratică de forma x 2 + bx + c = 0 se numește redusă. Vă rugăm să rețineți că coeficientul pentru x 2 este 1. Nu există alte restricții asupra coeficienților.
- x 2 + 7x + 12 = 0 este o ecuație pătratică redusă;
- x 2 − 5x + 6 = 0 - de asemenea redus;
- 2x 2 − 6x + 8 = 0 - dar acest lucru nu este dat deloc, deoarece coeficientul lui x 2 este egal cu 2.
Desigur, orice ecuație pătratică de forma ax 2 + bx + c = 0 poate fi redusă - doar împărțiți toți coeficienții la numărul a. Putem face întotdeauna acest lucru, deoarece definiția unei ecuații pătratice implică faptul că a ≠ 0.
Adevărat, aceste transformări nu vor fi întotdeauna utile pentru găsirea rădăcinilor. Mai jos ne vom asigura că acest lucru ar trebui făcut numai atunci când în ecuația finală dată de pătrat toți coeficienții sunt întregi. Deocamdată, să ne uităm la cele mai simple exemple:
Sarcină. Convertiți ecuația pătratică în ecuația redusă:
- 3x 2 − 12x + 18 = 0;
- −4x 2 + 32x + 16 = 0;
- 1,5x 2 + 7,5x + 3 = 0;
- 2x 2 + 7x − 11 = 0.
Să împărțim fiecare ecuație la coeficientul variabilei x 2. Primim:
- 3x 2 − 12x + 18 = 0 ⇒ x 2 − 4x + 6 = 0 - împărțit totul la 3;
- −4x 2 + 32x + 16 = 0 ⇒ x 2 − 8x − 4 = 0 - împărțit la −4;
- 1,5x 2 + 7,5x + 3 = 0 ⇒ x 2 + 5x + 2 = 0 - împărțit la 1,5, toți coeficienții au devenit numere întregi;
- 2x 2 + 7x − 11 = 0 ⇒ x 2 + 3,5x − 5,5 = 0 - împărțit la 2. În acest caz au apărut coeficienții fracționali.
După cum puteți vedea, ecuațiile pătratice de mai sus pot avea coeficienți întregi chiar dacă ecuația originală conținea fracții.
Acum să formulăm teorema principală, pentru care, de fapt, a fost introdus conceptul de ecuație pătratică redusă:
teorema lui Vieta. Se consideră ecuația pătratică redusă de forma x 2 + bx + c = 0. Să presupunem că această ecuație are rădăcini reale x 1 și x 2. În acest caz, următoarele afirmații sunt adevărate:
- x 1 + x 2 = −b. Cu alte cuvinte, suma rădăcinilor ecuației pătratice date este egală cu coeficientul variabilei x, luată cu semnul opus;
- x 1 x 2 = c. Produsul rădăcinilor unei ecuații pătratice este egal cu coeficientul liber.
Exemple. Pentru simplitate, vom lua în considerare numai ecuațiile pătratice de mai sus care nu necesită transformări suplimentare:
- x 2 − 9x + 20 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = − (−9) = 9; x 1 x 2 = 20; rădăcini: x 1 = 4; x 2 = 5;
- x 2 + 2x − 15 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −2; x 1 x 2 = −15; rădăcini: x 1 = 3; x 2 = −5;
- x 2 + 5x + 4 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 = 4; rădăcini: x 1 = −1; x 2 = −4.
Teorema lui Vieta ne oferă informații suplimentare despre rădăcinile unei ecuații pătratice. La prima vedere, acest lucru poate părea dificil, dar chiar și cu un antrenament minim veți învăța să „vedeți” rădăcinile și să le ghiciți literalmente în câteva secunde.
Sarcină. Rezolvați ecuația pătratică:
- x 2 − 9x + 14 = 0;
- x 2 − 12x + 27 = 0;
- 3x 2 + 33x + 30 = 0;
- −7x 2 + 77x − 210 = 0.
Să încercăm să scriem coeficienții folosind teorema lui Vieta și să „ghicim” rădăcinile:
- x 2 − 9x + 14 = 0 este o ecuație pătratică redusă.
Prin teorema lui Vieta avem: x 1 + x 2 = −(−9) = 9; x 1 · x 2 = 14. Este ușor de observat că rădăcinile sunt numerele 2 și 7; - x 2 − 12x + 27 = 0 - de asemenea redus.
După teorema lui Vieta: x 1 + x 2 = −(−12) = 12; x 1 x 2 = 27. De aici rădăcinile: 3 și 9; - 3x 2 + 33x + 30 = 0 - această ecuație nu este redusă. Dar vom corecta acest lucru acum împărțind ambele părți ale ecuației la coeficientul a = 3. Obținem: x 2 + 11x + 10 = 0.
Rezolvăm folosind teorema lui Vieta: x 1 + x 2 = −11; x 1 x 2 = 10 ⇒ rădăcini: −10 și −1; - −7x 2 + 77x − 210 = 0 - din nou coeficientul pentru x 2 nu este egal cu 1, i.e. ecuația nu este dată. Împărțim totul la numărul a = −7. Se obține: x 2 − 11x + 30 = 0.
După teorema lui Vieta: x 1 + x 2 = −(−11) = 11; x 1 x 2 = 30; Din aceste ecuații este ușor de ghicit rădăcinile: 5 și 6.
Din raționamentul de mai sus este clar cum teorema lui Vieta simplifică soluția ecuațiilor pătratice. Fără calcule complicate, fără rădăcini aritmetice sau fracții. Și nici nu aveam nevoie de un discriminant (vezi lecția „Rezolvarea ecuațiilor pătratice”).
Desigur, în toate reflecțiile noastre am plecat de la două ipoteze importante, care, în general, nu sunt întotdeauna îndeplinite în probleme reale:
- Ecuația pătratică este redusă, adică coeficientul pentru x 2 este 1;
- Ecuația are două rădăcini diferite. Din punct de vedere algebric, în acest caz discriminantul este D > 0 - de fapt, presupunem inițial că această inegalitate este adevărată.
Cu toate acestea, în problemele matematice tipice aceste condiții sunt îndeplinite. Dacă calculul are ca rezultat o ecuație pătratică „rea” (coeficientul lui x 2 este diferit de 1), aceasta poate fi corectată cu ușurință - priviți exemplele de la începutul lecției. Tac în general despre rădăcini: ce fel de problemă este aceasta care nu are răspuns? Bineînțeles că vor exista rădăcini.
Astfel, schema generală de rezolvare a ecuațiilor pătratice folosind teorema lui Vieta este următoarea:
- Reduceți ecuația pătratică la cea dată, dacă acest lucru nu a fost deja făcut în enunțul problemei;
- Dacă coeficienții din ecuația pătratică de mai sus sunt fracționali, rezolvăm folosind discriminantul. Puteți chiar să vă întoarceți la ecuația originală pentru a lucra cu numere mai „la îndemână”;
- În cazul coeficienților întregi, rezolvăm ecuația folosind teorema lui Vieta;
- Dacă nu puteți ghici rădăcinile în câteva secunde, uitați de teorema lui Vieta și rezolvați folosind discriminantul.
Sarcină. Rezolvați ecuația: 5x 2 − 35x + 50 = 0.
Deci, avem în fața noastră o ecuație care nu se reduce, pentru că coeficientul a = 5. Împărțim totul la 5, obținem: x 2 − 7x + 10 = 0.
Toți coeficienții unei ecuații pătratice sunt întregi - să încercăm să o rezolvăm folosind teorema lui Vieta. Avem: x 1 + x 2 = −(−7) = 7; x 1 · x 2 = 10. În acest caz, rădăcinile sunt ușor de ghicit - sunt 2 și 5. Nu este nevoie să numărați folosind discriminantul.
Sarcină. Rezolvați ecuația: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0.
Să ne uităm: −5x 2 + 8x − 2.4 = 0 - această ecuație nu este redusă, să împărțim ambele părți la coeficientul a = −5. Se obține: x 2 − 1,6x + 0,48 = 0 - o ecuație cu coeficienți fracționali.
Este mai bine să reveniți la ecuația inițială și să numărați prin discriminant: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0 ⇒ D = 8 2 − 4 · (−5) · (−2,4) = 16 ⇒ ... ⇒ x 1 = 1,2; x 2 = 0,4.
Sarcină. Rezolvați ecuația: 2x 2 + 10x − 600 = 0.
Mai întâi, să împărțim totul la coeficientul a = 2. Obținem ecuația x 2 + 5x − 300 = 0.
Aceasta este ecuația redusă, conform teoremei lui Vieta avem: x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 = −300. Este dificil de ghicit rădăcinile ecuației pătratice în acest caz - personal, am fost serios blocat când am rezolvat această problemă.
Va trebui să cauți rădăcini prin discriminant: D = 5 2 − 4 · 1 · (−300) = 1225 = 35 2 . Dacă nu vă amintiți rădăcina discriminantului, voi observa doar că 1225: 25 = 49. Prin urmare, 1225 = 25 49 = 5 2 7 2 = 35 2.
Acum că rădăcina discriminantului este cunoscută, rezolvarea ecuației nu este dificilă. Se obține: x 1 = 15; x 2 = −20.
În această prelegere ne vom familiariza cu relațiile curioase dintre rădăcinile unei ecuații pătratice și coeficienții ei. Aceste relații au fost descoperite pentru prima dată de matematicianul francez François Viète (1540-1603).
De exemplu, pentru ecuația 3x 2 - 8x - 6 = 0, fără a-i găsi rădăcinile, puteți, folosind teorema lui Vieta, să spuneți imediat că suma rădăcinilor este egală cu , iar produsul rădăcinilor este egal cu
adică - 2. Și pentru ecuația x 2 - 6x + 8 = 0 concluzionăm: suma rădăcinilor este 6, produsul rădăcinilor este 8; Apropo, nu este greu de ghicit cu ce sunt egale rădăcinile: 4 și 2.
Dovada teoremei lui Vieta. Rădăcinile x 1 și x 2 ale ecuației pătratice ax 2 + bx + c = 0 se găsesc prin formulele
Unde D = b 2 - 4ac este discriminantul ecuației. După ce a pus aceste rădăcini împreună,
primim
Acum să calculăm produsul rădăcinilor x 1 și x 2. Avem
A doua relație a fost dovedită:
Comentariu.
Teorema lui Vieta este valabilă și în cazul în care ecuația pătratică are o rădăcină (adică când D = 0), pur și simplu se presupune în acest caz că ecuația are două rădăcini identice, cărora li se aplică relațiile de mai sus.
Relațiile dovedite pentru ecuația pătratică redusă x 2 + px + q = 0 iau o formă deosebit de simplă În acest caz, obținem:
x 1 = x 2 = -p, x 1 x 2 =q
aceste. suma rădăcinilor ecuației pătratice reduse este egală cu al doilea coeficient luat cu semnul opus, iar produsul rădăcinilor este egal cu termenul liber.
Folosind teorema lui Vieta, puteți obține alte relații între rădăcinile și coeficienții unei ecuații pătratice. Fie, de exemplu, x 1 și x 2 rădăcinile ecuației pătratice reduse x 2 + px + q = 0. Atunci
Totuși, scopul principal al teoremei lui Vieta nu este că ea exprimă unele relații între rădăcinile și coeficienții unei ecuații pătratice. Mult mai important este că, folosind teorema lui Vieta, se derivă o formulă de factorizare a unui trinom pătratic, de care nu ne vom putea lipsi în viitor.
Dovada. Avem
Exemplul 1. Factorizați trinomul pătratic 3x 2 - 10x + 3.
Soluţie. După ce am rezolvat ecuația 3x 2 - 10x + 3 = 0, găsim rădăcinile trinomului pătrat 3x 2 - 10x + 3: x 1 = 3, x2 = .
Folosind teorema 2, obținem
În schimb, are sens să scriem 3x - 1. Apoi obținem în sfârșit 3x 2 - 10x + 3 = (x - 3)(3x - 1).
Rețineți că un trinom pătratic dat poate fi factorizat fără a aplica teorema 2, folosind metoda de grupare:
3x 2 - 10x + 3 = 3x 2 - 9x - x + 3 =
= 3x (x - 3) - (x - 3) = (x - 3) (3x - 1).
Dar, după cum puteți vedea, succesul cu această metodă depinde de faptul dacă reușim să găsim o grupare de succes sau nu, în timp ce cu prima metodă succesul este garantat.
Exemplul 1. Reduceți o fracție
Soluţie. Din ecuația 2x 2 + 5x + 2 = 0 găsim x 1 = - 2,
Din ecuația x2 - 4x - 12 = 0 găsim x 1 = 6, x 2 = -2. De aceea
x 2 - 4x - 12 = (x - 6) (x - (- 2)) = (x - 6) (x + 2).
Acum să reducem fracția dată:
Exemplul 3. Factorizați expresiile:
a)x4 + 5x 2 +6; b)2x+-3
Rezolvare a) Să introducem o nouă variabilă y = x2. Acest lucru vă va permite să rescrieți expresia dată sub forma unui trinom pătratic față de variabila y, și anume sub forma y 2 + by + 6.
După ce am rezolvat ecuația y 2 + bу + 6 = 0, găsim rădăcinile trinomului pătratic y 2 + 5у + 6: y 1 = - 2, y 2 = -3. Acum să folosim teorema 2; primim
y 2 + 5y + 6 = (y + 2) (y + 3).
Rămâne să ne amintim că y = x 2, adică revenirea la expresia dată. Aşa,
x 4 + 5x 2 + 6 = (x 2 + 2)(x 2 + 3).
b) Să introducem o nouă variabilă y = . Acest lucru vă va permite să rescrieți expresia dată sub forma unui trinom pătratic față de variabila y și anume sub forma 2y 2 + y - 3. După ce am rezolvat ecuația
2y 2 + y - 3 = 0, găsiți rădăcinile trinomului pătrat 2y 2 + y - 3:
y 1 = 1, y 2 = . În continuare, folosind teorema 2, obținem:
Rămâne să ne amintim că y = , adică revenirea la expresia dată. Aşa,
La sfârșitul secțiunii - un raționament, din nou legat de teorema lui Vieta, sau mai degrabă, de afirmația inversă:
dacă numerele x 1, x 2 sunt astfel încât x 1 + x 2 = - p, x 1 x 2 = q, atunci aceste numere sunt rădăcinile ecuației
Folosind această afirmație, puteți rezolva multe ecuații pătratice pe cale orală, fără a utiliza formule greoaie ale rădăcinilor și, de asemenea, puteți compune ecuații pătratice cu rădăcini date. Să dăm exemple.
1) x 2 - 11x + 24 = 0. Aici x 1 + x 2 = 11, x 1 x 2 = 24. Este ușor de ghicit că x 1 = 8, x 2 = 3.
2) x 2 + 11x + 30 = 0. Aici x 1 + x 2 = -11, x 1 x 2 = 30. Este ușor de ghicit că x 1 = -5, x 2 = -6.
Rețineți că dacă termenul inactiv al ecuației este un număr pozitiv, atunci ambele rădăcini sunt fie pozitive, fie negative; Acest lucru este important de luat în considerare atunci când alegeți rădăcini.
3) x 2 + x - 12 = 0. Aici x 1 + x 2 = -1, x 1 x 2 = -12. Este ușor de ghicit că x 1 = 3, x2 = -4.
Vă rugăm să rețineți: dacă termenul liber al ecuației este un număr negativ, atunci rădăcinile au semne diferite; Acest lucru este important de luat în considerare atunci când alegeți rădăcini.
4) 5x 2 + 17x - 22 = 0. Este ușor de observat că x = 1 satisface ecuația, adică. x 1 = 1 este rădăcina ecuației. Deoarece x 1 x 2 = - și x 1 = 1, obținem că x 2 = -.
5) x 2 - 293x + 2830 = 0. Aici x 1 + x 2 = 293, x 1 x 2 = 2830. Dacă acordați atenție faptului că 2830 = 283. 10 și 293 = 283 + 10, atunci devine clar că x 1 = 283, x 2 = 10 (acum imaginați-vă ce calcule ar trebui efectuate pentru a rezolva această ecuație pătratică folosind formule standard).
6) Să compunem o ecuație pătratică astfel încât rădăcinile ei să fie numerele x 1 = 8, x 2 = - 4. De obicei, în astfel de cazuri alcătuim ecuația pătratică redusă x 2 + px + q = 0.
Avem x 1 + x 2 = -p, deci 8 - 4 = -p, adică p = -4. În plus, x 1 x 2 = q, adică. 8 «(-4) = q, de unde obținem q = -32. Deci, p = -4, q = -32, ceea ce înseamnă că ecuația pătratică necesară are forma x 2 -4x-32 = 0.
Teorema lui Vieta (mai precis, teorema inversă teoremei lui Vieta) vă permite să reduceți timpul de rezolvare a ecuațiilor pătratice. Trebuie doar să știi cum să-l folosești. Cum să înveți să rezolvi ecuații patratice folosind teorema lui Vieta? Nu este greu dacă te gândești puțin la asta.
Acum vom vorbi doar despre rezolvarea ecuației pătratice reduse folosind teorema lui Vieta. O ecuație pătratică redusă este o ecuație în care a, adică coeficientul lui x², este egal cu unu. De asemenea, este posibil să se rezolve ecuații pătratice care nu sunt date folosind teorema lui Vieta, dar cel puțin una dintre rădăcini nu este un număr întreg. Sunt mai greu de ghicit.
Teorema inversă teoremei lui Vieta spune: dacă numerele x1 și x2 sunt astfel încât
atunci x1 și x2 sunt rădăcinile ecuației pătratice
Când rezolvați o ecuație pătratică folosind teorema lui Vieta, sunt posibile doar 4 opțiuni. Dacă vă amintiți linia raționamentului, puteți învăța să găsiți rădăcini întregi foarte repede.
I. Dacă q este un număr pozitiv,
aceasta înseamnă că rădăcinile x1 și x2 sunt numere de același semn (deoarece numai înmulțirea numerelor cu aceleași semne produce un număr pozitiv).
I.a. Dacă -p este un număr pozitiv, (respectiv, p<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).
I.b. Dacă -p este un număr negativ, (respectiv, p>0), atunci ambele rădăcini sunt numere negative (am adăugat numere de același semn și am obținut un număr negativ).
II. Dacă q este un număr negativ,
aceasta înseamnă că rădăcinile x1 și x2 au semne diferite (la înmulțirea numerelor se obține un număr negativ doar atunci când semnele factorilor sunt diferite). În acest caz, x1 + x2 nu mai este o sumă, ci o diferență (la urma urmei, când adunăm numere cu semne diferite, scădem în valoare absolută pe cel mai mic din cel mai mare). Prin urmare, x1+x2 arată cât de mult diferă rădăcinile x1 și x2, adică cât de mult o rădăcină este mai mare decât cealaltă (în valoare absolută).
II.a. Dacă -p este un număr pozitiv, (adică p<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.
II.b. Dacă -p este un număr negativ, (p>0), atunci rădăcina mai mare (modulo) este un număr negativ.
Să luăm în considerare rezolvarea ecuațiilor pătratice folosind teorema lui Vieta folosind exemple.
Rezolvați ecuația pătratică dată folosind teorema lui Vieta:
Aici q=12>0, deci rădăcinile x1 și x2 sunt numere de același semn. Suma lor este -p=7>0, deci ambele rădăcini sunt numere pozitive. Selectăm numere întregi al căror produs este egal cu 12. Acestea sunt 1 și 12, 2 și 6, 3 și 4. Suma este 7 pentru perechea 3 și 4. Aceasta înseamnă că 3 și 4 sunt rădăcinile ecuației.
ÎN în acest exemplu q=16>0, ceea ce înseamnă că rădăcinile x1 și x2 sunt numere de același semn. Suma lor este -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.
Aici q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, atunci numărul mai mare este pozitiv. Deci rădăcinile sunt 5 și -3.
q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.