Aria suprafeței laterale a unei piramide arbitrare este egală cu suma ariilor fețelor sale laterale. Este logic să oferim o formulă specială pentru exprimarea acestei zone în cazul unei piramide obișnuite. Deci, să ni se dea o piramidă regulată, la baza căreia se află un n-gon regulat cu latura egală cu a. Fie h înălțimea feței laterale, numită și apotema piramide. Aria unei fețe laterale este egală cu 1/2ah, iar întreaga suprafață laterală a piramidei are o suprafață egală cu n/2ha Deoarece na este perimetrul bazei piramidei, putem scrie formula găsită sub forma:
Suprafata laterala a unei piramide regulate este egal cu produsul apotemului acesteia și jumătate din perimetrul bazei.
Referitor la suprafata totala, apoi adăugăm pur și simplu zona bazei pe cea laterală.
Sferă și minge înscrise și circumscrise. Trebuie remarcat faptul că centrul sferei înscrise în piramidă se află la intersecția planurilor bisectoare ale unghiurilor diedrice interne ale piramidei. Centrul sferei descrise în apropierea piramidei se află la intersecția planurilor care trec prin punctele mijlocii ale marginilor piramidei și perpendicular pe acestea.
Piramida trunchiată. Dacă o piramidă este tăiată de un plan paralel cu baza sa, atunci partea cuprinsă între planul de tăiere și bază se numește trunchi de piramidă. Figura prezintă o piramidă, aruncând partea sa situată deasupra planului de tăiere, obținem o piramidă trunchiată. Este clar că piramida mică aruncată este omotetică față de piramida mare cu centrul homoteției la vârf. Coeficientul de similitudine este egal cu raportul de înălțimi: k=h 2 /h 1, sau marginile laterale, sau alte dimensiuni liniare corespunzătoare ale ambelor piramide. Știm că ariile figurilor similare sunt legate ca pătrate de dimensiuni liniare; deci zonele bazelor ambelor piramide (adică aria bazelor piramidei trunchiate) sunt legate ca
Aici S 1 este aria bazei inferioare, iar S 2 este aria bazei superioare a piramidei trunchiate. Suprafețele laterale ale piramidelor sunt în aceeași relație. O regulă similară există pentru volume.
Volume de corpuri similare sunt legate ca cuburi de dimensiunile lor liniare; de exemplu, volumele piramidelor sunt legate ca produsul înălțimii lor și aria bazelor, din care se obține imediat regula noastră. Are absolut caracter generalși rezultă direct din faptul că volumul are întotdeauna o dimensiune a celei de-a treia puteri a lungimii. Folosind această regulă, derivăm o formulă care exprimă volumul unei piramide trunchiate prin înălțimea și aria bazelor.
Să fie dată o piramidă trunchiată cu înălțimea h și zonele de bază S 1 și S 2. Dacă ne imaginăm că este extinsă la o piramidă completă, atunci coeficientul de similitudine dintre piramida plină și piramida mică este ușor de găsit ca rădăcină a raportului S 2 /S 1 . Înălțimea unei piramide trunchiate este exprimată ca h = h 1 - h 2 = h 1 (1 - k). Acum avem pentru volumul unei piramide trunchiate (V 1 și V 2 reprezintă volumele piramidelor pline și mici)
formula pentru volumul unei piramide trunchiate
Să derivăm formula pentru aria S a suprafeței laterale a unei piramide trunchiate regulate prin perimetrele P 1 și P 2 ale bazelor și lungimea apotemei a. Raționăm exact în același mod ca atunci când derivăm formula pentru volum. Suplimentăm piramida cu partea superioară, avem P 2 = kP 1, S 2 = k 2 S 1, unde k este coeficientul de similitudine, P 1 și P 2 sunt perimetrele bazelor, iar S 1 și S 2 sunt zonele suprafețelor laterale ale întregii piramide rezultate și, în consecință, partea superioară a acesteia. Pentru suprafața laterală găsim (a 1 și a 2 sunt apoteme ale piramidelor, a = a 1 - a 2 = a 1 (1-k))
formula pentru suprafața laterală a unei piramide trunchiate obișnuite
Definiția piramidei
Piramidă este un poliedru, a cărui bază este un poligon, iar fețele sale sunt triunghiuri.
Calculator online
Merită să ne oprim asupra definiției unor componente ale piramidei.
Ea, ca și alte poliedre, are coaste. Ele converg către un punct numit top piramide. Se poate baza pe un poligon arbitrar. Margine numit figură geometrică, format din una dintre laturile bazei și două coaste cele mai apropiate. În cazul nostru este un triunghi. Înălţime piramida este distanța de la planul în care se află baza sa până la vârful poliedrului. Există, de asemenea, un concept pentru o piramidă obișnuită apoteme- aceasta este o perpendiculară coborâtă de la vârful piramidei până la baza acesteia.
Tipuri de piramide
Există 3 tipuri de piramide:
- Dreptunghiular- una în care orice muchie formează un unghi drept cu baza.
- Corecta- baza sa este o figură geometrică regulată, iar vârful poligonului însuși este o proiecție a centrului bazei.
- Tetraedru- o piramidă formată din triunghiuri. Mai mult, fiecare dintre ele poate fi luată ca bază.
Formula pentru suprafața unei piramide
Pentru a găsi suprafața totală a piramidei, trebuie să adăugați aria suprafeței laterale și aria bazei.
Cel mai simplu caz este cazul unei piramide obișnuite, așa că ne vom ocupa de el. Să calculăm suprafața totală a unei astfel de piramide. Suprafața laterală este:
Latura S = 1 2 ⋅ l ⋅ p S_(\text(side))=\frac(1)(2)\cdot l\cdot pS lateral = 2 1 ⋅ l ⋅p
L l l- apotema piramidei;
p p p- perimetrul bazei piramidei.
Suprafața totală a piramidei:
S = partea S + S principal S=S_(\text(side))+S_(\text(main))S=S lateral + S de bază
S side S_(\text(side)) S lateral
- zona suprafeței laterale a piramidei;
S principal S_(\text(de bază)) S de bază
- zona bazei piramidei.
Un exemplu de rezolvare a unei probleme.
ExempluAflați aria totală a unei piramide triunghiulare dacă apotema ei este de 8 (cm), iar la bază există un triunghi echilateral cu latura 3 (cm)
Soluţie
L = 8 l=8 l =8
a = 3 a=3 a =3
Să găsim perimetrul bazei. Deoarece baza este un triunghi echilateral cu latura a a o, apoi perimetrul său p p p(suma tuturor laturilor sale):
P = a + a + a = 3 ⋅ a = 3 ⋅ 3 = 9 p=a+a+a=3\cdot a=3\cdot 3=9p =a+a+a =3 ⋅ a =3 ⋅ 3 = 9
Atunci aria laterală a piramidei este:
Latura S = 1 2 ⋅ l ⋅ p = 1 2 ⋅ 8 ⋅ 9 = 36 S_(\text(side))=\frac(1)(2)\cdot l\cdot p=\frac(1)(2) \cdot 8\cdot 9=36S lateral = 2 1 ⋅ l ⋅p =2 1 ⋅ 8 ⋅ 9 = 3 6 (vezi mp.)
Acum să găsim aria bazei piramidei, adică aria triunghiului. În cazul nostru, triunghiul este echilateral și aria lui poate fi calculată folosind formula:
S principal = 3 ⋅ a 2 4 S_(\text(basic))=\frac(\sqrt(3)\cdot a^2)(4)S de bază = 4 3 ⋅ o 2
A a o- latura triunghiului.
Primim:
S principal = 3 ⋅ a 2 4 = 3 ⋅ 3 2 4 ≈ 3.9 S_(\text(basic))=\frac(\sqrt(3)\cdot a^2)(4)=\frac(\sqrt(3) )\cdot 3^2)(4)\aprox3.9S de bază = 4 3 ⋅ o 2 = 4 3 ⋅ 3 2 ≈ 3 . 9 (vezi mp.)
Suprafata totala:
S = partea S + S principal ≈ 36 + 3.9 = 39.9 S=S_(\text(side))+S_(\text(main))\approx36+3.9=39.9S=S lateral + S de bază ≈ 3 6 + 3 . 9 = 3 9 . 9 (vezi mp.)
Răspuns: 39,9 cm patrati
Un alt exemplu, un pic mai complicat.
ExempluBaza piramidei este un pătrat cu o suprafață de 36 (cm2). Apotema unui poliedru este de 3 ori latura bazei a a o. Găsiți suprafața totală a acestei figuri.
Soluţie
S quad = 36 S_(\text(quad))=36S quad
=
3
6
l = 3 ⋅ a l=3\cdot a l =3
⋅
o
Să găsim latura bazei, adică latura pătratului. Suprafața și lungimea laterală sunt legate:
S quad = a 2 S_(\text(quad))=a^2S quad
=
o 2
36 = a 2 36=a^2 3
6
=
o 2
a = 6 a=6 a =6
Să găsim perimetrul bazei piramidei (adică perimetrul pătratului):
P = a + a + a + a = 4 ⋅ a = 4 ⋅ 6 = 24 p=a+a+a+a=4\cdot a=4\cdot 6=24p =a+a+a+a =4 ⋅ a =4 ⋅ 6 = 2 4
Să aflăm lungimea apotemului:
L = 3 ⋅ a = 3 ⋅ 6 = 18 l=3\cdot a=3\cdot 6=18l =3 ⋅ a =3 ⋅ 6 = 1 8
In cazul nostru:
S quad = S principal S_(\text(quad))=S_(\text(de bază))S quad = S de bază
Tot ce rămâne este să găsiți zona suprafeței laterale. Conform formulei:
Latura S = 1 2 ⋅ l ⋅ p = 1 2 ⋅ 18 ⋅ 24 = 216 S_(\text(side))=\frac(1)(2)\cdot l\cdot p=\frac(1)(2) \cdot 18\cdot 24=216S lateral = 2 1 ⋅ l ⋅p =2 1 ⋅ 1 8 ⋅ 2 4 = 2 1 6 (vezi mp.)
Suprafata totala:
S = partea S + S principal = 216 + 36 = 252 S=S_(\text(side))+S_(\text(main))=216+36=252
Răspuns: 252 cm patrati.
Înainte de a studia întrebările despre această figură geometrică și proprietățile ei, ar trebui să înțelegeți câțiva termeni. Când o persoană aude despre o piramidă, își imaginează clădiri uriașe în Egipt. Așa arată cele mai simple. Dar se întâmplă diferite tipuriși forme, ceea ce înseamnă că formula de calcul pentru formele geometrice va fi diferită.
Tipuri de figuri
Piramida - figură geometrică, denotând și reprezentând mai multe fețe. În esență, acesta este același poliedru, la baza căruia se află un poligon, iar pe laturi există triunghiuri care se conectează într-un punct - vârful. Cifra vine în două tipuri principale:
- corecta;
- trunchiată.
În primul caz, baza este un poligon regulat. Aici toate suprafețele laterale sunt egaleîntre ei și figura în sine vor mulțumi ochiul unui perfecționist.
În al doilea caz, există două baze - una mare în partea de jos și una mică între partea de sus, repetând forma celei principale. Cu alte cuvinte, o piramidă trunchiată este un poliedru cu o secțiune transversală formată paralel cu baza.
Termeni și simboluri
Termeni cheie:
- Triunghi regulat (echilateral).- o figură cu trei unghiuri identice și laturi egale. În acest caz, toate unghiurile sunt de 60 de grade. Figura este cea mai simplă dintre poliedre regulate. Dacă această cifră se află la bază, atunci un astfel de poliedru va fi numit triunghiular regulat. Dacă baza este un pătrat, piramida va fi numită o piramidă patruunghiulară obișnuită.
- Vertex– punctul cel mai înalt în care marginile se întâlnesc. Înălțimea vârfului este formată dintr-o linie dreaptă care se extinde de la vârf până la baza piramidei.
- Margine– unul dintre planurile poligonului. Poate fi sub formă de triunghi în cazul unei piramide triunghiulare, sau sub formă de trapez pentru o piramidă trunchiată.
- Secțiune- o figură plată formată în urma disecției. Nu trebuie confundat cu o secțiune, deoarece o secțiune arată și ce se află în spatele secțiunii.
- Apotema- un segment trasat de la vârful piramidei până la baza acesteia. Este, de asemenea, înălțimea feței unde se află al doilea punct de înălțime. Această definiție valabil numai pentru un poliedru regulat. De exemplu, dacă aceasta nu este o piramidă trunchiată, atunci fața va fi un triunghi. ÎN în acest caz,înălţimea acestui triunghi va deveni apotema.
Formule de arie
Găsiți aria suprafeței laterale a piramidei orice tip se poate face în mai multe moduri. Dacă figura nu este simetrică și este un poligon cu laturi diferite, atunci în acest caz este mai ușor să calculați suprafața totală prin totalitatea tuturor suprafețelor. Cu alte cuvinte, trebuie să calculați aria fiecărei fețe și să le adăugați.
În funcție de parametrii cunoscuți, pot fi necesare formule pentru calcularea unui pătrat, trapez, patrulater arbitrar etc. Formulele în sine în diferite cazuri va avea și diferențe.
În cazul unei figuri obișnuite, găsirea zonei este mult mai ușoară. Este suficient să cunoașteți doar câțiva parametri cheie. În cele mai multe cazuri, calculele sunt necesare în mod specific pentru astfel de cifre. Prin urmare, formulele corespunzătoare vor fi date mai jos. În caz contrar, ar trebui să scrieți totul pe mai multe pagini, ceea ce nu ar face decât să vă încurce și să vă încurce.
Formula de bază pentru calcul Suprafața laterală a unei piramide obișnuite va avea următoarea formă:
S=½ Pa (P este perimetrul bazei și este apotema)
Să ne uităm la un exemplu. Poliedrul are o bază cu segmente A1, A2, A3, A4, A5 și toate sunt egale cu 10 cm Lăsați apotema să fie egală cu 5 cm. Deoarece toate cele cinci fețe ale bazei sunt aceleași, o puteți găsi astfel: P = 5 * 10 = 50 cm În continuare, aplicăm formula de bază: S = ½ * 50 * 5 = 125 cm pătrat.
Suprafața laterală a unei piramide triunghiulare regulate cel mai usor de calculat. Formula arată astfel:
S =½* ab *3, unde a este apotema, b este fața bazei. Factorul de trei aici înseamnă numărul de fețe ale bazei, iar prima parte este aria suprafeței laterale. Să ne uităm la un exemplu. Având în vedere o figură cu apotema de 5 cm și marginea bazei de 8 cm Calculăm: S = 1/2*5*8*3=60 cm pătrat.
Suprafața laterală a unei piramide trunchiate Este puțin mai greu de calculat. Formula arată astfel: S =1/2*(p_01+ p_02)*a, unde p_01 și p_02 sunt perimetrele bazelor și este apotema. Să ne uităm la un exemplu. Să presupunem că pentru o figură patruunghiulară dimensiunile laturilor bazelor sunt de 3 și 6 cm, apotema este de 4 cm.
Aici, mai întâi trebuie să găsiți perimetrele bazelor: р_01 =3*4=12 cm; р_02=6*4=24 cm Rămâne să înlocuim valorile în formula principală și obținem: S =1/2*(12+24)*4=0,5*36*4=72 cm pătrat.
Astfel, puteți găsi suprafața laterală a unei piramide obișnuite de orice complexitate. Ar trebui să fii atent și să nu încurci aceste calcule cu aria totală a întregului poliedr. Și dacă tot trebuie să faceți acest lucru, doar calculați aria celei mai mari baze a poliedrului și adăugați-o la aria suprafeței laterale a poliedrului.
Video
Consolidați informații despre cum să găsiți suprafața laterală diferite piramide, acest videoclip vă va ajuta.
Definiţie. Marginea laterală- acesta este un triunghi în care un unghi se află în vârful piramidei, iar latura opusă coincide cu latura bazei (poligon).
Definiţie. Coaste laterale- acestea sunt laturile comune ale fețelor laterale. O piramidă are tot atâtea muchii cât unghiurile unui poligon.
Definiţie. Înălțimea piramidei- aceasta este o perpendiculară coborâtă de la vârf la baza piramidei.
Definiţie. Apotema- aceasta este o perpendiculară pe fața laterală a piramidei, coborâtă din vârful piramidei până în lateralul bazei.
Definiţie. Secțiune diagonală- aceasta este o secțiune a unei piramide printr-un plan care trece prin vârful piramidei și diagonala bazei.
Definiţie. Piramida corectă este o piramidă în care baza este un poligon regulat, iar înălțimea coboară până în centrul bazei.
Volumul și suprafața piramidei
Formula. Volumul piramidei prin zona de bază și înălțimea:
Proprietățile piramidei
Dacă toate marginile laterale sunt egale, atunci un cerc poate fi desenat în jurul bazei piramidei, iar centrul bazei coincide cu centrul cercului. De asemenea, o perpendiculară căzută din vârf trece prin centrul bazei (cercului).
Dacă toate marginile laterale sunt egale, atunci ele sunt înclinate față de planul bazei la aceleași unghiuri.
Nervele laterale sunt egale când se formează cu planul bazei unghiuri egale sau dacă se poate descrie un cerc în jurul bazei piramidei.
Dacă fețele laterale sunt înclinate față de planul bazei la același unghi, atunci un cerc poate fi înscris în baza piramidei, iar vârful piramidei este proiectat în centrul acesteia.
Dacă fețele laterale sunt înclinate față de planul bazei la același unghi, atunci apotemele fețelor laterale sunt egale.
Proprietățile unei piramide obișnuite
1. Vârful piramidei este echidistant de toate colțurile bazei.
2. Toate marginile laterale sunt egale.
3. Toate nervurile laterale sunt înclinate la unghiuri egale față de bază.
4. Apotemele tuturor fețelor laterale sunt egale.
5. Suprafețele tuturor fețelor laterale sunt egale.
6. Toate fețele au aceleași unghiuri diedrice (plate).
7. O sferă poate fi descrisă în jurul piramidei. Centrul sferei circumscrise va fi punctul de intersecție al perpendicularelor care trec prin mijlocul marginilor.
8. Puteți încadra o sferă într-o piramidă. Centrul sferei înscrise va fi punctul de intersecție al bisectoarelor care emană din unghiul dintre margine și bază.
9. Dacă centrul sferei înscrise coincide cu centrul sferei circumscrise, atunci suma unghiurilor plane de la vârf este egală cu π sau invers, un unghi este egal cu π/n, unde n este numărul de unghiuri la baza piramidei.
Legătura dintre piramidă și sferă
O sferă poate fi descrisă în jurul unei piramide când la baza piramidei există un poliedru în jurul căruia poate fi descris un cerc (necesar și condiție suficientă). Centrul sferei va fi punctul de intersecție al planurilor care trec perpendicular prin punctele de mijloc ale marginilor laterale ale piramidei.
Este întotdeauna posibil să descrii o sferă în jurul oricărei piramide triunghiulare sau regulate.
O sferă poate fi înscrisă într-o piramidă dacă planurile bisectoare ale unghiurilor diedrice interne ale piramidei se intersectează într-un punct (o condiție necesară și suficientă). Acest punct va fi centrul sferei.
Legătura unei piramide cu un con
Se spune că un con este înscris într-o piramidă dacă vârfurile lor coincid și baza conului este înscrisă în baza piramidei.
Un con poate fi înscris într-o piramidă dacă apotemele piramidei sunt egale între ele.
Se spune că un con este circumscris în jurul unei piramide dacă vârfurile lor coincid, iar baza conului este circumscrisă în jurul bazei piramidei.
Un con poate fi descris în jurul unei piramide dacă toate marginile laterale ale piramidei sunt egale între ele.
Relația dintre o piramidă și un cilindru
O piramidă se numește înscrisă într-un cilindru dacă vârful piramidei se află pe o bază a cilindrului, iar baza piramidei este înscrisă într-o altă bază a cilindrului.
Un cilindru poate fi descris în jurul unei piramide dacă un cerc poate fi descris în jurul bazei piramidei.
Un tetraedru are patru fețe și patru vârfuri și șase muchii, unde oricare două muchii nu au vârfuri comune, dar nu se ating.
Fiecare vârf este format din trei fețe și muchii care se formează unghi triunghiular.
Segmentul care leagă vârful unui tetraedru cu centrul feței opuse se numește mediana tetraedrului(GM).
Bimedian numit segment care leagă punctele medii ale muchiilor opuse care nu se ating (KL).
Toate bimedianele și medianele unui tetraedru se intersectează într-un punct (S). În acest caz, bimedianele sunt împărțite în jumătate, iar medianele sunt împărțite într-un raport de 3:1 începând de sus.
Definiţie. Piramidă unghiulară ascuțită- o piramidă în care apotema are mai mult de jumătate din lungimea laturii bazei.
Definiţie. Piramidă obtuză- o piramidă în care apotema este mai mică de jumătate din lungimea laturii bazei.
Definiţie. Tetraedru regulat- un tetraedru în care toate cele patru fețe sunt triunghiuri echilaterale. Este unul dintre cele cinci poligoane regulate. Totul într-un tetraedru obișnuit unghiuri diedrice(între fețe) și unghiurile triedrice (la vârf) sunt egale.
Definiţie. Tetraedru dreptunghiular se numește tetraedru în care există un unghi drept între trei muchii la vârf (marginile sunt perpendiculare). Se formează trei fețe unghi triunghiular dreptunghiular iar fețele sunt triunghiuri dreptunghiulare, iar baza este un triunghi arbitrar. Apotema oricărei fețe este egală cu jumătate din latura bazei pe care cade apotema.
Definiţie. Tetraedru izoedric se numește tetraedru ale cărui fețe laterale sunt egale între ele, iar baza este un triunghi regulat. Un astfel de tetraedru are fețe care sunt triunghiuri isoscele.
Definiţie. tetraedru ortocentric se numește tetraedru în care se intersectează într-un punct toate înălțimile (perpendicularele) care sunt coborâte de sus pe fața opusă.
Definiţie. Piramida stelară numit poliedru a cărui bază este o stea.
Probleme geometrice tipice în plan și în spațiul tridimensional sunt problemele de determinare a suprafețelor figuri diferite. În acest articol vă prezentăm formula pentru suprafața laterală a unei piramide patruunghiulare obișnuite.
Ce este o piramidă?
Să dăm o strictă definiție geometrică piramide. Să presupunem că avem un poligon cu n laturi și n unghiuri. Să alegem un punct arbitrar din spațiu care nu va fi în planul n-gonului specificat și să-l conectăm la fiecare vârf al poligonului. Vom obține o figură cu un anumit volum, care se numește piramidă n-gonală. De exemplu, să arătăm în figura de mai jos cum arată o piramidă pentagonală.
Cele două elemente importante ale oricărei piramide sunt baza (n-gon) și vârful acesteia. Aceste elemente sunt legate între ele prin n triunghiuri, care în general nu sunt egale între ele. Perpendiculara care coboară de la vârf la bază se numește înălțimea figurii. Dacă intersectează baza la centrul geometric (coincide cu centrul de masă al poligonului), atunci o astfel de piramidă se numește linie dreaptă. Dacă, pe lângă această condiție, baza este un poligon regulat, atunci întreaga piramidă se numește regulată. Imaginea de mai jos arată cum arată piramidele regulate cu baze triunghiulare, patrulatere, pentagonale și hexagonale.
Suprafața piramidei
Înainte de a trece la problema suprafeței laterale a unei piramide patruunghiulare obișnuite, ar trebui să ne oprim mai în detaliu asupra conceptului de suprafață în sine.
După cum s-a menționat mai sus și se arată în figuri, orice piramidă este formată dintr-un set de fețe sau laturi. O latură este baza și n laturi sunt triunghiuri. Suprafața întregii figuri este suma ariilor fiecărei părți.
Este convenabil să studiezi o suprafață folosind exemplul dezvoltării unei figuri. Mătura pentru corect piramida patruunghiulara prezentate în figurile de mai jos.
Vedem că suprafața sa este egală cu suma a patru arii de triunghiuri isoscele identice și aria unui pătrat.
Suprafața totală a tuturor triunghiurilor care formează laturile unei figuri se numește de obicei suprafața laterală. În continuare, vom arăta cum să o calculăm pentru o piramidă patruunghiulară obișnuită.
Suprafața laterală a unei piramide regulate patruunghiulare
Pentru a calcula suprafața laterală a figurii indicate, ne întoarcem din nou la dezvoltarea de mai sus. Să presupunem că știm partea bază pătrată. Să o notăm prin simbolul a. Se poate observa că fiecare dintre cele patru triunghiuri identice are o bază de lungime a. Pentru a calcula aria lor totală, trebuie să cunoașteți această valoare pentru un triunghi. Din cursul geometriei știm că aria S t a unui triunghi este egală cu produsul dintre bază și înălțime, care trebuie împărțit la jumătate. Adică:
Unde h b este înălțimea unui triunghi isoscel trasat la baza a. Pentru o piramidă, această înălțime este o apotema. Acum rămâne să înmulțim expresia rezultată cu 4 pentru a obține aria S b a suprafeței laterale pentru piramida în cauză:
S b = 4*S t = 2*h b *a.
Această formulă conține doi parametri: apotema și latura bazei. Dacă acesta din urmă este cunoscut în majoritatea condițiilor problematice, atunci primul trebuie calculat cunoscând alte cantități. Iată formulele pentru calcularea apotema h b pentru două cazuri:
- când se cunoaște lungimea nervurii laterale;
- când se cunoaşte înălţimea piramidei.
Dacă notăm lungimea muchiei laterale (latura unui triunghi isoscel) cu simbolul L, atunci apotema h b este determinată de formula:
h b = √(L 2 - a 2 /4).
Această expresie este rezultatul aplicării teoremei lui Pitagora pentru triunghiul suprafeței laterale.
Dacă se cunoaște înălțimea h a piramidei, atunci apotema h b poate fi calculată după cum urmează:
h b = √(h 2 + a 2 /4).
De asemenea, nu este greu să obținem această expresie dacă ne uităm în interiorul piramidei triunghi dreptunghic, format din catetele h și a/2 și ipotenuza h b.
Să arătăm cum să aplicăm aceste formule prin rezolvarea a două probleme interesante.
Problemă cu suprafața cunoscută
Se știe că aria suprafeței laterale a pătraunghiului este de 108 cm 2. Este necesar să se calculeze lungimea apotemei sale h b dacă înălțimea piramidei este de 7 cm.
Să scriem formula pentru aria S b a suprafeței laterale în termeni de înălțime. Avem:
S b = 2*√(h 2 + a 2 /4) *a.
Aici am înlocuit pur și simplu formula apotemică corespunzătoare în expresia pentru S b. Să pătram ambele părți ale ecuației:
S b 2 = 4*a 2 *h 2 + a 4.
Pentru a afla valoarea lui a, facem o schimbare de variabile:
t 2 + 4*h 2 *t - S b 2 = 0.
Acum înlocuim valorile cunoscute și rezolvăm ecuație pătratică:
t 2 + 196*t - 11664 = 0.
Am notat doar rădăcina pozitivă a acestei ecuații. Atunci laturile bazei piramidei vor fi egale cu:
a = √t = √47,8355 ≈ 6,916 cm.
Pentru a obține lungimea apotemului, trebuie doar să utilizați formula:
h b = √(h 2 + a 2 /4) = √(7 2 + 6,916 2 /4) ≈ 7,808 cm.
Suprafața laterală a piramidei lui Keops
Să determinăm valoarea laturii pentru cea mai mare Piramida egipteană. Se știe că la baza sa se află un pătrat cu o lungime a laturii de 230,363 metri. Înălțimea structurii a fost inițial de 146,5 metri. Înlocuind aceste numere în formula corespunzătoare pentru S b, obținem:
S b = 2*√(h 2 + a 2 /4) *a = 2*√(146,5 2 +230,363 2 /4)*230,363 ≈ 85860 m 2.
Valoarea găsită este mică mai multă zonă 17 terenuri de fotbal.
