Coordonatele vectoriale
Se numește cantitatea abscisa vectorului, iar numărul este al lui ordonată
Cum se formează o bază pe un plan
Cum se formează o bază în spațiu
Baza unui spațiu vectorial este un sistem ordonat maxim liniar independent de vectori din acest spațiu.
Definiție Sistem de vectori a1, a2, . . . , an dintr-un spațiu vectorial V se numește sistem de generatori ai acestui spațiu dacă orice vector din V este exprimat liniar prin vectorii a1, a2, . . . , an.
Un sistem ordonat de vectori este o bază a unui spațiu vectorial V dacă și numai dacă este un sistem liniar independent de generatori ai acestui spațiu
Ce este o bază carteziană?
Dacă vectorii e1, e2, e3 sunt reciproc ortogonali și modulo egali cu unu, atunci ei se numesc ortele unui sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare, iar baza în sine este o bază carteziană ortonormală.
Formulați proprietățile coordonatelor vectorilor pe bază carteziană
Care sunt coordonatele unui punct?
Distanțele punctuale de la planuri de coordonate se numesc coordonatele unui punct.
Distanța AA 1 punct de la planul P 1 se numește aplicatul punctului și se notează y A, distanța AA 2 puncte de planul P 2 este ordonata punctului și se notează y A, distanța AA 3 puncte din planul P 3 este abscisa punctului și se notează x A.
Evident, coordonata punctului aplicat z A este înălțimea AA 1, coordonata punctului de ordonanță y A este adâncimea AA 2, coordonata punctului de abscisă x A este latitudinea AA 3.
Cum se calculează coordonatele unui vector dacă sunt cunoscute coordonatele sfârșitului și începutului acestuia?
Cum se calculează distanța dintre două puncte dacă coordonatele lor sunt cunoscute
Tu însuți știi că AB (x1-x2;y1-y2)
Distanța dintre puncte este lungimea vectorului AB.
Ce sunt cosinusurile direcției
Cosinusurile de direcție ale unui vector sunt cosinusurile unghiurilor pe care le formează vectorul cu semiaxele pozitive ale coordonatelor.
Cosinusurile direcției specifică în mod unic direcția vectorului.
Ceea ce se numește proiecția unui vector pe o axă, demonstrează proprietățile proiecțiilor.
Proiecție vectorială pe axă l() este lungimea componentei sale pe axă l, luat cu semnul plus dacă direcția componentei coincide cu direcția axei l, iar cu semnul minus dacă direcția componentei este opusă direcției axei.
Daca = , atunci ei cred = .
Teorema I Proiecția unui vector pe axa l este egală cu produsul dintre modulul său și cosinusul unghiului dintre acest vector și axa l.
Dovada. Deoarece vectorul = liber, putem presupune că originea lui O se află pe axa l(Fig. 34).
Dacă unghiul ascuțit, atunci direcția componentei = , vector coincide cu direcția axei l(Figura 34,a).
În acest caz avem = + = . Dacă unghiul (Fig. 34, b) , apoi direcția componentei = vector opus direcției axei l. Apoi obținem = = cos( - ) = cos
Același lucru este valabil și pentru vector.
Care este produsul scalar al vectorilor
Produs punctual două diferite de zero vectori a și b este un număr egal cu produsul lungimilor acestora vectori prin cosinusul unghiului dintre ele.
Formulați condiția pentru ortogonalitatea vectorilor
Condiție pentru ortogonalitatea vectorilor Doi vectori a și b ortogonal (perpendicular), dacă produsul lor scalar este egal cu zero.
Demonstrați proprietățile produsului scalar al vectorilor
Proprietăți ale produsului scalar al vectorilor
- Produsul scalar al unui vector cu el însuși este întotdeauna mai mare sau egal cu zero:
- Produsul scalar al unui vector cu el însuși este egal cu zero dacă și numai dacă vectorul este egal cu vectorul zero:
a · a = 0<=>a = 0
- Produsul scalar al unui vector cu el însuși este egal cu pătratul modulului său:
- Operația de înmulțire scalară este comunicativă:
- Dacă produsul scalar a doi vectori nenuli este egal cu zero, atunci acești vectori sunt ortogonali:
a ≠ 0, b ≠ 0, a b = 0<=>a ┴ b
- (αa) b = α(a b)
- Operația de înmulțire scalară este distributivă:
(a + b) c = a c + b c
Deduceți expresia produsului scalar în termeni de coordonate
Formulați proprietăți produs vectorial
DOAR 1 FORMULĂ
De sus este un factor determinant.
Geometrie analitică
1. Demonstrați teoreme despre ecuația generală a unei drepte pe un plan
2. Efectuați cercetări ecuație generală linie dreaptă pe un plan
3. Deduceți ecuația unei drepte pe un plan cu coeficient unghiular și ecuația unei drepte în segmente pe axe
4. Deduceți ecuația canonică a unei drepte pe un plan, scrieți ecuații parametrice, deduceți ecuația unei drepte care trece prin două puncte date
5. Cum se determină unghiul dintre liniile drepte pe un plan, dacă acestea sunt date ecuații canonice sau ecuații cu coeficient de pantă?
6. Deduceți condiții pentru paralelismul, coincidența și perpendicularitatea dreptelor pe un plan
7. Obțineți o formulă pentru calcularea distanței de la un punct la o dreaptă dintr-un plan
8. Demonstrați teoreme despre ecuația generală a planului
9. Formulați și demonstrați teorema despre poziție relativă perechi de avioane
10. Efectuați un studiu al ecuației generale a planului
11. Obțineți ecuația unui plan în segmente și ecuația unui plan care trece prin două puncte date
12. Obțineți o formulă pentru calcularea distanței de la un punct la un plan
13. Cum se calculează unghiul dintre planuri?
14. Deduceți condițiile de paralelism și perpendicularitate a două plane
15. Înregistrare vedere generală ecuații ale unei linii în spațiu, obțineți forma canonică a ecuațiilor unei linii în spațiu
16. Deduceți ecuații parametrice ale unei drepte din spațiu, precum și ale unei drepte care trece prin două puncte din spațiu.
17. Cum se determină unghiul dintre două drepte în spațiu? Scrieți condițiile de paralelism și perpendicularitate a dreptelor în spațiu
18. Cum se determină unghiul dintre o dreaptă și un plan? Scrieți condițiile de perpendicularitate și paralelism a unei drepte și a unui plan
19. Obțineți condiția ca două drepte să aparțină aceluiași plan
1. Ce este o funcție, care sunt modalitățile de a o defini?
2. Ce este par și funcții ciudate cum să-și construiască graficele
3. Ce este periodic și functie inversa cum să-și construiască graficele
4. Înfățișați în grafice exponențiale și funcţie logaritmică pentru a>1, a<1.
5. Ce este o dependență armonică, care este tipul graficului ei?
6. Desenați grafice y=arcsinx, y=arccosx, y=arctgx, y=arcctgx
7. Ce este o funcție elementară. Grafice ale funcțiilor elementare de bază
8. Cum să construiți grafice precum y=cf(x), y=f(cx), y=f(x)+c, y=f(x+c)
9. Ce este o secvență de numere, care sunt metodele de definire a acesteia?
10. Ce este o succesiune monotonă și mărginită?
11. Ce se numește limita unei secvențe? Scrieți definiția că un număr dat nu este limita unei secvențe date
12. Formulați proprietățile limitelor secvenței
13. Demonstrați două proprietăți principale ale secvențelor convergente
14. Care dintre ele oferă condiția necesară pentru convergență?
15. Formulați o teoremă care să ofere o condiție suficientă pentru convergența șirului
16. Demonstrați oricare dintre proprietățile limitelor secvenței
17. Ce este o succesiune infinitezimală (mare)?
18. Formulați proprietățile șirurilor infinitezimale
19. Ce se numește limita unei funcții?
20. Formulați proprietățile limitelor funcției
21. Ce se numește limită unilaterală?
22. Notează prima limită remarcabilă și derivă consecința ei
23. Notați a doua limită remarcabilă și deduceți consecințele acesteia
24. Ce funcții se numesc infinitezimale, limitate, infinit de mari?
25. Formulați proprietățile funcțiilor infinitezimale, demonstrați oricare dintre ele
26. Ce concepte sunt introduse pentru a compara funcții infinitezimale, dați definițiile lor
27. Ce funcție se numește continuă într-un punct dat?
28. Formulaţi un criteriu de continuitate şi caracterizaţi tipurile de discontinuităţi
29. Care este derivata unei functii la un punct fix?
30. Ce se numesc derivate unilaterale?
31. Care este diferența unei funcții și cum este legată de incrementul unei funcții?
32. Semnificația fizică a primei și a doua derivate
33. Care este derivata unei functii?
34. Enumerați proprietățile derivatelor, demonstrați două dintre ele (u+v)" și (uv)"
35. Scrieți un tabel de derivate, demonstrați oricare două formule
36. Care este semnificația geometrică a derivatei și diferențiale?
37. Deduceți ecuația tangentei și normalei la graficul funcției
38. Demonstrați teorema despre derivata unei funcții complexe
39. Deduceți derivata funcției inverse (dați un exemplu de găsire a acesteia)
40. Justificați teorema asupra calculului derivatelor
41. Demonstrați toate teoremele valorii medii pentru funcțiile diferențiabile
42. Formulați și demonstrați regula lui L'Hopital
43. Ce funcții se numesc crescător și descrescător pe un interval?
44. Demonstrați teoreme despre legătura dintre derivată și creșterea funcției
45. Ce sunt punctele extremum?
46. Justificați condiția necesară pentru un extremum
47. Deduceți două tipuri de condiții suficiente pentru un extremum
48. Cum să găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții pe un segment?
49. Ce se numesc funcții convexe și concave?
50. Cum se examinează o funcție pentru convexitate și concavitate? Ce sunt punctele de inflexiune?
51. Asimptote - dați definiții, explicați metode de găsire
52. Deduceți o formulă pentru găsirea derivatei (prima și a doua) a unei funcții specificate parametric
53. Ce este o funcție vectorială, hodograful și semnificația ei mecanică?
54. Caracterizați viteza și accelerația unui punct material în mișcare uniformă într-un cerc în termeni de mărime și direcție
55. Caracterizați în mărime și direcție viteza și accelerația unui punct material cu mișcare neuniformă într-un cerc
56. Obține derivate ale funcției y=e x , y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=lnx, y=arcsinx, y=arccosx
Ce sunt coordonatele vectoriale?
Coordonatele vectoriale se numesc proiecțiile și ale unui vector dat pe axa și, respectiv:
Se numește cantitatea abscisa vectorului, iar numărul este al lui ordonată. Faptul că vectorul are coordonate și se scrie astfel: .
Mai întâi, să definim coordonatele unui vector într-un sistem de coordonate dat. Pentru a introduce acest concept, să definim ceea ce numim un sistem de coordonate dreptunghiular sau carteziene.
Definiția 1
Sistem de coordonate dreptunghiular este un sistem de coordonate rectiliniu cu axe reciproc perpendiculare pe un plan sau în spațiu.
Prin introducerea unui sistem de coordonate dreptunghiulare pe un plan sau într-un spațiu tridimensional, devine posibilă descrierea figurilor geometrice împreună cu proprietățile lor folosind ecuații și inecuații, adică utilizarea metodelor algebrice la rezolvarea problemelor geometrice.
Astfel, putem lega vectori la un sistem de coordonate dat. Acest lucru va extinde semnificativ capacitățile noastre de a rezolva anumite probleme.
Un sistem de coordonate dreptunghiular pe un plan este de obicei notat O x y, unde O x și O y sunt axele de coordonate. Axa O x se numește axa absciselor, iar axa O y se numește axa ordonatelor (în spațiu apare o altă axă O z, care este perpendiculară atât pe O x cât și pe O y).
Exemplul 1
Deci, ni se dă un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare O x y pe plan, dacă lăsăm deoparte vectorii i → și j → de la origine, a căror direcție va coincide, respectiv, cu direcțiile pozitive ale axelor O x și O y. , iar lungimea lor va fi egală cu o unitate convențională, vom obține vectori de coordonate. Adică, în acest caz i → și j → sunt vectori de coordonate.
Vectori de coordonate
Definiția 2Vectori i → și j → se numesc vectori de coordonate pentru un sistem de coordonate dat.
Exemplul 2
Lăsăm deoparte un vector arbitrar a → din origine. Pe baza definiției geometrice a operațiilor pe vectori, vectorul a → poate fi reprezentat ca a → = a x · i → + a y · j → , unde coeficienții un x Şi un y - sunt unice, unicitatea lor poate fi demonstrată cu ușurință prin contradicție.
Descompunerea vectorială
Definiția 3Descompunerea vectorială a → prin vectori de coordonate i → și j → în avion se numeşte reprezentare de forma a → = a x · i → + a y · j → .
Definiția 4
Coeficienții a x și a y se numesc coordonatele vectorului dintr-un sistem de coordonate dat pe plan.
Coordonatele unui vector dintr-un sistem de coordonate dat sunt de obicei scrise între paranteze, separate prin virgule, iar coordonatele specificate trebuie separate de desemnarea vectorului cu un semn egal. De exemplu, scrierea a → = (2 ; - 3) înseamnă că vectorul a → are coordonatele (2 ; - 3) într-un sistem de coordonate dat și poate fi reprezentat ca o expansiune în vectorii de coordonate i → și j → ca a → = 2 · i → - 3 · j → .
Comentariu
Vă rugăm să rețineți că ordinea în care sunt scrise coordonatele este importantă dacă scrieți coordonatele vectoriale într-o ordine diferită, veți obține un vector complet diferit;
Pe baza definițiilor coordonatelor vectoriale și a descompunerilor acestora, devine evident că vectorii unitari i → și j → au coordonatele (1 ; 0) și respectiv (0 ; 1) și pot fi reprezentați ca următoarele descompuneri i → = 1 · i → + 0 · j → ; j → = 0 · i → + 1 · j → .
Există și un vector zero 0 → cu coordonatele (0 ; 0) și extindere 0 → = 0 · i → + 0 · j → .
Vectori egali și opuși
Definiția 5Vectorii a → și b → sunt egali când coordonatele lor corespunzătoare sunt egale.
Definiția 6
Vector opus Se numește vectorul opus celui dat.
Rezultă că coordonatele unui astfel de vector vor fi opuse coordonatele acestui vector, adică - a → = (- a x ; - a y) .
Toate cele de mai sus pot fi definite în mod similar pentru un sistem de coordonate dreptunghiular definit în spațiul tridimensional. Într-un astfel de sistem de coordonate, există un triplu de vectori de coordonate i → , j → , k → , iar un vector arbitrar a → este descompus nu în două, ci în trei coordonate, iar într-un mod unic are forma a → = a x · i → + a y · j → + a z · k → , iar coeficienții acestei expansiuni (a x ; a y ; a z) se numesc coordonate vectoriale într-un sistem de coordonate dat (tridimensional).
În consecință, vectorii de coordonate din spațiul tridimensional iau și ei valoarea 1 și au coordonatele i → = (1; 0; 0), j → = (0; 1; 0), k → = (0; 0; 1), coordonatele vectorului zero sunt, de asemenea, egale cu zero 0 → = (0; 0; 0), iar în acest caz doi vectori vor fi considerați egali dacă toate cele trei coordonate corespunzătoare ale vectorilor sunt egale între ele a → = b → ⇔ a x = b x , a y = b y , a z = b z , iar coordonatele vectorului opus a → sunt opuse coordonatelor corespunzătoare ale vectorului a → , adică - a → = (- a x ; - a y ; - a z ) ).
Pentru a introduce această definiție, este necesar să se arate într-un sistem de coordonate dat relația dintre coordonatele unui punct și coordonatele unui vector.
Să fie dat un anumit sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare O x y și un punct arbitrar M cu coordonatele M (x M ; y M) date pe el.
Definiția 7
Vector O M → numit vector rază al unui punct M .
Să determinăm ce coordonate are vectorul rază al punctului în acest sistem de coordonate
Vector O M → are forma unei sume O M → = O M x → + O M y → = x M · i → + y M · j → , unde punctele M x și M y sunt proiecții ale punctului M pe dreptele de coordonate Ox și, respectiv, Oy (aceste argumente decurg din definiția proiecției unui punct pe o dreaptă), iar i → și j → sunt vectori de coordonate, prin urmare, vectorul O M → are coordonate (x M ; y M) într-un sistem de coordonate dat.
Cu alte cuvinte, coordonatele vectorului rază al punctului M sunt egale cu coordonatele corespunzătoare ale punctului M într-un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare.
În mod similar, în spațiul tridimensional, vectorul rază a unui punct M (x M; y M; z M) este extins în vectori de coordonate ca O M → = O M x → + O M y → + O M z → = x M i → + y M j → + z M · k → , prin urmare, O M → = (x M ; y M ; z M) .
Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
Sistem de coordonate dreptunghiular
Pentru a defini conceptul de coordonate ale punctelor, trebuie să introducem un sistem de coordonate în care vom determina coordonatele acestuia. Același punct în diferite sisteme de coordonate poate avea coordonate diferite. Aici vom lua în considerare un sistem de coordonate dreptunghiular în spațiu.
Să luăm un punct $O$ în spațiu și să introducem coordonatele $(0,0,0)$ pentru el. Să-i spunem originea sistemului de coordonate. Să desenăm trei axe reciproc perpendiculare $Ox$, $Oy$ și $Oz$ prin ea, ca în figura 1. Aceste axe se vor numi axe de abscisă, ordonate și, respectiv, aplicate. Tot ce rămâne este să introduceți scara pe axe (segmentul unitar) - sistemul de coordonate dreptunghiular din spațiu este gata (Fig. 1)
Figura 1. Sistemul de coordonate dreptunghiular în spațiu. Autor24 - schimb online de lucrări ale studenților
Coordonatele punctului
Acum să ne uităm la modul în care coordonatele oricărui punct sunt determinate într-un astfel de sistem. Să luăm un punct arbitrar $M$ (Fig. 2).
Să construim un paralelipiped dreptunghiular pe axele de coordonate, astfel încât punctele $O$ și $M$ să fie opuse vârfurilor sale (Fig. 3).
Figura 3. Construcția unui paralelipiped dreptunghiular. Autor24 - schimb online de lucrări ale studenților
Apoi punctul $M$ va avea coordonatele $(X,Y,Z)$, unde $X$ este valoarea de pe axa numerică $Ox$, $Y$ este valoarea de pe axa numerică $Oy$ și $Z $ este valoarea pe axa numerelor $Oz$.
Exemplul 1
Este necesar să găsiți o soluție la următoarea problemă: scrieți coordonatele vârfurilor paralelipipedului prezentat în figura 4.
Soluţie.
Punctul $O$ este originea coordonatelor, prin urmare $O=(0,0,0)$.
Punctele $Q$, $N$ și $R$ se află pe axele $Ox$, $Oz$ și, respectiv, $Oy$, ceea ce înseamnă
$Q=(2,0,0)$, $N=(0,0,1.5)$, $R=(0,2.5,0)$
Punctele $S$, $L$ și $M$ se află în avioanele $Oxz$, $Oxy$ și, respectiv, $Oyz$, ceea ce înseamnă
$S=(2,0,1.5)$, $L=(2,2.5,0)$, $R=(0,2.5,1.5)$
Punctul $P$ are coordonatele $P=(2,2.5,1.5)$
Coordonatele vectoriale bazate pe două puncte și formula de găsire
Pentru a afla cum să găsiți un vector din coordonatele a două puncte, trebuie să luați în considerare sistemul de coordonate pe care l-am introdus mai devreme. În ea, din punctul $O$ în direcția axei $Ox$ trasăm vectorul unitar $\overline(i)$, în direcția axei $Oy$ - vectorul unitar $\overline(j) $, iar vectorul unitar $\overline(k) $ trebuie să fie îndreptat de-a lungul axei $Oz$.
Pentru a introduce conceptul de coordonate vectoriale, introducem următoarea teoremă (nu vom lua în considerare demonstrarea acesteia aici).
Teorema 1
Un vector arbitrar din spațiu poate fi extins în oricare trei vectori care nu se află în același plan, iar coeficienții unei astfel de expansiuni vor fi determinați în mod unic.
Matematic arata cam asa:
$\overline(δ)=m\overline(α)+n\overline(β)+l\overline(γ)$
Deoarece vectorii $\overline(i)$, $\overline(j)$ și $\overline(k)$ sunt construiți pe axele de coordonate ale unui sistem de coordonate dreptunghiulare, evident că ei nu vor aparține aceluiași plan. Aceasta înseamnă că orice vector $\overline(δ)$ din acest sistem de coordonate, conform teoremei 1, poate lua următoarea formă
$\overline(δ)=m\overline(i)+n\overline(j)+l\overline(k)$ (1)
unde $n,m,l∈R$.
Definiția 1
Cei trei vectori $\overline(i)$, $\overline(j)$ și $\overline(k)$ vor fi numiți vectori de coordonate.
Definiția 2
Coeficienții din fața vectorilor $\overline(i)$, $\overline(j)$ și $\overline(k)$ din expansiune (1) se vor numi coordonatele acestui vector în sistemul de coordonate dat de noi. , adică
$\overline(δ)=(m,n,l)$
Operații liniare pe vectori
Teorema 2
Teorema sumei: Coordonatele sumei oricărui număr de vectori sunt determinate de suma coordonatelor lor corespunzătoare.
Dovada.
Vom demonstra această teoremă pentru 2 vectori. Pentru 3 sau mai mulți vectori, demonstrația este construită într-un mod similar. Fie $\overline(α)=(α_1,α_2,α_3)$, $\overline(β)=(β_1,β_2 ,β_3)$.
Acești vectori se pot scrie după cum urmează
$\overline(α)=α_1\overline(i)+ α_2\overline(j)+α_3\overline(k)$, $\overline(β)=β_1\overline(i)+ β_2\overline(j)+ β_3\overline(k)$
Abcisele și axa ordonatelor se numesc coordonate vector. Coordonatele vectoriale sunt de obicei indicate în formular (x, y), iar vectorul în sine ca: =(x, y).
Formula pentru determinarea coordonatelor vectoriale pentru probleme bidimensionale.
În cazul unei probleme bidimensionale, un vector cu cunoscut coordonatele punctelor A(x 1;y 1)Şi B(x 2 ; y 2 ) se poate calcula:
= (x 2 - x 1; y 2 - y 1).
Formula pentru determinarea coordonatelor vectoriale pentru probleme spațiale.
În cazul unei probleme spațiale, un vector cu cunoscut coordonatele punctelor O (x 1;y 1;z 1 ) și B (x 2 ; y 2 ; z 2 ) poate fi calculat folosind formula:
= (x 2 - x 1 ; y 2 - y 1 ; z 2 - z 1 ).
Coordonatele oferă o descriere cuprinzătoare a vectorului, deoarece este posibil să se construiască vectorul însuși folosind coordonatele. Cunoscând coordonatele, este ușor de calculat și lungimea vectorului. (Proprietatea 3 de mai jos).
Proprietăți ale coordonatelor vectoriale.
1. Oricare vectori egaliîntr-un singur sistem de coordonate au coordonate egale.
2. Coordonate vectori coliniari proporţional. Cu condiția ca niciunul dintre vectori să nu fie zero.
3. Pătratul lungimii oricărui vector este egal cu suma pătratelor acestuia coordonate.
4.În timpul intervenției chirurgicale multiplicare vectorială pe număr real fiecare dintre coordonatele sale este înmulțită cu acest număr.
5. Când adunăm vectori, calculăm suma corespondentelor coordonate vectoriale.
6. Produs punctual doi vectori este egal cu suma produselor coordonatelor corespunzătoare.