Concepte de bază
Ca parte a problemei de măsurare a unghiurilor, în această secțiune vom lua în considerare câteva concepte legate de informațiile geometrice inițiale:
- colţ;
- unghi desfășurat și nedezvoltat;
- grad, minut și secundă;
- gradul de măsurare a unghiului;
- unghiuri drepte, acute și obtuze.
Un unghi este o figură geometrică care constă dintr-un punct (vertex) și două raze (laturi) care emană din acesta. Un unghi se numește dezvoltat dacă ambele raze se află pe aceeași linie dreaptă.
Datorită gradului de măsurare a unghiului, unghiurile pot fi măsurate. Măsurarea unghiurilor se efectuează în mod similar cu măsurarea segmentelor. La fel ca la măsurarea segmentelor, la măsurarea unghiurilor, se folosește o unitate de măsură specială. Cel mai adesea este o diplomă.
Definiția 1
Un grad este o unitate de măsură. În geometrie, reprezintă unghiul cu care sunt comparate alte unghiuri. Gradul este egal cu $\frac(1)(180)$ din unghiul drept.
Acum putem defini măsura gradului unui unghi.
Definiția 2
Măsura gradului unui unghi este un număr pozitiv care indică de câte ori este plasat un grad într-un unghi dat.
Un raportor este folosit pentru a măsura unghiurile.
Un exemplu de scriere a unei măsuri de grad: $\angle ABC = 150^(\circ)$. În figură, această intrare înseamnă următoarele:
Oral ei spun asta: „Unghiul ABC este de 150 de grade”.
Unele părți ale gradului au propriile lor nume speciale. Un minut este o parte $\frac(1)(60)$ a unui grad, notat cu semnul $"$. O secundă este o parte $\frac(1)(60)$ a unui minut, notat cu $" „$. Un exemplu de scriere a unui unghi în 75 de grade, 45 de minute și 28 de secunde: $75^(\circ)45"28""$.
Acele unghiuri ale căror grade sunt egale se numesc egale. În consecință, unghiurile pot fi comparate spunând că un unghi este mai mic decât altul sau un unghi este mai mare decât altul.
Definiția unghiului rotit a fost dată mai sus. Folosind conceptul de măsură a gradului, putem descrie diferența dintre un unghi dezvoltat și cel nedezvoltat. Unghiul inversat este întotdeauna $180^(\circ)$. Colț neîntors este orice unghi mai mic de $180^(\circ)$.
Există unghiuri drepte, acute și obtuze. Un unghi drept este egal cu $90^(\circ)$, un unghi ascuțit este mai mic de $90^(\circ)$, un unghi obtuz este mai mare de $90^(\circ)$ și mai mic de $180^(\circ) $.
Figura 4. Unghiuri drepte, acute și obtuze. Autor24 - schimb online de lucrări ale studenților
ÎN viata de zi cu zi Există exemple despre necesitatea și importanța capacității de a măsura unghiuri și de a înțelege grade. Măsurarea unghiurilor este necesară în diverse studii, inclusiv în astronomie atunci când se determină poziția corpurilor cerești.
Pentru practică, încercați să desenați cel puțin trei colțuri drepte și un colț drept. în moduri diferite, utilizați un raportor pentru a măsura unghiurile și înregistrați rezultatele. Puteți seta numere aleatorii și puteți exersa acuratețea trasării unghiurilor folosind un raportor, împărțindu-le folosind o bisectoare (o bisectoare este o rază care emană de la vârful unui unghi dat și împărțind unghiul la jumătate).
Exemple de probleme
Exemplul 1
Sarcină. Există un desen:
Razele $DE$ și $DF$ sunt bisectoarele unghiurilor corespunzătoare $ADB$ și $BDC$. Trebuie să găsiți unghiul $ADC$ dacă $\angle EDF = 75^(\circ)$.
Soluţie. Deoarece unghiul $EDF$ conține jumătate din fiecare unghi $ADB$ și $BDC$, putem concluziona că $EDF$ este exact jumătate din unghiul $ADC$ însuși. Primim calcule simple: $\angle ADC=75\cdot 2=150^(\circ)$.
Răspuns: $150^(\circ)$.
Să dăm un alt exemplu interesant.
Exemplul 2
Sarcină. Se dă un desen.
Unghiul $ABC$ este corect. Unghiurile $ABE$, $EBD$ și $DBC$ sunt egale. Trebuie să găsiți unghiul format de bisectoarele $ABE$ și $DBC$.
Soluţie. Deoarece $ABC$ este un unghi drept, înseamnă că este egal cu $90^(\circ)$. Unghi $\angle EBD=90/3=30^(\circ)$. Deoarece unghiurile $ABE$, $EBD$ și $DBC$ sunt egale, oricare dintre ele va fi egal cu $30^(\circ)$. Bisectoarea oricăruia dintre aceste unghiuri va împărți oricare dintre aceste unghiuri în două unghiuri egale cu $15^(\circ)$. Deoarece cele două jumătăți ale unghiurilor $ABE$ și $DBC$ aparțin unghiului dorit, putem spune că unghiul dorit este egal cu $30+15+15=60^(\circ)$.
Răspuns. $60^(\circ)$
În acest articol am acoperit pe deplin problema măsurării gradului unui unghi și a modului de măsurare a unghiurilor.
Curs: Mărimea unghiului, măsura gradului unghiului, corespondența dintre mărimea unghiului și lungimea arcului de cerc
Măsurarea unghiului este cantitatea cu care o rază deviază față de poziția inițială.
Măsura unui unghi poate fi măsurată în două mărimi: grade și radiani, de unde și denumirea unităților - grad și radian măsura unghiului.
Măsura gradului de unghi
Măsura gradului face posibilă estimarea câte grade, minute sau secunde sunt plasate într-un anumit unghi.
Unghiurile în grade sunt calculate din punctul de vedere că rotația completă a fasciculului este de 360°. O jumătate de viraj de 180° este un unghi drept, un sfert - 90° este un unghi drept etc.
Măsura radianilor unghiului
Acum să ne dăm seama care este măsura radianilor unui unghi. După cum știm din fizică, există unități suplimentare. De exemplu, pentru a măsura temperatura, unitatea principală este Kelvin, iar unitatea suplimentară este Celsius. Pentru a măsura lungimea folosim metri, în timp ce britanicii folosesc picioarele. Această listă continuă și continuă. Ideea este să înțelegeți că, pe lângă măsura gradului de unghi, există și o măsură radian, care are și dreptul de a exista.
Pentru a determina măsura radianilor unui unghi, se folosește un cerc. Se crede că măsura radianilor este lungimea arcului de cerc descrisă de unghiul central.
Amintiți-vă că un unghi central este un unghi al cărui vârf se află în centrul cercului, iar razele se sprijină pe un arc.
Deci, un unghi de 1 rad are o măsură a gradului de 57,3°. Măsura radianilor unui unghi este descrisă fie prin numere naturale, fie folosind numărul π ≈ 3,14.
Pentru geometrie este mai convenabil să se folosească măsura gradului de unghi, dar pentru trigonometrie folosesc măsura radianilor.
Măsura gradului de unghi este un număr pozitiv care arată de câte ori un grad și părțile sale se încadrează în unghi.
Cuvântul „unghi” are interpretări diferite. În geometrie, un unghi este o parte a unui plan mărginită de două raze care ies dintr-un punct, așa-numitul vârf. Atunci când sunt luate în considerare unghiurile drepte, ascuțite și drepte, se înțelege unghiurile geometrice.
Ca orice formă geometrică, unghiurile pot fi comparate. În domeniul geometriei, nu este greu astăzi să descriem că un unghi este mai mare sau mai mic în comparație cu altul.
Unitatea de măsură pentru unghiuri este un grad - 1/180 dintr-un unghi rotit.
Fiecare unghi are o măsură de grad mai mare decât zero. Un unghi drept corespunde la 180 de grade. Gradul de măsurare a unui unghi este egal cu suma tuturor gradelor de măsură a unghiurilor în care unghiul inițial poate fi împărțit prin raze.
Din orice rază la un plan dat, puteți face un unghi cu o măsură a gradului de cel mult 180 de grade. Măsura unui unghi plan, care face parte dintr-un semiplan, este o măsură de grad a unui unghi care are laturi similare. Măsura planului unghiului care conține semiplanul se notează cu numărul 360 - ?, unde? este gradul de măsură a unui unghi plan complementar.
Un unghi drept este întotdeauna egal cu 90 de grade, un unghi obtuz este mai mic de 180 de grade, dar mai mult de 90, iar un unghi ascuțit nu depășește 90 de grade.
Pe lângă măsura gradului de unghi, există o măsură radian. În planimetrie, lungimea unui arc de cerc este desemnată ca L, raza este r, iar unghiul central corespunzător este desemnat ?.. Relația dintre acești parametri arată astfel: ? = L/r.
Cum să aflu măsura gradului unui unghi?
Pentru mulți oameni de la școală, geometria este un adevărat test. Una dintre cele de bază forme geometrice este unghiul. Acest concept înseamnă două raze care își au originea în același punct. Pentru a măsura valoarea (magnitudinea) unui unghi se folosesc grade sau radiani. Veți învăța cum să găsiți măsura gradului unui unghi în articolul nostru.
Tipuri de unghiuri
Să presupunem că avem un unghi. Dacă o extindem într-o linie dreaptă, atunci valoarea sa va fi egală cu 180 de grade. Un astfel de unghi se numește unghi rotit, iar 1/180 din partea sa este considerat un grad.
Pe lângă un unghi drept, există și unghiuri acute (mai puțin de 90 de grade), obtuz (mai mult de 90 de grade) și unghiuri drepte (egale cu 90 de grade). Acești termeni sunt folosiți pentru a caracteriza gradul de măsură a unui unghi.
Măsurarea unghiului
Unghiul se măsoară cu ajutorul unui raportor. Acest dispozitiv special, pe care semicercul este deja împărțit în 180 de părți. Atașați raportorul la unghi astfel încât una dintre laturile unghiului să coincidă cu fund raportor Al doilea fascicul trebuie să intersecteze arcul raportorului. Dacă nu se întâmplă acest lucru, scoateți raportorul și folosiți o riglă pentru a prelungi fasciculul. Dacă unghiul „se deschide” la dreapta vârfului, valoarea acestuia este citită pe scara superioară, dacă la stânga - pe cea inferioară.
În sistemul SI, se obișnuiește să se măsoare mărimea unui unghi în radiani, mai degrabă decât în grade. Doar 3,14 radiani se potrivesc în unghiul desfășurat, așa că această valoare este incomod și nu este aproape niciodată folosită în practică. Acesta este motivul pentru care trebuie să știți cum să convertiți radianii în grade. Există o formulă pentru asta:
- Grade = radiani/π x 180
De exemplu, unghiul este de 1,6 radiani. Convertiți în grade: 1,6/3,14 * 180 = 92
Proprietățile colțurilor
Acum știi cum să măsori și să recalculezi grade de unghiuri. Dar pentru a rezolva probleme, trebuie să cunoașteți și proprietățile unghiurilor. Până în prezent, au fost formulate următoarele axiome:
- Orice unghi poate fi exprimat în grade mai mari decât zero. Dimensiunea unghiului rotit este de 360.
- Dacă un unghi este format din mai multe unghiuri, atunci măsura gradului său este egală cu suma tuturor unghiurilor.
- Un unghi poate fi construit din orice rază într-un semiplan dat valoare dată, mai puțin de 180 de grade, și doar unul.
- Cantitati unghiuri egale sunt la fel.
- Pentru a adăuga două unghiuri, trebuie să adăugați valorile acestora.
Înțelegerea acestor reguli și cunoașterea modului de măsurare a unghiurilor este cheia pentru a învăța cu succes geometria.