Marcați pe cercul unității punctele care corespund numărului. Cercul trigonometric. Teorie detaliată cu exemple. Orientări pentru studierea disciplinei și completarea testelor pentru studenții prin corespondență Specialități toate

Dacă plasați cercul cu numărul unității plan de coordonate, apoi pot fi găsite coordonatele pentru punctele sale. Cercul numeric este poziționat astfel încât centrul său să coincidă cu originea planului, adică punctul O (0; 0).

De obicei pe cercul cu numărul unității sunt marcate punctele corespunzătoare originii cercului

  • sferturi - 0 sau 2π, π/2, π, (2π)/3,
  • sferturi din mijloc - π/4, (3π)/4, (5π)/4, (7π)/4,
  • treimi de sferturi - π/6, π/3, (2π)/3, (5π)/6, (7π)/6, (4π)/3, (5π)/3, (11π)/6.

Pe planul de coordonate, cu locația de mai sus a cercului unitar pe el, puteți găsi coordonatele corespunzătoare acestor puncte ale cercului.

Coordonatele capetelor sferturilor sunt foarte ușor de găsit. În punctul 0 al cercului, coordonata x este 1, iar coordonata y este 0. O putem nota ca A (0) = A (1; 0).

Sfârșitul primului trimestru va fi situat pe axa y pozitivă. Prin urmare, B (π/2) = B (0; 1).

Sfârșitul celui de-al doilea trimestru este pe semiaxa negativă: C (π) = C (-1; 0).

Sfârșitul trimestrului al treilea: D ((2π)/3) = D (0; -1).

Dar cum să găsești coordonatele punctelor mijlocii ale sferturilor? Pentru a face acest lucru, construiți un triunghi dreptunghic. Ipotenuza sa este un segment de la centrul cercului (sau originea) până la mijlocul sfertului de cerc. Aceasta este raza cercului. Deoarece cercul este unitate, ipotenuza este egală cu 1. Apoi, trageți o perpendiculară dintr-un punct de pe cerc pe orice axă. Să fie spre axa x. Rezultatul este un triunghi dreptunghic, ale cărui lungimi ale catetelor sunt coordonatele x și y ale punctului de pe cerc.

Un sfert de cerc are 90º. Și jumătate de sfert este 45º. Deoarece ipotenuza este trasă la mijlocul cadranului, unghiul dintre ipotenuză și catetul care se extinde de la origine este de 45º. Dar suma unghiurilor oricărui triunghi este 180º. În consecință, unghiul dintre ipotenuză și celălalt catete rămâne și el de 45º. Rezultă un triunghi dreptunghic isoscel.

Din teorema lui Pitagora obținem ecuația x 2 + y 2 = 1 2. Deoarece x = y și 1 2 = 1, ecuația se simplifică la x 2 + x 2 = 1. Rezolvând-o, obținem x = √½ = 1/√2 = √2/2.

Astfel, coordonatele punctului M 1 (π/4) = M 1 (√2/2; √2/2).

În coordonatele punctelor punctelor mijlocii ale celorlalte sferturi, doar semnele se vor schimba, iar modulele valorilor vor rămâne aceleași, deoarece triunghiul dreptunghic va fi doar răsturnat. Primim:
M2 ((3π)/4) = M2 (-√2/2; √2/2)
M3 ((5π)/4) = M3 (-√2/2; -√2/2)
M4 ((7π)/4) = M4 (√2/2; -√2/2)

Când se determină coordonatele celor trei părți ale sferturilor de cerc, se construiește și un triunghi dreptunghic. Dacă luăm punctul π/6 și desenăm o perpendiculară pe axa x, atunci unghiul dintre ipotenuză și cateta situată pe axa x va fi de 30º. Se știe că un picior situat opus unui unghi de 30º este egal cu jumătate din ipotenuză. Aceasta înseamnă că am găsit coordonata y, este egală cu ½.

Cunoscând lungimile ipotenuzei și ale unuia dintre catete, folosind teorema lui Pitagora găsim celălalt catete:
x 2 + (½) 2 = 1 2
x 2 = 1 - ¼ = ¾
x = √3/2

Astfel T 1 (π/6) = T 1 (√3/2; ½).

Pentru punctul din a doua treime a primului sfert (π/3), este mai bine să desenați o perpendiculară pe axa pe axa y. Apoi unghiul de la origine va fi de asemenea de 30º. Aici coordonata x va fi egală cu ½, respectiv y, √3/2: T 2 (π/3) = T 2 (½; √3/2).

Pentru alte puncte din al treilea trimestru, semnele și ordinea valorilor coordonatelor se vor schimba. Toate punctele care sunt mai aproape de axa x vor avea o valoare a coordonatei modulului x egală cu √3/2. Acele puncte care sunt mai aproape de axa y vor avea o valoare a modulului y egală cu √3/2.
T 3 ((2π)/3) = T 3 (-½; √3/2)
T4 ((5π)/6) = T4 (-√3/2; ½)
T 5 ((7π)/6) = T 5 (-√3/2; -½)
T 6 ((4π)/3) = T 6 (-½; -√3/2)
T 7 ((5π)/3) = T 7 (½; -√3/2)
T8 ((11π)/6) = T8 (√3/2; -½)

5. FUNCȚII TRIGONOMETRICE ALE ORICE ARGUMENT

§ 20. CERCUL DE UNITATE

948. Care este relația dintre lungimea arcului unității de cerc și măsura sa în radiani?

949. Pe cercul unitar, construiți puncte corespunzătoare numerelor: 0; 1; 2; 3; 4; 5; .... Ar putea să coincidă vreunul dintre aceste puncte? De ce?

950. Numerele sunt date prin formula α = 1 / 2 k, Unde k= 0; ±1; ±2; ....
Construiți puncte pe dreapta numerică și pe cercul unității care corespund acestor numere. Câte astfel de puncte vor fi pe linia numerică și câte pe cercul unității?

951. Marcați punctele pe cercul unității și pe axa numerelor care corespund numerelor:
1) α = π k, k= 0; ±1, ±2, ...;
2) α = π / 2 (2k + 1), k= 0; ± 1; ±2; ...;
3) α = π k / 6 , k= 0; ±1; ±2; ... .
Câte astfel de puncte sunt pe linia numerică și câte pe cercul unității?

952. Cum sunt punctele corespunzătoare numerelor situate pe axa numerelor și pe cercul unității:
1) OȘi - O; 2) OŞi O±π; 3) O+ π și O- π; 4) OŞi O+ 2π k, k= 0; ±1; ±2; ...?

953. Ce este diferenta fundamentalaîntre reprezentarea numerelor prin puncte de pe axa numerelor și reprezentarea lor prin puncte ale cercului unitar?

954. 1) Aflați cele mai mici numere nenegative corespunzătoare punctelor de intersecție ale cercului unitar: a) cu axele de coordonate; b) cu bisectoare ale unghiurilor coordonate.

2) În fiecare caz scrieți formula generala numere corespunzătoare punctelor indicate ale cercului unitar.

955. Stiind asta O este unul dintre numerele corespunzătoare unui punct dat din cercul unității, găsiți:
1) toate numerele corespunzătoare unui punct dat;
2) toate numerele corespunzătoare unui punct de pe cercul unitar simetric celui dat:
a) raportat la axa x; b) raportat la axa ordonatelor; c) raportat la origine.
Rezolvați problema acceptând O = 0; π / 2; 1; 2; π / 6; - π / 4 .

956. Găsiți condiția pe care o îndeplinesc numerele O, corespunzător:
1) punctele primului sfert al cercului unitar;
2) punctele celui de-al 2-lea sfert al cercului unitar;
3) punctele celui de-al 3-lea sfert al cercului unitar;
4) punctele celui de-al 4-lea sfert al cercului unitar.

957. Vârful A al unui octogon regulat ABCDEFKL înscris într-un cerc unitar are coordonatele (1; 0) (Fig. 39).

1) Determinați coordonatele vârfurilor rămase ale octogonului.
2) Creați o formulă generală pentru arcele cercului unitar care se termină:
a) în punctele A, C, E și K; b) în punctele B, D, F și L; c) în punctele A, B, C, D, E, F, K și L.

958. 1) Construiți un punct pe cercul unitar a cărui ordonată este 0,5. Câte puncte din cercul unității au o ordonată dată? Cum sunt situate aceste puncte în raport cu axa ordonatelor?

2) Se măsoară cu un raportor (cu o precizie de 1°) cel mai mic arc în valoare absolută, al cărui capăt are o ordonată egală cu 0,5 și se întocmește o formulă generală pentru arcele cercului unitar care se termină în puncte cu ordonată de 0,5.

959. Rezolvați problema 958, luând ordonata la egal cu:

1) - 0,5; 2) 0 4; 3) 0,5√3 .

960. 1) Construiți un punct pe cercul unitar a cărui abscisă este 0,5. Câte puncte din cercul unității au o abscisă dată? Cum sunt situate aceste puncte în raport cu axa x?

2) Se măsoară cu un raportor (cu o precizie de 1°) cel mai mic arc pozitiv, al cărui capăt are o abscisă egală cu 0,5 și se elaborează o formulă generală pentru arcele de cerc unitare care se termină în puncte cu o abscisă de 0,5.

961. Rezolvați problema 960, luând abscisa X egal cu:

1) - 2 / 3 ; 2) 0,4; 3) 0,5√2 .

962. Determinați coordonatele capetelor arcelor cercului unitar date prin formula ( k= 0; ±1; ±2; ...):

1) α = 30°(2 k+ 1); 2) α = π k / 3 .

963. Exprimați următoarea serie de unghiuri ( k= 0; ±1; ±2; ...):

1) α 1 = 180° k+ 120° și α 2 = 180° k+ 30°;

2) α 1 = π k + π / 6 și α 2 = π k - π / 3 ;

3) α 1 = 90° kși α2 = 45° (2 k + 1);

4) α 1 = π kși α 2 = π / 3 (3k± 1);

5) a 1 = 120° k± 15° și α 2 = 120° k± 45°;

6) α 1 = π k; α2 = 2π k ± π / 3 și α 3 = 2l k± 2π / 3 ;

7) α 1 = 180° k+ 140°; α2 = 180° k+ 80° și α 3 = 180° k+ 20°;

8) α 1 = 180° k + (-1)k 60° și α 2 = 180° k - (-1)k 60°.

964. Eliminați colțurile care se repetă următoarele formule (k= 0-±1; ±2; ...):

1) α 1 = 90° kși α2 = 60° k+ 30°;

2) α 1 = π k / 2 și α 2 = π k / 5 ;

3) α 1 = 1 / 4 π kși α 2 = 1 / 2 π k± 1/4 π;

4) α 1 = π (2 k+ 1) - π / 6 și α 2 = 2 / 5 π k+ 1 / 30 π;

5) α 1 = 72° k+ 36° și α 2 = 120° k+ 60°.



Coordonatele x punctele situate pe cerc sunt egale cu cos(θ), iar coordonatele y corespund cu sin(θ), unde θ este mărimea unghiului.

  • Dacă vă este greu să vă amintiți această regulă, amintiți-vă doar că în perechea (cos; păcat) „sinusul vine ultimul”.
  • Această regulă poate fi derivată analizând triunghiuri dreptunghiulare și definiția datelor funcții trigonometrice(sinusul unghiului este egal cu raportul dintre lungimea laturii opuse, iar cosinusul este egal cu raportul dintre latura adiacentă și ipotenuză).

Scrieți coordonatele a patru puncte de pe cerc. Un „cerc unitar” este un cerc a cărui rază este egală cu unu. Utilizați aceasta pentru a determina coordonatele xŞi yîn patru puncte de intersecție a axelor de coordonate cu cercul. Mai sus, pentru claritate, am desemnat aceste puncte drept „est”, „nord”, „vest” și „sud”, deși nu au denumiri stabilite.

  • „Est” corespunde punctului cu coordonate (1; 0) .
  • „Nord” corespunde punctului cu coordonate (0; 1) .
  • „Vest” corespunde punctului cu coordonate (-1; 0) .
  • „Sud” corespunde punctului cu coordonate (0; -1) .
  • Acesta este similar cu un grafic obișnuit, deci nu este nevoie să memorați aceste valori, doar amintiți-vă principiul de bază.

  • Amintiți-vă coordonatele punctelor din primul cadran. Primul cadran este situat în partea dreaptă sus a cercului, unde sunt coordonatele xŞi y ia valori pozitive. Acestea sunt singurele coordonate pe care trebuie să le rețineți:

    Desenați linii drepte și determinați coordonatele punctelor de intersecție a acestora cu cercul. Dacă desenați linii drepte orizontale și verticale din punctele unui cadran, al doilea punct de intersecție al acestor linii cu cercul va avea coordonatele xŞi y cu aceleași valori absolute, dar semne diferite. Cu alte cuvinte, puteți desena linii orizontale și verticale din punctele primului cadran și puteți eticheta punctele de intersecție cu cercul cu aceleași coordonate, dar în același timp lăsați spațiu în stânga pentru semnul corect ("+" sau „-”).

  • Pentru a determina semnul coordonatelor, folosiți regulile de simetrie. Există mai multe moduri de a determina unde să plasați semnul „-”:

    • Amintiți-vă regulile de bază pentru diagramele obișnuite. Axă x negativ în stânga și pozitiv în dreapta. Axă y negativ de jos și pozitiv de sus;
    • începeți cu primul cadran și trasați linii către alte puncte. Dacă linia traversează axa y, coordonate xîși va schimba semnul. Dacă linia traversează axa x, semnul coordonatei se va schimba y;
    • rețineți că în primul cadran toate funcțiile sunt pozitive, în al doilea cadran doar sinusul este pozitiv, în al treilea cadran doar tangenta este pozitivă, iar în al patrulea cadran doar cosinusul este pozitiv;
    • Indiferent de metoda pe care o utilizați, ar trebui să obțineți (+,+) în primul cadran, (-,+) în al doilea, (-,-) în al treilea și (+,-) în al patrulea.

  • Verificați dacă ați făcut o greșeală. Mai jos este lista completa coordonatele punctelor „speciale” (cu excepția celor patru puncte de pe axele de coordonate), dacă vă deplasați de-a lungul cercului unitar în sens invers acelor de ceasornic. Amintiți-vă că pentru a determina toate aceste valori, este suficient să vă amintiți coordonatele punctelor doar din primul cadran:

    • primul cadran: ( 3 2 , 1 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (3))(2)),(\frac (1)(2)))); (2 2 , 2 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (2))(2)),(\frac (\sqrt (2))(2)))); (1 2 , 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(2)),(\frac (\sqrt (3))(2))));
    • al doilea cadran: ( − 1 2 , 3 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2)),(\frac (\sqrt (3))(2)))); (− 2 2 , 2 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (2))(2)),(\frac (\sqrt (2))(2)))); (− 3 2 , 1 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (3))(2)),(\frac (1)(2))));
    • al treilea cadran: ( − 3 2 , − 1 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (3))(2)),-(\frac (1)(2)))); (− 2 2 , − 2 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (2))(2)),-(\frac (\sqrt (2))(2)))); (− 1 2 , − 3 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2)),-(\frac (\sqrt (3))(2))));
    • al patrulea cadran: ( 1 2 , - 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(2)),-(\frac (\sqrt (3))(2)))); (2 2 , - 2 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (2))(2)),-(\frac (\sqrt (2))(2)))); (3 2 , - 1 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (3))(2)),-(\frac (1)(2)))).

    • >> Cercul numeric


    În timp ce studiam cursul de algebră pentru clasele 7-9, ne-am ocupat până acum de funcții algebrice, adică. funcții specificate analitic prin expresii, în a căror înregistrare am folosit operații algebrice peste numere și variabile (adunare, scădere, înmulțire, diviziune, exponentiare, extragere rădăcină pătrată). Dar modelele matematice ale situațiilor reale sunt adesea asociate cu funcții de alt tip, nu algebrice. Ne vom familiariza cu primii reprezentanți ai clasei de funcții non-algebrice - funcții trigonometrice - în acest capitol. Vei studia mai detaliat funcțiile trigonometrice și alte tipuri de funcții non-algebrice (exponențiale și logaritmice) în liceu.
    Pentru a introduce funcții trigonometrice avem nevoie de un nou model matematic- un cerc numeric pe care nu l-ai întâlnit încă, dar ești foarte familiarizat cu linia numerică. Amintiți-vă că linia numerică este o dreaptă pe care sunt date punctul de plecare O, scara (segmentul unitar) și direcția pozitivă. Putem compara orice număr real cu un punct pe o dreaptă și invers.

    Cum să găsiți punctul corespunzător M pe o dreaptă folosind numărul x? Numărul 0 corespunde punctului de pornire O. Dacă x > 0, atunci, deplasându-vă de-a lungul unei linii drepte din punctul 0 în direcția pozitivă, trebuie să treceți n^-a lungime x; capătul acestei căi va fi punctul dorit M(x). Dacă x< 0, то, двигаясь по прямой из точки О в отрицательном направлении, нужно пройти путь 1*1; конец этого пути и будет искомой точкой М(х). Число х - координата точки М.

    Și cum am rezolvat problema inversă, adică Cum ați găsit coordonatele x a unui punct dat M pe dreapta numerică? Am găsit lungimea segmentului OM și am luat-o cu semnul „+” sau * - „în funcție de ce parte a punctului O se află punctul M pe linie dreaptă.

    Dar în viata reala Trebuie să te miști nu numai în linie dreaptă. Destul de des, mișcare de-a lungul cerc. Iată un exemplu concret. Să considerăm că pista de alergare a stadionului este un cerc (de fapt, acesta nu este, desigur, un cerc, dar amintiți-vă, așa cum spun de obicei comentatorii sportivi: „alergătorul a alergat un cerc”, „a mai rămas o jumătate de cerc. a alerga înainte de sosire”, etc.), lungimea acestuia este de 400 m Startul este marcat - punctul A (Fig. 97). Alerătorul din punctul A se deplasează în jurul cercului în sens invers acelor de ceasornic. Unde va fi la 200 m? la 400 m? la 800 m? la 1500 m? Unde ar trebui să tragă linia de sosire dacă parcurge o distanță de maraton de 42 km 195 m?

    După 200 m, el se va afla în punctul C, diametral opus punctului A (200 m este lungimea jumătate a benzii de alergare, adică lungimea unei jumătăți de cerc). După ce a alergat 400 m (adică, „o tură”, după cum spun sportivii), se va întoarce la punctul A. După ce a alergat 800 m (adică, „două ture”), se va găsi din nou în punctul A. Ce înseamnă 1500 m ? Acesta este „trei cercuri” (1200 m) plus încă 300 m, adică 3

    Banda de alergare - sfârșitul acestei distanțe va fi în punctul 2) (Fig. 97).

    Trebuie doar să ne ocupăm de maraton. După ce a parcurs 105 ture, sportivul va parcurge o distanță de 105-400 = 42.000 m, adică. 42 km. Au mai rămas 195 m până la linia de sosire, adică cu 5 m mai puțin decât jumătate din circumferință. Aceasta înseamnă că sfârșitul distanței de maraton va fi în punctul M, situat lângă punctul C (Fig. 97).

    Comentariu. Desigur, înțelegeți convenția ultimului exemplu. Nimeni nu alergă o distanță de maraton în jurul stadionului, maximul este de 10.000 m, adică. 25 de ture.

    Puteți alerga sau merge pe jos de orice lungime de-a lungul benzii de alergare a stadionului. Aceasta înseamnă că orice număr pozitiv corespunde unui punct - „finalul distanței”. Mai mult, este posibil să atribuiți un punct pe un cerc oricărui număr negativ: trebuie doar să faceți sportivul să alerge în direcția opusă, adică. începeți din punctul A nu în sens invers acelor de ceasornic, ci în sensul acelor de ceasornic. Apoi pista de alergare a stadionului poate fi considerată ca un cerc numeric.

    În principiu, orice cerc poate fi considerat un cerc numeric, dar în matematică s-a convenit să se utilizeze un cerc unitar în acest scop - un cerc cu o rază de 1. Aceasta va fi „banda de alergare” noastră. Lungimea b a unui cerc cu raza K se calculează cu formula Lungimea unui semicerc este n, iar lungimea unui sfert de cerc este AB, BC, SB, DA din Fig. 98 - egal Să fim de acord să numim arc AB primul sfert al cercului unitar, arc BC al doilea sfert, arc CB al treilea sfert, arc DA al patrulea sfert (Fig. 98). În același timp, de obicei despre care vorbim despre Arcul Deschis, i.e. despre un arc fără capete (ceva ca un interval pe o dreaptă numerică).


    Definiţie. Este dat un cerc unitar, iar punctul de plecare A este marcat pe acesta - capătul drept al diametrului orizontal (Fig. 98). Să le potrivim pe fiecare număr real Punctul cercului după următoarea regulă:

    1) dacă x > 0, atunci, deplasându-ne din punctul A în sens invers acelor de ceasornic (direcția pozitivă de deplasare în jurul cercului), vom descrie o cale de-a lungul cercului cu lungime și punctul final M al acestei căi va fi cel dorit punct: M = M(x);

    2) dacă x< 0, то, двигаясь из точки А в направлении по часовой стрелке (отрицательное направление обхода окружности), опишем по окружности путь длиной и |; конечная точка М этого пути и будет искомой точкой: М = М(1);

    Să asociem punctul A cu 0: A = A(0).

    Un cerc unitar cu o corespondență stabilită (între numere reale și puncte de pe cerc) va fi numit cerc numeric.
    Exemplul 1. Găsiți pe cercul numeric
    Deoarece primele șase dintre cele șapte numere date sunt pozitive, atunci pentru a găsi punctele corespunzătoare pe cerc, trebuie să parcurgeți o cale de o anumită lungime de-a lungul cercului, deplasându-se din punctul A în direcția pozitivă. Să luăm în considerare asta


    Numărul 2 corespunde punctului A, deoarece, după ce a trecut de-a lungul cercului, o cale de lungime 2, adică. exact un cerc, vom ajunge din nou punct de plecare A Deci, A = A(2).
    Ce s-a întâmplat Aceasta înseamnă că, deplasându-vă din punctul A într-o direcție pozitivă, trebuie să treceți printr-un cerc întreg.

    Comentariu. Când suntem în clasele a VII-a și a VIII-a lucrat cu linia numerică, apoi am convenit, de dragul conciziei, să nu spunem „punctul de pe dreapta corespunzător numărului x”, ci să spunem „punctul x”. Vom respecta exact același acord atunci când lucrăm cu cercul numeric: „punctul f” - aceasta înseamnă că vorbim despre un punct din cerc care corespunde numărului
    Exemplul 2.
    Împărțind primul trimestru AB în trei părți egale prin punctele K și P, obținem:

    Exemplul 3. Găsiți puncte pe cercul numeric care corespund numerelor
    Vom realiza construcții folosind Fig. 99. Întârzierea arcului AM (lungimea lui este -) din punctul A de cinci ori în direcția negativă, obținem punctul!, - mijlocul arcului BC. Aşa,

    Comentariu. Observați unele dintre libertățile pe care le luăm în utilizarea limbajului matematic. Este clar că arcul AK și lungimea arcului AK sunt lucruri diferite (primul concept este figură geometrică, iar al doilea concept este numărul). Dar ambele sunt desemnate la fel: AK. Mai mult, dacă punctele A și K sunt conectate printr-un segment, atunci atât segmentul rezultat, cât și lungimea acestuia sunt notate în același mod: AK. De obicei, din context este clar ce semnificație are denumirea (arc, lungime arc, lungime a segmentului sau a segmentului).

    Prin urmare, modelele de cerc cu două numere ne vor fi foarte utile.

    PRIMUL AZAR
    Fiecare dintre cele patru sferturi ale cercului numeric este împărțit în două părți egale, iar lângă fiecare dintre cele opt puncte disponibile sunt scrise „numele” lor (Fig. 100).

    A DOUA DISPOZIRE Fiecare dintre cele patru sferturi ale cercului numeric este împărțit în trei părți egale, iar lângă fiecare dintre cele douăsprezece puncte disponibile sunt scrise „numele” lor (Fig. 101).


    Vă rugăm să rețineți că pentru ambele machete am putea puncte date atribuiți alte „nume”.
    Ați observat că în toate exemplele analizate de lungimi de arc
    exprimată prin unele fracții ale numărului n? Acest lucru nu este surprinzător: la urma urmei, lungimea unui cerc unitar este 2n, iar dacă împărțim un cerc sau un sfert al acestuia în părți egale, obținem arce ale căror lungimi sunt exprimate în fracțiuni din numărul și. Credeți că este posibil să găsiți un punct E pe cercul unitar astfel încât lungimea arcului AE să fie egală cu 1? Să ne dăm seama:

    Raționând în mod similar, concluzionăm că pe cercul unitar se poate găsi punctul Eg, pentru care AE = 1, și punctul E2, pentru care AEr = 2, și punctul E3, pentru care AE3 = 3, și punctul E4, pt. care AE4 = 4, și punctul Eb, pentru care AEb = 5, și punctul E6, pentru care AE6 = 6. În fig. 102 punctele corespunzătoare sunt marcate (aproximativ) (pentru orientare, fiecare dintre sferturile cercului unitar este împărțit prin liniuțe în trei părți egale).


    Exemplul 4. Găsiți punctul de pe cercul numeric care corespunde numărului -7.

    Avem nevoie, pornind de la punctul A(0) și deplasându-ne în sens negativ (sensul acelor de ceasornic), să mergem de-a lungul unui cerc cu o cale de lungime 7. Dacă trecem printr-un cerc, obținem (aproximativ) 6,28, ceea ce înseamnă că mai trebuie să parcurgeți (în aceeași direcție) o cale de lungime 0,72. Ce fel de arc este acesta? Puțin mai puțin de jumătate de sfert de cerc, adică lungimea sa este mai mică decât numărul -.

    Deci, pe un cerc numeric, ca pe o dreaptă numerică, fiecărui număr real îi corespunde un punct (numai că, desigur, este mai ușor să-l găsești pe o linie decât pe un cerc). Dar pentru o dreaptă este adevărat și opusul: fiecărui punct îi corespunde un singur număr. Pentru un cerc numeric, această afirmație nu este adevărată, am văzut în mod repetat acest lucru. Următoarea afirmație este adevărată pentru cercul numeric.
    Dacă punctul M al cercului numeric corespunde numărului I, atunci îi corespunde și un număr de forma I + 2k, unde k este orice număr întreg (k e 2).

    De fapt, 2n este lungimea cercului numeric (unitate) și întregul |th| poate fi considerat ca fiind numărul de runde complete ale cercului într-o direcție sau alta. Dacă, de exemplu, k = 3, atunci aceasta înseamnă că facem trei runde ale cercului în direcția pozitivă; dacă k = -7, atunci aceasta înseamnă că facem șapte (| k | = | -71 = 7) runde ale cercului în direcția negativă. Dar dacă ne aflăm în punctul M(1), atunci, după ce am efectuat și | la | cercuri complete în jurul cercului, ne vom găsi din nou în punctul M.

    A.G. Mordkovich Algebra clasa a X-a

    Conținutul lecției notele de lecție cadru suport prezentarea lecției metode de accelerare tehnologii interactive Practica sarcini și exerciții ateliere de autotestare, instruiri, cazuri, întrebări teme pentru acasă întrebări de discuție întrebări retorice de la elevi Ilustrații audio, clipuri video și multimedia fotografii, imagini, grafice, tabele, diagrame, umor, anecdote, glume, benzi desenate, pilde, proverbe, cuvinte încrucișate, citate Suplimente rezumate articole trucuri pentru pătuțurile curioși manuale dicționar de bază și suplimentar de termeni altele Îmbunătățirea manualelor și lecțiilorcorectarea erorilor din manual actualizarea unui fragment dintr-un manual, elemente de inovație în lecție, înlocuirea cunoștințelor învechite cu altele noi Doar pentru profesori lecții perfecte plan calendaristic timp de un an recomandări metodologice programe de discuții Lecții integrate

    Soluţie:

    1) Deoarece 7π = 3٠2π + π, atunci când este rotit cu 7π se obține același punct ca și când este rotit cu π, adică. rezultatul este un punct cu coordonate (- 1; 0). (Fig.9)

    2) Deoarece = -2π - , apoi la întoarcerea în același punct se obține ca la întoarcerea către - , adică. rezultatul este un punct cu coordonatele (0; 1) (Fig. 10)

    Fig.9 Fig.10

    Problema nr. 2

    Notați toate unghiurile prin care trebuie să rotiți punctul (1;0) pentru a obține punctul

    N
    .

    Soluţie:

    Din triunghi dreptunghic AON (Fig. 11) rezultă că unghiul AON este egal cu , i.e. unul dintre unghiurile posibile de rotație este . În consecință, toate unghiurile prin care trebuie rotit punctul (1;0) pentru a obține punctul sunt exprimate astfel: + 2πk, unde k este orice număr întreg.

    Fig.11

    Exerciții pentru rezolvarea independentă:

    1°. Pe cercul unitar, construiți un punct obținut prin rotirea punctului (1;0) cu un unghi dat:

    a) 4π; b) - 225°; V) - ; G) - ;
    d)
    .

    ;

    e)
    2°. Aflați coordonatele punctului obținute prin rotirea punctului P(1;0) cu un unghi:

    a) 3π; b)-
    ;
    .

    c) 540°;

    d) 810°; d)

    , k – întreg; e)

    3°. Determinați sfertul în care se află punctul obținut prin rotirea punctului P(1;0) cu un unghi:
    a) 1; b) 2,75; c) 3,16;
    d) 4,95.

    4*. Pe cercul unitar, construiți un punct obținut prin rotirea punctului P(1;0) cu un unghi:

    3°. Determinați sfertul în care se află punctul obținut prin rotirea punctului P(1;0) cu un unghi:
    a) 1; b) 2,75; c) 3,16;
    O)
    ;
    .

    b)

    3°. Determinați sfertul în care se află punctul obținut prin rotirea punctului P(1;0) cu un unghi:
    a) 1; b) 2,75; c) 3,16;
    ;

    ;
    ;
    .

    c) 4,5π; d) - 7π.

    5*. Aflați coordonatele punctului obținut prin rotirea punctului P (1;0) cu un unghi (k este un număr întreg):

    ; α V) 0 ;1 ; 1 G) 0 6*. Notați toate unghiurile prin care trebuie să rotiți punctul P (1;0) pentru a obține un punct cu coordonate:

    V)

    DEFINIȚIA SINUSULUI, COSINULUI UNGHUI

    Soluţie:

    Fig.12

    În aceste definiţii unghiul

    poate fi exprimat fie în grade, fie în radiani. De exemplu, când se rotește un punct (1;0) cu un unghi, de exemplu. unghi 90°, rezultatul este punctul (0;1). ordonată punctual (

    ) este egal cu

    Soluţie:

    , deci sin = sin 90° = 1; Abscisa acestui punct este egală cu , deci cos = cos 90° = 0 Sarcina nr. 1 0 Găsiți sin (- π) și cos (- π). 0 Punctul (1;0) când este rotit cu un unghi – π va merge la punctul (-1; 0) (Fig. 13), prin urmare, sin (- π) = 0, cos (- π) = - 1.

    Fig.13
    .

    Sarcina nr. 2

    Rezolvați ecuația sin x = 0.

    Folosind un raționament similar, putem obține următoarele soluții ale ecuațiilor trigonometrice:

    păcatx

    x = + 2πk, k

    x = - +2πk., k

    x = +2πk., k

    x = 2πk., k

    x = π + 2 πk., k

    Iată un tabel cu valori comune ale sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei.

    Sarcina nr. 1

    Calculați: 4sin +
    cos - tg.

    Soluţie:

    Folosind masa, obținem

    4 sin + cos - tg = 4 ٠+ ٠ -1 = 2 + 1,5 = 2,5.

    :

    1°. Calcula:

    a) păcat + păcat; b) păcatul .

    - cos π; c) sin 0 - cos 2π; d) sin3 - cos

    2°. Găsiți sensul expresiei:
    ;

    a) 3 sin + 2 cos - tg;
    b)

    V)

    ;

    d) cos 0 – sin 3π.

    3°. Rezolvați ecuația: α +
    a) 2 sin x = 0; b) cos x = 0; c) cos x - 1 = 0; d) 1 – sin x = 0. α = 4*. Găsiți sensul expresiei:

    a) 2 păcat cos α la ; α = .

    b) 0,5 cos α - sin α la α = 60°;

    c) sin 3 α – cos 2 α cu α = ;
    d) cos

    + păcat

    la 5*. Rezolvați ecuația: a) sin x = - 1; b) cos x = 0; c) păcatul ; d) sin3 x = 0. Semne de sinus, cosinus și tangente Lăsați punctul să se miște de-a lungul cercului unității în sens invers acelor de ceasornic, apoi sinusurilor pozitiv în primul si al doilea sferturi de coordonate (Fig. 14); cosinus pozitiv în

    primul și al patrulea

    V)

    sferturi de coordonate (Fig. 15);

    1) tangentă și cotangentă
    .

    Soluţie:

    pozitiv în primul si al treilea sferturi de coordonate (Fig. 16).

    Fig.14 Fig.15 Fig.16 Aflați semnele sinusului, cosinusului și tangentei unui unghi: ;

    2) 745°; 3)

    1) Unghiul corespunde unui punct de pe cercul unitar situat la doilea sferturi. Prin urmare sin > 0, cos

    2) Deoarece 745° = 2 ٠360° + 25°, atunci rotirea punctului (1;0) cu un unghi de 745° corespunde unui punct situat la :

    primul α, sferturi.

    Prin urmare sin 745° > 0, cos 745° > 0, tg 745° > 0. α = 3) Punctul se deplasează în sensul acelor de ceasornic, deci – π, apoi când punctul (1;0) este rotit cu un unghi, se obține punctul α = - treilea α = ;sferturi. Prin urmare păcatul

    Exerciții de rezolvat singur 1°. În ce sfert se obține punctul prin rotirea punctului P(1;0) cu un unghi? Dacă: O) ; b) ; V) Document Decizia ei.. Controla Post

  • trebuie semnat de student.

    Test

    De controla. lucru este atribuit pe baza rezultatelor... pe unul din șase identice lucru carduri lucru Carduri lucru sunt așezate pe rând într-o ordine aleatorie. Ce... Carduri de testare; carduri de scor; g) carduri de sarcini de nivel avansat (sarcini de text ale unei sarcini cu un parametru). Concluzie Teste lucru Oral lucru controlaŞi carduri-simulatoare;

  • Munca independentă, fiind cel mai important mijloc de educație, ar trebui construită pe baza unei organizări științifice a muncii mentale, care necesită respectarea următoarelor prevederi

    Notă

    Clasificarea) cărţii studiate. Controla poți folosi standard sau... studenți care au promovat toate carduriși/sau lucru controla furnizate curriculum, ... carnet de note sau copie de educațional lucru student și la cererea de reintegrare...

  • Orientări pentru studierea disciplinei și completarea testelor pentru studenții prin corespondență Specialități toate

    Orientări

    ÎN ; V). 3. Linii directoare pentru implementare ; controla 1°. În ce sfert se obține punctul prin rotirea punctului P(1;0) cu un unghi? Dacă: este un pas important în pregătirea pentru examen Carduri de testare; carduri de scor; g) carduri de sarcini de nivel avansat (sarcini de text ale unei sarcini cu un parametru). Concluzie conform... în tabelul 2 – vreo trei diviziuni. Creați un formular" Card contabilitate" pentru a introduce date în tabel...