Zonele figurilor geometrice sunt valori numerice care le caracterizează dimensiunea în spațiu bidimensional. Această valoare poate fi măsurată în unități de sistem și non-sistem. Deci, de exemplu, o unitate de suprafață nesistemică este o sută, un hectar. Acesta este cazul dacă suprafața care se măsoară este o bucată de pământ. Unitatea de unitate de suprafață a sistemului este pătratul lungimii. În sistemul SI, unitatea de măsură a suprafeței plane este metrul pătrat. În GHS, unitatea de suprafață este exprimată ca un centimetru pătrat.
Formulele de geometrie și zone sunt indisolubil legate. Această legătură constă în faptul că calculul ariilor figurilor plane se bazează tocmai pe aplicarea acestora. Pentru multe figuri, sunt derivate mai multe opțiuni din care sunt calculate dimensiunile lor pătrate. Pe baza datelor din enunțul problemei, putem determina cea mai simplă soluție posibilă. Acest lucru va facilita calculul și va reduce probabilitatea erorilor de calcul la minimum. Pentru a face acest lucru, luați în considerare principalele zone ale figurilor din geometrie.
Formulele pentru găsirea ariei oricărui triunghi sunt prezentate în mai multe opțiuni:
1) Aria unui triunghi se calculează de la baza a și înălțimea h. Baza este considerată a fi partea figurii pe care este coborâtă înălțimea. Atunci aria triunghiului este:
2) Aria unui triunghi dreptunghic se calculează în același mod dacă ipotenuza este considerată baza. Dacă luăm piciorul ca bază, atunci aria triunghiului dreptunghic va fi egală cu produsul picioarelor înjumătățite.
Formulele pentru calcularea ariei oricărui triunghi nu se termină aici. O altă expresie conține laturile a,b și funcția sinusoidală a unghiului γ dintre a și b. Valoarea sinusului se găsește în tabele. O poți afla și folosind un calculator. Atunci aria triunghiului este:
Folosind această egalitate, puteți verifica, de asemenea, că aria unui triunghi dreptunghic este determinată prin lungimile catetelor. Deoarece unghiul γ este un unghi drept, deci aria unui triunghi dreptunghic se calculează fără a se înmulți cu funcția sinus.
3) Luați în considerare un caz special - un triunghi regulat, a cărui latură a este cunoscută după condiție sau lungimea sa poate fi găsită la rezolvare. Nu se mai știe nimic despre figura din problema de geometrie. Atunci cum să găsești zona în această condiție? În acest caz, se aplică formula pentru aria unui triunghi obișnuit:
Dreptunghi
Cum să găsiți aria unui dreptunghi și să utilizați dimensiunile laturilor care au un vârf comun? Expresia pentru calcul este:
Dacă trebuie să utilizați lungimile diagonalelor pentru a calcula aria unui dreptunghi, atunci veți avea nevoie de o funcție a sinusului unghiului format atunci când se intersectează. Această formulă pentru aria unui dreptunghi este:
Pătrat
Aria unui pătrat este determinată ca a doua putere a lungimii laturii:
Dovada rezultă din definiția că un pătrat este dreptunghi. Toate laturile care formează un pătrat au aceleași dimensiuni. Prin urmare, calcularea ariei unui astfel de dreptunghi se reduce la înmulțirea unul cu celălalt, adică la a doua putere a laturii. Și formula pentru calcularea ariei unui pătrat va lua forma dorită.
Aria unui pătrat poate fi găsită într-un alt mod, de exemplu, dacă utilizați diagonala:
Cum se calculează aria unei figuri care este formată dintr-o parte a unui plan delimitată de un cerc? Pentru a calcula suprafața, formulele sunt:
Paralelogram
Pentru un paralelogram, formula conține dimensiunile liniare ale laturii, înălțimea și operația matematică - înmulțire. Dacă înălțimea este necunoscută, atunci cum să găsiți aria paralelogramului? Există o altă modalitate de a calcula. Va fi necesară o anumită valoare, care va fi luată de funcția trigonometrică a unghiului format de laturile adiacente, precum și lungimea acestora.
Formulele pentru aria unui paralelogram sunt:
Romb
Cum să găsiți aria unui patrulater numit romb? Aria unui romb se determină folosind matematică simplă cu diagonale. Dovada se bazează pe faptul că segmentele diagonale din d1 și d2 se intersectează în unghi drept. Tabelul sinusurilor arată că pentru un unghi drept această funcție este egală cu unitatea. Prin urmare, aria unui romb se calculează după cum urmează:
Zona unui romb poate fi găsită și în alt mod. Nici acest lucru nu este greu de demonstrat, având în vedere că laturile sale au aceeași lungime. Apoi înlocuiți produsul lor într-o expresie similară pentru un paralelogram. La urma urmei, un caz special al acestei figuri este un romb. Aici γ este unghiul interior al rombului. Aria unui romb se determină după cum urmează:
Trapez
Cum să găsiți aria unui trapez prin bazele (a și b), dacă problema indică lungimile acestora? Aici, fără o valoare cunoscută a lungimii înălțimii h, nu va fi posibil să se calculeze aria unui astfel de trapez. Deoarece această valoare conține expresia pentru calcul:
Dimensiunea pătrată a unui trapez dreptunghiular poate fi, de asemenea, calculată în același mod. Se ține cont de faptul că într-un trapez dreptunghiular se îmbină conceptele de înălțime și latură. Prin urmare, pentru un trapez dreptunghiular, trebuie să specificați lungimea laturii laterale în loc de înălțime.
Cilindru și paralelipiped
Să luăm în considerare ceea ce este necesar pentru a calcula suprafața întregului cilindru. Aria acestei figuri este o pereche de cercuri numite baze și o suprafață laterală. Cercurile care formează cercuri au raza lungimii egale cu r. Pentru aria unui cilindru are loc următorul calcul:
Cum să găsiți aria unui paralelipiped care constă din trei perechi de fețe? Măsurătorile sale se potrivesc cu perechea specifică. Fețele opuse au aceiași parametri. Mai întâi, găsiți S(1), S(2), S(3) - dimensiunile pătrate ale fețelor inegale. Atunci aria suprafeței paralelipipedului este:
Inel
Două cercuri cu un centru comun formează un inel. De asemenea, limitează zona inelului. În acest caz, ambele formule de calcul iau în considerare dimensiunile fiecărui cerc. Primul dintre ele, calculând aria inelului, conține razele R mai mari și r mai mici. Mai des sunt numite externe și interne. În a doua expresie, aria inelului este calculată prin diametrele D mai mari și d mai mici. Astfel, aria inelului pe baza razelor cunoscute se calculează după cum urmează:
Aria inelului, folosind lungimile diametrelor, se determină după cum urmează:
Poligon
Cum să găsiți aria unui poligon a cărui formă nu este regulată? Nu există o formulă generală pentru aria unor astfel de cifre. Dar dacă este reprezentat pe un plan de coordonate, de exemplu, ar putea fi hârtie în carouri, atunci cum să găsiți suprafața în acest caz? Aici folosesc o metodă care nu necesită măsurarea aproximativă a cifrei. Ei fac asta: dacă găsesc puncte care cad în colțul celulei sau au coordonate întregi, atunci doar ele sunt luate în considerare. Pentru a afla apoi care este zona, folosește formula dovedită de Peake. Este necesar să adăugați numărul de puncte situate în interiorul liniei întrerupte cu jumătate din punctele aflate pe ea și să scădeți unul, adică se calculează astfel:
unde B, G sunt numărul de puncte situate în interiorul și, respectiv, pe întreaga linie întreruptă.
Aria: Aria este o cantitate care măsoară dimensiunea unei suprafețe. În matematică, aria unei figuri este un concept geometric, de dimensiunea unei figuri plate. Suprafața este o caracteristică numerică a unei suprafețe. Pătrat în arhitectură, deschis... ... Wikipedia
Pătrat- Acest termen are alte semnificații, vezi Arie (sensuri). Zona Dimensiunea L² Unități SI m² ... Wikipedia
Aria unui triunghi- Notație standard Un triunghi este cel mai simplu poligon având 3 vârfuri (unghiuri) și 3 laturi; parte a planului delimitată de trei puncte care nu se află pe aceeași dreaptă și trei segmente care leagă aceste puncte în perechi. Vârfurile unui triunghi... Wikipedia
Piața Lenin (Petrozavodsk)- Piața Lenin Petrozavodsk ... Wikipedia
Aria (în geometrie)- Aria, una dintre marimile principale asociate formelor geometrice. În cele mai simple cazuri, se măsoară prin numărul de pătrate unitare care umplu o figură plată, adică pătrate cu latura egală cu o unitate de lungime. Calculul lui P. era deja în antichitate... ...
PĂTRAT- una dintre caracteristicile cantitative ale figurilor și suprafețelor geometrice plate. Aria unui dreptunghi este egală cu produsul lungimilor a două laturi adiacente. Aria unei figuri în trepte (adică una care poate fi împărțită în mai multe... ... Dicţionar enciclopedic mare
AREA (în geometrie)- AREA, una dintre caracteristicile cantitative ale formelor și suprafețelor geometrice plate. Aria unui dreptunghi este egală cu produsul lungimilor a două laturi adiacente. Aria unei figuri în trepte (adică una care poate fi împărțită în mai multe ...... Dicţionar Enciclopedic
PĂTRAT- ZONA, pătrate, prev. despre zonă și (învechit) pe zonă, plural. și zone, femei. (carte). 1. Parte dintr-un plan delimitată de o linie întreruptă sau curbă (geom.). Aria unui dreptunghi. Aria unei figuri curbe. 2. numai unitati. Spațiu,…… Dicționarul explicativ al lui Ușakov
Zona (arhitect.)- Piața, un spațiu deschis, organizat arhitectural, încadrat de orice clădiri, structuri sau spații verzi, incluse în sistemul altor spații urbane. Predecesorii palatelor urbane au fost curțile ceremoniale ale palatelor și... Marea Enciclopedie Sovietică
Piața Memoriei (Tyumen)- Memory Square Tyumen Informații generale ... Wikipedia
Cărți
- Cifre în matematică, fizică și natură. Pătrate, triunghiuri și cercuri, Catherine Sheldrick-Ross. Despre carte Caracteristicile cărții Peste 75 de cursuri de master neobișnuite vor ajuta la transformarea studiului geometriei într-un joc captivant Cartea descrie figurile principale cât mai detaliat posibil: pătrate, cercuri și... Cumpărați pentru 1206 de ruble
- Cifre în matematică, fizică și natură Pătrate, triunghiuri și cercuri, Sheldrick-Ross K.. Peste 75 de cursuri de master neobișnuite vor ajuta la transformarea studiului geometriei într-un joc captivant. Cartea descrie figurile principale cât mai detaliat posibil: pătrate, cercuri, triunghiuri. Cartea va preda...
În secțiunea anterioară, dedicată analizei semnificației geometrice a unei integrale definite, am primit o serie de formule pentru calcularea ariei unui trapez curbiliniu:
S (G) = ∫ a b f (x) d x pentru o funcție continuă și nenegativă y = f (x) pe intervalul [ a ; b],
S (G) = - ∫ a b f (x) d x pentru o funcție continuă și nepozitivă y = f (x) pe intervalul [ a ; b ] .
Aceste formule sunt aplicabile pentru rezolvarea unor probleme relativ simple. În realitate, de multe ori va trebui să lucrăm cu figuri mai complexe. În acest sens, vom dedica această secțiune unei analize a algoritmilor pentru calcularea ariei figurilor care sunt limitate de funcții în formă explicită, de exemplu. cum ar fi y = f(x) sau x = g(y).
TeoremaFie definite şi continue funcţiile y = f 1 (x) şi y = f 2 (x) pe intervalul [ a ; b ] și f 1 (x) ≤ f 2 (x) pentru orice valoare x din [ a ; b ] . Apoi formula pentru calcularea ariei figurii G, mărginită de liniile x = a, x = b, y = f 1 (x) și y = f 2 (x) va arăta ca S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .
O formulă similară va fi aplicabilă pentru aria unei figuri mărginite de liniile y = c, y = d, x = g 1 (y) și x = g 2 (y): S (G) = ∫ c d ( g 2 (y) - g 1 (y) d y .
Dovada
Să ne uităm la trei cazuri pentru care formula va fi valabilă.
În primul caz, ținând cont de proprietatea de aditivitate a ariei, suma ariilor figurii originale G și a trapezului curbiliniu G 1 este egală cu aria figurii G 2. Aceasta înseamnă că
Prin urmare, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.
Putem efectua ultima tranziție folosind a treia proprietate a integralei definite.
În al doilea caz, egalitatea este adevărată: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x
Ilustrația grafică va arăta astfel:
Dacă ambele funcții sunt nepozitive, obținem: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x . Ilustrația grafică va arăta astfel:
Să trecem la considerarea cazului general când y = f 1 (x) și y = f 2 (x) intersectează axa O x.
Punctele de intersecție notăm ca x i, i = 1, 2, . . . , n - 1 . Aceste puncte despart segmentul [a; b ] în n părţi x i - 1 ; x i, i = 1, 2, . . . , n, unde α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n
Prin urmare,
S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x
Putem face ultima tranziție folosind a cincea proprietate a integralei definite.
Să ilustrăm cazul general pe grafic.
Formula S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x poate fi considerată dovedită.
Acum să trecem la analizarea exemplelor de calcul al ariei figurilor care sunt limitate de liniile y = f (x) și x = g (y).
Vom începe analiza oricăruia dintre exemple prin construirea unui grafic. Imaginea ne va permite să reprezentăm forme complexe ca uniuni de forme mai simple. Dacă construirea de grafice și figuri pe ele vă provoacă dificultăți, puteți studia secțiunea privind funcțiile elementare de bază, transformarea geometrică a graficelor de funcții și, de asemenea, construirea de grafice în timp ce studiați o funcție.
Exemplul 1
Este necesar să se determine aria figurii, care este limitată de parabola y = - x 2 + 6 x - 5 și linii drepte y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4.
Soluţie
Să desenăm liniile pe grafic în sistemul de coordonate carteziene.
Pe segmentul [ 1 ; 4 ] graficul parabolei y = - x 2 + 6 x - 5 este situat deasupra dreptei y = - 1 3 x - 1 2. În acest sens, pentru a obține răspunsul folosim formula obținută mai devreme, precum și metoda de calcul a integralei definite folosind formula Newton-Leibniz:
S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13
Răspuns: S(G) = 13
Să ne uităm la un exemplu mai complex.
Exemplul 2
Este necesar să se calculeze aria figurii, care este limitată de liniile y = x + 2, y = x, x = 7.
Soluţie
În acest caz, avem o singură linie dreaptă situată paralelă cu axa x. Acesta este x = 7. Aceasta ne cere să găsim noi înșine a doua limită a integrării.
Să construim un grafic și să trasăm pe el liniile date în enunțul problemei.
Având graficul în fața ochilor, putem determina cu ușurință că limita inferioară de integrare va fi abscisa punctului de intersecție a graficului dreptei y = x și semi-parabola y = x + 2. Pentru a găsi abscisa folosim egalitățile:
y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ
Rezultă că abscisa punctului de intersecție este x = 2.
Vă atragem atenția asupra faptului că în exemplul general din desen, liniile y = x + 2, y = x se intersectează în punctul (2; 2), astfel încât astfel de calcule detaliate pot părea inutile. Am oferit aici o soluție atât de detaliată doar pentru că în cazuri mai complexe soluția poate să nu fie atât de evidentă. Aceasta înseamnă că este mai bine să calculați întotdeauna coordonatele intersecției liniilor analitic.
Pe intervalul [ 2 ; 7] graficul funcției y = x este situat deasupra graficului funcției y = x + 2. Să aplicăm formula pentru a calcula suprafața:
S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6
Răspuns: S (G) = 59 6
Exemplul 3
Este necesar să se calculeze aria figurii, care este limitată de graficele funcțiilor y = 1 x și y = - x 2 + 4 x - 2.
Soluţie
Să trasăm liniile pe grafic.
Să definim limitele integrării. Pentru a face acest lucru, determinăm coordonatele punctelor de intersecție ale liniilor prin echivalarea expresiilor 1 x și - x 2 + 4 x - 2. Cu condiția ca x să nu fie zero, egalitatea 1 x = - x 2 + 4 x - 2 devine echivalentă cu ecuația de gradul trei - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 cu coeficienți întregi. Pentru a vă reîmprospăta memoria algoritmului pentru rezolvarea unor astfel de ecuații, ne putem referi la secțiunea „Rezolvarea ecuațiilor cubice”.
Rădăcina acestei ecuații este x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.
Împărțind expresia - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 la binomul x - 1, obținem: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0
Putem găsi rădăcinile rămase din ecuația x 2 - 3 x - 1 = 0:
x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3
Am găsit intervalul x ∈ 1; 3 + 13 2, în care figura G este cuprinsă deasupra liniei albastre și sub linia roșie. Acest lucru ne ajută să determinăm aria figurii:
S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Răspuns: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Exemplul 4
Este necesar să se calculeze aria figurii, care este limitată de curbele y = x 3, y = - log 2 x + 1 și de axa absciselor.
Soluţie
Să trasăm toate liniile pe grafic. Putem obține graficul funcției y = - log 2 x + 1 din graficul y = log 2 x dacă îl poziționăm simetric față de axa x și îl mutăm cu o unitate în sus. Ecuația axei x este y = 0.
Să marchem punctele de intersecție ale dreptelor.
După cum se poate observa din figură, graficele funcțiilor y = x 3 și y = 0 se intersectează în punctul (0; 0). Acest lucru se întâmplă deoarece x = 0 este singura rădăcină reală a ecuației x 3 = 0.
x = 2 este singura rădăcină a ecuației - log 2 x + 1 = 0, deci graficele funcțiilor y = - log 2 x + 1 și y = 0 se intersectează în punctul (2; 0).
x = 1 este singura rădăcină a ecuației x 3 = - log 2 x + 1 . În acest sens, graficele funcțiilor y = x 3 și y = - log 2 x + 1 se intersectează în punctul (1; 1). Ultima afirmație poate să nu fie evidentă, dar ecuația x 3 = - log 2 x + 1 nu poate avea mai mult de o rădăcină, deoarece funcția y = x 3 este strict crescătoare, iar funcția y = - log 2 x + 1 este strict în scădere.
Soluția ulterioară implică mai multe opțiuni.
Opțiunea #1
Ne putem imagina figura G ca suma a două trapeze curbilinii situate deasupra axei x, primul fiind situat sub linia mediană a segmentului x ∈ 0; 1, iar al doilea este sub linia roșie pe segmentul x ∈ 1; 2. Aceasta înseamnă că aria va fi egală cu S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .
Opțiunea nr. 2
Figura G poate fi reprezentată ca diferența a două figuri, dintre care prima este situată deasupra axei x și sub linia albastră pe segmentul x ∈ 0; 2, iar al doilea între liniile roșii și albastre de pe segmentul x ∈ 1; 2. Acest lucru ne permite să găsim zona după cum urmează:
S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x
În acest caz, pentru a găsi aria va trebui să utilizați o formulă de forma S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. De fapt, liniile care delimitează figura pot fi reprezentate ca funcții ale argumentului y.
Să rezolvăm ecuațiile y = x 3 și - log 2 x + 1 în raport cu x:
y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y
Obținem zona necesară:
S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4
Răspuns: S (G) = 1 ln 2 - 1 4
Exemplul 5
Este necesar să se calculeze aria figurii, care este limitată de liniile y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4.
Soluţie
Cu o linie roșie trasăm linia definită de funcția y = x. Desenăm linia y = - 1 2 x + 4 în albastru, iar linia y = 2 3 x - 3 în negru.
Să marchem punctele de intersecție.
Să găsim punctele de intersecție ale graficelor funcțiilor y = x și y = - 1 2 x + 4:
x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Verificați: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 nu Este soluția ecuației x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 este soluția ecuației ⇒ (4; 2) punctul de intersecție i y = x și y = - 1 2 x + 4
Să găsim punctul de intersecție al graficelor funcțiilor y = x și y = 2 3 x - 3:
x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Verificați: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 este soluția ecuației ⇒ (9 ; 3) punctul a s y = x și y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 Nu există o soluție a ecuației
Să găsim punctul de intersecție al dreptelor y = - 1 2 x + 4 și y = 2 3 x - 3:
1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) punctul de intersecție y = - 1 2 x + 4 și y = 2 3 x - 3
Metoda nr. 1
Să ne imaginăm aria figurii dorite ca suma suprafețelor figurilor individuale.
Atunci aria figurii este:
S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3
Metoda nr. 2
Aria figurii originale poate fi reprezentată ca suma a altor două figuri.
Apoi rezolvăm ecuația dreptei relativ la x și numai după aceea aplicăm formula de calcul a ariei figurii.
y = x ⇒ x = y 2 linie roșie y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 linie neagră y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e
Deci zona este:
S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3
După cum puteți vedea, valorile sunt aceleași.
Răspuns: S (G) = 11 3
Rezultate
Pentru a găsi aria unei figuri care este limitată de linii date, trebuie să construim linii pe un plan, să găsim punctele lor de intersecție și să aplicăm formula pentru a găsi aria. În această secțiune, am examinat cele mai comune variante de sarcini.
Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
Clasă: 5
În opinia mea, sarcina profesorului nu este doar de a preda, ci de a dezvolta interesul cognitiv pentru elev. Prin urmare, ori de câte ori este posibil, conectez subiectele lecției cu sarcini practice.
În timpul lecției, elevii, sub îndrumarea profesorului, întocmesc un plan de rezolvare a problemelor pentru a găsi zona unei „figuri complexe” (pentru calcularea estimărilor de reparații), consolidează abilitățile de rezolvare a problemelor pentru a găsi zona; are loc o dezvoltare a atenţiei, a capacităţii pentru activităţi de cercetare, a educaţiei activităţii, a independenţei.
Lucrul în perechi creează o situație de comunicare între cei care au cunoștințe și cei care le dobândesc; Această lucrare se bazează pe îmbunătățirea calității pregătirii în materie. Promovează dezvoltarea interesului pentru procesul de învățare și asimilarea mai profundă a materialului educațional.
Lecția nu numai că sistematizează cunoștințele elevilor, dar contribuie și la dezvoltarea abilităților creative și analitice. Utilizarea problemelor cu conținut practic în sala de clasă ne permite să arătăm relevanța cunoștințelor matematice în viața de zi cu zi.
Obiectivele lecției:
Educațional:
- consolidarea cunoștințelor de formule pentru aria unui dreptunghi, triunghi dreptunghic;
- analiza sarcinilor pentru calcularea ariei unei figuri „complexe” și a metodelor de realizare a acestora;
- finalizarea independentă a sarcinilor pentru a testa cunoștințele, abilitățile și abilitățile.
Educațional:
- dezvoltarea metodelor de activitate mentală și de cercetare;
- dezvoltarea capacităţii de a asculta şi explica cursul unei decizii.
Educațional:
- dezvoltarea abilităților academice ale studenților;
- cultivarea unei culturi a vorbirii matematice orale și scrise;
- dezvolta o atitudine prietenoasă în clasă și capacitatea de a lucra în grup.
Tip de lecție: combinate.
Echipament:
- Matematică: manual pentru clasa a V-a. învăţământul general instituții/ N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov și colab., M.: „Mnemosyne”, 2010.
- Carduri pentru grupuri de elevi cu forme pentru a calcula aria unei forme complexe.
- Instrumente de desen.
Planul lecției:
- Moment organizatoric.
- Actualizarea cunoștințelor.
a) Întrebări teoretice (test).
b) Expunerea problemei. - A învățat material nou.
a) găsirea unei soluții la problemă;
b) rezolvarea problemei. - Fixarea materialului.
a) rezolvarea colectivă a problemelor;
Minut de educație fizică.
b) munca independentă. - Teme pentru acasă.
- Rezumatul lecției. Reflecţie.
Progresul lecției
I. Moment organizatoric.
Vom începe lecția cu aceste cuvinte de despărțire:
Matematică, prieteni,
Absolut toată lumea are nevoie de ea.
Lucrați cu sârguință în clasă
Și succesul cu siguranță te așteaptă!
II. Actualizarea cunoștințelor.
O) Lucru frontal cu cartonașe de semnalizare (fiecare elev are cartonașe cu numerele 1, 2, 3, 4; atunci când răspunde la o întrebare test, elevul ridică un cartonaș cu numărul răspunsului corect).
1. Un centimetru pătrat este:
- aria unui pătrat cu latura de 1 cm;
- pătrat cu latura de 1 cm;
- pătrat cu perimetrul de 1 cm.
2. Aria figurii prezentate în figură este egală cu:
- 8 dm;
- 8 dm 2;
- 15 dm 2.
3. Este adevărat că figurile egale au perimetre și arii egale?
4. Aria unui dreptunghi este determinată de formula:
- S = a 2 ;
- S = 2 (a + b);
- S = a b.
5. Aria figurii prezentate în figură este egală cu:
- 12 cm;
- 8 cm;
- 16 cm.
b) (Enunțarea problemei). Sarcină. Câtă vopsea este necesară pentru a vopsi o pardoseală care are următoarea formă (vezi figura), dacă se consumă 200 g de vopsea la 1 m2?
III. Învățarea de materiale noi.
Ce trebuie să știm pentru a rezolva ultima problemă? (Găsiți zona podelei care arată ca o „figură complexă.”)
Elevii formulează tema și scopurile lecției (dacă este necesar, profesorul ajută).
Luați în considerare un dreptunghi ABCD. Să tragem o linie în ea KPMN, rupând dreptunghiul ABCD in doua parti: ABNMPKŞi KPMNCD.
Care este zona? ABCD? (15 cm 2)
Care este aria figurii? ABMNPK? (7 cm 2)
Care este aria figurii? KPMNCD? (8 cm 2)
Analizează-ți rezultatele. (15= = 7 + 8)
Concluzie? (Aria întregii figuri este egală cu suma ariilor părților sale.)
S = S 1 + S 2
Cum putem aplica această proprietate pentru a ne rezolva problema? (Să împărțim o figură complexă în părți, să găsim zonele părților, apoi aria întregii figuri.)
S 1 = 7 2 = 14 (m 2)
S 2 = (7 – 4) (8 – 2 – 3) = 3 3 = 9 (m 2)
S 3 = 7 3 = 21 (m 2)
S = S 1 + S 2 + S 3 = 14 + 9 + 21 = 44 (m2)
Hai sa ne impacam plan pentru rezolvarea problemelor pentru a găsi aria unei „figuri complexe”:
- Împărțim figura în figuri simple.
- Găsirea ariilor figurilor simple.
a) Sarcina 1. De câte plăci vor fi necesare pentru a așeza un teren cu următoarele dimensiuni:
S = S 1 + S 2
S 1 = (60 – 30) 20 = 600 (dm 2)
S 2 = 30 50 = 1500 (dm 2)
S = 600 + 1500 = 2100 (dm 2)
Există o altă modalitate de a rezolva? (Luăm în considerare opțiunile propuse.)
Raspuns: 2100 dm 2.
Sarcina 2. (decizie colectivă la tablă și în caiete.) Câți m2 de linoleum sunt necesari pentru a renova o cameră care are următoarea formă:
S = S 1 + S 2
S 1 = 3 2 = 6 (m 2)
S 2 = ((5 – 3) 2) : 2 = 2 (m 2)
S = 6 + 2 = 8 (m2)
Raspuns: 8 m2.
Minut de educație fizică.
Și acum, băieți, ridicați-vă.
Au ridicat repede mâinile.
În lateral, înainte, înapoi.
Virat la dreapta, la stânga.
S-au așezat în liniște și s-au întors la muncă.
b) Munca independentă (educativ) .
Elevii sunt împărțiți în grupuri (nr. 5–8 sunt mai puternici). Fiecare grup este o echipă de reparații.
Sarcina pentru echipe: determinați câtă vopsea este necesară pentru a picta o podea care are forma figurii prezentate pe card, dacă sunt necesare 200 g de vopsea la 1 m2.
Construiți această cifră în caiet și notați toate datele și începeți sarcina. Puteți discuta soluția (dar numai în grupul dvs.!). Dacă un grup face față rapid sarcinii, atunci li se oferă o sarcină suplimentară (după verificarea muncii independente).
Sarcini pentru grupuri:
V. Tema pentru acasă.
paragraful 18, nr. 718, nr. 749.
Sarcină suplimentară. Schema în plan a grădinii de vară (Sankt Petersburg). Calculați-i aria.
VI. Rezumatul lecției.
Reflecţie. Continuați propoziția:
- Azi am aflat...
- A fost interesant...
- A fost greu...
- Acum pot...
- Mi-a dat o lecție de viață...
Calcularea ariei unei figuri- Aceasta este poate una dintre cele mai dificile probleme din teoria zonei. În geometria școlii, ei sunt învățați să găsească zonele formelor geometrice de bază, cum ar fi, de exemplu, un triunghi, romb, dreptunghi, trapez, cerc etc. Cu toate acestea, de multe ori trebuie să vă ocupați de calcularea ariilor unor cifre mai complexe. Atunci când rezolvați astfel de probleme este foarte convenabil să utilizați calculul integral.
Definiţie.
Trapez curbiliniu numiți o figură G mărginită de dreptele y = f(x), y = 0, x = a și x = b, iar funcția f(x) este continuă pe segmentul [a; b] și nu își schimbă semnul de pe el (Fig. 1). Aria unui trapez curbat poate fi notată cu S(G).
O integrală definită ʃ a b f(x)dx pentru funcția f(x), care este continuă și nenegativă pe intervalul [a; b] și este aria trapezului curbat corespunzător.
Adică, pentru a găsi aria unei figuri G mărginită de liniile y = f(x), y = 0, x = a și x = b, este necesar să se calculeze integrala definită ʃ a b f(x)dx .
Astfel, S(G) = ʃ a b f(x)dx.
Dacă funcția y = f(x) nu este pozitivă pe [a; b], atunci aria unui trapez curbat poate fi găsită folosind formula S(G) = -ʃ a b f(x)dx.
Exemplul 1.
Calculați aria figurii delimitată de liniile y = x 3; y = 1; x = 2.
Soluţie.
Liniile date formează figura ABC, care este afișată prin hașurare orez. 2.
Aria necesară este egală cu diferența dintre ariile trapezului curbiliniu DACE și pătratul DABE.
Folosind formula S = ʃ a b f(x)dx = S(b) – S(a), găsim limitele integrării. Pentru a face acest lucru, rezolvăm un sistem de două ecuații:
(y = x 3,
(y = 1.
Astfel, avem x 1 = 1 – limita inferioară și x = 2 – limita superioară.
Deci, S = S DACE – S DABE = ʃ 1 2 x 3 dx – 1 = x 4 /4| 1 2 – 1 = (16 – 1)/4 – 1 = 11/4 (unități pătrate).
Raspuns: 11/4 mp. unitati
Exemplul 2.
Calculați aria figurii delimitată de liniile y = √x; y = 2; x = 9.
Soluţie.
Liniile date formează figura ABC, care este limitată mai sus de graficul funcției
y = √x, iar mai jos este un grafic al funcției y = 2. Figura rezultată este afișată prin hașura în orez. 3.
Aria necesară este S = ʃ a b (√x – 2). Să aflăm limitele integrării: b = 9, pentru a găsi a, rezolvăm un sistem de două ecuații:
(y = √x,
(y = 2.
Astfel, avem că x = 4 = a - aceasta este limita inferioară.
Deci, S = ∫ 4 9 (√x – 2)dx = ∫ 4 9 √x dx –∫ 4 9 2dx = 2/3 x√x| 4 9 – 2х| 4 9 = (18 – 16/3) – (18 – 8) = 2 2/3 (unități pătrate).
Răspuns: S = 2 2/3 mp. unitati
Exemplul 3.
Calculați aria figurii delimitată de liniile y = x 3 – 4x; y = 0; x ≥ 0.
Soluţie.
Să reprezentăm grafic funcția y = x 3 – 4x pentru x ≥ 0. Pentru a face acest lucru, găsiți derivata y’:
y’ = 3x 2 – 4, y’ = 0 la x = ±2/√3 ≈ 1,1 – puncte critice.
Dacă trasăm punctele critice pe dreapta numerică și aranjam semnele derivatei, aflăm că funcția scade de la zero la 2/√3 și crește de la 2/√3 la plus infinit. Atunci x = 2/√3 este punctul minim, valoarea minimă a funcției y min = -16/(3√3) ≈ -3.
Să determinăm punctele de intersecție ale graficului cu axele de coordonate:
dacă x = 0, atunci y = 0, ceea ce înseamnă că A(0; 0) este punctul de intersecție cu axa Oy;
dacă y = 0, atunci x 3 – 4x = 0 sau x(x 2 – 4) = 0, sau x(x – 2)(x + 2) = 0, de unde x 1 = 0, x 2 = 2, x 3 = -2 (nu este potrivit, deoarece x ≥ 0).
Punctele A(0; 0) și B(2; 0) sunt punctele de intersecție ale graficului cu axa Ox.
Liniile date formează figura OAB, care este afișată prin hașurare orez. 4.
Deoarece funcția y = x 3 – 4x ia o valoare negativă pe (0; 2), atunci
S = |ʃ 0 2 (x 3 – 4x)dx|.
Avem: ʃ 0 2 (x 3 – 4х)dx =(x 4 /4 – 4х 2 /2)| 0 2 = -4, de unde S = 4 sq. unitati
Răspuns: S = 4 mp. unitati
Exemplul 4.
Aflați aria figurii delimitată de parabola y = 2x 2 – 2x + 1, dreptele x = 0, y = 0 și tangenta la această parabolă în punctul cu abscisa x 0 = 2.
Soluţie.
Mai întâi, să creăm o ecuație pentru tangenta la parabola y = 2x 2 – 2x + 1 în punctul cu abscisa x₀ = 2.
Deoarece derivata y’ = 4x – 2, atunci pentru x 0 = 2 obținem k = y’(2) = 6.
Să aflăm ordonata punctului tangentei: y 0 = 2 2 2 – 2 2 + 1 = 5.
Prin urmare, ecuația tangentei are forma: y – 5 = 6(x – 2) sau y = 6x – 7.
Să construim o figură delimitată de linii:
y = 2x 2 – 2x + 1, y = 0, x = 0, y = 6x – 7.
Г у = 2х 2 – 2х + 1 – parabolă. Puncte de intersecție cu axele de coordonate: A(0; 1) – cu axa Oy; cu axa Ox - nu există puncte de intersecție, deoarece ecuația 2x 2 – 2x + 1 = 0 nu are soluții (D< 0). Найдем вершину параболы:
x b = 2/4 = 1/2;
y b = 1/2, adică vârful punctului parabolă B are coordonatele B(1/2; 1/2).
Deci, figura a cărei zonă trebuie determinată este afișată prin hașurare orez. 5.
Avem: S O A B D = S OABC – S ADBC.
Să găsim coordonatele punctului D din condiția:
6x – 7 = 0, adică x = 7/6, ceea ce înseamnă DC = 2 – 7/6 = 5/6.
Găsim aria triunghiului DBC folosind formula S ADBC = 1/2 · DC · BC. Astfel,
S ADBC = 1/2 · 5/6 · 5 = 25/12 mp. unitati
S OABC = ʃ 0 2 (2x 2 – 2x + 1)dx = (2x 3 /3 – 2x 2 /2 + x)| 0 2 = 10/3 (unități pătrate).
În cele din urmă obținem: S O A B D = S OABC – S ADBC = 10/3 – 25/12 = 5/4 = 1 1/4 (unități pătrate).
Răspuns: S = 1 1/4 mp. unitati
Ne-am uitat la exemple aflarea ariilor figurilor delimitate de linii date. Pentru a rezolva cu succes astfel de probleme, trebuie să fiți capabil să desenați linii și grafice ale funcțiilor pe un plan, să găsiți punctele de intersecție ale liniilor, să aplicați o formulă pentru a găsi aria, ceea ce implică capacitatea de a calcula anumite integrale.
site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.