Să presupunem că avem o anumită funcție y = f (x), care este strict monotonă (descrescătoare sau crescătoare) și continuă pe domeniul definiției x ∈ a; b; intervalul său de valori y ∈ c ; d, iar pe intervalul c; d în acest caz vom avea o funcție definită x = g (y) cu un interval de valori a ; b. A doua funcție va fi, de asemenea, continuă și strict monotonă. Față de y = f (x) va fi o funcție inversă. Adică, putem vorbi despre funcția inversă x = g (y) când y = f (x) fie va scădea, fie va crește într-un interval dat.
Aceste două funcții, f și g, vor fi reciproc inverse.
De ce avem nevoie chiar de conceptul de funcții inverse?
Avem nevoie de aceasta pentru a rezolva ecuațiile y = f (x), care sunt scrise exact folosind aceste expresii.
Să zicem că trebuie să găsim o soluție ecuațiile cos(x) = 1 3 . Soluțiile sale vor fi toate punctele: x = ± a rc c o s 1 3 + 2 π · k, k ∈ Z
De exemplu, funcțiile cosinus și cosinus invers vor fi inverse una față de cealaltă.
Să ne uităm la mai multe probleme pentru a găsi funcții care sunt inverse celor date.
Exemplul 1
Stare: care este funcția inversă pentru y = 3 x + 2?
Soluţie
Domeniul definițiilor și domeniul valorilor unei funcții specificate într-o condiție este mulțimea tuturor numere reale. Să încercăm să rezolvăm ecuația dată prin x, adică exprimând x prin y.
Se obține x = 1 3 y - 2 3 . Aceasta este funcția inversă de care avem nevoie, dar y va fi argumentul aici, iar x va fi funcția. Să le rearanjam pentru a obține o notație mai familiară:
Răspuns: funcția y = 1 3 x - 2 3 va fi inversul lui y = 3 x + 2.
Ambele funcții reciproc inverse pot fi reprezentate după cum urmează:
Vedem simetria ambelor grafice cu privire la y = x. Această linie este bisectoarea primului și al treilea cadran. Am obținut o demonstrație a uneia dintre proprietățile funcțiilor reciproc inverse, despre care vom discuta mai târziu.
Să luăm un exemplu în care trebuie să găsim funcția logaritmică care este inversa unei funcții exponențiale date.
Exemplul 2
Stare: determinați care funcție va fi inversă pentru y = 2 x.
Soluţie
Pentru funcţie dată domeniul de definiție este toate numerele reale. Intervalul de valori se află în intervalul 0; + ∞ . Acum trebuie să exprimăm x în termeni de y, adică să rezolvăm ecuația specificată în termeni de x. Se obține x = log 2 y. Să rearanjam variabilele și să obținem y = log 2 x.
Drept urmare, am venit cu un demonstrativ și funcții logaritmice, care vor fi reciproc inverse unul față de celălalt pe parcursul întregului domeniu de definiție.
Răspuns: y = log 2 x .
Pe grafic, ambele funcții vor arăta astfel:
Proprietățile de bază ale funcțiilor reciproc inverse
În acest paragraf enumeram principalele proprietăți ale funcțiilor y = f (x) și x = g (y), care sunt reciproc inverse.
Definiția 1
- Am derivat deja prima proprietate mai devreme: y = f (g (y)) și x = g (f (x)).
- A doua proprietate rezultă din prima: domeniul definiției y = f (x) va coincide cu intervalul de valori al funcției inverse x = g (y) și invers.
- Graficele funcțiilor care sunt inverse vor fi simetrice față de y = x.
- Dacă y = f (x) este în creștere, atunci x = g (y) va crește, iar dacă y = f (x) este în scădere, atunci x = g (y) va scădea și el.
Vă sfătuim să acordați o atenție deosebită conceptelor de domeniu de definiție și domeniul de semnificație al funcțiilor și să nu le confundați niciodată. Să presupunem că avem două funcții reciproc inverse y = f (x) = a x și x = g (y) = log a y. Conform primei proprietăți, y = f (g (y)) = a log a y. Această egalitate va fi adevărată numai în cazul valorilor pozitive ale lui y, iar pentru valorile negative logaritmul nu este definit, așa că nu vă grăbiți să scrieți că un log a y = y. Asigurați-vă că verificați și adăugați că acest lucru este adevărat numai atunci când y este pozitiv.
Dar egalitatea x = f (g (x)) = log a a x = x va fi adevărată pentru orice valoare reală a lui x.
Nu uitați de acest punct, mai ales dacă trebuie să lucrați cu funcții trigonometrice și trigonometrice inverse. Deci, a r c sin sin 7 π 3 ≠ 7 π 3, deoarece intervalul arcsinus este π 2; π 2 și 7 π 3 nu sunt incluse în el. Intrarea corectă va fi
a r c sin sin 7 π 3 = a r c sin sin 2 π + π 3 = = a r c sin sin π 3 = π 3
Dar sin a r c sin 1 3 = 1 3 este o egalitate corectă, adică. sin (a r c sin x) = x pentru x ∈ - 1 ; 1 și a r c sin (sin x) = x pentru x ∈ - π 2 ; π 2. Fiți întotdeauna atenți la gama și domeniul de aplicare al funcțiilor inverse!
- Funcții de bază reciproc inverse: funcții de putere
Dacă avem o funcție de putere y = x a , atunci pentru x > 0 funcția de putere x = y 1 a va fi și inversa acesteia. Să înlocuim literele și să obținem, respectiv, y = x a și x = y 1 a.
Pe grafic vor arăta astfel (cazuri cu coeficient a pozitiv și negativ):
- Funcții de bază reciproc inverse: exponențiale și logaritmice
Să luăm a, care va fi un număr pozitiv care nu este egal cu 1.
Grafice pentru funcții cu a > 1 și a< 1 будут выглядеть так:
- Funcții de bază reciproc inverse: trigonometrice și trigonometrice inverse
Dacă am dori să trasăm ramura principală a sinusului și arcsinusului, ar arăta astfel (afișată ca zonă de lumină evidențiată).
Obiectivele lecției:
Educațional:
- construi cunoștințe pe subiect nouîn conformitate cu materialul programului;
- studiați proprietatea de reversibilitate a unei funcții și învățați cum să găsiți funcția inversă a uneia date;
Dezvoltare:
- dezvoltarea abilităților de autocontrol, vorbire substanțială;
- stăpânește conceptul de funcție inversă și învață metode de găsire a funcției inverse;
Educațional: pentru a dezvolta competența comunicativă.
Echipament: computer, proiector, ecran, tablă interactivă SMART Board, fișe ( munca independenta) pentru lucrul în grup.
Progresul lecției.
1. Moment organizatoric.
Ţintă – pregătirea elevilor pentru lucrul la clasă:
Definiția absentees,
Aducerea elevilor în chef de muncă, organizarea atenției;
Prezentați subiectul și scopul lecției.
2. Actualizarea cunoștințelor de bază ale elevilor. Sondaj frontal.
țintă - stabilirea corectitudinii și conștientizării materialului teoretic studiat, repetarea materialului parcurs.<Приложение 1 >
Un grafic al unei funcții este afișat pe tabla interactivă pentru elevi. Profesorul formulează o sarcină - luați în considerare graficul unei funcții și enumerați proprietățile studiate ale funcției. Elevii listează proprietățile unei funcții în conformitate cu designul cercetării. În dreapta graficului funcției, profesorul notează proprietățile numite cu un marker pe tabla interactivă.
Proprietățile funcției:
La finalul studiului, profesorul raportează că astăzi în lecție se vor familiariza cu o altă proprietate a unei funcții - reversibilitatea. Pentru a studia în mod semnificativ noul material, profesorul îi invită pe copii să se familiarizeze cu principalele întrebări la care elevii trebuie să răspundă la sfârșitul lecției. Întrebările sunt scrise pe o tablă obișnuită și fiecare elev le are ca fișe (distribuite înainte de lecție)
- Care funcție se numește inversabilă?
- Este vreo funcție inversabilă?
- Ce funcție se numește inversa unei date?
- Cum sunt legate domeniul de definiție și setul de valori ale unei funcții și inversul acesteia?
- Dacă o funcție este dată analitic, cum se poate defini funcția inversă printr-o formulă?
- Dacă o funcție este dată grafic, cum să grafică funcția ei inversă?
3. Explicarea materialului nou.
Ţintă - generarea de cunoștințe pe o temă nouă în conformitate cu materialul programului; studiați proprietatea de reversibilitate a unei funcții și învățați cum să găsiți funcția inversă a uneia date; dezvoltarea discursului de fond.
Profesorul prezintă materialul în conformitate cu materialul din paragraf. Pe tabla interactivă, profesorul compară graficele a două funcții ale căror domenii de definiție și seturi de valori sunt aceleași, dar una dintre funcții este monotonă, iar cealaltă nu, introducând astfel elevii conceptul de funcție inversabilă. .
Profesorul formulează apoi definiția unei funcții inversabile și efectuează o demonstrație a teoremei funcției inversabile folosind graficul unei funcții monotone de pe tabla interactivă.
Definiția 1: Se numește funcția y=f(x), x X reversibil, dacă ia oricare dintre valorile sale numai într-un punct al setului X.
Teoremă: Dacă o funcție y=f(x) este monotonă pe o mulțime X, atunci este inversabilă.
Dovada:
- Lasă funcția y=f(x) creste cu X si lasa x 1 ≠x 2- două puncte ale setului X.
- Ca să fiu specific, să x 1<
x 2.
Apoi din faptul că x 1< x 2 rezultă că f(x 1) < f(x 2). - Astfel, diferite valori ale argumentului corespund diferitelor valori ale funcției, adică. funcția este inversabilă.
(Pe măsură ce demonstrația teoremei progresează, profesorul folosește un marker pentru a face toate explicațiile necesare pe desen)
Înainte de a formula definiția unei funcții inverse, profesorul le cere elevilor să determine care dintre funcțiile propuse este inversabilă? Tabla interactivă arată grafice ale funcțiilor și scrie mai multe funcții definite analitic:
B) 
G) y = 2x + 5
D) y = -x 2 + 7
Profesorul introduce definiția unei funcții inverse.
Definiția 2: Fie funcția inversabilă y=f(x) definite pe platou XŞi E(f)=Y. Să le potrivim pe fiecare y din Y asta e singurul sens X, la care f(x)=y. Apoi obținem o funcție care este definită pe Y, A X– gama de funcții
Această funcție este desemnată x=f -1 (y)și se numește inversul funcției y=f(x).
Elevii sunt rugați să tragă o concluzie despre legătura dintre domeniul definiției și setul de valori ale funcțiilor inverse.
Pentru a lua în considerare întrebarea cum să găsiți inversul unei funcții date, profesorul a atras doi elevi. Cu o zi înainte, copiii au primit o sarcină de la profesor să analizeze în mod independent metodele analitice și grafice de găsire a funcției inverse a unei anumite funcții. Profesorul a acționat ca un consultant în pregătirea elevilor pentru lecție.
Mesaj de la primul student.
Notă: monotonitatea funcției este suficient condiţie pentru existenţa funcţiei inverse. Dar asta nu este o conditie necesara.
Elevul a dat exemple de diverse situații când o funcție nu este monotonă, ci inversabilă, când o funcție nu este monotonă și nu este inversabilă, când este monotonă și inversabilă
Elevul îi prezintă apoi elevilor o metodă de găsire a funcției inverse dată analitic.
Algoritm de găsire
- Asigurați-vă că funcția este monotonă.
- Exprimați variabila x în termeni de y.
- Redenumiți variabilele. În loc de x=f -1 (y) scrieți y=f -1 (x)
Apoi rezolvă două exemple pentru a găsi funcția inversă a unuia dat.
Exemplul 1: Arătați că pentru funcția y=5x-3 există o funcție inversă și găsiți expresia ei analitică.
Soluţie. Funcția liniară y=5x-3 este definită pe R, crește pe R, iar intervalul său de valori este R. Aceasta înseamnă că funcția inversă există pe R. Pentru a găsi expresia ei analitică, rezolvați ecuația y=5x- 3 pentru x; obținem Aceasta este funcția inversă necesară. Este definit și crescând pe R.
Exemplul 2: Arătați că pentru funcția y=x 2, x≤0 există o funcție inversă și găsiți expresia ei analitică.
Funcția este continuă, monotonă în domeniul său de definire, prin urmare, este inversabilă. După ce s-au analizat domeniile de definiție și seturile de valori ale funcției, se face o concluzie corespunzătoare despre expresia analitică pentru funcția inversă.
Al doilea elev face o prezentare despre grafic metoda de aflare a functiei inverse. În timpul explicației sale, elevul folosește capacitățile tablei interactive.
Pentru a obține un grafic al funcției y=f -1 (x), invers funcției y=f(x), este necesar să se transforme graficul funcției y=f(x) simetric față de dreapta y=x.
În timpul explicației pe tabla interactivă, se realizează următoarea sarcină:
Construiți un grafic al unei funcții și un grafic al funcției sale inverse în același sistem de coordonate. Notați expresia analitică pentru funcția inversă.
4. Consolidarea primară a materialului nou.
țintă - stabiliți corectitudinea și conștientizarea înțelegerii materialului studiat, identificați lacune în înțelegerea primară a materialului și corectați-le.
Elevii sunt împărțiți în perechi. Li se dau fișe cu sarcini, în care lucrează în perechi. Timpul de finalizare a lucrării este limitat (5-7 minute). O pereche de elevi lucrează la computer, proiectorul se oprește în acest timp și restul copiilor nu poate vedea cum lucrează elevii la computer.
La sfârșitul timpului (se presupune că majoritatea elevilor au finalizat lucrarea), munca elevilor este afișată pe tabla interactivă (proiectorul este pornit din nou), unde se stabilește în timpul verificării dacă sarcina a fost completat corect în perechi. Dacă este necesar, profesorul efectuează lucrări corective și explicative.
Munca independentă în perechi<Anexa 2 >
5. Rezumatul lecției. Referitor la întrebările care au fost puse înainte de prelegere. Anunțarea notelor la lecție.
Tema pentru acasă §10. Nr. 10.6(a,c) 10.8-10.9(b) 10.12 (b)
Algebra și începuturile analizei. Clasa 10 În 2 părți pentru instituțiile de învățământ general (nivel de profil) / A.G. Mordkovich, L.O. Denishcheva, T.A.; editat de A.G. Mordkovich, M: Mnemosyne, 2007
Ce este o funcție inversă? Cum se află inversul unei funcții date?
Definiție .
Fie funcția y=f(x) definită pe mulțimea D, iar E mulțimea valorilor sale. Funcția inversă față de funcția y=f(x) este o funcție x=g(y), care este definită pe mulțimea E și atribuie fiecărui y∈E o valoare x∈D astfel încât f(x)=y.
Astfel, domeniul de definire al funcției y=f(x) este domeniul de valori al funcției inverse, iar domeniul valorilor y=f(x) este domeniul de definire al funcției inverse.
Pentru a găsi funcția inversă a unei funcții date y=f(x), aveți nevoie :
1) În formula funcției, înlocuiți x în loc de y și y în loc de x:
2) Din egalitatea rezultată, exprimă y prin x:
Aflați funcția inversă a funcției y=2x-6.
Funcțiile y=2x-6 și y=0,5x+3 sunt reciproc inverse.
Graficele funcțiilor directe și inverse sunt simetrice față de dreapta y=x(bisectoare ale sferturilor de coordonate I și III).
y=2x-6 și y=0,5x+3 - . Programa funcţie liniară este . Pentru a construi o linie dreaptă, luați două puncte.
Este posibil să se exprimă y fără ambiguitate în termeni de x în cazul în care ecuația x=f(y) are o soluție unică. Acest lucru se poate face dacă funcția y=f(x) ia fiecare dintre valorile sale într-un singur punct din domeniul său de definiție (o astfel de funcție se numește reversibil).
Teorema (necesară și condiție suficientă reversibilitatea funcției)
Dacă funcția y=f(x) este definită și continuă pe un interval numeric, atunci pentru ca funcția să fie inversabilă este necesar și suficient ca f(x) să fie strict monoton.
Mai mult, dacă y=f(x) crește pe un interval, atunci și funcția inversă acestuia crește pe acest interval; dacă y=f(x) scade, atunci funcția inversă scade.
Dacă condiția de reversibilitate nu este îndeplinită pe întregul domeniu de definiție, puteți selecta un interval în care funcția doar crește sau doar descrește, iar pe acest interval găsiți funcția inversă celei date.
Un exemplu clasic este . intre ele)