Perimetrul este suma tuturor laturilor unei figuri. Această caracteristică, împreună cu suprafața, este la fel de solicitată pentru toate figurile. Formula pentru perimetrul unui triunghi isoscel decurge logic din proprietățile sale, dar formula nu este la fel de complicată ca dobândirea și consolidarea abilităților practice.
Formula pentru calculul perimetrului
Laturile laterale ale unui triunghi isoscel sunt egale între ele. Acest lucru decurge din definiție și este clar vizibil chiar și din numele figurii. Din această proprietate rezultă formula perimetrului:
P=2a+b, unde b este baza triunghiului, a este valoarea laturii.
Orez. 1. Triunghi isoscel
Din formulă este clar că pentru a găsi perimetrul este suficient să cunoaștem dimensiunea bazei și a uneia dintre laturi. Luați în considerare câteva probleme pentru a găsi perimetrul unui triunghi isoscel. Vom rezolva probleme pe măsură ce complexitatea lor crește, acest lucru ne va permite să înțelegem mai bine modul de gândire care trebuie urmat pentru găsirea perimetrului.
Problema 1
- Într-un triunghi isoscel, baza este 6, iar altitudinea trasată la această bază este 4. Este necesar să găsiți perimetrul figurii.
Orez. 2. Desen pentru sarcina 1
Altitudinea unui triunghi isoscel trasat la bază este, de asemenea, mediana și altitudinea. Această proprietate este foarte des folosită în rezolvarea problemelor care implică triunghiuri isoscele.
Triunghiul ABC cu înălțimea BM este împărțit în două triunghiuri dreptunghiulare: ABM și BCM. În triunghiul ABM, cateta BM este cunoscută, cateta AM este egală cu jumătate din baza triunghiului ABC, deoarece BM este bisectoarea mediană și altitudinea. Folosind teorema lui Pitagora, găsim valoarea ipotenuzei AB.
$$АВ^2=AM^2+BM^2$$
$$AB=\sqrt(AM^2+BM^2)=\sqrt(3^2+4^2)=\sqrt(9+16)=\sqrt(25)=5$$
Să aflăm perimetrul: P=AC+AB*2=6+5*2=16
Problema 2
- Într-un triunghi isoscel, altitudinea trasată la bază este 10, iar unghiul ascuțit la bază este de 30 de grade. trebuie să găsiți perimetrul triunghiului.
Orez. 3. Desen pentru sarcina 2
Această sarcină este complicată de lipsa de informații despre laturile triunghiului, dar cunoscând valoarea înălțimii și a unghiului, în triunghiul dreptunghic ABH puteți găsi catetul AH, iar apoi soluția va urma același scenariu ca în problemă. 1.
Să găsim AH prin valoarea sinusului:
$$sin (ABH)=(BH\over AB)=(1\over2)$$ - sinusul de 30 de grade este o valoare de tabel.
Să exprimăm partea necesară:
$$AB=((BH\peste (1\peste 2))) =BH*2=10*2=20$$
Folosind cotangenta găsim valoarea lui AH:
$$ctg(BAH)=(AH\peste BH)=(1\peste\sqrt(3))$$
$$AH=(BH\over\sqrt(3))=10*\sqrt(3)=17,32$$ - rotunjește valoarea rezultată la cea mai apropiată sutime.
Să găsim baza:
AC=AH*2=17,32*2=34,64
Acum că au fost găsite toate valorile necesare, să determinăm perimetrul:
P=AC+2*AB=34,64+2*20=74,64
Problema 3
- Triunghiul isoscel ABC are o suprafață de $$16\over\sqrt(3)$$ și un unghi ascuțit la baza de 30 de grade. Aflați perimetrul triunghiului.
Valorile din condiție sunt adesea date ca produs al rădăcinii și al numărului. Acest lucru se face pentru a proteja soluția ulterioară cât mai mult posibil de erori. Este mai bine să rotunjiți rezultatul la sfârșitul calculelor
Cu această formulare a problemei, poate părea că nu există soluții, deoarece este dificil de exprimat una dintre laturi sau înălțimea din datele disponibile. Să încercăm să rezolvăm altfel.
Să notăm înălțimea și jumătatea bazei cu litere latine: BH=h și AH=a
Atunci baza va fi egală cu: AC=AH+HC=AH*2=2a
Zona: $$S=(1\peste 2)*AC*BH=(1\peste 2)*2a*h=ah$$
Pe de altă parte, valoarea lui h poate fi exprimată din triunghiul ABH în termenii tangentei unghiului ascuțit. De ce tangenta? Pentru că în triunghiul ABH am desemnat deja două catete a și h. Unul trebuie exprimat prin celălalt. Două picioare împreună conectează tangenta și cotangenta. În mod tradițional, cotangente și cosinus sunt folosite numai dacă tangenta sau sinusul nu se potrivesc. Aceasta nu este o regulă, puteți decide așa cum este convenabil, este doar acceptată.
$$tg(BAH)=(h\peste(a))=(1\peste\sqrt(3))$$
$$h=(a\peste\sqrt(3))$$
Să înlocuim valoarea rezultată în formula zonei.
$$S=a*h=a*(a\peste\sqrt(3))=((a^2)\peste\sqrt(3))$$
Să exprimăm un:
$$a=\sqrt(S*\sqrt(3))=\sqrt(16\over\sqrt(3)*\sqrt(3))=\sqrt(16)=4$$
Înlocuiți valoarea lui a în formula zonei și determinați valoarea înălțimii:
$$S=a*h=(16\peste\sqrt(3))$$
$$h=(S\over(a))=((16\over\sqrt(3))\over(4))=(4\over\sqrt(3))=2.31$$- valoarea obţinută Să rotunjim până la cea mai apropiată sutime.
Folosind teorema lui Pitagora găsim latura laterală a triunghiului:
$$AB^2=AH^2+BH^2$$
$$AB=\sqrt(AH^2+BH^2)=\sqrt(4^2+2,31^2)=4,62$$
Să înlocuim valorile în formula perimetrului:
P=AB*2+AH*2=4,62*2+4*2=17,24
Ce am învățat?
Am înțeles în detaliu toate complexitățile găsirii perimetrului unui triunghi isoscel. Am rezolvat trei probleme de diferite niveluri de complexitate, arătând cu un exemplu cum se rezolvă problemele tipice pentru rezolvarea unui triunghi isoscel.
Test pe tema
Evaluarea articolului
Evaluare medie: 4.4. Evaluări totale primite: 83.
Orice triunghi este egal cu suma lungimilor celor trei laturi ale sale. Formula generală pentru găsirea perimetrului triunghiurilor:
P = o + b + c
Unde P este perimetrul triunghiului, o, bŞi c- lateralele lui.
Îl puteți găsi adunând lungimile laturilor sale secvențial sau înmulțind lungimea laturii cu 2 și adăugând lungimea bazei la produs. Formula generală pentru găsirea perimetrului triunghiurilor isoscele va arăta astfel:
P = 2o + b
Unde P este perimetrul unui triunghi isoscel, o- oricare dintre laturi, b- baza.
Îl puteți găsi adunând lungimile laturilor sale secvențial sau înmulțind lungimea oricăreia dintre laturile sale cu 3. Formula generală pentru găsirea perimetrului triunghiurilor echilaterale va arăta astfel:
P = 3o
Unde P este perimetrul unui triunghi echilateral, o- oricare dintre laturile sale.
Pătrat
Pentru a măsura aria unui triunghi, o puteți compara cu un paralelogram. Luați în considerare un triunghi ABC:
Dacă luați un triunghi egal cu acesta și îl plasați astfel încât să obțineți un paralelogram, veți obține un paralelogram cu aceeași înălțime și bază ca triunghiul dat:
În acest caz, latura comună a triunghiurilor pliate împreună este diagonala paralelogramului format. Din proprietățile paralelogramelor se știe că diagonala împarte întotdeauna paralelogramul în două triunghiuri egale, ceea ce înseamnă că aria fiecărui triunghi este egală cu jumătate din aria paralelogramului.
Deoarece aria unui paralelogram este egală cu produsul bazei sale și înălțimea sa, aria triunghiului va fi egală cu jumătate din acest produs. Deci pentru Δ ABC aria va fi egală
Acum considerăm un triunghi dreptunghic:
Două triunghiuri dreptunghice egale pot fi pliate într-un dreptunghi prin plasarea ipotenuzei lor unul împotriva celuilalt. Deoarece aria unui dreptunghi este egală cu produsul laturilor sale adiacente, aria unui triunghi dat este:
Din aceasta putem concluziona că aria oricărui triunghi dreptunghic este egală cu produsul catetelor împărțit la 2.
Din aceste exemple putem concluziona că Aria oricărui triunghi este egală cu produsul dintre lungimea bazei și înălțimea bazei, împărțit la 2. Formula generală pentru găsirea ariei triunghiurilor va arăta astfel:
| S = | ah a |
| 2 |
Unde S este aria triunghiului, o- fundația sa, h a- inaltime coborata pana la baza o.
Informații preliminare
Perimetrul oricărei figuri geometrice plate pe un plan este definit ca suma lungimilor tuturor laturilor sale. Triunghiul nu face excepție de la aceasta. În primul rând, vă prezentăm conceptul de triunghi, precum și tipurile de triunghiuri în funcție de laturi.
Definiția 1
Vom numi un triunghi o figură geometrică care este formată din trei puncte legate între ele prin segmente (Fig. 1).
Definiția 2
În cadrul Definiției 1, vom numi punctele vârfurile triunghiului.
Definiția 3
În cadrul Definiției 1, segmentele vor fi numite laturile triunghiului.
Evident, orice triunghi va avea 3 vârfuri, precum și trei laturi.
În funcție de relația dintre laturi între ele, triunghiurile sunt împărțite în scalen, isoscel și echilateral.
Definiția 4
Vom numi un triunghi scalen dacă niciuna dintre laturile sale nu este egală cu oricare alta.
Definiția 5
Vom numi un triunghi isoscel dacă două dintre laturile sale sunt egale între ele, dar nu sunt egale cu a treia latură.
Definiția 6
Vom numi un triunghi echilateral dacă toate laturile lui sunt egale între ele.
Puteți vedea toate tipurile de aceste triunghiuri în Figura 2.
Cum se află perimetrul unui triunghi scalen?
Să ne dăm un triunghi scalen ale cărui lungimi ale laturilor sunt egale cu $α$, $β$ și $γ$.
Concluzie: Pentru a găsi perimetrul unui triunghi scalen, trebuie să adăugați toate lungimile laturilor sale împreună.
Exemplul 1
Aflați perimetrul triunghiului scalen egal cu $34$ cm, $12$ cm și $11$ cm.
$P=34+12+11=57$ cm
Răspuns: $57$ cm.
Exemplul 2
Aflați perimetrul unui triunghi dreptunghic ale cărui catete sunt $6$ și $8$ cm.
Mai întâi, să găsim lungimea ipotenuzelor acestui triunghi folosind teorema lui Pitagora. Să o notăm cu $α$, atunci
$α=10$ Conform regulii de calcul al perimetrului unui triunghi scalen, obținem
$P=10+8+6=24$ cm
Răspuns: 24$ vezi.
Cum se află perimetrul unui triunghi isoscel?
Să ni se dă un triunghi isoscel, lungimile laturilor vor fi egale cu $α$, iar lungimea bazei va fi egală cu $β$.
Determinând perimetrul unei figuri geometrice plate, obținem că
$P=α+α+β=2α+β$
Concluzie: Pentru a găsi perimetrul unui triunghi isoscel, adăugați de două ori lungimea laturilor sale la lungimea bazei sale.
Exemplul 3
Aflați perimetrul unui triunghi isoscel dacă laturile sale sunt $12$ cm și baza lui este $11$ cm.
Din exemplul discutat mai sus, vedem că
$P=2\cdot 12+11=35$ cm
Răspuns: $35$ cm.
Exemplul 4
Aflați perimetrul unui triunghi isoscel dacă înălțimea lui trasă la bază este $8$ cm, iar baza este $12$ cm.
Să ne uităm la desen în funcție de condițiile problemei:
Deoarece triunghiul este isoscel, $BD$ este și mediana, deci $AD=6$ cm.
Folosind teorema lui Pitagora, din triunghiul $ADB$, găsim latura laterală. Să o notăm cu $α$, atunci
Conform regulii de calcul al perimetrului unui triunghi isoscel, obținem
$P=2\cdot 10+12=32$ cm
Răspuns: 32$ vezi.
Cum se află perimetrul unui triunghi echilateral?
Să ni se dă un triunghi echilateral ale cărui lungimi ale tuturor laturilor sunt egale cu $α$.
Determinând perimetrul unei figuri geometrice plate, obținem că
$P=α+α+α=3α$
Concluzie: Pentru a afla perimetrul unui triunghi echilateral, înmulțiți lungimea laturii triunghiului cu $3$.
Exemplul 5
Aflați perimetrul unui triunghi echilateral dacă latura lui este $12$ cm.
Din exemplul discutat mai sus, vedem că
$P=3\cdot 12=36$ cm
Perimetrul unui triunghi, ca în cazul oricărei figuri, se numește suma lungimilor tuturor laturilor. Destul de des, această valoare ajută la găsirea zonei sau este folosită pentru a calcula alți parametri ai figurii.
Formula pentru perimetrul unui triunghi arată astfel:
Un exemplu de calcul al perimetrului unui triunghi. Să fie dat un triunghi cu laturile a = 4 cm, b = 6 cm, c = 7 cm. Înlocuiți datele în formula: cm
Formula pentru calculul perimetrului triunghi isoscel va arata asa:
Formula pentru calculul perimetrului triunghi echilateral:
Un exemplu de calcul al perimetrului unui triunghi echilateral. Când toate laturile unei figuri sunt egale, ele pot fi pur și simplu înmulțite cu trei. Să presupunem că ni se dă un triunghi regulat cu latura de 5 cm în acest caz: cm
În general, odată ce sunt date toate laturile, găsirea perimetrului este destul de simplă. În alte situații, trebuie să găsiți dimensiunea părții lipsă. Într-un triunghi dreptunghic puteți găsi a treia latură lângă Teorema lui Pitagora. De exemplu, dacă lungimile catetelor sunt cunoscute, atunci puteți găsi ipotenuza folosind formula: 
Să luăm în considerare un exemplu de calcul al perimetrului unui triunghi isoscel, cu condiția să cunoaștem lungimea catetelor dintr-un triunghi dreptunghic isoscel.
Dat un triunghi cu catete a =b =5 cm. Aflați perimetrul. Mai întâi, să găsim partea lipsă c. cm
Acum să calculăm perimetrul: cm
Perimetrul unui triunghi dreptunghic isoscel va fi de 17 cm.
În cazul în care ipotenuza și lungimea unui catete sunt cunoscute, îl puteți găsi pe cel lipsă folosind formula: 
Dacă ipotenuza și unul dintre unghiurile ascuțite sunt cunoscute într-un triunghi dreptunghic, atunci latura lipsă se găsește folosind formula.
Informații preliminare
Perimetrul oricărei figuri geometrice plate pe un plan este definit ca suma lungimilor tuturor laturilor sale. Triunghiul nu face excepție de la aceasta. În primul rând, vă prezentăm conceptul de triunghi, precum și tipurile de triunghiuri în funcție de laturi.
Definiția 1
Vom numi un triunghi o figură geometrică care este formată din trei puncte legate între ele prin segmente (Fig. 1).
Definiția 2
În cadrul Definiției 1, vom numi punctele vârfurile triunghiului.
Definiția 3
În cadrul Definiției 1, segmentele vor fi numite laturile triunghiului.
Evident, orice triunghi va avea 3 vârfuri, precum și trei laturi.
În funcție de relația dintre laturi între ele, triunghiurile sunt împărțite în scalen, isoscel și echilateral.
Definiția 4
Vom numi un triunghi scalen dacă niciuna dintre laturile sale nu este egală cu oricare alta.
Definiția 5
Vom numi un triunghi isoscel dacă două dintre laturile sale sunt egale între ele, dar nu sunt egale cu a treia latură.
Definiția 6
Vom numi un triunghi echilateral dacă toate laturile lui sunt egale între ele.
Puteți vedea toate tipurile de aceste triunghiuri în Figura 2.
Cum se află perimetrul unui triunghi scalen?
Să ne dăm un triunghi scalen ale cărui lungimi ale laturilor sunt egale cu $α$, $β$ și $γ$.
Concluzie: Pentru a găsi perimetrul unui triunghi scalen, trebuie să adăugați toate lungimile laturilor sale împreună.
Exemplul 1
Aflați perimetrul triunghiului scalen egal cu $34$ cm, $12$ cm și $11$ cm.
$P=34+12+11=57$ cm
Răspuns: $57$ cm.
Exemplul 2
Aflați perimetrul unui triunghi dreptunghic ale cărui catete sunt $6$ și $8$ cm.
Mai întâi, să găsim lungimea ipotenuzelor acestui triunghi folosind teorema lui Pitagora. Să o notăm cu $α$, atunci
$α=10$ Conform regulii de calcul al perimetrului unui triunghi scalen, obținem
$P=10+8+6=24$ cm
Răspuns: 24$ vezi.
Cum se află perimetrul unui triunghi isoscel?
Să ni se dă un triunghi isoscel, lungimile laturilor vor fi egale cu $α$, iar lungimea bazei va fi egală cu $β$.
Determinând perimetrul unei figuri geometrice plate, obținem că
$P=α+α+β=2α+β$
Concluzie: Pentru a găsi perimetrul unui triunghi isoscel, adăugați de două ori lungimea laturilor sale la lungimea bazei sale.
Exemplul 3
Aflați perimetrul unui triunghi isoscel dacă laturile sale sunt $12$ cm și baza lui este $11$ cm.
Din exemplul discutat mai sus, vedem că
$P=2\cdot 12+11=35$ cm
Răspuns: $35$ cm.
Exemplul 4
Aflați perimetrul unui triunghi isoscel dacă înălțimea lui trasă la bază este $8$ cm, iar baza este $12$ cm.
Să ne uităm la desen în funcție de condițiile problemei:
Deoarece triunghiul este isoscel, $BD$ este și mediana, deci $AD=6$ cm.
Folosind teorema lui Pitagora, din triunghiul $ADB$, găsim latura laterală. Să o notăm cu $α$, atunci
Conform regulii de calcul al perimetrului unui triunghi isoscel, obținem
$P=2\cdot 10+12=32$ cm
Răspuns: 32$ vezi.
Cum se află perimetrul unui triunghi echilateral?
Să ni se dă un triunghi echilateral ale cărui lungimi ale tuturor laturilor sunt egale cu $α$.
Determinând perimetrul unei figuri geometrice plate, obținem că
$P=α+α+α=3α$
Concluzie: Pentru a afla perimetrul unui triunghi echilateral, înmulțiți lungimea laturii triunghiului cu $3$.
Exemplul 5
Aflați perimetrul unui triunghi echilateral dacă latura lui este $12$ cm.
Din exemplul discutat mai sus, vedem că
$P=3\cdot 12=36$ cm