Ecuațiile cuadratice sunt studiate în clasa a VIII-a, așa că nu este nimic complicat aici. Capacitatea de a le rezolva este absolut necesară.

O ecuație pătratică este o ecuație de forma ax 2 + bx + c = 0, unde coeficienții a, b și c sunt numere arbitrare și a ≠ 0.

Înainte de a studia metode specifice de soluție, rețineți că toate ecuațiile pătratice pot fi împărțite în trei clase:

1. Nu au rădăcini;
2. Au exact o rădăcină;
3. Au două rădăcini diferite.

Aceasta este o diferență importantă între ecuațiile pătratice și cele liniare, unde rădăcina există întotdeauna și este unică. Cum se determină câte rădăcini are o ecuație? Există un lucru minunat pentru asta - discriminant.

Discriminant

Să fie dată ecuația pătratică ax 2 + bx + c = 0 Atunci discriminantul este pur și simplu numărul D = b 2 − 4ac.

Trebuie să știi această formulă pe de rost. De unde vine nu este important acum. Un alt lucru este important: prin semnul discriminantului poți determina câte rădăcini are o ecuație pătratică. Anume:

1. Daca D< 0, корней нет;
2. Dacă D = 0, există exact o rădăcină;
3. Dacă D > 0, vor exista două rădăcini.

Vă rugăm să rețineți: discriminantul indică numărul de rădăcini și deloc semnele acestora, așa cum cred din anumite motive mulți oameni. Aruncă o privire la exemple și vei înțelege totul singur:

Sarcină. Câte rădăcini au ecuațiile pătratice:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Să scriem coeficienții pentru prima ecuație și să găsim discriminantul:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Deci discriminantul este pozitiv, deci ecuația are două rădăcini diferite. Analizăm a doua ecuație într-un mod similar:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Discriminantul este negativ, nu există rădăcini. Ultima ecuație rămasă este:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Discriminant egal cu zero- va exista o singură rădăcină.

Vă rugăm să rețineți că coeficienții au fost notați pentru fiecare ecuație. Da, este lung, da, este plictisitor, dar nu vei amesteca șansele și nu vei face greșeli stupide. Alege pentru tine: viteza sau calitate.

Apropo, dacă înțelegi, după un timp nu va mai fi nevoie să notezi toți coeficienții. Vei efectua astfel de operații în capul tău. Majoritatea oamenilor încep să facă asta undeva după 50-70 de ecuații rezolvate - în general, nu atât de mult.

Rădăcinile unei ecuații pătratice

Acum să trecem la soluția în sine. Dacă discriminantul D > 0, rădăcinile pot fi găsite folosind formulele:

Formula de bază a rădăcinii ecuație pătratică

Când D = 0, puteți folosi oricare dintre aceste formule - veți obține același număr, care va fi răspunsul. În sfârșit, dacă D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Prima ecuație:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ ecuația are două rădăcini. Să le găsim:

A doua ecuație:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ ecuația are din nou două rădăcini. Să le găsim

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(align)\]

În sfârșit, a treia ecuație:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ ecuația are o rădăcină. Se poate folosi orice formulă. De exemplu, primul:

După cum puteți vedea din exemple, totul este foarte simplu. Dacă știi formulele și poți număra, nu vor fi probleme. Cel mai adesea, erorile apar la înlocuirea coeficienților negativi în formulă. Din nou, tehnica descrisă mai sus vă va ajuta: uitați-vă la formula literal, notați fiecare pas - și foarte curând veți scăpa de greșeli.

Ecuații patratice incomplete

Se întâmplă ca o ecuație pătratică să fie ușor diferită de ceea ce este dat în definiție. De exemplu:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

Este ușor de observat că acestor ecuații lipsește unul dintre termeni. Astfel de ecuații pătratice sunt chiar mai ușor de rezolvat decât cele standard: nici măcar nu necesită calcularea discriminantului. Deci, să introducem un nou concept:

Ecuația ax 2 + bx + c = 0 se numește ecuație pătratică incompletă dacă b = 0 sau c = 0, adică. coeficientul variabilei x sau al elementului liber este egal cu zero.

Desigur, un caz foarte dificil este posibil când ambii acești coeficienți sunt egali cu zero: b = c = 0. În acest caz, ecuația ia forma ax 2 = 0. Evident, o astfel de ecuație are o singură rădăcină: x = 0.

Să luăm în considerare cazurile rămase. Fie b = 0, atunci obținem o ecuație pătratică incompletă de forma ax 2 + c = 0. Să o transformăm puțin:

Din moment ce aritmetica rădăcină pătrată există doar dintr-un număr nenegativ, ultima egalitate are sens doar pentru (−c /a) ≥ 0. Concluzie:

1. Dacă într-o ecuație pătratică incompletă de forma ax 2 + c = 0 este satisfăcută inegalitatea (−c /a) ≥ 0, vor exista două rădăcini. Formula este dată mai sus;
2. Dacă (−c /a)< 0, корней нет.

După cum puteți vedea, nu a fost necesar un discriminant - nu există deloc calcule complexe în ecuațiile pătratice incomplete. De fapt, nici nu este necesar să ne amintim inegalitatea (−c /a) ≥ 0. Este suficient să exprimăm valoarea x 2 și să vedem ce este de cealaltă parte a semnului egal. Dacă există un număr pozitiv, vor exista două rădăcini. Dacă este negativ, nu vor exista deloc rădăcini.

Acum să ne uităm la ecuații de forma ax 2 + bx = 0, în care elementul liber este egal cu zero. Totul este simplu aici: vor exista întotdeauna două rădăcini. Este suficient să factorizezi polinomul:

Scoaterea factorului comun din paranteze

Produsul este zero atunci când cel puțin unul dintre factori este zero. De aici vin rădăcinile. În concluzie, să ne uităm la câteva dintre aceste ecuații:

Sarcină. Rezolvarea ecuațiilor pătratice:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Nu există rădăcini, pentru că un pătrat nu poate fi egal cu un număr negativ.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.

Înainte de a învăța cum să găsim discriminantul unei ecuații pătratice de forma ax2+bx+c=0 și cum să găsim rădăcinile unei ecuații date, trebuie să ne amintim definiția unei ecuații pătratice. Ecuația, care arată ca ax 2 + bx + c = 0 (unde a, b și c sunt numere, rețineți că a ≠ 0) este pătratică. Împărțim toate ecuațiile pătratice în trei categorii:

1. cele care nu au rădăcini;
2. există o rădăcină în ecuație;
3. există două rădăcini.

Pentru a determina numărul de rădăcini din ecuație, avem nevoie de un discriminant.

Cum să găsești un discriminant. Formula

Ni se da: ax 2 + bx + c = 0.

Formula discriminantă: D = b 2 - 4ac.

Cum să găsiți rădăcinile unui discriminant

Numărul de rădăcini este determinat de semnul discriminant:

1. D = 0, ecuația are o rădăcină;
2. D > 0, ecuația are două rădăcini.

Rădăcinile unei ecuații pătratice se găsesc folosind următoarea formulă:

X1= -b + √D/2a; X2= -b + √D/2a.

Dacă D = 0, atunci puteți utiliza în siguranță oricare dintre formulele prezentate. Veți primi același răspuns în orice caz. Și dacă se dovedește că D > 0, atunci nu trebuie să numărați nimic, deoarece ecuația nu are rădăcini.

Trebuie spus că găsirea unui discriminant nu este atât de dificilă dacă cunoașteți formulele și efectuați cu atenție calculele. Uneori apar erori atunci când înlocuiți numere negative într-o formulă (trebuie să vă amintiți că minus cu minus dă un plus). Ai grijă și totul se va rezolva!

Ecuații cuadratice. Discriminant. Soluție, exemple.

Atenţie!
Există suplimentare
materiale din secțiunea specială 555.
Pentru cei care sunt foarte „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

Tipuri de ecuații pătratice

Ce este o ecuație pătratică? Cum arată? În termen ecuație pătratică cuvântul cheie este "pătrat". Aceasta înseamnă că în ecuație Neapărat trebuie să existe un x pătrat. În plus față de aceasta, ecuația poate (sau nu!) conține doar X (la prima putere) și doar un număr (membru liber).Și nu ar trebui să existe X-uri de gradul doi.

În termeni matematici, o ecuație pătratică este o ecuație de forma:

Aici a, b și c- unele numere. b și c- absolut orice, dar O– orice altceva decât zero. De exemplu:

Aici O =1; b = 3; c = -4

Aici O =2; b = -0,5; c = 2,2

Aici O =-3; b = 6; c = -18

Ei bine, înțelegi...

În aceste ecuații pătratice din stânga există set complet membrii. X pătrat cu un coeficient O, x la prima putere cu coeficient bŞi membru liber s.

Astfel de ecuații pătratice se numesc deplin.

Și dacă b= 0, ce obținem? Avem X va fi pierdut la prima putere. Acest lucru se întâmplă atunci când este înmulțit cu zero.) Se dovedește, de exemplu:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

etc. Și dacă ambii coeficienți bŞi c sunt egale cu zero, atunci este și mai simplu:

2x 2 =0,

-0,3x 2 =0

Se numesc astfel de ecuații în care lipsește ceva ecuații pătratice incomplete. Ceea ce este destul de logic.) Vă rugăm să rețineți că x pătratul este prezent în toate ecuațiile.

Apropo, de ce O nu poate fi egal cu zero? Și tu înlocuiești în schimb O zero.) X pătratul nostru va dispărea! Ecuația va deveni liniară. Si solutia este cu totul alta...

Acestea sunt toate tipurile principale de ecuații pătratice. Complet și incomplet.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice complete.

Ecuațiile cuadratice sunt ușor de rezolvat. După formule și reguli clare, simple. În prima etapă, este necesar să aducem ecuația dată la o formă standard, adică. la forma:

Dacă ecuația vă este deja dată în această formă, nu trebuie să faceți prima etapă.) Principalul lucru este să determinați corect toți coeficienții, O, bŞi c.

Formula pentru găsirea rădăcinilor unei ecuații pătratice arată astfel:

Expresia de sub semnul rădăcinii se numește discriminant. Dar mai multe despre el mai jos. După cum puteți vedea, pentru a găsi X, folosim doar a, b și c. Aceste. coeficienții dintr-o ecuație pătratică. Doar înlocuiți cu atenție valorile a, b și c Calculăm în această formulă. Să înlocuim cu semnele tale! De exemplu, în ecuația:

O =1; b = 3; c= -4. Aici o scriem:

Exemplul este aproape rezolvat:

Acesta este răspunsul.

Este foarte simplu. Și ce, crezi că este imposibil să faci o greșeală? Ei bine, da, cum...

Cele mai frecvente greșeli sunt confuzia cu valorile semnelor a, b și c. Sau, mai degrabă, nu cu semnele lor (unde să vă confundați?), ci cu înlocuirea valorilor negative în formula de calcul a rădăcinilor. Ceea ce ajută aici este o înregistrare detaliată a formulei cu numere specifice. Dacă există probleme cu calculele, face asta!

Să presupunem că trebuie să rezolvăm următorul exemplu:

Aici o = -6; b = -5; c = -1

Să presupunem că știi că rar primești răspunsuri prima dată.

Ei bine, nu fi leneș. Va dura aproximativ 30 de secunde pentru a scrie o linie suplimentară și numărul de erori va scădea brusc. Așa că scriem în detaliu, cu toate parantezele și semnele:

Pare incredibil de dificil să scrii cu atâta atenție. Dar doar așa pare. Încearcă. Ei bine, sau alege. Ce e mai bine, rapid sau corect?

În plus, te voi face fericit. După un timp, nu va mai fi nevoie să scrieți totul atât de atent. Se va descurca de la sine. Mai ales dacă utilizați tehnici practice care sunt descrise mai jos. Acest exemplu rău cu o grămadă de minusuri poate fi rezolvat ușor și fără erori!

Dar, adesea, ecuațiile pătratice arată ușor diferit. De exemplu, așa: L-ai recunoscut?) Da! Acest.

ecuații pătratice incomplete

Rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete. a, b și c.

Ele pot fi rezolvate și folosind o formulă generală. Trebuie doar să înțelegeți corect cu ce sunt ele egale aici. Ți-ai dat seama? În primul exemplu a = 1; b = -4; c O ? Nu este deloc acolo! Ei bine, da, așa este. În matematică asta înseamnă că c = 0 ! Asta este. În schimb, înlocuiți zero în formulă c, si vom reusi. La fel si cu al doilea exemplu. Numai că nu avem zero aici Cu b !

, A

Dar ecuațiile pătratice incomplete pot fi rezolvate mult mai simplu. Fără nicio formulă. Să luăm în considerare prima ecuație incompletă. Ce poți face în partea stângă? Puteți scoate X din paranteze! Hai să-l scoatem.
Deci ce-i cu asta? Și faptul că produsul este egal cu zero dacă și numai dacă oricare dintre factori este egal cu zero! Nu mă crezi? Bine, atunci veniți cu două numere diferite de zero care, atunci când sunt înmulțite, vor da zero!
Nu merge? Asta este... Prin urmare, putem scrie cu încredere:, x 1 = 0.

Toate. Acestea vor fi rădăcinile ecuației noastre. Ambele sunt potrivite. Când înlocuim oricare dintre ele în ecuația originală, obținem identitatea corectă 0 = 0. După cum puteți vedea, soluția este mult mai simplă decât utilizarea formulei generale. Permiteți-mi să notez, apropo, care X va fi primul și care va fi al doilea - absolut indiferent. Este convenabil să scrieți în ordine, x 1- ce este mai mic şi x 2- ceea ce este mai mare.

A doua ecuație poate fi rezolvată și simplu. Mutați 9 în partea dreaptă. Primim:

Tot ce rămâne este să extragi rădăcina din 9 și atât. Se va dovedi:

De asemenea, două rădăcini . x 1 = -3, x 2 = 3.

Așa se rezolvă toate ecuațiile pătratice incomplete. Fie plasând X dintre paranteze, fie pur și simplu deplasând numărul la dreapta și apoi extragând rădăcina.
Este extrem de greu de confundat aceste tehnici. Pur și simplu pentru că în primul caz va trebui să extragi rădăcina lui X, care este cumva de neînțeles, iar în al doilea caz nu este nimic de scos din paranteze...

Discriminant. Formula discriminantă.

Cuvânt magic discriminant ! Rareori un elev de liceu nu a auzit acest cuvânt! Expresia „rezolvăm printr-un discriminant” inspiră încredere și liniște. Pentru că nu trebuie să vă așteptați la trucuri de la discriminant! Este simplu și fără probleme de utilizat.) Vă reamintesc cel mai mult formula generala a rezolva orice ecuații pătratice:

Expresia de sub semnul rădăcinii se numește discriminant. De obicei, discriminantul este notat cu litera D. Formula discriminantă:

D = b 2 - 4ac

Și ce este atât de remarcabil la această expresie? De ce merita un nume special? Ce sensul discriminantului? La urma urmelor -b, sau 2aîn această formulă ei nu o numesc în mod specific nimic... Litere și litere.

Iată chestia. Când rezolvați o ecuație pătratică folosind această formulă, este posibil doar trei cazuri.

1. Discriminantul este pozitiv. Aceasta înseamnă că rădăcina poate fi extrasă din ea. Dacă rădăcina este extrasă bine sau prost este o altă întrebare. Important este ceea ce se extrage în principiu. Atunci ecuația ta pătratică are două rădăcini. Două soluții diferite.

2. Discriminantul este zero. Atunci vei avea o soluție. Deoarece adăugarea sau scăderea zero la numărător nu schimbă nimic. Strict vorbind, aceasta nu este o singură rădăcină, ci două identice. Dar, într-o versiune simplificată, se obișnuiește să se vorbească despre o singura solutie.

3. Discriminantul este negativ. Rădăcina pătrată a unui număr negativ nu poate fi luată. Oh bine. Asta înseamnă că nu există soluții.

Sincer vorbind, când solutie simpla ecuații pătratice, conceptul de discriminant nu este deosebit de solicitat. Înlocuim valorile coeficienților în formulă și numărăm. Totul se întâmplă acolo de la sine, două rădăcini, una și niciuna. Cu toate acestea, atunci când rezolvați mai multe sarcini dificile, fără cunoștințe sensul și formula discriminantului nu pot trece. Mai ales în ecuații cu parametri. Astfel de ecuații sunt acrobații pentru examenul de stat și examenul de stat unificat!)

Aşa, cum se rezolvă ecuații pătratice prin discriminantul de care ti-ai amintit. Sau ați învățat, ceea ce nu este rău.) Știți să determinați corect a, b și c. știi cum? atentînlocuiți-le în formula rădăcină și atent numărați rezultatul. Înțelegi că cuvântul cheie aici este atent?

Acum luați notă de tehnicile practice care reduc dramatic numărul de erori. Aceleași care se datorează neatenției... Pentru care ulterior devine dureros și jignitor...

Prima numire . Nu fi leneș înainte de a rezolva o ecuație pătratică și aduce-o la forma standard. Ce înseamnă acest lucru?
Să presupunem că după toate transformările obținem următoarea ecuație:

Nu vă grăbiți să scrieți formula rădăcină! Aproape sigur vei amesteca șansele a, b și c. Construiți corect exemplul. Mai întâi, X pătrat, apoi fără pătrat, apoi termenul liber. Ca aceasta:

Și din nou, nu te grăbi! Un minus în fața unui X pătrat te poate supăra cu adevărat. E usor sa uiti... Scapa de minus. Cum? Da, așa cum a fost predat în subiectul anterior! Trebuie să înmulțim întreaga ecuație cu -1. Primim:

Dar acum puteți scrie în siguranță formula rădăcinilor, puteți calcula discriminantul și puteți termina de rezolvat exemplul. Decide pentru tine.

Acum ar trebui să aveți rădăcinile 2 și -1. Recepție secundă. Verificați rădăcinile! Conform teoremei lui Vieta. Nu vă speriați, vă explic totul! Control dura ecuaţie. Aceste. cel pe care l-am folosit pentru a scrie formula rădăcinii. Dacă (ca în acest exemplu) coeficientul a = 1 , verificarea rădăcinilor este ușoară. Este suficient să le înmulțim. Rezultatul ar trebui să fie un membru liber, adică. în cazul nostru -2. Vă rugăm să rețineți, nu 2, ci -2! Membru gratuit cu semnul tău

. Dacă nu funcționează, înseamnă că s-au încurcat deja undeva. Căutați eroarea. b Dacă funcționează, trebuie să adăugați rădăcinile. Ultima si ultima verificare. Coeficientul ar trebui să fie Cu opus b familiar. În cazul nostru -1+2 = +1. Un coeficient
, care este înaintea lui X, este egal cu -1. Deci, totul este corect! Este păcat că acest lucru este atât de simplu doar pentru exemplele în care x pătrat este pur, cu un coeficient a = 1.

Dar măcar verificați astfel de ecuații! Vor fi din ce în ce mai puține erori. Recepția a treia

. Dacă ecuația ta are coeficienți fracționali, scapă de fracții! Înmulțiți ecuația cu un numitor comun, așa cum este descris în lecția „Cum se rezolvă ecuații? Transformări de identitate”. Când lucrați cu fracții, erorile continuă să apară din anumite motive...

Pentru a nu ne confunda cu minusurile, înmulțim ecuația cu -1. Primim:

Asta este! Rezolvarea este o plăcere!

Deci, haideți să rezumam subiectul.

Sfaturi practice:

1. Înainte de a rezolva, aducem ecuația pătratică la forma standard și o construim Corect.

2. Dacă în fața pătratului X există un coeficient negativ, îl eliminăm înmulțind întreaga ecuație cu -1.

3. Dacă coeficienții sunt fracționali, eliminăm fracțiile înmulțind întreaga ecuație cu factorul corespunzător.

4. Dacă x pătrat este pur, coeficientul său este egal cu unu, soluția poate fi ușor verificată folosind teorema lui Vieta. Fă-o!

Acum putem decide.)

Rezolvarea ecuațiilor:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Răspunsuri (în dezordine):

Prin urmare, putem scrie cu încredere:
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 = -0,5

x - orice număr

x 1 = -3
x 2 = 3

fara solutii

x 1 = 0,25
x 2 = 0,5

Se potrivește totul? Mare! Ecuațiile cuadratice nu sunt durerea ta de cap. Primele trei au funcționat, dar restul nu? Atunci problema nu este cu ecuațiile pătratice. Problema este în transformări identice ale ecuațiilor. Aruncă o privire pe link, este util.

Nu prea merge? Sau nu merge deloc? Apoi, Secțiunea 555 vă va ajuta. Toate aceste exemple sunt defalcate acolo. Afisat principal erori de solutie. Desigur, vorbim și despre utilizarea transformărilor identice în rezolvarea diverselor ecuații. Ajută mult!

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Să învățăm - cu interes!)

Vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

În primul rând, ce este o ecuație pătratică? O ecuație pătratică este o ecuație de forma ax^2+bx+c=0, unde x este o variabilă, a, b și c sunt unele numere și a nu este egal cu zero.

Pasul 2

Pentru a rezolva o ecuație pătratică, trebuie să cunoaștem formula rădăcinilor sale, adică, pentru început, formula discriminantă pentru ecuația pătratică. Arata astfel: D=b^2-4ac. Puteți să-l obțineți singur, dar de obicei acest lucru nu este necesar, amintiți-vă doar formula (!) Chiar veți avea nevoie de ea în viitor. Există și o formulă pentru sfertul discriminant, mai multe despre asta puțin mai târziu.

Pasul 3

Să luăm ca exemplu ecuația 3x^2-24x+21=0. O voi rezolva în două moduri.

Pasul 4

Metoda 1. Discriminant.
3x^2-24x+21=0
a=3, b=-24, c=21
D=b^2-4ac
D=576-4*63=576-252=324=18^2
D>
x1,2= (-b 18)/6=42/6=7
x2=(-(-24)-18)/6=6/6=1

Pasul 5

Este timpul să ne amintim formula de discriminare a sferturilor, care poate facilita foarte mult soluția ecuației noastre =) așa că iată cum arată: D1=k^2-ac (k=1/2b)
Metoda 2. Sfert de discriminare.
3x^2-24x+21=0
a=3, b=-24, c=21
k=-12
D1=k^2 – ac
D1=144-63=81=9^2
D1>0, ceea ce înseamnă că ecuația are 2 rădăcini
x1,2= k +/ rădăcină pătrată a lui D1)/a
x1= (-(-12) +9)/3=21/3=7
x2= (-(-12) -9)/3=3/3=1

Ai evaluat cât de ușoară este soluția ;)
Vă mulțumesc pentru atenție, vă doresc succes în studii =)

• În cazul nostru, în ecuațiile D și D1 au fost >0 și am obținut câte 2 rădăcini fiecare. Dacă ar fi D=0 și D1=0, atunci am obține câte o rădăcină fiecare, iar dacă ar exista D<0 и D1<0 соответственно, то у уравнений корней бы не было вовсе.
• Prin rădăcina discriminantului (D1) se pot rezolva doar acele ecuații în care termenul b este par(!)